Definitie van kruisende lijnen. Lijnen overschrijden
Lezing: Snijdende, evenwijdige en kruisende lijnen; loodrechtheid van lijnen
Kruisende lijnen
Als er meerdere rechte lijnen in een vlak zijn, zullen ze vroeg of laat elkaar willekeurig snijden, of loodrecht staan, of evenwijdig zijn. Laten we elk geval bekijken.
De lijnen die ten minste één snijpunt hebben, kunnen elkaar snijdend worden genoemd.
Je kunt je afvragen waarom tenminste één rechte lijn een andere rechte lijn niet twee of drie keer kan snijden. Je hebt gelijk! Maar rechte lijnen kunnen volledig met elkaar samenvallen. In dit geval zullen er een oneindig aantal gemeenschappelijke punten zijn.
Parallellisme
Parallel Je kunt de lijnen een naam geven die elkaar nooit zullen snijden, zelfs niet in het oneindige.
Met andere woorden, parallel zijn diegene die geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. Houd er rekening mee dat deze definitie alleen geldig is als de lijnen zich in hetzelfde vlak bevinden, maar als ze geen gemeenschappelijke punten hebben, omdat ze zich in verschillende vlakken bevinden, worden ze als snijdend beschouwd.
Voorbeelden van parallelle lijnen in het leven: twee tegenover elkaar liggende randen van een beeldscherm, lijnen in notebooks en vele andere delen van dingen met een vierkante, rechthoekige en andere vorm.
Als ze schriftelijk willen aantonen dat de ene lijn evenwijdig is aan de andere, gebruiken ze de volgende notatie a||b. Deze vermelding zegt dat lijn a evenwijdig is aan lijn b.
Bij het bestuderen van dit onderwerp is het belangrijk om nog een verklaring te begrijpen: door een bepaald punt in het vlak dat niet tot een bepaalde lijn behoort, kan men een enkele parallelle lijn trekken. Maar let op, opnieuw zit de correctie in het vlak. Als we de driedimensionale ruimte beschouwen, kunnen we een oneindig aantal lijnen tekenen die elkaar niet zullen snijden, maar wel zullen snijden.
De verklaring die hierboven werd beschreven, wordt genoemd axioma van evenwijdige lijnen.
Loodrechtheid
Directe lijnen kunnen alleen worden gebeld als loodrecht, als ze elkaar snijden onder een hoek gelijk aan 90 graden.
In de ruimte kunnen door een bepaald punt op een lijn een oneindig aantal loodrechte lijnen worden getekend. Als we het echter over een vlak hebben, kun je door één punt op een lijn een enkele loodrechte lijn tekenen.
Rechte lijnen gekruist. Secans
Als sommige lijnen elkaar op een bepaald punt onder een willekeurige hoek snijden, kunnen ze worden genoemd kruising.
Alle kruisende lijnen hebben verticale en aangrenzende hoeken.
Als hoeken gevormd door twee snijdende rechte lijnen één zijde gemeen hebben, worden ze aangrenzend genoemd:
Aangrenzende hoeken bedragen samen 180 graden.
TEKSTTRANSCRIPT VAN DE LES:
Je kent al twee gevallen van relatieve posities van lijnen in de ruimte:
1. kruisende lijnen;
2. parallelle lijnen.
Laten we hun definities onthouden.
Definitie. Lijnen in de ruimte worden snijdend genoemd als ze in hetzelfde vlak liggen en één gemeenschappelijk punt hebben
Definitie. Lijnen in de ruimte worden parallel genoemd als ze in hetzelfde vlak liggen en geen gemeenschappelijke punten hebben.
Wat deze definities gemeen hebben is dat de lijnen in hetzelfde vlak liggen.
In de ruimte is dit niet altijd het geval. We kunnen met meerdere vlakken omgaan, en niet elke twee rechte lijnen zullen in hetzelfde vlak liggen.
Bijvoorbeeld kubusranden ABCDA1B1C1D1
AB en A1D1 liggen in verschillende vlakken.
Definitie. Twee lijnen worden scheef genoemd als er geen vlak is dat door deze lijnen gaat. Uit de definitie blijkt duidelijk dat deze lijnen elkaar niet snijden en niet evenwijdig zijn.
Laten we een stelling bewijzen die het criterium van scheve lijnen uitdrukt.
Stelling (test van scheve lijnen).
Als een van de lijnen in een bepaald vlak ligt, en de andere lijn snijdt dit vlak op een punt dat niet bij deze lijn hoort, dan snijden deze lijnen elkaar.
De rechte lijn AB ligt in het α-vlak. Lijn CD snijdt vlak α in punt C, dat niet tot lijn AB behoort.
Bewijs dat de lijnen AB en DC elkaar kruisen.
