Geschatte vierkantswortelberekeningen. Geschatte berekening van irrationele getallen
Taak. Kamer vierkante vorm heeft een oppervlakte van 20 vierkante meter. m. Vind de lengte en breedte.
Omdat de kamer vierkant is, is de lengte x gelijk aan de breedte. Afhankelijk van de omstandigheden van het probleem moeten we:
en we moeten vinden rekenkundige wortel vanaf nummer 20.
Het is duidelijk dat x geen geheel getal kan zijn, aangezien , en tussen twee aangrenzende gehele getallen 4 en 5 er geen enkel geheel getal is.
Ons probleem heeft een zeer duidelijke praktische betekenis en kan bij benadering met de vereiste nauwkeurigheid worden opgelost.
Laten we laten zien hoe dit kan worden gedaan.
We hebben twee aangrenzende gehele getallen 4 en 5 aangegeven, zodat 42 kleiner is en 52 groter dan 20.
Het getal 4 wordt de geschatte vierkantswortel van 20 tot op 1 min genoemd, het getal 5 wordt de geschatte vierkantswortel van 20 tot op 1 plus genoemd.
Laten we nu eens overwegen decimalen, gelegen tussen 4 en 5 en met een geheel aantal tienden:
We kwadrateren deze breuken achtereenvolgens totdat we een getal krijgen dat groter is dan 20.
Dus we kregen:
De getallen 4,4 en 4,5 worden geschatte waarden van de vierkantswortel van 20 genoemd met een nauwkeurigheid van 0,1 met respectievelijk een tekort en een overschot.
Als de resulterende nauwkeurigheid voor ons niet voldoende is, dan zullen we dit doen: we zullen decimale breuken tussen 4,4 en 4,5 uitschrijven die een geheel aantal honderdsten bevatten, en dan zullen we deze breuken achtereenvolgens kwadrateren totdat we een getal krijgen dat groter is dan 20. .
De getallen 4,47 en 4,48 worden geschatte waarden van de vierkantswortel van 20 genoemd met een nauwkeurigheid van 0,01 bij een tekort en bij een overschot.
Op dezelfde manier kunt u (indien nodig) geschatte waarden verkrijgen met een nauwkeurigheid van 0,001; dit zijn de nummers 4.472 en 4.473, aangezien daarom
Ons probleem heeft dus een oplossing die tot op drie nauwkeurig is significante cijfers; een dergelijke nauwkeurigheid is bij veel praktische metingen ruim voldoende. Dat kan als zodanig worden beschouwd
Laten we het nu geven algemene definitie geschatte wortel.
Geschatte waarden van de vierkantswortel van een bepaald getal, nauwkeurig tot één, zijn twee opeenvolgende natuurlijke getallen, waarvan het kwadraat van de eerste kleiner is en het kwadraat van de tweede groter is dan het gegeven getal.
De eerste van deze getallen wordt de geschatte waarde van de wortel met een tekort genoemd, de tweede - de geschatte waarde van de wortel met een overschot.
De geschatte waarden van de wortel zijn als volgt geschreven:
In plaats van te zeggen ‘vierkantswortel bij benadering’ zeggen mensen vaak eenvoudigweg ‘vierkantswortel bij benadering’.
Om een geschatte wortel te vinden met een nauwkeurigheid van 1 met een nadeel, moet je de grootste vinden natuurlijk getal, waarvan het kwadraat kleiner is dan het radicaalgetal. Dit kan worden gedaan door te testen of door tabellen met kwadraten van natuurlijke getallen te gebruiken.
Door 1 op te tellen bij de geschatte wortel met een tekort, krijgen we een geschatte wortel met een overschot.
Definitie. Dichtbij vierkantswortels bij een tekort en bij een overmaat van een getal, met een nauwkeurigheid van 0,1, worden twee getallen genoemd die 0,1 van elkaar verschillen, waarvan het kwadraat van de ene kleiner is en het kwadraat van de andere groter is dan een bepaald getal .
Bij het oplossen van rekenproblemen worden numerieke resultaten verkregen, die vaak niet nauwkeurig zijn, omdat Er ontstaan fouten bij het instellen van het probleem en tijdens berekeningen.
Bronnen van fouten zijn:
1) fouten in de brongegevens;
2) afrondingsfouten van tussen- en eindresultaten;
3) fouten in de geschatte methode voor het oplossen van het probleem.
