Gewone breuken aftrekken: regels, voorbeelden, oplossingen. Bewerkingen met breuken Rekenkundige bewerkingen met breukregels

Zelf werd ik geconfronteerd met het feit dat breuken voor mijn kinderen een nogal moeilijk onderwerp bleken te zijn.

Er is een heel goed spel Nikitin's Fractions, het is bedoeld voor kleuters, maar ook op school zal het het kind perfect helpen erachter te komen wat ze zijn - breuken, hun relatie tot elkaar..., en dat alles op een toegankelijke, visuele en spannende vorm.

Het bestaat uit twaalf veelkleurige cirkels. Eén cirkel is heel en de rest is verdeeld in gelijke delen: twee, drie.... (maximaal twaalf).

Het kind wordt gevraagd eenvoudige speltaken uit te voeren, bijvoorbeeld:

Hoe heten de delen van de cirkels? of

Welk deel is groter? (plaats de kleinere op de grotere.)

Deze techniek heeft mij geholpen. Over het algemeen betreur ik het echt dat al deze Nikitin-ontwikkelingen mijn aandacht niet trokken toen de kinderen nog baby's waren.

Je kunt het spel zelf maken of een kant-en-klaar exemplaar kopen en hier meer over alles lezen.

Het oplossen van breuken kan ook worden uitgelegd met behulp van legoblokjes. Het ontwikkelt niet alleen de verbeeldingskracht, maar ook het creatieve en logische denken, wat betekent dat het ook als leermiddel kan worden gebruikt.

Alicia Zimmerman kwam op het idee om de blokken van de beroemde ontwerper te gebruiken om kinderen de basisprincipes van wiskunde bij te brengen.

En hier leest u hoe u breuken kunt uitleggen met Lego.

De praktijk leert dat de meeste moeilijkheden ontstaan bij het optellen (aftrekken) van breuken met verschillende noemers en bij het delen van breuken.

Moeilijkheden ontstaan door onjuiste instructies in het leerboek, zoals het delen van een breuk door een breuk.

Om een breuk door een breuk te delen, vermenigvuldig je de teller van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk, en de teller van de tweede breuk met de noemer van de eerste breuk.

Kan een kind in groep 4 dit begrijpen zonder in de war te raken? NEE!

En de leraar legde het ons op een elementaire manier uit: we moeten de tweede breuk omdraaien en deze dan vermenigvuldigen!

Hetzelfde met optellen.

Om twee breuken op te tellen, moet je de teller van de eerste breuk vermenigvuldigen met de noemer van de tweede breuk, en de teller van de tweede breuk vermenigvuldigen met de noemer van de eerste breuk, de resulterende getallen optellen en ze in de teller schrijven. En in de noemer moet je het product van de noemers van de breuken schrijven. Hierna kan (of moet) de resulterende fractie worden verminderd.

En het is eenvoudiger: breng de breuken terug tot een gemeenschappelijke noemer, die gelijk is aan de LCM van de noemers, en tel vervolgens de tellers bij elkaar op.

Laat ze zien met een duidelijk voorbeeld. Snijd bijvoorbeeld een appel in 4 delen, doe hem in 8 delen, voeg 12 delen toe tot een geheel, voeg verschillende delen toe, trek af. Leg tegelijkertijd op papier uit aan de hand van regels. Regels voor optellen en aftrekken. breuken delen, en hoe je een geheel kunt isoleren van een onechte breuk - leer dit allemaal terwijl je met een appel manipuleert. Haast de kinderen niet; laat ze met uw hulp de plakjes zorgvuldig uitzoeken.

Vooral het leren van breuken aan kinderen is heel gebruikelijk en zal niet veel problemen opleveren. Het eenvoudigste wat u kunt doen is iets heels nemen, bijvoorbeeld een mandarijn of een andere vrucht, het in delen verdelen en een voorbeeld gebruiken om aftrekken, optellen en andere bewerkingen met stukjes van deze vrucht te laten zien, wat fracties zijn van de geheel. Alles moet worden uitgelegd en getoond, en de laatste factor zal zijn om samen problemen uit te leggen en op te lossen met behulp van wiskundige voorbeelden totdat het kind leert deze taken zelf uit te voeren.

De figuur laat duidelijk zien wat overeenkomt met wat en hoe de breuk er uitziet op een echt object, dit is precies hoe het moet worden uitgelegd.

