Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen van de Russische Federatie Federale Stavoor hoger beroepsonderwijs Kuzbass State Technical University.

(P Drie vlakken verdelen de ruimte in 8 delen - octanten

(Afb. 6). Net als voorheen gaan we ervan uit dat de kijker die naar het object kijkt zich in het eerste octant bevindt. Om een ​​diagram te verkrijgen (Fig. 7), wordt elk geometrisch beeld van het vlak P 1 en P 3 geroteerd, zoals weergegeven in Fig. 6. De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen, X j En z , dat kan worden beschouwd als een systeem van cartesiaanse coördinaten in de ruimte met de oorsprong in het punt.

OVER

Om een ​​diagram te verkrijgen, worden punten in het systeem van drie projectievlakken, de vlakken P 1 en P 3, geroteerd totdat ze op één lijn liggen met vlak P 2 (Fig. 8). Bij het aanwijzen van assen in een diagram worden negatieve halve assen meestal niet aangegeven. Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie A Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 2 punten teken een rechte lijn loodrecht op de as Z En en op deze rechte lijn vanaf de as teken een segment gelijk aan de coördinaat bij Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie punten

(Afb. 9).
Afb.8 Afb. 9 De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen, X j En Coördinaten zijn getallen die aan een punt worden toegewezen om de positie ervan in de ruimte of op een oppervlak te bepalen. In de driedimensionale ruimte wordt de positie van een punt bepaald met behulp van rechthoekige cartesiaanse coördinaten

(abscis, ordinaat en applicate):
?
A bcis X

= ………..= …..…..= ….….. = ……….. – afstand van het punt tot het vlak P 3; teken een segment gelijk aan de coördinaat ordinaat

= ……….= ………= …...... = ………… – afstand van het punt tot het vlak P 2; toepassen
Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 1 Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 2 z= …….. = ………= ……..= ………… – afstand van het punt tot het vlak P 1

Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 2 – verticale verbindingslijn loodrecht op de x-as; 3 AEn.
Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie
?
1 – horizontale verbindingslijn loodrecht op de as

Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 2 (….,….) Projectiepositie van elk punt

Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 3 (….,….)
(….,….) wordt gedefinieerd door twee coördinaten Als een punt tot ten minste één projectievlak behoort, neemt het punt in beslag privé positie ten opzichte van projectievlakken. Als een punt niet tot een van de projectievlakken behoort, neemt het punt in beslag algemeen

positie.
Lezing nr. 2

1. Direct. 2. Positie van de lijn ten opzichte van de projectievlakken. 3. Het punt behoort tot een rechte lijn. 4. Sporen zijn recht. 5. Verdeling van een recht lijnsegment in een bepaalde verhouding. 6. Bepaling van de lengte van een recht lijnstuk en de hellingshoeken van de rechte lijn ten opzichte van de projectievlakken. 7. Onderlinge positie van lijnen.
1DIRECT
De projectie van een lijn is in het algemene geval een rechte lijn, behalve in het geval waarin de lijn loodrecht op het vlak staat (Fig. 10).

Om een ​​diagram van een rechte lijn te construeren, bepaalt u de coördinaten De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen, X, En twee punten op een rechte lijn en breng deze waarden over naar de tekening.

2 POSITIE VAN DE LIJN TEN OPZICHTE VAN DE PROJECTIEVLAKKEN
IN

Afhankelijk van de positie van de lijn ten opzichte van de projectievlakken kan deze zowel algemene als specifieke posities innemen.

P de projectie van een generieke lijn is kleiner dan de rechte lijn zelf.

Er is een stijgende rechte lijn - dit is een rechte lijn, die stijgt naarmate deze zich van de waarnemer verwijdert (Fig. 11) en een dalende rechte lijn, die afneemt.

