Hvordan finne ekstremumpunkter for en funksjon eksempler. Hva er ekstrema for en funksjon: kritiske punkter for maksimum og minimum

Ved bruk av denne tjenesten kan finne den største og minste verdien av en funksjonén variabel f(x) med utformingen av løsningen i Word. Hvis funksjonen f(x,y) er gitt, er det derfor nødvendig å finne ekstremumet til funksjonen til to variabler. Du kan også finne intervallene for økning og reduksjon av funksjonen.

Regler for oppføring av funksjoner:

En nødvendig betingelse for et ekstremum av en funksjon av én variabel

En tilstrekkelig betingelse for et ekstremum av en funksjon av én variabel

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Da er punktet x * punktet til funksjonens lokale (globale) minimum.

Hvis på punktet x * betingelsen er oppfylt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Det punktet x * er et lokalt (globalt) maksimum.

Eksempel #1. Finn de største og minste verdiene for funksjonen: på segmentet.
Løsning.

Det kritiske punktet er en x 1 = 2 (f'(x)=0). Dette punktet tilhører segmentet. (Punkt x=0 er ikke kritisk, siden 0∉).
Vi beregner verdiene til funksjonen i enden av segmentet og på det kritiske punktet.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Svar: f min = 5 / 2 for x=2; f maks =9 ved x=1

Eksempel #2. Bruk derivater av høyere orden, finn ekstremumet til funksjonen y=x-2sin(x) .
Løsning.
Finn den deriverte av funksjonen: y’=1-2cos(x) . La oss finne de kritiske punktene: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Vi finner y''=2sin(x), regner ut , så x= π / 3 +2πk, k∈Z er minimumspunktene til funksjonen; , så x=- π / 3 +2πk, k∈Z er maksimumspunktene til funksjonen.

Eksempel #3. Undersøk ekstremumfunksjonen i nærheten av punktet x=0.
Løsning. Her er det nødvendig å finne ytterpunktene til funksjonen. Hvis ekstremumet x=0, finn ut typen (minimum eller maksimum). Hvis det ikke er noen x = 0 blant de funnet punktene, beregner du verdien av funksjonen f(x=0).
Det skal bemerkes at når den deriverte på hver side av et gitt punkt ikke endrer fortegn, er de mulige situasjonene ikke uttømte selv for differensierbare funksjoner: det kan skje at for et vilkårlig lite nabolag på den ene siden av punktet x 0 eller på begge sider skifter den deriverte fortegn. På disse punktene må man bruke andre metoder for å studere funksjoner til et ekstremum.

Definisjoner:

ekstremum kalt maksimum minimumsverdi funksjoner på et gitt sett.

ytterste punkt er punktet der maksimums- eller minimumsverdien for funksjonen nås.

Maksimal poeng er punktet der maksimalverdien til funksjonen nås.

Lavt punkt er punktet der minimumsverdien til funksjonen er nådd.

Forklaring.

På figuren, i nærheten av punktet x = 3, når funksjonen sin maksimale verdi (det vil si at det ikke er noe høyere punkt i nærheten av dette punktet). I nærheten av x = 8 har den igjen en maksimal verdi (igjen, vi presiserer: det er i dette nabolaget det ikke er noe poeng ovenfor). På disse punktene erstattes økningen med en nedgang. De er maksimalpoeng:

xmax = 3, xmax = 8.

I nærheten av punktet x = 5 nås minimumsverdien for funksjonen (det vil si i nærheten av x = 5 er det ikke noe punkt under). På dette tidspunktet erstattes nedgangen med en økning. Det er minimumspunktet:

Maksimum og minimum poeng er funksjonens ekstreme punkter, og verdiene til funksjonen på disse punktene er dens ytterpunkter.

Kritiske og stasjonære punkter ved funksjonen:

Nødvendig betingelse for ekstremum:

Tilstrekkelig tilstand for et ekstremum:

På segmentet, funksjonen y = f(x) kan nå minimums- eller maksimumsverdien enten på kritiske punkter eller i enden av segmentet.

Algoritme for å studere en kontinuerlig funksjony = f(x) for monotonisitet og ekstrema:

Økende, avtagende og ekstreme av en funksjon

Å finne intervaller for økning, reduksjon og ekstrema for en funksjon er både en selvstendig oppgave og Viktig del andre oppgaver, spesielt full funksjonsstudie. Innledende informasjon om økning, reduksjon og ekstrema av funksjonen er gitt i teoretisk kapittel om den deriverte, som jeg anbefaler for forstudie (eller repetisjon)- også av den grunn at følgende materiale er basert på selve essensen av derivatet som en harmonisk fortsettelse av denne artikkelen. Selv om tiden renner ut, så er en rent formell utarbeiding av eksempler fra dagens leksjon også mulig.