Je moet dit probleem grondig aanpakken, omdat het oplossen van breuken van pas zal komen in het leven. Het is in deze kwestie noodzakelijk, zoals ze zeggen, om op gelijke voet te staan met kinderen, en om de theorie uit te leggen in een taal die ze begrijpen, bijvoorbeeld in de taal van cake of mandarijn. Je moet de taart in stukken verdelen en aan vrienden geven, waarna het kind de essentie van het oplossen van breuken begint te begrijpen. Begin niet met zware breuken, begin met de concepten 1/2, 1/3, 1/10. Eerst aftrekken en optellen, en dan verdergaan met complexere concepten zoals vermenigvuldigen en delen.

Er zijn verschillende soorten problemen met breuken. Het ene kind kan niet begrijpen dat één seconde en vijf tienden hetzelfde zijn, anderen zijn verbijsterd als ze verschillende breuken naar dezelfde noemer brengen, en weer anderen raken in de war als ze breuken delen. Daarom is er niet één regel voor alle gelegenheden.

Het belangrijkste bij problemen met breuken is dat je het moment niet mist waarop wat begrijpelijk is, niet langer zo is. Ga terug naar de kachel en herhaal alles opnieuw, ook al lijkt het ellendig primitief. Ga bijvoorbeeld terug naar wat is één seconde.

Het kind moet begrijpen dat wiskundige concepten abstract zijn, dat hetzelfde fenomeen in verschillende woorden kan worden beschreven en in verschillende cijfers kan worden uitgedrukt.

Ik vind het antwoord van Mefody66 leuk. Ik zal toevoegen uit vele jaren van persoonlijke oefening: leren hoe je problemen met breuken kunt oplossen (en geen breuken oplossen; het oplossen van breuken is onmogelijk, net zoals het onmogelijk is om getallen op te lossen) is vrij eenvoudig, je hoeft alleen maar dicht bij het kind te zijn wanneer hij dergelijke problemen voor het eerst begint op te lossen, en zijn oplossing op tijd corrigeert, zodat fouten, die onvermijdelijk zijn bij het leren, geen tijd krijgen om zich in de geest van het kind te nestelen. Opnieuw leren is moeilijker dan iets nieuws leren. En los dergelijke problemen zoveel mogelijk op. Het zou een goede zaak zijn om de oplossing van dergelijke taken naar automatisering te brengen. Het vermogen om problemen met gewone breuken op te lossen is in een wiskundecursus op school net zo belangrijk als kennis van de tafel van vermenigvuldiging. U moet dus de tijd nemen om te kijken hoe uw kind dergelijke problemen oplost.

En vertrouw niet te veel op het leerboek: leraren op scholen leggen precies uit zoals Mefody66 in zijn antwoord schreef. Het is beter om met de leraar te praten en erachter te komen in welke woorden de leraar dit onderwerp heeft uitgelegd. En gebruik indien mogelijk dezelfde woorden en zinsneden (om het kind niet te veel in verwarring te brengen)

Ook: ik raad je aan om alleen in de beginfase van de uitleg visuele voorbeelden te gebruiken, dan snel te abstraheren en verder te gaan met het oplossingsalgoritme. Anders kan duidelijkheid nadelig zijn bij het oplossen van complexere problemen. Als u bijvoorbeeld breuken met de noemers 29 en 121 moet optellen, welk soort visueel hulpmiddel zal dan helpen? Het zal alleen maar verwarren.

Breuken zijn een van die gezegende wiskundige onderwerpen waarbij er geen abstracties zijn die niet van toepassing zijn. Er moeten producten worden gebruikt (op taarten, zoals Juanita Solis in Desperate Housewives - een hele coole uitlegmethode). Al deze teller-noemers komen later. Dan is het noodzakelijk dat het kind begrijpt dat delen door een breuk helemaal geen afname meer is, en vermenigvuldiging geen toename. Hier is het beter om te laten zien hoe je kunt delen door een breuk in de vorm van vermenigvuldiging door inversie. Presenteer de afkorting op een speelse manier; als ze door één getal worden gedeeld, deel dan, het blijkt bijna Sudoku te zijn, als je geïnteresseerd bent. Het belangrijkste is om misverstanden op tijd op te merken, want verderop zullen er interessantere onderwerpen zijn die niet gemakkelijk te begrijpen zijn. Oefen daarom meer met het oplossen van breuken en alles zal snel beter worden. Voor mij, de meest zuivere humanist, zijn breuken, verre van de geringste mate van abstractie, altijd duidelijker geweest dan andere onderwerpen.

De gemeenschappelijke noemer van verschillende breuken is de LCM (kleinste gemene veelvoud) van de natuurlijke getallen die de noemers zijn van de gegeven breuken.

Aan de tellers van de gegeven breuken moet je extra factoren toevoegen die gelijk zijn aan de verhouding van de LCM en de overeenkomstige noemer.