H   P 1 ; teken een rechte lijn loodrecht op de as = const

H 2  0De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen teken

H 3  0teken een segment gelijk aan de coördinaat horizontaal

H 1 =  H – eigendom

horizontaal

 – hellingshoek van de rechte lijn naar

vlak P1

 – hellingshoek van de rechte lijn naar

vlak P2

 – hellingshoek van de rechte lijn naar

vlak P3


?
= 0

 = (H 1  P 2) aanduiden


Rijst. 12. Horizontaal
= (H 1  P 3) in de tekening

F   P 2 ; j = const

F 1  0De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen teken

F 3  0En frontaal

F 2 = F – frontale eigenschap

?
= 0

 = (F 2  P 1) aanduiden

 = (F 2  P 3) in de tekening

Rijst. 13. Voorkant

R   P 3 ; x = const

R 1  0teken een segment gelijk aan de coördinaat teken

R 2  0En profiel recht

R 3 =  R – profieleigenschap

direct
 = 0


?
= (R 3  P 1) aanduiden

 = (R 3  P 2) in de tekening

Rijst. 14. Profiel recht

A P1

A 2  0bcis teken

A 3  0teken een segment gelijk aan de coördinaat

?
=

B P2

B 1  0bcis teken

B 3  0En

?
=

C P3

C 1  0teken een segment gelijk aan de coördinaat teken

Met 2  0En

?
=

3 BEHOREN OP EEN RECHT PUNT
T stelling: Als een punt in de ruimte tot een lijn behoort, dan liggen in het diagram de projecties van dit punt op dezelfde projecties van de lijn (Fig. 18):

M  AB,

E AB.
Eerlijk omgekeerde stelling :

M 1  A 1 B 1 ;

M 2  A 2 B 2  M AB.

4 SPOREN DIRECT
MET
?
ijs – dit is het punt dat door een rechte lijn wordt gesneden met het projectievlak (Afb. 19). Omdat het spoor tot een van de projectievlakken behoort, moet een van de coördinaten gelijk aan nul zijn.

markeer aan H = k ∩ P 1 – horizontaal spoor

tekening (afb. 19) F = k ∩ P 2 – frontaal spoor

?
P =k ∩ P 3 – profieltracering

Regel voor het construeren van sporen:

Om een ​​horizontaal spoor van een rechte lijn te construeren... is het noodzakelijk om een ​​frontale projectie uit te voeren... rechte lijn... ga door totdat deze de as snijdt X en vervolgens vanaf het snijpunt met de as X herstel er een loodlijn op en zet de horizontale projectie van de rechte lijn voort totdat deze deze loodlijn snijdt.

Het frontale spoor is op een vergelijkbare manier opgebouwd.

5 VERDELING VAN EEN LIJNSEGMENT IN EEN GEGEVEN RELATIE
Uit de eigenschappen van parallelle projectie is bekend dat als een punt een lijnsegment in een bepaalde verhouding verdeelt, de projecties van dit punt dezelfde projecties van de lijn in dezelfde verhouding verdelen.

Om een ​​bepaald segment in een diagram in een bepaalde verhouding te verdelen, is het daarom noodzakelijk om de projecties ervan in dezelfde verhouding te verdelen.

Als u deze voorwaarde kent, kunt u bepalen of een punt erbij hoort NAAR direct AB : Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 2 NAAR 2 : NAAR 2 IN 2 ¹ Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 1 NAAR 1 : NAAR 1 IN 1 Þ NAAR Ï AB

Voorbeeld: Om een ​​lijn te splitsen AB in een verhouding van 2:3 vanaf een punt Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 1 laten we een willekeurig segment tekenen Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 1 IN 0 1 verdeeld in vijf gelijke delen (Fig. 20): A 1 K 0 1 = 2 delen, K 0 1 B 0 1 = 3 delen, Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 1 NAAR 0 1 :NAAR 0 1 IN 0 1 =2: 3

Verbind de stip IN 0 1 met punt IN 1 en tekenen vanaf het punt NAAR 0 1 recht evenwijdig ( IN 1 IN 0 1) verkrijgen we de projectie van het punt NAAR 1. Volgens de stelling van Thales (als gelijke segmenten aan de ene kant van een hoek worden gelegd en evenwijdige lijnen door hun uiteinden worden getrokken die de andere kant snijden, dan worden gelijke segmenten aan de andere kant gelegd) Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie 1 NAAR 1: NAAR 1 IN 1 = = 2: 3, dan vinden we NAAR 2. Dus de projecties van het punt NAAR verdeel dezelfde projecties van een segment AB in dit opzicht, vandaar het punt NAAR verdeelt een segment AB in een verhouding van 2:3.

6 BEPALEN VAN DE LENGTE VAN EEN RECHT SEGMENT EN HOEKEN

RECHTSTREEKS KANTELEN NAAR PROJECTIEVLAKKEN
Lengte van het segment AB kan worden bepaald uit een rechthoekige driehoek abc , waar A MET  = A 1 B 1 ,  CB  = DZ, hoek A- hellingshoek van het segment ten opzichte van het vlak P 1 . Om dit te doen, op het diagram (Fig. 21) vanaf het punt B 1 teken een segment onder een hoek van 90  B 1 B 1 0 = DZ, het resulterende segment A 1 B 1 0 en zal de natuurlijke waarde van het segment zijn AB en de hoek B 1 A 1 B 1 0 = α . De beschouwde methode wordt de methode genoemd rechthoekige driehoek . Alle constructies kunnen echter worden verklaard als de rotatie van een driehoek abc rond de zijkant AC totdat het evenwijdig aan het vlak wordt P 1 In dit geval wordt de driehoek zonder vervorming op het projectievlak geprojecteerd. Om te bepalen B- de hellingshoek van het segment ten opzichte van het vlak P 2 de constructies zijn vergelijkbaar (Fig. 22). Alleen in een driehoek abc kant  Zon  = DU en de driehoek is uitgelijnd met het vlak P 2 .

? Geef de projecties van de lijn aan en

bepaal de hoek α.

Geef de projecties van de lijn aan en

bepaal de hoek α.

Geef de projecties van de lijn aan en

bepaal de hoek β.

7 WEDERZIJDSE POSITIE VAN STRAIGHTS
Lijnen in de ruimte kunnen elkaar snijden, kruisen en evenwijdig zijn.

1. Kruisende lijnen - dit zijn lijnen die in hetzelfde vlak liggen en een gemeenschappelijk punt hebben (A ∩ B = K).

Stelling: Als rechte lijnen elkaar in de ruimte kruisen, kruisen hun projecties met dezelfde naam elkaar in de tekening (Fig. 23).

T het snijpunt van projecties met dezelfde naam bevindt zich op dezelfde loodlijn op de as X (NAAR 1 NAAR 2  O bcis).

NAAR = A ∩ B  NAAR  A; NAAR  B  NAAR 1 = A 1 ∩ B 1 ;

NAAR 2 = A 2 ∩ B 2 .
De omgekeerde stelling is ook waar:

Als NAAR 1  A 1 ; NAAR 2  B 2, dan

NAAR 1 = A 1 ∩ B 1 ;

NAAR 2 = A 2 ∩ B 2  NAAR = A ∩ B.
2. Lijnen overschrijden - dit zijn rechte lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen en geen gemeenschappelijk punt hebben (Fig. 24).

Paren van punten 1 j 2 , liggend op de horizontaal uitstekende lijn worden horizontaal concurrerend genoemd, en punten 3 j 4 – frontaal concurrerend. De zichtbaarheid op het diagram wordt op basis daarvan bepaald.

P over horizontaal concurrerende punten 1 j 2 Het zicht ten opzichte van P1 wordt bepaald. Punt 1 dichter bij het oog van de waarnemer zal het zichtbaar zijn op het P 1-vlak. Sinds punt 1 M, dan rechtdoor M zal hoger zijn dan de rechte lijn N.

Welke lijn zal zichtbaar zijn ten opzichte van het vlak P 2 ?
3. Parallelle lijnen - dit zijn lijnen die in hetzelfde vlak liggen en een onjuist gemeenschappelijk punt hebben.

Stelling:

E Als de lijnen evenwijdig zijn in de ruimte, dan zijn hun gelijknamige projecties evenwijdig in de tekening (Fig. 25).

Als k  M  k 1 M 1 , k 2 M 2 , k 3 M 3
De omgekeerde stelling is waar:

Als k 1 M 1 ; k 2 M 2  k  M
Lezing nr. 3
VLIEGTUIG

1. Methoden voor het definiëren van een vlak in een tekening. Sporen van een vliegtuig. 2. Positie van het vlak ten opzichte van de projectievlakken. 3. Behoren tot een punt en een recht vlak. 4. Hoofdlijnen (speciale) van het vlak.
1 MANIEREN OM HET VLAK IN DE TEKENING IN TE STELLEN.

SPOOR VLIEGTUIG

Vliegtuig- een oneindig geregeerd oppervlak in alle richtingen, dat over de gehele lengte geen kromming of breking kent.

Het vlak in de tekening kan worden gespecificeerd:

1. 
   Drie punten die niet op dezelfde lijn liggen - P (A, B, C) , rijst. 26.
2. 
   Een rechte lijn en een punt dat niet op deze lijn ligt – P (M, A; A M) , rijst. 27.

   Rijst. 29 Afb. 30
   Een vlak specificeren met behulp van sporen

   Traceer vliegtuig – snijlijn van het vlak met het projectievlak (Fig. 31).

   Horizontaal spoor wordt verkregen door het snijpunt van het vlak P met het horizontale projectievlak (P P1 = P ∩ P 1).

   P P2 = P ∩ P2 – frontaal spoor ;

   R P3 = P ∩ P3 – profiel spoor ;

   R De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen, R X, R En – verdwijnpunten .

   

Systeem van drie onderling loodrechte vlakken

Vorming van een complexe tekening (diagram)

Voor het gemak van het gebruik van de resulterende afbeeldingen uit het ruimtelijke systeem van vlakken, gaan we verder met het vlakke systeem.

Om dit te doen:

1. Laten we de methode toepassen waarbij het vlak p 1 rond de X-as wordt gedraaid totdat het op één lijn ligt met het vlak p 2 (Fig. 1)

2. Combineer de vlakken p 1 en p 2 in één tekenvlak (Fig. 2)

De uitsteeksels A 1 en A 2 bevinden zich op dezelfde verbindingslijn loodrecht op de X-as. Deze lijn wordt gewoonlijk de projectieverbindingslijn genoemd (Fig. 3).

Figuur 3

Omdat het projectievlak als oneindig in de ruimte wordt beschouwd, hoeven de grenzen van het vlak p 1, p 2 niet te worden afgebeeld (Fig. 4).

Figuur 4

Als resultaat van het combineren van de vlakken p 1 en p 2 wordt een complexe tekening of diagram verkregen (uit de Franse epure tekening), ᴛ.ᴇ. tekenen in het systeem p 1 en p 2 of in het systeem van twee projectievlakken. Nadat we het visuele beeld hebben vervangen door een diagram, zijn we het ruimtelijke beeld van de locatie van projectievlakken en -punten kwijtgeraakt. Maar de diagrammen bieden nauwkeurigheid en eenvoudig te meten afbeeldingen met een aanzienlijke eenvoud van constructie.

Een in de ruimte gedefinieerd punt kan verschillende posities hebben ten opzichte van projectievlakken.

Het construeren van puntafbeeldingen kan op verschillende manieren:

• woorden (verbaal);
• grafisch (tekeningen);
• visueel beeld (volumetrisch);
• vlak (complexe tekening).

Tabel 1

Een voorbeeld van een afbeelding van punten die behoren tot de vlakken p 1 en p 2

Figuur 1

Beschouw drie onderling loodrechte vlakken blz. 1 , p2 , blz. 3 ( rijst. 1). Het verticale vlak p 3 wordt genoemd I profiel projectievlak. Elkaar snijdend, vlakken 1 , p2 , p 3 vormen de projectie-assen, terwijl de ruimte is verdeeld in 8 octanten.

P 1 P 2 =x; -X

P 1 P 3 = j; -j

P 2 P 3 = z; -z

0 – snijpunt van de projectie-assen.

De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen x, y, z, die kunnen worden beschouwd als een systeem van cartesiaanse coördinaten: as X gewoonlijk de abscis-as genoemd, de as X– ordinaatas, as teken een rechte lijn loodrecht op de as– toepassingsas, het snijpunt van de assen, aangegeven met de letter OVER, is de oorsprong van coördinaten.

Om een ​​complexe tekening te verkrijgen, passen we de methode toe waarbij de vlakken p 1 en p 3 worden geroteerd totdat ze op één lijn liggen met het vlak p 2. Het uiteindelijke aanzicht van alle vlakken in het eerste octant wordt getoond in Fig. 2.

Figuur 2

Hier zijn de assen Oh j Oz, liggend in het vaste vlak p2, worden slechts één keer afgebeeld, de as Oh tweemaal getoond. Dit wordt verklaard door het feit dat, roterend met het vlak p 1, de as X in het diagram wordt het gecombineerd met de as Oz, en roterend met het vlak p 3, valt dezelfde as samen met de as Oh.

Elk punt in de ruimte wordt gespecificeerd door coördinaten. Aan de hand van de tekens van de coördinaten kun je het octant bepalen waarin een bepaald punt zich bevindt. Om dit te doen, zullen we de tabel gebruiken. 1, waarin rekening wordt gehouden met de coördinaattekens in octanten 1–4 (octanten 5–8 worden niet weergegeven, ze hebben een negatieve waarde bcis, A X En En worden herhaald).

Tabel 1

Een speciaal geval van snijpunten van vlakken zijn onderling loodrechte vlakken.

Het is bekend dat twee vlakken onderling loodrecht staan ​​als een van hen de loodlijn op de ander passeert. Door het punt Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie je kunt veel vlakken loodrecht op een bepaald vlak tekenen A ( H , F ) . Deze vlakken vormen een bundel vlakken in de ruimte, waarvan de as de loodlijn is die vanaf het punt valt Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie naar het vliegtuig A . Om door het punt heen te komen A teken een vlak loodrecht op het vlak A ( H ,F ) , nodig vanaf het punt – verticale verbindingslijn loodrecht op de x-as; maak een directe N, loodrecht op het vlak A ( H ,F ) , (horizontale projectie N 1 loodrecht op de horizontale projectie van de horizontaal H 1 , frontale projectie N 2 loodrecht op de frontale projectie van de frontale F 2 ). Elk vliegtuig dat door een lijn gaat N A ( H ,F ) , dus om een ​​vlak door een punt te definiëren – verticale verbindingslijn loodrecht op de x-as; teken een willekeurige rechte lijn M . Vlak gedefinieerd door twee elkaar snijdende lijnen (M ,N) , zal loodrecht op het vlak staan A ( H ,F ) (Afb. 50).

3.5. Weergave van de relatieve positie van een lijn en een vlak

Er zijn drie bekende opties voor de relatieve positie van een rechte lijn en een vlak:

De rechte lijn hoort bij het vlak.

Een rechte lijn is evenwijdig aan een vlak.

Een rechte lijn snijdt een vlak.

Als een rechte lijn geen twee gemeenschappelijke punten met een vlak heeft, is deze uiteraard evenwijdig aan het vlak of snijdt deze.

Van groot belang voor problemen van de beschrijvende meetkunde is het speciale geval van het snijpunt van een lijn en een vlak, wanneer de lijn loodrecht op het vlak staat.

