मुख्यपृष्ठ-पायऱ्यांसाठी अॅक्सेसरीज-परिमाणवाचक संबंध आणि अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान. गणित हा विज्ञानाचा एक संच आहे जो परिमाण, परिमाणवाचक संबंध आणि अभ्यास करतो

परिमाणवाचक संबंध आणि अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान. गणित हा विज्ञानाचा एक संच आहे जो परिमाण, परिमाणवाचक संबंध आणि अभ्यास करतो

    गणित हे परिमाणवाचक संबंध आणि वास्तविक जगाच्या अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान आहे. विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या मागणीच्या जवळच्या संबंधात, गणिताने अभ्यासलेले परिमाणवाचक संबंध आणि अवकाशीय स्वरूपांचा साठा सतत विस्तारत आहे, जेणेकरून वरील व्याख्या सर्वात सामान्य अर्थाने समजली पाहिजे.

    गणिताचा अभ्यास करण्याचा उद्देश सामान्य दृष्टीकोन, विचारांची संस्कृती, वैज्ञानिक जागतिक दृष्टीकोन तयार करणे आहे.

    एक विशेष विज्ञान म्हणून गणिताची स्वतंत्र स्थिती समजून घेणे पुरेसे मोठ्या प्रमाणात तथ्यात्मक सामग्री जमा झाल्यानंतर शक्य झाले आणि 6व्या-5व्या शतकात प्राचीन ग्रीसमध्ये प्रथमच उद्भवले. प्राथमिक गणिताच्या कालखंडाची ही सुरुवात होती.

    या कालावधीत, गणितीय संशोधन केवळ आर्थिक जीवनाच्या सोप्या मागण्यांसह उद्भवलेल्या मूलभूत संकल्पनांच्या मर्यादित साठ्याशी संबंधित होते. त्याच वेळी, विज्ञान म्हणून गणिताची गुणात्मक सुधारणा आधीच होत आहे.

    आधुनिक गणिताची तुलना अनेकदा मोठ्या शहराशी केली जाते. ही एक उत्कृष्ट तुलना आहे, कारण गणितात, एखाद्या मोठ्या शहराप्रमाणे, वाढ आणि सुधारणेची सतत प्रक्रिया असते. नवीन क्षेत्रे गणितात उदयास येत आहेत, नवीन परिसर आणि इमारतींच्या बांधकामाप्रमाणे मोहक आणि खोल नवीन सिद्धांत तयार केले जात आहेत. मात्र नव्या उभारणीमुळे शहराचा चेहरामोहरा बदलण्यापुरतेच प्रगतीचे गणित नाही. आपल्याला जुने बदलायचे आहेत. जुने सिद्धांत नवीन, अधिक सामान्य विषयांमध्ये समाविष्ट केले जातात; जुन्या इमारतींचा पाया मजबूत करण्याची गरज आहे. गणिती शहराच्या दूरच्या भागांमध्ये संपर्क प्रस्थापित करण्यासाठी नवीन रस्ते तयार करावे लागतील. परंतु हे पुरेसे नाही - आर्किटेक्चरल डिझाइनसाठी लक्षणीय प्रयत्नांची आवश्यकता आहे, कारण गणिताच्या विविध क्षेत्रातील शैलींची विविधता केवळ विज्ञानाची एकंदर छाप खराब करत नाही तर संपूर्णपणे विज्ञान समजून घेण्यात, त्याच्या विविध भागांमधील दुवे स्थापित करण्यात हस्तक्षेप करते.

    दुसरी तुलना सहसा वापरली जाते: गणिताची तुलना मोठ्या फांद्याच्या झाडाशी केली जाते, जी पद्धतशीरपणे नवीन कोंब देते. झाडाची प्रत्येक शाखा हे गणिताचे एक किंवा दुसरे क्षेत्र आहे. फांद्यांची संख्या अपरिवर्तित राहत नाही, नवीन फांद्या वाढतात, प्रथम एकत्र वाढतात, स्वतंत्रपणे वाढतात, काही फांद्या सुकतात, पौष्टिक रसांपासून वंचित असतात. दोन्ही तुलने यशस्वी आहेत आणि वास्तविक स्थिती अतिशय चांगल्या प्रकारे व्यक्त करतात.

    निःसंशयपणे, गणिताच्या सिद्धांतांच्या निर्मितीमध्ये सौंदर्याची मागणी महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते. हे सांगण्याशिवाय जाते की सौंदर्याची धारणा खूप व्यक्तिनिष्ठ आहे आणि याबद्दल बर्‍याचदा कुरूप कल्पना आहेत. आणि तरीही गणितज्ञांनी "सौंदर्य" या संकल्पनेत मांडलेल्या एकमताबद्दल आश्चर्यचकित व्हायला हवे: जर थोड्या परिस्थितींमधून वस्तूंच्या विस्तृत श्रेणीशी संबंधित सामान्य निष्कर्ष काढणे शक्य असेल तर परिणाम सुंदर मानला जातो. गणितीय व्युत्पत्ती सुंदर मानली जाते जर त्यात साध्या आणि लहान तर्काने महत्त्वपूर्ण गणितीय तथ्य सिद्ध करणे शक्य असेल. गणितज्ञांची परिपक्वता, त्याच्या प्रतिभेचा अंदाज त्याच्या सौंदर्याची जाणीव किती विकसित आहे यावर होतो. सौंदर्यदृष्ट्या पूर्ण आणि गणितीयदृष्ट्या परिपूर्ण परिणाम समजणे, लक्षात ठेवणे आणि वापरणे सोपे आहे; ज्ञानाच्या इतर क्षेत्रांशी त्यांचा संबंध ओळखणे सोपे आहे.

    आमच्या काळातील गणित हे संशोधनाच्या अनेक क्षेत्रांसह, मोठ्या संख्येने परिणाम आणि पद्धतींसह एक वैज्ञानिक शिस्त बनले आहे. गणित आता इतके महान झाले आहे की एका व्यक्तीला त्याच्या सर्व भागांमध्ये ते समाविष्ट करणे शक्य नाही, त्यात वैश्विक तज्ञ असण्याची शक्यता नाही. त्याच्या स्वतंत्र दिशांमधील कनेक्शनचे नुकसान हे या विज्ञानाच्या वेगवान विकासाचा नक्कीच नकारात्मक परिणाम आहे. तथापि, गणिताच्या सर्व शाखांच्या विकासाच्या आधारावर एक सामान्य गोष्ट आहे - विकासाची उत्पत्ती, गणिताच्या झाडाची मुळे.

    पहिला नैसर्गिक विज्ञान सिद्धांत म्हणून युक्लिडची भूमिती

  • ख्रिस्तपूर्व तिसर्‍या शतकात, "बिगिनिंग्ज" च्या रशियन भाषांतरात अलेक्झांड्रियामध्ये त्याच नावाचे युक्लिडचे एक पुस्तक आले. "बिगिनिंग्स" या लॅटिन नावावरून "प्राथमिक भूमिती" हा शब्द आला. युक्लिडच्या पूर्ववर्तींचे लेखन आपल्यापर्यंत आलेले नसले तरी युक्लिडच्या घटकांवरून आपण या लेखनाबद्दल काही मत तयार करू शकतो. "सुरुवात" मध्ये असे विभाग आहेत जे इतर विभागांशी तार्किकदृष्ट्या फारच कमी जोडलेले आहेत. त्यांचे स्वरूप केवळ या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केले जाते की ते परंपरेनुसार ओळखले गेले होते आणि युक्लिडच्या पूर्ववर्तींच्या "सुरुवाती" ची कॉपी करतात.

    युक्लिड्स एलिमेंट्समध्ये 13 पुस्तके आहेत. पुस्तके 1 - 6 प्लॅनिमेट्रीसाठी समर्पित आहेत, पुस्तके 7 - 10 अंकगणित आणि अतुलनीय परिमाणांबद्दल आहेत जी कंपास आणि स्ट्रेटेज वापरून तयार केली जाऊ शकतात. 11 ते 13 पुस्तके स्टिरिओमेट्रीसाठी समर्पित होती.

