Wat zijn lineaire vergelijkingen? Hoe los je een lineaire vergelijking in één variabele op? Systemen oplossen met behulp van de Gaussiaanse methode

Een lineaire vergelijking met onbekenden x 1, x 2, ..., x n is een vergelijking van de vorm

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

de getallen a en a 2 , a 2 , ..., a n worden coëfficiënten voor de onbekenden genoemd, het getal b is de vrije term van de vergelijking.

Lineaire vergelijkingen met één onbekende konden meer dan vierduizend jaar geleden in het oude Babylon en in Egypte worden opgelost. Laten we bijvoorbeeld een probleem aanhalen uit de Rhind-papyrus (ook wel de Ahmes-papyrus genoemd), opgeslagen in het British Museum en daterend uit de periode 2000–1700. BC e.: “Zoek een getal als bekend is dat door er 2/3 van op te tellen en het derde deel ervan af te trekken van de resulterende som, het getal 10 wordt verkregen.” De oplossing voor dit probleem komt neer op het oplossen van de lineaire vergelijking

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, dus x = 9.

Laten we ook het probleem van Metrodorus presenteren, over wiens leven niets bekend is behalve dat hij de auteur was van interessante, in verzen geschreven problemen.

Hier ligt Diophantus begraven, en de grafsteen
Met vaardig tellen zal hij het ons vertellen
Hoe lang was zijn leven.
Volgens Gods besluit was hij een zesde van zijn leven een jongen;
In het twaalfde deel ging zijn heldere jeugd voorbij.
Laten we het zevende deel van het leven toevoegen: voor ons ligt de haard van Hymen.
Vijf jaar zijn verstreken; en Hymen stuurde hem een zoon.
Maar wee het kind! Hij leefde amper de helft
Die jaren dat de vader stierf, de ongelukkige.
Diophantus leed vier jaar onder het verlies van zo'n graf
En hij stierf, nadat hij voor de wetenschap had geleefd. Zeg eens,
Hoe oud was Diophantus toen hij de dood bereikte?

Een lineaire vergelijking oplossen

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

we vinden dat x = 84 - dit is het aantal jaren dat Diophantus leefde.

Diophantus besteedde zelf veel aandacht aan onbepaalde vergelijkingen (dit is de naam die wordt gegeven aan algebraïsche vergelijkingen of systemen van dergelijke vergelijkingen met twee of meer onbekenden met gehele coëfficiënten, waarvoor gehele of rationale oplossingen worden gezocht; het aantal onbekenden moet groter zijn dan het aantal vergelijkingen). Deze vergelijkingen worden Diophantische vergelijkingen genoemd. Het is waar dat Diophantus, die leefde aan het begin van de tweede en derde eeuw, zich voornamelijk bezighield met onbepaalde vergelijkingen van hogere graden.

Een systeem van algebraïsche vergelijkingen, die elk de vorm (1) hebben, wordt een lineair systeem genoemd. De coëfficiënten van de vergelijkingen die in het systeem zijn opgenomen, worden gewoonlijk genummerd met twee indices, waarvan de eerste het nummer van de vergelijking is en de tweede (zoals in (1)) het nummer van het onbekende. Een systeem van m vergelijkingen met n onbekenden wordt bijvoorbeeld in de vorm geschreven

$\over. \begin(uitgelijnd) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(uitgelijnd) \right\)(2)$

Beschouw een systeem van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden:

$\over. \begin(uitgelijnd) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1 )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2 )), \\ \end(uitgelijnd) \right\)(3)$

Laten we de eerste vergelijking van systeem (3) vermenigvuldigen met 22 en van de resulterende vergelijking de tweede aftrekken, vermenigvuldigd met 12; op dezelfde manier vermenigvuldigen we de tweede vergelijking van systeem (3) met 11 en trekken we de eerste, vermenigvuldigd met 21, af van de resulterende vergelijking. Hierna zal het systeem:

$\over. \begin(uitgelijnd) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(uitgelijnd) \right\)(4)$

$\over. \begin(uitgelijnd) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(uitgelijnd) \right\)(4)$

wat een gevolg is van systeem (3). Systeem (4) kan in de vorm worden geschreven

$\over. \begin(uitgelijnd) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(uitgelijnd) \right\)(5)$

waarbij ∆ de determinant is van een matrix die is samengesteld uit de coëfficiënten van het systeem (zie Determinant), ∆ i de determinanten zijn van matrices verkregen door de vorige vervanging van de i-de kolom door een kolom met vrije termen, i = 1,2 . Verder, als ∆ ≠ 0, dan heeft systeem (5) een unieke oplossing:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

Directe substitutie verifieert dat dit paar getallen ook een oplossing is voor systeem (3). Met dezelfde regel zoekt men naar een oplossing voor een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden: als de determinant van het systeem ∆ niet nul is, dan heeft het systeem een unieke oplossing, en

x ik = ∆ ik /∆

waarbij ∆ i de determinant is van de matrix die wordt verkregen uit een matrix die is samengesteld uit de coëfficiënten van het systeem door de i-de kolom daarin te vervangen door een kolom met vrije termen. De beschreven regel voor het oplossen van lineaire systemen wordt de regel van Cramer genoemd. (G. Cramer - Zwitserse wiskundige, 1704–1752).

Als ∆ = 0, dan moeten zowel ∆ 1 als ∆ 2 verdwijnen (anders hebben (5), en vooral (3) geen oplossingen). Als aan de voorwaarde ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0 is voldaan, als de overeenkomstige coëfficiënten voor de onbekenden en de vrije termen van de vergelijking van systeem (3) proportioneel zijn, dan zal het systeem oneindig veel oplossingen hebben; als ten minste één van de coëfficiënten voor de onbekenden verschillend is van nul (bijvoorbeeld als a 12 ≠ 0), dan kan x 1 als willekeurig worden beschouwd, dan

x 2 = b 1 /a 12 − een 11 x 1 /a 12

Het blijft de zaak analyseren wanneer het systeem de vorm heeft

$\over. \begin(uitgelijnd) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(uitgelijnd) \right\)$

waarvoor het antwoord voor de hand ligt: als b 1 = b 2 = 0, dan is de oplossing een willekeurig paar getallen, anders zijn er geen oplossingen.

