रिंग बॉडीमध्ये लवचिक लाटा उभ्या आहेत. उभ्या लाटा

धडा 7. यांत्रिक लाटा

लाटा. लहरी समीकरण

आम्ही आधीच विचारात घेतलेल्या हालचालींव्यतिरिक्त, भौतिकशास्त्राच्या जवळजवळ सर्व क्षेत्रांमध्ये आणखी एक प्रकारची हालचाल आढळते - लाटा. विशिष्ट वैशिष्ट्यही चळवळ अद्वितीय बनवते ते म्हणजे ते स्वतः पदार्थाचे कण नसतात जे लहरींमध्ये पसरतात, परंतु त्यांच्या अवस्थेतील बदल (विघ्न).

अंतराळात कालांतराने प्रसारित होणाऱ्या विघ्नांना म्हणतात लाटा . लाटा यांत्रिक आणि इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक असतात.

लवचिक लाटालवचिक माध्यमाच्या विकृतींचा प्रसार करीत आहेत.

लवचिक माध्यमाचा अडथळा म्हणजे या माध्यमाच्या कणांचे समतोल स्थितीपासून कोणतेही विचलन. काही ठिकाणी माध्यम विकृत झाल्यामुळे त्रास होतो.

लाट जिथे पोहोचली त्या सर्व बिंदूंचा संच हा क्षणवेळ, नावाची पृष्ठभाग तयार करते तरंग समोर .

समोरच्या आकाराच्या आधारावर, लाटा गोलाकार आणि सपाटमध्ये विभागल्या जातात. दिशा वेव्ह फ्रंट प्रसार निश्चित केला जातोतरंग समोर लंब, म्हणतात तुळई . च्या साठी गोलाकार लहरकिरण हे त्रिज्यात्मक वळवणारे किरण आहेत. समतल लहरीसाठी, किरण समांतर रेषांचा तुळई असतात.

कोणत्याही यांत्रिक लहरीमध्ये एकाच वेळी दोन प्रकारची गती अस्तित्वात असते: माध्यमाच्या कणांची स्पंदने आणि व्यत्ययांचा प्रसार.

ज्या लहरीमध्ये माध्यमाच्या कणांचे दोलन आणि विस्कळीतपणाचा प्रसार एकाच दिशेने होतो त्याला म्हणतात. रेखांशाचा (चित्र 7.2 ए).

ज्या लहरीमध्ये मध्यम दोलनाचे कण विस्कळीत प्रसाराच्या दिशेने लंब असतात त्याला म्हणतात आडवा (Fig. 7.2 b).

रेखांशाच्या लहरीमध्ये, व्यत्यय हे माध्यमाच्या संकुचिततेचे (किंवा दुर्मिळता) प्रतिनिधित्व करतात आणि ट्रान्सव्हर्स वेव्हमध्ये ते इतरांच्या तुलनेत माध्यमाच्या काही स्तरांचे विस्थापन (कातरणे) दर्शवतात. अनुदैर्ध्य लाटा सर्व माध्यमांमध्ये (द्रव, घन आणि वायू) प्रसारित करू शकतात, तर ट्रान्सव्हर्स लहरी केवळ घन माध्यमांमध्ये प्रसारित होऊ शकतात.

प्रत्येक लहर एका विशिष्ट वेगाने प्रवास करते . अंतर्गत लहर गती υ त्रासाच्या प्रसाराची गती समजून घ्या.तरंगाचा वेग ज्या माध्यमात तरंग पसरतो त्या माध्यमाच्या गुणधर्मांद्वारे निर्धारित केला जातो. IN घन पदार्थगती रेखांशाच्या लाटाबाजूकडील वेगापेक्षा जास्त.

तरंगलांबीλ हे अंतर आहे ज्यावर लाट त्याच्या स्त्रोतावरील दोलन कालावधीच्या बरोबरीने प्रसारित होते. लाटेचा वेग हे स्थिर मूल्य (दिलेल्या माध्यमासाठी) असल्याने, लाटेने प्रवास केलेले अंतर वेगाच्या गुणाकार आणि त्याच्या प्रसाराच्या वेळेइतके असते. तर तरंगलांबी

समीकरण (7.1) वरून असे दिसते की समान टप्प्यात मध्यांतर λ दोलनाने कण एकमेकांपासून वेगळे केले जातात. मग आपण तरंगलांबीची खालील व्याख्या देऊ शकतो: तरंगलांबी म्हणजे एकाच टप्प्यात दोन जवळच्या बिंदूंमधील अंतर.

प्लेन वेव्हसाठी एक समीकरण काढू या, जे आम्हाला कोणत्याही वेळी लहरीवरील कोणत्याही बिंदूचे विस्थापन निर्धारित करण्यास अनुमती देते. उगमापासून किरणाच्या बाजूने लहरीला विशिष्ट गतीने प्रसारित करू द्या v.

स्त्रोत साध्या हार्मोनिक दोलनांना उत्तेजित करतो आणि कोणत्याही वेळी लहरीवरील कोणत्याही बिंदूचे विस्थापन समीकरणाद्वारे निर्धारित केले जाते

S = Asinωt (7.2)

मग तरंग स्त्रोतापासून x अंतरावर असलेल्या माध्यमातील एक बिंदू देखील हार्मोनिक दोलन करेल, परंतु वेळेच्या विलंबाने, उदा. स्त्रोतापासून या बिंदूपर्यंत कंपनांचा प्रसार होण्यासाठी लागणारा वेळ. कोणत्याही वेळी समतोल स्थितीशी संबंधित दोलन बिंदूचे विस्थापन संबंधांद्वारे वर्णन केले जाईल

हे विमान लहरी समीकरण आहे. ही लहर वैशिष्ट्यीकृत आहे खालील पॅरामीटर्स:

· एस - लवचिक माध्यमाच्या बिंदूच्या समतोल स्थितीपासून विस्थापन ज्यापर्यंत दोलन पोहोचले;

· ω - स्त्रोताद्वारे व्युत्पन्न केलेल्या दोलनांची चक्रीय वारंवारता, ज्यासह माध्यमाचे बिंदू देखील दोलन होतात;

· υ - लहर प्रसार गती (फेज गती);

· x हे माध्यमातील बिंदूचे अंतर आहे जेथे दोलन पोहोचले आहे आणि ज्याचे विस्थापन S च्या बरोबरीचे आहे;

· t - दोलनांच्या सुरुवातीपासून मोजला जाणारा वेळ;

अभिव्यक्ती (7.3) मध्ये तरंगलांबी λ समाविष्ट करून, समतल तरंग समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

(7. 4)

लहरी हस्तक्षेप. उभ्या लाटा. स्थायी लहर समीकरण

समान वारंवारता ω आणि मोठेपणा A च्या दोन प्रतिप्रसारित समतल लहरींच्या हस्तक्षेपामुळे स्थायी लहरी तयार होतात.

