Inverse functie. Het concept van een inverse functie Hoe construeer je een inverse functie van een bepaald voorbeeld

Laten we aannemen dat we een bepaalde functie y = f (x) hebben, die strikt monotoon is (afnemend of toenemend) en continu op het domein van definitie x ∈ a; B ; het bereik van waarden y ∈ c ; d, en op het interval c; d in dit geval hebben we een functie gedefinieerd x = g (y) met een bereik van waarden a ; B. De tweede functie zal ook continu en strikt monotoon zijn. Met betrekking tot y = f (x) zal het een inverse functie zijn. Dat wil zeggen, we kunnen praten over de inverse functie x = g (y) wanneer y = f (x) over een bepaald interval zal afnemen of toenemen.

Deze twee functies, f en g, zullen onderling invers zijn.

Waarom hebben we eigenlijk het concept van inverse functies nodig?

We hebben dit nodig om de vergelijkingen y = f (x) op te lossen, die nauwkeurig zijn geschreven met behulp van deze uitdrukkingen.

Laten we zeggen dat we een oplossing moeten vinden voor de vergelijking cos (x) = 1 3. De oplossingen zijn alle punten: x = ± a rc co s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z

De inverse cosinus- en cosinusfuncties zullen bijvoorbeeld invers ten opzichte van elkaar zijn.

Laten we een aantal problemen bekijken om functies te vinden die omgekeerd zijn aan gegeven functies.

Voorbeeld 1

Voorwaarde: wat is de inverse functie voor y = 3 x + 2?

Oplossing

Het domein van definities en waardenbereik van de functie gespecificeerd in de voorwaarde is de verzameling van alle reële getallen. Laten we proberen deze vergelijking op te lossen via x, dat wil zeggen door x tot en met y uit te drukken.

We krijgen x = 1 3 y - 2 3 . Dit is de inverse functie die we nodig hebben, maar y zal hier het argument zijn, en x zal de functie zijn. Laten we ze herschikken om een ​​meer vertrouwde notatie te krijgen:

Antwoord: de functie y = 1 3 x - 2 3 zal het omgekeerde zijn van y = 3 x + 2.

Beide onderling inverse functies kunnen als volgt worden uitgezet:

We zien de symmetrie van beide grafieken met betrekking tot y = x. Deze lijn is de bissectrice van het eerste en derde kwadrant. We hebben een bewijs verkregen van een van de eigenschappen van onderling inverse functies, die we later zullen bespreken.

Laten we een voorbeeld nemen waarin we de logaritmische functie moeten vinden die de inverse is van een gegeven exponentiële functie.

Voorbeeld 2

Voorwaarde: bepaal welke functie de inverse zal zijn voor y = 2 x.

Oplossing

Voor een bepaalde functie bestaat het definitiedomein uit alle reële getallen. Het waardenbereik ligt in het interval 0; + ∞. Nu moeten we x uitdrukken in termen van y, dat wil zeggen de opgegeven vergelijking oplossen in termen van x. We krijgen x = log 2 y. Laten we de variabelen herschikken en y = log 2 x krijgen.

Als gevolg hiervan hebben we exponentiële en logaritmische functies verkregen, die onderling invers aan elkaar zullen zijn in het hele domein van de definitie.

Antwoord: y = logboek 2 x .

In de grafiek zien beide functies er als volgt uit:

Basiseigenschappen van onderling inverse functies

In deze paragraaf noemen we de belangrijkste eigenschappen van de functies y = f (x) en x = g (y), die onderling invers zijn.

Definitie 1

1. De eerste eigenschap hebben we al eerder afgeleid: y = f (g (y)) en x = g (f (x)).
2. De tweede eigenschap volgt uit de eerste: het definitiedomein y = f (x) zal samenvallen met het bereik van waarden van de inverse functie x = g (y), en omgekeerd.
3. De grafieken van functies die invers zijn, zullen symmetrisch zijn ten opzichte van y = x.
4. Als y = f (x) toeneemt, zal x = g (y) toenemen, en als y = f (x) afneemt, zal x = g (y) ook afnemen.

Wij raden u aan om goed te letten op de concepten domein van definitie en domein van betekenis van functies en deze nooit met elkaar te verwarren. Laten we aannemen dat we twee onderling inverse functies hebben: y = f (x) = a x en x = g (y) = log a y. Volgens de eerste eigenschap is y = f (g (y)) = a log a y. Deze gelijkheid zal alleen waar zijn in het geval van positieve waarden van y, en voor negatieve waarden is de logaritme niet gedefinieerd, dus haast je niet om op te schrijven dat een log a y = y. Zorg ervoor dat u dit controleert en toevoegt dat dit alleen waar is als y positief is.

