Voorbeelden van het vinden van extreme punten van een functie. Wat zijn extrema van een functie: kritische punten van maximum en minimum

Door te gebruiken van deze dienst Kan vind de grootste en kleinste waarde van een functieéén variabele f(x) met de oplossing opgemaakt in Word. Als de functie f(x,y) gegeven is, is het daarom noodzakelijk om het uiterste van de functie van twee variabelen te vinden. U kunt ook de intervallen van stijgende en dalende functies vinden.

Regels voor het invoeren van functies:

Noodzakelijke voorwaarde voor het extremum van een functie van één variabele

Voldoende voorwaarde voor het extremum van een functie van één variabele

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dan is punt x * het punt van het lokale (globale) minimum van de functie.

Als op punt x * aan de voorwaarde is voldaan:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dan is punt x* een lokaal (globaal) maximum.

Voorbeeld nr. 1. Zoek de grootste en kleinste waarden van de functie: op het segment.
Oplossing.

Het kritische punt is één x 1 = 2 (f’(x)=0). Dit punt behoort tot het segment. (Het punt x=0 is niet kritisch, aangezien 0∉).
We berekenen de waarden van de functie aan de uiteinden van het segment en op het kritieke punt.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Antwoord: f min = 5 / 2 bij x=2; fmax =9 bij x=1

Voorbeeld nr. 2. Gebruik afgeleiden van hogere orde om het uiterste van de functie y=x-2sin(x) te vinden.
Oplossing.
Bereken de afgeleide van de functie: y’=1-2cos(x) . Laten we de kritische punten vinden: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. We vinden y’’=2sin(x), berekenen , wat betekent dat x= π / 3 +2πk, k∈Z de minimumpunten van de functie zijn; , wat betekent dat x=- π / 3 +2πk, k∈Z de maximale punten van de functie zijn.

Voorbeeld nr. 3. Onderzoek de extremumfunctie in de buurt van het punt x=0.
Oplossing. Hier is het noodzakelijk om de extrema van de functie te vinden. Als het extremum x=0, zoek dan het type ervan (minimum of maximum). Als er onder de gevonden punten geen x = 0 is, bereken dan de waarde van de functie f(x=0).
Opgemerkt moet worden dat wanneer de afgeleide aan elke kant van een bepaald punt zijn teken niet verandert, de mogelijke situaties niet uitgeput zijn, zelfs niet voor differentieerbare functies: het kan gebeuren dat voor een willekeurig kleine buurt aan één kant van het punt x 0 of aan beide zijden verandert de afgeleide van teken. Op deze punten is het noodzakelijk om andere methoden te gebruiken om functies voor extremum te bestuderen.

Definities:

Extreem heet het maximum of minimale waarde functies op een bepaalde set.

Extreem punt is het punt waarop de maximale of minimale waarde van de functie wordt bereikt.

Maximaal punt is het punt waarop de maximale waarde van de functie wordt bereikt.

Minimaal punt is het punt waarop de minimumwaarde van de functie wordt bereikt.

Uitleg.

In de figuur bereikt de functie in de buurt van het punt x = 3 zijn maximale waarde (dat wil zeggen, in de buurt van dit specifieke punt is er geen punt hoger). In de buurt van x = 8 heeft het opnieuw een maximale waarde (laten we het nogmaals verduidelijken: in deze buurt is er geen hoger punt). Op deze punten maakt de stijging plaats voor een daling. Dit zijn de maximale punten:

xmax = 3, xmax = 8.

In de buurt van het punt x = 5 wordt de minimumwaarde van de functie bereikt (dat wil zeggen, in de buurt van x = 5 is er geen punt eronder). Op dit punt maakt de daling plaats voor een stijging. Het is het minimumpunt:

De maximale en minimale punten zijn uiterste punten van de functie, en de waarden van de functie op deze punten zijn de zijne uitersten.

Kritieke en stationaire punten van de functie:

Noodzakelijke voorwaarde voor een extremum:

Voldoende voorwaarde voor een extremum:

Op een segment de functie j = F(X) kan zijn minimale of maximale waarde bereiken op kritieke punten of aan de uiteinden van het segment.

Algoritme voor het bestuderen van een continue functiej = F(X) voor monotoniciteit en extrema:

Toenemende, afnemende en extremen van een functie

Het vinden van intervallen van toenemende, afnemende en extremen van een functie gaat als volgt: een zelfstandige taak, Dus het belangrijkste onderdeel vooral andere taken volledige functionele studie. De eerste informatie over de toename, afname en extrema van de functie wordt gegeven in theoretisch hoofdstuk over afgeleide, wat ik ten zeerste aanbeveel voor voorstudie (of herhaling)– ook om de reden dat het volgende materiaal gebaseerd is op de zeer in wezen afgeleid, is een harmonieuze voortzetting van dit artikel. Hoewel, als de tijd kort is, een puur formele praktijk van de voorbeelden uit de les van vandaag ook mogelijk is.