आपण कल्पना करू या की S बिंदूवर एक व्हायब्रेटर आहे ज्यातून SO किरणाच्या बाजूने समतल लहर पसरते. O बिंदूवर अडथळ्यावर पोहोचल्यानंतर, लाट परावर्तित होईल आणि विरुद्ध दिशेने जाईल, म्हणजे. दोन प्रवासी विमान लाटा बीमच्या बाजूने पसरतात: पुढे आणि मागे. या दोन लहरी सुसंगत आहेत, कारण त्या एकाच स्रोताने निर्माण केल्या आहेत आणि एकमेकांवर अधिभारित झाल्यामुळे त्या एकमेकांमध्ये व्यत्यय आणतील.

हस्तक्षेपामुळे निर्माण होणाऱ्या माध्यमाच्या दोलन स्थितीला स्थायी लहर म्हणतात.

पुढे आणि मागे प्रवास करणाऱ्या लहरींचे समीकरण लिहूया:

सरळ - ; उलट -

जेथे S 1 आणि S 2 हे SO किरणावरील अनियंत्रित बिंदूचे विस्थापन आहेत. बेरीजच्या साइनचे सूत्र विचारात घेतल्यास, परिणामी विस्थापन समान आहे

अशा प्रकारे, स्थायी लहर समीकरणाचे स्वरूप आहे

cosωt गुणक दर्शविते की SO बीमवरील माध्यमाचे सर्व बिंदू वारंवारतेसह साधे हार्मोनिक दोलन करतात. अभिव्यक्तीला स्थायी लहर मोठेपणा म्हणतात. तुम्ही बघू शकता, मोठेपणा SO (x) किरणावरील बिंदूच्या स्थितीनुसार निर्धारित केला जातो.

कमाल मूल्य amplitudes ज्यासाठी गुण असतील

किंवा (n = 0, 1, 2,….)

कुठून, किंवा (4.70)

स्टँडिंग वेव्ह अँटीनोड्स .

किमान मूल्य , शून्याच्या बरोबरीचे, ज्यासाठी ते गुण असतील

किंवा (n = 0, 1, 2,….)

कुठून किंवा (4.71)

असे निर्देशांक असलेले बिंदू म्हणतात स्टँडिंग वेव्ह नोड्स . (4.70) आणि (4.71) अभिव्यक्तींची तुलना करताना, आम्ही पाहतो की शेजारील अँटीनोड्स आणि शेजारच्या नोड्समधील अंतर λ/2 च्या बरोबरीचे आहे.

प्रतिमेवर घन ओळठराविक क्षणी माध्यमाच्या दोलन बिंदूंचे विस्थापन दाखवते, ठिपके असलेला वक्र T/2 द्वारे याच बिंदूंची स्थिती दर्शवते. प्रत्येक बिंदू व्हायब्रेटर (x) पासून त्याच्या अंतराने निर्धारित केलेल्या मोठेपणासह दोलन करतो.

प्रवासी लहरींच्या विपरीत, उभ्या असलेल्या लहरीमध्ये ऊर्जा हस्तांतरण होत नाही. ऊर्जा सहजतेने (संतुलन स्थितीतून माध्यमातील बिंदूंच्या कमाल विस्थापनावर) गतिहीन नोड्समधील मर्यादेत गतीशीलतेकडे जाते (जसे बिंदू समतोल स्थितीतून जातात).

नोड्स दरम्यानच्या मर्यादेत उभे लहरचे सर्व बिंदू एकाच टप्प्यात आणि त्यानुसार दोलन होतात वेगवेगळ्या बाजूनोड पासून - antiphase मध्ये.

उभ्या लहरी उद्भवतात, उदाहरणार्थ, दोन्ही टोकांना स्थिर केलेल्या ताणलेल्या स्ट्रिंगमध्ये जेव्हा ट्रान्सव्हर्स कंपने उत्तेजित होतात. शिवाय, फास्टनिंगच्या ठिकाणी स्टँडिंग वेव्हचे नोड्स आहेत.

जर एका टोकाला (ध्वनी लहरी) उघडलेल्या हवेच्या स्तंभात स्थायी लहर स्थापित केली गेली असेल, तर उघड्या टोकाला अँटीनोड तयार होतो आणि विरुद्ध टोकाला नोड तयार होतो.

आवाज. डॉपलर प्रभाव

वायू, द्रव आणि घन पदार्थांमध्ये पसरणाऱ्या अनुदैर्ध्य लवचिक लहरी अदृश्य असतात. तथापि, काही विशिष्ट परिस्थितीत ते ऐकले जाऊ शकतात. म्हणून, जर आपण एखाद्या दुर्गुणात अडकलेल्या लांब स्टीलच्या शासकाची कंपने उत्तेजित केली तर त्यातून निर्माण होणाऱ्या लाटा आपल्याला ऐकू येणार नाहीत. परंतु जर आपण शासकाचा पसरलेला भाग लहान केला आणि त्याद्वारे त्याच्या दोलनांची वारंवारता वाढवली तर आपल्याला असे दिसून येईल की शासक आवाज करण्यास सुरवात करेल.

मानवामध्ये श्रवणविषयक संवेदना निर्माण करणाऱ्या लवचिक लहरी म्हणतात ध्वनी लहरीकिंवा फक्त आवाज.

मानवी कान लवचिक जाणण्यास सक्षम आहे यांत्रिक लाटावारंवारता ν 16Hz ते 20000Hz सह. वारंवारता सह लवचिक लाटा ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Hz - अल्ट्रासाऊंड.

16 Hz ते 20,000 Hz या श्रेणीतील फ्रिक्वेन्सीला ध्वनी फ्रिक्वेन्सी म्हणतात. ध्वनी वारंवारतेने कंपन करणारे कोणतेही शरीर (घन, द्रव किंवा वायू) तयार होते वातावरणध्वनी लहर

वायू आणि द्रवांमध्ये, ध्वनी लहरी अनुदैर्ध्य कम्प्रेशन आणि दुर्मिळ लहरींच्या रूपात प्रसारित होतात. ध्वनी स्त्रोताच्या कंपनांमुळे (तार, ट्यूनिंग फॉर्कचे पाय, व्होकल कॉर्ड इ.) माध्यमाचे कॉम्प्रेशन आणि दुर्मिळता, काही वेळाने मानवी कानापर्यंत पोहोचते आणि कानाचा पडदा जबरदस्तीने कंपन करण्यास कारणीभूत ठरतो, ज्यामुळे काही विशिष्ट श्रवण होते. एखाद्या व्यक्तीमध्ये संवेदना.