Maar de gelijkheid x = f (g (x)) = log a a x = x zal waar zijn voor alle reële waarden van x.

Vergeet dit punt niet, vooral als u met trigonometrische en inverse trigonometrische functies moet werken. Dus a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, omdat het boogsinusbereik π 2 is; π 2 en 7 π 3 zijn daar niet in opgenomen. De juiste invoer zal zijn

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Maar sin a r c sin 1 3 = 1 3 is een correcte gelijkheid, d.w.z. zonde (a r c zonde x) = x voor x ∈ - 1; 1 en a r c sin (zonde x) = x voor x ∈ - π 2 ; π 2. Wees altijd voorzichtig met het bereik en de reikwijdte van inverse functies!

• Basis onderling inverse functies: machtsfuncties

Als we een machtsfunctie y = x a hebben, dan zal voor x > 0 de machtsfunctie x = y 1 a ook de inverse ervan zijn. Laten we de letters vervangen en respectievelijk y = x a en x = y 1 a krijgen.

In de grafiek zien ze er als volgt uit (gevallen met positieve en negatieve coëfficiënt a):

• Basis onderling inverse functies: exponentieel en logaritmisch

Laten we a nemen, wat een positief getal is dat niet gelijk is aan 1.

Grafieken voor functies met a > 1 en a< 1 будут выглядеть так:

• Basis onderling inverse functies: trigonometrisch en invers trigonometrisch

Als we de sinus en boogsinus van de hoofdtak zouden uitzetten, zou het er zo uitzien (weergegeven als het gemarkeerde lichte gebied).

Lesdoelen:

Educatief:

• kennis ontwikkelen over een nieuw onderwerp in overeenstemming met het programmamateriaal;
• de eigenschap van omkeerbaarheid van een functie bestuderen en leren hoe je de inverse functie van een bepaalde functie kunt vinden;

Ontwikkelingsgericht:

• zelfbeheersingsvaardigheden ontwikkelen, inhoudelijke spraak;
• het concept van de inverse functie beheersen en methoden leren om de inverse functie te vinden;

Educatief: om communicatieve competentie te ontwikkelen.

Apparatuur: computer, projector, scherm, interactief whiteboard SMART Board, hand-outs (zelfstandig werken) voor groepswerk.

Voortgang van de les.

1. Organisatorisch moment.

Doel – leerlingen voorbereiden op werk in de klas:

Definitie van afwezigen,

Studenten in de stemming brengen voor werk, aandacht organiseren;

Geef het onderwerp en het doel van de les aan.

2. Het actualiseren van de basiskennis van studenten. Frontaal onderzoek.

Doel - de juistheid en het bewustzijn van het bestudeerde theoretische materiaal vaststellen, herhaling van het behandelde materiaal.<Приложение 1 >

Op het interactieve whiteboard voor leerlingen wordt een grafiek van een functie weergegeven. De leraar formuleert een taak: bekijk de grafiek van een functie en som de bestudeerde eigenschappen van de functie op. Studenten inventariseren de eigenschappen van een functie volgens het onderzoeksontwerp. De docent, rechts van de grafiek van de functie, schrijft de genoemde eigenschappen met een stift op het interactieve bord.

Functie-eigenschappen:

Aan het einde van het onderzoek meldt de leraar dat ze vandaag in de les vertrouwd zullen raken met een andere eigenschap van een functie: omkeerbaarheid. Om nieuw materiaal zinvol te kunnen bestuderen, nodigt de leraar de kinderen uit om kennis te maken met de belangrijkste vragen die de leerlingen aan het einde van de les moeten beantwoorden. De vragen worden op een gewoon bord geschreven en elke leerling krijgt ze als uitreikblad (uitgedeeld vóór de les)

1. Welke functie wordt inverteerbaar genoemd?
2. Is een functie omkeerbaar?
3. Welke functie wordt de inverse van een gegeven genoemd?
4. Hoe zijn het definitiedomein en de reeks waarden van een functie en de inverse ervan gerelateerd?
5. Als een functie analytisch wordt gegeven, hoe kan men dan de inverse functie definiëren met een formule?
6. Als een functie grafisch wordt weergegeven, hoe kan dan de inverse functie ervan in een grafiek worden weergegeven?

3. Uitleg van nieuw materiaal.

Doel - kennis genereren over een nieuw onderwerp in overeenstemming met de programmastof; de eigenschap van omkeerbaarheid van een functie bestuderen en leren hoe je de inverse functie van een bepaalde functie kunt vinden; inhoudelijke toespraak ontwikkelen.

