Cosinus 1 speciaal geval. Basismethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen

Les en presentatie over het onderwerp: "Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Handleidingen en simulatoren in de Integral online winkel voor graad 10 vanaf 1C
Problemen in de meetkunde oplossen. Interactieve taken voor het bouwen in de ruimte
Softwareomgeving "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Wat gaan we bestuderen:
1. Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?

3. Twee hoofdmethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.
4. Homogene trigonometrische vergelijkingen.
5. Voorbeelden.

Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?

Jongens, we hebben arcsinus, arccosinus, arctangens en arccotangens al bestudeerd. Laten we nu eens kijken naar trigonometrische vergelijkingen in het algemeen.

Trigonometrische vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een variabele zich bevindt onder het teken van een trigonometrische functie.

Laten we de vorm van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen herhalen:

1)Als |a|≤ 1, dan heeft de vergelijking cos(x) = a een oplossing:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Als |a|≤ 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a een oplossing:

3) Als |a| > 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a en cos(x) = a geen oplossingen 4) De vergelijking tg(x)=a heeft een oplossing: x=arctg(a)+ πk

5) De vergelijking ctg(x)=a heeft een oplossing: x=arcctg(a)+ πk

Voor alle formules is k een geheel getal

De eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen hebben de vorm: T(kx+m)=a, T is een trigonometrische functie.

Los de vergelijkingen op: a) sin(3x)= √3/2

Oplossing:

A) Laten we 3x=t aangeven, dan herschrijven we onze vergelijking in de vorm:

De oplossing voor deze vergelijking is: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Uit de waardentabel krijgen we: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Laten we terugkeren naar onze variabele: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dan x= ((-1)^n)×π/9+πn/3

Antwoord: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, waarbij n een geheel getal is. (-1)^n – min één tot de macht n.

Meer voorbeelden van trigonometrische vergelijkingen.

Oplossing:

A) Laten we deze keer direct beginnen met het berekenen van de wortels van de vergelijking:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dan x/5= πk => x=5πk

Antwoord: x=5πk, waarbij k een geheel getal is.

B) We schrijven het in de vorm: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. We weten dat: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwoord: x=2π/9 + πk/3, waarbij k een geheel getal is.

Los de vergelijkingen op: cos(4x)= √2/2. En vind alle wortels in het segment.

Oplossing:

Laten we onze vergelijking in algemene vorm oplossen: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Laten we nu eens kijken welke wortels in ons segment vallen. Bij k Bij k=0, x= π/16 bevinden we ons in het gegeven segment.
Met k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 slaan we opnieuw.
Voor k=2 is x= π/16+ π=17π/16, maar hier hebben we niet geslagen, wat betekent dat we voor grote k uiteraard ook niet zullen raken.

Antwoord: x= π/16, x= 9π/16

Twee belangrijke oplossingsmethoden.

Laten we de vergelijking oplossen:

Oplossing:
Om onze vergelijking op te lossen, zullen we de methode gebruiken om een ​​nieuwe variabele te introduceren, die aangeeft: t=tg(x).

Als resultaat van de vervanging krijgen we: t 2 + 2t -1 = 0

Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden: t=-1 en t=1/3

Dan krijgen we tg(x)=-1 en tg(x)=1/3, we krijgen de eenvoudigste trigonometrische vergelijking, laten we de wortels ervan vinden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwoord: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Een voorbeeld van het oplossen van een vergelijking

Los vergelijkingen op: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Oplossing:

Laten we de identiteit gebruiken: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Onze vergelijking zal de vorm aannemen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Laten we de vervanging t=cos(x) introduceren: 2t 2 -3t - 2 = 0

De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=2 en t=-1/2

Dan is cos(x)=2 en cos(x)=-1/2.

Omdat cosinus kan geen waarden groter dan één aannemen, dan heeft cos(x)=2 geen wortels.

Voor cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwoord: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische vergelijkingen.

Vergelijkingen van de vorm

homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad.

Om een ​​homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad op te lossen, deelt u deze door cos(x): Je kunt niet delen door de cosinus als deze gelijk is aan nul, laten we ervoor zorgen dat dit niet het geval is:
Stel cos(x)=0, dan asin(x)+0=0 => sin(x)=0, maar sinus en cosinus zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul, we krijgen een tegenspraak, dus we kunnen veilig delen door nul.

Los de vergelijking op:
Voorbeeld: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Oplossing:

Laten we de gemeenschappelijke factor eruit halen: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dan moeten we twee vergelijkingen oplossen:

Cos(x)=0 en cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 bij x= π/2 + πk;

Beschouw de vergelijking cos(x)+sin(x)=0 Deel onze vergelijking door cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwoord: x= π/2 + πk en x= -π/4+πk

Hoe homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad op te lossen?
Jongens, volg altijd deze regels!

1. Kijk waar de coëfficiënt a gelijk aan is. Als a=0 dan zal onze vergelijking de vorm aannemen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), een voorbeeld van de oplossing hiervan staat op de vorige dia

2. Als a≠0, dan moet je beide kanten van de vergelijking delen door het kwadraat van de cosinus, dan krijgen we:

We veranderen de variabele t=tg(x) en krijgen de vergelijking:

Los voorbeeld nr.:3 op

Laten we beide zijden van de vergelijking delen door het cosinusvierkant:

We veranderen de variabele t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden: t=-3 en t=1

Dan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwoord: x=-arctg(3) + πk en x= π/4+ πk

Los voorbeeld nr.:4 op

Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:

We kunnen dergelijke vergelijkingen oplossen: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk

Antwoord: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk

Los voorbeeld nr.:5 op

Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:

Laten we de vervanging tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 introduceren

De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=-2 en t=1/2

Dan krijgen we: tg(2x)=-2 en tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= boogtg(1/2) + πk => x=boogtg(1/2)/2+ πk/2

Antwoord: x=-arctg(2)/2 + πk/2 en x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemen voor onafhankelijke oplossing.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Los de vergelijkingen op: sin(3x)= √3/2. En vind alle wortels op het segment [π/2; π].

3) Los de vergelijking op: kinderbed 2 (x) + 2 kinderbed (x) + 1 =0

4) Los de vergelijking op: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Los de vergelijking op: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Los de vergelijking op: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Trigonometrische vergelijkingen zijn geen gemakkelijk onderwerp. Ze zijn te divers.) Bijvoorbeeld deze:

zonde 2 x + cos3x = ctg5x

zonde(5x+π /4) = kinderbed(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

En dergelijke...

Maar deze (en alle andere) trigonometrische monsters hebben twee gemeenschappelijke en verplichte kenmerken. Ten eerste - je zult het niet geloven - er zitten goniometrische functies in de vergelijkingen.) Ten tweede: alle uitdrukkingen met x worden gevonden binnen dezelfde functies. En alleen daar! Als X ergens verschijnt buiten, Bijvoorbeeld, zonde2x + 3x = 3, dit zal al een vergelijking van gemengd type zijn. Dergelijke vergelijkingen vereisen een individuele benadering. Wij zullen ze hier niet beschouwen.

We zullen in deze les ook geen slechte vergelijkingen oplossen.) Hier zullen we mee omgaan de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Waarom? Ja, want de oplossing elk trigonometrische vergelijkingen bestaat uit twee fasen. In de eerste fase wordt de kwade vergelijking door middel van een verscheidenheid aan transformaties teruggebracht tot een eenvoudige. Bij de tweede wordt deze eenvoudigste vergelijking opgelost. Anders absoluut niet.

Dus als je problemen hebt in de tweede fase, heeft de eerste fase niet zoveel zin.)

Hoe zien elementaire trigonometrische vergelijkingen eruit?

zonde = een

cosx = een

tgx = een

ctgx = een

Hier A staat voor elk getal. Elk.

Trouwens, binnen een functie is er misschien geen pure X, maar een soort uitdrukking, zoals:

cos(3x+π /3) = 1/2

en dergelijke. Dit bemoeilijkt het leven, maar heeft geen invloed op de methode voor het oplossen van een trigonometrische vergelijking.

Hoe trigonometrische vergelijkingen op te lossen?