3.5.1. Evenwijdigheid van een lijn en een vlak

Bij het bepalen van de evenwijdigheid van een rechte lijn en een vlak is het noodzakelijk om te vertrouwen op de bekende positie van stereometrie: een lijn is evenwijdig aan een vlak als deze evenwijdig is aan een van de lijnen die in dit vlak liggen en behoort niet tot dit vlak.

Laat een generiek vlak worden gegeven abc en een rechte lijn in algemene positie A. Het is noodzakelijk om hun relatieve positie te evalueren (Fig. 51).

Om dit te doen, via direct A teken een hulpsnijvlak G - in dit geval een horizontaal uitstekend vlak. Laten we de snijlijn van de vlakken vinden G En A Zon - direct N (DF ). Directe projectie N op het horizontale vlak van projecties samenvalt met de projectie A 1 en met een spoor van het vliegtuig G . Directe projectie N 2 parallel A 2 , N 3 parallel A 3 dus rechtlijnig A evenwijdig aan het vlak ABC.

3.5.2. Snijpunt van een lijn met een vlak

Het vinden van het snijpunt van een rechte lijn en een vlak is een van de hoofdtaken van de beschrijvende meetkunde.

Laat er een vliegtuig gegeven worden abc en recht A. Het is vereist om het snijpunt van de lijn met het vlak te vinden en de zichtbaarheid van de lijn ten opzichte van het vlak te bepalen.

Algoritme de oplossing voor het probleem (Fig. 52) is als volgt:

Door een horizontale projectie van een rechte lijn A 1 laten we een horizontaal uitstekend hulpvlak tekenen G .

We vinden de snijlijn van het hulpvlak met het gegeven. Horizontaal vlakspoor G 1 snijdt de projectie van het vlak A 1 IN 1 MET 1 op punten D 1 En F 1 , die de positie van de horizontale projectie bepalen N 1 - Snijlijnen van vlakken G En abc . N Om de frontale en profielprojectie te vinden D En laten we de punten projecteren F

op de frontale en profielvlakken van projecties. A Het snijpunt van lijnen bepalen En P. N Op frontale en profielprojecties, de snijlijn van vlakken A snijdt de projecties NAAR op het punt A , wat de projectie is van het snijpunt van de lijn abc met vliegtuig NAAR 1 .

, langs de communicatielijn vinden we de horizontale projectie A Met behulp van de methode van concurrerende punten bepalen we de zichtbaarheid van een rechte lijn abc .

ten opzichte van het vliegtuig

Er zijn veel onderdelen waarvan de vorminformatie niet kan worden overgebracht door twee tekenprojecties. Om informatie over de complexe vorm van een onderdeel voldoende volledig weer te geven, wordt projectie gebruikt op drie onderling loodrechte projectievlakken: frontaal - V, horizontaal - H en profiel - W (lees “dubbele ve”).

Complexe tekening Een tekening gepresenteerd in drie aanzichten of projecties geeft in de meeste gevallen een compleet beeld van de vorm en het ontwerp van het onderdeel (item en object) en wordt ook wel een complexe tekening genoemd. hoofdtekening. Als een tekening is opgebouwd met coördinaatassen, wordt dit een astekening genoemd. asloos Als de tekening is geconstrueerd zonder coördinaatassen, wordt dit asloos profiel genoemd. Als het vlak W loodrecht staat op de frontale en horizontale vlakken van projecties, wordt dit profiel genoemd

De drie projecties van de tekening zijn met elkaar verbonden. Frontale en horizontale projecties behouden de projectieverbinding van beelden, dat wil zeggen dat er projectieverbindingen tot stand worden gebracht tussen frontale en horizontale, frontale en profielprojecties, evenals horizontale en profielprojecties. Projectieverbindingslijnen bepalen de locatie van elke projectie op het tekenveld. De vorm van de meeste objecten is een combinatie van verschillende geometrische lichamen of hun onderdelen. Om tekeningen te kunnen lezen en uitvoeren, moet je daarom weten hoe geometrische lichamen worden afgebeeld in het systeem van drie projecties in productie

1. Gezichten evenwijdig aan de projectievlakken worden er zonder vervorming op natuurlijke grootte op geprojecteerd. 2. Gezichten loodrecht op het projectievlak worden geprojecteerd in een segment van rechte lijnen. 3. Gezichten schuin ten opzichte van de projectievlakken, afbeeldingen daarop met vervorming (gereduceerd)

& 3. pg schriftelijke vragen taak 4.1. pp pp, & 5, pp. 37-45, schriftelijke opdrachtvragen

Om dit probleem op te lossen, wordt een systeem van drie onderling loodrechte vlakken geïntroduceerd, omdat bij het opstellen van tekeningen van bijvoorbeeld machines en hun onderdelen niet twee, maar meer afbeeldingen nodig zijn. Op deze basis is het bij sommige constructies bij het oplossen van problemen noodzakelijk om p 1, p 2 en andere projectievlakken in het systeem te introduceren.

Deze vlakken verdelen de hele ruimte in VIII-delen, die octanten worden genoemd (van het Latijnse okto acht). De vlakken hebben geen dikte, zijn ondoorzichtig en oneindig. De waarnemer bevindt zich in het eerste kwartier (voor systemen p 1, p 2) of het eerste octant (voor systemen p 1, p 2, p 3) op een oneindige afstand van de projectievlakken.

§ 6. Punt in het systeem p 1, p 2, p 3

De constructie van projecties van een bepaald punt A, gelegen in het eerste octant, op drie onderling loodrechte vlakken p 1, p 2, p 3 wordt getoond in Fig. 2.27. Door de combinatie van projectievlakken met het p 2-vlak en de methode van het roteren van de vlakken te gebruiken, verkrijgen we een complexe tekening van punt A (Fig. 2.28):

AA 1 ^ p1; AA 2 ^ p2; AA 3 ^ p3,

waarbij A 3 – profielprojectie van punt A; А Х, А y, А Z – axiale projecties van punt A.

Projecties A 1, A 2, A 3 worden respectievelijk de frontale, horizontale en profielprojectie van punt A genoemd.

Rijst. 2.27	Rijst. 2.28

De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen x, y, z, die kunnen worden beschouwd als een systeem van cartesiaanse coördinaten: as X de abscis-as genoemd, as X– ordinaatas, as teken een rechte lijn loodrecht op de as– toepassingsas, het snijpunt van de assen, aangegeven met de letter OVER, is de oorsprong van coördinaten.

De kijker die naar het object kijkt, bevindt zich dus in het eerste octant.

Om een ​​complexe tekening te verkrijgen, passen we de methode toe waarbij de vlakken p 1 en p 3 worden geroteerd (zoals weergegeven in figuur 2.27) totdat ze uitgelijnd zijn met het vlak p 2. Het uiteindelijke aanzicht van alle vlakken in het eerste octant wordt getoond in Fig. 2.29.

Hier zijn de assen Oh j Oz, liggend in het vaste vlak p2, worden slechts één keer afgebeeld, de as Oh tweemaal getoond. Dit wordt verklaard door het feit dat, roterend met het vlak p 1, de as X in het diagram wordt het gecombineerd met de as Oz, en roterend met het vlak p 3, valt dezelfde as samen met de as Oh.

Laten we eens kijken naar afb. 2.30, waar is het punt in de ruimte Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie, gegeven door coördinaten (5,4,6). Deze coördinaten zijn positief en zij bevindt zich zelf in het eerste octant. De constructie van een afbeelding van het punt zelf en zijn projecties op een ruimtelijk model wordt uitgevoerd met behulp van een coördinaat rechthoekig parallellogram. Om dit te doen, plotten we segmenten op de coördinaatassen, die overeenkomen met de lengtesegmenten: Oa = 5, OAj = 4, OAz= 6. Op deze segmenten ( ОАx, ОАy, ОАz), zoals aan de randen, bouwen we een rechthoekig parallellepipedum. Eén van de hoekpunten zal een bepaald punt definiëren Ga als volgt te werk om de profielprojectie van de punten te vinden: vanuit de frontale projectie.

Sprekend over het systeem van drie projectievlakken in een complexe tekening (Fig. 2.30), is het noodzakelijk om het volgende op te merken.

Eerst

1. twee projecties van een punt behoren tot dezelfde communicatielijn;

2. twee projecties van een punt bepalen de positie van zijn derde projectie;

3. communicatielijnen staan ​​loodrecht op de corresponderende projectie-as.

Seconde

Elk punt in de ruimte wordt gespecificeerd door coördinaten. Aan de hand van de tekens van de coördinaten kun je het octant bepalen waarin een bepaald punt zich bevindt. Om dit te doen, zullen we de tabel gebruiken. 2.3, waarin de coördinaattekens in octanten 1–4 worden beschouwd (octanten 5–8 worden niet weergegeven, ze hebben een negatieve waarde bcis, A X En En worden herhaald).

Tabel 2.3

De vorming van een complexe tekening in een systeem van drie projectievlakken wordt uitgevoerd door de vlakken p 1, p 2, p 3 te combineren (Fig. 2.31).

As teken een segment gelijk aan de coördinaat kent in dit geval twee bepalingen: j 1 met vlak p 1, j 3 met vlak p 3.

Horizontale en frontale projecties van het punt bevinden zich op de projectieverbindingslijn loodrecht op de as De projectievlakken, die elkaar in paren snijden, definiëren drie assen, frontale en profielprojecties - op de projectieverbindingslijn loodrecht op de as En.

A 1 A X = A 3 A Z = AA 2 – afstand van A tot p 2

A 2 A X = A 3 A y = AA 1 – afstand van A tot p 1

A 1 A y = A 2 A Z = AA 3 – afstand van A tot p 3

De afstand van een punt tot het projectievlak wordt op dezelfde manier gemeten als segmenten in een diagram (Fig. 2.32).

Bij het construeren van een projectie van een punt in de ruimte en op een complexe tekening kunnen verschillende algoritmen worden gebruikt.

1. Algoritme voor het construeren van een visueel beeld van een punt, gegeven door coördinaten (Fig. 2.30):

1.1. Overeenkomen met coördinaatborden x, y, z met gegevens uit tabel. 2.3.

1.2. Bepaal het kwartaal waarin het punt zich bevindt.

1.3. Maak een visueel (axonometrisch) beeld van het kwartaal.

1.4. Teken de coördinaten van het punt op de assen AX, AY, AZ.

1.5. Construeer projecties van het punt op de vlakken p 1, p 2, p 3.

1.6. Construeer loodlijnen op de vlakken p 1, p 2, p 3 op de projectiepunten A 1, A 2, A 3.

1.7. Het snijpunt van de loodlijnen is het gewenste punt A.

2. Algoritme voor het construeren van een complexe tekening van een punt in een systeem van drie projectievlakken p 1, p 2, p 3, gespecificeerd door coördinaten (Fig. 2.32)

2.1. Bepaal door middel van coördinaten het kwartaal waarin het punt zich bevindt.

2.2. Bepaal het mechanisme voor het combineren van vlakken.

2.3. Maak een uitgebreide tekening van het kwartaal.

2.4. Teken de coördinaten van een punt op de assen x, y, z(A X, AY, AZ).

2.5. Construeer projecties van een punt op een complexe tekening.

§ 7. Complexe tekening en visuele weergave van een punt in octanten I–IV

Laten we een voorbeeld bekijken van het construeren van de punten A, B, C, D in verschillende octanten (Tabel 2.4).

Tabel 2.4

Gerelateerde informatie.