De docent presenteert de stof in overeenstemming met de stof in de paragraaf. Op het interactieve whiteboard vergelijkt de leraar de grafieken van twee functies waarvan de definitiedomeinen en waardensets hetzelfde zijn, maar een van de functies monotoon is en de andere niet, waardoor leerlingen kennismaken met het concept van een omkeerbare functie .

De leraar formuleert vervolgens de definitie van een inverteerbare functie en voert een bewijs uit van de stelling van de inverteerbare functie met behulp van de grafiek van een monotone functie op het interactieve whiteboard.

Definitie 1: De functie y=f(x), x X wordt aangeroepen omkeerbaar, als het een van zijn waarden slechts op één punt van de verzameling X aanneemt.

Stelling: Als een functie y=f(x) monotoon is op een verzameling X, dan is deze inverteerbaar.

Bewijs:

1. Laat de functie y=f(x) stijgt met X en laat x 1 ≠x 2- twee punten van de set X.
2. Om specifiek te zijn, laat x 1< x 2.
   Dan uit het feit dat x 1< x 2 daar volgt het uit f(x1) < f(x2).
3. Verschillende waarden van het argument komen dus overeen met verschillende waarden van de functie, d.w.z. de functie is omkeerbaar.

(Naarmate het bewijs van de stelling vordert, gebruikt de leraar een marker om alle nodige uitleg op de tekening te zetten)

Voordat de leraar de definitie van een inverse functie formuleert, vraagt ​​hij de leerlingen om te bepalen welke van de voorgestelde functies inverteerbaar is? Het interactieve whiteboard toont grafieken van functies en schrijft verschillende analytisch gedefinieerde functies:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

De docent introduceert de definitie van een inverse functie.

Definitie 2: Laat de inverteerbare functie bestaan y=f(x) gedefinieerd op de set X En E(f)=Y. Laten we ze allemaal matchen j van Y dat is de enige betekenis X, waarbij f(x)=y. Dan krijgen we een functie die is gedefinieerd op Y, A X– functiebereik

Deze functie is aangewezen x=f -1 (y) en wordt de inverse van de functie genoemd y=f(x).

Studenten wordt gevraagd een conclusie te trekken over het verband tussen het definitiedomein en de reeks waarden van inverse functies.

Om de vraag te beantwoorden hoe je de inverse van een bepaalde functie kunt vinden, trok de leraar twee studenten aan. De dag ervoor kregen de kinderen de opdracht van de leraar om zelfstandig de analytische en grafische methoden te analyseren om de inverse functie van een bepaalde functie te vinden. De docent fungeerde als adviseur bij het voorbereiden van de leerlingen op de les.

Bericht van de eerste leerling.

Let op: de monotoniciteit van de functie is voldoende voorwaarde voor het bestaan ​​van de inverse functie. Maar het niet een noodzakelijke voorwaarde.

De leerling gaf voorbeelden van verschillende situaties waarin een functie niet monotoon maar omkeerbaar is, wanneer een functie niet monotoon en niet omkeerbaar is, wanneer deze monotoon en omkeerbaar is

De student laat de studenten vervolgens kennismaken met een methode om de inverse functie analytisch te vinden.

Algoritme vinden

1. Zorg ervoor dat de functie monotoon is.
2. Druk de variabele x uit in termen van y.
3. Variabelen hernoemen. In plaats van x=f -1 (y) schrijf je y=f -1 (x)

Vervolgens lost hij twee voorbeelden op om de inverse functie van een gegeven te vinden.

Voorbeeld 1: Laat zien dat er voor de functie y=5x-3 een inverse functie bestaat en bepaal de analytische uitdrukking ervan.

Oplossing. De lineaire functie y=5x-3 is gedefinieerd op R, neemt toe op R, en het bereik van waarden is R. Dit betekent dat de inverse functie bestaat op R. Om de analytische uitdrukking ervan te vinden, lost u de vergelijking y=5x- op 3 voor x; we krijgen Dit is de vereiste inverse functie. Het is gedefinieerd en neemt toe op R.

Voorbeeld 2: Laat zien dat er voor de functie y=x 2, x≤0 een inverse functie bestaat, en vind de analytische uitdrukking ervan.

De functie is continu, monotoon in zijn definitiedomein en daarom omkeerbaar. Na analyse van de definitiedomeinen en waardensets van de functie, wordt een overeenkomstige conclusie getrokken over de analytische uitdrukking voor de inverse functie.

