Het vectorproduct van de som van vectoren. Vectorillustraties

Hoek tussen vectoren

Voordat we het concept van het vectorproduct van twee vectoren kunnen introduceren, moeten we eerst een dergelijk concept begrijpen als de hoek tussen deze vectoren.

Laten we twee vectoren $\overline(α)$ en $\overline(β)$ krijgen. Laten we een punt $O$ in de ruimte nemen en daaruit de vectoren $\overline(α)=\overline(OA)$ en $\overline(β)=\overline(OB)$ tekenen, en vervolgens de hoek $AOB$ wordt de hoek tussen deze vectoren genoemd (Fig. 1).

Notatie: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Het concept van een vectorproduct van vectoren en de formule voor het vinden

Definitie 1

Het vectorproduct van twee vectoren is een vector die loodrecht staat op beide gegeven vectoren, en de lengte ervan zal gelijk zijn aan het product van de lengtes van deze vectoren met de sinus van de hoek tussen deze vectoren, en ook deze vector met twee initiële vectoren heeft de dezelfde oriëntatie als het cartesiaanse coördinatensysteem.

Notatie: $\overline(α)х\overline(β)$.

Wiskundig gezien ziet het er als volgt uit:

1. $|\overlijn(α)х\overlijn(β)|=|\overlijn(α)||\overlijn(β)|sin⁡∠(\overlijn(α),\overlijn(β))$
2. $\overlijn(α)х\overlijn(β)⊥\overlijn(α)$, $\overlijn(α)х\overlijn(β)⊥\overlijn(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ en $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ zijn hetzelfde georiënteerd (Fig. 2)

Het is duidelijk dat het buitenste product van vectoren in twee gevallen gelijk zal zijn aan de nulvector:

1. Als de lengte van één of beide vectoren nul is.
2. Als de hoek tussen deze vectoren gelijk is aan $180^\circ$ of $0^\circ$ (aangezien in dit geval de sinus nul is).

Om duidelijk te zien hoe het vectorproduct van vectoren wordt gevonden, overweeg dan de volgende voorbeelden van oplossingen.

voorbeeld 1

Zoek de lengte van de vector $\overline(δ)$, die het resultaat zal zijn van het vectorproduct van vectoren, met coördinaten $\overline(α)=(0,4,0)$ en $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Oplossing.

Laten we deze vectoren weergeven in de cartesiaanse coördinatenruimte (Fig. 3):

Figuur 3. Vectoren in cartesiaanse coördinatenruimte. Author24 - online uitwisseling van studentenwerk

We zien dat deze vectoren respectievelijk op de $Ox$- en $Oy$-as liggen. Daarom zal de hoek ertussen $90^\circ$ zijn. Laten we de lengtes van deze vectoren vinden:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Vervolgens verkrijgen we volgens definitie 1 de module $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Antwoord: $12$.

Berekening van het kruisproduct uit vectorcoördinaten

Definitie 1 impliceert onmiddellijk een methode om het vectorproduct voor twee vectoren te vinden. Omdat een vector naast zijn waarde ook een richting heeft, is het onmogelijk om deze alleen te vinden met behulp van een scalaire grootheid. Maar daarnaast is er ook een manier om de vectoren te vinden die ons zijn gegeven met behulp van de coördinaten.

Laten we vectoren $\overline(α)$ en $\overline(β)$ krijgen, die respectievelijk de coördinaten $(α_1,α_2,α_3)$ en $(β_1,β_2,β_3)$ zullen hebben. Vervolgens kan de vector van het kruisproduct (namelijk de coördinaten) worden gevonden met behulp van de volgende formule:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Anders verkrijgen we, door de determinant uit te breiden, de volgende coördinaten

$\overlijn(α)х\overlijn(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Voorbeeld 2

Zoek de vector van het vectorproduct van collineaire vectoren $\overline(α)$ en $\overline(β)$ met coördinaten $(0,3,3)$ en $(-1,2,6)$.

Oplossing.

Laten we de hierboven gegeven formule gebruiken. We krijgen

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\bovenlijn(i)-(0+3)\bovenlijn(j)+(0+3)\bovenlijn(k)=12\bovenlijn(i)-3\bovenlijn(j)+3\bovenlijn(k )=(12,-3,3)$

Antwoord: $(12,-3,3)$.

Eigenschappen van het vectorproduct van vectoren

Voor willekeurig gemengde drie vectoren $\overline(α)$, $\overline(β)$ en $\overline(γ)$, evenals $r∈R$, gelden de volgende eigenschappen:

Voorbeeld 3

Zoek de oppervlakte van een parallellogram waarvan de hoekpunten de coördinaten $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ en $(3,8,0) hebben $.

