ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा अर्ध्या पायाच्या समान आहे. ट्रॅपेझॉइड

ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेची संकल्पना

प्रथम, कोणत्या प्रकारच्या आकृतीला ट्रॅपेझॉइड म्हणतात हे लक्षात ठेवूया.

व्याख्या १

ट्रॅपेझॉइड हा एक चौकोन असतो ज्यामध्ये दोन बाजू समांतर असतात आणि इतर दोन समांतर नसतात.

या प्रकरणात, समांतर बाजूंना ट्रॅपेझॉइडचे पायथ्या म्हणतात आणि समांतर बाजूंना ट्रॅपेझॉइडच्या पार्श्व बाजू म्हणतात.

व्याख्या २

ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा हा ट्रॅपेझॉइडच्या पार्श्व बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा एक विभाग आहे.

ट्रॅपेझॉइड मिडलाइन प्रमेय

आता आपण ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेबद्दल प्रमेय सादर करतो आणि सदिश पद्धती वापरून सिद्ध करतो.

प्रमेय १

ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा पायथ्याशी समांतर आणि त्यांच्या अर्ध्या बेरीजच्या समान आहे.

पुरावा.

आम्हाला $AD\ आणि\ BC$ बेससह ट्रॅपेझॉइड $ABCD$ देऊ. आणि $MN$ द्या -- मधली ओळहे ट्रॅपेझॉइड (चित्र 1).

आकृती 1. ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेखा

$MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ हे सिद्ध करू.

व्हेक्टर $\overrightarrow(MN)$ विचारात घ्या. आपण पुढे व्हेक्टर जोडण्यासाठी बहुभुज नियम वापरतो. एकीकडे, आम्हाला ते मिळते

दुसऱ्या बाजूला

चला शेवटच्या दोन समानता जोडू आणि मिळवू

$M$ आणि $N$ हे ट्रॅपेझॉइडच्या पार्श्व बाजूंचे मध्यबिंदू असल्याने, आपल्याकडे असेल

आम्हाला मिळते:

त्यामुळे

समान समानतेपासून ($\overrightarrow(BC)$ आणि $\overrightarrow(AD)$ सहदिशात्मक आहेत आणि म्हणून, समरेखीय) आम्हाला ते $MN||AD$ मिळते.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

ट्रॅपेझॉइडच्या मिडलाइनच्या संकल्पनेवरील समस्यांची उदाहरणे

उदाहरण १

ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूकडील बाजू अनुक्रमे $15\ cm$ आणि $17\ cm$ आहेत. ट्रॅपेझॉइडची परिमिती $52\cm$ आहे. ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेची लांबी शोधा.

उपाय.

ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा $n$ ने दर्शवू.

बाजूंची बेरीज समान आहे

म्हणून, परिमिती $52\ cm$ असल्याने, बेसची बेरीज समान आहे

तर, प्रमेय 1 द्वारे, आपल्याला मिळते

उत्तर:$10\cm$.

उदाहरण २

वर्तुळाच्या व्यासाची टोके त्याच्या स्पर्शिकेपासून अनुक्रमे $9$ cm आणि $5$ cm अंतरावर आहेत, या वर्तुळाचा व्यास शोधा.

उपाय.

बिंदू $O$ आणि व्यास $AB$ वर केंद्र असलेले वर्तुळ देऊ. चला स्पर्शिका $l$ काढू आणि $AD=9\ cm$ आणि $BC=5\ cm$ हे अंतर तयार करू. चला $OH$ (चित्र 2) त्रिज्या काढू.

आकृती 2.

$AD$ आणि $BC$ हे स्पर्शिकेचे अंतर असल्याने, नंतर $AD\bot l$ आणि $BC\bot l$ आणि $OH$ त्रिज्या असल्याने, $OH\bot l$, म्हणून, $OH |\left|AD\right||BC$. या सर्वांवरून आपल्याला समजते की $ABCD$ हा समलंब रेषा आहे आणि $OH$ त्याची मध्यरेखा आहे. प्रमेय 1 द्वारे, आपल्याला मिळते

या लेखात आम्ही ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म शक्य तितक्या पूर्णपणे प्रतिबिंबित करण्याचा प्रयत्न करू. विशेषतः, आम्ही याबद्दल बोलू सामान्य चिन्हेआणि ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म, तसेच कोरलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या गुणधर्मांबद्दल आणि ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाबद्दल. आम्ही समद्विभुज आणि आयताकृती समलंबाच्या गुणधर्मांना देखील स्पर्श करू.