Bij het uitvoeren van bewerkingen op geschatte getallen moet u:
1) het kennen van de nauwkeurigheid van de brongegevens, het kunnen beoordelen van de nauwkeurigheid van het resultaat;
2) neem de brongegevens met een zodanige nauwkeurigheid dat de gespecificeerde nauwkeurigheid van het resultaat wordt gegarandeerd.
2.1 Fouten in geschatte cijfers
Laat het getal x een exacte waarde zijn, en het getal a een geschatte waarde van een bepaalde hoeveelheid.
Definitie. Het verschil tussen het getal x en zijn geschatte waarde a wordt de fout van het geschatte getal a genoemd: Δ = |x-a |.
Stel x=10,5, a=10, dan is Δ=10,5-10=0,5.
Stel x=9,5, a=10, dan Δ=9,5-10=-0,5.
Definitie. De absolute waarde van het verschil tussen het getal x en zijn geschatte waarde a wordt de absolute fout van het geschatte getal a genoemd: Δa = |x-a|
Stel x=10,5, a=10, dan is Δa =|10,5-10|=0,5.
Stel x=9,5, a=10, dan is Δa=|9,5-10|=0,5.
Vaak is het exacte aantal x onbekend. Dan is het onmogelijk om Δa = |x-a| te vinden, dus gebruiken ze een schatting van de absolute fout - de maximale absolute fout Δa ≥ Δa =x-a|. In dit geval ligt het getal x binnen de grenzen:
a - Δ a x a + Δ a of kort: x = a ± Δ a.
Lees: x is gelijk aan a tot binnen Δ a.
Om de kwaliteit van de uitgevoerde berekeningen te bepalen, is het noodzakelijk om te bepalen welk percentage de absolute fout van de gemeten waarde is. Voor dit doel wordt relatieve fout gebruikt.
Definitie. De relatieve fout δa van het geschatte getal a is de verhouding van de absolute fout Δa tot de absolute waarde van het getal x:
of 
.
De beoordeling van de relatieve fout ba is de maximale relatieve fout: 
Voorbeeld. Het getal x=0,4287 en de geschatte waarde ervan a=0,4264 worden gegeven. Zoek de absolute en relatieve fouten van het getal a.
Oplossing. Laten we de absolute fout van het getal a berekenen:
Δa=|0,4287-0,4264| = 0,0023.
Laten we de relatieve fout van het getal a berekenen:
of 5,4%.
Opmerkingen. 1. Bij het registreren van een fout is het gebruikelijk om 1-2 significante cijfers achter te laten. Fouten worden altijd naar boven afgerond. In dit geval breiden de grenzen van het exacte getal x zich uit.
2. Als het getal x onbekend is, wordt het getal a gebruikt om de relatieve fout te vinden.
3. Relatieve fout vaak uitgedrukt als een percentage door het met 100% te vermenigvuldigen.
2.2. Significante en ware cijfers van een geschat getal
Om de nauwkeurigheid van een getal a bij benadering te beoordelen, is het gebruikelijk om het als een decimale breuk te schrijven. De nauwkeurigheid van een berekening wordt niet bepaald door het aantal decimalen (cijfers achter de komma), maar door het aantal correcte significante cijfers van het resultaat.
Definitie. De significante cijfers van een getal zijn alle cijfers ervan, behalve de nullen die vóór het eerste cijfer, anders dan nul, zijn geschreven, en de nullen aan het einde van de opname als deze dienen om het cijfer of de nauwkeurigheid van het getal te behouden.
Voorbeeld. Bepaal de significante cijfers van a.
a = 0,02701 => significante cijfers: 2,7,0,1.
a = 0,0270 => significante cijfers: 2.7.0.
a = 2700 => significante cijfers: 2,7,0,0.
Definitie. Het cijfer α i van een benaderend getal a wordt een echt significant cijfer in brede zin (in de strikte zin) genoemd als de maximale absolute fout van het getal a niet groter is dan één (halve eenheid) van het cijfer waarin het cijfer α i wordt geschreven: Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i).
Voorbeeld. Bepaal de juiste getallen van het geschatte getal a = 0,7264, als de absolute fout Δ a = 0,0023 is.
Oplossing. Absolute fout Δ a = 0,0023 0,005 = 0,5∙10 -2. Bijgevolg zijn de nummers 7 en 2 correct in strikte zin, de nummers 6 en 4 zijn onjuist (twijfelachtig). Omdat Δ a = 0,0023< 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.
Opmerkingen. 1. In wiskundige tabellen zijn alle significante cijfers waar in strikte zin.