Og i dag er det en ånd av sjelden enstemmighet i luften, og jeg kan direkte føle at alle de tilstedeværende brenner av begjær lære å utforske en funksjon ved å bruke en derivert. Derfor dukker det umiddelbart opp rimelig god evig terminologi på skjermene til skjermene dine.

Til hva? En av de mest praktiske årsakene er: for å gjøre det klart hva som generelt kreves av deg i en bestemt oppgave!

Funksjon monotonisitet. Extremum poeng og funksjon ekstrema

La oss vurdere en funksjon. Forenklet sett antar vi det kontinuerlige på hele tallinjen:

I tilfelle vil vi umiddelbart bli kvitt mulige illusjoner, spesielt for de leserne som nylig har blitt kjent med intervaller for tegnkonstans for funksjonen. Nå oss IKKE INTERESSERT, hvordan grafen til funksjonen er plassert i forhold til aksen (over, under, der den krysser aksen). For å overbevise, slett aksene mentalt og la én graf ligge. For interessen ligger i det.

Funksjon øker på et intervall hvis for to punkter i dette intervallet knyttet til relasjonen , er ulikheten sann. Det vil si at en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen, og grafen går "fra bunn til topp". Demofunksjonen vokser over intervallet.

På samme måte funksjonen minkende på et intervall hvis for to punkter av det gitte intervallet, slik at ulikheten er sann. Det vil si at en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen, og grafen går "fra topp til bunn". Funksjonen vår avtar over intervallene .

Hvis en funksjon øker eller reduseres over et intervall, kalles den strengt tatt monotont på dette intervallet. Hva er monotonisitet? forstå inn bokstavelig- ensartethet.

Det er også mulig å definere ikke synkende funksjon (avslappet tilstand i første definisjon) og ikke økende funksjon (myknet tilstand i 2. definisjon). En ikke-avtagende eller ikke-økende funksjon på et intervall kalles en monoton funksjon på et gitt intervall (streng monotoni er et spesielt tilfelle av "bare" monotonitet).

Teorien vurderer også andre tilnærminger for å bestemme økningen / reduksjonen av en funksjon, inkludert på halvintervaller, segmenter, men for ikke å helle olje-olje-olje på hodet ditt, er vi enige om å operere med åpne intervaller med kategoriske definisjoner - dette er tydeligere, og for å løse mange praktiske problemer ganske nok.

På denne måten, i artiklene mine vil formuleringen "monotonicitet til en funksjon" nesten alltid skjule seg intervaller streng monotoni(streng økning eller streng reduksjon av funksjonen).

Punkt nabolag. Ord hvoretter elevene sprer hvor de kan, og gjemmer seg forskrekket i krokene. … Skjønt etter innlegget Cauchy grenser de gjemmer seg sannsynligvis ikke lenger, men grøsser bare litt =) Ikke bekymre deg, nå vil det ikke være noen bevis på teoremer for matematisk analyse - jeg trengte nabolaget for å formulere definisjoner mer strengt ekstreme punkter. Vi husker:

Nabolagspunkt navngi intervallet som inneholder det gitte punktet, mens intervallet for enkelhets skyld ofte antas å være symmetrisk. For eksempel, et punkt og standardområdet:

I utgangspunktet definisjonene:

Poenget heter strengt maksimum poeng, hvis finnes nabolaget hennes, for alle verdier som, bortsett fra selve punktet, ulikheten er oppfylt. I vårt spesielle eksempel er dette et poeng.

Poenget heter strengt minimumspoeng, hvis finnes nabolaget hennes, for alle verdier som, bortsett fra selve punktet, ulikheten er oppfylt. På tegningen - punkt "a".

Merk : kravet om at nabolaget skal være symmetrisk er ikke nødvendig i det hele tatt. I tillegg er det viktig selve eksistensen nabolag (riktignok bittesmå, til og med mikroskopisk) som tilfredsstiller de angitte betingelsene

Prikker kalles punkter med strengt ekstremum eller rett og slett ekstreme punkter funksjoner. Det vil si at det er en generalisert betegnelse for maksimumspoeng og minimumspoeng.

Hvordan forstå ordet "ekstrem"? Ja, like direkte som monotoni. Ekstreme punkter i berg-og-dal-banen.