चर्चा केलेल्या गुणधर्मांचा वापर करून समस्या सोडवण्याचे एक उदाहरण तुम्हाला ते तुमच्या डोक्यात असलेल्या ठिकाणी वर्गीकरण करण्यात आणि सामग्री अधिक चांगल्या प्रकारे लक्षात ठेवण्यास मदत करेल.

ट्रॅपेझ आणि सर्व-सर्व-सर्व

सुरुवातीला, ट्रॅपेझॉइड म्हणजे काय आणि त्याच्याशी इतर कोणत्या संकल्पना संबंधित आहेत हे थोडक्यात आठवूया.

तर, ट्रॅपेझॉइड एक चतुर्भुज आकृती आहे, ज्याच्या दोन बाजू एकमेकांना समांतर आहेत (हे तळ आहेत). आणि दोन समांतर नाहीत - या बाजू आहेत.

ट्रॅपेझॉइडमध्ये, उंची कमी केली जाऊ शकते - पायथ्याशी लंब. मध्य रेषा आणि कर्णरेषा काढली आहेत. ट्रॅपेझॉइडच्या कोणत्याही कोनातून दुभाजक काढणे देखील शक्य आहे.

बद्दल विविध गुणधर्म, या सर्व घटकांशी आणि त्यांच्या संयोगांशी संबंधित, आपण आता बोलू.

ट्रॅपेझॉइड कर्णांचे गुणधर्म

हे स्पष्ट करण्यासाठी, तुम्ही वाचत असताना, कागदाच्या तुकड्यावर ट्रॅपेझॉइड ACME स्केच करा आणि त्यात कर्ण काढा.

जर तुम्हाला प्रत्येक कर्णाचे मध्यबिंदू सापडले (या बिंदूंना X आणि T म्हणू या) आणि त्यांना जोडले तर तुम्हाला एक खंड मिळेल. ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या गुणधर्मांपैकी एक म्हणजे HT हा खंड मध्यरेषेवर असतो. आणि त्याची लांबी बेसमधील फरक दोनने विभाजित करून मिळवता येते: ХТ = (a – b)/2.
आमच्या आधी समान ट्रॅपेझॉइड एसीएमई आहे. कर्ण O बिंदूला छेदतात. ट्रॅपेझॉइडच्या पायासह कर्णांच्या खंडांनी बनलेले AOE आणि MOK त्रिकोण पाहू. हे त्रिकोण सारखे आहेत. त्रिकोणांचा समानता गुणांक k समलंबाच्या पायाच्या गुणोत्तराद्वारे व्यक्त केला जातो: k = AE/KM.
त्रिकोण AOE आणि MOK च्या क्षेत्राचे गुणोत्तर k 2 गुणांकाने वर्णन केले आहे.
समान समलंब, समान कर्ण O बिंदूला छेदतात. फक्त यावेळी आपण समलंबाच्या बाजूंसह कर्णांचे विभाग एकत्र तयार झालेल्या त्रिकोणांचा विचार करू. AKO आणि EMO त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ आकाराने समान आहेत - त्यांचे क्षेत्र समान आहेत.
ट्रॅपेझॉइडच्या आणखी एका गुणधर्मामध्ये कर्णांचे बांधकाम समाविष्ट आहे. तर, जर तुम्ही AK आणि ME च्या बाजू लहान बेसच्या दिशेने चालू ठेवल्या, तर लवकरच किंवा नंतर ते एका विशिष्ट बिंदूवर छेदतील. पुढे, ट्रॅपेझॉइडच्या तळांच्या मध्यभागी एक सरळ रेषा काढा. हे बिंदू X आणि T वर पायथ्याला छेदते.
जर आपण आता XT रेषा वाढवली, तर ती ट्रॅपेझॉइड O च्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूला एकत्र जोडेल, ज्या बिंदूवर बाजूंचा विस्तार आणि X आणि T च्या मध्यभागी एकमेकांना छेदतात.
कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे आपण एक खंड काढू जो ट्रॅपेझॉइडच्या पायाशी जोडेल (T लहान बेस KM वर, X मोठ्या AE वर आहे). कर्णांचा छेदनबिंदू या विभागाला खालील प्रमाणात विभाजित करतो: TO/OX = KM/AE.
आता, कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे, आपण ट्रॅपेझॉइड (a आणि b) च्या पायथ्याशी समांतर एक खंड काढू. छेदनबिंदू त्याला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करेल. तुम्ही सूत्र वापरून विभागाची लांबी शोधू शकता 2ab/(a + b).

ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइडमध्ये त्याच्या पायथ्याशी समांतर मधली रेषा काढा.

ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यरेषेची लांबी बेसची लांबी जोडून आणि त्यांना अर्ध्या भागात विभाजित करून मोजली जाऊ शकते: m = (a + b)/2.
जर तुम्ही ट्रॅपेझॉइडच्या दोन्ही पायथ्यांतून कोणताही खंड (उंची, उदाहरणार्थ) काढला, तर मधली रेषा त्याला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करेल.

ट्रॅपेझॉइड दुभाजक मालमत्ता

ट्रॅपेझॉइडचा कोणताही कोन निवडा आणि दुभाजक काढा. उदाहरणार्थ, आपल्या ट्रॅपेझॉइड ACME चा कोन KAE घेऊ. स्वतः बांधकाम पूर्ण केल्यावर, आपण सहजपणे सत्यापित करू शकता की दुभाजक पायापासून (किंवा आकृतीच्या बाहेरील सरळ रेषेवर चालू राहणे) बाजूच्या समान लांबीचा एक भाग कापला आहे.

ट्रॅपेझॉइड कोनांचे गुणधर्म

तुम्ही निवडलेल्या बाजूस लागून असलेल्या कोनांच्या दोन जोड्यांपैकी कोणतीही जोडी, जोडीतील कोनांची बेरीज नेहमी 180 0 असते: α + β = 180 0 आणि γ + δ = 180 0.
ट्रॅपेझॉइडच्या पायाचे मध्यबिंदू TX खंडाने जोडू. आता ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्यावरील कोन पाहू. जर त्यांपैकी कोणाच्याही कोनांची बेरीज 90 0 असेल, तर TX खंडाची लांबी अर्ध्या भागात विभागलेल्या बेसच्या लांबीमधील फरकाच्या आधारे सहजपणे मोजली जाऊ शकते: TX = (AE – KM)/2.
समांतर रेषा समलंब कोनाच्या बाजूंमधून काढल्या गेल्यास, त्या कोनाच्या बाजूंना आनुपातिक खंडांमध्ये विभाजित करतील.

समद्विभुज (समभुज) ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

समद्विभुज समलंबामध्ये, कोणत्याही पायावरील कोन समान असतात.
आता आपण कशाबद्दल बोलत आहोत याची कल्पना करणे सोपे करण्यासाठी ट्रॅपेझॉइड पुन्हा तयार करा. बेस AE कडे काळजीपूर्वक पहा - विरुद्ध बेस M चे शिरोबिंदू AE असलेल्या रेषेवर एका विशिष्ट बिंदूवर प्रक्षेपित केले जाते. शिरोबिंदू A पासून शिरोबिंदू M च्या प्रक्षेपण बिंदूपर्यंतचे अंतर आणि समद्विभुज समलंबाच्या मध्य रेषा समान आहेत.
समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मालमत्तेबद्दल काही शब्द - त्यांची लांबी समान आहे. आणि ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी या कर्णांचे झुकण्याचे कोन देखील समान आहेत.
केवळ समद्विभुज समलंबाभोवती वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते, कारण चतुर्भुजाच्या विरुद्ध कोनांची बेरीज 180 0 आहे – आवश्यक स्थितीया साठी.
समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडचा गुणधर्म मागील परिच्छेदावरून येतो - जर समद्विभुज समलंब जवळ वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते, तर ते समद्विभुज आहे.
समद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या वैशिष्ट्यांवरून समलंबाच्या उंचीच्या गुणधर्माचे अनुसरण केले जाते: जर त्याचे कर्ण काटकोनात छेदतात, तर उंचीची लांबी पायाच्या बेरीजच्या अर्ध्या समान असते: h = (a + b)/2.
पुन्हा, ट्रॅपेझॉइडच्या तळांच्या मध्यबिंदूंमधून TX खंड काढा - समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइडमध्ये ते तळांना लंब असतो. आणि त्याच वेळी TX हा समद्विभुज समप्रमाणाचा अक्ष आहे.
यावेळी, ट्रॅपेझॉइडच्या विरुद्ध शिरोबिंदूपासून मोठ्या पायावर उंची कमी करा (याला a म्हणूया). तुम्हाला दोन विभाग मिळतील. पायाची लांबी जोडली आणि अर्ध्या भागात विभागली तर एकाची लांबी आढळू शकते: (a + b)/2. जेव्हा आपण मोठ्या बेसमधून लहान वजा करतो आणि परिणामी फरक दोनने विभाजित करतो तेव्हा आपल्याला दुसरा मिळतो: (a – b)/2.

