Относительность одновременности событий в релятивистской механике. Заметки о теории относительности
Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Да будет свет! И вот явился Ньютон.
Эпиграмма XVIII в.
Но сатана недолго ждал реванша.
Пришел Эйнштейн - и стало все, как раньше.
Эпиграмма XX в.
Постулаты теории относительности
Постулат (аксиома) - фундаментальное утверждение, лежащее в основе теории и принимаемое без доказательств.
Первый постулат: все законы физики, описывающие любые физические явления, должны во всех инерциальных системах отсчета иметь одинаковый вид.
Этот же постулат можно сформулировать иначе: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково.
Второй постулат: во всех инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме одинакова и не зависит от скорости движения как источника, так и приемника света. Эта скорость является предельной скоростью всех процессов и движений, сопровождаемых переносом энергии.
Закон взаимосвязи массы и энергии
Релятивистская механика - раздел механики, изучающий законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света.
Любое тело, благодаря факту своего существования, обладает энергией, которая пропорциональна массе покоя.
Что такое теория относительности (видео)
Следствия теории относительности
Относительность одновременности. Одновременность двух событий относительна. Если события, происшедшие в разных точках, одновременны в одной инерциальной системе отсчета, то они могут быть не одновременными в других инерциальных системах отсчета.
Сокращение длины. Длина тела, измеренная в системе отсчета K", в которой оно покоится, больше длины в системе отсчета K, относительно которой K" движется со скоростью v вдоль оси Ох:
Замедление времени. Промежуток времени, измеренный часами, неподвижными в инерциальной системе отсчета K", меньше промежутка времени, измеренного в инерциальной системе отсчета K, относительно которой K" движется со скоростью v:
Теория относительности
материал из книги Стивена Хокинга и Леонарда Млодинова "Кратчайшая история времени"
Относительность
Фундаментальный постулат Эйнштейна, именуемый принципом относительности, гласит, что все законы физики должны быть одинаковыми для всех свободно движущихся наблюдателей независимо от их скорости. Если скорость света постоянная величина, то любой свободно движущийся наблюдатель должен фиксировать одно и то же значение независимо от скорости, с которой он приближается к источнику света или удаляется от него.
Требование, чтобы все наблюдатели сошлись в оценке скорости света, вынуждает изменить концепцию времени. Согласно теории относительности наблюдатель, едущий на поезде, и тот, что стоит на платформе, разойдутся в оценке расстояния, пройденного светом. А поскольку скорость есть расстояние, деленное на время, единственный способ для наблюдателей прийти к согласию относительно скорости света – это разойтись также и в оценке времени. Другими словами, теория относительности положила конец идее абсолютного времени! Оказалось, что каждый наблюдатель должен иметь свою собственную меру времени и что идентичные часы у разных наблюдателей не обязательно будут показывать одно и то же время.
Говоря, что пространство имеет три измерения, мы подразумеваем, что положение точки в нем можно передать с помощью трех чисел – координат. Если мы введем в наше описание время, то получим четырехмерное пространство-время.
Другое известное следствие теории относительности – эквивалентность массы и энергии, выраженная знаменитым уравнением Эйнштейна Е = mс2 (где Е– энергия, m – масса тела, с – скорость света). Ввиду эквивалентности энергии и массы кинетическая энергия, которой материальный объект обладает в силу своего движения, увеличивает его массу. Иными словами, объект становится труднее разгонять.
Этот эффект существенен только для тел, которые перемещаются со скоростью, близкой к скорости света. Например, при скорости, равной 10% от скорости света, масса тела будет всего на 0,5% больше, чем в состоянии покоя, а вот при скорости, составляющей 90% от скорости света, масса уже более чем вдвое превысит нормальную. По мере приближения к скорости света масса тела увеличивается все быстрее, так что для его ускорения требуется все больше энергии. Согласно теории относительности объект никогда не сможет достичь скорости света, поскольку в данном случае его масса стала бы бесконечной, а в силу эквивалентности массы и энергии для этого потребовалась бы бесконечная энергия. Вот почему теория относительности навсегда обрекает любое обычное тело двигаться со скоростью, меньшей скорости света. Только свет или другие волны, не имеющие собственной массы, способны двигаться со скоростью света.
Искривленное пространство
Общая теория относительности Эйнштейна основана на революционном предположении, что гравитация не обычная сила, а следствие того, что пространство-время не является плоским, как принято было думать раньше. В общей теории относительности пространство-время изогнуто или искривлено помещенными в него массой и энергией. Тела, подобные Земле, движутся по искривленным орбитам не под действием силы, именуемой гравитацией.
Так как геодезическая линия – кратчайшая линия между двумя аэропортами, штурманы ведут самолеты именно по таким маршрутам. Например, вы могли бы, следуя показаниям компаса, пролететь 5966 километров от Нью-Йорка до Мадрида почти строго на восток вдоль географической параллели. Но вам придется покрыть всего 5802 километра, если вы полетите по большому кругу, сперва на северо-восток, а затем постепенно поворачивая к востоку и далее к юго-востоку. Вид этих двух маршрутов на карте, где земная поверхность искажена (представлена плоской), обманчив. Двигаясь «прямо» на восток от одной точки к другой по поверхности земного шара, вы в действительности перемещаетесь не по прямой линии, точнее сказать, не по самой короткой, геодезической линии.
Если траекторию космического корабля, который движется в космосе по прямой линии, спроецировать на двумерную поверхность Земли, окажется, что она искривлена.
Согласно общей теории относительности гравитационные поля должны искривлять свет. Например, теория предсказывает, что вблизи Солнца лучи света должны слегка изгибаться в его сторону под воздействием массы светила. Значит, свет далекой звезды, случись ему пройти рядом с Солнцем, отклонится на небольшой угол, из-за чего наблюдатель на Земле увидит звезду не совсем там, где она в действительности располагается.
Напомним, что согласно основному постулату специальной теории относительности все физические законы одинаковы для всех свободно двигающихся наблюдателей, независимо от их скорости. Грубо говоря, принцип эквивалентности распространяет это правило и на тех наблюдателей, которые движутся не свободно, а под действием гравитационного поля.
В достаточно малых областях пространства невозможно судить о том, пребываете ли вы в состоянии покоя в гравитационном поле или движетесь с постоянным ускорением в пустом пространстве.
Представьте себе, что вы находитесь в лифте посреди пустого пространства. Нет никакой гравитации, никакого «верха» и «низа». Вы плывете свободно. Затем лифт начинает двигаться с постоянным ускорением. Вы внезапно ощущаете вес. То есть вас прижимает к одной из стенок лифта, которая теперь воспринимается как пол. Если вы возьмете яблоко и отпустите его, оно упадет на пол. Фактически теперь, когда вы движетесь с ускорением, внутри лифта все будет происходить в точности так же, как если бы подъемник вообще не двигался, а покоился бы в однородном гравитационном поле. Эйнштейн понял, что, подобно тому как, находясь в вагоне поезда, вы не можете сказать, стоит он или равномерно движется, так и, пребывая внутри лифта, вы не в состоянии определить, перемещается ли он с постоянным ускорением или находится в однородном гравитационном поле. Результатом этого понимания стал принцип эквивалентности.
Принцип эквивалентности и приведенный пример его проявления будут справедливы лишь в том случае, если инертная масса (входящая во второй закон Ньютона, который определяет, какое ускорение придает телу приложенная к нему сила) и гравитационная масса (входящая в закон тяготения Ньютона, который определяет величину гравитационного притяжения) суть одно и то же.
Использование Эйнштейном эквивалентности инертной и гравитационной масс для вывода принципа эквивалентности и, в конечном счете, всей общей теории относительности – это беспрецедентный в истории человеческой мысли пример упорного и последовательного развития логических заключений.
Замедление времени
Еще одно предсказание общей теории относительности состоит в том, что около массивных тел, таких как Земля, должен замедляться ход времени.