Oplossing.

Laten we eerst dit parallellogram in de coördinatenruimte weergeven (Fig. 5):

Figuur 5. Parallellogram in coördinatenruimte. Author24 - online uitwisseling van studentenwerk

We zien dat de twee zijden van dit parallellogram zijn geconstrueerd met behulp van collineaire vectoren met de coördinaten $\overline(α)=(3,0,0)$ en $\overline(β)=(0,8,0)$. Met behulp van de vierde eigenschap krijgen we:

$S=|\overlijn(α)х\overlijn(β)|$

Laten we de vector $\overline(α)х\overline(β)$ vinden:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overlijn(j)+24\overlijn(k)=(0,0,24)$

Vandaar

$S=|\overlijn(α)х\overlijn(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Engels: Wikipedia maakt de site veiliger. U gebruikt een oude webbrowser die in de toekomst geen verbinding meer kan maken met Wikipedia. Update uw apparaat of neem contact op met uw IT-beheerder.

中文: De以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Spaans: Wikipedia heeft een grotere plaats gevonden. Er wordt gebruik gemaakt van een internetbrowser die geen verbinding meer kan maken met Wikipedia in de toekomst. Uw beschikking is actueel of u kunt contact opnemen met uw beheerdersinformatie. Meer mensen hebben een grotere actualisering en meer technische kennis in het Engels gekregen.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Frans: Wikipédia heeft de beveiliging van zijn site vergroot. U maakt gebruik van een oude navigatie op het web, die u niet meer op Wikipedia kunt aansluiten, maar het is een feit. Merci de mettre à your votre appareil of de contacter met uw informatiebeheerder op deze manier. De aanvullende informatie plus technieken en Engels zijn beschikbaar.

日本語: ?

Duits: Wikipedia is de Sicherheit van de website. U hebt een andere webbrowser gebruikt die niet meer op Wikipedia kan worden gebruikt. U kunt een beroep doen op uw IT-beheerder of een IT-beheerder. Ausführlichere (en technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiaans: Wikipedia geeft informatie over de situatie. Blijf een browser gebruiken die in de toekomst niet meer verbinding maakt met Wikipedia. Als u wilt, kunt u uw beschikking stellen of contact opnemen met uw informatie-administratie. Als u basso speelt, is er een aggregatiesysteem met dettagliato en techniek in het Engels beschikbaar.

Magyaars: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. Als het goed is, met használsz, kan het niet zo zijn dat er kapcsolódni en jövőben worden gebruikt. Moderne moderne apparaten kunnen een probleem opleveren en het probleem oplossen. Alább olvashatod en részletesebb magyarázatot (angolul).

Zweeds: Wikipedia gaat verder. U zult een oud webblad vinden dat u kunt gebruiken om Wikipedia en de inhoud te bekijken. Update uw computer of neem contact op met uw IT-beheerder. Het is een lange en meer technische kennis op de Engelse lange termijn.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We verwijderen de ondersteuning voor onveilige TLS-protocolversies, met name TLSv1.0 en TLSv1.1, waarvan uw browsersoftware afhankelijk is om verbinding te maken met onze sites. Dit wordt meestal veroorzaakt door verouderde browsers of oudere Android-smartphones. Of het kan interferentie zijn van bedrijfs- of persoonlijke 'Web Security'-software, die de verbindingsbeveiliging feitelijk verslechtert.

U moet uw webbrowser upgraden of dit probleem op een andere manier oplossen om toegang te krijgen tot onze sites. Deze melding blijft staan ​​tot 1 januari 2020. Na die datum kan uw browser geen verbinding meer maken met onze servers.

In deze les zullen we nog twee bewerkingen met vectoren bekijken: vectorproduct van vectoren En gemengd product van vectoren (directe link voor degenen die het nodig hebben). Het is oké, soms gebeurt het dat voor volledig geluk, bovendien scalair product van vectoren, er is steeds meer nodig. Dit is vectorverslaving. Het lijkt misschien alsof we in de jungle van de analytische meetkunde terechtkomen. Dit is fout. In dit deel van de hogere wiskunde is er over het algemeen weinig hout, behalve misschien genoeg voor Pinocchio. In feite is het materiaal heel gebruikelijk en eenvoudig - nauwelijks ingewikkelder dan hetzelfde scalair product zullen er zelfs minder typische taken zijn. Het belangrijkste in de analytische meetkunde is, zoals velen overtuigd zullen zijn of al overtuigd zijn, dat je GEEN FOUTEN MAAKT BIJ BEREKENINGEN. Herhaal als een spreuk en je zult blij zijn =)

Als vectoren ergens ver weg schitteren, zoals bliksem aan de horizon, maakt het niet uit, begin met de les Vectoren voor dummies basiskennis over vectoren herstellen of opnieuw verwerven. Meer voorbereide lezers kunnen selectief kennis maken met de informatie; ik heb geprobeerd de meest complete verzameling voorbeelden te verzamelen die vaak in praktisch werk worden aangetroffen

Waar word jij meteen blij van? Toen ik klein was, kon ik met twee en zelfs drie ballen jongleren. Het pakte goed uit. Nu hoef je helemaal niet meer te jongleren, want we zullen het overwegen alleen ruimtelijke vectoren, en platte vectoren met twee coördinaten worden weggelaten. Waarom? Dit is hoe deze acties zijn ontstaan: de vector en het gemengde product van vectoren worden gedefinieerd en werken in een driedimensionale ruimte. Het is al gemakkelijker!

Deze bewerking houdt, net als het scalaire product, in twee vectoren. Laat dit onvergankelijke brieven zijn.

De actie zelf aangegeven door op de volgende manier: . Er zijn andere opties, maar ik ben gewend om het vectorproduct van vectoren op deze manier aan te duiden, tussen vierkante haken met een kruis.

En meteen vraag: als binnen scalair product van vectoren het gaat om twee vectoren, en hier worden dus ook twee vectoren vermenigvuldigd wat is het verschil? Het voor de hand liggende verschil zit in de eerste plaats in het RESULTAAT:

Het resultaat van het scalaire product van vectoren is NUMBER:

Het resultaat van het kruisproduct van vectoren is VECTOR: , dat wil zeggen, we vermenigvuldigen de vectoren en krijgen weer een vector. Gesloten clubje. Eigenlijk komt hier de naam van de operatie vandaan. In verschillende onderwijsliteratuur kunnen de aanduidingen ook variëren; ik zal de letter gebruiken.

Definitie van kruisproduct

Eerst zal er een definitie zijn met een afbeelding, daarna commentaar.

Definitie: Vectorproduct niet-collineair vectoren, in deze volgorde genomen, genaamd VECTOR, lengte dat is numeriek gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram, gebouwd op deze vectoren; vector orthogonaal op vectoren, en is zo gericht dat de basis de juiste oriëntatie heeft:

Laten we de definitie stukje bij beetje opsplitsen, er staan ​​hier veel interessante dingen!

De volgende belangrijke punten kunnen dus worden benadrukt:

1) De originele vectoren, per definitie aangegeven met rode pijlen niet collineair. Het zal passend zijn om iets later het geval van collineaire vectoren te beschouwen.

2) Er worden vectoren genomen in een strikt gedefinieerde volgorde: – "a" wordt vermenigvuldigd met "zijn", en niet “zijn” met “a”. Het resultaat van vectorvermenigvuldiging is VECTOR, aangegeven in blauw. Als de vectoren in omgekeerde volgorde worden vermenigvuldigd, krijgen we een vector van gelijke lengte en tegengestelde richting (frambozenkleur). Dat wil zeggen: de gelijkheid is waar .

3) Laten we nu kennis maken met de geometrische betekenis van het vectorproduct. Dit is een heel belangrijk punt! De LENGTE van de blauwe vector (en dus de karmozijnrode vector) is numeriek gelijk aan de AREA van het parallellogram dat op de vectoren is gebouwd. In de figuur is dit parallellogram zwart gearceerd.

Opmerking : de tekening is schematisch en uiteraard is de nominale lengte van het vectorproduct niet gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram.

Laten we ons een van de geometrische formules herinneren: De oppervlakte van een parallellogram is gelijk aan het product van aangrenzende zijden en de sinus van de hoek daartussen. Daarom is, op basis van het bovenstaande, de formule voor het berekenen van de LENGTE van een vectorproduct geldig:

Ik benadruk dat de formule gaat over de LENGTE van de vector, en niet over de vector zelf. Wat is de praktische betekenis? En de betekenis is dat bij problemen van de analytische meetkunde het gebied van een parallellogram vaak wordt gevonden via het concept van een vectorproduct:

Laten we de tweede belangrijke formule verkrijgen. De diagonaal van een parallellogram (rode stippellijn) verdeelt het in twee gelijke driehoeken. Daarom kan het gebied van een driehoek gebouwd op vectoren (rode arcering) worden gevonden met behulp van de formule:

4) Een even belangrijk feit is dat de vector orthogonaal is op de vectoren . Natuurlijk is de tegengesteld gerichte vector (frambozenpijl) ook orthogonaal ten opzichte van de oorspronkelijke vectoren.

5) De vector is zo gericht basis Het heeft rechts oriëntatie. In de les over overgang naar een nieuwe basis Ik heb er voldoende gedetailleerd over gesproken vlak oriëntatie, en nu zullen we uitzoeken wat ruimteoriëntatie is. Ik zal het op je vingers uitleggen rechter hand. Mentaal combineren wijsvinger met vector-en middelvinger met vector. Ringvinger en pink druk het in je handpalm. Als gevolg duim– het vectorproduct zal opzoeken. Dit is een rechtsgeoriënteerde basis (het is deze in de figuur). Verander nu de vectoren ( wijs- en middelvinger) op sommige plaatsen, waardoor de duim zich zal omdraaien en het vectorproduct al naar beneden zal kijken. Ook dit is een rechtsgeoriënteerde basis. Je hebt misschien een vraag: welke basis heeft de oriëntatie verlaten? “Toewijzen” aan dezelfde vingers linkerhand vectoren, en verkrijg de linkerbasis en linkeroriëntatie van de ruimte (in dit geval bevindt de duim zich in de richting van de onderste vector). Figuurlijk gesproken ‘draaien’ of oriënteren deze bases de ruimte in verschillende richtingen. En dit concept moet niet als iets vergezocht of abstracts worden beschouwd - de oriëntatie van de ruimte wordt bijvoorbeeld veranderd door de meest gewone spiegel, en als je 'het gereflecteerde object uit het kijkglas trekt', dan is het in het algemeen zo het zal niet mogelijk zijn om het te combineren met het ‘origineel’. Houd trouwens drie vingers tegen de spiegel en analyseer de reflectie ;-)

...hoe goed het is dat je het nu weet rechts- en linksgericht bases, omdat de uitspraken van sommige docenten over een verandering van oriëntatie beangstigend zijn =)

Kruisproduct van collineaire vectoren

De definitie is in detail besproken, het blijft de vraag wat er gebeurt als de vectoren collineair zijn. Als de vectoren collineair zijn, kunnen ze op één rechte lijn worden geplaatst en ons parallellogram ‘vouwt’ zich ook in één rechte lijn. Het gebied hiervan, zoals wiskundigen zeggen, ontaarden parallellogram is gelijk aan nul. Hetzelfde volgt uit de formule: de sinus van nul of 180 graden is gelijk aan nul, wat betekent dat het gebied nul is

Dus als, dan En . Houd er rekening mee dat het vectorproduct zelf gelijk is aan de nulvector, maar in de praktijk wordt dit vaak verwaarloosd en staat geschreven dat het ook gelijk is aan nul.

Een speciaal geval is het vectorproduct van een vector met zichzelf:

Met behulp van het vectorproduct kun je de collineariteit van driedimensionale vectoren controleren, en we zullen onder meer dit probleem ook analyseren.

Om praktische voorbeelden op te lossen, heeft u mogelijk nodig trigonometrische tafel om er de waarden van sinussen uit te vinden.

Nou, laten we het vuur aansteken:

voorbeeld 1

a) Bereken de lengte van het vectorproduct van vectoren if

b) Zoek de oppervlakte van een parallellogram gebouwd op vectoren als

Oplossing: Nee, dit is geen typefout, ik heb met opzet de initiële gegevens in de clausules hetzelfde gemaakt. Omdat het ontwerp van de oplossingen anders zal zijn!

a) Volgens de voorwaarde moet je vinden lengte vector (kruisproduct). Volgens de bijbehorende formule:

Antwoord:

Als u naar de lengte wordt gevraagd, geven we in het antwoord de dimensie-eenheden aan.

b) Volgens de voorwaarde moet je vinden vierkant parallellogram gebouwd op vectoren. De oppervlakte van dit parallellogram is numeriek gelijk aan de lengte van het vectorproduct:

Antwoord:

Houd er rekening mee dat het antwoord helemaal niet over het vectorproduct gaat; gebied van de figuur Dienovereenkomstig is de afmeting vierkante eenheden.

We kijken altijd naar WAT we moeten vinden op basis van de aandoening, en op basis daarvan formuleren we duidelijk antwoord. Het lijkt misschien letterlijk, maar er zijn veel literalisten onder de leraren, en de opdracht heeft een goede kans om ter herziening teruggestuurd te worden. Hoewel dit geen bijzonder vergezochte klacht is: als het antwoord onjuist is, krijgt men de indruk dat de persoon eenvoudige dingen niet begrijpt en/of de essentie van de taak niet heeft begrepen. Dit punt moet altijd onder controle worden gehouden bij het oplossen van elk probleem in de hogere wiskunde, en ook in andere vakken.

Waar is de grote letter ‘en’ gebleven? In principe had het extra aan de oplossing kunnen worden toegevoegd, maar om de invoer te verkorten heb ik dit niet gedaan. Ik hoop dat iedereen dat begrijpt en dat het een aanduiding is voor hetzelfde.

Een populair voorbeeld voor een doe-het-zelf-oplossing:

Voorbeeld 2

Zoek de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

De formule voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek door het vectorproduct wordt gegeven in de opmerkingen bij de definitie. De oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

In de praktijk komt de taak heel vaak voor; driehoeken kunnen je over het algemeen kwellen.

Om andere problemen op te lossen hebben we nodig:

Eigenschappen van het vectorproduct van vectoren

We hebben al enkele eigenschappen van het vectorproduct overwogen, maar ik zal ze in deze lijst opnemen.

Voor willekeurige vectoren en een willekeurig getal gelden de volgende eigenschappen:

1) In andere informatiebronnen wordt dit item meestal niet benadrukt in de eigenschappen, maar het is in praktische termen erg belangrijk. Laat het maar zo.

2) – de woning wordt hierboven ook besproken, soms wordt het ook wel genoemd anticommutativiteit. Met andere woorden: de volgorde van de vectoren is van belang.

3) – associatief of associatief vectorproductwetten. Constanten kunnen eenvoudig buiten het vectorproduct worden verplaatst. Echt, wat moeten ze daar doen?

4) – distributie of distributief vectorproductwetten. Ook met het openen van de beugels zijn er geen problemen.

Laten we, om dit aan te tonen, een kort voorbeeld bekijken:

Voorbeeld 3

Zoek of

Oplossing: De voorwaarde vereist opnieuw het vinden van de lengte van het vectorproduct. Laten we onze miniatuur schilderen:

(1) Volgens associatieve wetten nemen we de constanten buiten het bereik van het vectorproduct.

(2) We verplaatsen de constante buiten de module, en de module “eet” het minteken op. De lengte kan niet negatief zijn.

(3) De rest is duidelijk.

Antwoord:

Het is tijd om meer hout aan het vuur toe te voegen:

Voorbeeld 4

Bereken de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

Oplossing: Zoek de oppervlakte van de driehoek met behulp van de formule . De valkuil is dat de vectoren “tse” en “de” zelf worden gepresenteerd als sommen van vectoren. Het algoritme hier is standaard en doet enigszins denken aan voorbeelden nr. 3 en 4 van de les Puntproduct van vectoren. Voor de duidelijkheid verdelen we de oplossing in drie fasen:

1) Bij de eerste stap drukken we het vectorproduct uit via het vectorproduct, in feite laten we een vector uitdrukken in termen van een vector. Nog geen woord over lengtes!

(1) Vervang de uitdrukkingen van de vectoren.

(2) Met behulp van distributieve wetten openen we de haakjes volgens de regel van vermenigvuldiging van polynomen.

(3) Met behulp van associatieve wetten verplaatsen we alle constanten voorbij de vectorproducten. Met een beetje ervaring kunnen stap 2 en 3 gelijktijdig worden uitgevoerd.

(4) De eerste en laatste term zijn gelijk aan nul (nulvector) vanwege de mooie eigenschap. In de tweede term gebruiken we de eigenschap van anticommutativiteit van een vectorproduct:

(5) We presenteren vergelijkbare termen.

Het resultaat was dat de vector werd uitgedrukt via een vector, wat moest worden bereikt:

2) In de tweede stap vinden we de lengte van het vectorproduct dat we nodig hebben. Deze actie is vergelijkbaar met voorbeeld 3:

3) Zoek de oppervlakte van de gewenste driehoek:

Fasen 2-3 van de oplossing hadden op één regel geschreven kunnen worden.

Antwoord:

Het beschouwde probleem komt vrij vaak voor in tests, hier is een voorbeeld om het zelf op te lossen:

Voorbeeld 5

Zoek of

Een korte oplossing en antwoord aan het einde van de les. Laten we eens kijken hoe aandachtig je was bij het bestuderen van de voorgaande voorbeelden ;-)

Kruisproduct van vectoren in coördinaten

De formule is heel eenvoudig: in de bovenste regel van de determinant schrijven we de coördinaatvectoren, in de tweede en derde regel "zetten" we de coördinaten van de vectoren, en we plaatsen in strikte volgorde– eerst de coördinaten van de “ve”-vector, daarna de coördinaten van de “dubbel-ve”-vector. Als de vectoren in een andere volgorde moeten worden vermenigvuldigd, moeten de rijen worden verwisseld:

Voorbeeld 10

Controleer of de volgende ruimtevectoren collineair zijn:
A)
B)

Oplossing: De controle is gebaseerd op een van de uitspraken uit deze les: als de vectoren collineair zijn, dan is hun vectorproduct gelijk aan nul (vector nul): .

a) Zoek het vectorproduct:

De vectoren zijn dus niet collineair.

b) Zoek het vectorproduct:

Antwoord: a) niet collineair, b)

Hier vindt u misschien alle basisinformatie over het vectorproduct van vectoren.

Deze sectie zal niet erg groot zijn, omdat er weinig problemen zijn wanneer het gemengde product van vectoren wordt gebruikt. In feite zal alles afhangen van de definitie, geometrische betekenis en een paar werkformules.

Een gemengd product van vectoren is het product van drie vectoren:

Ze stonden dus in de rij als een trein en kunnen niet wachten om geïdentificeerd te worden.

Eerst nogmaals een definitie en een afbeelding:

Definitie: Gemengd werk niet-coplanair vectoren, in deze volgorde genomen, genaamd parallellepipedumvolume, gebouwd op deze vectoren, uitgerust met een “+” teken als de basis goed is, en een “–” teken als de basis links is.

Laten we de tekening maken. Lijnen die voor ons onzichtbaar zijn, worden getekend met stippellijnen:

Laten we in de definitie duiken:

2) Er worden vectoren genomen in een bepaalde volgorde, dat wil zeggen dat de herschikking van vectoren in het product, zoals je zou kunnen raden, niet zonder gevolgen plaatsvindt.

3) Voordat ik commentaar geef op de geometrische betekenis, wil ik een voor de hand liggend feit opmerken: het gemengde product van vectoren is een NUMMER: . In de onderwijsliteratuur kan het ontwerp iets anders zijn; ik ben gewend om een ​​gemengd product aan te duiden met , en het resultaat van berekeningen met de letter “pe”.

A-priorij het gemengde product is het volume van het parallellepipedum, gebouwd op vectoren (de figuur is getekend met rode vectoren en zwarte lijnen). Dat wil zeggen, het getal is gelijk aan het volume van een bepaald parallellepipedum.

Opmerking : De tekening is schematisch.

4) Laten we ons geen zorgen meer maken over het concept van oriëntatie van de basis en ruimte. De betekenis van het laatste deel is dat er een minteken aan het volume kan worden toegevoegd. In eenvoudige bewoordingen kan een gemengd product negatief zijn: .

Direct uit de definitie volgt de formule voor het berekenen van het volume van een parallellepipedum gebouwd op vectoren.

Voordat we het concept van een vectorproduct geven, gaan we eerst in op de vraag naar de oriëntatie van een geordend drietal vectoren a →, b →, c → in de driedimensionale ruimte.

Laten we om te beginnen de vectoren a → , b → , c → vanaf één punt opzij zetten. De oriëntatie van de triple a → , b → , c → kan rechts of links zijn, afhankelijk van de richting van de vector c → zelf. Het type triple a → , b → , c → wordt bepaald aan de hand van de richting waarin de kortste bocht wordt gemaakt van vector a → naar b → vanaf het einde van vector c → .

Als de kortste draai tegen de klok in wordt uitgevoerd, wordt het drietal vectoren a → , b → , c → genoemd rechts, indien met de klok mee – links.

Neem vervolgens twee niet-collineaire vectoren a → en b →. Laten we dan de vectoren A B → = a → en A C → = b → tekenen vanuit punt A. Laten we een vector AD → = c → construeren, die tegelijkertijd loodrecht staat op zowel AB → als AC →. Bij het construeren van de vector zelf AD → = c → kunnen we dus twee dingen doen, namelijk de ene of de tegenovergestelde richting geven (zie afbeelding).

Een geordend drietal vectoren a → , b → , c → kan, zoals we ontdekten, rechts of links zijn, afhankelijk van de richting van de vector.

Uit het bovenstaande kunnen we de definitie van een vectorproduct introduceren. Deze definitie wordt gegeven voor twee vectoren gedefinieerd in een rechthoekig coördinatensysteem van een driedimensionale ruimte.

Definitie 1

Het vectorproduct van twee vectoren a → en b → we zullen een dergelijke vector gedefinieerd in een rechthoekig coördinatensysteem van een driedimensionale ruimte noemen, zodat:

• als de vectoren a → en b → collineair zijn, zal deze nul zijn;
• het zal loodrecht staan ​​op zowel vector a → ​​​ als vector b → d.w.z. ∠ een → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• de lengte wordt bepaald door de formule: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• het drietal vectoren a → , b → , c → heeft dezelfde oriëntatie als het gegeven coördinatensysteem.

Het vectorproduct van vectoren a → en b → heeft de volgende notatie: a → × b →.

Coördinaten van het vectorproduct

Omdat elke vector bepaalde coördinaten in het coördinatensysteem heeft, kunnen we een tweede definitie van een vectorproduct introduceren, waarmee we de coördinaten ervan kunnen vinden met behulp van de gegeven coördinaten van de vectoren.

Definitie 2

In een rechthoekig coördinatensysteem van een driedimensionale ruimte vectorproduct van twee vectoren a → = (a x ; a y ; a z) en b → = (b x ; by y ; b z) wordt een vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x by y - a y b x) k → genoemd, waarbij i → , j → , k → coördinaatvectoren zijn.

Het vectorproduct kan worden weergegeven als de determinant van een vierkante matrix van de derde orde, waarbij de eerste rij de vectorvectoren i → , j → , k → bevat, de tweede rij de coördinaten van de vector a → bevat, en de derde rij bevat de coördinaten van de vector b → in een gegeven rechthoekig coördinatensysteem is dit de determinant van de matrix en ziet er als volgt uit: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Als we deze determinant uitbreiden naar de elementen van de eerste rij, verkrijgen we de gelijkheid: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x by y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Eigenschappen van een kruisproduct

Het is bekend dat het vectorproduct in coördinaten wordt weergegeven als de determinant van de matrix c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x by y b z , en vervolgens op basis eigenschappen van de matrixdeterminant het volgende wordt weergegeven eigenschappen van een vectorproduct:

1. anticommutativiteit a → × b → = - b → × a → ;
2. distributiviteit a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → of a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + een → × b (2) → ;
3. associativiteit λ a → × b → = λ a → × b → of a → × (λ b →) = λ a → × b →, waarbij λ een willekeurig reëel getal is.

Deze eigenschappen hebben eenvoudige bewijzen.

We kunnen bijvoorbeeld de anticommutatieve eigenschap van een vectorproduct bewijzen.

Bewijs van anticommutativiteit

Per definitie a → × b → = i → j → k → a x a y a z b X by y b z en b → × a → = i → j → k → b x by y b z a x a y a z . En als twee rijen van de matrix worden verwisseld, dan zou de waarde van de determinant van de matrix in het tegenovergestelde moeten veranderen, dus a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x by y b z = - i → j → k → b x by y b z a x a y a z = - b → × a → , wat bewijst dat het vectorproduct anticommutatief is.

Vectorproduct - voorbeelden en oplossingen

In de meeste gevallen zijn er drie soorten problemen.

Bij problemen van het eerste type worden meestal de lengtes van twee vectoren en de hoek ertussen gegeven, en moet je de lengte van het vectorproduct vinden. Gebruik in dit geval de volgende formule c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

voorbeeld 1

Zoek de lengte van het vectorproduct van vectoren a → en b → als je a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 weet.

Oplossing

Door de lengte van het vectorproduct van vectoren a → en b → te bepalen, lossen we dit probleem op: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Antwoord: 15 2 2 .

Problemen van het tweede type houden verband met de coördinaten van vectoren, daarin het vectorproduct, de lengte ervan, enz. worden doorzocht via de bekende coördinaten van gegeven vectoren een → = (een x; een y; een z) En b → = (b X; door y; b z) .

Voor dit soort problemen kunt u veel taakopties oplossen. Zo kunnen bijvoorbeeld niet de coördinaten van de vectoren a → en b → worden gespecificeerd, maar hun uitbreidingen naar coördinaatvectoren van de vorm b → = b X · i → + b y · j → + b z · k → en c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, of vectoren a → en b → kunnen worden gespecificeerd door de coördinaten van hun start en eindpunten.

Beschouw de volgende voorbeelden.

Voorbeeld 2

In een rechthoekig coördinatensysteem worden twee vectoren gegeven: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Vind hun kruisproduct.

Oplossing

Volgens de tweede definitie vinden we het vectorproduct van twee vectoren in gegeven coördinaten: a → × b → = (a y · b z - a z · by y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 ik → - 2 j → - 2 k → .

Als we het vectorproduct door de determinant van de matrix schrijven, ziet de oplossing van dit voorbeeld er als volgt uit: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x by y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ik → - 2 j → - 2 k → .

Antwoord: a → × b → = - 2 ik → - 2 j → - 2 k → .

Voorbeeld 3

Zoek de lengte van het vectorproduct van vectoren i → - j → en i → + j → + k →, waarbij i →, j →, k → de eenheidsvectoren zijn van het rechthoekige Cartesiaanse coördinatensysteem.

Oplossing

Laten we eerst de coördinaten vinden van een gegeven vectorproduct i → - j → × i → + j → + k → in een gegeven rechthoekig coördinatensysteem.

Het is bekend dat de vectoren i → - j → en i → + j → + k → respectievelijk de coördinaten (1; - 1; 0) en (1; 1; 1) hebben. Laten we de lengte van het vectorproduct vinden met behulp van de determinant van de matrix, dan hebben we i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Daarom heeft het vectorproduct i → - j → × i → + j → + k → coördinaten (- 1; - 1; 2) in het gegeven coördinatensysteem.

We vinden de lengte van het vectorproduct met behulp van de formule (zie het gedeelte over het vinden van de lengte van een vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Antwoord: ik → - j → × ik → + j → + k → = 6 . .

Voorbeeld 4

In een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem worden de coördinaten van drie punten A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) gegeven. Zoek een vector loodrecht op A B → en AC → tegelijkertijd.

Oplossing

Vectoren A B → en AC → hebben respectievelijk de volgende coördinaten (- 1 ; 2 ; 2) en (0 ; 4 ; 1). Nu we het vectorproduct van de vectoren A B → en AC → hebben gevonden, is het duidelijk dat het per definitie een loodrechte vector is op zowel A B → als AC →, dat wil zeggen dat het een oplossing is voor ons probleem. Laten we het vinden A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Antwoord: - 6 ik → + j → - 4 k → . - een van de loodrechte vectoren.

Problemen van het derde type zijn gericht op het gebruik van de eigenschappen van het vectorproduct van vectoren. Nadat we deze hebben toegepast, krijgen we een oplossing voor het gegeven probleem.

Voorbeeld 5

De vectoren a → en b → staan ​​loodrecht en hebben een lengte van respectievelijk 3 en 4. Zoek de lengte van het vectorproduct 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · een → × - 2 · b → + - b → × een → + - b → × - 2 · b → .

Oplossing

Door de distributieve eigenschap van een vectorproduct kunnen we schrijven 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Door de eigenschap van associativiteit halen we de numerieke coëfficiënten uit het teken van de vectorproducten in de laatste uitdrukking: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

De vectorproducten a → × a → en b → × b → zijn gelijk aan 0, aangezien a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 en b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, dan 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Uit de anticommutativiteit van het vectorproduct volgt - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Met behulp van de eigenschappen van het vectorproduct verkrijgen we de gelijkheid 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Per voorwaarde zijn de vectoren a → en b → loodrecht, dat wil zeggen dat de hoek ertussen gelijk is aan π 2. Nu hoeft u alleen nog maar de gevonden waarden in de juiste formules te vervangen: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · zonde (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · zonde π 2 = 60 .

Antwoord: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

De lengte van het vectorproduct van vectoren is per definitie gelijk aan a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Omdat het al bekend is (uit de schoolcursus) dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van het product van de lengtes van zijn twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de hoek tussen deze zijden. Bijgevolg is de lengte van het vectorproduct gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram - een dubbele driehoek, namelijk het product van de zijden in de vorm van vectoren a → en b →, vastgelegd vanuit één punt, door de sinus van de hoek daartussen sin ∠ a →, b →.

Dit is de geometrische betekenis van het vectorproduct.

Fysieke betekenis van het vectorproduct

In de mechanica, een van de takken van de natuurkunde, kun je dankzij het vectorproduct het moment van een kracht ten opzichte van een punt in de ruimte bepalen.

Definitie 3

Door het moment van kracht F → uitgeoefend op punt B, ten opzichte van punt A, zullen we het volgende vectorproduct A B → × F → begrijpen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter