Назовите приближенные методы исследования нелинейных систем. Анализ нелинейных систем автоматического управления

Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. [Djv-10.7M ] Под редакцией Ю.И. Топчеева. Коллектив авторов.
(Москва: Издательство «Машиностроение», 1970. - Серия «Нелинейные системы автоматического управления»)
Скан: AAW, обработка, формат Djv: Ilya Sytnikov, 2014

КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие (5).
Глава I. Теоретические основы метода гармонической линеаризации (Е.П. Попов) (13).
Глава II. Новая форма гармонической линеаризации для систем управления с нелинейными гистерезисными характеристиками (Е.И. Хлыпало) (58).
Глава III. Метод гармонической линеаризации, базирующийся на оценке чувствительности периодического решения к высшим гармоникам и малым параметрам (А.А. Вавилов) (88).
Глава IV. Определение амплитудных и фазовых частотных характеристик нелинейных систем (Ю.И. Топчеев) (117).
Глава V. Приближенные частотные методы анализа качества нелинейных систем управления (Ю.И. Топчеев) (171).
Глава VI. Повышение точности метода гармонической линеаризации (В.В. Павлов) (186).
Глава VII. Применение метода гармонической линеаризации к дискретным нелинейным системам управления (С.М. Федоров) (219).
Глава VIII. Применение асимптотического метода Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова при анализе нелинейных систем управления (А.Д. Максимов) (236).
Глава IX. Применение гармонической линеаризации к нелинейным самонастраивающимся системам управления (Ю.М. Козлов, С.И. Марков) (276).
Глава X. Применение метода гармонической линеаризации к нелинейным автоматическим системам с конечными автоматами (М.В. Старикова) (306).
Глава XI. Приближенный метод исследования колебательных процессов и скользящих режимов в автоматических системах с переменной структурой (М.В. Старикова) (390).
Глава XII. Приближенное исследование импульсно-релейной системы управления (М.В. Старикова) (419).
Глава XIII. Определение колебательных процессов в сложных нелинейных системах при различных начальных отклонениях (М.В. Старикова) (419).
Глава XIV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с периодическими нелинейностями (Л.И. Семенко) (444).
Глава XV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с двумя нелинейностями (В.М. Хлямов) (467).
Глава XVI. Амплитудно-фазовые характеристики релейных механизмов с двигателями постоянного и переменного тока, полученные по методу гармонической линеаризации (В.В. Цветков) (485).
Приложения (518).
Литература (550).
Алфавитный указатель (565).

Аннотация издательства: Данная книга входит в состав серии монографий, посвященных нелинейным системам автоматического управления.
В ней систематически, в достаточно полном объеме, изложена теория нелинейных систем автоматического управления, базирующаяся на методе гармонической линеаризации. Главное внимание уделено теоретическим основам метода гармонической линеаризации и его практическим применениям к непрерывным, дискретным, самонастраивающимся системам, а также системам с конечными автоматами и перестраиваемой структурой. Рассмотрены способы повышения точности метода гармонической линеаризации путем учета влияния высших гармоник. Предлагаемые способы иллюстрируются многочисленными примерами.
Книга предназначена для научных работников, инженеров, преподавателей и аспирантов высших учебных заведений, занимающихся вопросами автоматического управления.

Рассмотрим химико-технологический объект, на вход которого поступает случайный сигнал и (/), а на выходе наблюдается случайный процесс у (/). При использовании корреляционных методов для идентификации линейных объектов с постоянными параметрами обычно полагают (или специально так подбирают тестовый сигнал), что случайные функции и (t) и у (t ) являются стационарными и стациопарно связанными в широком смысле, т. е. их математические ожидания постоянны, а авто- и взаимнокорреляционные функции являются функциями не двух, а одного аргумента, равного их разности.

При идентификации нелинейных динамических систем условия нормальности плотностей вероятности функций и (t) и у (t) и их совместной плотности вероятности, как правило, не выполняются, т. е. характеристики объекта определяются в условиях, когда совместные плотности вероятности функций и (t) и у (/) не гауссовы.

Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и (t) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и (0 и у (t) гетероскедастична.

Таким образом, для идентификации нелинейных объектов уже недостаточно корреляционных методов, оперирующих математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных процессов. Ошибка в решении задачи идентификации нелинейного объекта корреляционными методами, используемыми для линейных систем, тем больше, чем сильнее регрессия функций у (t) относительно и (t) отличается от линейной и чем больше неравномерность математического ожидания условных дисперсий.