Теперь, познакомившись с принципом эквивалентности, мы можем проследить ход рассуждений Эйнштейна, выполнив другой мысленный эксперимент, который показывает, почему гравитация воздействует на время. Представьте себе ракету, летящую в космосе. Для удобства будем считать, что ее корпус настолько велик, что свету требуется целая секунда, чтобы пройти вдоль него сверху донизу. И наконец, предположим, что в ракете находятся два наблюдателя: один – наверху, у потолка, другой – внизу, на полу, и оба они снабжены одинаковыми часами, ведущими отсчет секунд.
Допустим, что верхний наблюдатель, дождавшись отсчета своих часов, немедленно посылает нижнему световой сигнал. При следующем отсчете он шлет второй сигнал. По нашим условиям понадобится одна секунда, чтобы каждый сигнал достиг нижнего наблюдателя. Поскольку верхний наблюдатель посылает два световых сигнала с интервалом в одну секунду, то и нижний наблюдатель зарегистрирует их с таким же интервалом.
Что изменится, если в этом эксперименте, вместо того чтобы свободно плыть в космосе, ракета будет стоять на Земле, испытывая действие гравитации? Согласно теории Ньютона гравитация никак не повлияет на положение дел: если наблюдатель наверху передаст сигналы с промежутком в секунду, то наблюдатель внизу получит их через тот же интервал. Но принцип эквивалентности предсказывает иное развитие событий. Какое именно, мы сможем понять, если в соответствии с принципом эквивалентности мысленно заменим действие гравитации постоянным ускорением. Это один из примеров того, как Эйнштейн использовал принцип эквивалентности при создании своей новой теории гравитации.
Итак, предположим, что наша ракета ускоряется. (Будем считать, что она ускоряется медленно, так что ее скорость не приближается к скорости света.) Поскольку корпус ракеты движется вверх, первому сигналу понадобится пройти меньшее расстояние, чем прежде (до начала ускорения), и он прибудет к нижнему наблюдателю раньше чем через секунду. Если бы ракета двигалась с постоянной скоростью, то и второй сигнал прибыл бы ровно настолько же раньше, так что интервал между двумя сигналами остался бы равным одной секунде. Но в момент отправки второго сигнала благодаря ускорению ракета движется быстрее, чем в момент отправки первого, так что второй сигнал пройдет меньшее расстояние, чем первый, и затратит еще меньше времени. Наблюдатель внизу, сверившись со своими часами, зафиксирует, что интервал между сигналами меньше одной секунды, и не согласится с верхним наблюдателем, который утверждает, что посылал сигналы точно через секунду.
В случае с ускоряющейся ракетой этот эффект, вероятно, не должен особенно удивлять. В конце концов, мы только что его объяснили! Но вспомните: принцип эквивалентности говорит, что то же самое имеет место, когда ракета покоится в гравитационном поле. Следовательно, да-же если ракета не ускоряется, а, например, стоит на стартовом столе на поверхности Земли, сигналы, посланные верхним наблюдателем с интервалом в секунду (согласно его часам), будут приходить к нижнему наблюдателю с меньшим интервалом (по его часам). Вот это действительно удивительно!
Гравитация изменяет течение времени. Подобно тому как специальная теория относительности говорит нам, что время идет по-разному для наблюдателей, движущихся друг относительно друга, общая теория относительности объявляет, что ход времени различен для наблюдателей, находящихся в разных гравитационных полях. Согласно общей теории относительности нижний наблюдатель регистрирует более короткий интервал между сигналами, потому что у поверхности Земли время течет медленнее, поскольку здесь сильнее гравитация. Чем сильнее гравитационное поле, тем больше этот эффект.
Наши биологические часы также реагируют на изменения хода времени. Если один из близнецов живет на вершине горы, а другой – у моря, первый будет стареть быстрее второго. В данном случае различие в возрастах будет ничтожным, но оно существенно увеличится, коль скоро один из близнецов отправится в долгое путешествие на космическом корабле, который разгоняется до скорости, близкой к световой. Когда странник возвратится, он будет намного моложе брата, оставшегося на Земле. Этот случай известен как парадокс близнецов, но парадоксом он является только для тех, кто держится за идею абсолютного времени. В теории относительности нет никакого уникального абсолютного времени – для каждого индивидуума имеется своя собственная мера времени, которая зависит от того, где он находится и как движется.
C появлением сверхточных навигационных систем, получающих сигналы от спутников, разность хода часов на различных высотах приобрела практическое значение. Если бы аппаратура игнорировала предсказания общей теории относительности, ошибка в определении местоположения могла бы достигать нескольких километров!
Появление общей теории относительности в корне изменило ситуацию. Пространство и время обрели статус динамических сущностей. Когда перемещаются тела или действуют силы, они вызывают искривление пространства и времени, а структура пространства-времени, в свою очередь, сказывается на движении тел и действии сил. Пространство и время не только влияют на все, что случается во Вселенной, но и сами от всего этого зависят.
Время возле черной дыры
Представим себе бесстрашного астронавта, который остается на поверхности коллапсирующей звезды во время катастрофического сжатия. В некоторый момент по его часам, скажем в 11:00, звезда сожмется до критического радиуса, за которым гравитационное поле усиливается настолько, что из него невозможно вырваться. Теперь предположим, что по инструкции астронавт должен каждую секунду по своим часам посылать сигнал космическому кораблю, который находится на орбите на некотором фиксированном расстоянии от центра звезды. Он начинает передавать сигналы в 10:59:58, то есть за две секунды до 11:00. Что зарегистрирует экипаж на борту космического судна?
Ранее, проделав мысленный эксперимент с передачей световых сигналов внутри ракеты, мы убедились, что гравитация замедляет время и чем она сильнее, тем значительнее эффект. Астронавт на поверхности звезды находится в более сильном гравитационном поле, чем его коллеги на орбите, поэтому одна секунда по его часам продлится дольше секунды по часам корабля. Поскольку астронавт вместе с поверхностью движется к центру звезды, действующее на него поле становится все сильнее и сильнее, так что интервалы между его сигналами, принятыми на борту космического корабля, постоянно удлиняются. Это растяжение времени будет очень незначительным до 10:59:59, так что для астронавтов на орбите интервал между сигналами, переданными в 10:59:58 и в 10:59:59, очень ненамного превысит секунду. Но сигнала, отправленного в 11:00, на корабле уже не дождутся.
Все, что произойдет на поверхности звезды между 10:59:59 и 11:00 по часам астронавта, растянется по часам космического корабля на бесконечный период времени. С приближением к 11:00 интервалы между прибытием на орбиту последовательных гребней и впадин испущенных звездой световых волн станут все длиннее; то же случится и с промежутками времени между сигналами астронавта. Поскольку частота излучения определяется числом гребней (или впадин), приходящих за секунду, на космическом корабле будет регистрироваться все более и более низкая частота излучения звезды. Свет звезды станет все больше краснеть и одновременно меркнуть. В конце концов звезда настолько потускнеет, что сделается невидимой для наблюдателей на космическом корабле; все, что останется, – черная дыра в пространстве. Однако действие тяготения звезды на космический корабль сохранится, и он продолжит обращение по орбите.
>> Относительность одновременности
§ 77 ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ
До начала XX в. никто не сомневался, что время абсолютно. Два события, одновременные для жителей Земли, одновременны для жителей любой космической цивилизации. Создание теории относительности привело к выводу о том, что это не так.
Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Существование предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения привычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом совершенно независимо от материи и ее движения , оказывается неправильным.
Если допустить возможность мгновенного распространения сигналов, то утверждение, что события в двух пространственно разделенных точках А и В произошли одновременно, будет иметь абсолютный смысл. Можно поместить в точки А и В часы и синхронизировать их с помощью мгновенных сигналов. Если такой сигнал отправлен из точки А, например, в 0 ч 45 мин и он в этот же момент времени по часам В пришел в точку В, то, значит, часы показывают одинаковое время, т. е. идут синхронно. Если же такого совпадения нет, то часы можно синхронизировать, подведя вперед те часы, которые показывают меньшее время в момент отправления сигнала.
