Lineaire overspanning van een eindig systeem van vectoren. Lineaire overspanning van vectorsysteem

L- kruispunt M alle subruimten L bevattend X .

Lineaire schaal wordt ook wel genoemd subruimte gegenereerd X. Meestal aangeduid. Er wordt ook gezegd dat de lineaire schaal uitgestrekt veel X .

Eigenschappen

Zie ook

Koppelingen

Wikimedia Stichting.

2010.
Jangar

Betalingsbalans

Kijk wat "Lineaire schil" is in andere woordenboeken: LINEAIRE SCHAAL - snijpunt M van alle deelruimten die de verzameling vectorruimte E bevatten. Bovendien is Mnaz. ook een subruimte gegenereerd door A. M. I. Voitsekhovsky...

Wiskundige encyclopedie

Wiskundige encyclopedie Lineaire schaalvectoren - een reeks lineaire combinaties van deze vectoren ∑αiаi met alle mogelijke coëfficiënten (α1, …, αn) …

Economisch en wiskundig woordenboek lineaire schaalvectoren

- Een set lineaire combinaties van deze vectoren??iai met alle mogelijke coëfficiënten (?1, …, ?n). Onderwerpen economie NL lineaire romp … lineaire algebra

- Wiskundige discipline, een deel van de algebra, dat in het bijzonder de theorie van lineaire vergelijkingen, matrices en determinanten omvat, evenals de theorie van vector(lineaire) ruimten. Lineaire relatie “relatie van de vorm: a1x1 + a2x2 + … +… … Handleiding voor technische vertalers - een reeks lineaire combinaties van deze vectoren ∑αiаi met alle mogelijke coëfficiënten (α1, …, αn) …

Lineaire afhankelijkheid- “relatie van de vorm: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, waarbij a1, a2, …, an getallen zijn, waarvan er minstens één niet nul is; x1, x2, ..., xn zijn bepaalde wiskundige objecten waarvoor optelbewerkingen zijn gedefinieerd ... - een reeks lineaire combinaties van deze vectoren ∑αiаi met alle mogelijke coëfficiënten (α1, …, αn) …

Schelp- zie Lineaire schaal...

Lineaire combinatie- Lineaire ruimte, of vectorruimte, is het belangrijkste studieobject van lineaire algebra. Inhoud 1 Definitie 2 Eenvoudigste eigenschappen 3 Gerelateerde definities en eigenschappen ... Wikipedia - snijpunt M van alle deelruimten die de verzameling vectorruimte E bevatten. Bovendien is Mnaz. ook een subruimte gegenereerd door A. M. I. Voitsekhovsky...

LINEAIRE GROEP

- een groep lineaire transformaties van een vectorruimte V met eindige dimensie n over een bepaald lichaam K. De keuze van een basis in de ruimte V realiseert de lineaire groep als een groep niet-gedegenereerde vierkante matrices van graad n over het lichaam K Er wordt dus een isomorfisme vastgesteld...
Boeken

Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor open source onderwijs Koop voor 1471 UAH (alleen Oekraïne) Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... Laat een systeem van vectoren uit de vectorruimte zijn V.

over het veld P L systemen A is de verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren van het systeem A. Aanduiding LA).

Er kan worden aangetoond dat dit voor twee systemen geldt A En B,

A lineair uitgedrukt door B als en slechts als. (1)

A equivalent B dan en alleen wanneer L(A)=L(B). (2)

Het bewijs volgt uit de vorige eigenschap

3 De lineaire overspanning van elk vectorsysteem is een deelruimte van de ruimte Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ....

Bewijs

Neem twee willekeurige vectoren en van LA), met de volgende uitbreidingen in vectoren van A: . Laten we de haalbaarheid van voorwaarden 1) en 2) van het criterium controleren:

Omdat het een lineaire combinatie van systeemvectoren is A.

Omdat het ook een lineaire combinatie van systeemvectoren is A.

Laten we nu de matrix bekijken. Lineaire overspanning van matrixrijen A wordt de rijruimte van de matrix genoemd en wordt aangegeven Lr(A). Lineaire overspanning van matrixkolommen A wordt een kolomruimte genoemd en wordt aangegeven Lc(A). Houd er rekening mee dat wanneer de rij- en kolomruimte van de matrix A zijn deelruimten van verschillende rekenkundige ruimten Pn En P.m respectievelijk. Met behulp van uitspraak (2) kunnen we tot de volgende conclusie komen:

Stelling 3: Als de ene matrix van de andere wordt verkregen door een reeks elementaire transformaties, vallen de rijruimten van dergelijke matrices samen.

Som en snijpunt van deelruimten

Laten L En M- twee deelruimten van de ruimte R.

Hoeveelheid L+M wordt een verzameling vectoren genoemd x+y , Waar X ∈L En j ∈M. Het is duidelijk dat elke lineaire combinatie van vectoren uit L+M behoort L+M, vandaar L+M is een deelruimte van de ruimte R(kan samenvallen met de ruimte R).

Door over te steken L∩M subruimten L En M is de verzameling vectoren die tegelijkertijd tot deelruimten behoren L En M(kan alleen uit een nulvector bestaan).

Stelling 6.1. Som van afmetingen van willekeurige deelruimten L En M eindig-dimensionale lineaire ruimte R gelijk aan de afmeting van de som van deze deelruimten en de afmeting van het snijpunt van deze deelruimten:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Bewijs. Laten we aanduiden F=L+M En G=L∩M. Laten G g-dimensionale deelruimte. Laten we er een basis in kiezen. Omdat G⊂L En G⊂M, dus basis G kan aan de basis worden toegevoegd L en naar de basis M. Laat de basis van de deelruimte L en laat de basis van de deelruimte M. Laten we laten zien dat de vectoren

(6.1) vormen de basis F=L+M. Zodat vectoren (6.1) de basis van de ruimte vormen F ze moeten lineair onafhankelijk zijn en elke vector van de ruimte F kan worden weergegeven door een lineaire combinatie van vectoren (6.1).

Laten we de lineaire onafhankelijkheid van vectoren bewijzen (6.1). Laten we de nulvector van de ruimte nemen F wordt weergegeven door een lineaire combinatie van vectoren (6.1) met enkele coëfficiënten:

De linkerkant van (6.3) is de deelruimtevector L, en de rechterkant is de deelruimtevector M. Daarom de vector

(6.4)behoort tot de deelruimte G=L∩M. Aan de andere kant, de vector v kan worden weergegeven door een lineaire combinatie van basisvectoren van de deelruimte G:

(6.5) Uit vergelijkingen (6.4) en (6.5) vinden we:

Maar vectoren vormen de basis van de deelruimte M, daarom zijn ze lineair onafhankelijk en . Dan zal (6.2) de vorm aannemen:

Vanwege de lineaire onafhankelijkheid van de basis van de deelruimte L wij hebben:

Omdat alle coëfficiënten in vergelijking (6.2) nul bleken te zijn, volgden de vectoren

lineair onafhankelijk. Maar elke vector z van F(per definitie van de som van deelruimten) kan worden weergegeven door de som x+y , Waar X ∈ L,j ∈ M. Op zijn beurt X wordt weergegeven door een lineaire combinatie van vectoren a j - lineaire combinatie van vectoren. Daarom ontstaan vectoren (6.10) uit de deelruimte F. We hebben gevonden dat vectoren (6.10) een basis vormen F=L+M.

Subruimtebasissen bestuderen L En M en subruimtebasis F=L+M(6.10) hebben we: afm L=g+l, afm M=g+m, afm (L+M)=g+l+m. Vandaar:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Directe som van deelruimten

Definitie 6.2. Ruimte F vertegenwoordigt de directe som van deelruimten L En M, als elke vector X ruimte F kan alleen als een som worden weergegeven x=y+z , Waar j ∈L en z ∈M.

Het directe bedrag is aangegeven L⊕M. Ze zeggen dat als F=L⊕M, Dat F ontleedt in de directe som van zijn deelruimten L En M.

Stelling 6.2. Om te N-dimensionale ruimte R was de directe som van deelruimten L En M, het is genoeg voor de kruising L En M bevatte alleen het nulelement en dat de dimensie R gelijk was aan de som van de dimensies van de deelruimten L En M.

Bewijs. Laten we een basis in de deelruimte L en een basis in de deelruimte M kiezen. Laten we dat bewijzen

(6.11) is de basis van de ruimte R. Volgens de voorwaarden van de stelling, de dimensie van de ruimte Rn gelijk aan de som van de deelruimten L En M (n=l+m). Het is voldoende om de lineaire onafhankelijkheid van elementen te bewijzen (6.11). Laten we de nulvector van de ruimte nemen R wordt weergegeven door een lineaire combinatie van vectoren (6.11) met enkele coëfficiënten:

(6.13) Omdat de linkerkant van (6.13) een vector is van de deelruimte L, en de rechterkant is de deelruimtevector M En L∩M=0 , Dat

(6.14) Maar vectoren zijn de bases van deelruimten L En M respectievelijk. Daarom zijn ze lineair onafhankelijk. Dan

(6.15) Er werd vastgesteld dat (6.12) alleen geldig is onder de voorwaarde (6.15), en dit bewijst de lineaire onafhankelijkheid van de vectoren (6.11). Daarom vormen ze een basis in R.

Zij x∈R. Laten we het uitbreiden volgens basis (6.11):

(6.16)Uit (6.16) hebben we:

(6.18)Uit (6.17) en (6.18) volgt dat elke vector uit R kan worden weergegeven als een som van vectoren X 1 ∈L En X 2 ∈M. Het blijft de vraag of deze representatie uniek is. Stel dat er naast representatie (6.17) de volgende representatie is:

(6.19) Als we (6.19) aftrekken van (6.17), verkrijgen we

(6.20) Sinds , en L∩M=0 , dan en . Daarom en. ■

Stelling 8.4 over de dimensie van de som van deelruimten. Als en deelruimten zijn van een eindig-dimensionale lineaire ruimte, dan is de afmeting van de som van de deelruimten gelijk aan de som van hun afmetingen zonder de afmeting van hun snijpunt ( Grassmanns formule):

(8.13)

Laten we in feite de basis van het snijpunt zijn. Laten we het aanvullen met een geordende set vectoren tot aan de basis van de deelruimte en een geordende set vectoren tot aan de basis van de deelruimte. Een dergelijke toevoeging is mogelijk door Stelling 8.2. Laten we uit deze drie sets vectoren een geordende set vectoren maken. Laten we aantonen dat deze vectoren generatoren van de ruimte zijn. Elke vector van deze ruimte wordt inderdaad weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren uit een geordende verzameling

Vandaar, . Laten we bewijzen dat de generatoren lineair onafhankelijk zijn en daarom de basis van de ruimte vormen. Laten we inderdaad een lineaire combinatie van deze vectoren maken en deze gelijkstellen aan de nulvector: . Alle coëfficiënten van een dergelijke uitbreiding zijn nul: deelruimten van een vectorruimte met een bilineaire vorm zijn de verzameling van alle vectoren orthogonaal op elke vector van . Deze verzameling is een vectordeelruimte, die gewoonlijk wordt aangegeven met .

L- kruispunt M alle subruimten L bevattend X .

Lineaire schaal wordt ook wel genoemd subruimte gegenereerd X. Meestal aangeduid. Er wordt ook gezegd dat de lineaire schaal uitgestrekt veel X .

Eigenschappen

Zie ook

Koppelingen

Wikimedia Stichting.

Betalingsbalans

Het snijpunt van M van alle deelruimten die de verzameling vectorruimte E bevatten. Bovendien is Mnaz. ook een subruimte gegenereerd door A. M. I. Voitsekhovsky... - snijpunt M van alle deelruimten die de verzameling vectorruimte E bevatten. Bovendien is Mnaz. ook een subruimte gegenereerd door A. M. I. Voitsekhovsky...

Wiskundige encyclopedie

Wiskundige encyclopedie Lineaire schaalvectoren - een reeks lineaire combinaties van deze vectoren ∑αiаi met alle mogelijke coëfficiënten (α1, …, αn) …

Economisch en wiskundig woordenboek lineaire schaalvectoren

- Een set lineaire combinaties van deze vectoren??iai met alle mogelijke coëfficiënten (?1, …, ?n). Onderwerpen economie NL lineaire romp … lineaire algebra

Lineaire ruimte, of vectorruimte, is het belangrijkste studieobject van lineaire algebra. Inhoud 1 Definitie 2 Eenvoudigste eigenschappen 3 Gerelateerde definities en eigenschappen ... Wikipedia

Een groep lineaire transformaties van een vectorruimte V met eindige dimensie n over een lichaam K. De keuze van een basis in de ruimte V realiseert de lineaire groep als een groep niet-gedegenereerde vierkante matrices van graad n over het lichaam K. Dus , wordt een isomorfisme vastgesteld... - snijpunt M van alle deelruimten die de verzameling vectorruimte E bevatten. Bovendien is Mnaz. ook een subruimte gegenereerd door A. M. I. Voitsekhovsky...

LINEAIRE GROEP

Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor open source software
Boeken

1. Set polynomen V N (X) graden niet hoger N.

2. Veel N-termreeksen (met term-voor-term optelling en vermenigvuldiging met een scalair).

3 . Veel functies C [ A , B ] continu aan [ A, B] en met puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging met een scalair.

4. Veel functies gespecificeerd op [ A, B] en verdwijnen op een vast punt in de binnenkant C: F (C) = 0 en met puntsgewijze bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen met een scalair.

5. Stel R+ in, als X ⊕ j  X  j, ⊙X X  .

§8. Definitie van deelruimte

Laat de set W is een subset van lineaire ruimte Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... (W  Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ...) en zo

a)  X, jW  X ⊕ jW;

b)  XW,    ⊙ XW.

De bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen zijn hier hetzelfde als in de ruimte Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ...(ze worden ruimte-geïnduceerd genoemd Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ...).

Zoveel W een deelruimte van de ruimte genoemd V.

7  . Subruimte W zelf is ruimte.

◀ Om het te bewijzen is het voldoende om het bestaan van een neutraal element en zijn tegendeel te bewijzen. Gelijkheid 0⊙ X=  en (–1)⊙ X = –X bewijzen wat nodig is.

Een deelruimte die alleen bestaat uit een neutraal element () en een deelruimte die samenvalt met de ruimte zelf Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ..., worden triviale deelruimten van de ruimte genoemd Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ....

§9. Lineaire combinatie van vectoren. Lineaire overspanning van vectorsysteem

Laat de vectoren e 1 ,e 2 , …e N Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... en  1,  2 , …  N .

Vector x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N = lineair genoemd combinatie van vectoren e 1 , e 2 , … , e N met coëfficiënten  1,  2 , …  N .

Als alle coëfficiënten in een lineaire combinatie gelijk zijn aan nul, dan is de lineaire combinatie genaamd triviaal.

Verzameling van alle mogelijke lineaire combinaties van vectoren
de lineaire romp genoemd dit systeem van vectoren en wordt aangegeven:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e N) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e N

◀ De juistheid van de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen met een scalair volgt uit het feit dat ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) is een verzameling van alle mogelijke lineaire combinaties. Het neutrale element is een triviale lineaire combinatie. Voor element X=
het tegenovergestelde is het element - X =
. Er wordt ook voldaan aan de axioma's waaraan de operaties moeten voldoen. Dusℒ( e 1 , e 2 , …, e N) is een lineaire ruimte.

Elke lineaire ruimte bevat in het algemeen een oneindig aantal andere lineaire ruimtes (deelruimten) - lineaire schillen

In de toekomst zullen we proberen de volgende vragen te beantwoorden:

Wanneer bestaan lineaire schillen van verschillende vectorsystemen uit dezelfde vectoren (dat wil zeggen, vallen ze samen)?

2) Wat is het minimumaantal vectoren dat dezelfde lineaire overspanning definieert?

3) Is de oorspronkelijke ruimte een lineaire overspanning van een stelsel van vectoren?

§10. Volledige vectorsystemen

Als in de ruimte Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... Er is een eindige verzameling vectoren
dus wat, ℒ
 Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ..., dan het systeem van vectoren
wordt een compleet systeem genoemd Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ..., en de ruimte wordt eindig-dimensionaal genoemd. Dus het systeem van vectoren e 1 , e 2 , …, e N Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... compleet binnengeroepen Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... systeem, d.w.z. Als

XLineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ...   1 ,  2 , …  N zodanig dat x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N .

