Delvis og fullstendig differensial av en funksjon. Partielle derivater og total differensial

Delvis avledet funksjoner z = f(x, y ved variabel x Den deriverte av denne funksjonen ved en konstant verdi av variabelen y kalles, den er betegnet med eller z" x.

Delvis avledet funksjoner z = f(x, y) ved variabel y kalles den deriverte med hensyn til y ved en konstant verdi av variabelen y; det er angitt eller z" y.

Den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler med hensyn til én variabel er definert som den deriverte av denne funksjonen med hensyn til den tilsvarende variabelen, forutsatt at de resterende variablene holdes konstante.

Full differensial funksjon z = f(x, y) på et tidspunkt kalles M(X, y) uttrykket

Hvor og beregnes i punktet M(x, y), og dx = , dy = y.

Eksempel 1

Beregn den totale differensialen til funksjonen.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 ved punkt M(1; 2)

Løsning:

1) Finn partielle deriverte:

2) Beregn verdien av partielle derivater ved punkt M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Spørsmål for selvkontroll:

1. Hva kalles et antiderivat? List opp egenskapene til antiderivatet.

2. Hva kalles et ubestemt integral?

3. List opp egenskapene til det ubestemte integralet.

4. List opp de grunnleggende integrasjonsformlene.

5. Hvilke integreringsmetoder kjenner du til?

6. Hva er essensen av Newton–Leibniz-formelen?

7. Gi definisjonen av et bestemt integral.

8. Hva er essensen av å beregne et bestemt integral ved bruk av substitusjonsmetoden?

9. Hva er essensen av metoden for å beregne et bestemt integral etter deler?

10. Hvilken funksjon kalles en funksjon av to variabler? Hvordan er det utpekt?

11. Hvilken funksjon kalles en funksjon av tre variabler?

12. Hvilket sett kalles definisjonsdomenet til en funksjon?

13. Ved å bruke hvilke ulikheter kan du definere et lukket område D på et plan?

14. Hva er den partielle deriverte av funksjonen z = f(x, y) med hensyn til variabelen x? Hvordan er det utpekt?

15. Hva er den partielle deriverte av funksjonen z = f(x, y) med hensyn til variabelen y? Hvordan er det utpekt?

16. Hvilket uttrykk kalles den totale differensialen til en funksjon

Tema 1.2 Ordinære differensialligninger.

Problemer som fører til differensialligninger. Differensialligninger med separerbare variabler. Generelle og spesifikke løsninger. Homogene differensialligninger av første orden. Lineære homogene ligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Praktisk leksjon nr. 7 "Finne generelle og spesielle løsninger på differensialligninger med separerbare variabler"*

Praktisk leksjon nr. 8 "Lineære og homogene differensialligninger"

Praktisk leksjon nr. 9 «Løse 2. ordens differensialligninger med konstante koeffisienter»*

L4, kapittel 15, s. 243 – 256

Retningslinjer

Praktisk arbeid nr. 2

"Differensiell funksjon"

Hensikten med leksjonen: Lær å løse eksempler og problemer om dette emnet.

Teorispørsmål (grunnlinje):

1. Anvendelse av derivater for å studere funksjoner ved ekstremum.

2. Differensial av en funksjon, dens geometriske og fysiske betydning.

3. Fullfør differensial av en funksjon av flere variabler.

4. Kroppens tilstand som funksjon av mange variabler.

5. Omtrentlig beregninger.

6. Finne partielle derivater og totale differensialer.

7. Eksempler på bruk av disse begrepene innen farmakokinetikk, mikrobiologi mv.

(selvforberedelse)

1. svar på spørsmål om emnet for leksjonen;

2. løse eksempler.

Eksempler

Finn differensialer for følgende funksjoner:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Bruke derivater for å studere funksjoner

Betingelse for at funksjonen y = f(x) øker i intervallet [a, b]

Betingelse for at funksjonen y=f(x) skal avta på segmentet [a, b]

Betingelse for maksimal funksjon y=f(x)ved x=a

f"(a)=0 og f"" (a)<0

Hvis ved x=a de deriverte f"(a) = 0 og f"(a) = 0, så er det nødvendig å studere f"(x) i nærheten av punktet x = a. Funksjonen y=f( x) ved x=a har et maksimum , hvis, når den passerer gjennom punktet x = a, den deriverte f"(x) endrer fortegn fra "+" til "-", i tilfelle et minimum - fra "-" til "+" Hvis f"(x) ikke endrer fortegn når den passerer gjennom punkt x = a, så har funksjonen på dette punktet ikke noe ekstremum

Funksjonsdifferensial.

Differensialen til en uavhengig variabel er lik dens inkrement:

Differensial av funksjonen y=f(x)

Differensial av summen (forskjellen) av to funksjoner y=u±v

Differensial av produktet av to funksjoner y=uv

Differensial av kvotienten til to funksjoner y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Funksjonsøkning

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

hvor Δx: - argumentøkning.

Omtrentlig beregning av funksjonsverdien:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Anvendelse av differensial i omtrentlige beregninger

Differensialen brukes til å beregne absolutte og relative feil i indirekte målinger u = f(x, y, z.). Absolutt feil på måleresultatet

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Relativ feil på måleresultatet

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

DIFFERENSIALFUNKSJON.

Differensial av en funksjon som hoveddelen av inkrementet til en funksjon Og. Nært knyttet til begrepet derivert er begrepet differensial av en funksjon. La funksjonen f(x) er kontinuerlig for gitte verdier X og har et derivat

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), hvorfra økningen av funksjonen Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Hvor a(Dx) ® 0 på Dх® 0. La oss bestemme rekkefølgen til infinitesimalen f¢(x)Dx Dx.:

Derfor uendelig liten f¢(x)Dx Og Dx ha samme litenhetsrekkefølge, altså f¢(x)Dx = O.

La oss bestemme rekkefølgen til infinitesimalen a(Dх)Dх i forhold til infinitesimal Dx:

Derfor uendelig liten a(Dх)Dх har en høyere størrelsesorden sammenlignet med infinitesimal Dx, det er a(Dx)Dx = o.

Dermed den uendelige økningen Df differensierbar funksjon kan representeres i form av to begreper: infinitesimal f¢(x)Dx av samme størrelsesorden med Dx og uendelig liten a(Dх)Dх høyere rekkefølge av litenhet sammenlignet med uendelig Dx. Dette betyr at i likestilling Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx på Dх® 0 det andre leddet har en tendens til null "raskere" enn det første, altså a(Dx)Dx = o.

Første termin f¢(x)Dx, lineær mht Dx, kalt differensial funksjon f(x) på punktet X og betegne dy eller df(les "de igrek" eller "de ef"). Så,

dy = df = f¢(x)Dx.

Analytisk betydning av differensialen er at differensialen til en funksjon er hoveddelen av inkrementet til funksjonen Df, lineær med hensyn til argumentøkningen Dx. Differensialen til en funksjon er forskjellig fra økningen av en funksjon med en infinitesimal av en høyere størrelsesorden enn Dx. Egentlig, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx eller Df = df + a(Dx)Dx . Argumentdifferensial dx lik økningen Dx: dx=Dx.

Eksempel. Beregn differensialverdien til en funksjon f(x) = x 3 + 2x, Når X varierer fra 1 til 1,1.

Løsning. La oss finne et generelt uttrykk for differensialen til denne funksjonen:

Erstatter verdier dx=Dx=1,1–1= 0,1 Og x = 1 inn i den siste formelen får vi ønsket verdi av differensialen: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATER OG DIFFERENSIALER.

Første ordens partielle derivater. Første ordens partiell deriverte av funksjonen z = f(x,y ) ved argument X på det aktuelle punktet (x;y) kalt grense

hvis det finnes.

Partiell derivert av en funksjon z = f(x, y) ved argument X er indikert med ett av følgende symboler:

Tilsvarende er den partielle deriverte mht på angitt og definert av formelen:

Siden den partielle deriverte er den ordinære deriverte av en funksjon av ett argument, er det ikke vanskelig å beregne. For å gjøre dette må du bruke alle differensieringsreglene som er vurdert så langt, og ta hensyn til i hvert tilfelle hvilke av argumentene som tas som et "konstant tall" og som fungerer som en "differensieringsvariabel".

Kommentar. For å finne den partielle deriverte, for eksempel med hensyn til argumentet x – df/dx, er det nok å finne den ordinære deriverte av funksjonen f(x,y), vurderer sistnevnte som en funksjon av ett argument X, A på- konstant; å finne df/dy- omvendt.

Eksempel. Finn verdiene til partielle deriverte av en funksjon f(x,y) = 2x 2 + y 2 på punktet P(1;2).

Løsning. Telling f(x,y) funksjon av ett argument X og ved å bruke reglene for differensiering, finner vi

På punktet P(1;2) avledet verdi

Ved å betrakte f(x;y) en funksjon av ett argument y, finner vi

På punktet P(1;2) avledet verdi

OPPGAVE FOR ELEVENS UAVHENGIGE ARBEID:

Finn differensialene til følgende funksjoner:

Løs følgende problemer:

1. Hvor mye vil arealet av et kvadrat med side x=10 cm reduseres hvis siden reduseres med 0,01 cm?

2. Ligningen for kroppsbevegelse er gitt: y=t 3 /2+2t 2, hvor s er uttrykt i meter, t er i sekunder. Finn banen s som kroppen har gått i t=1,92 s fra begynnelsen av bevegelsen.

LITTERATUR

1. Lobotskaya N.L. Fundamentals of Higher Mathematics - M.: "Higher School", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematikk i biologi og medisin. Per. fra engelsk M.: "Mir", 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Samling av problemer i medisinsk og biologisk fysikk - M.: “Higher School”, 1987. P16-20.

Begrepet en funksjon av to variabler

Omfanget z kalt funksjon av to uavhengige variabler x Og y, hvis hvert par av tillatte verdier av disse mengdene, i henhold til en viss lov, tilsvarer en helt bestemt verdi av mengden z. Uavhengige variabler x Og y kalt argumenter funksjoner.

Denne funksjonelle avhengigheten er analytisk betegnet

Z = f(x,y),(1)

Verdiene til argumentene x og y som tilsvarer funksjonens faktiske verdier z, er vurdert akseptabel, og settet med alle tillatte verdipar x og y kalles definisjonsdomene funksjoner til to variabler.

For en funksjon av flere variabler, i motsetning til en funksjon av en variabel, begrepene til dens private økninger for hvert av argumentene og konseptet full økning.

Delvis økning Δ x z av funksjonen z=f (x,y) ved argument x er økningen denne funksjonen mottar hvis argumentet x økes Δx med konstant y:

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Den partielle økningen Δ y z til en funksjon z= f (x, y) over argumentet y er økningen som denne funksjonen mottar hvis argumentet y mottar en økning Δy med x uendret:

Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Fullt inkrement Δz funksjoner z=f(x,y) ved argument x Og y er økningen som en funksjon mottar hvis begge argumentene mottar inkrementer:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

For tilstrekkelig små trinn Δx Og Δy funksjonsargumenter

det er en omtrentlig likhet:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

og jo mindre den er, jo mer nøyaktig er den Δx Og Δy.

Partielle deriverte av en funksjon av to variabler

Delvis derivert av funksjonen z=f (x, y) med hensyn til argumentet x i punktet (x, y) kalt grensen for det delvise økningsforholdet Δ x z denne funksjonen til den tilsvarende økningen Δx argument x når du streber Δx til 0 og forutsatt at denne grensen eksisterer:

, (6)

Den deriverte av funksjonen bestemmes på samme måte z=f(x,y) ved argument y:

I tillegg til den angitte notasjonen, er partielle deriverte funksjoner også betegnet med z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y, f΄ y (x, y).

Hovedbetydningen av det partielle derivatet er som følger: den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler med hensyn til noen av dens argumenter karakteriserer endringshastigheten til denne funksjonen når dette argumentet endres.

Når du beregner den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler med hensyn til ethvert argument, anses alle andre argumenter for denne funksjonen som konstante.

Eksempel 1. Finn partielle deriverte av en funksjon

f (x, y)= x 2 + y 3

Løsning. Når vi finner den partielle deriverte av denne funksjonen med hensyn til argumentet x, anser vi argumentet y som en konstant verdi:

;

Når vi finner den partielle deriverte med hensyn til argumentet y, anser vi argumentet x som en konstant verdi:

Partielle og fullstendige differensialer av funksjoner av flere variabler

Partiell differensial av en funksjon av flere variabler med hensyn til hvilke-eller fra dens argumenter Produktet av den partielle deriverte av denne funksjonen med hensyn til et gitt argument og differensialen til dette argumentet kalles:

d x z= ,(7)

d y z= (8)

Her d x z Og d y z-partielle differensialer av en funksjon z=f(x,y) ved argument x Og y. Hvori

dx=Δx; dy=Δy, (9)

Full differensial en funksjon av flere variabler kalles summen av dens partielle differensialer:

dz= d x z + d y z, (10)

Eksempel 2. La oss finne de delvise og fullstendige differensialene til funksjonen f (x, y)= x 2 + y 3 .

Siden de partielle derivatene av denne funksjonen ble funnet i eksempel 1, får vi

d x z= 2xdx; d y z = 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2 dy

Den partielle differensialen til en funksjon av flere variabler med hensyn til hvert av dens argumenter er hoveddelen av den tilsvarende partielle økningen av funksjonen.

Som et resultat kan vi skrive:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

Den analytiske betydningen av den totale differensialen er at den totale differensialen til en funksjon av flere variabler representerer hoveddelen av den totale økningen av denne funksjonen.

Dermed er det en tilnærmet likhet

Δz dz, (12)

Bruken av den totale differensialen i omtrentlige beregninger er basert på bruk av formel (12).

La oss forestille oss økningen Δz som

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

og den totale differensialen er i form

Da får vi:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Hensikten med elevenes aktiviteter i klassen:

Studenten skal vite:

1. Definisjon av en funksjon av to variabler.

2. Konseptet med partiell og total økning av en funksjon av to variabler.

3. Bestemmelse av den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler.

4. Den fysiske betydningen av den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler med hensyn til noen av argumentene.

5. Bestemmelse av partiell differensial av en funksjon av flere variabler.

6. Bestemmelse av den totale differensialen til en funksjon av flere variabler.

7. Analytisk betydning av den totale differensialen.

Studenten skal kunne:

1. Finn den partielle og totale økningen av en funksjon av to variabler.

2. Beregn partielle deriverte av funksjoner av flere variabler.

3. Finn partielle og fullstendige differensialer av en funksjon av flere variabler.

4. Bruk den totale differensialen til en funksjon av flere variabler i omtrentlige beregninger.

Teoretisk del:

1. Konseptet med en funksjon av flere variabler.

2. Funksjon av to variabler. Delvis og total økning av en funksjon av to variabler.

3. Partiell derivert av en funksjon av flere variabler.

4. Partielle differensialer av funksjoner av flere variabler.

5. Fullfør differensial av en funksjon av flere variabler.

6. Anvendelse av den totale differensialen til en funksjon av flere variabler i omtrentlige beregninger.

Praktisk del:

1.Finn de partielle deriverte av funksjonene:

1) ; 4) ;

2) z=exy+2x; 5) z= 2tg xe y;

3) z= x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definer den partielle deriverte av en funksjon med hensyn til et gitt argument.

5. Hva kalles den partielle og totale differensialen til en funksjon av to variabler? Hvordan er de relatert?

6. Liste over spørsmål for å sjekke det endelige kunnskapsnivået:

1. I det generelle tilfellet med en vilkårlig funksjon av flere variabler, er dens totale økning lik summen av alle partielle inkrementer?

2. Hva er hovedbetydningen av den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler med hensyn til noen av dens argumenter?

3. Hva er den analytiske betydningen av den totale differensialen?

7. Kronograf av treningsøkten:

1. Organisasjonsøyeblikk – 5 min.

2. Analyse av temaet – 20 min.

3. Løsning av eksempler og problemer - 40 min.

4. Aktuell kunnskapskontroll -30 min.

5. Oppsummering av leksjonen – 5 min.

8. Liste over undervisningslitteratur for timen:

1. Morozov Yu.V. Grunnleggende om høyere matematikk og statistikk. M., «Medisin», 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. og andre Grunnleggende om høyere matematikk og matematisk statistikk. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Linearisering av en funksjon. Tangentplan og normal til overflaten.

Derivater og differensialer av høyere orden.

1. Partielle derivater av FNP *)

Vurder funksjonen Og = f(P), РÎDÌR n eller, hva er det samme,

Og = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

La oss fikse verdiene til variablene X 2 , ..., x n, og variabelen X 1 la oss gi inkrement D X 1 . Deretter funksjonen Og vil motta en økning bestemt av likestillingen

= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Denne økningen kalles privat tilvekst funksjoner Og etter variabel X 1 .

Definisjon 7.1. Partiell derivert funksjon Og = f(X 1 , X 2 , ..., x n) etter variabel X 1 er grensen for forholdet mellom den delvise økningen av en funksjon og økningen av argumentet D X 1 på D X 1 ® 0 (hvis denne grensen eksisterer).

Den partielle deriverte mht X 1 tegn

Altså per definisjon

Partielle derivater med hensyn til andre variabler bestemmes tilsvarende X 2 , ..., x n. Fra definisjonen er det klart at den partielle deriverte av en funksjon med hensyn til en variabel x i er den vanlige deriverte av en funksjon av én variabel x i, når andre variabler anses som konstanter. Derfor kan alle tidligere studerte regler og differensieringsformler brukes til å finne den deriverte av en funksjon av flere variabler.

For eksempel for funksjonen u = x 3 + 3xy – z 2 vi har

Således, hvis en funksjon av flere variabler er gitt eksplisitt, blir spørsmålene om eksistens og å finne dens partielle derivater redusert til de tilsvarende spørsmålene angående funksjonen til en variabel - den som det er nødvendig å bestemme den deriverte for.

La oss vurdere en implisitt definert funksjon. La ligningen F( x, y) = 0 definerer en implisitt funksjon av én variabel X. Rettferdig

Teorem 7.1.

La F( x 0 , y 0) = 0 og funksjoner F( x, y), F¢ X(x, y), F¢ på(x, y) er kontinuerlige i noen områder av punktet ( X 0 , på 0), og F¢ på(x 0 , y 0) ¹ 0. Deretter funksjonen på, gitt implisitt av ligningen F( x, y) = 0, har ved punktet ( x 0 , y 0) derivat, som er lik

Hvis betingelsene for teoremet er oppfylt på et hvilket som helst punkt i regionen DÌ R 2, så på hvert punkt i denne regionen .

For eksempel for funksjonen X 3 –2på 4 + wow+ 1 = 0 finner vi

La nå ligningen F( x, y, z) = 0 definerer en implisitt funksjon av to variabler. La oss finne og. Siden beregner den deriverte mht X produsert på en fast (konstant) på, så under disse forholdene er likheten F( x, y=konst, z) = 0 definerer z som en funksjon av én variabel X og ifølge teorem 7.1 får vi

like måte .

Altså for en funksjon av to variabler gitt implisitt av ligningen , partielle derivater finnes ved å bruke formlene: ,

For å forenkle registreringen og presentasjonen av materialet, vil vi begrense oss til funksjoner av to variabler. Alt som følger er også sant for funksjoner av et hvilket som helst antall variabler.

Definisjon. Delvis avledet funksjoner z = f(x, y) etter uavhengig variabel X kalt derivat

beregnet ved konstant på.

Den partielle deriverte med hensyn til en variabel bestemmes på samme måte på.

For partielle derivater er de vanlige reglene og formlene for differensiering gyldige.

Definisjon. Produktet av den partielle deriverte og økningen av argumentet X(y) kalles delvis differensial etter variabel X(på) funksjoner av to variabler z = f(x, y) (symbol: ):

Hvis under differensialen til den uavhengige variabelen dx(dy) forstå inkrement X(på), Det

For funksjon z = f(x, y) la oss finne ut den geometriske betydningen av frekvensderivatene og .

Tenk på poenget, poenget P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) på overflaten z = f(x,på) og kurve L, som oppnås ved å kutte overflaten med et plan y = y 0 . Denne kurven kan sees på som en graf av en funksjon av én variabel z = f(x, y) i flyet y = y 0 . Hvis holdt på punktet R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangent til kurven L, da, i henhold til den geometriske betydningen av den deriverte av en funksjon av en variabel , Hvor en – vinkelen som dannes av en tangent med den positive retningen til aksen Åh.