Любые события, например два удара молнии, одновременны, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов.
Только располагая в точках А и В синхронизированные часы, можно судить о том, произошли ли два каких-либо события в этих точках одновременно или нет. Но как можно синхронизировать часы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, если скорость распространения сигналов не бесконечно велика?
Для синхронизации часов естественно использовать световые или вообще электромагнитные сигналы, так как скорость электромагнитных волн в вакууме является строго определенной, постоянной величиной.
Именно этот способ используют для проверки часов по радио. Сигналы времени позволяют синхронизировать ваши часы с точными эталонными часами. Зная расстояние от радиостанции до дома, можно вычислить поправку на запаздывание сигнала. Эта поправка, конечно, очень мала. В повседневной жизни она не играет сколько-нибудь заметной роли. Но при огромных космических расстояниях она может оказаться весьма существенной.
Рассмотрим подробнее простой метод синхронизации часов, не требующий никаких вычислений. Допустим, что космонавт хочет узнать, одинаково ли идут часы А и В, установленные на противоположных концах космического корабля. Для этого с помощью источника, неподвижного относительно корабля и расположенного в его середине, космонавт производит вспышку . Свет одновременно достигает тех и других часов. Если показания часов в этот момент одинаковы, то часы идут синхронно.
Но так будет лишь в системе отсчета К 1 , связанной с кораблем. В системе же отсчета К, относительно которой корабль движется, положение иное. Часы на носу корабля удаляются от того места, где произошла вспышка света источника (точка с координатой ОС), и, чтобы достигнуть часов А, свет должен преодолеть расстояние, больше половины длины корабля (рис. 9.2). Напротив, часы В на корме приближаются к месту вспышки, и путь (светового сигнала меньше половины длины корабля. (На рисунке 9.2, а координаты х и х 1 совпадают в момент вспышки; на рисунке 9.2, б показано положение систем отсчета в момент, когда свет достигает часов В.) Поэтому наблюдатель, находящийся в системе К, сделает вывод: сигналы достигают тех и других часов не одновременно.
Два любых события в точках А и В, одновременные в системе отсчета К1, неодновременны в системе К. Но согласно принципу относительности системы п К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем отсчета нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключению, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является, как мы видим, конечность скорости распространения сигналов.
Именно в относительности одновременности кроется решение парадокса со сферическими световыми сигналами, о котором шла речь в § 76. Свет одновременно достигает точек сферической поверхности с центром в точке О только с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системы К. С точки же зрения наблюдателя, связанного с системой К 1 , свет достигает этих точек в разные моменты времени.
Разумеется, справедливо и обратное: с точки зрения наблюдателя в системе отсчета К свет достигает точек поверхности сферы с центром в точке О 1 в различные моменты времени, а не одновременно, как это представляется наблюдателю в системе отсчета К 1 .
Отсюда следует вывод, что никакого парадокса в действительности нет.
Одновременность событий относительна. Представить себе это наглядно, «почувствовать», мы не в состоянии из-за того, что скорость света много больше тех скоростей, с которыми привыкли двигаться мы.
Какие события называются одновременными!
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиПространственно-временной интервал.
Величиной, характеризующей пространственно-временные отношения в релятивистской механике, и которая не зависит от преобразования систем отсчета, является так называемый пространственно-временной интервал . Пространственно-временной интервал (или просто интервал) между событиями 1 и 2 – это величина, определяемая формулой:
Пространственный интервал для какого-то конкретного объекта имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Он является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. Пространственно-временной интервал играет в релятивистской механике ту же роль, что и пространственный интервал в классической механике.
Расстояния между точками и время между событиями, взятые отдельно друг от друга, относительны; они меняются при переходе от одной системы отсчета к другой. Но совместно в составе интервала они образуют абсолютную пространственно-временную характеристику событий. В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени, продемонстрированная теорией относительности. Связь эта состоит в том, что при переходе между системами отсчета определенному изменению пространственного интервала между точками 1 и 2, в которых происходят некоторые события, соответствует не какое угодно, а определенное изменение времени между событиями в этих точках; и эти величины согласованы формулой интервала .
Формулы релятивисткой динамики.
Зависимость массы от скорости. Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:
M 0 - масса неподвижного тела, [кг]; m - масса того же тела, движущегося со скоростью υ, [кг];
с - скорость света в вакууме.
Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.
Импульс тела, движущегося.
Импульс тела, движется, [(кг · м)/c]; - сила, действующая на тело, [Н].
При υ=c получим, что со скоростью, равной скорости света может двигаться только тело, имеющее массу, равную нулю. Это говорит о предельном характере скорости света для материальных тел.
Закон взаимосвязи массы и энергии
ΔЕ - величина изменения энергии, [Дж], 1еВ = 1,6 · 10 -19 Дж;
Δm - величина изменения массы, [кг].
Гипотеза Эйнштейна
E 0 - энергия покоя, [Дж]; m 0 - масса покоя, [кг]; Е - полная энергия, [Дж]; m - масса, [кг].
Если изменяется энергия системы, то изменяется и ее масса: . Всякое изменение любой энергии (тела, частицы, системы тел) на сопровождается пропорциональным изменением массы на Δm.
Нельзя говорить, что при этом масса переходит в энергию. В действительности энергия переходит из одной формы (механической) в другие (электромагнитную и ядерную), но любое превращение энергии сопровождается превращением массы.
Основные положения молекулярно-кинетической теории.
Молекулярно-кинетической теорией называют учение о строении и свойствах вещества на основе представления о существовании атомов и молекул как наименьших частиц химических веществ.
В основе молекулярно-кинетической теории лежат три основных положения:
1.Все вещества – жидкие, твердые и газообразные – образованы из мельчайших частиц – молекул, которые сами состоят из атомов («элементарных молекул»). Молекулы химического вещества могут быть простыми и сложными, т.е. состоять из одного или нескольких атомов. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы. При определенных условиях молекулы и атомы могут приобретать дополнительный электрический заряд и превращаться в положительные или отрицательные ионы.
2.Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.
3.Частицы взаимодействуют друг с другом силами, имеющими электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало.
Модель идеального газа.
Для объяснения свойств вещества в газообразном состоянии используется модель идеального газа . В этой модели газ рассматривается в виде совокупности молекул - шариков очень малых размеров и почти не взаимодействующих между собой, т.е. при рассмотрении законов идеального газа пренебрегают собственным объемом молекул (по сравнению с объемом сосуда, в котором он находится) и силами их взаимного притяжения; при соударениях молекул друг с другом и со стенками сосуда действуют силы упругого отталкивания. Идеального газа в природе не существует - это упрощенная модель реального газа. Реальный газ становится близким по свойствам к идеальному, когда он достаточно нагрет и разрежен. Некоторые газы, например, воздух, кислород, азот, даже при обычных условиях (комнатная температуре и атмосферное давление) мало отличаются от идеального газа. Особенно близки по своим свойствам к идеальному газу гелий и водород.
Вывод уравнения Клаузиуса.
Для превращения жидкости в пар при постоянной температуре необходимо сообщить жидкости дополнительное количество теплоты q , а при обратном процессе конденсации пара эта теплота поглощается. Эта дополнительная теплота называется скрытой теплотой парообразования, в процессе испарения она расходуется на преодоление сил межмолекулярного притяжения в жидкости.
Давление насыщенного пара зависит от температуры. Действительно, при повышении температуры увеличивается число испаряющихся молекул, то есть, чтобы пар остался равновесным, должно увеличиться и число влетающих из пара в жидкость молекул, а для этого должны увеличиться плотность и давление пара.
Для получения зависимости давления насыщенного пара от температуры рассмотрим замкнутый процесс – цикл (рис. 2).
Пусть при какой-то температуре Т
жидкость полностью превращается в пар, оставаясь все время в равновесии с ним. Затем полученный пар охлаждается адиабатически до температуры
Т – dТ
, после чего пар снова превращается в жидкость при этой температуре, причем пар опять находится в состоянии насыщения. Полученную жидкость нагревают адиабатически до начальной температуры Т
.