De tellers van gegeven breuken worden vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren, wat resulteert in tellers van breuken met één gemeenschappelijke noemer. Actietekens (“+” of “-”) bij het registreren van breuken die tot een gemeenschappelijke noemer zijn teruggebracht, worden vóór elke breuk opgeslagen. Voor breuken met een gemeenschappelijke noemer worden de actietekens vóór elke gereduceerde teller behouden.

Pas nu kun je de tellers optellen of aftrekken en de gemeenschappelijke noemer onder het resultaat ondertekenen.

Aandacht! Als in de resulterende breuk de teller en de noemer gemeenschappelijke factoren hebben, moet de breuk worden verminderd. Het is raadzaam om een onechte breuk om te zetten in een gemengde breuk. Het resultaat van een optelling of aftrekking achterlaten zonder de breuk waar mogelijk te annuleren, is een onvolledige oplossing voor het voorbeeld!

Breuken met verschillende noemers optellen en aftrekken. Regel. Naar breuken met verschillende noemers optellen of aftrekken, moet u ze eerst terugbrengen tot de kleinste gemene deler en vervolgens optellen of aftrekken, zoals bij breuken met dezelfde noemer.

Procedure voor het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers

vind de LCM van alle noemers;
voeg extra factoren toe aan elke breuk;
vermenigvuldig elke teller met een extra factor;
neem de resulterende producten als tellers en onderteken de gemeenschappelijke noemer onder elke breuk;
de tellers van breuken optellen of aftrekken door de gemeenschappelijke noemer onder de som of het verschil te ondertekenen.

Breuken kunnen ook worden opgeteld en afgetrokken als er letters in de teller staan.

Inhoud van de les

Breuken met gelijke noemers optellen

Er zijn twee soorten optelling van breuken:

Breuken met gelijke noemers optellen;
Breuken met verschillende noemers optellen.

Laten we eerst de optelling van breuken met gelijke noemers bestuderen. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten.

Laten we bijvoorbeeld de breuken en optellen. Voeg de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2. Voeg breuken en toe.

Het antwoord bleek een onechte breuk te zijn. Wanneer het einde van de taak is bereikt, is het gebruikelijk om onechte breuken te verwijderen. Om van een onechte breuk af te komen, moet je het hele deel ervan selecteren. In ons geval is het hele deel gemakkelijk te isoleren - twee gedeeld door twee is één:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we ons een pizza herinneren die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je één hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.

Nogmaals, we tellen de tellers bij elkaar op en laten de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden opgeteld en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het optellen van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:

Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten;

Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we nu leren hoe we breuken met verschillende noemers kunnen optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van de breuken hetzelfde zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemers hebben.

Maar breuken kunnen niet meteen worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te herleiden. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de andere methoden voor een beginner misschien ingewikkeld lijken.

De essentie van deze methode is dat eerst de LCM van de noemers van beide breuken wordt doorzocht. De LCM wordt vervolgens gedeeld door de noemer van de eerste breuk om de eerste aanvullende factor te verkrijgen. Hetzelfde doen ze met de tweede breuk: de LCM wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en er wordt een tweede extra factor verkregen.

De tellers en noemers van de breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.

Voorbeeld 1. Laten we de breuken en optellen

Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6

LCM (2 en 3) = 6

Laten we nu terugkeren naar breuken en . Deel eerst de LCM door de noemer van de eerste breuk en verkrijg de eerste extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3 en we krijgen 2.

Het resulterende getal 2 is de eerste extra vermenigvuldiger. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, trekt u een kleine schuine lijn over de breuk en noteert u de extra factor die erboven staat:

Hetzelfde doen we met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2 en we krijgen 3.

Het resulterende getal 3 is de tweede extra vermenigvuldiger. We schrijven het op in de tweede breuk. We maken opnieuw een kleine schuine lijn over de tweede breuk en noteren de extra factor die erboven staat:

Nu hebben we alles klaar voor toevoeging. Het blijft nodig om de tellers en noemers van de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

Kijk goed naar wat we zijn tegengekomen. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:

Hiermee is het voorbeeld voltooid. Het blijkt toe te voegen.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt, krijg je één hele pizza en nog een zesde deel van een pizza:

Het herleiden van breuken tot dezelfde (gemene) noemer kan ook met behulp van een afbeelding worden weergegeven. Door de breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze twee breuken worden weergegeven door dezelfde stukken pizza. Het enige verschil is dat ze deze keer in gelijke delen worden verdeeld (herleid tot dezelfde noemer).

De eerste tekening vertegenwoordigt een breuk (vier van de zes), en de tweede tekening vertegenwoordigt een breuk (drie van de zes). Als we deze stukken toevoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is ongepast, dus hebben we het hele deel ervan gemarkeerd. Als resultaat kregen we (een hele pizza en nog een zesde pizza).