Bewijs
We zullen het bewijs uitvoeren door middel van tegenspraak.
Laten we zeggen dat AB en CD in hetzelfde vlak liggen, laten we dit β noemen.
Dan gaat het vlak β door lijn AB en punt C.
Als uitvloeisel van de axioma's kan men door de lijn AB en een punt C dat er niet op ligt, een vlak tekenen, en slechts één.
Maar we hebben al zo'n vlak: het α-vlak.
Daarom vallen de vlakken β en α samen.
Maar dit is onmogelijk, omdat de rechte lijn CD snijdt α, maar ligt er niet in.
We zijn tot een tegenstrijdigheid gekomen en daarom is onze veronderstelling onjuist. AB en CD liggen erin
verschillende vlakken en kruisen elkaar.
De stelling is bewezen.
Er zijn dus drie mogelijke manieren om lijnen in de ruimte onderling te rangschikken:
A) De lijnen snijden elkaar, dat wil zeggen dat ze slechts één gemeenschappelijk punt hebben.
B) De lijnen zijn evenwijdig, d.w.z. liggen in hetzelfde vlak en hebben geen gemeenschappelijke punten.
C) Rechte lijnen kruisen elkaar, d.w.z. liggen niet in hetzelfde vlak.
Laten we een andere stelling over scheve lijnen bekijken
Stelling. Door elk van de twee snijdende lijnen loopt een vlak evenwijdig aan de andere lijn, en bovendien slechts één.
AB en CD - kruisende lijnen
Bewijs dat er een vlak α bestaat zodat de lijn AB in het vlak α ligt, en de lijn CD evenwijdig is aan het vlak α.
Bewijs
Laten we het bestaan van zo’n vliegtuig bewijzen.
1) Door punt A trekken we een rechte lijn AE evenwijdig aan CD.
2) Omdat de lijnen AE en AB elkaar snijden, kan er een vlak doorheen worden getrokken. Laten we het aanduiden met α.
3) Omdat de lijn CD evenwijdig is aan AE, en AE in het vlak α ligt, dan is de lijn CD ∥ vlak α (volgens de stelling over de loodrechtheid van de lijn en het vlak).
Vlak α is het gewenste vlak.
Laten we bewijzen dat het vlak α het enige is dat aan de voorwaarde voldoet.
Elk ander vlak dat door lijn AB gaat, zal AE snijden, en dus de lijn CD evenwijdig daaraan. Dat wil zeggen dat elk ander vlak dat door AB gaat, de rechte lijn CD snijdt en daarom niet evenwijdig daaraan is.
Daarom is het α-vlak uniek. De stelling is bewezen.
Stelling. Als een lijn in een bepaald vlak ligt, en een andere lijn snijdt dit vlak op een punt dat niet tot de eerste lijn behoort, dan snijden deze twee lijnen elkaar. Teken van kruisende lijnen Bewijs. Laat lijn a in het vlak liggen, en lijn b snijdt het vlak in punt B, dat niet bij lijn a hoort. Als de lijnen a en b in hetzelfde vlak liggen, dan zou punt B ook in dit vlak liggen. Omdat er maar één vlak door de lijn gaat en een punt buiten deze lijn, moet dit vlak een vlak zijn. Maar dan zou rechte lijn b in het vlak liggen, wat in tegenspraak is met de voorwaarde. Bijgevolg liggen rechte lijnen a en b niet in hetzelfde vlak, d.w.z. kruisen.
Hoeveel paren scheve lijnen zijn er die de randen van een regelmatig driehoekig prisma bevatten? Oplossing: Voor elke rand van de basis zijn er drie randen die deze snijden. Voor elke zijrand zijn er twee ribben die deze snijden. Daarom is het vereiste aantal paren schuine lijnen Oefening 5
Hoeveel paar scheve lijnen zijn er die de randen van een regelmatig zeshoekig prisma bevatten? Oplossing: Elke rand van de basis neemt deel aan 8 paar kruisende lijnen. Elke zijrand neemt deel aan 8 paar kruisende lijnen. Daarom is het vereiste aantal paren schuine lijnen Oefening 6
AG.40. Afstand tussen twee kruisende lijnen
In coördinaten 
FMP.3. VOLLEDIGE VERHOGING
functies van verschillende variabelen - de toename die een functie krijgt wanneer alle argumenten (in het algemeen gesproken niet-nul) toenamen ontvangen. Om precies te zijn: laat de functie f gedefinieerd worden in een buurt van het punt
n-dimensionale ruimte van variabelen x 1,. . ., x blz. Verhogen
functie f op punt x (0), waarbij
genaamd volledige verhoging als deze wordt beschouwd als een functie van n mogelijke verhogingen D x 1, . . .,D x n argumenten x 1, . .., xp, alleen onderworpen aan de voorwaarde dat het punt x (0) + Dx behoort tot het definitiedomein van de functie f. Naast de gedeeltelijke verhogingen van de functie worden ook gedeeltelijke verhogingen van D in aanmerking genomen x kf functie f op punt x (0) in variabele xk, d.w.z. dergelijke verhogingen Df, waarvoor Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., p, k- vast (k=1, 2, ..., n).