9  .
Als Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... vol erin j Lineaire algebra. Leerboek en workshop voor de academische bacheloropleiding, Kremer N.Sh.. Dit leerboek bevat een aantal nieuwe concepten en aanvullende vragen, zoals de norm van een matrix, de methode om een basis aan te vullen, isomorfisme van lineaire ruimtes, lineaire deelruimten, lineaire ... systeem van vectoren en e 1 , e 2 , …, e N , j, Dat (

) is ook een compleet systeem. j◀ In lineaire combinaties de coëfficiënt ervoor

neem gelijk aan 0. Vector lineair) ruimte- een wiskundige structuur, een reeks elementen die vectoren worden genoemd, waarvoor de bewerkingen van optelling met elkaar en vermenigvuldiging met een getal zijn gedefinieerd - een scalair. Deze operaties zijn onderworpen aan acht axioma's. Scalaire getallen kunnen elementen zijn van het reële, complexe of enig ander getallenveld. Een speciaal geval van zo'n ruimte is de gewone driedimensionale Euclidische ruimte, waarvan de vectoren bijvoorbeeld worden gebruikt om fysieke krachten weer te geven. Opgemerkt moet worden dat een vector, als element van de vectorruimte, niet noodzakelijkerwijs gespecificeerd hoeft te worden in de vorm van een gericht segment. Het generaliseren van het concept van ‘vector’ naar een element van een vectorruimte van welke aard dan ook veroorzaakt niet alleen geen verwarring van termen, maar maakt het ook mogelijk een aantal resultaten te begrijpen of zelfs te voorspellen die geldig zijn voor ruimtes van willekeurige aard.

Vectorruimten zijn het onderwerp van lineaire algebra. Een van de belangrijkste kenmerken van een vectorruimte is de dimensie ervan. Dimensie vertegenwoordigt het maximale aantal lineair onafhankelijke elementen van de ruimte, dat wil zeggen, gebruikmakend van een ruwe geometrische interpretatie, het aantal richtingen dat door elkaar niet kan worden uitgedrukt door alleen de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen met een scalair. De vectorruimte kan worden voorzien van aanvullende structuren, zoals een norm of een inproduct. Dergelijke ruimtes komen van nature voor in wiskundige analyses, voornamelijk in de vorm van oneindig-dimensionale functieruimten (Engels), waarbij functies als vectoren fungeren. Veel analyseproblemen vereisen het uitzoeken of een reeks vectoren convergeert naar een bepaalde vector. Het overwegen van dergelijke vragen is mogelijk in vectorruimten met extra structuur, in de meeste gevallen een geschikte topologie, waardoor we de concepten van nabijheid en continuïteit kunnen definiëren. Dergelijke topologische vectorruimten, in het bijzonder de Banach- en Hilbertruimten, maken diepgaander onderzoek mogelijk.

De eerste werken die anticipeerden op de introductie van het concept van vectorruimte dateren uit de 17e eeuw. Het was toen dat de analytische meetkunde, de leer van matrices, systemen van lineaire vergelijkingen en Euclidische vectoren zich begonnen te ontwikkelen.

Definitie

Lineair of vectorruimte V (F) (\displaystyle V\links(F\rechts)) Laat een systeem van vectoren uit de vectorruimte zijn F (\ Displaystyle F)- dit is een bestelde vier (V, F, +, ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Waar

V (\ Displaystyle V)- een niet-lege reeks elementen van willekeurige aard, die worden genoemd vectoren;
F (\ Displaystyle F)- een veld waarvan de elementen worden aangeroepen scalairen;
Bediening gedefinieerd toevoeging vectoren V × V → V (\ Displaystyle V \ maal V \ tot V), die elk paar elementen associeert X , Y (\ Displaystyle \ mathbf (x) , \ mathbf (y) ) sets V (\ Displaystyle V) V (\ Displaystyle V) belde ze hoeveelheid en aangewezen X + Y (\ Displaystyle \ mathbf (x) + \ mathbf (y) );
Bediening gedefinieerd vectoren vermenigvuldigen met scalairen F × V → V (\ Displaystyle F \ maal V \ tot V), passend bij elk element λ (\ Displaystyle \ lambda) velden F (\ Displaystyle F) en elk element X (\ Displaystyle \ mathbf (x) ) sets V (\ Displaystyle V) het enige element van de set V (\ Displaystyle V), aangegeven λ ⋅ X (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) of λ X (\ Displaystyle \ lambda \ mathbf (x) );

Vectorruimten die op dezelfde set elementen zijn gedefinieerd, maar over verschillende velden, zullen verschillende vectorruimten zijn (bijvoorbeeld de set paren reële getallen R 2 (\ Displaystyle \ mathbb (R) ^ (2)) kan een tweedimensionale vectorruimte zijn over het veld van reële getallen of eendimensionaal - over het veld van complexe getallen).

De eenvoudigste eigenschappen

Een vectorruimte is een Abelse groep onder optelling.
Neutraal onderdeel 0 ∈ V (\ Displaystyle \ mathbf (0) \ in V)
0 ⋅ X = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) voor iedereen.
Voor iedereen X ∈ V (\ Displaystyle \ mathbf (x) \ in V) tegenovergestelde element − X ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) is het enige dat volgt uit groepseigenschappen.
1 ⋅ X = X (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) voor iedereen X ∈ V (\ Displaystyle \ mathbf (x) \ in V).
(− α) ⋅ X = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) voor elke en X ∈ V (\ Displaystyle \ mathbf (x) \ in V).
α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) voor iedereen α ∈ F (\ Displaystyle \ alpha \ in F).

Gerelateerde definities en eigenschappen

Subruimte

Algebraïsche definitie: Lineaire deelruimte of vector deelruimte- niet-lege subset K (\ Displaystyle K) lineaire ruimte V (\ Displaystyle V) zodanig dat K (\ Displaystyle K) zelf is een lineaire ruimte ten opzichte van die gedefinieerd in V (\ Displaystyle V) bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen met een scalair. De verzameling van alle deelruimten wordt gewoonlijk aangeduid als L een t (V) (\ Displaystyle \ mathrm (Lat) (V)). Wil een deelverzameling een deelruimte zijn, dan is dat noodzakelijk en voldoende

De laatste twee uitspraken komen overeen met het volgende:

Voor alle vectoren X , Y ∈ K (\ Displaystyle \ mathbf (x) , \ mathbf (y) \ in K) vector α X + β y (\ Displaystyle \ alpha \ mathbf (x) + \ beta \ mathbf (y) ) behoorde ook K (\ Displaystyle K) voor wie dan ook α, β ∈ F (\ Displaystyle \ alpha, \ beta \ in F).

In het bijzonder is een vectorruimte die uit slechts één nulvector bestaat, een deelruimte van elke ruimte; elke ruimte is een deelruimte van zichzelf. Deelruimten die niet met deze twee samenvallen, worden genoemd eigen of niet-triviaal.

Eigenschappen van deelruimten

Lineaire combinaties

Eindbedrag van het formulier

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

De lineaire combinatie heet:

Basis. Dimensie

Vectoren X 1 , X 2 , ... , X n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots,\mathbf (x) _(n)) worden genoemd lineair afhankelijk, als er een niet-triviale lineaire combinatie hiervan is waarvan de waarde gelijk is aan nul; dat is

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

bij sommige coëfficiënten α 1 , α 2 , ... , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots,\alpha _(n)\in F,) en ten minste één van de coëfficiënten α ik (\ Displaystyle \ alpha _ (i)) verschillend van nul.

Anders worden deze vectoren genoemd lineair onafhankelijk.

Deze definitie maakt de volgende generalisatie mogelijk: een oneindige reeks vectoren uit V (\ Displaystyle V) genaamd lineair afhankelijk, als sommige lineair afhankelijk zijn definitief een subset ervan, en lineair onafhankelijk, als er iets van is definitief de deelverzameling is lineair onafhankelijk.

Eigenschappen van de basis:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Lineaire schaal

Lineaire schaal subsets X (\ Displaystyle X) lineaire ruimte V (\ Displaystyle V)- snijpunt van alle deelruimten V (\ Displaystyle V) bevattend X (\ Displaystyle X).

De lineaire overspanning is een deelruimte V (\ Displaystyle V).

Lineaire schaal wordt ook wel genoemd subruimte gegenereerd X (\ Displaystyle X). Er wordt ook gezegd dat de lineaire schaal V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- ruimte, uitgestrekt veel X (\ Displaystyle X).