व्हॅक्यूममध्ये, ध्वनी लहरींचा प्रसार होऊ शकत नाही, कारण तेथे कंपन करण्यासाठी काहीही नाही. येथे याची पडताळणी केली जाऊ शकते साधा अनुभव. काचेच्या आवरणाखाली ठेवल्यास हवा पंपइलेक्ट्रिक बेल, मग हवा बाहेर पंप केल्यावर आपल्याला कळेल की तो आवाज पूर्णपणे थांबेपर्यंत कमकुवत होत जाईल.

वायूंमध्ये आवाज. हे ज्ञात आहे की गडगडाटी वादळाच्या वेळी, आपण प्रथम विजेचा लखलखाट पाहतो आणि त्यानंतरच मेघगर्जनेचा आवाज ऐकू येतो. हा विलंब होतो कारण हवेतील ध्वनीचा वेग प्रकाशाच्या वेगापेक्षा लक्षणीयरीत्या कमी असतो. हवेतील ध्वनीचा वेग फ्रेंच शास्त्रज्ञ मारिन मर्सेन यांनी 1646 मध्ये प्रथम मोजला होता. +20ºС तापमानात ते 343 m/s असते, म्हणजे 1235 किमी/ता.

ध्वनीचा वेग हा माध्यमाच्या तापमानावर अवलंबून असतो. वाढत्या तापमानासह ते वाढते, आणि कमी तापमानासह ते कमी होते.

हा आवाज ज्या वायूमध्ये प्रवास करतो त्याच्या घनतेवर ध्वनीचा वेग अवलंबून नाही. तथापि, ते त्याच्या रेणूंच्या वस्तुमानावर अवलंबून असते. वायूच्या रेणूंचे वस्तुमान जितके जास्त असेल तितका त्यातील आवाजाचा वेग कमी असेल. तर, तापमानात

हायड्रोजनमधील ध्वनीचा वेग 0 ºС 1284 m/s, आणि मध्ये आहे कार्बन डाय ऑक्साइड- २५९ मी/से.

द्रव मध्ये आवाज. द्रवांमध्ये ध्वनीचा वेग हा वायूंमधील ध्वनीच्या वेगापेक्षा जास्त असतो. 1826 मध्ये पहिल्यांदा पाण्यातील आवाजाचा वेग मोजला गेला. स्वित्झर्लंडमधील जिनिव्हा सरोवरावर हा प्रयोग करण्यात आला. एका बोटीवर त्यांनी गनपावडरला आग लावली आणि त्याच वेळी पाण्यात उतरलेल्या घंटाला मारले. या घंटाचा आवाज, एका विशेष हॉर्नचा वापर करून, पाण्यात उतरवलेला, पहिल्यापासून 14 किमी अंतरावर असलेल्या दुसऱ्या बोटीवर पकडला गेला. प्रकाशाचा फ्लॅश आणि ध्वनी सिग्नलचे आगमन यामधील वेळेच्या फरकावर आधारित, पाण्यातील आवाजाचा वेग निर्धारित केला गेला. 8 ºС तापमानात ते 1435 m/s च्या बरोबरीचे होते.

द्रवपदार्थांमध्ये, वाढत्या तापमानासह आवाजाचा वेग सामान्यतः कमी होतो. पाणी या नियमाला अपवाद आहे. त्यामध्ये, ध्वनीचा वेग वाढत्या तापमानासह वाढतो आणि कमाल 74 ºС तापमानापर्यंत पोहोचतो आणि तापमानात आणखी वाढ झाल्याने तो कमी होतो.

असे म्हटले पाहिजे की मानवी कान पाण्याखाली चांगले "काम" करत नाही. बहुतेक ध्वनी कर्णपटलातून परावर्तित होतात आणि त्यामुळे श्रवणविषयक संवेदना होत नाहीत. यानेच एकेकाळी आपल्या पूर्वजांना पाण्याखालील जगाला “शांततेचे जग” मानण्याचा आधार दिला. म्हणून अभिव्यक्ती "माशासारखा मुका." तथापि, लिओनार्डो दा विंचीने पाण्याखालील आवाज ऐकण्याचे देखील सुचवले आहे आणि पाण्यात उतरलेल्या ओअरवर कान ठेऊन आहे. या पद्धतीचा वापर करून, आपण पाहू शकता की मासे खरोखर खूप बोलके आहेत.

घन पदार्थांमध्ये आवाज. घन पदार्थांमध्ये ध्वनीचा वेग तरल पदार्थांपेक्षाही जास्त असतो. फक्त येथे हे लक्षात घेतले पाहिजे की दोन्ही रेखांशाचा आणि आडवा लाटा. या लहरींचा वेग, जसे आपल्याला माहित आहे, भिन्न आहे. उदाहरणार्थ, स्टीलमध्ये, आडवा लाटा 3300 m/s वेगाने पसरतात आणि रेखांशाच्या लाटा 6100 m/s वेगाने पसरतात. घन शरीरात ध्वनीचा वेग हवेपेक्षा जास्त आहे हे सत्य खालीलप्रमाणे सत्यापित केले जाऊ शकते. जर तुमचा मित्र रेल्वेच्या एका टोकाला लागला आणि तुम्ही दुसऱ्या टोकाला कान लावला तर दोन हिट ऐकू येतील. आवाज प्रथम रेल्वेमार्गे आणि नंतर हवेतून तुमच्या कानापर्यंत पोहोचेल.

पृथ्वीची चालकता चांगली आहे. म्हणून, जुन्या दिवसात, वेढा दरम्यान, किल्ल्याच्या भिंतींमध्ये "श्रोते" ठेवले गेले होते, जे पृथ्वीद्वारे प्रसारित केलेल्या आवाजाने हे ठरवू शकत होते की शत्रू भिंतीमध्ये खोदत आहे की नाही. एखाद्याचे कान जमिनीवर ठेवल्याने शत्रूच्या घोडदळाचा दृष्टीकोन शोधणे देखील शक्य झाले.

श्रवणीय आवाजांव्यतिरिक्त, पृथ्वीचा कवचइन्फ्रासाऊंड लहरी देखील पसरतात, ज्या मानवी कानाला यापुढे समजू शकत नाहीत. भूकंपाच्या वेळी अशा लाटा येऊ शकतात.

शक्तिशाली इन्फ्रासाऊंड लहरी, जमिनीवर आणि हवेत पसरतात, ज्वालामुखीचा उद्रेक आणि स्फोट दरम्यान होतात अणुबॉम्ब. इन्फ्रासाऊंडच्या स्त्रोतांमध्ये वातावरणातील हवेचे भोवरे, कार्गो डिस्चार्ज, बंदुकीचे गोळे, वारा, समुद्राच्या लाटांचे वाहणारे शिळे, जेट इंजिने चालवणे इत्यादींचा समावेश असू शकतो.