    "सुरुवात" 23 व्याख्या आणि 10 स्वयंसिद्धांच्या सादरीकरणाने सुरू होते. पहिले पाच स्वयंसिद्ध "सामान्य संकल्पना" आहेत, बाकीच्यांना "पोस्टुलेट्स" म्हणतात. पहिले दोन पोस्ट्युलेट्स आदर्श शासकाच्या मदतीने कृती निर्धारित करतात, तिसरे - आदर्श कंपासच्या मदतीने. चौथा, "सर्व काटकोन एकमेकांना समान आहेत," अनावश्यक आहे, कारण ते उर्वरित स्वयंसिद्धांमधून काढले जाऊ शकते. शेवटचा, पाचवा पोस्ट्युलेट असे वाचतो: "जर एखादी रेषा दोन ओळींवर पडली आणि दोनपेक्षा कमी रेषांच्या बेरीजमध्ये आतील एकतर्फी कोन तयार केली, तर, या दोन ओळींच्या अमर्यादित निरंतरतेसह, त्या बाजूला छेदतील जेथे कोन दोन ओळींपेक्षा कमी आहेत."

    युक्लिडच्या पाच "सामान्य संकल्पना" ही लांबी, कोन, क्षेत्रफळ, खंड मोजण्याचे तत्त्व आहेत: "समान समान एकमेकांशी समान असतात", "समान समान जोडल्यास, बेरीज एकमेकांच्या समान असतात", "जर समतुल्यांमधून समान वजा केले तर, उर्वरित भाग आपापसात समान असतात", "एकमेकांशी जोडणे एकमेकांच्या बरोबरीचे असतात", "संपूर्ण भागापेक्षा मोठा असतो".

    त्यानंतर युक्लिडच्या भूमितीवर टीका झाली. युक्लिडवर तीन कारणांमुळे टीका करण्यात आली: त्याने फक्त अशा भौमितिक परिमाणांचा विचार केला होता ज्याचा कंपास आणि स्ट्रेटेज वापरून बांधकाम करता येते; भूमिती आणि अंकगणित खंडित करण्यासाठी आणि पूर्णांकांसाठी सिद्ध करण्यासाठी जे त्याने आधीच भूमितीय परिमाणांसाठी सिद्ध केले होते आणि शेवटी, युक्लिडच्या स्वयंसिद्धांसाठी. युक्लिडचे सर्वात कठीण पोस्ट्युलेट, पाचव्या पोस्ट्युलेटवर सर्वात जोरदार टीका केली गेली आहे. अनेकांनी ते अनावश्यक मानले आणि ते इतर स्वयंसिद्धांमधून काढले जाऊ शकते आणि केले पाहिजे. इतरांचा असा विश्वास होता की ते त्याच्या समतुल्य साध्या आणि अधिक स्पष्टीकरणाने बदलले पाहिजे: "सरळ रेषेच्या बाहेरील एका बिंदूद्वारे, त्यांच्या विमानात एकापेक्षा जास्त सरळ रेषा काढता येणार नाही जी या सरळ रेषेला छेदत नाही."

    भूमिती आणि अंकगणित यांच्यातील अंतरावर टीका केल्यामुळे संख्येच्या संकल्पनेचा वास्तविक संख्येपर्यंत विस्तार झाला. पाचव्या आचारसंहितेबद्दलच्या विवादांमुळे 19व्या शतकाच्या सुरूवातीस एन.आय. लोबाचेव्हस्की, जे. बोलाय आणि के.एफ. गॉस यांनी एक नवीन भूमिती तयार केली ज्यामध्ये पाचव्या पोस्ट्यूलेटचा अपवाद वगळता युक्लिडच्या भूमितीच्या सर्व स्वयंसिद्ध गोष्टी पूर्ण केल्या गेल्या. हे उलट विधानाने बदलले गेले: "रेषेबाहेरील एका बिंदूमधून विमानात, दिलेल्या एका बिंदूला छेदत नसलेल्या एकापेक्षा जास्त रेषा काढल्या जाऊ शकतात." ही भूमिती युक्लिडच्या भूमितीइतकीच सुसंगत होती.

    युक्लिडियन विमानावरील लोबाचेव्हस्की प्लॅनिमेट्री मॉडेल 1882 मध्ये फ्रेंच गणितज्ञ हेन्री पॉइन्कारे यांनी तयार केले होते.

    युक्लिडियन समतल वर एक क्षैतिज रेषा काढा. या रेषेला निरपेक्ष (x) म्हणतात. निरपेक्षतेच्या वर असलेल्या युक्लिडियन विमानाचे बिंदू लोबाचेव्हस्की विमानाचे बिंदू आहेत. लोबाचेव्हस्की विमान हे निरपेक्षतेच्या वर पडलेले एक खुले अर्ध-विमान आहे. पॉइन्कारे मॉडेलमधील नॉन-युक्लिडियन खंड हे निरपेक्ष किंवा निरपेक्ष (AB, CD) ला लंब असलेल्या रेषाखंडांवर केंद्रस्थानी असलेल्या वर्तुळांचे आर्क आहेत. लोबाचेव्हस्की विमानावरील आकृती निरपेक्ष (एफ) च्या वर असलेल्या उघड्या अर्ध्या विमानाची आकृती आहे. नॉन-युक्लिडियन गती ही निरपेक्ष आणि अक्षीय सममितीवर केंद्रित असलेल्या मर्यादित संख्येच्या उलटांची रचना आहे ज्यांचे अक्ष निरपेक्षतेला लंब असतात. दोन नॉन-युक्लिडियन विभाग समान आहेत जर त्यापैकी एकाचे भाषांतर नॉन-युक्लिडियन चळवळीद्वारे केले जाऊ शकते. लोबाचेव्हस्कीच्या प्लॅनिमेट्रीच्या स्वयंसिद्धशास्त्राच्या या मूलभूत संकल्पना आहेत.

    लोबाचेव्हस्कीच्या प्लॅनिमेट्रीचे सर्व स्वयंसिद्ध आहेत. "एक नॉन-युक्लिडियन रेषा म्हणजे निरपेक्षतेवर टोक असलेले अर्धवर्तुळ किंवा निरपेक्षतेवर उगम असलेला किरण आणि निरपेक्षतेला लंब असतो." अशाप्रकारे, लोबाचेव्हस्कीच्या समांतरतेच्या स्वयंसिद्धतेचे प्रतिपादन केवळ या रेषेवर नसलेल्या काही रेषा अ आणि बिंदू अ साठीच नाही तर कोणत्याही रेषेसाठी आणि त्यावर नसलेल्या कोणत्याही बिंदू अ साठी देखील आहे.

    लोबाचेव्हस्कीच्या भूमितीच्या मागे, इतर सुसंगत भूमिती देखील उद्भवल्या: प्रक्षेपित भूमिती युक्लिडियनपासून विभक्त झाली, बहुआयामी युक्लिडियन भूमिती विकसित झाली, रिमेनियन भूमिती उद्भवली (लांबी मोजण्याच्या अनियंत्रित नियमासह अवकाशांचा एक सामान्य सिद्धांत), इ. डायमेन्शनल युक्लिडियन स्पेस, 40 - 50 वर्षांची भूमिती विविध सिद्धांतांच्या संचामध्ये बदलली आहे, फक्त काहीसे त्याच्या पूर्वज सारखीच आहे - युक्लिडची भूमिती.

    आधुनिक गणिताच्या निर्मितीचे मुख्य टप्पे. आधुनिक गणिताची रचना

  • शिक्षणतज्ञ ए.एन. कोल्मोगोरोव्ह गणिताच्या विकासातील चार कालखंड ओळखतात कोल्मोगोरोव ए.एन. - गणित, गणितीय विश्वकोषीय शब्दकोश, मॉस्को, सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया, 1988: गणिताचा जन्म, प्राथमिक गणित, चलांचे गणित, आधुनिक गणित.

    प्राथमिक गणिताच्या विकासादरम्यान, संख्यांचा सिद्धांत हळूहळू अंकगणिताच्या बाहेर वाढतो. बीजगणित हे शाब्दिक कॅल्क्युलस म्हणून तयार केले जाते. आणि प्राचीन ग्रीकांनी तयार केलेली प्राथमिक भूमिती सादर करण्याची प्रणाली - युक्लिडची भूमिती - दोन सहस्राब्दी पुढे गणिताच्या सिद्धांताच्या व्युत्पन्न बांधकामाचे मॉडेल बनले.

    17 व्या शतकात, नैसर्गिक विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या मागणीमुळे अशा पद्धतींची निर्मिती झाली ज्यामुळे हालचालींचा गणिती अभ्यास करणे, परिमाण बदलण्याच्या प्रक्रिया आणि भौमितिक आकृत्यांचे परिवर्तन शक्य होते. विश्लेषणात्मक भूमितीमध्ये चलांचा वापर आणि विभेदक आणि अविभाज्य कॅल्क्युलसच्या निर्मितीसह, चलांच्या गणिताचा कालावधी सुरू होतो. 17 व्या शतकातील महान शोध म्हणजे न्यूटन आणि लीबनिझ यांनी सादर केलेली अनंत प्रमाणाची संकल्पना, अनंत प्रमाणांच्या विश्लेषणासाठी पाया तयार करणे (गणितीय विश्लेषण).