Таким образом, наш замкнутый процесс представляет из себя равновесный цикл Карно, состоящий из двух изотерм при температурах Т и Т – dТ и двух адиабат. Коэффициент полезного действия цикла Карно равен
,
где в этой формуле Т
1 – температура нагревателя, а Т
2 –
температура холодильника. В нашем случае – это Т
и (Т – dT
). Таким образом, к. п. д. цикла 
.
С другой стороны, к. п. д. любого цикла равен отношению работы, совершенной рабочим телом за цикл, к полученному количеству теплоты. Работа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей его в переменных давление – объем. Таким образом, работа равна dp (V 2 – V 1), где dp – изменение давления насыщенного пара при изменении температуры на величину dT , а V 1 и V 2 – соответственно объем данного количества вещества в жидком и газообразном состоянии. За цикл вещество получило количество теплоты q 12 , равное скрытой теплоте испарения данного количества вещества. Таким образом, к. п. д. цикла
.
Приравнивая эти выражения для к. п. д, получаем:
.
Эта формула носит название уравнения Клапейрона–Клаузиуса. Оно связывает изменения температуры и давления при переходе из первого состояния (жидкость) во второе состояние (газ). При этом скрытая теплота перехода q 12 положительна. Отметим, что если переход происходит из газа (сост. 1) в жидкость (сост.2), то скрытая теплота q 12 отрицательна.
Изопроцессы.
Изопроце́ссы - термодинамические процессы, во время которых количество вещества и ещё одна из физических величин - параметров состояния: давление,объём, температура или энтропия - остаются неизменными. Так, неизменному давлению соответствует изобарный процесс, объёму - изохорный, температуре -изотермический, энтропии -изоэнтропийный (например, обратимый адиабатический процесс). Линии, изображающие данные процессы на какой-либо термодинамической диаграмме, называются изобара, изохора, изотерма и адиабата соответственно. Изопроцессы являются частными случаями политропного процесса.
Изобарный процесс - процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении ().
Изохорный процесс - процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме (). Для идеальных газов изохорический процесс описывается законом Шарля: для данной массы газа при постоянном объёме, давление прямо пропорционально температуре.
Изотермический процесс - процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре (). Изотермический процесс в идеальных газах описывается законом Бойля- Мариотта: при постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, произведение объёма газа на его давление остаётся постоянным.
Распределение Больцмана.
Распределение Больцмана – распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия было открыто в 1868–1871 гг. австрийским физиком Л. Больцманом.
В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты:
 |
где n – концентрация молекул на высоте h, n 0 – концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m – масса частиц, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана, T – температура.
Работа газа.
Газообразные вещества способны значительно изменять свой объем. При этом силы давления совершают определенную механическую работу. Например, если газ подвергается сжатию в цилиндре под поршнем, то внешние силы совершают над газом некоторую положительную работу A ". В то же время силы давления, действующие со стороны газа на поршень, совершают работу A = –A ". Если объем газа изменился на малую величину V , то газ совершает работу pS Δx = p ΔV , где p – давление газа, S – площадь поршня, Δx – его перемещение. При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна. В общем случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа газа выражается формулой:
I начало термодинамики.
Сумма кинетической энергии теплового движения частиц вещества и потенциальной энергии их взаимодействия называется внутренней энергией тела: U = Ek + Еp, Ek - средняя кинетическая энергия всех частиц, а Е р - потенциальная энергия взаимодействия частиц. Известно, что Ek зависит от температуры тела, а Е р - от его объема. В случае идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул отсутствует и внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий хаотического теплового движения всех молекул газа. В результате для одноатомного газа имеем: U = (3/2)νRT = (3/2)PV
Изменение внутренней энергии тела (системы тел) определяется первым законом (началом) термодинамики . Изменение внутренней энергии системы Δ U при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил А’ и количества теплоты Q, переданного системе: ΔU = А’ + Q.
По-другому это закон можно формулировать так: для того чтобы изменит внутреннюю энергию тела (повысить температуру тела), нужно либо совершить над ним работу, либо передать какое-либо количество теплоты ему. Например, если мы хотим согреть руки, то можно погреть их у батареи, либо потереть друг об друга (совершить над ними работу).
Работа самой системы над внешними телами А = -А′, т.е. равна работе внешних сил над системой со знаком минус. Поэтому Q = ΔU + А, т. е. количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на работу системы над внешними силами (обе формулировки равноправны).
Первый закон термодинамики - это обобщение закона сохранения и превращения энергии для термодинамической системы. Из него следует, что в изолированной системе внутренняя энергия сохраняется при любых процессах (поскольку для изолированной системы А’ = 0 и Q = 0 , значит, ΔU = 0,
т. е. U = const).
Теорема Карно (с выводом).
Из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей T 1 и холодильников T 2 , наибольшим КПД обладают обратимые машины. При этом КПД обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников, равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела, а определяются только температурами нагревателя и холодильника.
Для построения рабочего цикла использует обратимые процессы. Например, цикл Карно состоит из двух изотерм (1–2, 2-4) и двух адиабат (2-3, 4–1), в которых теплота и изменение внутренней энергии полностью превращаются в работу (рис. 19). 
Рис. 19. Цикл Карно
Общее изменение энтропии в цикле: ΔS=ΔS 12 +ΔS 23 +ΔS 34 +ΔS 41.
Так как мы рассматриваем только обратимые процессы, общее изменение энтропии ΔS=0.
Последовательные термодинамические процессы в цикле Карно:
Общее изменение энтропии в равновесном цикле: ΔS=(|Q 1 |/T 1)+0-(|Q 2 |/T 2)+0=0⇒T 2 /T 1 =|Q 2 |/|Q 1 |,
поэтому: η max =1-(T 2 /T 1) - максимальный КПД теплового двигателя.
Следствия:
1. КПД цикла Карно не зависит от рода рабочего тела.
2. КПД определяется только разницей температур нагревателя и холодильника.
3. КПД не может быть 100% даже у идеальной тепловой машины, так как при этом температура холодильника должна быть T 2 =0, что запрещено законами квантовой механики и третьим законом термодинамики.
4. Невозможно создать вечный двигатель второго рода, работающий в тепловом равновесии без перепада температур, т.е. при T 2 =T 1 , так как в этом случае η max =0.
II начало термодинамики.
Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить множество процессов, не противоречащих первому началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. Появление второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов.
Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса, второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.
Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрастать, оставаться постоянной). Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в замкнутой системе только при обратимых процессах. При необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда возрастает.
Формула Больцмана (2.134) позволяет объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систему.
Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:
1) по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;
2) по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.
Можно довольно просто доказать эквивалентность формулировок Кельвина и Клаузиуса. Кроме того, показано, что если в замкнутой системе провести воображаемый процесс, противоречащий второму началу термодинамики в формулировке Клаузиуса, то он сопровождается уменьшением энтропии. Это же доказывает эквивалентность формулировки Клаузиуса (а следовательно, и Кельвина) и статистической формулировки, согласно которой энтропия замкнутой системы не может убывать.
В середине XIX в. возникла проблема так называемой тепловой смерти вселенной. Рассматривая Вселенную как замкнутую систему к применяя к ней второе начало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит полное тепловое равновесие и все процессы во Вселенной прекратятся – наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в том, что бессмысленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, например к такой безграничной в бесконечно развивающейся системе, как Вселенная.
Энтропия по Клаузиусу.
К макроскопическим параметрам термодинамической системы относятся давление, объём и температура. Однако существует ещё одна важная физическая величина, которую используют для описания состояний и процессов в термодинамических системах. Её называют энтропией.
Впервые это понятие ввёл в 1865 г. немецкий физик Рудольф Клаузиус. Энтропией он назвал функцию состояния термодинамической системы, определяющую меру необратимого рассеивания энергии.
Что же такое энтропия? Прежде чем ответить на этот вопрос, познакомимся с понятием «приведенной теплоты». Любой термодинамический процесс, проходящий в системе, состоит из какого-то количества переходов системы из одного состояния в другое. Приведенной теплотой называют отношение количества теплоты в изотермическом процессе к температуре, при которой происходит передача этой теплоты.
Q" = Q/T .
Для любого незамкнутого термодинамического процесса существует такая функция системы, изменение которой при переходе из одного состояния в другое равно сумме приведенных теплот. Этой функции Клаузиус дал название «энтропия » и обозначил её буквой S , а отношение общего количества теплоты ∆Q к величине абсолютной температурыТ назвал изменением энтропии .
Обратим внимание на то, что формула Клаузиуса определяет не само значение энтропии, а только её изменение.
Что же представляет собой «необратимое рассевание энергии» в термодинамике?
Одна из формулировок второго закона термодинамики выглядит следующим образом: "Невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение в работу всего количества теплоты, полученного системой ". То есть часть теплоты превращается в работу, а какая-то её часть рассеивается. Этот процесс необратим. В дальнейшем рассеиваемая энергия уже не может совершать работу. Например, в реальном тепловом двигателе рабочему телу передаётся не вся теплота. Часть её рассеивается во внешнюю среду, нагревая её.
В идеальной тепловой машине, работающей по циклу Карно, сумма всех приведенных теплот равна нулю. Это утверждение справедливо и для любого квазистатического (обратимого) цикла. И неважно, из какого количества переходов из одного состояния в другое состоит такой процесс.
Если разбить произвольный термодинамический процесс на участки бесконечно малой величины, то приведенная теплота на каждом таком участке будет равна δQ/T . Полный дифференциал энтропии dS = δQ/T .
Энтропию называют мерой способности теплоты необратимо рассеиваться. Её изменение показывает, какое количество энергии беспорядочно рассеивается в окружающую среду в виде теплоты.
В замкнутой изолированной системе, не обменивающейся теплом с окружающей средой, при обратимых процессах энтропия не изменяется. Это означает, что дифференциал dS = 0 . В реальных и необратимых процессах передача тепла происходит от тёплого тела к холодному. В таких процессах энтропия всегда увеличивается (dS ˃ 0 ). Следовательно, она указывает направление протекания термодинамического процесса.
Формула Клаузиуса, записанная в виде dS = δQ/T , справедлива лишь для квазистатических процессов. Это идеализированные процессы, являющиеся чередой состояний равновесия, следующих непрерывно друг за другом. Их ввели в термодинамику для того, чтобы упростить исследования реальных термодинамических процессов. Считается, что в любой момент времени квазистатическая система находится в состоянии термодинамического равновесия. Такой процесс называют также квазиравновесным.
Конечно, в природе таких процессов не существует. Ведь любое изменение в системе нарушает её равновесное состояние. В ней начинают происходить различные переходные процессы и процессы релаксации, стремящиеся вернуть систему в состояние равновесия. Но термодинамические процессы, протекающие достаточно медленно, вполне могут рассматриваться как квазистатические.
На практике существует множество термодинамических задач, для решения которых требуется создание сложной аппаратуры, создание давления в несколько сот тысяч атмосфер, поддержание очень высокой температуры в течение длительного времени. А квазистатические процессы позволяют рассчитать энтропию для таких реальных процессов, предсказать, как может проходить тот или иной процесс, реализовать который на практике очень сложно.
Диффузия.
Диффузия переводится с латыни, как распространение или взаимодействие. Суть диффузии заключается в проникновении одних молекул вещества в другие. В процессе перемешивания происходит выравнивание концентраций обоих веществ по занимаемому ими объему. Вещество из места с большей концентрацией переходит в место с меньшей концентрацией, за счет этого и происходит выравнивание концентраций.
Факторы, влияющие на диффузию . Диффузия зависит от температуры. Скорость диффузии будет увеличиваться с увеличением температуры, потому что при повышении температуры будет увеличиваться скорость движения молекул, то есть молекулы будут быстрее перемешиваться. Агрегатное состояние вещества тоже будет влиять на то, от чего зависит диффузия, а именно на скорость диффузии. Тепловая диффузия зависит от вида молекул. Например, если предмет металлический, то тепловая диффузия протекает быстрее, в отличие от того, если бы этот предмет был сделан из синтетического материала. Очень медленно протекает диффузия между твердыми материалами. Диффузия имеет огромное значение в природе и в жизни человека.
Примеры диффузии . Чтобы лучше разобраться, что такое диффузия, рассмотрим ее на примерах. Молекулы веществ, не зависимо от их агрегатного состояния постоянно находятся в движении. Следовательно, диффузия происходит в газах, может происходить в жидкостях, а также в твердых телах. Диффузией является перемешивание газов. В простейшем случае, это распространение запахов. Если в воду поместить какой-нибудь краситель, то спустя время жидкость равномерно окрасится. Если два металла соприкасаются, то на границе соприкосновения происходит перемешивание их молекул.
Итак, диффузией является перемешивание молекул вещества при их беспорядочном тепловом движении.
Теплопроводность.
Теплопроводность- способность материальных тел к переносу энергии (теплообмену) от более нагретых частей тела к менее нагретым телам, осуществляемому хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества.
Теплопроводностью называется также количественная характеристика способности тела проводить тепло. В сравнении тепловых цепей с электрическими это аналогпроводимости.
Количественно способность вещества проводить тепло характеризуется коэффициентом теплопроводности. Эта характеристика равна количеству теплоты, проходящему через однородный образец материала единичной длины и единичной площади за единицу времени при единичной разнице температур (1 К). В системе СИ единицей измерения коэффициента теплопроводности является Вт/(м·K).
Внутреннее трение.
В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте (рис. 8.1).
Рис. 8.1.
Течение вязкой жидкости между пластинами
Поместим слой жидкости между двумя параллельными твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью v 1 , то c такой же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой, заставляя его двигаться со скоростью v 2 , причем v 2 < v 1 . Каждый слой (выделим n слоев) передает движение нижележащему слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший» к «нижней» пластине, остается неподвижным.
Слои взаимодействуют друг с другом: n-й слой ускоряет (п+1)-й слой, но замедляет (п-1)-й слой. Таким образом, наблюдается изменение скорости течения жидкости в направлении, перпендикулярном поверхности слоя (ось х). Такое изменение характеризуют производной dv/dx, которую называют градиентом скорости.
Силы, действующие между слоями и направленные по касательной к поверхности слоев, называются силами внутреннего трения или вязкости. Эти силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S и градиенту скорости. Для многих жидкостей силы внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона:
Коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью (размерность η в СИ: Пас).
Капиллярные явления.
Если поместить узкую трубку(капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или не смачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости -мениск - имеет вогнутую форму, если не смачивает - выпуклую (рис. 101).
Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, таккак под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h , при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление ) rgh уравновешивается избыточным давлением Dp , т. е.
где r - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения.
Если r - радиус капилляра, q - краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2s cosq )/r = rgh, откуда
(69.1)
В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а не смачивающая - опускается, из формулы (69.1) при q
2 (cos q >0) получим положительные значения h , а при q>p/ 2 (cosq <0) - отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (q =0) вода (r =1000 кг/м 3 , s = 0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10мкм поднимается на высоту h »3 м.
Капиллярные явления играют большую роль в природа и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.
Относительность одновременности событий.
До начала XX века никто не сомневался, что время абсолютно. Два события, одновременные для жителей Земли, одновременны для жителей любой космической цивилизации. Создание теории относительности показало, что это не так.
Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Существование предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения обычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом, совершенно независимо от материи и ее движения, оказывается неправильным.
Если допустить мгновенное распространение сигналов, то утверждение, что события в двух пространственно разделенных точках А и В произошли одновременно, будет иметь абсолютный смысл. Можно поместить в точки А и В часы и синхронизировать их с помощью мгновенных сигналив. Если такой сигнал отправлен из А , например, в 0 ч 45 мин и он в этот же момент времени по часам В пришел в точку В , то, значит, часы показывают одинаковое время, т. е. идут синхронно. Если же такого совпадения нет, то часы можно синхронизировать, подведя вперед те часы, которые показывают меньшее время в момент отправления сигнала.
Любые события, например два удара молнии, одновременны, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов.
Только располагая в точках А и В синхронизированными часами, можно судить о том, произошли ли два каких-либо события в этих точках одновременно или нет. Для синхронизации часов надо прибегнуть к световым или вообще электромагнитным сигналам, так как скорость электромагнитных волн в вакууме является строго определенной, постоянной величиной.
Именно этот способ используют для проверки часов по радио. Сигналы времени позволяют синхронизировать ваши часы с точными эталонными часами. Зная расстояние от радиостанции до дома, можно вычислить поправку на запаздывание сигнала. Эта поправка, конечно, очень невелика. В повседневной жизни она не играет сколько-нибудь заметной роли. Но при огромных космических расстояниях она может оказаться весьма существенной.
Допустим, что космонавт хочет узнать, одинаково ли идут часы А и В , установленные на противоположных концах космического корабля (рис. 40). Для этого с помощью источника, неподвижного относительно корабля и расположенного в его середине, космонавт и производит вспышку света. Свет одновременно достигает обоих часов. Если показания часов в этот момент одинаковы, то часы идут синхронно.
 |
Но так будет лишь относительно системы отсчета К 1 , связанной с кораблем. В системе же отсчета К , относительно которой корабль движется, положение иное. Часы на носу корабля удаляются от того места, где произошла вспышка света источника (точка с координатой ОС ), и чтобы достигнуть часов А , свет должен преодолеть расстояние, большее половины длины корабля (рис. 41, а, 6). Напротив, часы В на корме приближаются к месту вспышки, и путь светового сигнала меньше половины длины корабля. Поэтому наблюдатель в системе К придет к выводу, что сигналы достигают обоих часов не одновременно.
Два любых события в точках А и В , одновременные в системе К 1 не одновременны в системе К . Но в силу принципа относительности системы К 1 и К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключению, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является, как мы видим, конечность скорости распространения сигналов
Именно в относительности одновременности кроется решение парадокса со сферическими световыми сигналами. Свет одновременно достигает точек сферической поверхности с центром в точке О только с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системы К . С точки зрения же наблюдателя, связанного с системой K 1 , свет достигает этих точек в разные моменты времени.
Относительность одновременности событий
В механике Ньютона одновременность двух событий абсолютна и не зависит от системы отсчёта. Это значит, что если два события происходят в системе Kв моменты времениtиt 1 , а в системеK’ соответственно в моменты времениt’ иt’ 1 , то посколькуt=t’, промежуток времени между двумя событиями одинаков в обеих системах отсчёта
В отличие от классической механики, в специальной теории относительности одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства, относительна: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта, не одновременны в других инерциальных системах, движущихся относительно первой.
Понятие одновременности пространственно разделенных событий относительно. Из постулатов теории относительности и существования конечной скоростираспространения сигналов следует, что в разныхинерциальных системах отсчёта время протекает по-разному.
Постулаты Эйнштейна
(принцип относительности)
1й постулат . Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета(уравнения, выражающие законы природы инвариантны по отношению к преобразованию координат и времени от одной системы отсчета к другой)
(обобщение механики относительности Галилея на всю природу)
2й постулат . Свет распространяется со скоростью с = с onst , не зависит от состояния движения излучающего тела.
Скорость света во всех системах отсчета постоянна.
По Галилею:
x / = x + vt ; y = y / ; z = z / . t = t / .
Отсчет времени в обеих системах с момента, когда начала систем О и О / совпадали. Пусть в момент t = t / =0 из совпадающих начал послан световой сигнал по всем направлениям. К моменту t сигнал в К достигнет точек, отстоящих от О на растоянии ct.
Координаты радиуса-вектора в трехмерной системе координат
r 2 = x 2 + y 2 + z 2
Если при t = 0 запускаем световой сигнал со скоростью света c; ct – расстояние, которое пройдет свет в системе k и окажется в точки с координатами r.
Квадрат радиуса будет иметь вид
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ; координаты точек удовлетворяют уравнению
Аналогично в системе k / :
(x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 = c 2 (t /) 2
Уравнения имеют одинаковый вид в обеих системах отсчета
c 2 t 2 - x 2 + y 2 + z 2 = 0
c 2 (t /) 2 - (x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 =0
если подставить преобразования Галилея в эти уравнения, то убеждаемся, что эти преобразования не совместимы с принципом постоянства скорости света.
Уравнения Ньютона удовлетворяют преобразованиям Галилея(инвариант)
Уравнения Максвелла не удовлетворяют преобразованиям Галилея. Эйнштейн определил преобразования релятивистской механики на основе постулатов.
Интервал
Событие определяется местом(координаты и время)
Если ввести воображаемое четырехмерное пространство(четырех-пространство) с осями ct,x,y,z, то событие характеризуется - мировой точкой
А линия, описывающая положение точки – мировая линия.
x 0 2 – x 1 2 – x 2 2 – x 3 2 = 0 - четырехмерие.
световой конус будущего
область абсолютно удаленных от А событий
(за пределами конуса
световой конус прошлого
На рис можно отметить конус будущего(вверху) и конус прошлого
Линия, которую описывает частица, называется мировой.
А-событие присшедше раньше В. Событие А является причиной состояния В, а состояние В является следствием состояния А. между этими событиями ---- причинно-следственная связь.
Событие – следствие – это путь в будущее
Событие –причина – это путь в прошлое
Пространство-время – это пространство Минковского.
Верхний конус называется конусом будущего, нижний – прошлого.
Пусть событие – Если свет в момент t 1 из точки с координатами (x 1 , y 1 , z 1), а в момент t 2 частица имеет координаты (x 2 , y 2 , z 2), то в системе между координатами и временем имеем соотношение
c 2 (t 2 - t 1) 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2
расстояние(интервал) между точками
l 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 .
по аналогии можно говорить об интервале в 4-пространстве
(s 12) 2 = c 2 (t 2 - t 1) 2 - (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 - 4–интервал - четырех-интервал
Квадрат интервала
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (инвариант).
Интервал в любой СО является инвариантом.
Для событий испускания света из точки 1 и прихода в т2 интервал равен нулю
ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2 =0
Вследствии с=const любой системе отсчета интервал справедлив для обеих К и К" систем отсчета. Если ds = 0, то и ds" = 0. Поэтому между интервалами в разных системах отсчета имеется связь
В системах k и k / интервалы связаны неким линейным соотношением.
Или наоборот
Перемножая
dsds / = ds / ds; откуда
Поскольку знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков, то
Инвариантны, что и требоалось доказать.
Для всех систем отсчета –по аналогии с расстояниями между точками в обычном пространстве. Это логическое следствие из постулатов Эйнштейна.
Используя инвариантность интервала, запишем
ds 2 = c 2 d t 2 - dl 2 = c 2 d(t /) 2 – d(l /) 2
Пусть ds 2 > 0, т.е. интерваль вещественный. Найдем систему К" где dl / = 0. в этой системе события, разделенные интервалом ds, произойдут в одной точке. Промежуток времени в системе К" dt / = ds/c.
Вещественные интервалы --временеподобные
ds 2 > 0 - временеподобный интервал.
Если ds 2 < 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К" , в которой d t / = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К"
dl" = is - расстояние между событиями.
Мнимые интервалы называются пространственноподобными .
ds 2 < 0 – пространственноподобный интервал.S 2 < 0
События, происходящие с одной частицей, разделены только временноподобным интервалом.
Поскольку
V част < C
и пройденое расстояние l < ct, отсюда ds 2 > 0.
Пространственноподобными интервалами могут быть разделены причинно не связанные события.
Частица движется равномерно со скоростью v относительно системы К(лабораторная система). Пусть с этой частицей происходят 2 события разделенные временем в системе К dt. Введем систему К" , относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассматриваемыми событиями будет
Где dt" – измерен по часам в системе К", движущейся со скоростью v относительно К вместе с частицей. Время по часам, движущимся вместе с телом – это собственное время –τ. Для этого времени можно записать
Поскольку ds – инвариант, а с=const, то d - инвариант.
Подставляя в выражение для собственного времени ds, выраженный через координаты и время системы К
d c 2 d t 2 - dl 2 / c 2 = (c 2 - dl 2 / d t 2) d t / c 2
Поскольку производная пути по времени представляет собой скорость
Получим для квадрата времени
d = (1- V 2 /c 2)dt 2
d= dt √(1- V 2 /c 2)
Собственное время частицы всегда меньше промежутка времени в неподвижной(лабораторной) системе.(часы идут медленнее в движущейся системе)
Для неравномерного движения промежутки времени получаются интегрированием.
Связь времен в системах отсчета может быть оценена путем мысленного эксперимента. Представим, что в одной из движущихся систем отсчета послан сигнал. Относительно этой системы сигнал движется как в неподвижной. В это же время наблюдатель, находящийся в исходной системе отсчета будет наблюдать этот сигнал, движущимся со скоростью света и достигающим цели за время Т. По теореме Пифагора при условии одновременности фиксации сигнала в точке назначения имеем соотношение между временами.
c 2 T 2 = V 2 T 2 + c 2
Откуда для собственного времени имеем связь аналогичную рассмотренной выше. В движущейся системе время течет медленнее.
c 2 T 2 - V 2 T 2 / c 2 = T 2 (1 - V 2 /c 2)
Если же скорость изменяется (V = var):
t 1 ∫ t 2 (1 - V 2 /c 2) 1/2 dt
Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве
2. Многомерный вектор
Квадрат радиус-вектора определяется как
x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = x i 2 (1)
Если ввести тензор вида
g ij = ik = - метрический тензор. (2)
то(1) записываем в виде
для i , k =1,n
g ik x i x k (3)
В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором
Лекция №8
псевдоэвклидовым
Индексы пробегают значения μ, ν = 0,1,2,3
Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой)
(x o ,x 1, x 2 ,x 3) – 4-прстранство
Обозначения
x o = ct ; x 1 = x; x 2 = y; x 3 = z
действие матричного оператора на вектор- в результате вектор
-
вектор четырехмерного пространства
Выражение для результирующего вектора имеет вид
r = ct – x – y – z
алгебраическая запись действия матричного оператора
x=
/
= ct /
- x 1 /
- x 2 /
- x 3 /
Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования.
Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве
-
инвариант
-
матрица прямого преобразования(обратное-матрица
с чертой)
-
прямое преобразование (8)
-
обратное преобразование
Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора (интервала) запишем
подставим
из(8)
(11)
(12)
после преобразований получим условие для линейного преобразования
(13)
Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены
(13) препишем в упрощенной форме
,1,2,3 (14)
например при , 1- при , при =1, =2
(15)
1,2 – следствия из условия неинвариантности
Связь между прямым и обратным преобразованием:
;
-прямое преобразование (17)
-обратное
преобразование
где
=1
коэффициент - символ Кронекера - единичная
матрица
Компоненту можно представить в виде
Тогда можно записать
,1,2,3 (20)
Система справедлива(удовлетворяется) если положить
например, при = уравнение(20) выглядит в виде
(22)
С учетом (21)
a 00 a 00 -∑ 1 3 a i 0 a i 0 =1 (23)
что аналогично (15)
При =1, 2
∑ 1 3 a 1ρ a ρ 2 =0 (24)
Откуда с учетом (21)
A 10 a 02 +∑ 1 3 a i 1 a i 2 =0 - что похоже на (16)
Условие (21) можно записать в виде
При =0, 0
a" 00 = a 00 (g 00 =g 00 =1)
При =0, i ≠0 как и при =i≠0, 0
будет выполняться
g μμ =-g νν , т.е. -1
А при = i ≠ 0, ≠ 0
Оба множителя равны -1
g μμ =g νν = -1
(что в (21))
В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x 2 =y, x 3 =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x)
Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид
Обратное преобразование имеет вид, аналогичный
В системах отсчета K и K" матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p->0 матрицы совпадут
lim p->0 a 00 =lim p->0 a 11 =1
lim p->0 a 01 =lim p->0 a 10 =0
Записав(14) для =0, 0
a 2 00 - a 2 10 =1 (28)
Для обратного преобразования
a" 2 00 - a" 2 10 =1
С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21)
a 2 00 - a 2 01 =1 (30)
Из (28) и (30) следует
a 2 10 = a 2 01
и извлекая корень
Теперь(14) при =0, 1 получим
a 00 a 01 - a 10 a 11 =0,
откуда при
2. a 00 = -a 11 , если a 01 = a 10
a 00 = a 11
a 10 = - a 01
Учитывая, что справедливы соотношения
lim p ->0 a 00 =lim p ->0 a 11 =1
то справедлив первый вариант. Тогда следует считать
a 00 = a 11 =γ 0
a 01 = a 10 =γ 1
Тогда (26) перепишем в виде
Отсюда следует:
,
Поскольку
,
только один коэффициент является независимым.
Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)
a" 00 = a 00 =γ 0
a" 01 = -a 10 =γ 1
То есть координата x меняются; y,z – const
Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде
Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца
Интервал инвариантен при геометрических преобразованиях в 4-пространстве, т.е. подобен модулю вектора в евклидовом пространстве
x o = ct ; x 1 = x; x 2 = y; x 3 = z
Квадрат интервала
ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (инвариантв евклидовом пространстве) – модуль разности векторов точек.
x o ; x 1 ; x 2 ; x 3 –координаты –компоненты 4-радиуса-вектора мировой точки.
пространство, где события изображаются мировой точкой с такими координатами, обладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тензором
Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым
-
метрика «псевдоевклидового»
пространства (4)
Преобразование компонент 4-радиус-вектора осуществляется по формуле
где матрица преобразования
,
причем
Поскольку
,
только один коэффициент является
независимым.
Рассмотрим системы отсчета обеих К и К" систем отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью v.
Преобразование нулевого вектора
Для преобразованных величин получаем
для нулевой координаты x" =0, x=vt:
из
получаем, что
;
;
;
-
коэффициент преобразования Лоренца
;
;
Подстановка в формулу преобразования координат 4-вектора дает
;
;
где
Формулы обратного преобразования получаются аналогично с учетом, того что перед коэффициентом стоит знак плюс.
Переходя к обычным обозначениям для прямого преобразования
;
;
y /
= y;
z /
= z;
Обратные преобразования реальных координат
;
;
Преобразования Лоренца оставляют интервал инвариантным(проверить!!!) Сокращение размеров и вариация объема
;
Все эти преобразования осуществляются при изменении одной координаты х.
Преобразование скорости
дифференцируя формулу прямогопреобразования
;
-
преобразование скоростей
;
Обратные преобразования получаются аналогично
Геометрический смысл преобразования Лоренца
Это линейное преобразование напоминает преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Это преобразование, характеризующее поворот плоскости xy на угол φ в обычном пространстве выглядит в виде
При таком, сравнении получим, что
Очевидно
не существует действительного
угла
,
который удовлетворял бы этим соотношениям.
Однако, как легко видеть, существует
чистомнимый
угол
,
для которого приведенные соотношения
будут выполняться. Действительно,
Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как
видим, значение мнимого угла
,
определяется значением отношения
скоростей
.
Введем теперьдействительную
временную координату
,
для которой
, или
Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это формулы так называемого гиперболического поворота
Преобразование динамики (уравнения Ньютона) для четырехмерного пространства:
;
i
= 1,2,3 – для евклидового пространства
В случае релятивистской механики уравнения движения записываются для вектора скорости, полученного после преобразований с учетом инвариантности
Четырехмерное обобщение имеет вид
где
= 0,1,2,3 – релятивистская динамика
Здесь время является собственным временем наблюдателя. Масса-инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы. Аналог силы-сила Минковского должна быть определена т.о., чтобы при малых скоростях она переходила в обычное уравнение движения.
В нерелятивистской механике dl, dt являются inv поэтому v=dr/dt – скорость, а ускорение a=dv/dt
Релятивистские dl и dt ≠ inv
inv является интервал ds, связанный с dl и dt. При этом
ds 2 = c 2 dt 2 -dl 2
Основная задача найти 4-х мерные аналоги 3-вектора –четырехмерную скорость частицы v и ускорение a.
Родственное dt - собственное время dτ =ds/c→ inv
;
-свойства 4-вектора для четырехмерной
скорости частицы
Для ускорения имеем формулу
Нулевая компонента скорости
;
Остальные компоненты скорости
Векторная запись имеет вид
При скоростях много меньших скорости света получаем обычную скорость.
закон Ньютона для нулевой компоненты запишем
Для остальных компонент
,
где i
= 1,2,3 – сила Минковского
Сила Минковского связана с Ньютоновской силой соотношением
Иначе закон движения можно записать
Для квадрата 4-вектора справедливо соотношение
Для определения временной компоненты силы Минковского умножим уравнение движения на скорость.
Домножая уравнение движения на вектор скорости
Просуммируем
,
то есть вектор скорости перпендикулярен
направлению. Здесь учтено
,
Подставляем выражение для скорости и силы Минковского и, расписывая сумму, получим
Тогда вектор силы Минковского будет представлен компонентами
Скалярное произведение силы на скорость- есть работа совершенная частицей в единицу времени, равная изменению энергии частицы
Интегрируя данное уравнение, получим
,
где const
= 0;
Константу определил Эйнштейн и экспериментально подтвердил
Для снеподвижного тела справедливо выражение для энергии
E=mc 2 – уравнение Эйнштейна.
Это уравнение выражает энергию покоя частицы.
Покоящийся электрон и позитрон испускают два γ-кванта с суммарной энергией равной сумме энергий покоя электрона и позитрона.
Импульс и энергия частицы
Представление4- импульса:
;
Подставим выражение для скорости
;
;
Сопоставим выражения для энергии и для нулевой компоненты импульса и можем записать
;
Тогда компонентное предсталение 4-вектора импульса будет иметь вид
Если определить квадрат импульса, то
С другой стороны,
Здесь квадрат 4-импульса как и квадрат любого вектора является инвариантом
Разность между полной энергией и энергией покоя равна кинетической энергии частицы
при
малых
разложение в ряд Тейлора
Тогда приближенное выражение для кинетической энергии запишем
Что совпадает с классической теорией без релятивизма
Полная энергия выражается через импульс функцией Гамильтона
Гамильтониан для свободной частицы
H=√E 2 = E=c√(p 2 + m 2 c 2)
Для частицы во внешнем поле гамильтониан имеет вид
H=c√(p 2 + m 2 c 2) + U
где U – потенциальная энергия частицы в поле
Постулаты специальной теории относительности (СТО) были сформулированы Альбертом Эйнштейном в 1905 г. Эти положения принимаются без доказательств и являются фундаментальными утверждениями. Их применение позволило Эйнштейну объяснить явления, в которых частицы двигаются со скоростями, близкими к скорости света.
Первый постулат называется принципом относительности Эйнштейна: «Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета». Напомним, что инерциальной системой отсчета будет считаться такая система, которая движется равномерно и прямолинейно. Иными словами, эта система не ускоряется, не тормозится и не движется по окружности. В такой системе невозможно с помощью эксперимента проверить состояние самой системы - движется она или находится в состоянии покоя. Формулировка первого постулата вытекает из теоретического объяснения результатов опыта Май-кельсона-Морли. (Любопытный студент может задаться вопросом о непрямолинейности движения Земли по орбите, но Земля уклоняется на 3 мм, пройдя путь в 300 км, и таким искривлением можно пренебречь.) Вводя первый постулат, Эйнштейн расширяет границы применимости принципа относительности Галилея.
Второй постулат носит название принципа постоянства скорости света. «Свет в пустоте всегда распространяется с определенной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела».
Пусть свет всегда в вакууме распространяется с постоянной скоростью, но тогда при переходе к инерциальной системе придется зафиксировать изменение скорости света при движении в сторону его источника или удаляясь от источника света. Мы вынуждены нарушить принятый постулат. И еще опровергнуть результаты опыта Майкельсона.
Оба постулата кажутся противоречащими друг другу. Тем не менее А. Эйнштейн соединяет их в единую теорию и строит новую физическую картину мира. Введенные Эйнштейном постулаты изменили представления физиков об окружающем мире. Из этих двух положений выросла новая модель мира. Эйнштейн и Фридман (о нем речь еще впереди) третий раз в истории человечества изменили основы научного представления о Вселенной. Напомним, что первый раз это сделали Аристотель (создав основы античной физики), Гиппарх и Птолемей (создав гелиоцентрическую систему мира), а второй - Коперник, Кеплер, Ньютон (предложив, уточнив и сформулировав гелиоцентрическую систему мира и создав основы классической физики).
Относительность одновременности событий
В классической механике события могут быть одновременными. Это привычно и не вызывает сомнений. Установить одновременность просто: если события наблюдаются одновременно, то они одновременны, если наблюдать их нельзя сразу, то мы можем сопоставить время их наступления по часам. «В Москве пятнадцать часов… в Петропавловске-Камчатском - полночь», - говорит диктор радио. Если в этот момент в городе на Камчатке звучал выстрел из пушки, а в Москве раздавался звонок с урока, то эти события были одновременны. Их можно было сравнить с помощью действующего часового механизма. Так привычно, но за этой привычкой скрывается неявное допущение. Скорость передачи сигнала о событии принимается мгновенной или пренебрежимо малой по отношению к самому событию.
Скорость света - наибольшая в природе, позволяющая передавать информацию. Большие скорости передачи информации физике не известны. Поэтому наиболее точно устанавливать одновременность событий возможно только с помощью света. Напомним, что электромагнитное излучение включает в себя инфракрасные волны, видимый свет, ультрафиолетовый диапазон, рентгеновские лучи. Пришли волны от разных источников одновременно, значит, события для наблюдателя стали одновременными. А кто опоздал, тот, значит, был позже. Таким образом, получается, что два наблюдателя, находящихся по разные стороны от двух событий, увидят различную последовательность происходящего? Рассмотрим систему координат, в которой одновременно произошли события С 1 и С 2 . Пусть наблюдатель находится ближе к месту, в котором произошло событие С 1 , свет до наблюдателя дойдет быстрее, чем от события в точке С 2 . Другой наблюдатель, расположенный ближе к точке С 2 . увидит другую последовательность событий. Кто из этих двух наблюдателей прав? Правы оба, но только не в абсолютном, а в относительно смысле. Каждый из наблюдателей прав, так как каждый видел истинную картину происходящего, но относительно своего местоположения.
Может ли в таком случае нарушиться принцип причинности, т.е. последовательность событий, определяющих, какое из двух явлений будет причиной, а какое - следствием? Например, возможен ли случай, в котором сначала пуля попадет в медведя, а потом выстрелит охотник? Нет, такого не произойдет. Пусть наблюдатель стоит ближе к животному и дальше от его убийцы. Сигнал от медведя дойдет быстрее, чем сигнал от охотника. Но все же сначала мы увидим вспышку от выстрела, потом будет задержка (время пролета пули из ружья во всеядное), потом упадет медведь. В связанных между собой событиях причинность не нарушается. Два таких события не относительны по отношению друг к другу или к наблюдателю. Относительность последовательности происходящих событий будет возникать только в случае независимых событий, таких, которые никаким образом не связаны друг с другом.