FMP.4. A: De gedeeltelijke toename van de functie z = (x, y) ten opzichte van x is het verschil met de gedeeltelijke toename ten opzichte van
A: De partiële afgeleide naar x van de functie z = (x, y) is de limiet van de verhouding van de partiële toename tot de toename Ax, aangezien deze naar nul neigt:
Andere notaties: Hetzelfde geldt voor variabelen -
noa u. 
Merk op dat deze wordt bepaald voor constante y, en voor constante x, kunnen we een regel formuleren: de partiële afgeleide naar x van de functie z = (x, y) is de gewone afgeleide naar x, berekend onder de veronderstelling dat y = const. Op dezelfde manier moet men, om de partiële afgeleide naar y te berekenen, aannemen dat x = const. De regels voor het berekenen van partiële afgeleiden zijn dus dezelfde als in het geval van een functie van één variabele.
FMP.5. Continuïteit van functies. Definitie van continuïteit van een functie
Een functie wordt in een punt continu genoemd als aan een van de gelijkwaardige voorwaarden is voldaan:
2) voor een willekeurige reeks ( x n) waarden convergeren naar N→ ∞ tot het punt X 0 , de overeenkomstige reeks ( F(x n)) waarden van de functie convergeren naar N→ ∞ k F(X 0);
3) of F(X) - F(X 0) → 0 bij X - X 0 → 0;
4) zodanig dat of, wat hetzelfde is,
F: ]X 0 - δ , X 0 + δ [ → ]F(X 0) - ε , F(X 0) + ε [.
Uit de definitie van continuïteit van een functie F op het punt X 0 Hieruit volgt
Als de functie F continu op elk punt van het interval] A, B[, dan de functie F genaamd continu op dit interval.
FMP.6. Bij wiskundige analyse is gedeeltelijke afgeleide- een van de generalisaties van het concept van afgeleide naar het geval van een functie van meerdere variabelen.
Expliciet de partiële afgeleide van de functie F wordt als volgt gedefinieerd:
Grafiek van een functie z = X² + xy + j². Partiële afgeleide op punt (1, 1, 3) bij constante waarde j komt overeen met de hellingshoek van een raaklijn evenwijdig aan het vlak xz.
Delen van de grafiek hierboven weergegeven per vlak j= 1
Houd er rekening mee dat de aanduiding moet worden opgevat als geheel symbool, in tegenstelling tot de gebruikelijke afgeleide van een functie van één variabele, die kan worden weergegeven als de verhouding van de verschillen tussen de functie en het argument. De partiële afgeleide kan echter ook worden weergegeven als een verhouding van verschillen, maar in dit geval is het noodzakelijk om aan te geven met welke variabele de functie wordt verhoogd: , waarbij d x f- partiële differentie van de functie f ten opzichte van de variabele x. Vaak is een gebrek aan begrip van de integriteit van een symbool de oorzaak van fouten en misverstanden, zoals bijvoorbeeld een afkorting in de uitdrukking. (voor meer details, zie Fichtenholtz, “Cursus differentiaal- en integraalrekening”).
Geometrisch gezien is de partiële afgeleide de afgeleide ten opzichte van de richting van een van de coördinaatassen. Partiële afgeleide van een functie F op een punt langs de coördinaat x k is gelijk aan de afgeleide met betrekking tot de richting, waar de eenheid aan staat k-de plaats.
LA 76) Systeem. De vergelijking heet Cramer als het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden.
LA 77-78) Systeem. wordt gezamenlijk genoemd als het ten minste één oplossing heeft, en anders inconsistent.
LA 79-80) Verbindingssysteem. wordt definitief genoemd als het maar één oplossing heeft, en anders onbepaald.
LA 81) ...de determinant van het Cramer-systeem was anders dan nul
LA 169) Om het systeem consistent te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rang van de matrix gelijk is aan de rang van de uitgebreide matrix = .