वर्तुळात कोरलेल्या ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

आम्ही आधीच वर्तुळात कोरलेल्या ट्रॅपेझॉइडबद्दल बोलत असल्याने, या समस्येवर अधिक तपशीलवार राहू या. विशेषतः, जेथे वर्तुळाचे केंद्र ट्रॅपेझॉइडच्या संबंधात आहे. येथे देखील, आळशी न होण्याची शिफारस केली जाते, आपल्या हातात पेन्सिल घ्या आणि आपण कशाबद्दल बोलत आहात ते काढा. आम्ही बोलूखाली अशा प्रकारे तुम्हाला जलद समजेल आणि चांगले लक्षात येईल.

वर्तुळाच्या मध्यभागाचे स्थान ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णाच्या बाजूला झुकण्याच्या कोनाद्वारे निर्धारित केले जाते. उदाहरणार्थ, ट्रॅपेझॉइडच्या वरच्या भागापासून उजव्या कोनात एक कर्ण बाजूपर्यंत वाढू शकतो. या प्रकरणात, मोठा आधार परिमंडलाच्या मध्यभागी अगदी मध्यभागी छेदतो (R = ½AE).
कर्ण आणि बाजू खाली देखील भेटू शकतात तीव्र कोन- मग वर्तुळाचे केंद्र ट्रॅपेझॉइडच्या आत असते.
समलंब वर्तुळाचे मध्यभाग समलंब चौकोनाच्या बाहेर असू शकते, त्याच्या मोठ्या पायाच्या पलीकडे, जर ट्रॅपेझॉइडच्या कर्ण आणि बाजूच्या दरम्यान एक स्थूल कोन असेल.
कर्ण आणि ट्रॅपेझॉइड ACME च्या मोठ्या पायाने तयार केलेला कोन (शिलालेखित कोन) त्याच्याशी जुळणारा मध्य कोन अर्धा आहे: MAE = ½MOE.
परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधण्याचे दोन मार्ग थोडक्यात. पद्धत एक: तुमचे रेखाचित्र काळजीपूर्वक पहा - तुम्हाला काय दिसते? आपण सहजपणे लक्षात घेऊ शकता की कर्ण ट्रॅपेझॉइडला दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतो. त्रिज्या त्रिकोणाच्या बाजूच्या विरुद्ध कोनाच्या साइनच्या गुणोत्तराने शोधली जाऊ शकते, दोनने गुणाकार केला जातो. उदाहरणार्थ, R = AE/2*sinAME. अशाच प्रकारे दोन्ही त्रिकोणांच्या कोणत्याही बाजूसाठी सूत्र लिहिता येते.
पद्धत दोन: ट्रॅपेझॉइडच्या कर्ण, बाजू आणि पायाने तयार केलेल्या त्रिकोणाच्या क्षेत्राद्वारे परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा: R = AM*ME*AE/4*S AME.

वर्तुळाभोवती परिक्रमा केलेले ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

एक अट पूर्ण झाल्यास तुम्ही ट्रॅपेझॉइडमध्ये वर्तुळ बसवू शकता. खाली याबद्दल अधिक वाचा. आणि आकृत्यांच्या या संयोजनात अनेक मनोरंजक गुणधर्म आहेत.