    फंक्शनची संकल्पना समोर येते. कार्य हा अभ्यासाचा मुख्य विषय बनतो. फंक्शनचा अभ्यास गणितीय विश्लेषणाच्या मूलभूत संकल्पनांकडे नेतो: मर्यादा, व्युत्पन्न, भिन्नता, अविभाज्य.

    निर्देशांक पद्धतीवर आर. डेकार्टेसच्या तेजस्वी कल्पनेचा देखावा देखील याच काळातील आहे. विश्लेषणात्मक भूमिती तयार केली जाते, जी बीजगणित आणि विश्लेषणाच्या पद्धतींद्वारे भूमितीय वस्तूंचा अभ्यास करण्यास अनुमती देते. दुसरीकडे, समन्वय पद्धतीमुळे बीजगणितीय आणि विश्लेषणात्मक तथ्यांचे भौमितिक अर्थ लावण्याची शक्यता उघड झाली.

    गणिताच्या पुढील विकासामुळे 19 व्या शतकाच्या सुरूवातीस संभाव्य प्रकारचे परिमाणवाचक संबंध आणि स्थानिक स्वरूपांचा सामान्य दृष्टिकोनातून अभ्यास करण्याच्या समस्येची निर्मिती झाली.

    गणित आणि नैसर्गिक विज्ञान यांच्यातील संबंध अधिकाधिक जटिल होत चालला आहे. नवीन सिद्धांत उद्भवतात आणि ते केवळ नैसर्गिक विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या मागणीमुळेच नव्हे तर गणिताच्या अंतर्गत गरजेचा परिणाम म्हणून देखील उद्भवतात. अशा सिद्धांताचे एक उल्लेखनीय उदाहरण म्हणजे N.I. Lobachevsky ची काल्पनिक भूमिती. 19व्या आणि 20व्या शतकातील गणिताचा विकास आपल्याला आधुनिक गणिताच्या कालखंडाला श्रेय देण्यास अनुमती देतो. स्वतःच गणिताचा विकास, विज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांचे गणितीकरण, व्यावहारिक क्रियाकलापांच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये गणितीय पद्धतींचा प्रवेश, संगणक तंत्रज्ञानाच्या प्रगतीमुळे नवीन गणितीय शाखांचा उदय झाला आहे, उदाहरणार्थ, ऑपरेशन्स रिसर्च, गेम थिअरी, गणितीय अर्थशास्त्र आणि इतर.

    गणितीय संशोधनातील मुख्य पद्धती म्हणजे गणितीय पुरावे - कठोर तार्किक तर्क. गणिती विचार हा तार्किक तर्कांपुरता मर्यादित नाही. समस्येचे अचूक सूत्रीकरण करण्यासाठी, ती सोडवण्याच्या पद्धतीच्या निवडीचे मूल्यांकन करण्यासाठी गणितीय अंतर्ज्ञान आवश्यक आहे.

    गणितात, वस्तूंच्या गणितीय मॉडेल्सचा अभ्यास केला जातो. समान गणितीय मॉडेल एकमेकांपासून दूर असलेल्या वास्तविक घटनेच्या गुणधर्मांचे वर्णन करू शकते. तर, समान विभेदक समीकरण लोकसंख्या वाढ आणि किरणोत्सर्गी सामग्रीच्या क्षय प्रक्रियेचे वर्णन करू शकते. गणितज्ञांसाठी, विचाराधीन वस्तूंचे स्वरूप महत्त्वाचे नाही तर त्यांच्यातील संबंध महत्त्वाचे आहेत.

    गणितात तर्काचे दोन प्रकार आहेत: वजावट आणि प्रेरण.

    इंडक्शन ही एक संशोधन पद्धत आहे ज्यामध्ये विशिष्ट परिसराच्या आधारे सामान्य निष्कर्ष काढला जातो.

    वजावट ही तर्क करण्याची एक पद्धत आहे ज्याद्वारे सामान्य परिसरातून विशिष्ट स्वरूपाचा निष्कर्ष काढला जातो.

    नैसर्गिक विज्ञान, अभियांत्रिकी आणि मानवता संशोधनात गणित महत्त्वाची भूमिका बजावते. गणिताच्या ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये प्रवेश करण्याचे कारण असे आहे की ते इतर विज्ञानांद्वारे ऑफर केलेल्या कमी सामान्य आणि अधिक अस्पष्ट मॉडेलच्या विरूद्ध, सभोवतालच्या वास्तविकतेचा अभ्यास करण्यासाठी अतिशय स्पष्ट मॉडेल ऑफर करते. आधुनिक गणिताशिवाय, त्याच्या विकसित तार्किक आणि संगणकीय उपकरणासह, मानवी क्रियाकलापांच्या विविध क्षेत्रांमध्ये प्रगती अशक्य आहे.

    गणित हे केवळ उपयोजित समस्या सोडवण्याचे एक शक्तिशाली साधन आणि विज्ञानाची सार्वत्रिक भाषा नाही तर सामान्य संस्कृतीचा एक घटक देखील आहे.

    गणितीय विचारांची मूलभूत वैशिष्ट्ये

  • या मुद्द्यावर, विशेष स्वारस्य हे ए.या. खिंचिनने दिलेल्या गणितीय विचारांचे वैशिष्ट्य आहे, किंवा त्याऐवजी, त्याचे विशिष्ट ऐतिहासिक स्वरूप - गणितीय विचारांची शैली. गणितीय विचारशैलीचे सार प्रकट करून, त्याने सर्व युगांमध्ये सामान्य असलेली चार वैशिष्ट्ये एकल केली जी या शैलीला इतर विज्ञानातील विचारशैलींपासून वेगळे करतात.

    प्रथम, गणितज्ञ हे मर्यादेपर्यंत आणलेल्या तर्कशक्तीच्या तार्किक योजनेच्या वर्चस्वाने दर्शविले जाते. जो गणितज्ञ या योजनेकडे दुर्लक्ष करतो, किमान तात्पुरता, वैज्ञानिकदृष्ट्या पूर्णपणे विचार करण्याची क्षमता गमावतो. गणितीय विचारांच्या शैलीचे हे विलक्षण वैशिष्ट्य स्वतःमध्ये बरेच मूल्य आहे. अर्थात, जास्तीत जास्त प्रमाणात ते आपल्याला विचारांच्या प्रवाहाच्या शुद्धतेवर लक्ष ठेवण्याची परवानगी देते आणि त्रुटींविरूद्ध हमी देते; दुसरीकडे, ते विचारवंताला विश्लेषणादरम्यान उपलब्ध शक्यतांची संपूर्णता डोळ्यांसमोर ठेवण्यास भाग पाडते आणि एकही न गमावता त्यापैकी प्रत्येक विचारात घेण्यास भाग पाडते (अशा वगळणे अगदी शक्य आहे आणि खरं तर, बरेचदा पाहिले जाते. विचार करण्याच्या इतर शैलींमध्ये).

    दुसरे म्हणजे, संक्षिप्तता, i.e. दिलेल्या ध्येयाकडे नेणारा सर्वात लहान तार्किक मार्ग नेहमी शोधण्याची जाणीवपूर्वक इच्छा, युक्तिवादाच्या निर्दोष वैधतेसाठी पूर्णपणे आवश्यक असलेल्या प्रत्येक गोष्टीचा निर्दयीपणे नकार. चांगल्या शैलीचा एक गणितीय निबंध, कोणतेही "पाणी" सहन करत नाही, सुशोभित करत नाही, रंटिंगचा तार्किक ताण कमकुवत करतो, बाजूला लक्ष विचलित करतो; अत्यंत कंजूषपणा, विचारांची तीव्र कठोरता आणि त्याचे सादरीकरण हे गणितीय विचारांचे अविभाज्य वैशिष्ट्य आहे. हे वैशिष्ट्य केवळ गणितासाठीच नाही तर इतर कोणत्याही गंभीर तर्कासाठी देखील खूप मोलाचे आहे. लॅकोनिझम, काहीही अनावश्यक होऊ न देण्याची इच्छा, विचारवंत आणि त्याचा वाचक किंवा श्रोता या दोघांनाही दुय्यम कल्पनांनी विचलित न होता आणि तर्काच्या मुख्य ओळीशी थेट संपर्क न गमावता विचारांच्या दिलेल्या ट्रेनवर पूर्णपणे लक्ष केंद्रित करण्यास मदत करते.

    विज्ञानाचे दिग्गज, एक नियम म्हणून, ज्ञानाच्या सर्व क्षेत्रात स्वतःला संक्षिप्तपणे विचार करतात आणि व्यक्त करतात, जरी त्यांचे विचार मूलभूतपणे नवीन कल्पना तयार करतात आणि सेट करतात. किती भव्य छाप आहे, उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्राच्या महान निर्मात्यांच्या विचार आणि भाषणातील उदात्त कंजूषपणा: न्यूटन, आइनस्टाईन, नील्स बोहर! त्याच्या निर्मात्यांच्या विचारशैलीचा विज्ञानाच्या विकासावर किती खोल परिणाम होऊ शकतो याचे याहून अधिक उल्लेखनीय उदाहरण शोधणे कठीण आहे.

    गणितासाठी, विचारांची संक्षिप्तता हा एक निर्विवाद कायदा आहे, जो शतकानुशतके प्रमाणित आहे. चित्रे, लक्ष विचलित करणे, वक्तृत्व हे आवश्यक नसतानाही (जरी श्रोत्यांसाठी आनंददायी आणि रोमांचक असले तरीही) सादरीकरणावर भार टाकण्याचा कोणताही प्रयत्न अगोदरच कायदेशीर संशयाच्या कक्षेत ठेवला जातो आणि आपोआप गंभीर सतर्कता निर्माण करतो.

    तिसरे म्हणजे, तर्काच्या कोर्सचे स्पष्ट विच्छेदन. जर, उदाहरणार्थ, एखादा प्रस्ताव सिद्ध करताना, आपण चार संभाव्य प्रकरणांचा विचार केला पाहिजे, ज्यापैकी प्रत्येक एक किंवा दुसर्‍या उपकेसमध्ये विभागली जाऊ शकते, तर तर्काच्या प्रत्येक क्षणी, गणितज्ञांनी स्पष्टपणे लक्षात ठेवले पाहिजे की कोणत्या प्रकरणात आहे आणि त्याचे उपकेस विचार आता प्राप्त केला जात आहे आणि त्याला अद्याप कोणती प्रकरणे आणि उपकेस विचारात घ्यायची आहेत. सर्व प्रकारच्या ब्रँच्ड गणनेसह, गणितज्ञांना प्रत्येक क्षणी सामान्य संकल्पनेची जाणीव असणे आवश्यक आहे ज्यासाठी तो त्याच्या घटक प्रजाती संकल्पनांची गणना करतो. सामान्य, गैर-वैज्ञानिक विचारसरणीत, आपण अनेकदा अशा प्रकरणांमध्ये गोंधळ आणि उडी पाहतो, ज्यामुळे गोंधळ आणि तर्कामध्ये चुका होतात. असे बरेचदा घडते की एखादी व्यक्ती एका वंशाच्या प्रजातींची गणना करण्यास सुरवात करते आणि नंतर श्रोत्यांना (आणि बरेचदा स्वतःला), तर्काच्या अपुर्‍या तार्किक भिन्नतेचा वापर करून, दुसर्‍या वंशात उडी मारते आणि या विधानाने समाप्त होते की दोन्ही. genera आता वर्गीकृत आहेत; आणि श्रोत्यांना किंवा वाचकांना माहित नाही की पहिल्या आणि दुसर्‍या प्रजातींमध्ये सीमा कोठे आहे.

    अशा प्रकारचे गोंधळ आणि उडी अशक्य करण्यासाठी, गणितज्ञांनी बर्याच काळापासून संकल्पना आणि निर्णयांच्या साध्या बाह्य पद्धतींचा विस्तृत वापर केला आहे, कधीकधी (परंतु कमी वेळा) इतर विज्ञानांमध्ये वापरला जातो. त्या संभाव्य प्रकरणे किंवा त्या सामान्य संकल्पना ज्यांचा या तर्कामध्ये विचार केला पाहिजे त्या आगाऊ पुनर्क्रमित केल्या जातात; अशा प्रत्येक प्रकरणात, त्यामध्ये समाविष्ट असलेल्या उपकेसांचा विचार केला जाईल (कधीकधी, भिन्नतेसाठी, काही इतर क्रमांकन प्रणाली वापरून) पुन्हा क्रमांकित केले जातात. प्रत्येक परिच्छेदापूर्वी, जेथे नवीन सबकेसचा विचार सुरू होतो, या उपकेससाठी स्वीकारलेले पद दिले जाते (उदाहरणार्थ: II 3 - याचा अर्थ असा की दुसर्‍या केसच्या तिसऱ्या उपकेसचा विचार येथे सुरू होतो, किंवा तिसर्याचे वर्णन. दुसऱ्या प्रकारचा प्रकार, जर आपण वर्गीकरणाबद्दल बोलत आहोत). आणि वाचकाला माहित आहे की जोपर्यंत तो नवीन संख्यात्मक रूब्रिक येत नाही तोपर्यंत, जे काही सादर केले जाते ते फक्त या केस आणि सबकेसवर लागू होते. असे म्हणता येत नाही की असे क्रमांकन हे केवळ एक बाह्य साधन आहे, खूप उपयुक्त आहे, परंतु कोणत्याही प्रकारे बंधनकारक नाही आणि प्रकरणाचे सार त्यात नाही, परंतु युक्तिवाद किंवा वर्गीकरणाच्या त्या वेगळ्या विभाजनामध्ये आहे, जे ते उत्तेजित करते आणि चिन्हांकित करते. आपोआप.

    चौथे, चिन्हे, सूत्रे, समीकरणे यांची अचूक अचूकता. म्हणजेच, "प्रत्येक गणिती चिन्हाचा काटेकोरपणे परिभाषित अर्थ असतो: ते दुसर्‍या चिन्हाने बदलणे किंवा दुसर्‍या ठिकाणी पुनर्रचना करणे, नियमानुसार, विकृती आणि कधीकधी या विधानाच्या अर्थाचा संपूर्ण नाश होतो."

    गणिताच्या विचारशैलीची मुख्य वैशिष्ट्ये सांगून, ए.या. खिंचिन नोंदवतात की गणित (विशेषत: चलांचे गणित) त्याच्या स्वभावानुसार एक द्वंद्वात्मक वर्ण आहे आणि म्हणूनच द्वंद्वात्मक विचारांच्या विकासास हातभार लावतो. खरंच, गणितीय विचारांच्या प्रक्रियेत दृश्य (ठोस) आणि संकल्पनात्मक (अमूर्त) यांच्यात परस्परसंवाद असतो. "आम्ही रेषांचा विचार करू शकत नाही," कांटने लिहिले, "मानसिकरित्या रेखाटल्याशिवाय, एका बिंदूपासून एकमेकांना लंब असलेल्या तीन रेषा काढल्याशिवाय आपण स्वतःसाठी तीन आयामांचा विचार करू शकत नाही."

    ठोस आणि अमूर्त यांच्या परस्परसंवादामुळे नवीन आणि नवीन संकल्पना आणि तात्विक श्रेणींच्या विकासासाठी गणितीय विचार "नेतृत्व" होते. प्राचीन गणितात (स्थिरांचे गणित), हे "संख्या" आणि "अवकाश" होते, जे मूळतः अंकगणित आणि युक्लिडियन भूमिती आणि नंतर बीजगणित आणि विविध भूमितीय प्रणालींमध्ये प्रतिबिंबित होते. व्हेरिएबल्सचे गणित त्या संकल्पनांवर "आधारीत" होते जे पदार्थाची गती प्रतिबिंबित करतात - "सीमित", "अनंत", "सातत्य", "अनंत", "अनंत लहान", "व्युत्पन्न" इ.

    जर आपण गणितीय ज्ञानाच्या विकासाच्या सध्याच्या ऐतिहासिक टप्प्याबद्दल बोललो, तर ते तात्विक श्रेणींच्या पुढील विकासाशी सुसंगत आहे: संभाव्यतेचा सिद्धांत "मास्टर्स" संभाव्य आणि यादृच्छिक श्रेणी; टोपोलॉजी - संबंध आणि सातत्य श्रेणी; आपत्ती सिद्धांत - उडी श्रेणी; समूह सिद्धांत - सममिती आणि सुसंवाद श्रेणी इ.