In het algemene geval heeft het systeem voor een systeem van n vergelijkingen met n onbekenden voor ∆ ≠ 0 een unieke oplossing, die, zoals eerder vermeld, kan worden gevonden met behulp van de regel van Cramer. Als ∆ = 0 en ten minste één van de determinanten ∆ i verschillend is van nul, is het systeem inconsistent (dat wil zeggen dat het geen oplossingen heeft). In het geval dat ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, kan het systeem inconsistent zijn of oneindig veel oplossingen hebben. Het is vrij lastig om vast te stellen welke van deze twee gevallen met behulp van determinanten wordt gerealiseerd, en daar gaan we niet op in. In de praktijk wordt de regel van Cramer meestal niet gebruikt om lineaire systemen op te lossen. Meestal wordt voor deze doeleinden de Gaussische methode gebruikt (zie Onbekende uitzondering).

Zoals bekend definieert de lineaire vergelijking a 1 x 1 + a 2 x 2 = b een rechte lijn op het vlak (x 1; x 2) in het geval dat ten minste één van de coëfficiënten a 1 en a 2 verschilt van nul. Als we twee lijnen in een vlak nemen, zijn de volgende gevallen mogelijk (zie figuur): 1) de lijnen zijn evenwijdig en hebben geen gemeenschappelijke punten, en dan heeft het systeem geen oplossingen; 2) de lijnen snijden elkaar, en dan heeft het systeem één oplossing; 3) de lijnen vallen samen, en dan heeft het systeem oneindig veel oplossingen. Maar twee ‘willekeurig’ genomen lijnen zullen ‘in de regel’ elkaar snijden, dat wil zeggen dat een systeem van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen in de regel één oplossing zal hebben. Elk punt op een bepaalde lijn in het vlak komt overeen met de oplossing van een “systeem” (bestaande uit één vergelijking), d.w.z. in de regel doet zich geval 3 voor (geval 2 is onmogelijk en geval 1 wordt gerealiseerd als we de vergelijking nemen 0 x 1 + 0 x 2 = b, waarbij b ≠ 0, wat geen lijn op het vlak definieert). Als we drie of meer lijnen in een vlak nemen, kunnen ze over het algemeen allemaal samenvallen of door één punt gaan, maar in de regel doet zich het eerste geval voor: de lijnen hebben geen gemeenschappelijk punt.

Vergelijkingssystemen worden in de economische sector veel gebruikt voor het wiskundig modelleren van verschillende processen. Bijvoorbeeld bij het oplossen van problemen op het gebied van productiebeheer en -planning, logistieke routes (transportprobleem) of plaatsing van apparatuur.

Vergelijkingssystemen worden niet alleen in de wiskunde gebruikt, maar ook in de natuurkunde, scheikunde en biologie, bij het oplossen van problemen bij het vinden van de populatiegrootte.

Een systeem van lineaire vergelijkingen bestaat uit twee of meer vergelijkingen met verschillende variabelen waarvoor het nodig is een gemeenschappelijke oplossing te vinden. Zo'n reeks getallen waarvoor alle vergelijkingen echte gelijkheden worden of bewijzen dat de reeks niet bestaat.

Lineaire vergelijking

Vergelijkingen van de vorm ax+by=c worden lineair genoemd. De aanduidingen x, y zijn de onbekenden waarvan de waarde moet worden gevonden, b, a zijn de coëfficiënten van de variabelen, c is de vrije term van de vergelijking.
Als u een vergelijking oplost door deze uit te zetten, ziet het eruit als een rechte lijn, waarvan alle punten oplossingen zijn voor de polynoom.

Soorten systemen van lineaire vergelijkingen

De eenvoudigste voorbeelden worden beschouwd als stelsels van lineaire vergelijkingen met twee variabelen X en Y.

F1(x, y) = 0 en F2(x, y) = 0, waarbij F1,2 functies zijn en (x, y) functievariabelen zijn.

Systeem van vergelijkingen oplossen - dit betekent het vinden van waarden (x, y) waarbij het systeem in een echte gelijkheid verandert, of vaststellen dat geschikte waarden van x en y niet bestaan.

Een paar waarden (x, y), geschreven als de coördinaten van een punt, wordt een oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen genoemd.

Als systemen één gemeenschappelijke oplossing hebben of als er geen oplossing bestaat, worden ze gelijkwaardig genoemd.

Homogene systemen van lineaire vergelijkingen zijn systemen waarvan de rechterkant gelijk is aan nul. Als het rechterdeel na het gelijkteken een waarde heeft of wordt uitgedrukt door een functie, is zo'n systeem heterogeen.

Het aantal variabelen kan veel meer dan twee zijn, dan moeten we het hebben over een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen met drie of meer variabelen.

Wanneer schoolkinderen met systemen worden geconfronteerd, gaan ze ervan uit dat het aantal vergelijkingen noodzakelijkerwijs moet samenvallen met het aantal onbekenden, maar dit is niet het geval. Het aantal vergelijkingen in het systeem is niet afhankelijk van de variabelen; er kunnen er zoveel zijn als gewenst.

Eenvoudige en complexe methoden voor het oplossen van stelsels vergelijkingen

Er bestaat geen algemene analytische methode om dergelijke systemen op te lossen; alle methoden zijn gebaseerd op numerieke oplossingen. De wiskundecursus op school beschrijft in detail methoden als permutatie, algebraïsche optelling, substitutie, evenals grafische en matrixmethoden, oplossing volgens de Gauss-methode.

De belangrijkste taak bij het aanleren van oplossingsmethoden is om te leren hoe je het systeem correct kunt analyseren en voor elk voorbeeld het optimale oplossingsalgoritme kunt vinden. Het belangrijkste is niet om voor elke methode een systeem van regels en acties uit het hoofd te leren, maar om de principes van het gebruik van een bepaalde methode te begrijpen

Het oplossen van voorbeelden van systemen van lineaire vergelijkingen in het algemene leerplan van groep 7 is vrij eenvoudig en wordt tot in detail uitgelegd. In elk wiskundehandboek krijgt dit gedeelte voldoende aandacht. Het oplossen van voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen met behulp van de Gauss- en Cramer-methode wordt in de eerste jaren van het hoger onderwijs nader bestudeerd.

Systemen oplossen met behulp van de substitutiemethode

De acties van de substitutiemethode zijn erop gericht de waarde van de ene variabele uit te drukken in termen van de tweede. De uitdrukking wordt vervangen door de resterende vergelijking en vervolgens gereduceerd tot een vorm met één variabele. De actie wordt herhaald afhankelijk van het aantal onbekenden in het systeem

Laten we een oplossing geven voor een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen van klasse 7 met behulp van de substitutiemethode:

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werd de variabele x uitgedrukt via F(X) = 7 + Y. De resulterende uitdrukking, gesubstitueerd in de tweede vergelijking van het systeem in plaats van X, hielp om één variabele Y in de tweede vergelijking te verkrijgen . Het oplossen van dit voorbeeld is eenvoudig en stelt u in staat de Y-waarde te verkrijgen. De laatste stap is het controleren van de verkregen waarden.

Het is niet altijd mogelijk om een voorbeeld van een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen door middel van substitutie. De vergelijkingen kunnen complex zijn en het uitdrukken van de variabele in termen van de tweede onbekende zal te omslachtig zijn voor verdere berekeningen. Als er meer dan drie onbekenden in het systeem voorkomen, is het oplossen door substitutie ook onpraktisch.

Oplossing van een voorbeeld van een systeem van lineaire inhomogene vergelijkingen:

Oplossing met behulp van algebraïsche optelling

Bij het zoeken naar oplossingen voor systemen met behulp van de optellingsmethode, worden vergelijkingen term voor term opgeteld en met verschillende getallen vermenigvuldigd. Het uiteindelijke doel van wiskundige bewerkingen is een vergelijking in één variabele.

Toepassing van deze methode vereist oefening en observatie. Het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van de optellingsmethode als er drie of meer variabelen zijn, is niet eenvoudig. Algebraïsche optelling is handig als vergelijkingen breuken en decimalen bevatten.

Oplossingsalgoritme:

Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met een bepaald getal. Als resultaat van de rekenkundige bewerking moet een van de coëfficiënten van de variabele gelijk worden aan 1.
Voeg de resulterende uitdrukking term voor term toe en vind een van de onbekenden.
Vervang de resulterende waarde in de tweede vergelijking van het systeem om de resterende variabele te vinden.

Oplossingsmethode door een nieuwe variabele te introduceren

Er kan een nieuwe variabele worden geïntroduceerd als het systeem een oplossing vereist voor niet meer dan twee vergelijkingen;

De methode wordt gebruikt om een van de vergelijkingen te vereenvoudigen door een nieuwe variabele te introduceren. De nieuwe vergelijking wordt opgelost voor het geïntroduceerde onbekende, en de resulterende waarde wordt gebruikt om de oorspronkelijke variabele te bepalen.

Het voorbeeld laat zien dat het door de introductie van een nieuwe variabele t mogelijk was om de eerste vergelijking van het systeem terug te brengen tot een standaard kwadratische trinominaal. Je kunt een polynoom oplossen door de discriminant te vinden.

Het is noodzakelijk om de waarde van de discriminant te vinden met behulp van de bekende formule: D = b2 - 4*a*c, waarbij D de gewenste discriminant is, b, a, c zijn de factoren van de polynoom. In het gegeven voorbeeld is a=1, b=16, c=39, dus D=100. Als de discriminant groter is dan nul, dan zijn er twee oplossingen: t = -b±√D / 2*a, als de discriminant kleiner is dan nul, dan is er één oplossing: x = -b / 2*a.

De oplossing voor de resulterende systemen wordt gevonden door de toevoegingsmethode.

Visuele methode voor het oplossen van systemen

Geschikt voor 3 vergelijkingssystemen. De methode bestaat uit het construeren van grafieken van elke vergelijking in het systeem op de coördinatenas. De coördinaten van de snijpunten van de curven zullen de algemene oplossing van het systeem zijn.

De grafische methode kent een aantal nuances. Laten we verschillende voorbeelden bekijken van het op een visuele manier oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden voor elke lijn twee punten geconstrueerd, de waarden van de variabele x werden willekeurig gekozen: 0 en 3. Op basis van de waarden van x werden de waarden voor y gevonden: 3 en 0. Punten met coördinaten (0, 3) en (3, 0) zijn gemarkeerd in de grafiek en verbonden door een lijn.

De stappen moeten worden herhaald voor de tweede vergelijking. Het snijpunt van de lijnen is de oplossing van het systeem.

Het volgende voorbeeld vereist het vinden van een grafische oplossing voor een stelsel van lineaire vergelijkingen: 0,5x-y+2=0 en 0,5x-y-1=0.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, heeft het systeem geen oplossing, omdat de grafieken evenwijdig zijn en elkaar niet over de gehele lengte snijden.

De systemen uit de voorbeelden 2 en 3 zijn vergelijkbaar, maar wanneer ze worden geconstrueerd, wordt het duidelijk dat hun oplossingen verschillend zijn. We moeten niet vergeten dat het niet altijd mogelijk is om te zeggen of een systeem een oplossing heeft of niet; het is altijd nodig om een grafiek te construeren.

De matrix en zijn variëteiten

Matrices worden gebruikt om een systeem van lineaire vergelijkingen beknopt te schrijven. Een matrix is een speciaal soort tabel gevuld met getallen. n*m heeft n - rijen en m - kolommen.

Een matrix is vierkant als het aantal kolommen en rijen gelijk is. Een matrixvector is een matrix van één kolom met een oneindig aantal rijen. Een matrix met enen langs een van de diagonalen en andere nulelementen wordt identiteit genoemd.

Een inverse matrix is een matrix, waarmee de originele matrix verandert in een eenheidsmatrix; zo'n matrix bestaat alleen voor de originele vierkante matrix.

Regels voor het omzetten van een stelsel vergelijkingen in een matrix

Met betrekking tot stelsels van vergelijkingen worden de coëfficiënten en vrije termen van de vergelijkingen geschreven als matrixgetallen; één vergelijking is één rij van de matrix.

Er wordt gezegd dat een matrixrij niet nul is als ten minste één element van de rij niet nul is. Als het aantal variabelen in een van de vergelijkingen verschilt, is het daarom noodzakelijk om nul in te voeren in plaats van de ontbrekende onbekende.

De matrixkolommen moeten strikt overeenkomen met de variabelen. Dit betekent dat de coëfficiënten van de variabele x slechts in één kolom kunnen worden geschreven, bijvoorbeeld de eerste, de coëfficiënt van de onbekende y - alleen in de tweede.

Bij het vermenigvuldigen van een matrix worden alle elementen van de matrix opeenvolgend vermenigvuldigd met een getal.

Opties voor het vinden van de inverse matrix

De formule voor het vinden van de inverse matrix is vrij eenvoudig: K -1 = 1 / |K|, waarbij K -1 de inverse matrix is, en |K| is de determinant van de matrix. |K| mag niet gelijk zijn aan nul, dan heeft het systeem een oplossing.

De determinant kan eenvoudig worden berekend voor een twee-bij-twee-matrix; u hoeft alleen maar de diagonale elementen met elkaar te vermenigvuldigen. Voor de “drie bij drie” optie is er een formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + een 3 b 2 c 1 . U kunt de formule gebruiken, of u kunt onthouden dat u uit elke rij en elke kolom één element moet nemen, zodat het aantal kolommen en rijen met elementen niet in het werk wordt herhaald.

Voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de matrixmethode

Met de matrixmethode voor het vinden van een oplossing kunt u omslachtige invoer verminderen bij het oplossen van systemen met een groot aantal variabelen en vergelijkingen.

In het voorbeeld zijn nm de coëfficiënten van de vergelijkingen, de matrix is een vector, x n zijn variabelen en bn zijn vrije termen.

Systemen oplossen met behulp van de Gaussiaanse methode

In de hogere wiskunde wordt de Gaussiaanse methode samen met de Cramer-methode bestudeerd, en het proces van het vinden van oplossingen voor systemen wordt de Gauss-Cramer-oplossingsmethode genoemd. Deze methoden worden gebruikt om variabelen te vinden van systemen met een groot aantal lineaire vergelijkingen.

De Gauss-methode lijkt sterk op oplossingen door substitutie en algebraïsche optelling, maar is systematischer. In de schoolcursus wordt de oplossing volgens de Gaussische methode gebruikt voor stelsels van 3- en 4-vergelijkingen. Het doel van de methode is om het systeem terug te brengen tot de vorm van een omgekeerde trapezium. Door middel van algebraïsche transformaties en substituties wordt de waarde van één variabele gevonden in een van de vergelijkingen van het systeem. De tweede vergelijking is een uitdrukking met 2 onbekenden, terwijl 3 en 4 respectievelijk 3 en 4 variabelen zijn.

Nadat het systeem in de beschreven vorm is gebracht, wordt de verdere oplossing gereduceerd tot de opeenvolgende vervanging van bekende variabelen in de vergelijkingen van het systeem.

In schoolboeken voor groep 7 wordt een voorbeeld van een oplossing volgens de Gauss-methode als volgt beschreven:

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden bij stap (3) twee vergelijkingen verkregen: 3x 3 -2x 4 =11 en 3x 3 +2x 4 =7. Door een van de vergelijkingen op te lossen, kun je een van de variabelen x n ontdekken.

Stelling 5, die in de tekst wordt genoemd, stelt dat als een van de vergelijkingen van het systeem wordt vervangen door een equivalent, het resulterende systeem ook equivalent zal zijn aan het oorspronkelijke.

De Gaussiaanse methode is moeilijk te begrijpen voor middelbare scholieren, maar het is een van de meest interessante manieren om de vindingrijkheid te ontwikkelen van kinderen die zijn ingeschreven voor geavanceerde leerprogramma's in wiskunde- en natuurkundelessen.

Om de registratie te vergemakkelijken, worden de berekeningen meestal als volgt uitgevoerd:

De coëfficiënten van de vergelijkingen en vrije termen worden geschreven in de vorm van een matrix, waarbij elke rij van de matrix overeenkomt met een van de vergelijkingen van het systeem. scheidt de linkerkant van de vergelijking van de rechterkant. Romeinse cijfers geven het aantal vergelijkingen in het systeem aan.

Schrijf eerst de matrix op waarmee u wilt werken en vervolgens alle acties die met een van de rijen worden uitgevoerd. De resulterende matrix wordt na het "pijl" -teken geschreven en de noodzakelijke algebraïsche bewerkingen worden voortgezet totdat het resultaat is bereikt.

Het resultaat zou een matrix moeten zijn waarin een van de diagonalen gelijk is aan 1 en alle andere coëfficiënten gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen dat de matrix wordt gereduceerd tot een eenheidsvorm. We mogen niet vergeten berekeningen uit te voeren met getallen aan beide kanten van de vergelijking.

Deze opnamemethode is minder omslachtig en zorgt ervoor dat u niet wordt afgeleid door het opsommen van talloze onbekenden.

Het gratis gebruik van elke oplossingsmethode vereist zorg en enige ervaring. Niet alle methoden zijn van toegepaste aard. Sommige methoden om oplossingen te vinden verdienen meer de voorkeur op een bepaald gebied van menselijke activiteit, terwijl andere voor educatieve doeleinden bestaan.

Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking waarvan het totale aantal polynomen gelijk is aan één. Het oplossen van lineaire vergelijkingen maakt deel uit van het schoolcurriculum, en niet het moeilijkste. Sommigen hebben echter nog steeds moeite met het voltooien van dit onderwerp. We hopen dat na het lezen van dit materiaal alle moeilijkheden voor u tot het verleden zullen blijven behoren. Dus laten we het uitzoeken. Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen.

Algemene vorm

De lineaire vergelijking wordt weergegeven als:

ax + b = 0, waarbij a en b willekeurige getallen zijn.

Hoewel a en b elk getal kunnen zijn, beïnvloeden hun waarden het aantal oplossingen van de vergelijking. Er zijn verschillende speciale gevallen van oplossing:

Als a=b=0 heeft de vergelijking een oneindig aantal oplossingen;
Als a=0, b≠0, heeft de vergelijking geen oplossing;
Als a≠0, b=0, heeft de vergelijking een oplossing: x = 0.

In het geval dat beide getallen waarden hebben die niet nul zijn, moet de vergelijking worden opgelost om de uiteindelijke uitdrukking voor de variabele af te leiden.

Hoe beslissen?

Het oplossen van een lineaire vergelijking betekent het vinden van waar de variabele gelijk aan is. Hoe doe je dit? Ja, het is heel eenvoudig: met behulp van eenvoudige algebraïsche bewerkingen en het volgen van de overdrachtsregels. Als de vergelijking in algemene vorm voor je verschijnt, heb je geluk;

Verplaats b naar de rechterkant van de vergelijking en vergeet niet het teken te veranderen (overdrachtsregel!). Uit een uitdrukking van de vorm ax + b = 0 zou dus een uitdrukking van de vorm moeten worden verkregen: ax = -b.
Pas de regel toe: om een van de factoren (x - in ons geval) te vinden, moet je het product (-b in ons geval) delen door een andere factor (a - in ons geval). Je zou dus een uitdrukking van de vorm moeten krijgen: x = -b/a.

Dat is alles: er is een oplossing gevonden!

Laten we nu eens naar een specifiek voorbeeld kijken:

2x + 4 = 0 - verplaats b, in dit geval gelijk aan 4, naar de rechterkant
2x = -4 - deel b door a (vergeet het minteken niet)
x = -4/2 = -2

Dat is alles! Onze oplossing: x = -2.

Zoals je kunt zien, is de oplossing voor een lineaire vergelijking met één variabele vrij eenvoudig te vinden, maar alles is zo eenvoudig als we het geluk hebben de vergelijking in zijn algemene vorm tegen te komen. In de meeste gevallen moet u, voordat u een vergelijking oplost in de twee hierboven beschreven stappen, de bestaande uitdrukking nog steeds in een algemene vorm brengen. Dit is echter ook geen extreem moeilijke taak. Laten we enkele speciale gevallen bekijken aan de hand van voorbeelden.

Oplossen van bijzondere gevallen

Laten we eerst eens kijken naar de gevallen die we aan het begin van het artikel hebben beschreven en uitleggen wat het betekent om een oneindig aantal oplossingen te hebben en geen oplossing.

Als a=b=0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 0x = 0. Wat betekent deze onzin, roept u uit! Welk getal je ook met nul vermenigvuldigt, je krijgt immers altijd nul! Rechts! Daarom zeggen ze dat de vergelijking een oneindig aantal oplossingen heeft - ongeacht welk getal je neemt, de gelijkheid zal waar zijn, 0x = 0 of 0 = 0.
Als a=0, b≠0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 3 = 0. Voer de eerste stap uit, we krijgen 0x = -3. Weer onzin! Het is duidelijk dat deze gelijkheid nooit waar zal zijn! Daarom zeggen ze dat de vergelijking geen oplossingen heeft.
Als a≠0, b=0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 3x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 3x = 0. Wat is de oplossing? Het is gemakkelijk, x = 0.

Verloren in vertaling

De beschreven speciale gevallen zijn niet het enige waarmee lineaire vergelijkingen ons kunnen verrassen. Soms is de vergelijking op het eerste gezicht moeilijk te identificeren. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

12x - 14 = 2x + 6

Is dit een lineaire vergelijking? Hoe zit het met de nul aan de rechterkant? We zullen niet overhaast conclusies trekken, we zullen handelen - we zullen alle componenten van onze vergelijking naar de linkerkant verplaatsen. We krijgen:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Trek nu like van like af, we krijgen:

10x - 20 = 0

Geleerd? De meest lineaire vergelijking ooit! De oplossing hiervoor is: x = 20/10 = 2.

Wat als we dit voorbeeld hebben:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, dit is ook een lineaire vergelijking, er moeten alleen meer transformaties worden uitgevoerd. Laten we eerst de haakjes openen:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nu voeren we de overdracht uit:
25x - 4 = 0 - het blijft een oplossing vinden met behulp van het reeds bekende schema:
25x = 4,
x = 4/25 = 0,16

Zoals je kunt zien, kan alles worden opgelost, het belangrijkste is om je geen zorgen te maken, maar om te handelen. Houd er rekening mee dat als uw vergelijking alleen variabelen van de eerste graad en getallen bevat, u een lineaire vergelijking heeft die, hoe deze er in eerste instantie ook uitziet, kan worden teruggebracht tot een algemene vorm en kan worden opgelost. Wij hopen dat alles goed voor je komt! Succes!

of mondeling - drie vrienden kregen appels omdat Vasya alle appels op voorraad had.

En nu heb je al besloten lineaire vergelijking
Laten we deze term nu een wiskundige definitie geven.

Lineaire vergelijking - is een algebraïsche vergelijking waarvan de totale graad van de samenstellende polynomen gelijk is aan. Het ziet er zo uit:

Waar en zijn alle cijfers en

Voor ons geval met Vasya en appels zullen we schrijven:

- "Als Vasya aan alle drie de vrienden hetzelfde aantal appels geeft, heeft hij geen appels meer"

‘Verborgen’ lineaire vergelijkingen, of het belang van identiteitstransformaties

Ondanks het feit dat alles op het eerste gezicht uiterst eenvoudig is, moet je voorzichtig zijn bij het oplossen van vergelijkingen, omdat lineaire vergelijkingen niet alleen vergelijkingen van dit type worden genoemd, maar ook alle vergelijkingen die door transformaties en vereenvoudigingen tot dit type kunnen worden herleid. Bijvoorbeeld:

We zien wat rechts staat, wat in theorie al aangeeft dat de vergelijking niet lineair is. Bovendien, als we de haakjes openen, krijgen we nog twee termen waarin het zal zijn: maar trek niet te snel conclusies! Voordat u kunt beoordelen of een vergelijking lineair is, is het noodzakelijk om alle transformaties uit te voeren en zo het oorspronkelijke voorbeeld te vereenvoudigen. In dit geval kunnen transformaties het uiterlijk veranderen, maar niet de essentie van de vergelijking.

Met andere woorden: de transformatiegegevens moeten dat zijn identiek of equivalent. Er zijn slechts twee van zulke transformaties, maar ze spelen een heel, ZEER belangrijke rol bij het oplossen van problemen. Laten we beide transformaties bekijken aan de hand van specifieke voorbeelden.

Overdracht links - rechts.

Laten we zeggen dat we de volgende vergelijking moeten oplossen:

Zelfs op de basisschool werd ons verteld: “met X’en – naar links, zonder X’en – naar rechts.” Welke uitdrukking met een X staat rechts? Dat klopt, maar niet hoe niet. En dit is belangrijk, want als deze ogenschijnlijk eenvoudige vraag verkeerd wordt begrepen, komt het verkeerde antwoord naar voren. Welke uitdrukking met een X staat links? Rechts, .

Nu we dit hebben uitgezocht, verplaatsen we alle termen met onbekenden naar de linkerkant, en alles wat bekend is naar rechts, waarbij we onthouden dat als er bijvoorbeeld geen teken voor het getal staat, het getal positief is , dat wil zeggen, er staat een bord ervoor " "

Overgedragen? Wat heb je gekregen?

Het enige wat nog moet gebeuren is het invoeren van vergelijkbare voorwaarden. Wij presenteren:

We hebben dus met succes de eerste identieke transformatie geanalyseerd, hoewel ik er zeker van ben dat je deze al kende en actief gebruikte zonder mij. Het belangrijkste is om de tekens van getallen niet te vergeten en ze in het tegenovergestelde te veranderen bij het overbrengen via het gelijkteken!

Vermenigvuldiging-deling.

Laten we meteen beginnen met een voorbeeld

Laten we eens kijken en nadenken: wat vinden we niet leuk aan dit voorbeeld? Het onbekende zit allemaal in één deel, het bekende zit in een ander deel, maar iets houdt ons tegen... En dit iets is een vier, want als het niet zou bestaan, zou alles perfect zijn - x is gelijk aan een getal - precies zoals wij nodig hebben!

Hoe kun je er vanaf komen? We kunnen hem niet naar rechts verplaatsen, want dan moeten we de hele vermenigvuldiger verplaatsen (we kunnen hem niet pakken en ervan afscheuren), en de hele vermenigvuldiger verplaatsen heeft ook geen zin...

Het is tijd om te onthouden over deling, dus laten we alles delen door! Alles - dit betekent zowel de linker- als de rechterkant. Op deze manier en alleen op deze manier! Wat doen we?

Hier is het antwoord.

Laten we nu naar een ander voorbeeld kijken:

Kunt u raden wat er in dit geval moet gebeuren? Dat klopt, vermenigvuldig de linker- en rechterkant met! Welk antwoord heb je gekregen? Rechts. .

Je wist vast al alles over identiteitstransformaties. Bedenk dat we deze kennis eenvoudigweg in uw geheugen hebben opgefrist en dat het tijd is voor iets meer - bijvoorbeeld om ons grote voorbeeld op te lossen:

Zoals we eerder zeiden, kun je, als je ernaar kijkt, niet zeggen dat deze vergelijking lineair is, maar we moeten de haakjes openen en identieke transformaties uitvoeren. Dus laten we beginnen!

Om te beginnen herinneren we ons de formules voor verkorte vermenigvuldiging, in het bijzonder het kwadraat van de som en het kwadraat van het verschil. Als je niet meer weet wat het is en hoe de haakjes worden geopend, raad ik je ten zeerste aan het onderwerp te lezen, omdat deze vaardigheden van pas zullen komen bij het oplossen van bijna alle voorbeelden die je op het examen tegenkomt.
Onthuld? Laten we vergelijken:

Nu is het tijd om soortgelijke termen te introduceren. Weet je nog hoe ze in diezelfde basisschool tegen ons zeiden: “Plaats geen vliegen en schnitzels bij elkaar”? Hier herinner ik u hieraan. We voegen alles afzonderlijk toe: factoren die dat wel hebben, factoren die dat wel hebben en de overige factoren die geen onbekenden hebben. Wanneer u vergelijkbare termen gebruikt, verplaatst u alle onbekenden naar links en alles wat bekend is naar rechts. Wat heb je gekregen?

Zoals je kunt zien zijn de X's in het vierkant verdwenen en zien we iets volkomen normaals. lineaire vergelijking. Het enige dat overblijft is het vinden!

En tot slot zal ik nog iets heel belangrijks zeggen over identiteitstransformaties: identiteitstransformaties zijn niet alleen van toepassing op lineaire vergelijkingen, maar ook op kwadratische, fractioneel-rationele en andere. Je hoeft alleen maar te onthouden dat wanneer we factoren via het gelijkteken overbrengen, we het teken naar het tegenovergestelde veranderen, en wanneer we delen of vermenigvuldigen met een getal, we beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen/delen met hetzelfde getal.

Wat heb je nog meer uit dit voorbeeld meegenomen? Dat het door naar een vergelijking te kijken niet altijd mogelijk is om direct en nauwkeurig te bepalen of deze lineair is of niet. Het is noodzakelijk om eerst de uitdrukking volledig te vereenvoudigen, en pas dan te beoordelen wat het is.

Lineaire vergelijkingen. Voorbeelden.

Hier zijn nog een paar voorbeelden die je zelf kunt oefenen: bepaal of de vergelijking lineair is en zo ja, zoek de wortels ervan:

Antwoorden:

1. Is.

2. Is niet.

Laten we de haakjes openen en soortgelijke termen presenteren:

Laten we een identieke transformatie uitvoeren - verdeel de linker- en rechterkant in:

We zien dat de vergelijking niet lineair is, dus het is niet nodig om naar de wortels te zoeken.

3. Is.

Laten we een identieke transformatie uitvoeren: vermenigvuldig de linker- en rechterkant met om de noemer kwijt te raken.

Bedenk eens waarom het zo belangrijk is dat? Als u het antwoord op deze vraag weet, ga dan verder met het oplossen van de vergelijking; als dat niet het geval is, kijk dan zeker naar het onderwerp om geen fouten te maken in complexere voorbeelden. Trouwens, zoals je kunt zien, is de situatie onmogelijk. Waarom?
Dus laten we doorgaan en de vergelijking herschikken:

Als je alles zonder problemen hebt beheerd, laten we het dan hebben over lineaire vergelijkingen met twee variabelen.

Lineaire vergelijkingen in twee variabelen

Laten we nu verder gaan met iets complexer: lineaire vergelijkingen met twee variabelen.

Lineaire vergelijkingen met twee variabelen heeft de vorm:

Waar, en - alle cijfers en.

Zoals u kunt zien, is het enige verschil dat er een andere variabele aan de vergelijking wordt toegevoegd. En dus is alles hetzelfde: er is geen x-kwadraat, geen deling door een variabele, enz. enzovoort.

Wat voor soort levensvoorbeeld kan ik je geven... Laten we dezelfde Vasya nemen. Laten we zeggen dat hij besloot dat hij elk van de drie vrienden hetzelfde aantal appels zou geven en de appels voor zichzelf zou houden. Hoeveel appels moet Vasya kopen als hij elke vriend een appel geeft? Hoe zit het met? Wat als door?

De relatie tussen het aantal appels dat elke persoon zal ontvangen en het totale aantal appels dat moet worden gekocht, wordt uitgedrukt door de vergelijking:

- het aantal appels dat iemand krijgt (, of, of);
- het aantal appels dat Vasya voor zichzelf zal nemen;
- Hoeveel appels moet Vasya kopen, rekening houdend met het aantal appels per persoon?

Als we dit probleem oplossen, begrijpen we dat als Vasya een vriend een appel geeft, hij stukjes moet kopen, als hij appels geeft, enz.

En in het algemeen gesproken. We hebben twee variabelen. Waarom zou je deze relatie niet in een grafiek uitzetten? We bouwen en markeren de waarde van de onze, dat wil zeggen punten, met coördinaten, en!

Zoals je kunt zien, zijn ze van elkaar afhankelijk lineair, vandaar de naam van de vergelijkingen - “ lineair».

Laten we abstracteren van appels en grafisch naar verschillende vergelijkingen kijken. Kijk goed naar de twee geconstrueerde grafieken: een rechte lijn en een parabool, gespecificeerd door willekeurige functies:

Zoek en markeer de overeenkomstige punten in beide afbeeldingen.
Wat heb je gekregen?

Dat zie je op de grafiek van de eerste functie alleen komt overeen een, dat wil zeggen dat ze ook lineair van elkaar afhankelijk zijn, wat niet gezegd kan worden over de tweede functie. Je kunt natuurlijk beweren dat in de tweede grafiek de x - ook overeenkomt, maar dit is slechts één punt, dat wil zeggen een speciaal geval, omdat je er nog steeds een kunt vinden die overeenkomt met meer dan één punt. En de geconstrueerde grafiek lijkt op geen enkele manier op een lijn, maar is een parabool.

Ik herhaal, nog een keer: de grafiek van een lineaire vergelijking moet een RECHTE lijn zijn.

Met het feit dat de vergelijking niet lineair zal zijn als we tot op zekere hoogte gaan - dit wordt duidelijk aan de hand van het voorbeeld van een parabool, hoewel je bijvoorbeeld nog een paar eenvoudige grafieken voor jezelf kunt bouwen of. Maar ik verzeker je: geen van hen zal een RECHTE LIJN zijn.

Niet geloven? Bouw het en vergelijk het met wat ik heb:

Wat gebeurt er als we iets delen door bijvoorbeeld een getal? Zal er een lineair verband zijn en? Laten we geen ruzie maken, maar laten we bouwen! Laten we bijvoorbeeld een grafiek van een functie maken.

Op de een of andere manier lijkt het er niet op dat het als een rechte lijn is opgebouwd... dienovereenkomstig is de vergelijking niet lineair.
Laten we het samenvatten:

Lineaire vergelijking - is een algebraïsche vergelijking waarin de totale graad van de samenstellende polynomen gelijk is.
Lineaire vergelijking met één variabele heeft de vorm:
, waar en zijn eventuele getallen;
Lineaire vergelijking met twee variabelen:
, waar, en zijn eventuele getallen.
Het is niet altijd mogelijk om onmiddellijk te bepalen of een vergelijking lineair is of niet. Om dit te begrijpen is het soms nodig om identieke transformaties uit te voeren, soortgelijke termen naar links/rechts te verplaatsen, en niet te vergeten het teken te veranderen, of beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen/delen met hetzelfde getal.

LINEAIRE VERGELIJKINGEN. KORT OVER DE BELANGRIJKSTE DINGEN

1. Lineaire vergelijking

Dit is een algebraïsche vergelijking waarin de totale graad van de samenstellende polynomen gelijk is.

2. Lineaire vergelijking met één variabele heeft de vorm:

Waar en zijn eventuele cijfers;

3. Lineaire vergelijking met twee variabelen heeft de vorm:

Waar, en - alle cijfers.

4. Identiteitstransformaties

Om te bepalen of een vergelijking lineair is of niet, is het noodzakelijk identieke transformaties uit te voeren:

verplaats soortgelijke termen naar links/rechts en vergeet niet het teken te veranderen;
vermenigvuldig/deel beide zijden van de vergelijking door hetzelfde getal.

Word een YouClever-student,

Bereid je voor op het Unified State Exam of Unified State Exam in wiskunde,

En krijg ook zonder beperkingen toegang tot het YouClever-leerboek...

Een vergelijking met één onbekende, die, na het openen van de haakjes en het invoeren van vergelijkbare termen, de vorm aanneemt

bijl + b = 0, waarbij a en b willekeurige getallen zijn, wordt genoemd lineaire vergelijking met één onbekende. Vandaag gaan we uitzoeken hoe we deze lineaire vergelijkingen kunnen oplossen.

Alle vergelijkingen:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineair.

De waarde van het onbekende die de vergelijking in een echte gelijkheid verandert, wordt genoemd beslissing of wortel van de vergelijking .

Als we bijvoorbeeld in de vergelijking 3x + 7 = 13 in plaats van de onbekende x het getal 2 vervangen, verkrijgen we de juiste gelijkheid 3 2 +7 = 13. Dit betekent dat de waarde x = 2 de oplossing of wortel is van de vergelijking.

En de waarde x = 3 verandert de vergelijking 3x + 7 = 13 niet in een echte gelijkheid, aangezien 3 2 +7 ≠ 13. Dit betekent dat de waarde x = 3 geen oplossing of wortel van de vergelijking is.

Het oplossen van lineaire vergelijkingen komt neer op het oplossen van vergelijkingen van de vorm

bijl + b = 0.

Laten we de vrije term van de linkerkant van de vergelijking naar rechts verplaatsen en het teken voor b naar het tegenovergestelde veranderen, we krijgen

Als a ≠ 0, dan is x = ‒ b/a .

Voorbeeld 1. Los de vergelijking 3x + 2 =11 op.

Laten we 2 van de linkerkant van de vergelijking naar rechts verplaatsen en het teken voor 2 naar het tegenovergestelde veranderen, we krijgen
3x = 11 – 2.

Laten we dan de aftrekking doen
3x = 9.

Om x te vinden, moet je het product delen door een bekende factor
x = 9:3.

Dit betekent dat de waarde x = 3 de oplossing of wortel van de vergelijking is.

Antwoord: x = 3.

Als a = 0 en b = 0, dan krijgen we de vergelijking 0x = 0. Deze vergelijking heeft oneindig veel oplossingen, want als we een willekeurig getal met 0 vermenigvuldigen, krijgen we 0, maar b is ook gelijk aan 0. De oplossing voor deze vergelijking is een willekeurig getal.

Voorbeeld 2. Los de vergelijking 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 op.

Laten we de haakjes uitbreiden:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Hier zijn enkele vergelijkbare termen:
0x = 0.

Antwoord: x - elk getal.

Als a = 0 en b ≠ 0, dan krijgen we de vergelijking 0x = - b. Deze vergelijking heeft geen oplossingen, want als we een willekeurig getal met 0 vermenigvuldigen, krijgen we 0, maar b ≠ 0.

Voorbeeld 3. Los de vergelijking x + 8 = x + 5 op.

Laten we termen die onbekenden bevatten aan de linkerkant groeperen, en vrije termen aan de rechterkant:
x – x = 5 – 8.

Hier zijn enkele vergelijkbare termen:
0х = ‒ 3.

Antwoord: geen oplossingen.

Op Figuur 1 toont een diagram voor het oplossen van een lineaire vergelijking

Laten we een algemeen schema opstellen voor het oplossen van vergelijkingen met één variabele. Laten we de oplossing van voorbeeld 4 eens bekijken.

Voorbeeld 4. Stel dat we de vergelijking moeten oplossen

1) Vermenigvuldig alle termen van de vergelijking met het kleinste gemene veelvoud van de noemers, gelijk aan 12.

2) Na reductie krijgen we
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Om termen die onbekende en vrije termen bevatten te scheiden, opent u de haakjes:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Laten we in het ene deel de termen groeperen die onbekenden bevatten, en in het andere - vrije termen:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Laten we soortgelijke termen presenteren:
- 22x = - 154.

6) Deel door – 22, we krijgen
x = 7.

Zoals je kunt zien, is de wortel van de vergelijking zeven.

Over het algemeen zo vergelijkingen kunnen worden opgelost met behulp van het volgende schema:

a) breng de vergelijking naar de gehele vorm;

b) open de beugels;

c) groepeer de termen die het onbekende bevatten in het ene deel van de vergelijking, en de vrije termen in het andere deel;

d) breng soortgelijke leden mee;

e) los een vergelijking op van de vorm aх = b, die werd verkregen na het invoeren van vergelijkbare termen.

Dit schema is echter niet voor elke vergelijking nodig. Bij het oplossen van veel eenvoudigere vergelijkingen moet je niet vanaf de eerste beginnen, maar vanaf de tweede ( Voorbeeld. 2), derde ( Voorbeeld. 13) en zelfs vanaf de vijfde fase, zoals in voorbeeld 5.

Voorbeeld 5. Los de vergelijking 2x = 1/4 op.

Vind de onbekende x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Laten we eens kijken naar het oplossen van enkele lineaire vergelijkingen uit het hoofdstaatsexamen.

Voorbeeld 6. Los de vergelijking 2 (x + 3) = 5 – 6x op.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Antwoord: - 0,125

Voorbeeld 7. Los de vergelijking op – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Antwoord: 2.3

Voorbeeld 8. Los De vergelijking op

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Voorbeeld 9. Vind f(6) als f (x + 2) = 3 7's

Oplossing

Omdat we f(6) moeten vinden, en we weten f (x + 2),
dan x + 2 = 6.

We lossen de lineaire vergelijking x + 2 = 6 op,
we krijgen x = 6 – 2, x = 4.

Als x = 4 dan
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Antwoord: 27.

Als je nog vragen hebt of het oplossen van vergelijkingen beter wilt begrijpen, meld je dan aan voor mijn lessen in het SCHEMA. Ik help je graag verder!

TutorOnline raadt u ook aan een nieuwe videoles van onze docent Olga Alexandrovna te bekijken, die u zal helpen zowel lineaire vergelijkingen als andere te begrijpen.

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.