LA 170) Als de determinant van het Cramer-systeem verschillend is van nul, dan is het systeem gedefinieerd en kan de oplossing ervan worden gevonden met behulp van de formules 
LA 171) 1. Vind de oplossing voor het Cramer-stelsel van vergelijkingen met behulp van de matrixmethode; 2. Laten we het systeem in matrixvorm schrijven; 3. Laten we de determinant van het systeem berekenen met behulp van zijn eigenschappen: 4. Schrijft vervolgens de inverse matrix A-1; 5. Daarom
LA 172) Homogeen systeem van lineaire vergelijkingen AX = 0. Een homogeen systeem is altijd consistent omdat het minstens één oplossing heeft
LA 173) Als ten minste één van de determinanten , , niet gelijk is aan nul, dan worden alle oplossingen van systeem (1) bepaald door de formules , , , waarbij t een willekeurig getal is. Elke individuele oplossing wordt verkregen bij een specifieke waarde van t.
LA 174) De reeks oplossingen is homogeen. systemen worden fundamenteel systeem van oplossingen genoemd als: 1) lineair onafhankelijk zijn; 2) elke oplossing voor het systeem is een lineaire combinatie van oplossingen.
AG118. De algemene vergelijking van het vlak is...
De vlakvergelijking van de vorm wordt genoemd algemene vlakvergelijking.
AG119.Als vlak a wordt beschreven door de vergelijking Ax+D=0, dan...
PR10.Wat is een oneindig kleine hoeveelheid en wat zijn de basiseigenschappen ervan?
PR11. Welke hoeveelheid wordt oneindig groot genoemd? Wat is haar connectie
met oneindig klein?
PR12.K Welke beperkende relatie wordt de eerste opmerkelijke limiet genoemd? De eerste opmerkelijke grens wordt opgevat als de beperkende relatie
PR13 Welke beperkende relatie wordt de tweede opmerkelijke grens genoemd?
PR14 Welke paren gelijkwaardige functies ken jij?
CR64 Welke reeks wordt harmonisch genoemd? Onder welke voorwaarde convergeert het?
Een reeks van het formulier wordt genoemd harmonisch.
CR65.Wat is de som van een oneindig afnemende progressie?
CR66. Welke uitspraak wordt bedoeld met de eerste vergelijkingsstelling?
Laat twee positieve reeksen gegeven worden
Als, tenminste vanaf een bepaald punt (bijvoorbeeld voor ), de ongelijkheid: , dan volgt uit de convergentie van de reeks de convergentie van de reeks, of - wat hetzelfde is - uit de divergentie van de reeks volgt de divergentie van de reeks serie.
CR67. Welke uitspraak wordt bedoeld met de tweede vergelijkingsstelling?
Laten we dat aannemen. Als er een grens is
dan wanneer beide reeksen gelijktijdig convergeren of divergeren.
CR 45 Formuleer het noodzakelijke criterium voor de convergentie van een reeks.
Als een reeks een eindige som heeft, wordt deze convergent genoemd.
CR 29 Een harmonische reeks is een reeks van de vorm... Het convergeert wanneer
Een reeks van het formulier wordt genoemd harmonisch. De harmonische reeks convergeert dus naar en divergeert naar .
AG 6. Een geordend systeem van lineair onafhankelijke vectoren die op een gegeven lijn liggen (in een bepaald vlak, in de ruimte) wordt een basis op deze lijn (op dit vlak, in de ruimte) genoemd als een vector die op een gegeven lijn ligt (in een gegeven vlak, in de ruimte) kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van dit lineair onafhankelijke systeem.
Elk paar niet-collineaire vectoren die in een bepaald vlak liggen, vormen een basis op dit vlak.
AG 7. Een geordend systeem van lineair onafhankelijke vectoren die op een gegeven lijn liggen (in een bepaald vlak, in de ruimte) wordt een basis op deze lijn (op dit vlak, in de ruimte) genoemd als een vector die op een gegeven lijn ligt (in een gegeven vlak, in de ruimte) kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van dit lineair onafhankelijke systeem.
Elk drietal niet-coplanaire vectoren vormt een basis in de ruimte.
AG 8, De coëfficiënten in de uitbreiding van een vector over een basis worden de coördinaten van deze vector in een gegeven basis genoemd. Om de coördinaten van een vector met een bepaald begin en einde te vinden, moet je de coördinaten van het begin aftrekken van de coördinaten van het einde van de vector: if , , then .
AG 9.a) Laten we een vector construeren (een vector met een begin in een punt en een einde in een punt heet straalvector van een punt ).
AG 10. Nee, omdat De radiale maat voor de hoek tussen twee vectoren ligt altijd tussen en
AG 11. Een scalair is elk reëel getal. Puntproduct twee vectoren en het getal wordt gelijk genoemd aan het product van hun modules en de cosinus van de hoek ertussen.
AG 12. wij kunnen berekenen afstand tussen punten, basisvectoren, hoek tussen vectoren.
AG 13. Het vectorproduct van een vector en een vector is de derde vector die de volgende eigenschappen heeft:
De lengte bedraagt 
De vector staat loodrecht op het vlak waarin de vectoren en