De tweede leerling maakt een presentatie over grafisch methode om de inverse functie te vinden. Tijdens zijn uitleg maakt de student gebruik van de mogelijkheden van het interactieve whiteboard.

Om een ​​grafiek van de functie y=f -1 (x) te verkrijgen, omgekeerd aan de functie y=f(x), is het noodzakelijk om de grafiek van de functie y=f(x) symmetrisch te transformeren ten opzichte van de rechte lijn y=x.

Tijdens de uitleg op het interactieve whiteboard wordt de volgende taak uitgevoerd:

Construeer een grafiek van een functie en een grafiek van zijn inverse functie in hetzelfde coördinatensysteem. Schrijf de analytische uitdrukking voor de inverse functie op.

4. Primaire consolidatie van nieuw materiaal.

Doel - de juistheid en het bewustzijn van het begrip van het bestudeerde materiaal vaststellen, hiaten in het primaire begrip van het materiaal identificeren en deze corrigeren.

De leerlingen worden in paren verdeeld. Ze krijgen taakbladen waarin ze in tweetallen het werk doen. De tijd om het werk te voltooien is beperkt (5-7 minuten). Eén leerlingenpaar werkt op de computer, de projector wordt gedurende deze tijd uitgeschakeld en de rest van de kinderen kan niet zien hoe de leerlingen op de computer werken.

Aan het einde van de tijd (aangenomen wordt dat het merendeel van de leerlingen het werk heeft afgerond) wordt het werk van de leerlingen getoond op het interactieve bord (de projector wordt weer aangezet), waarbij tijdens de controle wordt bepaald of de taak werd in tweetallen correct uitgevoerd. Indien nodig voert de leraar corrigerend en verklarend werk uit.

Zelfstandig werken in tweetallen<Bijlage 2 >

5. Lesoverzicht. Wat betreft de vragen die voorafgaand aan de lezing zijn gesteld. Bekendmaking van cijfers voor de les.

Huiswerk §10. Nr. 10,6(a,c) 10,8-10,9(b) 10,12 (b)

Algebra en het begin van analyse. Graad 10 In 2 delen voor instellingen voor algemeen onderwijs (profielniveau) / A.G. Mordkovich, L.O. bewerkt door AG Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Wat is een inverse functie? Hoe vind je de inverse van een bepaalde functie?

Definitie.

Laat de functie y=f(x) worden gedefinieerd op de verzameling D, en E is de verzameling van zijn waarden. Inverse functie ten opzichte van functie y=f(x) is een functie x=g(y), die is gedefinieerd op de verzameling E en aan elke y∈E een waarde x∈D toekent zodat f(x)=y.

Het domein van de definitie van de functie y=f(x) is dus het domein van de waarden van de inverse functie, en het domein van de waarden y=f(x) is het domein van de definitie van de inverse functie.

Om de inverse functie van een gegeven functie y=f(x) te vinden, heb je nodig :

1) Vervang in de functieformule x in plaats van y, en y in plaats van x:

2) Druk uit de resulterende gelijkheid y tot en met x uit:

Zoek de inverse functie van de functie y=2x-6.

De functies y=2x-6 en y=0,5x+3 zijn onderling invers.

De grafieken van de directe en inverse functies zijn symmetrisch ten opzichte van de rechte lijn y=x(middellijnen van de I- en III-coördinaatkwarten).

y=2x-6 en y=0,5x+3 - . De grafiek van een lineaire functie is . Om een ​​rechte lijn te construeren, neem je twee punten.

Het is mogelijk om y ondubbelzinnig uit te drukken in termen van x in het geval dat de vergelijking x=f(y) een unieke oplossing heeft. Dit kan worden gedaan als de functie y=f(x) elk van zijn waarden op een enkel punt in zijn definitiedomein aanneemt (een dergelijke functie wordt genoemd omkeerbaar).

Stelling (noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de invertibiliteit van een functie)

Als de functie y=f(x) gedefinieerd is en continu is op een numeriek interval, dan is het, om inverteerbaar te zijn, noodzakelijk en voldoende dat f(x) strikt monotoon is.

Bovendien, als y=f(x) met een interval toeneemt, neemt de functie die omgekeerd is daaraan ook toe met dit interval; als y=f(x) afneemt, neemt de inverse functie af.

Als niet in het hele definitiedomein aan de omkeerbaarheidsvoorwaarde wordt voldaan, kun je een interval selecteren waarin de functie alleen maar toeneemt of alleen maar afneemt, en op dit interval de functie vinden die omgekeerd is aan de gegeven functie.

Een klassiek voorbeeld is. Tussen)