En vandaag hangt er een geest van zeldzame unanimiteit in de lucht, en ik voel direct dat alle aanwezigen branden van verlangen Leer een functie verkennen met behulp van de afgeleide ervan. Daarom verschijnt er onmiddellijk redelijke, goede, eeuwige terminologie op uw beeldschermen.

Waarvoor? Eén van de redenen is de meest praktische: zodat duidelijk is wat er doorgaans van u wordt verlangd bij een bepaalde taak!

Monotoniciteit van de functie. Extreme punten en extrema van een functie

Laten we eens een functie bekijken. Simpel gezegd: we gaan ervan uit dat zij continu op de gehele getallenlijn:

Laten we, voor het geval dat, onmiddellijk mogelijke illusies wegnemen, vooral voor die lezers die er onlangs kennis mee hebben gemaakt intervallen met een constant teken van de functie. Nu wij NIET GEÏNTERESSEERD, hoe de grafiek van de functie zich bevindt ten opzichte van de as (boven, onder, waar de as elkaar snijdt). Om overtuigend te zijn, wis je mentaal de assen en laat je één grafiek achter. Want daar ligt de interesse.

Functie neemt toe op een interval als voor twee punten van dit interval verbonden door de relatie , de ongelijkheid waar is. Dat wil zeggen dat een grotere waarde van het argument overeenkomt met een grotere waarde van de functie, en de grafiek ervan gaat “van onder naar boven”. De demonstratiefunctie groeit over het interval.

Zo ook de functie neemt af op een interval als voor twee punten van een bepaald interval zodanig dat de ongelijkheid waar is. Dat wil zeggen dat een grotere waarde van het argument overeenkomt met een kleinere waarde van de functie, en de grafiek ervan gaat ‘van boven naar beneden’. Onze functie neemt met tussenpozen af .

Als een functie gedurende een interval toeneemt of afneemt, wordt deze aangeroepen strikt eentonig bij dit interval. Wat is monotonie? Begrijp binnen letterlijk– eentonigheid.

Je kunt ook definiëren niet-afnemend functie (ontspannen toestand in de eerste definitie) en niet-verhogend functie (verzachte toestand in de 2e definitie). Een niet-afnemende of niet-stijgende functie op een interval wordt een monotone functie op een bepaald interval genoemd (strikte monotonie - speciaal geval“gewoon” eentonigheid).

De theorie houdt ook rekening met andere benaderingen voor het bepalen van de toename/afname van een functie, inclusief op halve intervallen, segmenten, maar om geen olie-olie-olie over je hoofd te gieten, zullen we afspreken om te werken met open intervallen met categorische definities - dit is duidelijker en voldoende voor het oplossen van veel praktische problemen.

Dus, in mijn artikelen zal de bewoording ‘monotoniciteit van een functie’ vrijwel altijd verborgen blijven intervallen strikte monotonie(strikt stijgende of strikt dalende functie).

Buurt van een punt. Woorden waarna studenten wegrennen waar ze maar kunnen en zich vol afgrijzen in de hoeken verstoppen. ...Hoewel na de post Cauchy-limieten Ze verbergen zich waarschijnlijk niet langer, maar huiveren slechts een beetje =) Maak je geen zorgen, nu zullen er geen bewijzen zijn van stellingen van wiskundige analyse - ik had de omgeving nodig om de definities strikter te formuleren extreme punten. Laten we het volgende onthouden:

Buurt van een punt heet het interval dat bevat dit punt, terwijl gemakshalve vaak wordt aangenomen dat het interval symmetrisch is. Een punt en zijn standaardomgeving bijvoorbeeld:

Eigenlijk zijn de definities:

Het punt wordt genoemd strikt maximumpunt, Als bestaat haar buurt, voor iedereen waarden waarvan, behalve het punt zelf, de ongelijkheid. In ons specifieke voorbeeld is dit een punt.

Het punt wordt genoemd strikt minimumpunt, Als bestaat haar buurt, voor iedereen waarden waarvan, behalve het punt zelf, de ongelijkheid. In de tekening staat punt “a”.

Opmerking : de eis van buurtsymmetrie is helemaal niet nodig. Bovendien is het belangrijk het feit zelf van het bestaan buurt (klein of microscopisch klein) die aan de gespecificeerde voorwaarden voldoet

De punten worden genoemd strikt extreme punten of gewoon extreme punten functies. Dat wil zeggen, het is een algemene term voor maximale punten en minimumpunten.

Hoe moeten we het woord ‘extreem’ begrijpen? Ja, net zo direct als monotonie. Extreme punten van achtbanen.

Net als in het geval van monotoniciteit bestaan ​​er losse postulaten, die in theorie zelfs nog vaker voorkomen (waar de beschouwde strikte gevallen uiteraard onder vallen!):

Het punt wordt genoemd maximale punt, Als bestaat de omgeving is zodanig dat voor iedereen
Het punt wordt genoemd minimum punt, Als bestaat de omgeving is zodanig dat voor iedereen waarden van deze buurt, de ongelijkheid blijft bestaan.

Merk op dat volgens de laatste twee definities elk punt van een constante functie (of een “vlakke sectie” van een functie) zowel als een maximum- als een minimumpunt wordt beschouwd! De functie is overigens zowel niet-toenemend als niet-afnemend, dat wil zeggen monotoon. We zullen deze overwegingen echter aan theoretici overlaten, aangezien we in de praktijk bijna altijd traditionele ‘heuvels’ en ‘holen’ (zie tekening) beschouwen met een unieke ‘koning van de heuvel’ of ‘prinses van het moeras’. Als variëteit komt het voor tip, naar boven of naar beneden gericht, bijvoorbeeld het minimum van de functie op het punt.

Ja, trouwens, o royalty:
– de betekenis wordt genoemd maximaal functies;
– de betekenis wordt genoemd minimum functies.

Algemene naam – uitersten functies.

Wees alsjeblieft voorzichtig met je woorden!

Extreem punten– dit zijn “X”-waarden.
Uitersten– “spel”-betekenissen.

! Opmerking : soms verwijzen de vermelde termen naar de “X-Y”-punten die direct op de GRAFIEK VAN de functie ZELF liggen.

Hoeveel extrema kan een functie hebben?

Geen, 1, 2, 3, ... enz. tot in het oneindige. Sinus heeft bijvoorbeeld oneindig veel minima en maxima.

BELANGRIJK! De term "maximale functie" niet identiek de term “maximale waarde van een functie”. Het is gemakkelijk op te merken dat de waarde alleen maximaal is in een lokale buurt, en dat er linksboven ‘coolere kameraden’ zijn. Op dezelfde manier is het ‘minimum van een functie’ niet hetzelfde als de ‘minimumwaarde van een functie’, en in de tekening zien we dat de waarde alleen in een bepaald gebied minimaal is. In dit opzicht worden ook extreme punten genoemd lokale extremumpunten, en de extremen – lokale uitersten. Ze lopen en dwalen in de buurt en mondiaal broeders. Elke parabool heeft dus een hoekpunt mondiaal minimum of mondiaal maximum. Verder zal ik geen onderscheid maken tussen de soorten uitersten, en de verklaring is meer bedoeld voor algemene educatieve doeleinden - de aanvullende bijvoeglijke naamwoorden “lokaal”/“mondiaal” zouden je niet moeten verrassen.

Laten we onze korte excursie naar de theorie samenvatten met een testopname: wat betekent de taak 'de monotoniciteitsintervallen en uiterste punten van de functie vinden'?

De formulering moedigt u aan om het volgende te vinden:

– intervallen van toenemende/afnemende functie (niet-afnemend, niet-toenemend komt veel minder vaak voor);

– maximale en/of minimale punten (indien aanwezig). Om mislukkingen te voorkomen, is het beter om de minima/maxima zelf te vinden ;-)

Hoe dit allemaal te bepalen? Gebruik de afgeleide functie!

Hoe u intervallen kunt vinden van toenemende, afnemende,
extremumpunten en extrema van de functie?

Veel regels zijn in feite al bekend en begrepen les over de betekenis van een afgeleide.

Raaklijn afgeleide brengt het vrolijke nieuws dat de functionaliteit overal toeneemt domein van definitie.

Met cotangens en zijn afgeleide de situatie is precies het tegenovergestelde.

De boogsinus neemt toe over het interval - de afgeleide is hier positief: .
Wanneer de functie gedefinieerd is, maar niet differentieerbaar. Op het kritieke punt is er echter een rechtshandige afgeleide en een rechtshandige raaklijn, en aan de andere rand zijn er hun linkshandige tegenhangers.

Ik denk dat het niet zo moeilijk voor je zal zijn om een ​​soortgelijke redenering uit te voeren voor de boogcosinus en zijn afgeleide.

Alle bovengenoemde gevallen, waarvan er vele dat ook zijn afgeleiden in tabelvorm, ik herinner u eraan, volg rechtstreeks uit afgeleide definities.

Waarom een ​​functie onderzoeken met behulp van zijn afgeleide?

Om beter te begrijpen hoe de grafiek van deze functie eruit ziet: waar het “bottom-up” gaat, waar “top-down” gaat, waar het minima en maxima bereikt (als het überhaupt bereikt). Niet alle functies zijn zo eenvoudig - in de meeste gevallen hebben we helemaal geen idee van de grafiek van een bepaalde functie.

Het is tijd om verder te gaan met meer betekenisvolle voorbeelden en erover na te denken algoritme voor het vinden van intervallen van monotoniciteit en extrema van een functie:

Voorbeeld 1

Vind intervallen van toename/afname en extrema van de functie

Oplossing:

1) De eerste stap is vinden domein van een functie, en noteer ook de breekpunten (als deze bestaan). In dit geval is de functie continu over de gehele getallenlijn, en deze actie is tot op zekere hoogte formeel. Maar in een aantal gevallen laaien hier serieuze hartstochten op, dus laten we de paragraaf zonder minachting behandelen.

2) Het tweede punt van het algoritme is te wijten aan

een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum:

Als er op een bepaald punt een extremum is, bestaat de waarde ofwel niet.

Verward door het einde? Extremum van de functie "modulus x". .

De voorwaarde is noodzakelijk, maar niet genoeg, en het omgekeerde is niet altijd waar. Uit de gelijkheid volgt dus nog niet dat de functie een maximum of minimum bereikt op punt . Een klassiek voorbeeld is hierboven al benadrukt: dit is een kubieke parabool en zijn kritieke punt.

Maar hoe het ook zij, de noodzakelijke voorwaarde voor een extremum dicteert de noodzaak om verdachte punten te vinden. Om dit te doen, zoekt u de afgeleide en lost u de vergelijking op:

Aan het begin van het eerste artikel over functiegrafieken Ik heb je verteld hoe je snel een parabool kunt bouwen aan de hand van een voorbeeld : “...we nemen de eerste afgeleide en stellen deze gelijk aan nul: ...Dus de oplossing van onze vergelijking: - het is op dit punt dat de top van de parabool zich bevindt...”. Nu denk ik dat iedereen begrijpt waarom het hoekpunt van de parabool zich precies op dit punt bevindt =) Over het algemeen zouden we hier met een soortgelijk voorbeeld moeten beginnen, maar het is te simpel (zelfs voor een theepot). Bovendien is er helemaal aan het einde van de les een analogie over afgeleide van een functie. Laten we daarom de graad verhogen:

Voorbeeld 2

Vind intervallen van monotoniciteit en extrema van de functie

Dit is een voorbeeld voor onafhankelijke beslissing. Volledige oplossing en een geschat eindvoorbeeld van de taak aan het einde van de les.

Het langverwachte moment van ontmoeting met fractioneel-rationele functies is aangebroken:

Voorbeeld 3

Verken een functie met behulp van de eerste afgeleide

Let op hoe variabel een en dezelfde taak kan worden geherformuleerd.

Oplossing:

1) De functie lijdt aan oneindige discontinuïteiten op punten.

2) Wij detecteren kritische punten. Laten we de eerste afgeleide vinden en deze gelijkstellen aan nul:

Laten we de vergelijking oplossen. Een breuk is gelijk aan nul als de teller ervan bestaat gelijk aan nul:

We krijgen dus drie kritische punten:

3) We plotten ALLE gedetecteerde punten op de getallenlijn en interval methode we definiëren de tekens van de AFGELEIDE:

Ik herinner u eraan dat u een bepaald punt in het interval moet nemen en de waarde van de afgeleide ervan moet berekenen en bepaal het teken ervan. Het is winstgevender om niet eens te tellen, maar om mondeling te ‘schatten’. Laten we bijvoorbeeld een punt nemen dat bij het interval hoort en de vervanging uitvoeren: .

Twee ‘plusjes’ en één ‘minnetje’ geven dus een ‘minnetje’, wat betekent dat de afgeleide over het gehele interval negatief is.

De actie moet, zoals u begrijpt, voor elk van de zes intervallen worden uitgevoerd. Merk overigens op dat de teller en de noemer strikt positief zijn voor elk punt in elk interval, wat de taak aanzienlijk vereenvoudigt.

De afgeleide vertelde ons dus dat de FUNCTIE ZELF toeneemt met en daalt met . Het is handig om intervallen van hetzelfde type samen te voegen met het samenvoegpictogram.

Op het punt waarop de functie zijn maximum bereikt:
Op het punt bereikt de functie een minimum:

Bedenk waarom je de tweede waarde niet opnieuw hoeft te berekenen ;-)

Bij het passeren van een punt verandert de afgeleide niet van teken, dus de functie heeft daar GEEN EXTREMUM - hij nam af en bleef afnemend.

! Laten we herhalen belangrijk punt : punten worden niet als kritisch beschouwd - ze bevatten een functie niet gedefinieerd. Dienovereenkomstig, hier Er kunnen in principe geen extremen bestaan(zelfs als de afgeleide van teken verandert).

Antwoord: functie neemt toe met en neemt af met Op het punt waarop het maximum van de functie is bereikt: , en op het punt – het minimum: .

Kennis van monotoniciteitsintervallen en extrema, gekoppeld aan gevestigde asymptoten geeft al een heel goed beeld van verschijning grafische afbeeldingen. Een persoon met een gemiddelde opleiding kan mondeling vaststellen dat de grafiek van een functie twee verticale asymptoten en een schuine asymptoot heeft. Hier is onze held:

Probeer nogmaals de resultaten van het onderzoek te correleren met de grafiek van deze functie.
Er is geen extremum op het kritieke punt, maar dat is er wel grafiek verbuiging(wat in de regel in soortgelijke gevallen gebeurt).

Voorbeeld 4

Zoek de extrema van de functie

Voorbeeld 5

Vind monotoniciteitsintervallen, maxima en minima van de functie

…het is vandaag bijna een soort “X in a cube”-vakantie....
Zoooo, wie in de galerie bood aan hiervoor te drinken? =)

Elke opgave heeft zijn eigen inhoudelijke nuances en technische details, die aan het einde van de les worden becommentarieerd.

Het uiterste punt van een functie is het punt in het definitiedomein van de functie waarop de waarde van de functie een minimum- of maximumwaarde aanneemt. De waarden van de functie op deze punten worden extrema (minimum en maximum) van de functie genoemd.

Definitie. Punt X1 functie domein F(X) wordt genoemd maximumpunt van de functie , als de waarde van de functie op dit punt groter is dan de waarden van de functie op punten die er voldoende dichtbij zijn, rechts en links ervan gelegen (dat wil zeggen, de ongelijkheid geldt F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maximaal.

Definitie. Punt X2 functie domein F(X) wordt genoemd minimumpunt van de functie, als de waarde van de functie op dit punt kleiner is dan de waarden van de functie op punten die er voldoende dichtbij zijn, rechts en links ervan gelegen (dat wil zeggen, de ongelijkheid geldt F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In dit geval zeggen we dat de functie op het punt heeft X2 minimum.

Laten we zeggen punt X1 - maximumpunt van de functie F(X). Vervolgens in het interval tot X1 functie neemt toe, daarom is de afgeleide van de functie groter dan nul ( F "(X) > 0 ), en in het interval erna X1 de functie neemt af, dus afgeleide van een functie minder dan nul (F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Laten we ook aannemen dat dit het punt is X2 - minimumpunt van de functie F(X). Vervolgens in het interval tot X2 de functie neemt af en de afgeleide van de functie is kleiner dan nul ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 de functie neemt toe en de afgeleide van de functie is groter dan nul ( F "(X) > 0). In dit geval ook op het punt X2 de afgeleide van de functie is nul of bestaat niet.

Stelling van Fermat (een noodzakelijk teken van het bestaan ​​van een extremum van een functie). Als het punt X0 - uiterste punt van de functie F(X) dan is op dit punt de afgeleide van de functie gelijk aan nul ( F "(X) = 0 ) of bestaat niet.

Definitie. De punten waarop de afgeleide van een functie nul is of niet bestaat, worden aangeroepen kritische punten .

Voorbeeld 1. Laten we de functie eens bekijken.

Op het punt X= 0 de afgeleide van de functie is nul, dus het punt X= 0 is het kritieke punt. Zoals echter te zien is in de grafiek van de functie, neemt deze toe over het hele definitiedomein, dus het punt X= 0 is niet het uiterste punt van deze functie.

De voorwaarden dat de afgeleide van een functie op een punt gelijk is aan nul of niet bestaat, zijn dus noodzakelijke voorwaarden voor een extremum, maar niet voldoende, aangezien er andere voorbeelden kunnen worden gegeven van functies waarvoor aan deze voorwaarden is voldaan, maar de functie heeft geen extremum op het overeenkomstige punt. Dat is waarom er moet voldoende bewijs zijn, waardoor iemand kan beoordelen of er op een bepaald kritiek punt een extremum is en wat voor soort extremum het is: maximaal of minimaal.

Stelling (het eerste voldoende teken van het bestaan ​​van een extremum van een functie). Kritiek punt X0 F(X) als bij het passeren van dit punt de afgeleide van de functie van teken verandert, en als het teken verandert van "plus" in "min", dan is het een maximumpunt, en als van "min" naar "plus", dan het is een minimumpunt.

Als het dichtbij het punt is X0 , links en rechts ervan behoudt de afgeleide zijn teken, dit betekent dat de functie óf alleen maar afneemt óf alleen maar toeneemt in een bepaalde buurt van het punt X0 . In dit geval op het punt X0 er is geen extreem.

Dus, om de uiterste punten van de functie te bepalen, moet u het volgende doen :

1. Zoek de afgeleide van de functie.
2. Stel de afgeleide gelijk aan nul en bepaal de kritische punten.
3. Markeer mentaal of op papier de kritieke punten op de getallenlijn en bepaal de tekens van de afgeleide van de functie in de resulterende intervallen. Als het teken van de afgeleide verandert van “plus” naar “min”, dan is het kritische punt het maximumpunt, en als het van “min” naar “plus” gaat, dan het minimumpunt.
4. Bereken de waarde van de functie op de uiterste punten.

Voorbeeld 2. Zoek de extrema van de functie .

Oplossing. Laten we de afgeleide van de functie vinden:

Laten we de afgeleide gelijkstellen aan nul om de kritieke punten te vinden:

.

Omdat voor alle waarden van “x” de noemer niet gelijk is aan nul, stellen we de teller gelijk aan nul:

Ik heb één kritisch punt X= 3 . Laten we het teken van de afgeleide bepalen in de intervallen die door dit punt worden begrensd:

in het interval van minus oneindig tot 3 - een minteken, dat wil zeggen, de functie neemt af,

in het interval van 3 tot plus oneindig staat een plusteken, dat wil zeggen dat de functie toeneemt.

Dat wil zeggen, periode X= 3 is het minimumpunt.

Laten we de waarde van de functie op het minimumpunt vinden:

Het uiterste punt van de functie wordt dus gevonden: (3; 0), en dit is het minimumpunt.

Stelling (het tweede voldoende teken van het bestaan ​​van een extremum van een functie). Kritiek punt X0 is het uiterste punt van de functie F(X) als de tweede afgeleide van de functie op dit punt niet gelijk is aan nul ( F ""(X) ≠ 0), en als de tweede afgeleide groter is dan nul ( F ""(X) > 0 ), dan het maximumpunt, en als de tweede afgeleide kleiner is dan nul ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Opmerking 1. Indien op het punt X0 Als zowel de eerste als de tweede afgeleide verdwijnen, is het op dit punt onmogelijk om de aanwezigheid van een extremum te beoordelen op basis van het tweede voldoende criterium. In dit geval moet u het eerste voldoende criterium voor het extremum van een functie gebruiken.

Opmerking 2. Het tweede voldoendecriterium voor het extremum van een functie is niet van toepassing, zelfs niet als de eerste afgeleide niet bestaat in een stationair punt (dan bestaat de tweede afgeleide ook niet). In dit geval moet u ook het eerste voldoende teken van een extremum van een functie gebruiken.

Lokale aard van de extrema van de functie

Uit de bovenstaande definities volgt dat het extremum van een functie lokaal van aard is: het is de grootste en kleinste waarde van de functie vergeleken met nabijgelegen waarden.

Stel dat u uw inkomsten over een periode van één jaar bekijkt. Als u in mei 45.000 roebel heeft verdiend, en in april 42.000 roebel en in juni 39.000 roebel, dan zijn de inkomsten in mei het maximum van de inkomstenfunctie vergeleken met nabijgelegen waarden. Maar in oktober verdiende u 71.000 roebel, in september 75.000 roebel en in november 74.000 roebel, dus de inkomsten in oktober zijn het minimum van de inkomstenfunctie vergeleken met nabijgelegen waarden. En je kunt gemakkelijk zien dat het maximum onder de waarden van april-mei-juni kleiner is dan het minimum van september-oktober-november.

Over het algemeen kan een functie op een interval verschillende extremen hebben, en het kan blijken dat een bepaald minimum van de functie groter is dan enig maximum. Dus voor de functie die in de bovenstaande afbeelding wordt weergegeven, geldt .

Dat wil zeggen, je moet niet denken dat het maximum en het minimum van een functie respectievelijk de grootste en kleinste waarden zijn voor het gehele beschouwde segment. Op het maximale punt heeft de functie hoogste waarde alleen in vergelijking met die waarden die het op alle punten voldoende dicht bij het maximale punt heeft, en op het minimumpunt - de kleinste waarde alleen in vergelijking met die waarden die het op alle punten voldoende dicht bij het maximale punt heeft minimum punt.

Daarom kunnen we het bovenstaande concept van extreme punten van een functie verduidelijken en minimumpunten lokale minimumpunten noemen, en maximumpunten lokale maximumpunten.

Samen zoeken we naar de extrema van de functie

Voorbeeld 3.

Oplossing: De functie is gedefinieerd en loopt door op de gehele getallenlijn. Zijn afgeleide bestaat ook op de gehele getallenlijn. Daarom zijn in dit geval de kritische punten alleen die waarop, d.w.z. , van waar en . Kritieke punten en verdeel het hele domein van de definitie van de functie in drie intervallen van monotoniciteit: . Laten we in elk daarvan één controlepunt selecteren en op dit punt het teken van de afgeleide vinden.

Voor het interval kan het controlepunt zijn: vinden. Als we een punt in het interval nemen, krijgen we, en een punt in het interval nemen, hebben we. Dus in de intervallen en , en in het interval . Volgens het eerste voldoende criterium voor een extremum is er geen extremum op het punt (aangezien de afgeleide zijn teken in het interval behoudt), en heeft de functie op het punt een minimum (aangezien de afgeleide van teken verandert van min naar plus bij het passeren via dit punt). Laten we de overeenkomstige waarden van de functie vinden: , a . In het interval neemt de functie af, aangezien in dit interval , en in het interval neemt deze toe, aangezien in dit interval .

Om de constructie van de grafiek te verduidelijken, vinden we de snijpunten ervan met de coördinaatassen. Wanneer we een vergelijking verkrijgen waarvan de wortels en zijn, d.w.z. er zijn twee punten (0; 0) en (4; 0) van de grafiek van de functie gevonden. Met behulp van alle ontvangen informatie bouwen we een grafiek (zie het begin van het voorbeeld).

Voorbeeld 4. Vind de extrema van de functie en bouw de grafiek ervan.

Het domein van de definitie van een functie is de gehele getallenlijn, behalve het punt, d.w.z. .

Om de studie in te korten, kunt u gebruik maken van het feit dat deze functie even is, aangezien . Daarom is de grafiek symmetrisch rond de as Oei en het onderzoek kan alleen voor het interval worden uitgevoerd.

Het vinden van de afgeleide en kritische punten van de functie:

1) ;

2) ,

maar de functie lijdt op dit punt aan een discontinuïteit, dus het kan geen extreem punt zijn.

Dus, gegeven functie heeft twee kritieke punten: en . Rekening houdend met de pariteit van de functie, zullen we alleen het punt controleren met behulp van het tweede voldoende criterium voor een extremum. Om dit te doen, vinden we de tweede afgeleide en bepaal het teken op: we krijgen . Omdat en is dit het minimumpunt van de functie, en .

Om een ​​completer beeld te krijgen van de grafiek van een functie, gaan we kijken naar het gedrag ervan aan de grenzen van het definitiedomein:

(hier geeft het symbool het verlangen aan X naar nul vanaf rechts, en X blijft positief; betekent ook aspiratie X naar nul vanaf links, en X blijft negatief). Dus als, dan. Vervolgens vinden we

,

die. als, dan.

De grafiek van een functie heeft geen snijpunten met de assen. De afbeelding staat aan het begin van het voorbeeld.

Samen blijven we zoeken naar de extrema van de functie

Voorbeeld 8. Zoek de extrema van de functie.

Oplossing. Laten we het domein van de definitie van de functie vinden. Omdat aan de ongelijkheid moet worden voldaan, verkrijgen we uit .

Laten we de eerste afgeleide van de functie vinden:

Laten we de kritieke punten van de functie vinden.

(de linker en rechter afgeleiden zijn verschillend), maar neemt toe voor alle waarden van x, ook op punten = 0.

Opmerking 2. Op basis van “zachtere” omstandigheden kunnen we een directe stelling formuleren: als de afgeleide van een functie continu op een interval niet-negatief is, dan neemt de functie op dit interval niet af. Dan klinken de directe en omgekeerde stellingen in een geformaliseerde taal als volgt:

functie f (x) als er een buurt van het punt x0 is zodat voor alle x uit deze buurt f(x) ≤ f(x0).

Definitie. Een punt x0 wordt een lokaal minimumpunt van de functie f(x) genoemd als er een buurt van het punt x0 bestaat zodat voor alle x uit deze buurt f(x) ≥ f(x0).

De waarde van de functie op het maximumpunt wordt het lokale maximum genoemd, de waarde van de functie op het minimumpunt wordt het lokale minimum van deze functie genoemd. Het maximum en minimum van een functie worden de lokale extrema genoemd

(extreem – extreem).

Definitie. Een punt x0 wordt een punt met een strikt lokaal maximum (minimum) van de functie y= f(x) genoemd als het voor alle x in de buurt van het punt x0 waar is strikte ongelijkheid f(x)< f(x0 ) (соответственно

f(x) > f(x0 ) ).

Opmerking. In de bovenstaande definitie van een lokaal extremum gaan we niet uit van de continuïteit van de functie op het punt x 0.

maximumpunt, aangezien er een buurt is van het punt x = 0, waarin f (x)< f (x 0 ).

De grootste (kleinste) waarde van een functie op een interval wordt aangeroepen mondiaal extreem. Het globale extremum kan worden bereikt op de punten van het lokale extremum of aan de uiteinden van het segment.

Noodzakelijke voorwaarde voor extremum

Stelling 2. (ongeveer noodzakelijke voorwaarde extreem).

Als de functie y = f(x) een extremum heeft op het punt x0, dan is de afgeleide f′ (x0) op dit punt nul of bestaat niet.

◄Als de functie op het punt x 0 een extremum heeft en differentieerbaar is, dan is at

in een bepaalde buurt van dit punt is aan de voorwaarden van de stelling van Fermat voldaan, daarom is de afgeleide van de functie op dit punt gelijk aan nul.

Maar de functie y = f (x) kan een extremum hebben en op dit punt niet differentieerbaar zijn. Het is voldoende om een ​​voorbeeld te geven. Een voorbeeld zou zijn

Opmerking 3. Niet op elk van zijn kritieke punten heeft een functie noodzakelijkerwijs een maximum of minimum.

Voorbeeld 4. Beschouw de functie y = x 3 . Cruciaal voor deze functie

is het punt x = 0, dat volgt uit de vergelijking f ′ (x) = 3x 2 = 0. Deze functie is echter stijgend voor alle x en heeft geen extremum.

Als de functie bij het verplaatsen van het linkerinterval naar het rechterinterval blijft afnemen, dan wordt op punt x 0 de minimumwaarde van de functie niet bereikt

(geen extremum).

Het bestaan ​​van een maximum wordt op soortgelijke wijze bewezen.

In afb. 2 a-h presenteert mogelijke gevallen van de aanwezigheid of afwezigheid van een extremum van een continue functie, waarvan de afgeleide op het kritieke punt gelijk is aan nul of naar oneindig gaat.

punt x = 0 verandert oneindig vaak van teken. Daarom is de functie f(x) dat niet

monotoon afneemt of toeneemt, hetzij naar links of naar rechts van het punt x = 0.

Schema voor het bestuderen van een functie voor een extremum:

1) zoek de afgeleide f′(x);

2) kritieke punten vinden, d.w.z. zulke waarden x, waarinf ′ (x)= 0 of

f′(x) = ∞;

3) onderzoek het teken van de afgeleide links en rechts van elke kritieke waarde

verandert, dan heeft de functie f (x) op het punt x 0 noch een maximum, noch een minimum; 4) vind de waarden van de functie op extreme punten.

Stelling 4. (2e voldoende voorwaarde voor extremum). Laat de functie y = f (x) aan de volgende voorwaarden voldoen:

1. y = f (x) is continu in de buurt van het punt x 0,

2. f ′ (x )= 0 op punt x 0

3. f” (x )≠ 0 op punt x 0 .

er is dus sprake van een extremum. Het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, wat betekent dat dit een minimum is. Het geval f” (x 0 ) wordt op soortgelijke wijze bewezen< 0 .

Voorbeeld 8. Onderzoek de functie y = x 2 + 2x + 3 voor een extremum. Vind de afgeleide y ′= 2x + 2 .

1) We vinden de kritische punten, waarvoor we de afgeleide gelijkstellen aan nul: y ′= 2x + 2= 0, → x 0 = - 1.

2) We bestuderen het teken van de afgeleide links en rechts van dit punt (figuur 6).

Omdat het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, wordt een minimum bereikt op het punt x = − 1.

3) Zoek de minimumwaarde: ymin (− 1)= 2.

3) We onderzoeken het teken y" links en rechts van het punt x = 0. Het is duidelijk dat f ′ (x)< 0 ,

minimaal van deze functie.

4) ymin (0)= 1.

Voorbeeld 10.

Bestudeer de functie y = e -x 2 voor een extremum.

1) We vinden de eerste afgeleide: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Door de afgeleide gelijk te stellen aan nul, vinden we het enige kritische punt x = 0.

3) Vervolgens vinden we de tweede afgeleide: y "= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . De betekenis ervan

op het punt x = 0 is het gelijk aan -2.

4) We concluderen dat er een maximum is van de functie en berekenen: y maximaal (0)= 1.

De grootste en kleinste waarde van een functie lopen door op een interval

Als de functie f (x) gedefinieerd is en continu is op het interval [a;b], dan

volgens de tweede stelling van Weierstrass bereikt het zijn maximale en minimale waarden op dit segment.

Als de functie f(x) zijn grootste waarde aanneemt als intern punt x 0 van het segment [a;b], dan zal M = f (x 0) een lokaal maximum zijn van de functie f (x), aangezien er in dit geval een buurt van het punt x 0 is zodat de waarden ​​van f (x) voor alle punten uit deze buurt niet

groter dan f (x 0 ) .

De grootste waarde is echter de M-functie f (x) kan ook aan de uiteinden van het segment worden genomen[a;b]. Om daarom de grootste waarde M van een continue functie f (x) op het segment [a;b] te vinden, moeten we alle maxima van de functie in het interval (a;b) en de waarden vinden van f (x) aan de uiteinden van het segment [a;b] en kies

onder hen het grootste aantal. In plaats van ons te beperken tot het vinden van de waarden Laagste waarde continu

Onderzoek naar de maximaal mogelijke functies op kritische punten. op het segment [a;b] van de functie f (x) zal er zijn

het kleinste getal van alle minima van de functie f (x) in het interval (a;b) en waarden van f (a) en f (b).