अल्ट्रासाऊंड देखील मानवी कानाद्वारे समजले जात नाही. तथापि, काही प्राणी ते उत्सर्जित करण्यास आणि कॅप्चर करण्यास सक्षम आहेत, उदाहरणार्थ वटवाघुळआणि डॉल्फिन. तंत्रज्ञानामध्ये, अल्ट्रासाऊंड मिळविण्यासाठी विशेष उपकरणे वापरली जातात.

लवचिक माध्यमात ठेवलेले दोलन शरीर हे सर्व दिशांना पसरणाऱ्या कंपनांचे स्त्रोत आहे. माध्यमात कंपनांच्या प्रसाराच्या प्रक्रियेला म्हणतात लाट.

जेव्हा लहर पसरते, तेव्हा माध्यमाचे कण लहरीबरोबर हलत नाहीत, परंतु त्यांच्या समतोल स्थितीभोवती फिरतात. तरंगाच्या बरोबरीने, केवळ कंपन गतीची अवस्था आणि तिची ऊर्जा कणातून कणात प्रसारित केली जाते. म्हणून, सर्व लाटांची मुख्य मालमत्ता, त्यांच्या स्वरूपाकडे दुर्लक्ष करून, पदार्थाचे हस्तांतरण न करता ऊर्जा हस्तांतरण आहे.

लहरी आडव्या असू शकतात (प्रसाराच्या दिशेला लंब असलेल्या विमानात दोलन होतात) आणि अनुदैर्ध्य (माध्यमाच्या कणांचे संक्षेपण आणि विसर्जन प्रसाराच्या दिशेने होते).

जेव्हा समान मोठेपणा आणि पूर्णविराम असलेल्या दोन समान लहरी एकमेकांच्या दिशेने पसरतात, तेव्हा उभ्या असलेल्या लाटा एकमेकांवर आच्छादित होतात. अडथळ्यांमधून परावर्तन करून उभ्या लाटा निर्माण होऊ शकतात. समजा उत्सर्जक एका अडथळ्याला लाट पाठवतो (घटना लहर). त्यातून परावर्तित होणारी लाट घटना लहरीवर अधिरोपित केली जाईल. प्रसंग तरंग समीकरण जोडून स्थायी तरंग समीकरण मिळवता येते

(समान मोठेपणा असलेल्या दोन प्रतिप्रसारित समतल लहरींना वरचेवर लावले जाते तेव्हा हस्तक्षेपाची एक अतिशय महत्त्वाची घटना दिसून येते. परिणामी दोलन प्रक्रियेला स्थायी लहरी म्हणतात. अडथळ्यांमधून परावर्तित केल्यावर व्यावहारिकपणे उभ्या लहरी उद्भवतात.)

या समीकरणाला तरंग समीकरण म्हणतात. या समीकरणाचे समाधान करणारे कोणतेही कार्य एका विशिष्ट लहरीचे वर्णन करते.
लहरी समीकरण देते एक अभिव्यक्ती आहे पक्षपात दोलन बिंदूत्याच्या निर्देशांकांचे कार्य म्हणून ( x, y, z) आणि वेळ ट.

हे फंक्शन वेळ आणि समन्वय दोन्हीच्या संदर्भात नियतकालिक असणे आवश्यक आहे (वेव्ह एक प्रसारित दोलन आहे, म्हणून वेळोवेळी पुनरावृत्ती होणारी हालचाल). याव्यतिरिक्त, एकमेकांपासून l अंतरावर असलेले बिंदू त्याच प्रकारे कंपन करतात.

- हे विमान लहर समीकरण.
स्पंदने अक्षाच्या बाजूने प्रसारित झाल्यास समीकरण (5.2.3) सारखेच असेल yकिंवा z
IN सामान्य दृश्य विमान लहर समीकरणअसे लिहिले आहे:

अभिव्यक्ती (5.2.3) आणि (5.2.4) आहेत प्रवास लहर समीकरणे .

समीकरण (5.2.3) वाढीच्या दिशेने प्रसारित होणाऱ्या लहरीचे वर्णन करते x. उलट दिशेने प्रसारित होणाऱ्या लाटाचे स्वरूप आहे:

चला परिचय करून द्या लहर क्रमांक , किंवा वेक्टर स्वरूपात:

वेव्ह वेक्टर कुठे आहे आणि वेव्ह पृष्ठभागासाठी सामान्य आहे.

तेंव्हापासून. येथून. मग विमान लहर समीकरण असे लिहिले जाईल:

गोलाकार तरंग समीकरण:

कुठे एस्त्रोतापासून एकच्या बरोबरीच्या अंतरावर मोठेपणाच्या समान.

वेव्ह वेक्टर- वेक्टर k, जे प्रसाराची दिशा आणि सपाट मोनोक्रोमॅटिकचा अवकाशीय कालावधी निर्धारित करते. लाटा

तरंगाचे स्थिर मोठेपणा आणि टप्पा कुठे आहेत, वर्तुळाकार वारंवारता आहे, आर- त्रिज्या वेक्टर. मॉड्यूल व्ही.व्ही. म्हणतात लहर क्रमांक k= , कुठे - अवकाशीय कालावधी किंवा तरंगलांबी. ई च्या दिशेने. लहरीच्या टप्प्यात सर्वात जलद बदल होतो, म्हणून ती प्रसाराची दिशा म्हणून घेतली जाते. या दिशेने फेज हालचालीचा वेग किंवा फेज वेग, तरंग क्रमांकाद्वारे निर्धारित केला जातो.. c.

6.1 लवचिक माध्यमात उभ्या असलेल्या लाटा

सुपरपोझिशनच्या तत्त्वानुसार, जेव्हा लवचिक माध्यमात अनेक लहरी एकाच वेळी प्रसारित होतात, तेव्हा त्यांचे सुपरपोझिशन होते आणि लाटा एकमेकांना त्रास देत नाहीत: माध्यमाच्या कणांचे दोलन हे कण बनवलेल्या दोलनांची वेक्टर बेरीज असते. जेव्हा प्रत्येक लाटा स्वतंत्रपणे प्रसारित झाल्या.

माध्यमाचे दोलन निर्माण करणाऱ्या लहरी, अंतराळातील प्रत्येक बिंदूवर स्थिर असलेल्या टप्प्यातील फरकांना म्हणतात. सुसंगत.

जेव्हा सुसंगत लाटा जोडल्या जातात तेव्हा घटना घडते हस्तक्षेप, ज्यामध्ये अंतराळातील काही बिंदूंवर लाटा एकमेकांना मजबूत करतात आणि इतर बिंदूंवर ते एकमेकांना कमकुवत करतात. जेव्हा समान वारंवारता आणि मोठेपणा असलेल्या दोन प्रतिप्रसारक समतल लहरींना वरचेवर केले जाते तेव्हा हस्तक्षेपाची एक महत्त्वाची घटना लक्षात येते. परिणामी oscillations म्हणतात उभी लहर. बहुतेकदा, जेव्हा प्रवासी लहर एखाद्या अडथळ्यातून परावर्तित होते तेव्हा उभ्या लाटा उद्भवतात. या प्रकरणात, घटना लहर आणि त्या दिशेने परावर्तित तरंग, जोडल्यावर, एक स्थायी लहर द्या.

आम्ही स्थायी लहर समीकरण प्राप्त करतो. चला दोन समतल हार्मोनिक लहरी घेऊ ज्या अक्षावर एकमेकांकडे पसरत आहेत एक्सआणि समान वारंवारता आणि मोठेपणा असणे:

कुठे - पहिल्या लाटाच्या मार्गादरम्यान माध्यमाच्या बिंदूंच्या दोलनांचा टप्पा;

- दुसरी लहर पार करताना माध्यमातील बिंदूंच्या दोलनांचा टप्पा.

अक्षावरील प्रत्येक बिंदूवर फेज फरक एक्सनेटवर्क वेळेवर अवलंबून राहणार नाही, म्हणजे स्थिर असेल:

त्यामुळे दोन्ही लहरी सुसंगत असतील.

विचाराधीन लहरी जोडल्यामुळे माध्यमाच्या कणांचे कंपन खालीलप्रमाणे असेल:

आपण नियमानुसार कोनांच्या कोसाइनची बेरीज बदलू (4.4) आणि मिळवू:

घटकांचे पुनर्गठन केल्याने आम्हाला मिळते:

अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी, आम्ही संदर्भ बिंदू निवडतो जेणेकरून फेज फरक आणि वेळेची सुरुवात मोजा जेणेकरून टप्प्यांची बेरीज शून्य असेल: .

मग लाटांच्या बेरजेचे समीकरण असे फॉर्म घेईल:

समीकरण (6.6) म्हणतात स्थायी लहर समीकरण. हे दर्शविते की स्थायी लाटेची वारंवारता प्रवासी लाटाच्या वारंवारतेच्या बरोबरीची असते आणि मोठेपणा, प्रवासी लाटेच्या विपरीत, उत्पत्तीपासूनच्या अंतरावर अवलंबून असते:

. (6.7)

(6.7) विचारात घेतल्यास, स्थायी लहर समीकरण असे स्वरूप घेते:

. (6.8)

अशा प्रकारे, प्रवासी लहरी आणि मोठेपणा यांच्या वारंवारतेशी एकरूप होणाऱ्या वारंवारतेसह मध्यम दोलनाचे बिंदू a, अक्षावरील बिंदूच्या स्थितीवर अवलंबून एक्स. त्यानुसार, कोसाइन कायद्यानुसार मोठेपणा बदलतो आणि त्याचे स्वतःचे मॅक्सिमा आणि मिनिमा (चित्र 6.1) असते.

ॲम्प्लिट्यूड मिनिमा आणि मॅक्सिमाचे स्थान व्हिज्युअलायझ करण्यासाठी, आम्ही (5.29) नुसार तरंग क्रमांक त्याच्या मूल्यासह बदलतो:

मग मोठेपणासाठी अभिव्यक्ती (6.7) फॉर्म घेईल

(6.10)

यावरून हे स्पष्ट होते की विस्थापन मोठेपणा येथे कमाल आहे , म्हणजे बिंदूंवर ज्यांचे निर्देशांक अट पूर्ण करतात:

, (6.11)

कुठे

येथून आम्ही बिंदूंचे निर्देशांक प्राप्त करतो जेथे विस्थापन मोठेपणा जास्तीत जास्त आहे:

; (6.12)

ज्या बिंदूंमध्ये माध्यमाच्या कंपनांचे मोठेपणा जास्तीत जास्त आहे त्यांना म्हणतात लहरींचे प्रतिनोड्स.

तरंगाचे मोठेपणा बिंदूंवर शून्य आहे . अशा बिंदूंचे समन्वय, म्हणतात वेव्ह नोड्स, अट पूर्ण करते:

, (6.13)

कुठे

(6.13) वरून हे स्पष्ट आहे की नोड्सच्या निर्देशांकांची मूल्ये आहेत:

, (6.14)

अंजीर मध्ये. आकृती 6.2 नोड्स आणि अँटीनोड्सचे स्थान चिन्हांकित करून, स्टँडिंग वेव्हचे अंदाजे दृश्य दर्शविते. हे पाहिले जाऊ शकते की शेजारील नोड्स आणि विस्थापन अँटीनोड्स एकमेकांपासून समान अंतरावर अंतरावर आहेत.

शेजारच्या अँटीनोड्स आणि नोड्समधील अंतर शोधूया. (6.12) पासून आम्ही अँटीनोड्समधील अंतर प्राप्त करतो:

(6.15)

नोड्समधील अंतर (6.14) पासून प्राप्त केले जाते:

(6.16)

प्राप्त संबंधांवरून (6.15) आणि (6.16) हे स्पष्ट आहे की शेजारच्या नोड्समधील अंतर, तसेच शेजारच्या अँटीनोड्समधील अंतर स्थिर आणि समान आहे; नोड्स आणि अँटीनोड्स एकमेकांच्या सापेक्ष (चित्र 6.3) द्वारे हलविले जातात.

तरंगलांबीच्या व्याख्येवरून, आपण स्थायी लहरीच्या लांबीसाठी एक अभिव्यक्ती लिहू शकतो: ती प्रवासी लहरीच्या अर्ध्या लांबीच्या समान आहे:

नोड्स आणि अँटीनोड्सच्या निर्देशांकांसाठी अभिव्यक्ती (6.17) विचारात घेऊन लिहू:

, (6.18)

, (6.19)

स्थिर लाटेचे मोठेपणा निर्धारित करणारा घटक शून्य मूल्यातून जात असताना त्याचे चिन्ह बदलतो, परिणामी नोडच्या वेगवेगळ्या बाजूंच्या दोलनांचा टप्पा द्वारे भिन्न असतो. परिणामी, नोडच्या विरुद्ध बाजूस असलेले सर्व बिंदू अँटीफेसमध्ये दोलन करतात. शेजारच्या नोड्स दरम्यान स्थित सर्व बिंदू टप्प्यात दोलन करतात.

नोड्स सशर्त वातावरणास स्वायत्त प्रदेशांमध्ये विभाजित करतात ज्यामध्ये हार्मोनिक दोलन स्वतंत्रपणे होतात. प्रदेशांमध्ये गतीचे कोणतेही हस्तांतरण होत नाही, आणि म्हणूनच, प्रदेशांमध्ये उर्जेचा प्रवाह नाही. म्हणजेच, अक्षाच्या बाजूने कोणताही त्रास प्रसारित होत नाही. म्हणूनच लाटेला उभी लहर म्हणतात.

तर, समान फ्रिक्वेन्सी आणि ॲम्प्लिट्यूड्सच्या दोन विरुद्ध दिशेने निर्देशित प्रवासी लहरींमधून एक स्थायी लहर तयार होते. यातील प्रत्येक तरंगाचे उमोव्ह वेक्टर परिमाणात समान आणि दिशेने विरुद्ध असतात आणि जोडल्यावर ते शून्य देतात. परिणामी, उभी लहर ऊर्जा हस्तांतरित करत नाही.

6.2 उभ्या असलेल्या लाटांची उदाहरणे

6.2.1 तार मध्ये उभे लहर

चला लांबीच्या स्ट्रिंगचा विचार करूया एल, दोन्ही टोकांवर निश्चित केले आहे (चित्र 6.4).

चला स्ट्रिंगच्या बाजूने एक अक्ष ठेवू एक्सजेणेकरून स्ट्रिंगच्या डाव्या टोकाला समन्वय असेल x=0, आणि योग्य - x=L. समीकरणाने वर्णन केलेल्या स्ट्रिंगमध्ये कंपने होतात:

विचाराधीन स्ट्रिंगसाठी सीमा परिस्थिती लिहू. त्याची टोके निश्चित असल्याने, नंतर निर्देशांकांसह बिंदूंवर x=0आणि x=Lसंकोच नाही:

(6.22)

लिखित सीमा परिस्थितीवर आधारित स्ट्रिंग ऑसिलेशन्सचे समीकरण शोधू. स्ट्रिंगच्या डाव्या टोकासाठी (6.21) समीकरण (6.20) लिहू:

नातेसंबंध (6.23) कोणत्याही वेळी समाधानी असतात टदोन प्रकरणांमध्ये:

1. . स्ट्रिंग () मध्ये कंपन नसल्यास हे शक्य आहे. हे प्रकरण स्वारस्यपूर्ण नाही आणि आम्ही त्यावर विचार करणार नाही.

२. येथे टप्पा आहे. हे केस आपल्याला स्ट्रिंग कंपनांचे समीकरण प्राप्त करण्यास अनुमती देईल.

स्ट्रिंगच्या उजव्या टोकासाठी सीमा स्थिती (6.22) मध्ये प्राप्त झालेले फेज मूल्य बदलू:

. (6.25)

त्याचा विचार करता

, (6.26)

(6.25) वरून आम्ही प्राप्त करतो:

पुन्हा, दोन प्रकरणे उद्भवतात ज्यामध्ये संबंध (6.27) समाधानी आहेत. जेव्हा स्ट्रिंग () मध्ये कंपन नसतात तेव्हा आम्ही केस विचारात घेणार नाही.

दुसऱ्या प्रकरणात, समानता समाधानी असणे आवश्यक आहे:

आणि हे तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा साइनचा युक्तिवाद पूर्णांकाचा गुणक असतो:

आम्ही मूल्य टाकून देतो, कारण या प्रकरणात, आणि याचा अर्थ एकतर स्ट्रिंगची शून्य लांबी असेल ( L=0) किंवा लहर क्रमांक k=0. तरंग संख्या आणि तरंगलांबी यांच्यातील जोडणी (6.9) विचारात घेतल्यास, हे स्पष्ट आहे की तरंग संख्या शून्याच्या बरोबरीसाठी, तरंगलांबी असीम असावी आणि याचा अर्थ दोलनांची अनुपस्थिती असेल.

(6.28) वरून हे स्पष्ट आहे की दोन्ही टोकांना निश्चित केलेल्या स्ट्रिंगला दोलन करताना तरंग क्रमांक केवळ काही विशिष्ट मूल्ये घेऊ शकतात:

(6.9) विचारात घेऊन, आम्ही फॉर्ममध्ये (6.30) लिहितो:

ज्यावरून आपण स्ट्रिंगमधील संभाव्य तरंगलांबीसाठी अभिव्यक्ती प्राप्त करतो:

दुसऱ्या शब्दांत, स्ट्रिंगच्या लांबीवर एलपूर्णांक मध्ये बसणे आवश्यक आहे nअर्ध्या लाटा:

संबंधित दोलन वारंवारता (5.7) वरून निर्धारित केली जाऊ शकते:

स्ट्रिंगच्या रेखीय घनतेवर आणि स्ट्रिंगच्या ताण बलावर (5.102) नुसार, लाटेचा फेज वेग येथे आहे:

(6.34) मध्ये (6.33) बदलून, आम्हाला स्ट्रिंगच्या संभाव्य कंपन फ्रिक्वेन्सीचे वर्णन करणारी अभिव्यक्ती मिळते:

, (6.36)

फ्रिक्वेन्सी म्हणतात नैसर्गिक वारंवारतातार वारंवारता (वर n = 1):

(6.37)

म्हणतात मूलभूत वारंवारता(किंवा मुख्य स्वर) तार. येथे निर्धारित वारंवारता n>1म्हटले जाते ओव्हरटोनकिंवा हार्मोनिक्स. हार्मोनिक क्रमांक आहे n-1. उदाहरणार्थ, वारंवारता:

पहिल्या हार्मोनिक आणि वारंवारतेशी संबंधित आहे:

दुसऱ्या हार्मोनिकशी संबंधित आहे, इ. स्ट्रिंगला अनंत संख्येने स्वातंत्र्याच्या अंशांसह एक स्वतंत्र प्रणाली म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, तर प्रत्येक हार्मोनिक आहे फॅशनस्ट्रिंग कंपन. सामान्य स्थितीत, स्ट्रिंग कंपन मोड्सच्या सुपरपोझिशनचे प्रतिनिधित्व करतात.

प्रत्येक हार्मोनिकची स्वतःची तरंगलांबी असते. मुख्य टोनसाठी (सह n = 1) तरंगलांबी:

अनुक्रमे पहिल्या आणि दुसऱ्या हार्मोनिक्ससाठी (वर n = 2 आणि n = 3) तरंगलांबी असेल:

आकृती 6.5 स्ट्रिंगद्वारे चालवल्या जाणाऱ्या कंपनाच्या अनेक पद्धतींचे स्वरूप दर्शविते.

अशा प्रकारे, निश्चित टोकांसह स्ट्रिंग शास्त्रीय भौतिकशास्त्राच्या चौकटीत एक अपवादात्मक केस लक्षात घेते - कंपन वारंवारता (किंवा तरंगलांबी) चा एक स्वतंत्र स्पेक्ट्रम. पाईप्समधील एक किंवा दोन्ही क्लॅम्प केलेले टोक आणि एअर कॉलमचे दोलन असलेले लवचिक रॉड त्याच प्रकारे वागतात, ज्याची पुढील विभागांमध्ये चर्चा केली जाईल.

6.2.2 हालचालींवर प्रारंभिक परिस्थितीचा प्रभाव

सतत स्ट्रिंग. फूरियर विश्लेषण

दोलन फ्रिक्वेन्सीच्या स्वतंत्र स्पेक्ट्रम व्यतिरिक्त, क्लॅम्प केलेल्या टोकांसह स्ट्रिंगच्या दोलनांमध्ये आणखी एक महत्त्वाचा गुणधर्म असतो: स्ट्रिंगच्या दोलनांचे विशिष्ट स्वरूप दोलनांच्या उत्तेजनाच्या पद्धतीवर अवलंबून असते, उदा. सुरुवातीच्या परिस्थितीपासून. चला जवळून बघूया.

समीकरण (6.20), जे स्ट्रिंगमधील एका स्टँडिंग वेव्हच्या एका मोडचे वर्णन करते, हे डिफरेंशियल वेव्ह समीकरण (5.61) चे विशिष्ट समाधान आहे. स्ट्रिंगच्या कंपनामध्ये सर्व संभाव्य मोड असतात (स्ट्रिंगसाठी - अनंत संख्या), तर सामान्य निर्णयतरंग समीकरण (5.61) मध्ये अनंत संख्येने आंशिक समाधाने असतात:

, (6.43)

कुठे i- कंपन मोड क्रमांक. अभिव्यक्ती (6.43) स्ट्रिंगचे टोक निश्चित आहेत हे लक्षात घेऊन लिहिलेले आहे:

आणि वारंवारता कनेक्शन देखील लक्षात घेऊन i-th मोड आणि त्याची लहर क्रमांक:

(6.46)

येथे - लहर क्रमांक iव्या फॅशन;

- 1ल्या मोडची लहर क्रमांक;

प्रत्येक दोलन मोडसाठी प्रारंभिक टप्प्याचे मूल्य शोधू. यासाठी या क्षणी t=0फंक्शनद्वारे वर्णन केलेल्या स्ट्रिंगला आकार देऊ f 0 (x), अभिव्यक्ती ज्यासाठी आपण (6.43) वरून प्राप्त करतो:

. (6.47)

अंजीर मध्ये. आकृती 6.6 फंक्शनद्वारे वर्णन केलेल्या स्ट्रिंगच्या आकाराचे उदाहरण दाखवते f 0 (x).

एका क्षणी t=0स्ट्रिंग अजूनही विश्रांतीवर आहे, म्हणजे त्याच्या सर्व बिंदूंचा वेग शून्य आहे. (6.43) वरून आपल्याला स्ट्रिंग पॉइंट्सच्या गतीसाठी एक अभिव्यक्ती आढळते:

आणि, त्यात बदलणे t=0, आम्ही वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी स्ट्रिंगवरील बिंदूंच्या गतीसाठी अभिव्यक्ती प्राप्त करतो:

. (6.49)

वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी वेग शून्याच्या बरोबरीचा असल्याने, जर स्ट्रिंगच्या सर्व बिंदूंसाठी अभिव्यक्ती (6.49) शून्य असेल. यावरून असे दिसून येते की सर्व मोडसाठी प्रारंभिक टप्पा देखील शून्य () आहे. हे लक्षात घेऊन, अभिव्यक्ती (6.43), जे स्ट्रिंगच्या गतीचे वर्णन करते, हे फॉर्म घेते:

, (6.50)

आणि अभिव्यक्ती (6.47), वर्णन प्रारंभिक फॉर्मस्ट्रिंग, असे दिसते:

. (6.51)

स्ट्रिंगमधील स्टँडिंग वेव्हचे वर्णन एका फंक्शनद्वारे केले जाते जे नियतकालिक अंतराल असते, जेथे ते स्ट्रिंगच्या दोन लांबीच्या समान असते (चित्र 6.7):

हे या वस्तुस्थितीवरून पाहिले जाऊ शकते की मध्यांतरावरील नियतकालिकता म्हणजे:

त्यामुळे,

जे आपल्याला अभिव्यक्तीकडे घेऊन जाते (6.52).

गणितीय विश्लेषणावरून हे ज्ञात आहे की कोणतेही नियतकालिक कार्य उच्च अचूकतेसह फूरियर मालिकेत विस्तारित केले जाऊ शकते:

, (6.57)

जेथे , , फूरियर गुणांक आहेत.

जर एका माध्यमात अनेक लहरी एकाच वेळी प्रसारित होत असतील, तर त्या माध्यमातील कणांचे दोलन ही प्रत्येक लाटा स्वतंत्रपणे प्रसारित केल्यास कणांच्या दोलनांची भौमितिक बेरीज होईल. परिणामी, लाटा एकमेकांना त्रास न देता एकमेकांवर फक्त वरचढ होतात. या विधानाला वेव्ह सुपरपोझिशनचे सिद्धांत म्हणतात. सुपरपोझिशनचे तत्त्व असे सांगते की एकाच वेळी अनेक लहरींच्या प्रसारामुळे होणारी हालचाल ही पुन्हा एक विशिष्ट लहरी प्रक्रिया असते. अशी प्रक्रिया, उदाहरणार्थ, ऑर्केस्ट्राचा आवाज आहे. हे एकाच वेळी उत्तेजित होण्यापासून उद्भवते ध्वनी कंपनेवैयक्तिक वाद्यांसह हवा. हे उल्लेखनीय आहे की जेव्हा लाटा सुपरइम्पोज केल्या जातात तेव्हा विशेष घटना उद्भवू शकतात. त्यांना ॲडिशन इफेक्ट्स म्हणतात किंवा जसे ते म्हणतात, लहरींचे सुपरपोझिशन. या प्रभावांपैकी, हस्तक्षेप आणि विवर्तन हे सर्वात महत्वाचे आहेत.

हस्तक्षेप ही अंतराळातील दोलन उर्जेच्या वेळोवेळी पुनर्वितरणाची एक घटना आहे, ज्याचा परिणाम म्हणून काही ठिकाणी दोलन मजबूत होतात आणि काही ठिकाणी कमकुवत होतात. ही घटना घडते जेव्हा कालांतराने टिकून राहणाऱ्या फेज फरक असलेल्या लाटा एकत्र जोडल्या जातात, तथाकथित सुसंगत लाटा. हस्तक्षेप मोठ्या संख्येनेलहरींना विवर्तन म्हणतात. मूलभूत फरकहस्तक्षेप आणि विवर्तन यात फरक नाही. या घटनांचे स्वरूप समान आहे. आम्ही केवळ एका अत्यंत महत्त्वाच्या हस्तक्षेपाच्या प्रभावावर चर्चा करण्यापुरते मर्यादित राहू, तो म्हणजे उभ्या असलेल्या लहरींची निर्मिती.

एक आवश्यक अटउभ्या असलेल्या लाटांची निर्मिती म्हणजे त्यांच्यावरील लाटांच्या घटना प्रतिबिंबित करणाऱ्या सीमांची उपस्थिती होय. घटना आणि परावर्तित लहरींच्या जोडणीमुळे स्थायी लाटा तयार होतात. अशा प्रकारच्या घटना वारंवार घडतात. अशा प्रकारे, कोणत्याही वाद्याचा प्रत्येक स्वर स्थिर लहरीमुळे उत्तेजित होतो. ही लहर एकतर स्ट्रिंगमध्ये (तारीत वाद्य) किंवा हवेच्या स्तंभात निर्माण होते ( पवन उपकरणे). या प्रकरणांमध्ये परावर्तित सीमा म्हणजे स्ट्रिंगच्या जोडणीचे बिंदू आणि पवन उपकरणांच्या अंतर्गत पोकळ्यांचे पृष्ठभाग.

प्रत्येक स्थायी लहरीमध्ये खालील गुणधर्म असतात. स्पेसचा संपूर्ण प्रदेश ज्यामध्ये तरंग उत्तेजित आहे ते पेशींमध्ये अशा प्रकारे विभागले जाऊ शकते की पेशींच्या सीमेवर दोलन पूर्णपणे अनुपस्थित आहेत. या सीमांवर असलेल्या बिंदूंना स्टँडिंग वेव्ह नोड्स म्हणतात. प्रत्येक पेशीच्या अंतर्गत बिंदूंवरील दोलनांचे टप्पे सारखेच असतात. शेजारच्या पेशींमध्ये दोलन एकमेकांच्या दिशेने होते, म्हणजेच अँटीफेसमध्ये. एका सेलमध्ये, स्पेसमध्ये दोलनांचे मोठेपणा बदलते आणि काही ठिकाणी कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते. ज्या बिंदूंवर हे निरीक्षण केले जाते त्यांना स्टँडिंग वेव्ह अँटीनोड म्हणतात. शेवटी, उभ्या लहरींचा एक वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म म्हणजे त्यांच्या वारंवारता स्पेक्ट्रमची स्वतंत्रता. स्थायी लहरीमध्ये, दोलन केवळ काटेकोरपणे परिभाषित फ्रिक्वेन्सीसह होऊ शकतात आणि त्यापैकी एकापासून दुसऱ्यामध्ये संक्रमण अचानक होते.

स्टँडिंग वेव्हचे एक साधे उदाहरण पाहू. आपण असे गृहीत धरू की मर्यादित लांबीची स्ट्रिंग अक्षाच्या बाजूने पसरलेली आहे; त्याची टोके कठोरपणे निश्चित केली जातात, डाव्या टोकाला निर्देशांकांच्या उगमस्थानी स्थित आहे. मग उजव्या टोकाचा समन्वय असेल. चला स्ट्रिंगमध्ये एक लहर उत्तेजित करूया

,

डावीकडून उजवीकडे पसरत आहे. तरंग स्ट्रिंगच्या उजव्या टोकापासून परावर्तित होईल. चला असे गृहीत धरू की हे ऊर्जा गमावल्याशिवाय घडते. या प्रकरणात, परावर्तित तरंग समान मोठेपणा आणि घटना एक समान वारंवारता असेल. म्हणून, परावर्तित लाटाचे स्वरूप असावे:

त्याच्या टप्प्यात एक स्थिरांक असतो जो परावर्तनानंतर टप्प्यात होणारा बदल ठरवतो. परावर्तन स्ट्रिंगच्या दोन्ही टोकांवर होत असल्याने आणि उर्जेची हानी न होता, त्याच फ्रिक्वेन्सीच्या लाटा स्ट्रिंगमध्ये एकाच वेळी प्रसारित होतील. म्हणून, जोडणी दरम्यान हस्तक्षेप केला पाहिजे. चला परिणामी लहर शोधूया.

हे स्थायी लहर समीकरण आहे. यावरून असे दिसून येते की स्ट्रिंगच्या प्रत्येक बिंदूवर वारंवारतेने दोलन होतात. या प्रकरणात, एका बिंदूवर दोलनांचे मोठेपणा समान आहे

.

स्ट्रिंगची टोके स्थिर असल्याने, तेथे कंपन नाहीत. त्या अटीवरून पुढे येते. म्हणून, आम्हाला शेवटी मिळते:

.

आता हे स्पष्ट झाले आहे की ज्या ठिकाणी , तेथे कोणतेही दोलन नाहीत. हे बिंदू स्थायी लहरीचे नोड आहेत. जेथे , दोलनांचे मोठेपणा जास्तीत जास्त आहे, ते जोडलेल्या दोलनांच्या मोठेपणाच्या दुप्पट आहे. हे बिंदू स्थायी लहरीचे अँटीनोड आहेत. अँटीनोड्स आणि नोड्स दिसणे तंतोतंत जेथे हस्तक्षेप आहे: काही ठिकाणी दोलन तीव्र होतात, तर काही ठिकाणी ते अदृश्य होतात. शेजारील नोड्स आणि अँटीनोड्समधील अंतर स्पष्ट स्थितीवरून आढळते: . कारण , मग . म्हणून, शेजारच्या नोड्समधील अंतर आहे.

स्थायी लहर समीकरणावरून हे स्पष्ट होते की घटक शून्य मूल्यातून जात असताना, ते चिन्ह बदलते. याच्या अनुषंगाने, नोडच्या विरुद्ध बाजूंच्या दोलनांचा टप्पा द्वारे भिन्न असतो. याचा अर्थ असा की नोडच्या विरुद्ध बाजूंना पडलेले बिंदू अँटीफेसमध्ये दोलन करतात. दोन समीप नोड्समधील सर्व बिंदू एकाच टप्प्यात दोलन करतात.

अशा प्रकारे, घटना आणि परावर्तित लाटा जोडून, ​​पूर्वी वैशिष्ट्यीकृत तरंग गतीचे चित्र प्राप्त करणे खरोखर शक्य आहे. या प्रकरणात, एक-आयामी केसमध्ये चर्चा केलेल्या पेशी समीप नोड्स आणि लांबीच्या दरम्यान बंद केलेले विभाग आहेत.

आपण शेवटी आपण विचारात घेतलेल्या लहरी केवळ काटेकोरपणे परिभाषित दोलन फ्रिक्वेन्सीवर अस्तित्वात असू शकतात याची खात्री करूया. स्ट्रिंगच्या उजव्या टोकाला कोणतेही कंपन नसतात याचा फायदा घेऊया. हे लक्षात येते की . ही समानता शक्य आहे जर , एक अनियंत्रित धन पूर्णांक कोठे असेल.