Задача идентификации нелинейных объектов, функционирующих в условиях случайных возмущений, представляет весьма сложную математическую проблему, которая в настоящее время находится в стадии разработки и еще далека до своего завершения. Тем не менее уже сейчас можно назвать ряд методов, которые хотя и нельзя считать исчерпывающими, однако дающие достаточно хорошее приближенное решение задачи идентификации нелинейных объектов статистическими методами. К таким методам можно отнести: 1) методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов; 2) метод линеаризации нелинейной регрессии на участках гомоскедастич- ности математического ожидания условной дисперсии функции у (t) относительно и (t) 3) винеровский подход к идентификации нелинейных систем; 4) метод идентификации нелинейных систем, основанный на применении аппарата условных марковских процессов.

Кратко рассмотрим каждый из перечисленных методов.

1. Если зависимость между значениями случайных функций и (0 и у (t) нелинейная, то коэффициент корреляции между значениями случайной функции уже не может служить достаточно хорошим критерием для измерения тесноты связи между ними. Поэтому для характеристики связи между и и у используются

дисперсионные отношения , которые определяются через дисперсионные функции (2, 3].

Взаимная дисперсионная функция 0 yU (*, т) для действительных случайных функций у (t) и и (t) и автодисперсионная (дисперсионная) функция G„ K (*, т) для случайного процесса и (т) определяются соотношениями

где M { } - символ математического ожидания; M .

На основе определенных выше величин п уи, т| ук и R можно построить специальный TV-критерий для проверки гипотезы о линейности зависимости между сигналами у и и:

где п - число опытов; к - число интервалов в корреляционной таблице. Проверим с помощью TV-критерия гипотезу о линейности связи между y t и и т для объекта, рассмотренного в §6.4. Функция

N (т), построенная по входной и выходной реализациям системы, изображена на рис. 8.2 . В данном случае задача идентификации сводится к поиску неизвестных параметров объекта, которыми служат коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Сигнал на входе системы раскладывается в^ряд подфункциям Лагерра:

с коэффициентами

Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

Здесь п -я функция Лагерра g n (t) строится в виде произведения полинома Лагерра l n (t) на экспоненту:

Заметим, что изображение по Лапласу полиномов Лагерра па основании (8.19) имеет вид

Отсюда видно, что необходимые коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская сигнал и (t) через цепочку линейных динамических звеньев (см. рис. 8.3).

Оператор нелинейной системы представляется в виде разложения по полиномам Эрмнта:

которые ортогональны на действительной оси - оо t . Из полиномов Эрмита строятся функции Эрмита:

с помощью которых оператор перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу записывается в виде

Соотношение (8.20) справедливо для любого нелинейного объекта и может быть положено в основу его идентификации. Методика идентификации значительно упрощается, если на вход подавать специальный сигнал в виде гауссового белого шума. В этом случае функции Лагерра представляют собой некоррелированные гауссовы случайные процессы с равными дисперсиями. При этом определение коэффициентов... к сводится к нахождению взаимнокорреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита:

Определение коэффициентов b { j ... к завершает решение задачи идентификации. Общая схема вычислений показана на рис. 8.4.

При решении задач идентификации химико-технологических объектов рассмотренный метод имеет ограниченное применение по ряду причин. К последним можно отнести, например, трудности, возникающие при переходе от коэффициентов b tj к к технологическим параметрам объекта. Метод не пригоден для нестационарных систем. Трудности реализации этой процедуры в режиме нормальной эксплуатации объекта также снижают эффективность метода. Наконец, необходимость усечения всех операций, связанных с предельными переходами, замена рядов конечными суммами являются источниками дополнительных вычислительных погрешностей.

4. Другой возможный подход к построению оптимальных фильтров нелинейных систем основан па использовании аппарата условных марковских процессов. Рассмотрим существо данного подхода на конкретном примере.

П р и м е р . Пусть полезный сигпал представляет собой прямоугольный импульс

момент появления которого t на отрезке 0 х Т требуется определить. Высота импульса А 0 и его длительность ч предполагаются известными. Сигнал, поступающий на объект, и (t)=s (*)+м> (*) есть сумма полезной составляющей s (0 и белого шума w (*), который описывается интегралом вероятности }