Trigonometrische vergelijkingen kunnen op twee manieren worden opgelost. De eerste manier: logica en de trigonometrische cirkel gebruiken. We zullen dit pad hier bekijken. De tweede manier – het gebruik van geheugen en formules – wordt in de volgende les besproken.

De eerste manier is duidelijk, betrouwbaar en moeilijk te vergeten.) Het is goed voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, ongelijkheden en allerlei lastige, niet-standaard voorbeelden. Logica is sterker dan geheugen!)

Vergelijkingen oplossen met behulp van een goniometrische cirkel.

We omvatten elementaire logica en de mogelijkheid om de trigonometrische cirkel te gebruiken. Weet je niet hoe? Maar... Je zult het moeilijk hebben met trigonometrie...) Maar dat maakt niet uit. Kijk eens naar de lessen "Trigonometrische cirkel...... Wat is dat?" en "Hoeken meten op een goniometrische cirkel." Alles is daar eenvoudig. In tegenstelling tot schoolboeken...)

O, weet je!? En zelfs “Praktisch werken met de trigonometrische cirkel” onder de knie!? Gefeliciteerd. Dit onderwerp zal voor jou dichtbij en begrijpelijk zijn.) Wat vooral prettig is, is dat het de trigonometrische cirkel niet uitmaakt welke vergelijking je oplost. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - alles is voor hem hetzelfde. Er is slechts één oplossingsprincipe.

We nemen dus elke elementaire trigonometrische vergelijking. Tenminste dit:

cosx = 0,5

We moeten X vinden. Spreken in menselijke taal, dat heb je nodig zoek de hoek (x) waarvan de cosinus 0,5 is.

Hoe gebruikten we de cirkel voorheen? We hebben er een hoek op getekend. In graden of radialen. En meteen zaag goniometrische functies van deze hoek. Laten we nu het tegenovergestelde doen. Laten we een cosinus op de cirkel tekenen die gelijk is aan 0,5 en onmiddellijk we zullen zien hoek. Het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven.) Ja, ja!

Teken een cirkel en markeer de cosinus gelijk aan 0,5. Op de cosinus-as natuurlijk. Zoals dit:

Laten we nu de hoek tekenen die deze cosinus ons geeft. Beweeg uw muis over de afbeelding (of raak de afbeelding aan op uw tablet), en je zult zien deze hoek X.

Van welke hoek is de cosinus 0,5?

x = π /3

want 60°= cos( π /3) = 0,5

Sommige mensen zullen sceptisch grinniken, ja... Was het de moeite waard om een ​​cirkel te maken als alles al duidelijk is... Je kunt natuurlijk grinniken...) Maar feit is dat dit een fout antwoord is. Of beter gezegd: onvoldoende. Cirkelkenners begrijpen dat er hier nog een heleboel andere hoeken zijn die ook een cosinus van 0,5 opleveren.

Als je de bewegende kant OA draait volledige beurt, keert punt A terug naar zijn oorspronkelijke positie. Met dezelfde cosinus gelijk aan 0,5. Die. de hoek zal veranderen met 360° of 2π radialen, en cosinus - nee. De nieuwe hoek 60° + 360° = 420° zal ook een oplossing zijn voor onze vergelijking, omdat

Er kan een oneindig aantal van zulke volledige omwentelingen worden gemaakt... En al deze nieuwe hoeken zullen oplossingen zijn voor onze trigonometrische vergelijking. En als antwoord moeten ze allemaal op de een of andere manier worden opgeschreven. Alle. Anders telt de beslissing niet, ja...)

Wiskunde kan dit eenvoudig en elegant doen. Schrijf het op in één kort antwoord oneindige reeks beslissingen. Zo ziet het eruit voor onze vergelijking:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ik zal het ontcijferen. Schrijf nog steeds betekenisvol Het is prettiger dan domweg een paar mysterieuze letters tekenen, toch?)

π /3 - dit is dezelfde hoek als wij zaag op de cirkel en bepaald volgens de cosinustabel.

2π is één volledige revolutie in radialen.

N - dit is het aantal complete, d.w.z. geheel toerental Dat is duidelijk N kan gelijk zijn aan 0, ±1, ±2, ±3.... enzovoort. Zoals aangegeven door de korte vermelding:

n ∈ Z

N behoort tot ( ∈ ) set gehele getallen ( Z ). Trouwens, in plaats van de brief N letters kunnen heel goed gebruikt worden k, m, t enz.

Deze notatie betekent dat je elk geheel getal kunt nemen N . Minimaal -3, minimaal 0, minimaal +55. Wat je maar wilt. Als je dit getal in het antwoord vervangt, krijg je een specifieke invalshoek, die zeker de oplossing zal zijn voor onze harde vergelijking.)

Of, met andere woorden, x = π /3 - dit is de enige wortel van een oneindige verzameling. Om alle andere wortels te krijgen, volstaat het om een ​​willekeurig aantal volledige omwentelingen op te tellen bij π /3 ( N ) in radialen. Die. 2πn radiaal.

Alle? Nee. Ik verleng het plezier bewust. Om het beter te onthouden.) We ontvingen slechts een deel van de antwoorden op onze vergelijking. Ik zal dit eerste deel van de oplossing als volgt schrijven:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - niet slechts één wortel, maar een hele reeks wortels, opgeschreven in een korte vorm.

Maar er zijn ook hoeken die ook een cosinus van 0,5 opleveren!

Laten we terugkeren naar onze afbeelding waarop we het antwoord hebben opgeschreven. Hier is het:

Beweeg uw muis over de afbeelding en wij zien een andere hoek dan geeft ook een cosinus van 0,5. Waar denk je dat het gelijk aan is? De driehoeken zijn hetzelfde... Ja! Het is gelijk aan de hoek X , alleen vertraagd in de negatieve richting. Dit is de hoek -X. Maar we hebben x al berekend. π /3 of 60°. Daarom kunnen we veilig schrijven:

x 2 = - π /3

Welnu, natuurlijk voegen we alle hoeken toe die worden verkregen door volledige omwentelingen:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dat is alles nu.) Op de trigonometrische cirkel wij zaag(wie begrijpt het natuurlijk)) Alle hoeken die een cosinus van 0,5 opleveren. En we schreven deze hoeken op in een korte wiskundige vorm. Het antwoord resulteerde in twee oneindige reeksen wortels:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dit is het juiste antwoord.

Hoop, algemeen principe voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen het gebruik van een cirkel is duidelijk. We markeren de cosinus (sinus, tangens, cotangens) uit de gegeven vergelijking op een cirkel, tekenen de corresponderende hoeken en noteren het antwoord. Natuurlijk moeten we uitzoeken in welke hoeken we zitten zaag op de cirkel. Soms is het niet zo vanzelfsprekend. Nou, ik zei dat hier logica vereist is.)

Laten we bijvoorbeeld eens naar een andere trigonometrische vergelijking kijken:

Houd er rekening mee dat het getal 0,5 niet het enige mogelijke getal in vergelijkingen is!) Het is voor mij gewoon handiger om het te schrijven dan wortels en breuken.

Wij werken volgens het algemene principe. We tekenen een cirkel, markeren (uiteraard op de sinusas!) 0,5. We tekenen alle hoeken die overeenkomen met deze sinus in één keer. We krijgen dit beeld:

Laten we eerst de hoek behandelen X in het eerste kwartaal. We herinneren ons de tabel met sinussen en bepalen de waarde van deze hoek. Het is een simpele zaak:

x = π /6

We herinneren ons de volledige beurten en schrijven met een zuiver geweten de eerste reeks antwoorden op:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

De helft van de klus is geklaard. Maar nu moeten we beslissen tweede hoek... Het is lastiger dan het gebruik van cosinussen, ja... Maar logica zal ons redden! Hoe de tweede hoek te bepalen via x? Het is gemakkelijk! De driehoeken op de afbeelding zijn hetzelfde, evenals de rode hoek X gelijk aan hoek X . Alleen wordt geteld vanaf de hoek π in de negatieve richting. Daarom is het rood.) En voor het antwoord hebben we een hoek nodig, correct gemeten, vanaf de positieve halve as OX, d.w.z. vanuit een hoek van 0 graden.

We bewegen de cursor over de tekening en zien alles. Ik heb de eerste hoek verwijderd om de foto niet ingewikkelder te maken. De hoek waarin we geïnteresseerd zijn (groen getekend) is gelijk aan:

π - x

X Wij weten dit π /6 . Daarom zal de tweede hoek zijn:

π - π /6 = 5π /6

Opnieuw herinneren we ons het toevoegen van volledige omwentelingen en schrijven we de tweede reeks antwoorden op:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Dat is het. Een compleet antwoord bestaat uit twee reeksen wortels:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangens- en cotangensvergelijkingen kunnen eenvoudig worden opgelost met behulp van hetzelfde algemene principe voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Als je natuurlijk weet hoe je de raaklijn en de cotangens op een trigonometrische cirkel tekent.

In de bovenstaande voorbeelden heb ik de tabelwaarde van sinus en cosinus gebruikt: 0,5. Die. een van die betekenissen die de leerling kent verplicht. Laten we nu onze mogelijkheden uitbreiden naar alle andere waarden. Beslis, dus beslis!)

Laten we zeggen dat we deze trigonometrische vergelijking moeten oplossen:

Er is geen dergelijke cosinuswaarde in de korte tabellen. Wij negeren dit verschrikkelijke feit koeltjes. Teken een cirkel, markeer 2/3 op de cosinus-as en teken de overeenkomstige hoeken. Wij krijgen dit beeld.

Laten we eerst eens kijken naar de hoek in het eerste kwartaal. Als we maar wisten waar x gelijk aan is, zouden we het antwoord meteen opschrijven! We weten het niet... Mislukking!? Kalm! Wiskunde laat zijn eigen mensen niet in de problemen! Voor dit geval bedacht ze boogcosinussen. Weet je het niet? Tevergeefs. Ontdek het, het is een stuk eenvoudiger dan je denkt. Er staat geen enkele lastige spreuk over “inverse trigonometrische functies” op deze link... Dit is overbodig in dit onderwerp.

Als je het weet, zeg dan gewoon tegen jezelf: "X is een hoek waarvan de cosinus gelijk is aan 2/3." En onmiddellijk, puur volgens de definitie van boogcosinus, kunnen we schrijven:

We herinneren ons de extra omwentelingen en schrijven rustig de eerste reeks wortels van onze trigonometrische vergelijking op:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

De tweede reeks wortels voor de tweede hoek wordt vrijwel automatisch opgeschreven. Alles is hetzelfde, alleen X (arccos 2/3) zal een minteken hebben:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

En dat is het! Dit is het juiste antwoord. Nog eenvoudiger dan met tabelwaarden. Het is niet nodig om iets te onthouden.) Trouwens, de meest oplettende zal opmerken dat deze afbeelding de oplossing toont via boogcosinus in wezen verschilt het niet van de afbeelding voor de vergelijking cosx = 0,5.

Dat klopt! Het algemene principe is precies dat! Ik heb bewust twee vrijwel identieke afbeeldingen getekend. De cirkel toont ons de hoek X door zijn cosinus. Of het een tabellarische cosinus is of niet, is voor iedereen onbekend. Wat voor soort hoek dit is, π /3, of wat de boogcosinus is, dat is aan ons om te beslissen.

Hetzelfde liedje met sinus. Bijvoorbeeld:

Teken opnieuw een cirkel, markeer de sinus gelijk aan 1/3, teken de hoeken. Dit is het beeld dat we krijgen:

En opnieuw is het beeld bijna hetzelfde als voor de vergelijking sinx = 0,5. Opnieuw starten we in het eerste kwart vanuit de hoek. Waar is X gelijk aan als de sinus 1/3 is? Geen vraag!

Nu is het eerste pakje wortels klaar:

x 1 = boogsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Laten we de tweede hoek behandelen. In het voorbeeld met een tabelwaarde van 0,5 was deze gelijk aan:

π - x

Ook hier zal het precies hetzelfde zijn! Alleen x is anders, boogsin 1/3. Dus wat!? Je kunt het tweede pakje wortels veilig opschrijven:

x 2 = π - boogsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dit is een volledig correct antwoord. Hoewel het er niet heel bekend uitziet. Maar het is duidelijk, hoop ik.)

Dit is hoe goniometrische vergelijkingen worden opgelost met behulp van een cirkel. Deze weg is duidelijk en begrijpelijk. Hij is het die trigonometrische vergelijkingen bespaart met de selectie van wortels op een bepaald interval, in trigonometrische ongelijkheden - ze worden over het algemeen bijna altijd in een cirkel opgelost. Kortom, bij alle taken die iets moeilijker zijn dan de standaardtaken.

Laten we kennis in de praktijk toepassen?)

Los trigonometrische vergelijkingen op:

Ten eerste, eenvoudiger, rechtstreeks uit deze les.

Nu is het ingewikkelder.

Tip: hier moet je aan de cirkel denken. Persoonlijk.)

En nu zijn ze uiterlijk eenvoudig... Ze worden ook speciale gevallen genoemd.

zonde = 0

zonde = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: hier moet je in een cirkel uitzoeken waar er twee reeksen antwoorden zijn en waar er één is... En hoe je één moet schrijven in plaats van twee reeksen antwoorden. Ja, zodat geen enkele wortel uit een oneindig aantal verloren gaat!)

Nou ja, heel simpel):

zonde = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tip: hier moet je weten wat arcsinus en arccosinus zijn? Wat is boogtangens, boogcotangens? De eenvoudigste definities. Maar u hoeft geen tabelwaarden te onthouden!)

De antwoorden zijn natuurlijk een puinhoop):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - boogsin0,3 + 2

Niet alles lukt? Gebeurt. Lees de les nog eens. Alleen bedachtzaam(er is zo'n verouderd woord...) En volg de links. De belangrijkste links gaan over de cirkel. Zonder trigonometrie is het alsof je geblinddoekt de weg oversteekt. Soms werkt het.)

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Gecentreerd op een punt A.
α - hoek uitgedrukt in radialen.

Definitie
Sinus (zonde α) is een trigonometrische functie die afhangt van de hoek α tussen de hypotenusa en het been van een rechthoekige driehoek, gelijk aan de verhouding van de lengte van het tegenoverliggende been |BC| aan de lengte van de hypotenusa |AC|.

Cosinus (cos α) is een trigonometrische functie die afhangt van de hoek α tussen de hypotenusa en het been van een rechthoekige driehoek, gelijk aan de verhouding van de lengte van het aangrenzende been |AB| aan de lengte van de hypotenusa |AC|.

Geaccepteerde notaties

;
;
.

;
;
.

Grafiek van de sinusfunctie, y = sin x

Grafiek van de cosinusfunctie, y = cos x

Eigenschappen van sinus en cosinus

Periodiciteit

Functies y = zonde x en y = omdat x periodiek met periode 2π.

Pariteit

De sinusfunctie is vreemd. De cosinusfunctie is even.

Domein van definitie en waarden, extrema, toename, afname

De sinus- en cosinusfuncties zijn continu in hun definitiedomein, dat wil zeggen voor alle x (zie bewijs van continuïteit). Hun belangrijkste eigenschappen worden weergegeven in de tabel (n - geheel getal).

Basisformules

Som van kwadraten van sinus en cosinus

Formules voor sinus en cosinus uit som en verschil

;
;

Formules voor het product van sinussen en cosinussen

Som- en verschilformules

Sinus via cosinus uitdrukken

;
;
;
.

Cosinus uitdrukken via sinus

;
;
;
.

Expressie door raaklijn

; .

Wanneer hebben we:
; .

Bij :
; .

Tabel met sinussen en cosinussen, raaklijnen en cotangensen

Deze tabel toont de waarden van sinussen en cosinussen voor bepaalde waarden van het argument.

Expressies via complexe variabelen

;

Eulers formule

Uitdrukkingen via hyperbolische functies

;
;

Derivaten

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

Formules afleiden > > >

Afgeleiden van de n-de orde:

Secant, cosecant

Inverse functies

De inverse functies van sinus en cosinus zijn respectievelijk arcsinus en arccosinus.

Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos

Gebruikte literatuur:

IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handboek wiskunde voor ingenieurs en studenten, “Lan”, 2009.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

• Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.
• Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle taken 1 t/m 13 van het Profiel Unified State Examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10-11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.