Tabel met integralen van elementaire basisfuncties. Basisintegralen van trigonometrische functies
Definitie 1
De primitieve $F(x)$ voor de functie $y=f(x)$ op het segment $$ is een functie die differentieerbaar is op elk punt van dit segment en de volgende gelijkheid geldt voor zijn afgeleide:
Definitie 2
De verzameling van alle primitieve getallen van een gegeven functie $y=f(x)$, gedefinieerd op een bepaald segment, wordt de onbepaalde integraal van een gegeven functie $y=f(x)$ genoemd. De onbepaalde integraal wordt aangegeven met het symbool $\int f(x)dx $.
Uit de tabel met afgeleiden en definitie 2 verkrijgen we de tabel met basisintegralen.
Voorbeeld 1
Controleer de geldigheid van formule 7 uit de tabel met integralen:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Laten we de rechterkant differentiëren: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Voorbeeld 2
Controleer de geldigheid van formule 8 uit de tabel met integralen:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Laten we de rechterkant differentiëren: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.
Voorbeeld 3
Controleer de geldigheid van formule 11" uit de tabel met integralen:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Laten we de rechterkant differentiëren: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.
Voorbeeld 4
Controleer de geldigheid van formule 12 uit de tabel met integralen:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]
Laten we de rechterkant differentiëren: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.
Voorbeeld 5
Controleer de geldigheid van formule 13" uit de tabel met integralen:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Laten we de rechterkant differentiëren: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.
Voorbeeld 6
Controleer de geldigheid van formule 14 uit de tabel met integralen:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]
Laten we de rechterkant differentiëren: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.
Voorbeeld 7
Zoek de integraal:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Laten we de somintegraalstelling gebruiken:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Laten we de stelling gebruiken over het plaatsen van een constante factor buiten het integraalteken:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Volgens de tabel met integralen:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Bij het berekenen van de eerste integraal gebruiken we regel 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Vandaar,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Laten we de integralen van elementaire functies opsommen, die soms in tabelvorm worden genoemd:
Elk van de bovenstaande formules kan worden bewezen door de afgeleide van de rechterkant te nemen (het resultaat is de integrand).
Integratiemethoden
Laten we eens kijken naar enkele basisintegratiemethoden. Deze omvatten:
1. Ontbindingsmethode(directe integratie).
Deze methode is gebaseerd op het directe gebruik van integralen in tabelvorm, evenals op het gebruik van eigenschappen 4 en 5 van de onbepaalde integraal (dat wil zeggen, de constante factor tussen haakjes zetten en/of de integrand weergeven als een som van functies - ontbinding van de integrand in termen).
Voorbeeld 1. Om bijvoorbeeld(dx/x 4) te vinden, kunt u rechtstreeks de tabelintegraal voorx n dx gebruiken. In feite is (dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Laten we nog een paar voorbeelden bekijken.
Voorbeeld 2. Om het te vinden, gebruiken we dezelfde integraal:
Voorbeeld 3. Om het te vinden moet je nemen
Voorbeeld 4. Om dit te vinden, vertegenwoordigen we de integrandfunctie in de vorm 
en gebruik de tabelintegraal voor de exponentiële functie:
Laten we het gebruik van haakjes als een constante factor beschouwen.
Voorbeeld 5.
Laten we bijvoorbeeld zoeken 
. Als we dat in ogenschouw nemen, krijgen we
Voorbeeld 6. Wij zullen het vinden. Sinds 
, laten we de tabelintegraal gebruiken 
Wij krijgen
In de volgende twee voorbeelden kunt u ook haakjes en tabelintegralen gebruiken:
Voorbeeld 7.
(wij gebruiken en 
);
Voorbeeld 8.
(wij gebruiken 
En 
).
Laten we eens kijken naar complexere voorbeelden waarin de somintegraal wordt gebruikt.
Voorbeeld 9. Laten we bijvoorbeeld zoeken 
. Om de uitbreidingsmethode in de teller toe te passen, gebruiken we de somkubusformule en delen we vervolgens de resulterende polynoom door de noemer, term voor term.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Opgemerkt moet worden dat aan het einde van de oplossing één gemeenschappelijke constante C wordt geschreven (en geen afzonderlijke constante bij het integreren van elke term). In de toekomst wordt ook voorgesteld om de constanten weg te laten uit de integratie van individuele termen in het oplossingsproces, zolang de uitdrukking tenminste één onbepaalde integraal bevat (we zullen één constante aan het einde van de oplossing schrijven).
Voorbeeld 10. Wij zullen vinden 
. Om dit probleem op te lossen, gaan we de teller ontbinden in factoren (hierna kunnen we de noemer verkleinen).
Voorbeeld 11. Wij zullen het vinden. Trigonometrische identiteiten kunnen hier worden gebruikt.
Soms moet je, om een uitdrukking in termen te ontleden, complexere technieken gebruiken.
Voorbeeld 12. Wij zullen vinden 
. In de integrand selecteren we het hele deel van de breuk 
. Dan
Voorbeeld 13. Wij zullen vinden
2. Variabele vervangingsmethode (substitutiemethode)
De methode is gebaseerd op de volgende formule: f(x)dx=f((t))`(t)dt, waarbij x =(t) een functie is die differentieerbaar is op het beschouwde interval.
Bewijs. Laten we de afgeleiden vinden met betrekking tot de variabele t aan de linker- en rechterkant van de formule.
Merk op dat er aan de linkerkant een complexe functie is waarvan het tussenargument x = (t) is. Om het te differentiëren met betrekking tot t, differentiëren we daarom eerst de integraal met betrekking tot x, en nemen dan de afgeleide van het tussenliggende argument met betrekking tot t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Afgeleide van de rechterkant:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Omdat deze afgeleiden gelijk zijn, als uitvloeisel van de stelling van Lagrange, verschillen de linker- en rechterkant van de bewezen formule met een bepaalde constante. Omdat de onbepaalde integralen zelf gedefinieerd zijn tot een onbepaalde constante term, kan deze constante uit de uiteindelijke notatie worden weggelaten. Bewezen.
Met een succesvolle wijziging van de variabele kunt u de oorspronkelijke integraal vereenvoudigen en in de eenvoudigste gevallen reduceren tot een tabelvorm. Bij de toepassing van deze methode wordt onderscheid gemaakt tussen lineaire en niet-lineaire substitutiemethoden.
a) Lineaire substitutiemethode Laten we eens kijken naar een voorbeeld.
Voorbeeld 1.
. Stel dan t= 1 – 2x
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Opgemerkt moet worden dat de nieuwe variabele niet expliciet hoeft te worden uitgeschreven. In dergelijke gevallen praten ze over het transformeren van een functie onder het differentiaalteken of over het introduceren van constanten en variabelen onder het differentiaalteken, d.w.z. O impliciete vervanging van variabelen.
Voorbeeld 2. Laten we bijvoorbeeld cos(3x + 2)dx vinden. Volgens de eigenschappen van de differentiaal dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), dancos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
In beide beschouwde voorbeelden werd lineaire substitutie t=kx+b(k0) gebruikt om de integralen te vinden.
In het algemene geval is de volgende stelling geldig.
Lineaire substitutiestelling. Laat F(x) een primitieve afgeleide zijn van de functie f(x). Danf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, waarbij k en b enkele constanten zijn, k0.
Bewijs.
Per definitie van de integraal f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Laten we de constante factor k uit het integraalteken halen: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nu kunnen we de linker- en rechterkant van de gelijkheid in tweeën delen en de bewering verkrijgen die moet worden bewezen tot aan de aanduiding van de constante term.
Deze stelling stelt dat als we in de definitie van de integraal f(x)dx= F(x) + C in plaats van het argument x de uitdrukking (kx+b) vervangen, dit zal leiden tot het verschijnen van een extra factor 1/k vóór de primitief.
Met behulp van de bewezen stelling lossen we de volgende voorbeelden op.
Voorbeeld 3.
Wij zullen vinden 
. Hier kx+b= 3 –x, d.w.z. k= -1,b= 3. Dan
Voorbeeld 4.
Wij zullen het vinden. Herekx+b= 4x+ 3, d.w.z. k= 4,b= 3. Dan
Voorbeeld 5.
Wij zullen vinden 
. Hier kx+b= -2x+ 7, d.w.z. k= -2,b= 7. Dan
.
Voorbeeld 6. Wij zullen vinden 
. Hier kx+b= 2x+ 0, d.w.z. k= 2,b= 0.
.
Laten we het verkregen resultaat vergelijken met voorbeeld 8, dat werd opgelost door de ontledingsmethode. Door hetzelfde probleem op een andere manier op te lossen, kregen we het antwoord 
. Laten we de resultaten vergelijken: Deze uitdrukkingen verschillen dus van elkaar door een constante term 
, d.w.z. De ontvangen antwoorden spreken elkaar niet tegen.
Voorbeeld 7. Wij zullen vinden 
. Laten we een perfect vierkant in de noemer selecteren.
In sommige gevallen reduceert het wijzigen van een variabele de integraal niet direct tot een tabelvorm, maar kan het de oplossing vereenvoudigen, waardoor het mogelijk wordt om de uitbreidingsmethode in een volgende stap te gebruiken.
Voorbeeld 8. Laten we bijvoorbeeld zoeken 
. Vervang t=x+ 2, dan dt=d(x+ 2) =dx. Dan
,
waarbij C = C 1 – 6 (als we de uitdrukking (x+ 2) vervangen in plaats van de eerste twee termen, krijgen we ½x 2 -2x– 6).
Voorbeeld 9. Wij zullen vinden 
. Zij t= 2x+ 1, dan dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Laten we t vervangen door de uitdrukking (2x+ 1), de haakjes openen en soortgelijke haakjes geven.
Merk op dat we tijdens het transformatieproces naar een andere constante term zijn gegaan, omdat de groep constante termen zou tijdens het transformatieproces kunnen worden weggelaten.
b) Niet-lineaire substitutiemethode Laten we eens kijken naar een voorbeeld.
Voorbeeld 1.
. Lett= -x 2. Vervolgens zou je x kunnen uitdrukken in termen van t, dan een uitdrukking voor dx vinden en een verandering van variabele in de gewenste integraal implementeren. Maar in dit geval is het gemakkelijker om de dingen anders te doen. Laten we finddt=d(-x 2) = -2xdx. Merk op dat de uitdrukking xdx een factor is van de integrand van de gewenste integraal. Laten we het uitdrukken op basis van de resulterende gelijkheidxdx= - ½dt. Dan
Profiteren van het feit dat integratie de omgekeerde werking van differentiatie is. het is mogelijk om een tabel met basisintegralen te verkrijgen door de overeenkomstige formules van de differentiaalrekening (tabel met differentiëlen) om te keren en de eigenschappen van de onbepaalde integraal te gebruiken. Bijvoorbeeld, omdat
D(zonde u) = co u*du, dan zal de afleiding van een aantal formules in de tabel worden gegeven bij het beschouwen van de basismethoden van integratie.
De integralen in onderstaande tabel worden genoemd tabelvormig. Ze moeten uit het hoofd gekend worden. Bij integraalrekening zijn er geen eenvoudige en universele regels voor het vinden van primitieve waarden van elementaire functies, zoals bij differentiaalrekening. Methoden voor het vinden van primitieve waarden (dat wil zeggen het integreren van een functie) worden beperkt tot het aangeven van technieken die een gegeven (gezochte) integraal naar een tabelvorm brengen. Daarom is het noodzakelijk om tabelintegralen te kennen en te kunnen herkennen.
Merk op dat in de tabel met basisintegralen de integratievariabele zowel een onafhankelijke variabele als een functie van de onafhankelijke variabele kan aanduiden (volgens de invariantie-eigenschap van de integratieformule).
De geldigheid van de onderstaande formules kan worden geverifieerd door het differentieel aan de rechterkant te nemen, dat gelijk zal zijn aan de integrand aan de linkerkant van de formule.
Laten we bijvoorbeeld de geldigheid van formule 2 bewijzen. Functie 1/ u gedefinieerd en continu voor alle waarden u, verschillend van nul.
Als u> 0. dan ln | u| = loggen u, Dan D ln | u| = D ln u = du/u. Dat is waarom 
Tabel met basisintegralen 
Op school slagen veel mensen er niet in integralen op te lossen of hebben ze er moeite mee. Dit artikel helpt je erachter te komen, want je vindt er alles in. integrale tabellen.
Integraal is een van de belangrijkste berekeningen en concepten in wiskundige analyse. Het uiterlijk was het resultaat van twee doeleinden:
Eerste doelpunt- een functie herstellen met behulp van zijn afgeleide.
Tweede doelpunt- berekening van het gebied gelegen op de afstand van de grafiek tot de functie f(x) op de rechte lijn waarbij a groter is dan of gelijk is aan x groter dan of gelijk is aan b en de x-as.
Deze doelen leiden ons naar bepaalde en onbepaalde integralen. De verbinding tussen deze integralen ligt in de zoektocht naar eigenschappen en berekening. Maar alles stroomt en alles verandert in de loop van de tijd, er werden nieuwe oplossingen gevonden, toevoegingen werden geïdentificeerd, waardoor bepaalde en onbepaalde integralen naar andere vormen van integratie werden geleid.
Wat is er gebeurd onbepaalde integraal vraag je. Dit is een primitieve functie F(x) van één variabele x in het interval a groter dan x groter dan b. wordt elke functie F(x) genoemd, in een gegeven interval voor elke aanduiding x is de afgeleide gelijk aan F(x). Het is duidelijk dat F(x) primitief is voor f(x) in het interval a is groter dan x is groter dan b. Dit betekent F1(x) = F(x) + C. C - is elke constante en primitieve voor f(x) in een bepaald interval. Deze bewering is omkeerbaar; de functie f(x) - 2. De primitieve woorden verschillen alleen in de constante. Gebaseerd op de stelling van de integraalrekening blijkt dat elk continu is in het interval a
Bepaalde integraal wordt opgevat als een limiet in integrale sommen, of in de situatie van een gegeven functie f(x) gedefinieerd op een regel (a,b) met een primitieve F erop, wat het verschil betekent van zijn uitdrukkingen aan de uiteinden van een gegeven regel F(b) - F(a).
Om de studie van dit onderwerp te illustreren, raad ik aan de video te bekijken. Het vertelt in detail en laat zien hoe je integralen kunt vinden.
Elke tabel met integralen is op zichzelf erg nuttig, omdat deze helpt bij het oplossen van een specifiek type integraal.
Alle mogelijke soorten briefpapier en meer. U kunt kopen via de online winkel v-kant.ru. Of volg gewoon de link Stationery Samara (http://v-kant.ru), de kwaliteit en prijzen zullen u aangenaam verrassen.