Houd er rekening mee dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben beschreven. In onderwijsinstellingen is het niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en de gevonden aanvullende factoren snel kunnen vermenigvuldigen met uw tellers en noemers. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:

Maar er zit ook een andere kant aan de medaille. Als je in de eerste fasen van het studeren van wiskunde geen gedetailleerde aantekeningen maakt, beginnen dit soort vragen te verschijnen. “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom veranderen breuken ineens in totaal andere breuken? «.

Om het optellen van breuken met verschillende noemers makkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

Zoek de LCM van de noemers van breuken;
Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk;
Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun aanvullende factoren;
Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, selecteer dan het hele deel ervan;

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie .

Laten we de hierboven gegeven instructies gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM van de noemers van de breuken

Zoek de LCM van de noemers van beide breuken. De noemers van breuken zijn de getallen 2, 3 en 4

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk

Verdeel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2 en we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven deze boven de eerste breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We krijgen de tweede extra factor 4. We schrijven deze boven de tweede breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We krijgen de derde extra factor 3. We schrijven deze boven de derde breuk:

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van de breuken met hun aanvullende factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met hun aanvullende factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe met dezelfde noemers

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het enige dat overblijft is het optellen van deze breuken. Voeg het toe:

De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. In de wiskunde is dit toegestaan. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze naar de volgende regel verplaatst en is het noodzakelijk om een gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van de nieuwe regel te plaatsen. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.

Stap 5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, markeer dan het hele deel ervan

Ons antwoord bleek een onechte breuk te zijn. We moeten een heel deel ervan onder de aandacht brengen. Wij benadrukken:

Wij kregen antwoord

Breuken met gelijke noemers aftrekken

Er zijn twee soorten aftrekkingen van breuken:

Breuken met gelijke noemers aftrekken
Breuken met verschillende noemers aftrekken

Laten we eerst leren hoe we breuken met gelijke noemers kunnen aftrekken.

Om een andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten.

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de expressie vinden. Om dit voorbeeld op te lossen, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza's uit een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van de uitdrukking.

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:

Om een andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten;
Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan benadrukken.

Breuken met verschillende noemers aftrekken

U kunt bijvoorbeeld een breuk van een breuk aftrekken omdat de breuken dezelfde noemers hebben. Maar je kunt geen breuk van een breuk aftrekken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden met behulp van hetzelfde principe dat we hebben gebruikt bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste aanvullende factor verkregen, die boven de eerste breuk wordt geschreven. Op dezelfde manier wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die boven de tweede breuk wordt geschreven.

De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze bewerkingen worden breuken met verschillende noemers omgezet in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.

Voorbeeld 1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12

LCM (3 en 4) = 12

Laten we nu terugkeren naar breuken en

Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3 en je krijgt 4. Schrijf een vier boven de eerste breuk:

Hetzelfde doen we met de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. Schrijf een drie over de tweede breuk:

Nu zijn we klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:

Wij kregen antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza uit een pizza snijdt, krijg je pizza

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld korter moeten oplossen. Zo’n oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:

Het herleiden van breuken tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze in gelijke delen verdeeld (herleid tot dezelfde noemer):

De eerste foto toont een breuk (acht van de twaalf), en de tweede foto toont een breuk (drie van de twaalf). Door drie stukken uit acht stukken te snijden, krijgen we vijf stukken uit twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus eerst moet je ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Laten we de LCM van de noemers van deze breuken vinden.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we voor elke breuk aanvullende factoren. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van elke breuk.

Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. LCM is het getal 30, en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven deze boven de eerste breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. De LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven deze boven de tweede breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven deze boven de derde breuk:

Nu is alles klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, en alles lijkt bij ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het eenvoudiger maken. Wat kan er gedaan worden? Je kunt deze breuk inkorten.

Om een breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer delen door (GCD) van de getallen 20 en 30.

We vinden dus de ggd van de nummers 20 en 30:

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en de noemer van de breuk door de gevonden ggd, dat wil zeggen door 10

Wij kregen antwoord

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de breuk met dat getal vermenigvuldigen en de noemer ongewijzigd laten.

Voorbeeld 1. Vermenigvuldig een breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De opname kan worden opgevat als een halve tijdsbesteding. Als je bijvoorbeeld één keer pizza neemt, krijg je pizza

Uit de vermenigvuldigingswetten weten we dat als het vermenigvuldigtal en de factor worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking wordt geschreven als , zal het product nog steeds gelijk zijn aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:

Deze notatie kan worden opgevat als het nemen van de helft van één. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als u bijvoorbeeld 4 pizza's neemt, krijgt u twee hele pizza's

En als we de vermenigvuldiger en de vermenigvuldiger verwisselen, krijgen we de uitdrukking . Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's uit vier hele pizza's:

Het getal dat wordt vermenigvuldigd met de breuk en de noemer van de breuk worden opgelost als ze een gemeenschappelijke deler groter dan één hebben.

Een expressie kan bijvoorbeeld op twee manieren worden geëvalueerd.

Eerste manier. Vermenigvuldig het getal 4 met de teller van de breuk en laat de noemer van de breuk ongewijzigd:

Tweede manier. De vier die worden vermenigvuldigd en de vier in de noemer van de breuk kunnen worden verminderd. Deze viertallen kunnen met 4 worden verminderd, aangezien de grootste gemene deler voor twee vieren de vier zelf is:

We kregen hetzelfde resultaat 3. Na het verkleinen van de viertallen worden er nieuwe getallen voor in de plaats gevormd: twee enen. Maar één vermenigvuldigen met drie, en dan delen door één, verandert niets. Daarom kan de oplossing kort worden geschreven:

De reductie kan zelfs worden uitgevoerd als we besloten de eerste methode te gebruiken, maar in de fase van het vermenigvuldigen van het getal 4 en de teller 3 hebben we besloten om de reductie te gebruiken:

Maar de uitdrukking kan bijvoorbeeld alleen op de eerste manier worden berekend: vermenigvuldig 7 met de noemer van de breuk en laat de noemer ongewijzigd:

Dit komt door het feit dat het getal 7 en de noemer van de breuk geen gemeenschappelijke deler hebben die groter is dan één, en dus niet opheffen.

Sommige leerlingen verkorten ten onrechte het getal dat wordt vermenigvuldigd en de teller van de breuk. Je kunt dit niet doen. De volgende invoer is bijvoorbeeld niet correct:

Een fractie verkleinen betekent dat zowel teller als noemer wordt gedeeld door hetzelfde getal. In de situatie met de uitdrukking wordt deling alleen in de teller uitgevoerd, aangezien het schrijven hiervan hetzelfde is als het schrijven van . We zien dat deling alleen in de teller plaatsvindt, en dat er geen deling in de noemer plaatsvindt.

Breuken vermenigvuldigen

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan markeren.

Voorbeeld 1. Zoek de waarde van de uitdrukking.

Wij kregen antwoord. Het is raadzaam deze fractie te verkleinen. De breuk kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza uit een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe kun je tweederde van deze helft halen? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee uit deze drie stukken:

Wij gaan pizza maken. Onthoud hoe pizza eruit ziet als deze in drie delen is verdeeld:

Eén stuk van deze pizza en de twee stukken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, we hebben het over pizza van dezelfde grootte. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, maar het zou goed zijn als deze werd ingekort. Om deze breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer van deze breuk delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 105 en 450.

Laten we dus de ggd van de nummers 105 en 450 vinden:

Nu delen we de teller en de noemer van ons antwoord door de ggd die we nu hebben gevonden, dat wil zeggen door 15

Een geheel getal weergeven als een breuk

Elk geheel getal kan als een breuk worden weergegeven. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Dit zal de betekenis van vijf niet veranderen, aangezien de uitdrukking ‘het getal vijf gedeeld door één’ betekent, en dit is, zoals we weten, gelijk aan vijf:

Wederzijdse cijfers

Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet ‘omgekeerde getallen’.

Definitie. Omkeren naar nummerA is een getal dat, vermenigvuldigd metA geeft er een.

Laten we deze definitie vervangen in plaats van de variabele A nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Omkeren naar nummer 5 is een getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft er een.

Is het mogelijk een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één oplevert? Het blijkt mogelijk te zijn. Laten we ons vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk vervolgens met zichzelf, verwissel gewoon de teller en de noemer. Met andere woorden, laten we de breuk met zichzelf vermenigvuldigen, alleen ondersteboven:

Wat zal er als gevolg hiervan gebeuren? Als we dit voorbeeld blijven oplossen, krijgen we er een:

Dit betekent dat het omgekeerde van het getal 5 het getal is, want als je 5 vermenigvuldigt, krijg je er één.

Het omgekeerde van een getal kan ook voor elk ander geheel getal worden gevonden.

Je kunt ook het omgekeerde getal voor elke andere breuk vinden. Om dit te doen, draait u het gewoon om.

Een breuk delen door een getal

Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Laten we het gelijkelijk over twee verdelen. Hoeveel pizza krijgt elke persoon?

Te zien is dat na het verdelen van de helft van de pizza twee gelijke stukken werden verkregen, die elk een pizza vormen. Dus iedereen krijgt een pizza.

Om te begrijpen hoe je breuken met verschillende noemers optelt, gaan we eerst de regel leren en dan naar specifieke voorbeelden kijken.

Om breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken:

1) Zoek (NOZ) de gegeven breuken.

2) Zoek voor elke breuk een extra factor. Om dit te doen, moet de nieuwe noemer worden gedeeld door de oude.

3) Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met een extra factor en tel breuken met dezelfde noemers op of trek ze af.

4) Controleer of de resulterende fractie juist en onherleidbaar is.

In de volgende voorbeelden moet u breuken met verschillende noemers optellen of aftrekken:

1) Om breuken met ongelijke noemers af te trekken, zoek je eerst naar de kleinste gemene deler van de gegeven breuken. We selecteren het grootste getal en controleren of dit deelbaar is door het kleinere getal. 25 is niet deelbaar door 20. We vermenigvuldigen 25 met 2. 50 is niet deelbaar door 20. We vermenigvuldigen 25 met 3. 75 is niet deelbaar door 20. Vermenigvuldig 25 met 4. 100 wordt gedeeld door 20. De kleinste gemene deler is dus 100.

2) Om voor elke breuk een extra factor te vinden, moet je de nieuwe noemer delen door de oude. 100:25=4, 100:20=5. Dienovereenkomstig heeft de eerste fractie een extra factor 4 en de tweede een extra factor 5.

3) Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met een extra factor en trek de breuken af volgens de regel voor het aftrekken van breuken met dezelfde noemers.

4) De resulterende fractie is juist en onherleidbaar. Dit is dus het antwoord.

1) Om breuken met verschillende noemers op te tellen, zoek je eerst naar de kleinste gemene deler. 16 is niet deelbaar door 12. 16∙2=32 is niet deelbaar door 12. 16∙3=48 is deelbaar door 12. Dus 48 is NOZ.

2) 48:16=3, 48:12=4. Dit zijn aanvullende factoren voor elke fractie.

3) vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met een extra factor en voeg nieuwe breuken toe.

4) De resulterende fractie is juist en onherleidbaar.

1) 30 is niet deelbaar door 20. 30∙2=60 is deelbaar door 20. Dus 60 is de kleinste gemene deler van deze breuken.

2) om voor elke breuk een extra factor te vinden, moet je de nieuwe noemer delen door de oude: 60:20=3, 60:30=2.

3) Vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met een extra factor en trek nieuwe breuken af.

4) de resulterende fractionele 5.

1) 8 is niet deelbaar door 6. 8∙2=16 is niet deelbaar door 6. 8∙3=24 is deelbaar door zowel 4 als 6. Dit betekent dat 24 de NOZ is.

2) om voor elke breuk een extra factor te vinden, moet je de nieuwe noemer delen door de oude. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Dit betekent dat 3, 6 en 4 aanvullende factoren zijn voor de eerste, tweede en derde breuk.

3) vermenigvuldig de teller en de noemer van elke breuk met een extra factor. Optellen en aftrekken. De resulterende breuk is onjuist, dus u moet het hele onderdeel selecteren.

Dit artikel begint met de studie van bewerkingen met algebraïsche breuken: we zullen bewerkingen als het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken in detail bekijken. Laten we het schema voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met zowel dezelfde als verschillende noemers analyseren. Laten we leren hoe we een algebraïsche breuk kunnen optellen met een polynoom en hoe we deze kunnen aftrekken. Aan de hand van concrete voorbeelden leggen we elke stap in het vinden van oplossingen voor problemen uit.

Optellen en aftrekken met gelijke noemers

Het schema voor het optellen van gewone breuken is ook van toepassing op algebraïsche breuken. We weten dat je bij het optellen of aftrekken van gewone breuken met gelijke noemers de tellers moet optellen of aftrekken, maar de noemer blijft hetzelfde.

Bijvoorbeeld: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 en 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Dienovereenkomstig wordt de regel voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met gelijke noemers op een vergelijkbare manier geschreven:

Definitie 1

Om algebraïsche breuken met dezelfde noemers op te tellen of af te trekken, moet je respectievelijk de tellers van de oorspronkelijke breuken optellen of aftrekken, en de noemer ongewijzigd schrijven.

Deze regel maakt het mogelijk om te concluderen dat het resultaat van het optellen of aftrekken van algebraïsche breuken een nieuwe algebraïsche breuk is (in een specifiek geval: een polynoom, monomiaal of getal).

Laten we een voorbeeld geven van de toepassing van de geformuleerde regel.

Voorbeeld 1

De gegeven algebraïsche breuken zijn: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 en 3 - x · y x 2 · y - 2 . Het is noodzakelijk om ze toe te voegen.

Oplossing

De oorspronkelijke breuken bevatten dezelfde noemers. Volgens de regel zullen we de tellers van de gegeven breuken optellen en de noemer ongewijzigd laten.

Als we de polynomen optellen die de tellers zijn van de oorspronkelijke breuken, krijgen we: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Vervolgens wordt het benodigde bedrag geschreven als: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

In de praktijk wordt de oplossing, zoals in veel gevallen, gegeven door een keten van gelijkheden, waarin alle stadia van de oplossing duidelijk zichtbaar zijn:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Antwoord: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Het resultaat van optellen of aftrekken kan een reduceerbare fractie zijn, in welk geval het optimaal is om deze te verkleinen.

Voorbeeld 2

Het is noodzakelijk om de breuk 2 · y x 2 - 4 · y 2 af te trekken van de algebraïsche breuk x x 2 - 4 · y 2 .

Oplossing

De noemers van de oorspronkelijke breuken zijn gelijk. Laten we bewerkingen met tellers uitvoeren, namelijk: trek de teller van de tweede af van de teller van de eerste breuk en schrijf vervolgens het resultaat, waarbij de noemer ongewijzigd blijft:

x x 2 - 4 j 2 - 2 j x 2 - 4 j 2 = x - 2 j x 2 - 4 j 2

We zien dat de resulterende fractie reduceerbaar is. Laten we het verkleinen door de noemer te transformeren met behulp van de kwadratische verschilformule:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Antwoord: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Volgens hetzelfde principe worden drie of meer algebraïsche breuken met dezelfde noemers opgeteld of afgetrokken. Bijvoorbeeld:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Optellen en aftrekken met verschillende noemers

Laten we nog eens kijken naar het bewerkingsschema met gewone breuken: om gewone breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, moet je ze naar een gemeenschappelijke noemer brengen en vervolgens de resulterende breuken met dezelfde noemers optellen.

Bijvoorbeeld 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 of 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Naar analogie formuleren we ook de regel voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met verschillende noemers:

Definitie 2

Om algebraïsche breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, moet je:

breng de oorspronkelijke breuken naar een gemeenschappelijke noemer;
het optellen of aftrekken van resulterende breuken met dezelfde noemers uitvoeren.

Het is duidelijk dat de sleutel hier de vaardigheid zal zijn om algebraïsche breuken tot een gemeenschappelijke noemer te herleiden. Laten we het eens nader bekijken.

Het reduceren van algebraïsche breuken tot een gemeenschappelijke noemer

Om algebraïsche breuken tot een gemeenschappelijke noemer te brengen, is het noodzakelijk om een identieke transformatie van de gegeven breuken uit te voeren, waardoor de noemers van de oorspronkelijke breuken hetzelfde worden. Hier is het optimaal om het volgende algoritme te gebruiken om algebraïsche breuken tot een gemeenschappelijke noemer te herleiden:

eerst bepalen we de gemeenschappelijke noemer van algebraïsche breuken;
vervolgens vinden we aanvullende factoren voor elk van de breuken door de gemeenschappelijke noemer te delen door de noemers van de oorspronkelijke breuken;
De laatste actie is het vermenigvuldigen van de tellers en noemers van de gegeven algebraïsche breuken met de overeenkomstige aanvullende factoren.

Voorbeeld 3

De algebraïsche breuken zijn gegeven: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a en a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Het is noodzakelijk om ze onder een gemeenschappelijke noemer te brengen.

Oplossing

Wij handelen volgens het bovenstaande algoritme. Laten we de gemeenschappelijke noemer van de oorspronkelijke breuken bepalen. Voor dit doel ontbinden we de noemers van de gegeven breuken: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) en 4 een 5 − 16 een 3 = 4 een 3 (een − 2) (een + 2). Vanaf hier kunnen we de gemeenschappelijke noemer schrijven: 12 een 3 (een − 2) (een + 2).

Nu moeten we aanvullende factoren vinden. Laten we, volgens het algoritme, de gevonden gemene deler verdelen in de noemers van de oorspronkelijke breuken:

voor de eerste breuk: 12 · een 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · een 2 · (a − 2)) = 6 · een · (a + 2) ;
voor de tweede breuk: 12 · een 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · een · (a − 2)) = 4 · een 2 · (a + 2);
voor de derde fractie: 12 een 3 (een − 2) (een + 2) : (4 een 3 (een − 2) (een + 2)) = 3 .