जर एखादे वर्तुळ ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेले असेल, तर त्याच्या मध्यरेषेची लांबी बाजूंच्या लांबी जोडून आणि परिणामी बेरीज अर्ध्यामध्ये विभाजित करून सहजपणे शोधली जाऊ शकते: m = (c + d)/2.
ट्रॅपेझॉइड ACME साठी, वर्तुळाबद्दल वर्णन केले आहे, पायाच्या लांबीची बेरीज बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेइतकी आहे: AK + ME = KM + AE.
ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या या गुणधर्मावरून, संभाषण विधान खालीलप्रमाणे आहे: ट्रॅपेझॉइडमध्ये एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते ज्याच्या पायाची बेरीज त्याच्या बाजूंच्या बेरीजइतकी आहे.
ट्रॅपेझॉइडमध्ये कोरलेल्या r त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचा स्पर्श बिंदू बाजूस दोन भागांमध्ये विभागतो, त्यांना a आणि b म्हणू या. सूत्र वापरून वर्तुळाची त्रिज्या मोजली जाऊ शकते: r = √ab.
आणि आणखी एक मालमत्ता. गोंधळ टाळण्यासाठी, हे उदाहरण स्वतः काढा. आमच्याकडे वर्तुळाभोवती वर्णन केलेले चांगले जुने ट्रॅपेझॉइड ACME आहे. यात O बिंदूला छेदणारे कर्ण आहेत. कर्णांच्या विभागांनी तयार केलेले AOK आणि EOM त्रिकोण आणि बाजूकडील बाजू आयताकृती आहेत.
या त्रिकोणांची उंची, कर्ण (म्हणजे ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूकडील बाजू) पर्यंत कमी केली जाते, कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याशी एकरूप होतात. आणि ट्रॅपेझॉइडची उंची कोरलेल्या वर्तुळाच्या व्यासाशी जुळते.

आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइडचा एक कोन बरोबर असेल तर त्याला आयताकृती म्हणतात. आणि त्याचे गुणधर्म या परिस्थितीतून उद्भवतात.

आयताकृती ट्रॅपेझॉइडची एक बाजू त्याच्या पायाला लंब असते.
समलंब समलंबाची उंची आणि बाजूकडील बाजू काटकोन, समान आहेत. हे तुम्हाला आयताकृती ट्रॅपेझॉइड (सामान्य सूत्र) च्या क्षेत्राची गणना करण्यास अनुमती देते S = (a + b) * h/2) केवळ उंचीवरूनच नाही तर उजव्या कोनाला लागून असलेल्या बाजूने देखील.
आयताकृती ट्रॅपेझॉइडसाठी, वर वर्णन केलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांचे सामान्य गुणधर्म संबंधित आहेत.

ट्रॅपेझॉइडच्या काही गुणधर्मांचा पुरावा

समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्यावरील कोनांची समानता:

आपण कदाचित आधीच अंदाज लावला असेल की येथे आपल्याला पुन्हा एकेएमई ट्रॅपेझॉइडची आवश्यकता असेल - समद्विभुज ट्रॅपेझॉइड काढा. AK (MT || AK) च्या बाजूस समांतर, शिरोबिंदू M वरून MT ही सरळ रेषा काढा.

परिणामी चतुर्भुज AKMT हा समांतरभुज चौकोन आहे (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT असल्याने, ∆ MTE समद्विभुज आहे आणि MET = MTE.

एके || MT, म्हणून MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME कुठे आहे.

Q.E.D.

आता समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइड (कर्णांची समानता) च्या गुणधर्मावर आधारित, आम्ही सिद्ध करतो की ट्रॅपेझॉइड ACME समद्विभुज आहे:

प्रथम, सरळ रेषा MX – MX || काढू के.ई. आम्ही KMHE (बेस – MX || KE आणि KM || EX) समांतरभुज चौकोन मिळवतो.

AM = KE = MX आणि MAX = MEA असल्याने ∆AMX समद्विभुज आहे.

MH || KE, KEA = MHE, म्हणून MAE = MHE.

AM = KE आणि AE या दोन त्रिकोणांच्या सामाईक बाजू असल्याने AKE आणि EMA हे त्रिकोण एकमेकांना समान आहेत असे दिसून आले. आणि MAE = MXE देखील. आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की AK = ME, आणि यावरून असे दिसून येते की ट्रॅपेझॉइड AKME समद्विभुज आहे.

कार्याचे पुनरावलोकन करा

ट्रॅपेझॉइड ACME चे तळ 9 सेमी आणि 21 सेमी आहेत, बाजूची बाजू KA, 8 सेमीच्या बरोबरीने, लहान पायासह 150 0 चा कोन बनवते. आपल्याला ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्याची आवश्यकता आहे.

ऊत्तराची: शिरोबिंदू K पासून आपण समलंबाच्या मोठ्या पायापर्यंत उंची कमी करतो. आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कोनांकडे पाहणे सुरू करूया.

कोन AEM आणि KAN एकतर्फी आहेत. याचा अर्थ ते एकूण 180 0 देतात. म्हणून, KAN = 30 0 (ट्रॅपेझॉइडल कोनांच्या गुणधर्मावर आधारित).

आता आपण आयताकृती ∆ANC चा विचार करूया (माझ्या मते हा मुद्दा अतिरिक्त पुराव्याशिवाय वाचकांसाठी स्पष्ट आहे). त्यातून आपल्याला ट्रॅपेझॉइड KH ची उंची सापडेल - त्रिकोणामध्ये हा एक पाय आहे जो 30 0 च्या कोनाच्या विरुद्ध आहे. म्हणून, KH = ½AB = 4 सेमी.

आम्ही सूत्र वापरून ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ शोधतो: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 सेमी 2.

नंतरचे शब्द

जर तुम्ही या लेखाचा काळजीपूर्वक आणि विचारपूर्वक अभ्यास केला असेल, तुमच्या हातात पेन्सिल घेऊन दिलेल्या सर्व गुणधर्मांसाठी ट्रॅपेझॉइड्स काढण्यात आणि सरावाने त्यांचे विश्लेषण करण्यात खूप आळशी नसाल, तर तुम्ही सामग्रीमध्ये चांगले प्रभुत्व मिळवले पाहिजे.

अर्थात, येथे बरीच माहिती आहे, वैविध्यपूर्ण आणि कधीकधी गोंधळात टाकणारी देखील: वर्णन केलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या गुणधर्मांना कोरलेल्या गुणधर्मांसह गोंधळात टाकणे इतके अवघड नाही. पण फरक खूप मोठा आहे हे तुम्ही स्वतः पाहिले आहे.

आता तुमच्याकडे सर्वांचा तपशीलवार सारांश आहे सामान्य गुणधर्मट्रॅपेझॉइड तसेच समद्विभुज आणि आयताकृती ट्रॅपेझॉइड्सचे विशिष्ट गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये. चाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी वापरणे अतिशय सोयीचे आहे. ते स्वतः वापरून पहा आणि आपल्या मित्रांसह दुवा सामायिक करा!

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, दूरध्वनी क्रमांक, पत्ता यासह विविध माहिती गोळा करू शकतो ईमेलइ.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांसह तुमच्याशी संपर्क साधण्याची अनुमती देते.
वेळोवेळी, महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

आवश्यक असल्यास, कायद्यानुसार, न्यायिक प्रक्रिया, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये, आणि/किंवा सार्वजनिक चौकशी किंवा कडून केलेल्या विनंत्यांवर आधारित सरकारी संस्थारशियन फेडरेशनच्या प्रदेशावर - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करा. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा विभाग अर्ध्या बरोबरमूलभूत फरक
ट्रॅपेझॉइडच्या पायांद्वारे तयार केलेले त्रिकोण आणि त्यांच्या छेदनबिंदूपर्यंत कर्णांचे विभाग समान आहेत
ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या विभागांनी तयार केलेले त्रिकोण, ज्याच्या बाजू ट्रॅपेझॉइडच्या पार्श्व बाजूंवर असतात - आकारात समान असतात (समान क्षेत्र असते)
जर तुम्ही ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू लहान बेसच्या दिशेने वाढवल्या तर ते तळांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सरळ रेषेने एका बिंदूवर छेदतील.
ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी जोडणारा आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूमधून जाणारा एक विभाग या बिंदूने ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराच्या प्रमाणात विभागला जातो.
ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी समांतर असलेला आणि कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून काढलेला एक खंड या बिंदूने अर्ध्या भागामध्ये विभागलेला आहे आणि त्याची लांबी 2ab/(a + b) च्या समान आहे, जेथे a आणि b हे पाया आहेत ट्रॅपेझॉइड

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सेगमेंटचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइड ABCD च्या कर्णांचे मध्यबिंदू जोडू या, परिणामी आपल्याकडे LM हा खंड असेल.
ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा विभाग ट्रॅपेझॉइडच्या मध्यभागी स्थित आहे.

हा विभाग ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी समांतर.

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सेगमेंटची लांबी त्याच्या पायाच्या अर्ध्या फरकाइतकी असते.

LM = (AD - BC)/2
किंवा
LM = (a-b)/2

ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांनी तयार केलेल्या त्रिकोणांचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइडच्या पाया आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे तयार होणारे त्रिकोण - समान आहेत.
त्रिकोण BOC आणि AOD समान आहेत. कोन BOC आणि AOD उभ्या असल्याने, ते समान आहेत.
कोन OCB आणि OAD हे समांतर रेषा AD आणि BC (ट्रॅपेझॉइडचे पायथ्या एकमेकांना समांतर असतात) आणि सीकंट रेषा AC सह क्रॉस दिशेने पडलेले अंतर्गत कोन आहेत, म्हणून ते समान आहेत.
कोन OBC आणि ODA समान कारणास्तव समान आहेत (अंतर्गत क्रॉसवाईज).

एका त्रिकोणाचे तिन्ही कोन दुसऱ्या त्रिकोणाच्या संगत कोनांशी समान असल्यामुळे हे त्रिकोण सारखेच असतात.

यातून पुढे काय?

भूमितीतील समस्या सोडवण्यासाठी, त्रिकोणांची समानता खालीलप्रमाणे वापरली जाते. जर आपल्याला समान त्रिकोणाच्या दोन संबंधित घटकांची लांबी माहित असेल, तर आपल्याला समानता गुणांक सापडतो (आपण एकाला दुसऱ्याने विभाजित करतो). जिथून इतर सर्व घटकांची लांबी अगदी समान मूल्याने एकमेकांशी संबंधित आहेत.

ट्रॅपेझॉइडच्या पार्श्व बाजू आणि कर्णांवर पडलेले त्रिकोणांचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइड AB आणि CD च्या पार्श्व बाजूंवर असलेल्या दोन त्रिकोणांचा विचार करा. हे AOB आणि COD त्रिकोण आहेत. या त्रिकोणांच्या वैयक्तिक बाजूंचे आकार पूर्णपणे भिन्न असू शकतात हे असूनही, परंतु पार्श्व बाजूंनी बनलेल्या त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ आणि समलंब चौकोनाच्या कर्णांचे छेदनबिंदू समान आहेत, म्हणजे, त्रिकोण आकाराने समान आहेत.

जर आपण ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू लहान पायाकडे वाढवल्या तर बाजूंच्या छेदनबिंदूचा बिंदू असेल तळांच्या मध्यभागी जाणाऱ्या सरळ रेषेशी एकरूप व्हा.

अशा प्रकारे, कोणत्याही ट्रॅपेझॉइडचा त्रिकोणामध्ये विस्तार केला जाऊ शकतो. ज्यामध्ये:

विस्तारित बाजूंच्या छेदनबिंदूवर सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या पायांद्वारे तयार केलेले त्रिकोण समान असतात
ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या मध्यबिंदूंना जोडणारी सरळ रेषा, त्याच वेळी, बांधलेल्या त्रिकोणाचा मध्यबिंदू आहे

ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी जोडणाऱ्या सेगमेंटचे गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइड (KN) च्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूवर असलेल्या ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी ज्याची टोके आहेत असा खंड काढल्यास, त्याच्या घटक विभागांचे पायाच्या बाजूपासून छेदनबिंदूपर्यंतचे गुणोत्तर कर्णांचे (KO/ON) ट्रॅपेझॉइडच्या पायाच्या गुणोत्तराप्रमाणे असेल(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

ही मालमत्ता संबंधित त्रिकोणांच्या समानतेवरून येते (वर पहा).

ट्रॅपेझॉइडच्या पायाशी समांतर असलेल्या सेगमेंटचे गुणधर्म

जर आपण ट्रॅपेझॉइडच्या पायथ्याशी समांतर एक खंड काढला आणि ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून जात असेल तर त्याचे खालील गुणधर्म असतील:

निर्दिष्ट अंतर (KM) ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूद्वारे द्विभाजित
विभागाची लांबीट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून जाणे आणि पायथ्याशी समांतर KM = 2ab/(a + b)

ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

a, b- ट्रॅपेझॉइड बेस

c,d- ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू

d1 d2- ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण

α β - ट्रॅपेझॉइडच्या मोठ्या पायासह कोन

पायथ्यावरील पाया, बाजू आणि कोनांमधून ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

सूत्रांचा पहिला गट (1-3) ट्रॅपेझॉइड कर्णांच्या मुख्य गुणधर्मांपैकी एक प्रतिबिंबित करतो:

1. ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णांच्या चौरसांची बेरीज बाजूंच्या चौरसांच्या बेरजेशी आणि त्याच्या पायाच्या गुणाकाराच्या दुप्पट असते. ट्रॅपेझॉइड कर्णांचा हा गुणधर्म स्वतंत्र प्रमेय म्हणून सिद्ध केला जाऊ शकतो

2 . हे सूत्र पूर्वीचे सूत्र बदलून मिळते. दुस-या कर्णाचा वर्ग समान चिन्हाद्वारे टाकला जातो, त्यानंतर अभिव्यक्तीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंमधून वर्गमूळ काढले जाते.

3 . ट्रॅपेझॉइडच्या कर्णाची लांबी शोधण्याचे हे सूत्र मागील प्रमाणेच आहे, या फरकाने अभिव्यक्तीच्या डाव्या बाजूला दुसरा कर्ण सोडला आहे.

सूत्रांचे पुढील गट (4-5) अर्थाने समान आहेत आणि समान संबंध व्यक्त करतात.

ट्रॅपेझॉइडचा मोठा पाया, एका बाजूची बाजू आणि पायावरील कोन माहित असल्यास सूत्रांचा समूह (6-7) तुम्हाला ट्रॅपेझॉइडचा कर्ण शोधण्याची परवानगी देतो.

उंचीद्वारे ट्रॅपेझॉइडचे कर्ण शोधण्यासाठी सूत्रे

नोंद. हा धडा ट्रॅपेझॉइड्सबद्दल भूमिती समस्यांचे निराकरण करतो. तुम्हाला ज्या प्रकारात स्वारस्य आहे त्या भूमितीच्या समस्येवर उपाय सापडला नसल्यास, मंचावर प्रश्न विचारा..

कार्य.
ट्रॅपेझॉइड ABCD (AD | | BC) चे कर्ण O बिंदूला छेदतात. जर पाया AD = 24 सेमी, लांबी AO = 9 सेमी, लांबी OS = 6 सेमी असेल तर समलंब बिंदूच्या पायाभूत BC ची लांबी शोधा.

उपाय.
या समस्येचे निराकरण वैचारिकदृष्ट्या मागील समस्यांसारखेच आहे.

त्रिकोण AOD आणि BOC तीन कोनांमध्ये समान आहेत - AOD आणि BOC हे उभ्या आहेत, आणि उर्वरित कोन जोडीने समान आहेत, कारण ते एक रेषा आणि दोन समांतर रेषांच्या छेदनबिंदूद्वारे तयार होतात.

त्रिकोण सारखे असल्याने, नंतर ते सर्व भौमितिक परिमाणेसमस्येच्या परिस्थितीनुसार आम्हाला ज्ञात असलेल्या AO आणि OC विभागांचे परिमाण भौमितीयदृष्ट्या एकमेकांशी संबंधित आहेत. ते आहे

AO/OC = AD/BC
९/६ = २४/बीसी
BC = 24 * 6 / 9 = 16

उत्तर द्या: 16 सेमी

कार्य .
ट्रॅपेझॉइड ABCD मध्ये हे ज्ञात आहे की AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधा.

उपाय .
लहान बेस B आणि C च्या शिरोबिंदूंपासून ट्रॅपेझॉइडची उंची शोधण्यासाठी, आम्ही दोन उंची मोठ्या पायापर्यंत कमी करतो. ट्रॅपेझॉइड असमान असल्याने, आम्ही लांबी AM = a, लांबी KD = b ( सूत्रातील नोटेशनमध्ये गोंधळ होऊ नयेट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधणे). ट्रॅपेझॉइडचे तळ समांतर असल्याने, आणि आम्ही मोठ्या पायाला लंब दोन उंची सोडल्या, तर MBCK हा आयत आहे.

म्हणजे
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM आणि ACK त्रिकोण आयताकृती आहेत, म्हणून त्यांचे काटकोन समलंबाच्या उंचीने तयार होतात. ट्रॅपेझॉइडची उंची h ने दर्शवू. मग, पायथागोरियन प्रमेयाने

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
आणि
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

पहिल्या समीकरणात a = 16 - b हे लक्षात घेऊ
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

पायथागोरियन प्रमेय वापरून मिळवलेल्या दुसऱ्या समीकरणामध्ये उंचीच्या चौरसाचे मूल्य बदलू. आम्हाला मिळते:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = १२

तर KD = 12
कुठे
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ त्याच्या उंचीवरून आणि बेसच्या अर्ध्या बेरीजमधून शोधा
, जेथे b - समलंब चौकोनाचा पाया, h - समलंबाची उंची
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 सेमी 2

उत्तर द्या: ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ 80 सेमी 2 आहे.