2. Het is gebruikelijk om alleen de juiste cijfers in het eindresultaat achter te laten.
Voorbeeld. Vervolgens wordt de maximale absolute fout van het getal a bepaald door de eenheid van het minst significante cijfer. Stel bijvoorbeeld a = 127,38, dan Δ a = 0,01 als alle getallen correct zijn in de strikte zin, en Δ a = 0,5∙0,01 = 0,005 als alle getallen correct zijn in de brede zin. 
=7,21?
Oplossing. Bepaal welke gelijkheid nauwkeuriger is: 13/19 = 0,684 of 
Laten we a =0,684, b =7,21 aanduiden. Laten we de absolute fouten van deze cijfers vinden. Neem hiervoor 13/19 en Met een groot aantal 
=7,2111...
decimalen: 13/39=0,68421...,< 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.
Dan is Δa =|0,68421...-0,684|
Laten we de relatieve fouten vinden:
of 0,033%.
of 0,017%. 
.
De tweede gelijkheid is sindsdien nauwkeuriger
Bij benaderende berekeningen is het vaak nodig om getallen, zowel bij benadering als exact, af te ronden, dat wil zeggen een of meer laatste cijfers weg te laten. Wanneer we een getal afronden, vervangen we het door een geschat getal met minder significante cijfers, wat resulteert in een afrondingsfout. Om deze fout tot een minimum te beperken, moet u zich aan enkele afrondingsregels houden.
Regel I. Als het eerste van links van de weggegooide cijfers groter is dan 5, wordt het laatste van de behouden cijfers versterkt, d.w.z. met één toeneemt. Versterking wordt ook gedaan als het eerste cijfer links van de weggegooide cijfers 5 is, gevolgd door niet-nul cijfers.
Voorbeeld. Als we het getal 73,473 afronden op de dichtstbijzijnde tiende, krijgen we 73,5. Het laatste van de resterende cijfers wordt versterkt, aangezien 7 > 5.
Regel II. Als het eerste van de weggegooide cijfers kleiner is dan 5, wordt het laatste van de overige cijfers niet versterkt, dat wil zeggen dat het ongewijzigd blijft.
Voorbeeld. Als we het getal 73,473 afronden op de dichtstbijzijnde honderdste, krijgen we 73,47.
RegelIII. Als het eerste weggegooide cijfer links een 5 is en niet wordt gevolgd door cijfers die niet nul zijn, wordt het laatst overgebleven cijfer versterkt als het oneven is en onveranderd gelaten als het even is (regel voor even cijfers).
Voorbeeld. Als we het getal 5,785 afronden op honderdsten, krijgen we 5,78. We boeken geen winst, aangezien het laatst opgeslagen cijfer, 8, even is. Als we het getal 5,775 afronden op de tweede decimaal, krijgen we 5,78. Het laatst opgeslagen cijfer, 7, wordt met één verhoogd omdat het oneven is.
Wanneer Regel III wordt toegepast op het afronden van een enkel getal, vergroten we niet echt de nauwkeurigheid van de berekening, maar bij meerdere afrondingen komen bovengetallen ongeveer net zo vaak voor als ondergetallen. Er vindt wederzijdse compensatie van fouten plaats, het resultaat is nauwkeuriger.
Wanneer de hierboven besproken afrondingsregels worden toegepast, bedraagt de absolute afrondingsfout dus niet meer dan een halve cijfereenheid, bepaald door het laatste significante cijfer dat overblijft.
Als het exacte getal x wordt afgerond op n significante cijfers, heeft het resulterende geschatte getal a een absolute fout die gelijk is aan de afrondingsfout. In dit geval heeft het geschatte getal a n geldige significante cijfers in enge zin.
Voorbeeld. Als we het getal x = 26,837 afronden op drie significante cijfers, krijgen we a = 26,8, vandaar Δ a = |x-a | = | 26,837-26,8 |=0,037< 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.
Wanneer we het geschatte getal a afronden, krijgen we een nieuw geschat getal a 1.
Definitie. Het getal Δ a1 = Δ a + Δ env wordt afrondingsfout genoemd.
De absolute fout van het getal a 1 is de som van de absolute fout van het oorspronkelijke getal Δ a en de afrondingsfout Δ env, d.w.z.
Δ a1 = Δ a + Δ omg.
Voorbeeld. Rond de twijfelachtige cijfers van het getal x=34,124 ± 0,021 af. Definiëren absolute fout resultaat.
Oplossing. Het geschatte getal a=34,124 heeft drie correcte cijfers in enge zin: 3, 4, 1, aangezien Δ a =0,021< 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.
Alle significante cijfers van een 2 zijn dus correct (in enge zin).
Dus x=34,1 ±0,045.
Wanneer u echter een geschat getal a met n correcte significante cijfers (in de enge zin) afrondt naar n significante cijfers, kan het blijken dat het afgeronde getal a 1 n correcte significante cijfers in de brede zin heeft.
Voorbeeld. Het geschatte getal a = 15,3654 (± 0,0018) heeft vier correcte significante cijfers in enge zin (1, 5, 3, 6), aangezien Δ a = 0,0018< 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.
Uiteraard 0,005< 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) heeft vier correcte cijfers in brede zin.
Dus x=15,37 ±0,0064.
Voorbeeld. Rond de twijfelachtige cijfers van het getal a = 26,7245 (± 0,0026) af, waarbij de juiste tekens in enge zin overblijft. Bepaal de absolute fout van het resultaat.
Oplossing. Volgens de voorwaarde Δ a = 0,0026< 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:
De resulterende fout is groter dan 0,005 (0,005< 0,0071), поэтому уменьшим число цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. We vinden Δ a2 = =Δ a +Δ env =0,0026+|26,7245-26,7|=0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.
Dus x=26,7 ±0,0271 => x=26,7 ±0,03, waarbij de fout wordt afgerond op twee cijfers.
Voorbeeld. Rond de twijfelachtige cijfers van het getal a=22,7314 af en laat de juiste tekens in enge zin over. Bepaal de absolute fout van het getal als δ a = 0,2%.
Oplossing. Laten we δ a schrijven in de vorm van een decimale breuk: δa=0,002 en bepaal de absolute fout. Omdat Δa = 0,0455< 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Dan is Δ a1 = =Δ a +Δ env =0,0455+|22,7314-22,73|=0,0769>0,05, dus laten we het aantal cijfers in het geschatte getal terugbrengen tot twee: a 2 =23. We vinden Δ a2 = =Δ a +Δ env =0,0455+|22,7314-23|=0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.
Dus x=23 ±0,3141 => x=23 ±0,32.
2.3. Regels voor het werken met geschatte getallen
Regel 1. De absolute fout van de algebraïsche som van verschillende geschatte getallen is gelijk aan de som van de absolute fouten van deze getallen:
Δ а±в =Δ а + Δ в
Regel 2. De relatieve fout van het product van verschillende geschatte getallen is gelijk aan de som van de relatieve fouten van deze getallen:
δ aw = δ a + δ b.
Regel 3. De relatieve fout van de gedeeltelijk benaderende getallen is gelijk aan de som van de relatieve getallen: δ а/в = δ а +δ в.
Regel 4. De relatieve fout van de graad van het geschatte getal a is gelijk aan: δa n = nδ a.
Regel 5. De relatieve fout van de wortel van het geschatte getal a is gelijk aan: 
.
Regel 6. Als u bij het maken van berekeningen geen strikte berekening van fouten uitvoert, wordt aanbevolen om de regels voor het tellen van getallen te gebruiken. Deze regels geven aan hoe resultaten moeten worden afgerond om de gewenste nauwkeurigheid van het resultaat te garanderen zonder berekeningen met extra cijfers te maken.
De regels gaan ervan uit dat de getallen die worden gemanipuleerd alleen correcte cijfers bevatten en dat het aantal manipulaties klein is.
I. Bij het optellen en aftrekken van geschatte getallen moet het resultaat evenveel decimalen behouden als er zijn in het getal met de minste decimalen.
II. Bij vermenigvuldigen en delen moet het resultaat evenveel significante cijfers behouden als er zijn in het getal met de minste significante cijfers.
III. Wanneer je een getal bij benadering tot een macht verheft, moet het resultaat evenveel significante cijfers behouden als er in de basis van de macht staan.
IV. Wanneer u een wortel uit een geschat getal haalt, moet u net zoveel significante cijfers behouden als er in het wortelgetal staan.
V. Bij tussenresultaten moet u 1-2 cijfers meer opslaan dan aanbevolen door regels I-IV. In het eindresultaat worden de "reservecijfers" weggegooid en wordt het getal afgerond.
VI. Als sommige brongegevens meer decimalen (voor optellen en aftrekken) of significantere cijfers (voor andere bewerkingen) hebben dan andere, moeten ze eerst worden afgerond, waarbij slechts één "veilig cijfer" overblijft.
VII. Om een resultaat met N correcte cijfers te verkrijgen, moeten de brongegevens met een zodanig aantal cijfers worden genomen dat, volgens de voorgaande regels, N+1 cijfers in het resultaat opleveren.
Voorbeeld. Laten we s=2,35+11,8 vinden zonder rekening te houden met fouten. Als we regel I toepassen, krijgen we s=14,15. We ronden de uitkomst af op het getal 11,8 met het minste aantal decimalen. We krijgen: s =14,2.
Laten we het probleem oplossen, rekening houdend met fouten. In het getal s=14,15 mogen alleen de juiste getallen overblijven. Om dit te doen, zullen we de maximale absolute fout van de som s vinden met behulp van regel 1. Gezien het feit dat alle cijfers in de getallen 2,35 en 11,8 correct zijn, verkrijgen we: Δ 14,15 = Δ 2,35 + Δ 11,8 = 0,01 +0,1=0,11< 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.
Problemen worden op dezelfde manier opgelost bij het uitvoeren van andere bewerkingen op geschatte getallen.
Lestype: gecombineerd.
Documentinhoud bekijken
"Geschatte vierkantswortelberekeningen."
8e leerjaar
Datum:
Les nr. 9.
Onderwerp: Geschatte vierkantswortelberekeningen.
Doelstellingen: 1. Leer leerlingen geschatte waarden van vierkantswortels te vinden.
2. Ontwikkel observatievaardigheden, het vermogen om te analyseren, vergelijken en conclusies te trekken.
Stimuleer een positieve houding ten opzichte van academisch werk
Lestype: gecombineerd.
Vormen van lesorganisatie: individueel, collectief
Benodigdheden: projectbord, sfeerkaarten, microcalculator
Drie paden leiden naar kennis: het pad van reflectie
Dit is het meest nobele pad,
het pad van imitatie is het gemakkelijkste pad
en het pad van ervaring is het meest bittere pad.
Confucius
Voortgang van de les.
Organisatorisch moment
Fase huiswerkcontrole
Nr. 60 – 1 leerling voert een prestatie uit aan het bord, een andere leerling controleert ter plekke of de taak goed is uitgevoerd
Mondeling werk: geprojecteerd op het bord
a) Zoek de waarde van de wortel:
b) Is de uitdrukking logisch:
c) Zoek het getal waarvan de rekenkundige vierkantswortel 0 is; 1; 3; 10; 0,6
Fase van het uitleggen van nieuw materiaal
Om de geschatte waarde van de vierkantswortel te berekenen, moet u een microcalculator gebruiken. Om dit te doen, voert u de worteluitdrukking in de rekenmachine in en drukt u op de toets met het wortelteken. Maar je hebt niet altijd een rekenmachine bij de hand, dus je kunt de geschatte waarde van de vierkantswortel als volgt vinden:
Stel dat we de waarde moeten vinden.
Sindsdien. Nu nemen we onder de getallen op het interval van 1 tot 2 de aangrenzende getallen 1.4 en 1.5, we krijgen: , dan nemen we de getallen 1.41 en 1.42, deze getallen voldoen aan de ongelijkheid. Als we dit proces van het kwadrateren van aangrenzende getallen voortzetten, krijgen we het volgende systeem van ongelijkheden:
Geprojecteerd op het bord.
Uit dit systeem, waarbij we de getallen achter de komma vergelijken, krijgen we:
Geschatte waarden van vierkantswortels kunnen worden genomen door overmaat en tekort, d.w.z. door een tekort met een nauwkeurigheid van 0,0001 en door een overmaat.
Consolidatie van het bestudeerde materiaal.
Niveau "A"
0,2664 0,2 – door tekort
№93 (er wordt gebruik gemaakt van een rekenmachine)
5. Valeologische pauze: oefeningen voor de ogen.
Niveau "B"
6. Historische achtergrond over de noodzaak om de waarde van vierkantswortels te vinden
(De geïnteresseerde student wordt vooraf uitgenodigd om via internet een bericht over dit onderwerp voor te bereiden)
Er wordt een formule voorgesteld om de geschatte waarde van de vierkantswortel van een irrationeel getal te vinden:
Niveau "C" nr. 105
7. Reflectie.
Samenvatting van de les.
Huiswerk: nr. 102,
Vierkantswortels met de hand extraheren
Laten we het nummer 223729 als voorbeeld nemen. Om de wortel te extraheren, moeten we de volgende bewerkingen uitvoeren:
A) verdeel het getal van rechts naar links in cijfers van twee cijfers per cijfer, met streken bovenaan - 223729 → 22"37"29". Als het een getal is met een oneven aantal cijfers, zoals 4765983, dan bij het delen moet worden opgeteld bij het eerste cijfer van de linker nul, d.w.z. 4765983→04"76"59"83".
B) Voeg een radicaal toe aan het getal en schrijf een gelijkteken:
22"37"29"→=… .
Hierna beginnen we daadwerkelijk de wortel te berekenen. Dit gebeurt in stappen en bij elke stap wordt één cijfer van het oorspronkelijke nummer verwerkt, d.w.z. twee opeenvolgende cijfers van links naar rechts, en je krijgt één cijfer van het resultaat.
Stap 1— een vierkantswortel met een nadeel uit het eerste cijfer halen:
= 4… (met nadeel)
Het resultaat van stap 1 is het eerste cijfer van het gewenste getal:
Stap 2- we kwadrateren het eerste ontvangen cijfer, voegen het toe onder het eerste cijfer en plaatsen een minteken als volgt:
En we voeren de berekening uit zoals reeds geschreven.
Stap 3- voeg twee cijfers toe van het volgende cijfer rechts van het aftrekkingsresultaat en plaats een verticale lijn links van het resulterende getal, zoals dit:
Behandel hierna de getallen na het =-teken als een gewoon getal, vermenigvuldig het met 2 en voeg een spatie toe aan de linkerkant van de verticale lijn, waarin we een punt plaatsen en onder dit punt plaatsen we ook een punt:
Een punt geeft aan dat er naar een nummer wordt gezocht. Dit cijfer zal het tweede zijn in het laatste nummer, d.w.z. verschijnt na het cijfer 4. Er wordt gezocht volgens de volgende regel:
Dit is het grootste aantalk zodat het getal 8 isk , d.w.z. getal verkregen uit 8 door een cijfer toe te voegenk , vermenigvuldigd metk , niet groter is dan 637.
In dit geval is dat het getal 7, omdat 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Dus we hebben:
Stap 4- teken een horizontale lijn en schrijf daaronder het resultaat van de aftrekking:
637 – 609 = 28. We wijzen het laatste cijfer van het oorspronkelijke wortelgetal toe aan het getal 28 en krijgen het getal 2829. Trek een verticale lijn links ervan, vermenigvuldig nu 47 met 2 en wijs het resulterende getal 94 toe aan de linkerkant van de verticale lijn, waardoor er een spatie overblijft in de vorm van een punt voor het zoeken naar het laatste cijfer. Het getal 3 past precies zonder rest, aangezien 943∙3=2829, wat betekent dat dit het laatste cijfer is van het gewenste getal, d.w.z. = 473.
943 2829
Als de rest niet nul blijkt te zijn, kan men in principe een komma achter de gevonden cijfers van het getal zetten, twee decimalen van het getal afschrijven als het volgende cijfer, of twee nullen als die er niet zijn, en doorgaan om de vierkantswortel steeds nauwkeuriger te extraheren. Hier is een voorbeeld:
= 4,123…
Geschatte vierkantswortelmethoden
(zonder rekenmachine te gebruiken).
1 methode.
De oude Babyloniërs gebruikten de volgende methode om de geschatte waarde van de vierkantswortel van hun getal x te vinden. Ze stelden het getal x voor als de som a 2 + b, waarbij a 2 het exacte kwadraat is van het natuurlijke getal a (a 2 ? x) dat het dichtst bij het getal x ligt, en gebruikten de formule 
. (1)
Met behulp van formule (1) extraheren we de vierkantswortel bijvoorbeeld uit het getal 28:
Het resultaat van het extraheren van de wortel van 28 met een rekenmachine is 5,2915026. Zoals je kunt zien, geeft de Babylonische methode een goede benadering van de exacte waarde van de wortel.
Methode 2.
Isaac Newton ontwikkelde een methode voor het extraheren van vierkantswortels die teruggaat tot Heron van Alexandrië (circa 100 na Christus). Deze methode (bekend als de methode van Newton) is als volgt.
Laten A 1 - de eerste benadering van een getal (als 1 kun je de waarden nemen van de vierkantswortel van een natuurlijk getal - een exact kwadraat dat niet groter is dan X) .