Som i tilfellet med monotoni, er det i teorien og enda mer vanlige ikke-strenge postulater (som selvfølgelig de vurderte strenge tilfellene faller inn under!):

Poenget heter maksimum poeng, hvis finnes sine omgivelser, slik at for alle
Poenget heter minimumspoeng, hvis finnes sine omgivelser, slik at for alle verdiene til dette nabolaget, holder ulikheten.

Merk at i henhold til de to siste definisjonene, regnes ethvert punkt i en konstant funksjon (eller et "flat område" av en funksjon) både som et maksimumspunkt og et minimumspunkt! Funksjonen er forresten både ikke-økende og ikke-minskende, det vil si monoton. Imidlertid overlater vi disse argumentene til teoretikere, siden vi i praksis nesten alltid betrakter de tradisjonelle "åsene" og "hulene" (se tegning) med en unik "haugens konge" eller "myrprinsesse". Som en variasjon forekommer det punkt, rettet opp eller ned, for eksempel minimum av funksjonen ved punktet .

Å, forresten, å kongelige:
- meningen heter maksimum funksjoner;
- meningen heter minimum funksjoner.

Vanlig navn – ytterpunkter funksjoner.

Vær forsiktig med ordene dine!

ekstreme punkter er "x"-verdier.
Ytterligheter- "spill" verdier.

! Merk : noen ganger refererer de oppførte begrepene til punktene "x-y" som ligger direkte på GRAPH for funksjonen.

Hvor mange ekstrema kan en funksjon ha?

Ingen, 1, 2, 3, … osv. til det uendelige. For eksempel har sinus et uendelig antall minimum og maksimum.

VIKTIG! Begrepet "maksimal funksjon" ikke identisk begrepet "maksimal verdi av en funksjon". Det er lett å se at verdien er maksimal bare i det lokale nabolaget, og det er "mer brått kamerater" øverst til venstre. Likeledes er ikke «minimumsfunksjon» det samme som «minimumsfunksjonsverdi», og på tegningen kan vi se at verdien er minimum kun i et bestemt område. I denne forbindelse kalles også ekstreme punkter lokale ekstremumpunkter, og ekstrema lokale ytterpunkter. De går og vandrer rundt og global brødre. Så, enhver parabel har i toppunktet globalt minimum eller globalt maksimum. Videre vil jeg ikke skille mellom typer ekstremer, og forklaringen er uttrykt mer for generelle pedagogiske formål - tilleggsadjektivene "lokal" / "global" bør ikke overraskes.

La oss oppsummere vår korte digresjon inn i teorien med et kontrollskudd: hva innebærer oppgaven "finne intervaller for monotonisitet og ekstremumpunkter for en funksjon"?

Formuleringen ber om å finne:

- intervaller for økning / reduksjon av funksjonen (ikke-avtagende, ikke-økende vises mye sjeldnere);

– maksimumspoeng og/eller minimumspoeng (hvis noen). Vel, det er bedre å finne minima / maksima selv fra feilen ;-)

Hvordan definere alt dette? Ved hjelp av en derivert funksjon!

Hvordan finne intervaller for økning, reduksjon,
ekstremumpunkter og ekstremum av funksjonen?

Mange regler er faktisk allerede kjent og forstått fra leksjon om betydningen av den deriverte.

Tangentderivat bærer den gode nyheten om at funksjonen øker hele tiden domener.

Med cotangens og dets derivat situasjonen er stikk motsatt.

Arcsinen vokser på intervallet - den deriverte er positiv her: .
For er funksjonen definert, men ikke differensierbar. På det kritiske punktet er det imidlertid en høyre-derivert og en høyre-tangens, og på den andre kanten deres venstrehåndsmotstykker.

Jeg tror det ikke vil være vanskelig for deg å utføre lignende resonnementer for buekosinus og dens derivater.

Alle disse sakene, hvorav mange er det tabellformede derivater, minner jeg om, følg direkte fra definisjoner av derivatet.

Hvorfor utforske en funksjon med en derivert?

For å få en bedre ide om hvordan grafen til denne funksjonen ser ut: der den går "nedenfra og opp", der den går "ovenfra og ned", der den når bunnen av toppene (hvis i det hele tatt). Ikke alle funksjoner er så enkle - i de fleste tilfeller har vi vanligvis ikke den minste anelse om grafen til en bestemt funksjon.

Det er på tide å gå videre til mer meningsfulle eksempler og vurdere algoritme for å finne intervaller for monotonisitet og ekstrema for en funksjon:

Eksempel 1

Finn økende/minkende intervaller og ekstrema for en funksjon

Løsning:

1) Det første trinnet er å finne funksjonsomfang, og legg også merke til bruddpunktene (hvis de finnes). I dette tilfellet er funksjonen kontinuerlig på hele den reelle linjen, og denne handlingen er noe formell. Men i noen tilfeller blusser alvorlige lidenskaper opp her, så la oss behandle avsnittet uten forsømmelse.

2) Det andre punktet i algoritmen skyldes

nødvendig betingelse for et ekstremum:

Hvis det er et ekstremum på punktet, eksisterer enten verdien ikke.

Forvirret av slutten? Extremum av funksjonen "modulo x" .

tilstand er nødvendig, men ikke nok, og det motsatte er ikke alltid sant. Så det følger ennå ikke av likhet at funksjonen når et maksimum eller minimum på punktet . Et klassisk eksempel har allerede blitt opplyst ovenfor - dette er en kubisk parabel og dens kritiske punkt.

Men uansett, den nødvendige betingelsen for et ekstremum tilsier behovet for å finne mistenkelige punkter. For å gjøre dette, finn den deriverte og løs ligningen:

I begynnelsen av den første artikkelen om funksjonsgrafer Jeg fortalte deg hvordan du raskt bygger en parabel ved å bruke et eksempel : "... vi tar den første deriverte og likestiller den til null: ... Så løsningen på ligningen vår: - det er på dette punktet at toppen av parabelen er plassert ...". Nå tror jeg at alle forstår hvorfor toppen av parabelen er akkurat på dette punktet =) Generelt bør vi starte med et lignende eksempel her, men det er for enkelt (selv for en tekanne). I tillegg er det en analog helt på slutten av leksjonen om avledet funksjon. Så la oss heve nivået:

Eksempel 2

Finn monotonisitetsintervaller og ekstrema for en funksjon

Dette er et eksempel for uavhengig løsning. Komplett løsning og en omtrentlig sluttprøve av oppgaven på slutten av leksjonen.

Det etterlengtede øyeblikket av møtet med rasjonelle brøkfunksjoner har kommet:

Eksempel 3

Utforsk en funksjon ved å bruke den første deriverte

Vær oppmerksom på hvor variert en og samme oppgave kan omformuleres.

Løsning:

1) Funksjonen lider av uendelige brudd på punkter.

2) Vi oppdager kritiske punkter. La oss finne den første deriverte og likestille den til null:

La oss løse ligningen. En brøk er null når dens teller null:

Dermed får vi tre kritiske punkter:

3) Sett til side ALLE oppdagede punkter på talllinjen og intervallmetoden definer tegnene til DERIVATET:

Jeg minner deg om at du må ta et punkt av intervallet, beregne verdien av den deriverte i den og bestemme tegnet. Det er mer lønnsomt å ikke engang telle, men å "estimere" verbalt. Ta for eksempel et punkt som tilhører intervallet , og utfør erstatningen: .

To "pluss" og en "minus" gir derfor et "minus", som betyr at den deriverte er negativ på hele intervallet.

Handlingen må, som du forstår, utføres for hvert av de seks intervallene. Vær forresten oppmerksom på at tellerfaktoren og nevneren er strengt tatt positive for ethvert punkt i ethvert intervall, noe som forenkler oppgaven.

Så den deriverte fortalte oss at FUNKSJONEN SELV øker med og reduseres med. Det er praktisk å feste intervaller av samme type med unionsikonet.

På det tidspunktet når funksjonen sitt maksimum:
På det tidspunktet når funksjonen sitt minimum:

Tenk på hvorfor du ikke kan beregne den andre verdien på nytt ;-)

Når den passerer gjennom et punkt, endrer ikke den deriverte fortegn, så funksjonen har INGEN EKSTREME der - den både avtok og forble synkende.

! La oss gjenta viktig poeng : punkter anses ikke som kritiske - de har en funksjon ikke bestemt. Følgelig her ekstremum kan ikke være i prinsippet(selv om den deriverte endrer fortegn).

Svar: funksjonen øker med og reduseres på På det punktet som maksimalt for funksjonen er nådd: , og på punktet - minimum: .

Kunnskap om monotonisitetsintervaller og ekstrema, kombinert med etablerte asymptoter gir en veldig god idé om utseende funksjonsgraf. En gjennomsnittlig person er i stand til verbalt å bestemme at en graf av en funksjon har to vertikale asymptoter og en skrå asymptote. Her er helten vår:

Prøv igjen å korrelere resultatene av studien med grafen til denne funksjonen.
Det er ikke noe ekstremum på det kritiske punktet, men det er det kurvebøyning(som som regel skjer i lignende tilfeller).

Eksempel 4

Finn ekstrema av en funksjon

Eksempel 5

Finn monotonisitetsintervaller, maksima og minima for en funksjon

... bare en slags X-in-a-cube-ferie dukker opp i dag ....
Sååå, hvem der i galleriet tilbød å drikke for dette? =)

Hver oppgave har sine egne materielle nyanser og tekniske finesser, som kommenteres på slutten av opplæringen.

Ytterpunktpunktet for en funksjon er punktet i funksjonens domene hvor verdien av funksjonen får en minimums- eller maksimumsverdi. Funksjonsverdiene på disse punktene kalles ekstrema (minimum og maksimum) av funksjonen.

Definisjon. Punktum x1 funksjonsomfang f(x) er kalt maksimumspunktet for funksjonen , hvis verdien av funksjonen på dette punktet er større enn verdiene til funksjonen ved punkter nær nok til den, plassert til høyre og venstre for den (det vil si ulikheten f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisjon. Punktum x2 funksjonsomfang f(x) er kalt minimumspunktet for funksjonen, hvis verdien av funksjonen på dette punktet er mindre enn verdiene til funksjonen ved punkter nær nok til den, plassert til høyre og venstre for den (det vil si ulikheten f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). I dette tilfellet sies funksjonen å ha på punktet x2 minimum.

La oss si poenget x1 - maksimalt punkt for funksjonen f(x). Deretter i intervallet frem til x1 funksjonen øker, så den deriverte av funksjonen er større enn null ( f "(x) > 0 ), og i intervallet etter x1 funksjonen er avtagende, så funksjonsderiverte mindre enn null (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

La oss også anta at poenget x2 - minimumspunktet for funksjonen f(x). Deretter i intervallet frem til x2 funksjonen er avtagende og den deriverte av funksjonen er mindre enn null ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funksjonen øker og den deriverte av funksjonen er større enn null ( f "(x) > 0 ). I dette tilfellet også på punktet x2 den deriverte av funksjonen er null eller eksisterer ikke.

Fermats teorem (et nødvendig kriterium for eksistensen av et ekstremum av en funksjon). Hvis punkt x0 - ekstremumpunktet for funksjonen f(x), så på dette tidspunktet er den deriverte av funksjonen lik null ( f "(x) = 0 ) eller eksisterer ikke.

Definisjon. Punktene der den deriverte av en funksjon er lik null eller ikke eksisterer kalles kritiske punkter .

Eksempel 1 La oss vurdere en funksjon.

På punktet x= 0 den deriverte av funksjonen er lik null, derfor er punktet x= 0 er det kritiske punktet. Men som man kan se på grafen til funksjonen, øker den i hele definisjonsdomenet, så poenget x= 0 er ikke et ekstremum for denne funksjonen.

Dermed er betingelsene om at den deriverte av en funksjon i et punkt er lik null eller ikke eksisterer nødvendige betingelser for et ekstremum, men ikke tilstrekkelig, siden andre eksempler på funksjoner kan gis som disse betingelsene er oppfylt for, men funksjonen har ikke et ekstremum på det tilsvarende punktet. Derfor må ha tilstrekkelige indikasjoner, som gjør det mulig å bedømme om det er et ekstremum på et bestemt kritisk punkt og hvilket - et maksimum eller et minimum.

Teorem (det første tilstrekkelige kriteriet for eksistensen av et ekstremum av en funksjon). Kritisk punkt x0 f(x) , hvis den deriverte av funksjonen endrer fortegn når den passerer gjennom dette punktet, og hvis fortegnet endres fra "pluss" til "minus", så maksimumspunktet, og hvis fra "minus" til "pluss", så minimumspunktet .

Hvis nærme punktet x0 , til venstre og til høyre for den, beholder den deriverte tegnet sitt, dette betyr at funksjonen enten bare reduseres eller bare øker i et område av punktet x0 . I dette tilfellet, på punktet x0 det er ikke noe ekstremum.

Så, for å bestemme ekstremumpunktene til funksjonen, må du gjøre følgende :

1. Finn den deriverte av en funksjon.
2. Lik den deriverte til null og bestem de kritiske punktene.
3. Mentalt eller på papir, merk de kritiske punktene på den numeriske aksen og bestem tegnene på den deriverte av funksjonen i de resulterende intervallene. Hvis tegnet på den deriverte endres fra "pluss" til "minus", så er det kritiske punktet maksimumspunktet, og hvis fra "minus" til "pluss", så er det kritiske punktet minimumspunktet.
4. Regn ut verdien av funksjonen ved ytterpunktene.

Eksempel 2 Finn ekstrema av en funksjon .

Løsning. La oss finne den deriverte av funksjonen:

Lik den deriverte til null for å finne de kritiske punktene:

.

Siden for alle verdier av "x" er nevneren ikke lik null, så likestiller vi telleren til null:

Har ett kritisk poeng x= 3. Vi bestemmer tegnet til den deriverte i intervallene avgrenset av dette punktet:

i området fra minus uendelig til 3 - minustegn, det vil si at funksjonen reduseres,

i området fra 3 til pluss uendelig - et plusstegn, det vil si at funksjonen øker.

Det vil si poeng x= 3 er minimumspunktet.

Finn verdien av funksjonen ved minimumspunktet:

Dermed finnes funksjonens ekstremumpunkt: (3; 0), og det er minimumspunktet.

Teorem (det andre tilstrekkelige kriteriet for eksistensen av et ekstremum av en funksjon). Kritisk punkt x0 er funksjonens ytterpunkt f(x), hvis den andre deriverte av funksjonen på dette tidspunktet ikke er lik null ( f ""(x) ≠ 0 ), dessuten, hvis den andre deriverte er større enn null ( f ""(x) > 0 ), så maksimumspunktet, og hvis den andre deriverte er mindre enn null ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Merknad 1. Hvis på et tidspunkt x0 både den første og andre deriverte forsvinner, så på dette tidspunktet er det umulig å bedømme tilstedeværelsen av et ekstremum på grunnlag av det andre tilstrekkelige tegnet. I dette tilfellet må du bruke det første tilstrekkelige kriteriet for funksjonens ytterpunkt.

Merknad 2. Det andre tilstrekkelige kriteriet for ekstremumet til en funksjon er også uanvendelig når den første deriverte ikke eksisterer på det stasjonære punktet (da eksisterer heller ikke den andre deriverte). I dette tilfellet er det også nødvendig å bruke det første tilstrekkelige kriteriet for funksjonens ekstremum.

Den lokale karakteren til funksjonens ytterpunkt

Av definisjonene ovenfor følger det at ytterpunktet til en funksjon er av lokal karakter - dette er den største og minste verdien av funksjonen sammenlignet med de nærmeste verdiene.

Anta at du vurderer inntektene dine i løpet av ett år. Hvis du i mai tjente 45 000 rubler, og i april 42 000 rubler og i juni 39 000 rubler, så er mai-inntektene maksimum for inntektsfunksjonen sammenlignet med de nærmeste verdiene. Men i oktober tjente du 71 000 rubler, i september 75 000 rubler og i november 74 000 rubler, så oktoberinntektene er minimum av inntektsfunksjonen sammenlignet med nærliggende verdier. Og du kan enkelt se at maksimum blant verdiene april-mai-juni er mindre enn minimum september-oktober-november.

Generelt sett kan en funksjon ha flere ytterpunkter på et intervall, og det kan vise seg at et hvilket som helst minimum av funksjonen er større enn et maksimum. Så, for funksjonen vist i figuren ovenfor, .

Det vil si at man ikke skal tro at maksimum og minimum av funksjonen er henholdsvis dens maksimums- og minimumsverdier for hele segmentet som vurderes. På maksimumspunktet har funksjonen høyeste verdi bare i sammenligning med de verdiene som den har på alle punkter tilstrekkelig nær maksimumspunktet, og ved minimumspunktet - den minste verdien bare sammenlignet med de verdiene som den har på alle punkter tilstrekkelig nær minimumspunktet .

Derfor kan vi avgrense konseptet med ekstremumpunkter for en funksjon gitt ovenfor og kalle minimumspoengene lokale minimumspunkter, og maksimumspoengene - lokale maksimumspoeng.

Vi ser sammen etter funksjonens ytterpunkt

Eksempel 3

Løsning Funksjonen er definert og kontinuerlig på hele tallinjen. Dens derivat finnes også på hele tallinjen. Derfor, i dette tilfellet, er det bare de der , dvs. tjener som kritiske punkter. , hvorfra og . Kritiske punkter og del opp hele funksjonens domene i tre intervaller for monotonisitet: . Vi velger ett kontrollpunkt i hver av dem og finner tegnet til den deriverte på dette punktet.

For intervallet kan referansepunktet være: vi finner . Tar vi et poeng i intervallet får vi , og tar et poeng i intervallet har vi . Så, i intervallene og , og i intervallet . I følge det første tilstrekkelige tegnet på et ekstremum er det ikke noe ekstremum i punktet (siden den deriverte beholder fortegnet i intervallet ), og funksjonen har et minimum i punktet (siden den deriverte skifter fortegn fra minus til pluss ved passering gjennom dette punktet). Finn de tilsvarende verdiene for funksjonen: , og . I intervallet avtar funksjonen, siden i dette intervallet , og i intervallet øker den, siden i dette intervallet.

For å tydeliggjøre konstruksjonen av grafen finner vi skjæringspunktene til den med koordinataksene. Når vi får en ligning hvis røtter og , dvs. to punkter (0; 0) og (4; 0) av grafen til funksjonen blir funnet. Ved å bruke all informasjonen som mottas, bygger vi en graf (se i begynnelsen av eksemplet).

Eksempel 4 Finn ytterpunktene til funksjonen og bygg dens graf.

Funksjonens domene er hele tallinjen, bortsett fra punktet, dvs. .

For å forkorte studiet kan vi bruke det faktum at denne funksjonen er jevn, siden . Derfor er grafen symmetrisk om aksen Oy og studien kan bare utføres i intervallet.

Å finne den deriverte og kritiske punkter ved funksjonen:

1) ;

2) ,

men funksjonen lider av et brudd på dette punktet, så det kan ikke være et ekstremumpunkt.

Dermed har den gitte funksjonen to kritiske punkter: og . Tar vi hensyn til funksjonens paritet, kontrollerer vi bare punktet ved det andre tilstrekkelige tegnet på ekstremumet. For å gjøre dette finner vi den andre deriverte og bestemme dets fortegn ved : vi får . Siden og , da er minimumspunktet for funksjonen, mens .

For å få et mer fullstendig bilde av grafen til funksjonen, la oss finne ut dens oppførsel på grensene til definisjonsdomenet:

(her indikerer symbolet ønsket x til null til høyre, og x forblir positiv; betyr på samme måte aspirasjon x til null til venstre, og x forblir negativ). Så hvis , så . Deretter finner vi

,

de. hvis da .

Grafen til funksjonen har ingen skjæringspunkter med aksene. Bildet er i begynnelsen av eksemplet.

Vi fortsetter å søke etter ytterpunkter av funksjonen sammen

Eksempel 8 Finn ytterpunktene til funksjonen.

Løsning. Finn domenet til funksjonen. Siden ulikheten må holde, får vi fra .

La oss finne den første deriverte av funksjonen:

La oss finne de kritiske punktene til funksjonen.

(venstre og høyre derivater er forskjellige), men den øker for alle verdier av x, inkludert ved punktene x = 0.

Merknad 2. Basert på "mykere" forhold kan vi formulere et direkte teorem: hvis den deriverte av en funksjon som er kontinuerlig på et intervall er ikke-negativ, så avtar ikke funksjonen på dette intervallet. Da høres de direkte og omvendte teoremene i et formalisert språk slik ut:

funksjon f (x) hvis det er et slikt nabolag til punktet x0 at for alle x fra dette nabolaget er f(x) ≤ f(x0 ) .

Definisjon. Et punkt x0 kalles et lokalt minimumspunkt for funksjonen f(x) hvis det er et slikt nabolag til punktet x0 at for alle x fra dette nabolaget f(x) ≥ f(x0 ) .

Verdien av funksjonen ved maksimumspunktet kalles det lokale maksimum, verdien av funksjonen ved minimumspunktet kalles det lokale minimumet til den gitte funksjonen. Maksimum og minimum av en funksjon kalles dens lokale ekstrema.

(ekstremt - ekstremt).

Definisjon. Punktet x0 kalles et punkt med strengt lokalt maksimum (minimum) av funksjonen y= f(x) hvis for alle x fra nabolaget til punktet x0 streng ulikhet f(x)< f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Kommentar. I definisjonen ovenfor av et lokalt ekstremum antar vi ikke at funksjonen er kontinuerlig i punktet x 0 .

maksimumspunkt, siden det er et nabolag til punktet x \u003d 0, der f (x)< f (x 0 ).

Den største (minste) verdien av en funksjon på et intervall kalles global ekstrem. Det globale ekstremumet kan nås enten ved punktene til det lokale ekstremumet eller ved enden av segmentet.

Nødvendig betingelse for ekstremum

Teorem 2. (ca nødvendig tilstand ekstremum).

Hvis en funksjon y = f(x) har et ekstremum i et punkt x0, så er dens deriverte f′ (x0) på dette punktet enten lik null eller eksisterer ikke.

◄Hvis funksjonen ved punktet x 0 har et ekstremum og er differensierbar, så ved

noen nærhet til dette punktet, er betingelsene for Fermats teorem oppfylt, derfor er den deriverte av funksjonen på dette punktet lik null.