De volgende stap is het vermenigvuldigen van de tellers en noemers van de gegeven breuken met de gevonden aanvullende factoren:

een + 2 2 een 3 - 4 een 2 = (a + 2) 6 een (a + 2) (2 een 3 - 4 een 2) 6 een (a + 2) = 6 een (een + 2) 2 12 een 3 (een - 2) (a + 2) een + 3 3 een 2 - 6 a = (a + 3) 4 een 2 ( een + 2) 3 een 2 - 6 een 4 een 2 (a + 2) = 4 een 2 (a + 3) (a + 2) 12 een 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · een 5 - 16 · een 3 = (a + 1) · 3 (4 · een 5 - 16 · een 3) · 3 = 3 · (een + 1) 12 · een 3 (een - 2) (een + 2)

Antwoord: een + 2 2 · een 3 - 4 · een 2 = 6 · een · (een + 2) 2 12 · een 3 · (een - 2) · (een + 2) ; een + 3 3 · een 2 - 6 · een = 4 · een 2 · (een + 3) · (een + 2) 12 · een 3 · (een - 2) · (een + 2) ; een + 1 4 · een 5 - 16 · een 3 = 3 · (een + 1) 12 · een 3 · (een - 2) · (een + 2) .

We hebben dus de oorspronkelijke breuken teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer. Indien nodig kunt u het resulterende resultaat vervolgens omzetten in de vorm van algebraïsche breuken door polynomen en monomialen in de tellers en noemers te vermenigvuldigen.

Laten we dit punt ook verduidelijken: het is optimaal om de gevonden gemene deler in de vorm van een product te laten voor het geval het nodig is om de laatste fractie te verkleinen.

We hebben het schema voor het reduceren van initiële algebraïsche breuken tot een gemeenschappelijke noemer in detail onderzocht; nu kunnen we beginnen met het analyseren van voorbeelden van het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers.

Voorbeeld 4

De gegeven algebraïsche breuken zijn: 1 - 2 x x 2 + x en 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Het is noodzakelijk om de actie van hun toevoeging uit te voeren.

Oplossing

De oorspronkelijke breuken hebben verschillende noemers, dus de eerste stap is om ze naar een gemeenschappelijke noemer te brengen. We ontbinden de noemers in factoren: x 2 + x = x · (x + 1) , en x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2), omdat wortels van een vierkante trinominaal x2+3x+2 deze cijfers zijn: - 1 en - 2. We bepalen de gemene deler: x(x+1)(x+2), dan zijn de aanvullende factoren: x+2 En -X voor respectievelijk de eerste en tweede fractie.

Dus: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) en 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Laten we nu de breuken die we hebben gebracht optellen tot een gemeenschappelijke noemer:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

De resulterende fractie kan worden verminderd met een gemeenschappelijke factor x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

En ten slotte schrijven we het verkregen resultaat in de vorm van een algebraïsche breuk, waarbij we het product in de noemer vervangen door een polynoom:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Laten we de oplossing kort opschrijven in de vorm van een keten van gelijkheden:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2x (x + 2) = 2x 2 + 2x

Antwoord: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Let op dit detail: voordat u algebraïsche breuken optelt of aftrekt, is het raadzaam om ze, indien mogelijk, te transformeren om ze te vereenvoudigen.

Voorbeeld 5

Het is noodzakelijk om breuken af te trekken: 2 1 1 3 · x - 2 21 en 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Oplossing

Laten we de oorspronkelijke algebraïsche breuken transformeren om de verdere oplossing te vereenvoudigen. Laten we de numerieke coëfficiënten van de variabelen in de noemer tussen haakjes zetten:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 en 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Deze transformatie heeft ons duidelijk een voordeel opgeleverd: we zien duidelijk de aanwezigheid van een gemeenschappelijke factor.

Laten we numerieke coëfficiënten in de noemers helemaal afschaffen. Om dit te doen, gebruiken we de belangrijkste eigenschap van algebraïsche breuken: we vermenigvuldigen de teller en de noemer van de eerste breuk met 3 4, en de tweede met - 1 2, en dan krijgen we:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 en 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Laten we een actie uitvoeren waarmee we breukcoëfficiënten kunnen verwijderen: vermenigvuldig de resulterende breuken met 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 en - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Laten we tot slot de actie uitvoeren die vereist is in de probleemstelling: aftrekken:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Antwoord: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Optellen en aftrekken van algebraïsche breuken en polynomen

Deze actie komt ook neer op het optellen of aftrekken van algebraïsche breuken: het is noodzakelijk om de oorspronkelijke polynoom voor te stellen als een breuk met de noemer 1.

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om een polynoom toe te voegen x 2 − 3 met de algebraïsche breuk 3 x x + 2.

Oplossing

Laten we de polynoom schrijven als een algebraïsche breuk met noemer 1: x 2 - 3 1

Nu kunnen we de optelling uitvoeren volgens de regel voor het optellen van breuken met verschillende noemers:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Antwoord: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter