Hoe de helling te vinden. Hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek

Leer afgeleiden van functies te nemen. De afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een bepaald punt dat in de grafiek van deze functie ligt. In dit geval kan de grafiek een rechte of een gebogen lijn zijn. Dat wil zeggen, de afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een specifiek tijdstip. Onthoud de algemene regels volgens welke derivaten worden genomen, en ga dan pas verder met de volgende stap.

• Lees het artikel.
• Er wordt beschreven hoe u de eenvoudigste afgeleiden kunt nemen, bijvoorbeeld de afgeleide van een exponentiële vergelijking. De berekeningen die in de volgende stappen worden gepresenteerd, zullen gebaseerd zijn op de daarin beschreven methoden.

Leer problemen te onderscheiden waarbij de hellingscoëfficiënt moet worden berekend via de afgeleide van een functie. Bij problemen wordt u niet altijd gevraagd de helling of afgeleide van een functie te vinden. U kunt bijvoorbeeld worden gevraagd om de veranderingssnelheid van een functie op punt A(x,y) te bepalen. Mogelijk wordt u ook gevraagd de helling van de raaklijn in punt A(x,y) te bepalen. In beide gevallen is het noodzakelijk om de afgeleide van de functie te nemen.

Neem de afgeleide van de functie die je hebt gekregen. Het is niet nodig om hier een grafiek te bouwen - u hebt alleen de vergelijking van de functie nodig. Neem in ons voorbeeld de afgeleide van de functie f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Neem de afgeleide volgens de methoden die worden beschreven in het hierboven genoemde artikel:

Vervang de coördinaten van het gegeven punt in de gevonden afgeleide om de helling te berekenen. De afgeleide van een functie is gelijk aan de helling op een bepaald punt. Met andere woorden, f"(x) is de helling van de functie op elk punt (x,f(x)). In ons voorbeeld:

In cartesiaanse coördinaten wordt elke rechte lijn bepaald door een vergelijking van de eerste graad en omgekeerd bepaalt elke vergelijking van de eerste graad een rechte lijn.

Vergelijking van de vorm

wordt de algemene vergelijking van een lijn genoemd.

De hoek die wordt bepaald zoals weergegeven in de figuur, wordt de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as genoemd. De raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn aan de Ox-as wordt de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn genoemd; het wordt meestal aangegeven met de letter k:

De vergelijking wordt de vergelijking van een rechte lijn met een helling genoemd; k is de hoekcoëfficiënt, b is de waarde van het segment dat wordt afgesneden door de rechte lijn op de Oy-as, gerekend vanaf de oorsprong.

Als een rechte lijn wordt gegeven door de algemene vergelijking

,

vervolgens wordt de hoekcoëfficiënt bepaald door de formule

Vergelijking is de vergelijking van een rechte lijn die door het punt (, ) gaat en een hoekcoëfficiënt k heeft.

Als een rechte lijn door punten (, ), (, ) gaat, wordt de helling ervan bepaald door de formule

Vergelijking

is de vergelijking van een lijn die door twee punten (, ) en (, ) gaat.

Als de hoekcoëfficiënten van twee rechte lijnen bekend zijn, wordt een van de hoeken tussen deze rechte lijnen bepaald door de formule

.

Een teken van evenwijdigheid van twee rechte lijnen is de gelijkheid van hun hoekcoëfficiënten:

Een teken van loodrechtheid van twee rechte lijnen is de verhouding, of.

Met andere woorden: de hoekcoëfficiënten van loodrechte lijnen zijn in absolute waarde omgekeerd en in teken tegengesteld.

4. Algemene vergelijking van een lijn

Vergelijking

Ah+Bu+C=0

(Waar A, B, C kan elke waarde hebben, zolang de coëfficiënten maar zijn A, B waren niet beide nullen tegelijk) vertegenwoordigt rechte lijn. Elke rechte lijn kan worden weergegeven door een vergelijking van dit type. Daarom bellen ze hem algemene vergelijking van de lijn.

Als AX, dan vertegenwoordigt het een rechte lijn, evenwijdig aan de OX-as.

Als IN=0, dat wil zeggen dat de vergelijking niet bevat bij, dan vertegenwoordigt het een rechte lijn, evenwijdig aan de OY-as.

Kogla IN niet gelijk is aan nul, dan kan de algemene vergelijking van een rechte lijn dat wel zijn oplossen ten opzichte van de ordinaatbij , vervolgens wordt het omgezet naar het formulier

(Waar a=-A/B; b=-C/B).

Zo ook wanneer A niet nul is, kan de algemene vergelijking van een rechte lijn worden opgelost met betrekking tot X.

Als MET=0, dat wil zeggen dat de algemene vergelijking van een lijn geen vrije term bevat, maar vertegenwoordigt een lijn die door de oorsprong gaat

5. Vergelijking van een rechte lijn die door een bepaald punt gaat met een gegeven helling

Vergelijking van een lijn die door een bepaald punt gaat A(X 1 , j 1) in een bepaalde richting, bepaald door de helling k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Deze vergelijking definieert een potlood van lijnen die door een punt gaan A(X 1 , j 1), dat het straalcentrum wordt genoemd.

6. vergelijking van een lijn die door twee gegeven punten gaat.

. Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat: A(X 1 , j 1) en B(X 2 , j 2), zo geschreven:

De hoekcoëfficiënt van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, wordt bepaald door de formule

7. Vergelijking van een lijn in segmenten

Als we in de algemene vergelijking van een lijn , en vervolgens (1) delen door , de vergelijking van de lijn in segmenten verkrijgen

Waar , . De rechte lijn snijdt de as in een punt, de as in een punt.

8. Formule: Hoek tussen rechte lijnen in een vlak

U Doel α tussen twee rechte lijnen gegeven door de vergelijkingen: j=k 1 x+b 1 (eerste regel) en j=k 2 x+b 2 (tweede rechte lijn), kan worden berekend met de formule (de hoek wordt gemeten vanaf de 1e rechte lijn naar de 2e tegen de klok in ):

9. De relatieve positie van twee lijnen in een vlak.

Laat beide nu vergelijkingen rechte lijnen worden in algemene vorm geschreven.

Stelling. Laten

- algemeen vergelijkingen twee rechte lijnen coördineren Oxy-vliegtuig. Dan

1) als, dan direct en samenvallen;

2) als , dan recht en

parallel;

3) als, dan direct snijden.

Bewijs. De toestand is gelijkwaardig aan collineariteit van normaal vectoren directe gegevens:

Daarom, als, dan direct snijden.

Als , dan , , en vergelijking direct neemt de vorm aan:

Of , d.w.z. direct overeenkomst. Merk op dat de evenredigheidscoëfficiënt, anders alle coëfficiënten van het algemeen vergelijkingen zou gelijk zijn aan nul, wat onmogelijk is.

Als direct niet samenvallen en elkaar niet snijden, dan blijft het geval bestaan, d.w.z. direct parallel.

De stelling is bewezen.

Het onderwerp “De hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek” krijgt verschillende taken in het certificeringsexamen. Afhankelijk van hun toestand kan van de afgestudeerde worden verlangd dat hij een volledig of een kort antwoord geeft. Bij de voorbereiding op het afleggen van het Unified State Exam in Mathematics moet de student zeker de taken herhalen waarbij het nodig is om de hoekcoëfficiënt van de raaklijn te berekenen.

Het educatieve portaal Shkolkovo helpt u hierbij. Onze specialisten hebben theoretisch en praktisch materiaal op een zo toegankelijke manier voorbereid en gepresenteerd. Nadat ze ermee vertrouwd zijn geraakt, kunnen afgestudeerden van elk opleidingsniveau met succes problemen oplossen die verband houden met afgeleiden, waarbij het nodig is om de raaklijn van de raakhoek te vinden.

Hoogtepunten

Om de juiste en rationele oplossing voor dergelijke taken in het Unified State Exam te vinden, is het noodzakelijk om de basisdefinitie te onthouden: de afgeleide vertegenwoordigt de veranderingssnelheid van een functie; het is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek die op een bepaald punt aan de grafiek van de functie wordt getrokken. Het is net zo belangrijk om de tekening te voltooien. Hiermee kunt u de juiste oplossing vinden voor GEBRUIK-problemen met de afgeleide, waarbij u de raaklijn van de raakhoek moet berekenen. Voor de duidelijkheid is het het beste om de grafiek in het OXY-vlak te tekenen.

Als u al vertrouwd bent met het basismateriaal over het onderwerp afgeleiden en klaar bent om problemen op te lossen bij het berekenen van de raaklijn van de raaklijnhoek, vergelijkbaar met de Unified State Examination-taken, kunt u dit online doen. Voor elke taak, bijvoorbeeld problemen met het onderwerp 'Relatie van een afgeleide met de snelheid en versnelling van een lichaam', hebben we het juiste antwoord- en oplossingsalgoritme opgeschreven. Tegelijkertijd kunnen studenten oefenen met het uitvoeren van taken met verschillende niveaus van complexiteit. Indien nodig kan de oefening worden opgeslagen in de sectie “Favorieten”, zodat u de oplossing later met de docent kunt bespreken.

Problemen bij het vinden van de afgeleide van een raaklijn zijn opgenomen in het Unified State Examination in Mathematics en worden daar elk jaar aangetroffen. Tegelijkertijd blijkt uit statistieken van de afgelopen jaren dat dergelijke taken bepaalde problemen voor afgestudeerden veroorzaken. Daarom, als een student goede scores verwacht te behalen na het behalen van het Unified State Exam, dan moet hij zeker leren hoe hij met de problemen moet omgaan uit de sectie 'Hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de waarde van de afgeleide op het raakpunt'. opgesteld door specialisten van het educatieve portaal Shkolkovo. Nadat hij het algoritme heeft begrepen om ze op te lossen, kan de student de certificeringstest met succes overwinnen.

Hoogtepunten

Wanneer u begint met het oplossen van USE-problemen over dit onderwerp, is het noodzakelijk om de basisdefinitie te onthouden: de afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dit punt. Dit is de geometrische betekenis van de afgeleide.

Er is nog een belangrijke definitie die vernieuwd moet worden. Het klinkt als volgt: de hoekcoëfficiënt is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek van de raaklijn aan de abscis-as.

Welke andere belangrijke punten zijn het vermelden waard in dit onderwerp? Bij het oplossen van problemen bij het vinden van de afgeleide in het Unified State Examination, is het noodzakelijk om te onthouden dat de hoek gevormd door de raaklijn kleiner, groter dan 90 graden of gelijk aan nul kan zijn.

Hoe bereid je je voor op het examen?

Om ervoor te zorgen dat taken in het Unified State Examination over het onderwerp "De hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de waarde van de afgeleide op het raakpunt" vrij gemakkelijk aan u worden gegeven, gebruikt u bij de voorbereiding op de laatste test de informatie hierover sectie over het educatieve portaal Shkolkovo. Hier vindt u het nodige theoretische materiaal, verzameld en overzichtelijk gepresenteerd door onze specialisten, en kunt u ook oefenen met het uitvoeren van de oefeningen.

Voor elke taak, bijvoorbeeld problemen met het onderwerp 'De hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek', schreven we het juiste antwoord- en oplossingsalgoritme op. Tegelijkertijd kunnen studenten online oefeningen van verschillende moeilijkheidsgraden uitvoeren. Indien nodig kunt u de taak opslaan in de sectie “Favorieten”, zodat u de oplossing later met de docent kunt bespreken.

In het vorige hoofdstuk werd aangetoond dat we, door een bepaald coördinatensysteem op het vlak te kiezen, de geometrische eigenschappen die de punten van de beschouwde lijn karakteriseren analytisch kunnen uitdrukken door een vergelijking tussen de huidige coördinaten. Zo krijgen we de vergelijking van de lijn. In dit hoofdstuk wordt gekeken naar vergelijkingen van rechte lijnen.

Om een ​​vergelijking voor een rechte lijn in cartesiaanse coördinaten te maken, moet je op de een of andere manier de voorwaarden instellen die de positie ervan ten opzichte van de coördinatenassen bepalen.

Eerst zullen we het concept van de hoekcoëfficiënt van een lijn introduceren, wat een van de grootheden is die de positie van een lijn in een vlak karakteriseert.

Laten we de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as de hoek noemen waarover de Ox-as moet worden gedraaid zodat deze samenvalt met de gegeven lijn (of evenwijdig daaraan is). Zoals gewoonlijk houden we rekening met de hoek, rekening houdend met het teken (het teken wordt bepaald door de draairichting: tegen de klok in of met de klok mee). Omdat een extra rotatie van de Ox-as over een hoek van 180° deze weer op één lijn brengt met de rechte lijn, kan de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de as niet eenduidig ​​worden gekozen (tot binnen een termijn een veelvoud van ).

De raaklijn van deze hoek wordt op unieke wijze bepaald (aangezien het veranderen van de hoek de raaklijn niet verandert).

De raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn aan de Ox-as wordt de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn genoemd.

De hoekcoëfficiënt karakteriseert de richting van de rechte lijn (we maken hier geen onderscheid tussen twee onderling tegengestelde richtingen van de rechte lijn). Als de helling van een lijn nul is, dan is de lijn evenwijdig aan de x-as. Bij een positieve hoekcoëfficiënt zal de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as acuut zijn (we beschouwen hier de kleinste positieve waarde van de hellingshoek) (Fig. 39); Bovendien, hoe groter de hoekcoëfficiënt, hoe groter de hoek van de helling ten opzichte van de Ox-as. Als de hoekcoëfficiënt negatief is, zal de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as stomp zijn (Fig. 40). Merk op dat een rechte lijn loodrecht op de Ox-as geen hoekcoëfficiënt heeft (de raaklijn van de hoek bestaat niet).