Men funksjonen y = f(x) kan ha et ekstremum og ikke være differensierbar på det punktet. Det er nok å gi et eksempel. Et eksempel vil være

Merknad 3. En funksjon har ikke nødvendigvis et maksimum eller minimum på hvert av sine kritiske punkter.

Eksempel 4. Tenk på funksjonen y = x 3 . Kritisk for denne funksjonen

er punktet x \u003d 0, som følger av ligningen f ′ (x) \u003d 3x 2 \u003d 0. Denne funksjonen øker imidlertid for alle x og har ikke noe ekstremum.

Hvis funksjonen fortsetter å reduseres når du flytter fra venstre intervall til høyre, vil minimumsverdien til funksjonen ikke nås ved punktet x 0

(ingen ekstremum).

Eksistensen av et maksimum bevises tilsvarende.

På fig. 2 a-h presenterer mulige tilfeller av nærvær eller fravær av et ekstremum av en kontinuerlig funksjon, hvis deriverte ved det kritiske punktet er lik null eller går til uendelig.

punkt x = 0 endrer fortegn uendelig mange ganger. Derfor er ikke funksjonen f (x).

er monotont avtagende eller økende verken til venstre eller høyre for punktet x = 0.

Opplegg for å studere funksjonen for et ekstremum:

1) finn den deriverte f′(x);

2) finne kritiske punkter, dvs. slike verdier x hvor f ′ (x)= 0 eller

f′ (x) = ∞;

3) undersøk tegnet til den deriverte til venstre og høyre for hver kritisk

endres, så i punktet x 0 har funksjonen f (x) verken et maksimum eller et minimum; 4) finn verdiene til funksjonen ved ytterpunktene.

Teorem 4. (2. tilstrekkelig betingelse for et ekstremum). La følgende betingelser være oppfylt for funksjonen y = f (x):

1. y \u003d f (x) er kontinuerlig i nærheten av punktet x 0,

2. f ′ (x )= 0 ved x 0

3. f ′′ (x )≠ 0 ved punktet x 0 .

så det er et ekstremum. Tegnet på den deriverte endres fra minus til pluss, så dette er minimum. Saken f "(x 0 )< 0 .

Eksempel 8. Undersøk funksjonen y = x 2 + 2x + 3 for et ekstremum Finn den deriverte y ′= 2x + 2 .

1) Vi finner de kritiske punktene, som vi likestiller den deriverte til null: y ′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.

2) Vi studerer tegnet til den deriverte til venstre og til høyre for dette punktet (fig. 6).

Siden tegnet på den deriverte endres fra minus til pluss, nås et minimum ved punktet x = − 1.

3) Finn verdien til minimum: ymin (− 1)= 2.

3) Vi undersøker tegnet y" til venstre og høyre for punktet x = 0. Det er klart at f ′ (x)< 0 ,

minimum av denne funksjonen.

4) ymin(0)=1.

Eksempel 10

Undersøk funksjonen y = e -x 2 for et ekstremum.

1) Finne den første deriverte: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Ved å likestille den deriverte med null finner vi det eneste kritiske punktet x = 0.

3) Deretter finner vi den andre deriverte: y ′′= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Dets mening

i punktet x = 0 er -2.

4) Vi konkluderer med at det er et maksimum av funksjonen og regner ut: y maks(0)=1.

Den største og minste verdien av en funksjon kontinuerlig på et segment

Hvis funksjonen f (x) er definert og kontinuerlig på segmentet [a ; b ], så

i henhold til den andre Weierstrass-teoremet når den sine maksimums- og minimumsverdier på dette segmentet.

Hvis funksjonen f (x) tar sin maksimale verdi M inn indre punkt x 0 av segmentet [a ; b ], så vil M \u003d f (x 0 ) være et lokalt maksimum for funksjonen f (x), fordi det i dette tilfellet er et nabolag til punktet x 0 slik at verdiene av f (x ) for alle punkter fra dette nabolaget vil ikke

større enn f (x 0).

Imidlertid er dens største verdi M-funksjon f (x) kan også ta i enden av segmentet[a; b]. Derfor, for å finne den største verdien av M kontinuerlig på segmentet [a ; b] funksjonen f (x), må du finne alle maksima for funksjonen i intervallet (a ; b) og verdiene f (x) på slutten av segmentet [a ; b] og velg

blant dem det største antallet. I stedet for å begrense oss til å finne verdiene til den minste verdien m av en kontinuerlig

forskning til maksimalt mulig funksjon på kritiske punkter. på segmentet [a; b] til funksjonen vil f (x) være

det minste tallet blant alle minima til funksjonen f (x) i intervallet (a; b) og verdiene f (a) og f (b).