    गणितीय विचारांमध्ये, तार्किक जोडणी तयार करण्याचे मुख्य नमुने समान स्वरूपात व्यक्त केले जातात. त्याच्या मदतीने, एकवचन (म्हणजे, विशिष्ट गणितीय पद्धतींमधून - स्वयंसिद्ध, अल्गोरिदमिक, रचनात्मक, सेट-सैद्धांतिक आणि इतर) पासून विशेष आणि सामान्य, सामान्यीकृत वजावटी बांधकामांमध्ये संक्रमण केले जाते. पद्धतींची एकता आणि गणिताचा विषय गणितीय विचारांची वैशिष्ट्ये निश्चित करतो, आम्हाला एका विशेष गणितीय भाषेबद्दल बोलण्याची परवानगी देतो जी केवळ वास्तविकता प्रतिबिंबित करत नाही तर वैज्ञानिक ज्ञानाचे संश्लेषण, सामान्यीकरण आणि अंदाज देखील करते. गणितीय विचारांचे सामर्थ्य आणि सौंदर्य त्याच्या तर्कशास्त्राच्या अत्यंत स्पष्टतेमध्ये, रचनांची अभिजातता आणि अमूर्ततेच्या कुशल बांधकामामध्ये आहे.

    संगणकाच्या शोधामुळे, यंत्राच्या गणिताच्या निर्मितीसह मानसिक क्रियाकलापांच्या मूलभूतपणे नवीन शक्यता उघडल्या. गणिताच्या भाषेत लक्षणीय बदल झाले आहेत. जर शास्त्रीय संगणकीय गणिताच्या भाषेत बीजगणित, भूमिती आणि विश्लेषणाची सूत्रे असतील, निसर्गाच्या निरंतर प्रक्रियांच्या वर्णनावर लक्ष केंद्रित केले असेल, प्रामुख्याने यांत्रिकी, खगोलशास्त्र, भौतिकशास्त्राचा अभ्यास केला असेल, तर त्याची आधुनिक भाषा अल्गोरिदम आणि प्रोग्रामची भाषा आहे विशिष्ट केस म्हणून सूत्रांची जुनी भाषा.

    आधुनिक संगणकीय गणिताची भाषा अधिकाधिक सार्वत्रिक होत आहे, जटिल (मल्टी-पॅरामीटर) प्रणालीचे वर्णन करण्यास सक्षम आहे. त्याच वेळी, मी यावर जोर देऊ इच्छितो की गणिताची भाषा कितीही परिपूर्ण असली तरीही, इलेक्ट्रॉनिक संगणकीय तंत्रज्ञानाद्वारे वर्धित केली गेली असली तरी, ती विविध "जिवंत", नैसर्गिक भाषेशी संबंध तोडत नाही. शिवाय, बोलली जाणारी भाषा ही कृत्रिम भाषेचा आधार आहे. या संदर्भात, शास्त्रज्ञांचा अलीकडील शोध मनोरंजक आहे. मुद्दा असा आहे की आयमारा भारतीयांची प्राचीन भाषा, जी बोलिव्हिया आणि पेरूमधील सुमारे 2.5 दशलक्ष लोक बोलतात, संगणक तंत्रज्ञानासाठी अत्यंत सोयीस्कर ठरली. 1610 च्या सुरुवातीस, इटालियन जेसुइट मिशनरी लुडोविको बर्टोनी, ज्याने पहिला आयमारा शब्दकोश संकलित केला, त्याच्या निर्मात्यांची प्रतिभा लक्षात घेतली, ज्यांनी उच्च तार्किक शुद्धता प्राप्त केली. आयमारामध्ये, उदाहरणार्थ, कोणतेही अनियमित क्रियापद नाहीत आणि काही स्पष्ट व्याकरणाच्या नियमांना अपवाद नाहीत. आयमारा भाषेच्या या वैशिष्ट्यांमुळे बोलिव्हियन गणितज्ञ इव्हान गुझमन डी रोजास या प्रोग्राममध्ये समाविष्ट असलेल्या पाच युरोपियन भाषांपैकी कोणत्याही एका संगणकीय भाषांतराची प्रणाली तयार करण्याची परवानगी दिली, ज्यामधील "पुल" आयमारा भाषा आहे. बोलिव्हियन शास्त्रज्ञाने तयार केलेल्या "आयमारा" या संगणकाचे तज्ञांनी खूप कौतुक केले. गणिताच्या विचारशैलीच्या साराबद्दलच्या प्रश्नाच्या या भागाचा सारांश, हे लक्षात घेतले पाहिजे की त्याची मुख्य सामग्री निसर्गाची समज आहे.

    स्वयंसिद्ध पद्धत

  • Axiomatics हा सिद्धांत तयार करण्याचा मुख्य मार्ग आहे, पुरातन काळापासून ते आजपर्यंत, त्याच्या सार्वत्रिकतेची आणि सर्व लागूपणाची पुष्टी करतो.

    गणितीय सिद्धांताची रचना स्वयंसिद्ध पद्धतीवर आधारित आहे. वैज्ञानिक सिद्धांत काही प्रारंभिक तरतुदींवर आधारित आहे, ज्यांना स्वयंसिद्ध म्हणतात, आणि सिद्धांताच्या इतर सर्व तरतुदी स्वयंसिद्धांचे तार्किक परिणाम म्हणून प्राप्त होतात.

    स्वयंसिद्ध पद्धत प्राचीन ग्रीसमध्ये दिसून आली आणि सध्या जवळजवळ सर्व सैद्धांतिक विज्ञानांमध्ये आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे गणितामध्ये वापरली जाते.

    एका विशिष्ट संदर्भात, तीन पूरक भूमितींची तुलना करताना: युक्लिडियन (पॅराबोलिक), लोबाचेव्हस्की (हायपरबोलिक), आणि रिमेनियन (लंबवर्तुळाकार), हे लक्षात घेतले पाहिजे की काही समानतेसह, गोलाकार भूमितीमध्ये एक मोठा फरक आहे. हात, आणि युक्लिड आणि लोबाचेव्हस्कीच्या भूमिती - दुसरीकडे.

    आधुनिक भूमितीमधील मूलभूत फरक हा आहे की ती आता वेगवेगळ्या काल्पनिक अवकाशांच्या असीम संख्येच्या "भूमिती" ला स्वीकारते. तथापि, हे लक्षात घेतले पाहिजे की या सर्व भूमिती युक्लिडीय भूमितीचे स्पष्टीकरण आहेत आणि युक्लिडने प्रथम वापरलेल्या स्वयंसिद्ध पद्धतीवर आधारित आहेत.

    संशोधनाच्या आधारावर, स्वयंसिद्ध पद्धत विकसित केली गेली आहे आणि मोठ्या प्रमाणावर वापरली गेली आहे. ही पद्धत लागू करण्याच्या एक विशेष बाब म्हणून स्टिरिओमेट्रीमधील ट्रेसची पद्धत आहे, ज्यामुळे पॉलीहेड्रामधील विभागांच्या बांधकामातील समस्या आणि इतर काही स्थितीविषयक समस्यांचे निराकरण करता येते.

    प्रथम भूमितीमध्ये विकसित केलेली स्वयंसिद्ध पद्धत आता गणित, भौतिकशास्त्र आणि यांत्रिकी या इतर शाखांमधील अभ्यासाचे एक महत्त्वाचे साधन बनली आहे. सध्या, अधिक सखोल सिद्धांत तयार करण्याच्या स्वयंसिद्ध पद्धतीमध्ये सुधारणा आणि अभ्यास करण्याचे काम सुरू आहे.

    एक वैज्ञानिक सिद्धांत तयार करण्याच्या स्वयंसिद्ध पद्धतीमध्ये मूलभूत संकल्पना अधोरेखित करणे, सिद्धांतांचे स्वयंसिद्ध सूत्र तयार करणे आणि इतर सर्व विधाने तार्किक पद्धतीने तयार केली जातात, त्यावर अवलंबून असतात. हे ज्ञात आहे की एक संकल्पना इतरांच्या मदतीने समजावून सांगणे आवश्यक आहे, जी काही सुप्रसिद्ध संकल्पनांच्या मदतीने देखील परिभाषित केली जाते. अशा प्रकारे, आम्ही प्राथमिक संकल्पनांवर पोहोचतो ज्या इतरांच्या दृष्टीने परिभाषित केल्या जाऊ शकत नाहीत. या संकल्पनांना मूलभूत म्हणतात.

    जेव्हा आपण एखादे विधान, प्रमेय सिद्ध करतो, तेव्हा आपण आधीच सिद्ध मानल्या गेलेल्या जागेवर अवलंबून असतो. पण हे परिसरही सिद्ध झाले, ते सिद्ध करावे लागले. सरतेशेवटी, आम्ही सिद्ध न होणार्‍या विधानांकडे आलो आणि ते पुराव्याशिवाय स्वीकारतो. या विधानांना स्वयंसिद्ध असे म्हणतात. स्वयंसिद्धांचा संच असा असावा की, त्यावर अवलंबून राहून पुढील विधाने सिद्ध करता येतील.

    मुख्य संकल्पना एकत्रित केल्यावर आणि स्वयंसिद्ध सूत्रे तयार केल्यावर, आम्ही प्रमेये आणि इतर संकल्पना तार्किक पद्धतीने काढतो. ही भूमितीची तार्किक रचना आहे. स्वयंसिद्ध आणि मूलभूत संकल्पना प्लॅनिमेट्रीचा पाया तयार करतात.

    सर्व भूमितींसाठी मूलभूत संकल्पनांची एकच व्याख्या देणे अशक्य असल्याने, भूमितीच्या मूलभूत संकल्पना या भूमितीच्या स्वयंसिद्धांना पूर्ण करणार्‍या कोणत्याही निसर्गाच्या वस्तू म्हणून परिभाषित केल्या पाहिजेत. अशा प्रकारे, भौमितिक प्रणालीच्या स्वयंसिद्ध बांधणीत, आपण स्वयंसिद्ध किंवा स्वयंसिद्धांच्या विशिष्ट प्रणालीपासून सुरुवात करतो. हे स्वयंसिद्ध भूमितीय प्रणालीच्या मूलभूत संकल्पनांच्या गुणधर्मांचे वर्णन करतात आणि स्वयंसिद्धांमध्ये निर्दिष्ट गुणधर्म असलेल्या कोणत्याही निसर्गाच्या वस्तूंच्या रूपात आपण मूलभूत संकल्पनांचे प्रतिनिधित्व करू शकतो.

    पहिली भौमितीय विधाने तयार केल्यानंतर आणि सिद्ध केल्यानंतर, इतरांच्या मदतीने काही विधाने (प्रमेये) सिद्ध करणे शक्य होते. अनेक प्रमेयांचे पुरावे पायथागोरस आणि डेमोक्रिटस यांना दिले जातात.

    व्याख्या आणि स्वयंसिद्धांवर आधारित भूमितीचा पहिला पद्धतशीर अभ्यासक्रम संकलित करण्याचे श्रेय Chios च्या हिप्पोक्रेट्सला जाते. हा कोर्स आणि त्यानंतरच्या प्रक्रियेला "एलिमेंट्स" असे म्हणतात.

    वैज्ञानिक सिद्धांत तयार करण्याची स्वयंसिद्ध पद्धत

  • विज्ञानाची रचना करण्यासाठी वजा किंवा स्वयंसिद्ध पद्धतीची निर्मिती ही गणितीय विचारांची सर्वात मोठी उपलब्धी आहे. त्यासाठी अनेक पिढ्यांतील शास्त्रज्ञांचे कार्य आवश्यक होते.

    सादरीकरणाच्या वजावटी प्रणालीचे एक उल्लेखनीय वैशिष्ट्य म्हणजे या बांधकामाची साधेपणा, ज्यामुळे त्याचे काही शब्दांत वर्णन करणे शक्य होते.

    सादरीकरणाची वजावटी प्रणाली येथे कमी केली आहे:

    1) मूलभूत संकल्पनांच्या यादीत,

    २) व्याख्या सादर करण्यासाठी,

    ३) स्वयंसिद्धांच्या सादरीकरणासाठी,

    4) प्रमेयांच्या सादरीकरणासाठी,

    5) या प्रमेयांच्या पुराव्यासाठी.

    स्वयंसिद्ध म्हणजे पुराव्याशिवाय स्वीकारलेले विधान.

    प्रमेय हे एक विधान आहे जे स्वयंसिद्धांमधून येते.

    पुरावा हा वजावटी प्रणालीचा अविभाज्य भाग आहे, ते तर्क आहे जे दर्शविते की विधानाचे सत्य मागील प्रमेय किंवा स्वयंसिद्धांच्या सत्यापासून तार्किकपणे अनुसरण करते.

    वजावटी प्रणालीमध्ये, दोन प्रश्न सोडवले जाऊ शकत नाहीत: 1) मूलभूत संकल्पनांच्या अर्थाबद्दल, 2) स्वयंसिद्धांच्या सत्याबद्दल. परंतु याचा अर्थ असा नाही की हे प्रश्न सामान्यतः न सुटलेले असतात.

    नैसर्गिक विज्ञानाचा इतिहास दर्शवितो की एखाद्या विशिष्ट विज्ञानाच्या स्वयंसिद्ध बांधकामाची शक्यता केवळ या विज्ञानाच्या विकासाच्या बर्‍यापैकी उच्च स्तरावर दिसून येते, मोठ्या प्रमाणात तथ्यात्मक सामग्रीच्या आधारावर, ज्यामुळे मुख्य गोष्टी स्पष्टपणे ओळखणे शक्य होते. या विज्ञानाने अभ्यासलेल्या वस्तूंमधील संबंध आणि संबंध.

    गणितीय विज्ञानाच्या स्वयंसिद्ध बांधकामाचे उदाहरण म्हणजे प्राथमिक भूमिती. भूमितीची स्वयंसिद्ध प्रणाली युक्लिडने (सुमारे 300 बीसी) "बिगिनिंग्ज" या कामात त्याच्या महत्त्वाच्या बाबतीत स्पष्ट केली होती. ही व्यवस्था आजपर्यंत मोठ्या प्रमाणावर टिकून आहे.

    मूलभूत संकल्पना: बिंदू, रेखा, समतल मूलभूत प्रतिमा; दरम्यान झोपणे, संबंधित, हलवा.

    प्राथमिक भूमितीमध्ये 13 स्वयंसिद्ध आहेत, जे पाच गटांमध्ये विभागलेले आहेत. पाचव्या गटात, समांतरांबद्दल एक स्वयंसिद्धता आहे (युक्लिडचे व्ही पोस्टुलेट): विमानावरील एका बिंदूद्वारे, या सरळ रेषेला छेदत नसलेली फक्त एक सरळ रेषा काढता येते. या एकमेव स्वयंसिद्धतेमुळे पुराव्याची गरज भासली. 19व्या शतकाच्या पूर्वार्धापर्यंत, 2 सहस्राब्दींहून अधिक काळ गणितज्ञांनी पाचव्या पदावर कब्जा केला हे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न, म्हणजे. निकोलाई इव्हानोविच लोबाचेव्हस्कीने आपल्या लेखनात या प्रयत्नांची पूर्ण निराशा सिद्ध केली त्या क्षणापर्यंत. सध्या, पाचव्या पोस्टुलेटची अप्रमाणितता ही एक काटेकोरपणे सिद्ध केलेली गणितीय वस्तुस्थिती आहे.

    समांतर N.I बद्दल स्वयंसिद्ध. Lobachevsky ने स्वयंसिद्ध बदलले: दिलेल्या समतल मध्ये सरळ रेषा आणि सरळ रेषेच्या बाहेर पडलेला एक बिंदू द्या. या बिंदूद्वारे, दिलेल्या रेषेला किमान दोन समांतर रेषा काढता येतात.

    स्वयंसिद्ध N.I.च्या नवीन प्रणालीतून लोबाचेव्हस्कीने, निर्दोष तार्किक कठोरतेसह, प्रमेयांची एक सुसंगत प्रणाली काढली जी गैर-युक्लिडियन भूमितीची सामग्री बनवते. युक्लिड आणि लोबाचेव्हस्कीच्या दोन्ही भूमिती तार्किक प्रणाली म्हणून समान आहेत.

    19व्या शतकातील तीन महान गणितज्ञ जवळजवळ एकाच वेळी, एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे, पाचव्या पोस्ट्युलेटच्या अप्रमाणिततेच्या आणि गैर-युक्लिडियन भूमितीच्या निर्मितीच्या समान परिणामांवर आले.

    निकोलाई इव्हानोविच लोबाचेव्हस्की (१७९२-१८५६)

    कार्ल फ्रेडरिक गॉस (१७७७-१८५५)

    जानोस बोलाय (१८०२-१८६०)

    गणितीय पुरावा

  • गणितीय संशोधनातील मुख्य पद्धत म्हणजे गणितीय पुरावा - कठोर तार्किक तर्क. वस्तुनिष्ठ गरजेनुसार, रशियन अकादमी ऑफ सायन्सेसचे संबंधित सदस्य एल.डी. कुद्र्यवत्सेव्ह कुद्र्यवत्सेव्ह एल.डी. - आधुनिक गणित आणि त्याचे शिक्षण, मॉस्को, नौका, 1985, तार्किक तर्क (जे त्याच्या स्वभावानुसार, योग्य असल्यास, कठोर देखील आहे) ही गणिताची एक पद्धत आहे, त्यांच्याशिवाय गणिताची कल्पना करणे अशक्य आहे. हे लक्षात घेतले पाहिजे की गणितीय विचार केवळ तार्किक तर्कांपुरते मर्यादित नाही. समस्येच्या योग्य फॉर्म्युलेशनसाठी, त्याच्या डेटाचे मूल्यमापन करण्यासाठी, त्यातील महत्त्वाच्या निवडीसाठी आणि ते सोडवण्याच्या पद्धतीच्या निवडीसाठी, गणितीय अंतर्ज्ञान देखील आवश्यक आहे, ज्यामुळे इच्छित परिणामाची पूर्वकल्पना करणे शक्य होते. प्रशंसनीय तर्काच्या सहाय्याने संशोधनाच्या मार्गाची रूपरेषा तयार करण्यासाठी ते प्राप्त केले जाते. परंतु विचाराधीन वस्तुस्थितीची वैधता अनेक उदाहरणांवरून तपासून सिद्ध होत नाही, अनेक प्रयोग (जे स्वतःच गणितीय संशोधनात मोठी भूमिका बजावते) करून नव्हे, तर पूर्णपणे तार्किक मार्गाने सिद्ध होते. औपचारिक तर्कशास्त्राचे नियम.

    असे मानले जाते की गणितीय पुरावा हे अंतिम सत्य आहे. निव्वळ तर्कावर आधारित निर्णय चुकीचा असू शकत नाही. परंतु विज्ञानाच्या विकासामुळे आणि गणितज्ञांसमोरील कार्ये अधिकाधिक गुंतागुंतीची होत आहेत.

    “आम्ही अशा युगात प्रवेश केला आहे जेव्हा गणिताची उपकरणे इतकी गुंतागुंतीची आणि गुंतागुंतीची बनली आहेत की समोर आलेली समस्या खरी आहे की नाही हे पहिल्या दृष्टीक्षेपात आता सांगता येत नाही,” स्टॅनफोर्ड युनिव्हर्सिटी, कॅलिफोर्निया, यूएसए येथील कीथ डेव्हलिन विश्वास ठेवतात. ते उदाहरण म्हणून "साध्या मर्यादित गटांचे वर्गीकरण" देतात, जे 1980 मध्ये तयार केले गेले होते, परंतु अद्याप पूर्ण अचूक पुरावा दिलेला नाही. बहुधा, प्रमेय खरे आहे, परंतु याबद्दल निश्चितपणे सांगणे अशक्य आहे.

    कॉम्प्युटर सोल्यूशनला तंतोतंत म्हटले जाऊ शकत नाही, कारण अशा गणनेमध्ये नेहमीच त्रुटी असते. 1998 मध्ये, हेल्सने 1611 मध्ये तयार केलेल्या केप्लरच्या प्रमेयाला संगणक-सहाय्यित उपाय प्रस्तावित केला. हे प्रमेय अंतराळातील बॉलच्या दाट पॅकिंगचे वर्णन करते. पुरावा 300 पृष्ठांवर सादर केला गेला आणि त्यात मशीन कोडच्या 40,000 ओळी होत्या. 12 समीक्षकांनी एका वर्षासाठी उपाय तपासले, परंतु त्यांना पुराव्याच्या अचूकतेबद्दल 100% विश्वास कधीही प्राप्त झाला नाही आणि अभ्यास पुनरावृत्तीसाठी पाठविला गेला. परिणामी, ते केवळ चार वर्षांनी आणि समीक्षकांच्या पूर्ण प्रमाणपत्राशिवाय प्रकाशित झाले.

    लागू केलेल्या समस्यांसाठी सर्व नवीनतम गणना संगणकावर केली जाते, परंतु शास्त्रज्ञांचा असा विश्वास आहे की अधिक विश्वासार्हतेसाठी, गणितीय गणना त्रुटींशिवाय सादर केल्या पाहिजेत.

    पुराव्याचा सिद्धांत तर्कशास्त्रात विकसित केला गेला आहे आणि त्यात तीन संरचनात्मक घटकांचा समावेश आहे: प्रबंध (काय सिद्ध केले पाहिजे), युक्तिवाद (तथ्यांचा संच, संबंधित विज्ञानाच्या सामान्यतः स्वीकारल्या जाणार्‍या संकल्पना, कायदे इ.) आणि प्रात्यक्षिक (प्रक्रिया पुरावे स्वतः तैनात करणे; निष्कर्षांची एक सुसंगत साखळी जेव्हा nवा अनुमान n+1 व्या अनुमानाच्या परिसरांपैकी एक बनतो). पुराव्याचे नियम वेगळे केले जातात, संभाव्य तार्किक त्रुटी दर्शविल्या जातात.

    औपचारिक तर्कशास्त्राद्वारे स्थापित केलेल्या तत्त्वांशी गणितीय पुराव्यात बरेच साम्य आहे. शिवाय, तर्कशास्त्रातील पुरावा प्रक्रियेच्या विकासामध्ये तर्क आणि ऑपरेशन्सचे गणितीय नियम स्पष्टपणे एक पाया म्हणून काम करतात. विशेषतः, औपचारिक तर्कशास्त्राच्या निर्मितीच्या इतिहासाच्या संशोधकांचा असा विश्वास आहे की एकेकाळी, जेव्हा ऍरिस्टॉटलने कायदे आणि तर्कशास्त्राचे नियम तयार करण्यासाठी पहिली पावले उचलली, तेव्हा तो गणिताकडे आणि कायदेशीर क्रियाकलापांच्या अभ्यासाकडे वळला. या स्त्रोतांमध्ये, त्याला संकल्पित सिद्धांताच्या तार्किक बांधणीसाठी साहित्य सापडले.

    20 व्या शतकात, पुराव्याच्या संकल्पनेने त्याचा कठोर अर्थ गमावला, जो सेट सिद्धांतामध्ये लपलेल्या तार्किक विरोधाभासांच्या शोधाच्या संबंधात आणि विशेषत: औपचारिकतेच्या अपूर्णतेवर के. गॉडेलच्या प्रमेयांनी आणलेल्या परिणामांच्या संबंधात घडला.

    सर्वप्रथम, याचा परिणाम गणितावरच झाला, ज्याच्या संदर्भात असे मानले जात होते की "पुरावा" या शब्दाची अचूक व्याख्या नाही. परंतु जर असे मत (जे आजही आहे) गणितावरच परिणाम करत असेल, तर ते निष्कर्षापर्यंत पोहोचतात की पुरावा तर्कशास्त्र-गणितात नव्हे तर मानसशास्त्रीय अर्थाने स्वीकारला पाहिजे. शिवाय, स्वतः अ‍ॅरिस्टॉटलमध्येही असेच मत आढळते, ज्याचा असा विश्वास होता की सिद्ध करणे म्हणजे तर्क करणे जे आपल्याला इतके पटवून देईल की त्याचा वापर करून, आपण इतरांना एखाद्या गोष्टीची शुद्धता पटवून देतो. ए.ई. येसेनिन-वोल्पिनमध्ये आपल्याला मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोनाची एक विशिष्ट छटा आढळते. तो पुराव्याशिवाय सत्य स्वीकारण्यास तीव्रपणे विरोध करतो, त्यास विश्वासाच्या कृतीशी जोडतो आणि पुढे लिहितो: "मी निर्णयाच्या पुराव्याला एक प्रामाणिक पद्धत म्हणतो ज्यामुळे हा निर्णय निर्विवाद होतो." येसेनिन-व्होलपिनने अहवाल दिला की त्याची व्याख्या अद्याप स्पष्ट करणे आवश्यक आहे. त्याच वेळी, "प्रामाणिक पद्धत" म्हणून पुराव्याचे वैशिष्ट्यीकरण नैतिक-मानसशास्त्रीय मूल्यांकनास अपील करत नाही का?

    त्याच वेळी, सेट-सिद्धांतिक विरोधाभासांचा शोध आणि गोडेलच्या प्रमेयांचे स्वरूप नुकतेच अंतर्ज्ञानी, विशेषतः रचनावादी दिशा आणि डी. हिल्बर्ट यांनी हाती घेतलेल्या गणितीय पुराव्याच्या सिद्धांताच्या विकासास हातभार लावला.

    कधीकधी असे मानले जाते की गणितीय पुरावा सार्वत्रिक आहे आणि वैज्ञानिक पुराव्याची एक आदर्श आवृत्ती दर्शवते. तथापि, ही एकमेव पद्धत नाही; पुराव्यावर आधारित प्रक्रिया आणि ऑपरेशन्सच्या इतर पद्धती आहेत. हे फक्त खरे आहे की गणितीय पुराव्यामध्ये नैसर्गिक विज्ञानात लागू केलेल्या औपचारिक-तार्किक पुराव्याशी बरेच साम्य आहे आणि गणितीय पुराव्यामध्ये काही विशिष्ट वैशिष्ट्ये आहेत, तसेच तंत्र-क्रियांचा संच आहे. इथेच आपण थांबू, इतर प्रकारच्या पुराव्यांशी संबंधित असलेली सामान्य गोष्ट वगळून, म्हणजेच अल्गोरिदम, नियम, त्रुटी इ. सर्व पायऱ्यांमध्ये (अगदी मुख्य सुद्धा) विस्तारित न करता. पुरावा प्रक्रिया.

    गणितीय पुरावा हा एक तर्क आहे ज्यामध्ये विधानाचे सत्य (अर्थातच, गणितात, म्हणजे, deducibility, अर्थ) सिद्ध करण्याचे कार्य आहे.

    गणिताच्या सिद्धांताच्या स्वयंसिद्ध रचनांच्या आगमनासोबत पुराव्यामध्ये वापरल्या जाणार्‍या नियमांचा संच तयार झाला. हे युक्लिडच्या भूमितीमध्ये सर्वात स्पष्टपणे आणि पूर्णपणे लक्षात आले. त्याचे "तत्त्वे" हे गणितीय ज्ञानाच्या स्वयंसिद्ध संस्थेसाठी एक प्रकारचे मॉडेल मानक बनले आणि बराच काळ गणितज्ञांसाठी असेच राहिले.

    एका विशिष्ट क्रमाच्या स्वरूपात सादर केलेल्या विधानांनी निष्कर्षाची हमी देणे आवश्यक आहे, जे, तार्किक ऑपरेशनच्या नियमांच्या अधीन, सिद्ध मानले जाते. यावर जोर देणे आवश्यक आहे की विशिष्ट तर्क हा केवळ काही स्वयंसिद्ध प्रणालीच्या संदर्भात एक पुरावा आहे.

    गणितीय पुराव्याचे वर्णन करताना, दोन मुख्य वैशिष्ट्ये ओळखली जातात. सर्व प्रथम, गणितीय पुरावा अनुभवजन्य पुराव्याचा कोणताही संदर्भ वगळतो हे तथ्य. निष्कर्षाची सत्यता सिद्ध करण्याची संपूर्ण प्रक्रिया स्वीकृत स्वयंसिद्धशास्त्राच्या चौकटीत पार पाडली जाते. शिक्षणतज्ज्ञ ए.डी. अलेक्झांड्रोव्ह या संदर्भात भर देतात. तुम्ही त्रिकोणाचे कोन हजारो वेळा मोजू शकता आणि ते 2d च्या समान असल्याची खात्री करा. पण गणित काही सिद्ध करत नाही. वरील विधान तुम्ही स्वयंसिद्धांतून काढल्यास तुम्ही त्याला सिद्ध कराल. चला पुनरावृत्ती करूया. येथे गणित हे विद्वानांच्या पद्धतींच्या जवळ आहे, जे प्रायोगिकपणे दिलेल्या तथ्यांद्वारे युक्तिवाद देखील मूलभूतपणे नाकारते.

    उदाहरणार्थ, जेव्हा सेगमेंट्सची असंतुलता शोधली गेली, तेव्हा हे प्रमेय सिद्ध करताना, भौतिक प्रयोगासाठी अपील वगळण्यात आले, कारण, प्रथमतः, "असंगतता" ही संकल्पना भौतिक अर्थापासून रहित आहे, आणि दुसरे म्हणजे, गणितज्ञ करू शकत नाहीत, अॅब्स्ट्रॅक्शन हाताळताना, सेन्सरी-व्हिज्युअल यंत्राद्वारे मोजता येण्याजोग्या सामग्री-काँक्रीट विस्तारांना मदत करण्यासाठी. अतुलनीयता, विशेषतः, चौरसाच्या बाजू आणि कर्णाची, कर्णाच्या वर्गाच्या (अनुक्रमे, कर्ण) आणि चौरसांच्या बेरीजच्या समानतेवर पायथागोरियन प्रमेय वापरून पूर्णांकांच्या गुणधर्मावर आधारित सिद्ध केली जाते. पाय (काटक त्रिकोणाच्या दोन बाजू). किंवा जेव्हा लोबाचेव्हस्की खगोलशास्त्रीय निरिक्षणांच्या परिणामांचा संदर्भ घेऊन त्याच्या भूमितीसाठी पुष्टीकरण शोधत होते, तेव्हा ही पुष्टी त्याच्याद्वारे पूर्णपणे अनुमानात्मक स्वरूपाद्वारे केली गेली. Cayley-Klein आणि Beltrami च्या नॉन-युक्लिडियन भूमितीचे स्पष्टीकरण देखील भौतिक वस्तूंऐवजी गणिती वैशिष्ट्यीकृत होते.

    गणितीय पुराव्याचे दुसरे वैशिष्ट्य म्हणजे त्याची सर्वोच्च अमूर्तता, ज्यामध्ये ते इतर विज्ञानातील पुराव्याच्या प्रक्रियेपेक्षा वेगळे आहे. आणि पुन्हा, गणितीय वस्तूच्या संकल्पनेच्या बाबतीत, ते केवळ अमूर्ततेच्या डिग्रीबद्दल नाही तर त्याच्या स्वरूपाबद्दल आहे. वस्तुस्थिती अशी आहे की इतर अनेक विज्ञानांमध्ये पुरावा अमूर्ततेच्या उच्च पातळीपर्यंत पोहोचतो, उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्र, विश्वविज्ञान आणि अर्थातच, तत्त्वज्ञानात, कारण अस्तित्व आणि विचार यांच्या अंतिम समस्या नंतरचा विषय बनतात. दुसरीकडे, गणित या वस्तुस्थितीद्वारे वेगळे केले जाते की येथे चल कार्य करतात, ज्याचा अर्थ कोणत्याही विशिष्ट गुणधर्मांपासून अमूर्त आहे. लक्षात ठेवा की, व्याख्येनुसार, व्हेरिएबल्स ही अशी चिन्हे आहेत ज्याचा स्वतःमध्ये कोणताही अर्थ नसतो आणि जेव्हा विशिष्ट वस्तूंची नावे त्यांच्यासाठी बदलली जातात (वैयक्तिक व्हेरिएबल्स) किंवा जेव्हा विशिष्ट गुणधर्म आणि संबंध सूचित केले जातात (प्रेडिकेट व्हेरिएबल्स) किंवा शेवटी, तेव्हाच ते प्राप्त होतात. , अर्थपूर्ण विधान (प्रपोझिशनल व्हेरिएबल) सह व्हेरिएबल बदलण्याच्या प्रकरणांमध्ये.

    लक्षात घेतलेले वैशिष्ट्य गणितीय पुराव्यामध्ये वापरल्या जाणार्‍या चिन्हांच्या अत्यंत अमूर्ततेचे स्वरूप, तसेच विधाने निर्धारित करते, जे त्यांच्या संरचनेत व्हेरिएबल्सच्या समावेशामुळे, विधानांमध्ये बदलतात.

    पुराव्याची प्रक्रिया, तर्कशास्त्रात प्रात्यक्षिक म्हणून परिभाषित केलेली, निष्कर्षांच्या नियमांच्या आधारे पुढे जाते, ज्याच्या आधारावर एका सिद्ध विधानातून दुसर्‍यामध्ये संक्रमण केले जाते, ज्यामुळे निष्कर्षांची एक सुसंगत साखळी तयार होते. सर्वात सामान्य दोन नियम आहेत (प्रतिस्थापन आणि निष्कर्षांचे व्युत्पन्न) आणि वजावट प्रमेय.

    प्रतिस्थापन नियम. गणितात, प्रतिस्थापना म्हणजे दिलेल्या संचाच्या प्रत्येक घटकाची बदली म्हणजे त्याच संचामधील इतर घटक F(a) द्वारे बदलणे. गणितीय तर्कशास्त्रात, प्रतिस्थापन नियम खालीलप्रमाणे तयार केला जातो. जर प्रपोझिशनल कॅल्क्युलसमधील खरे सूत्र M मध्ये एक अक्षर असेल, A म्हणा, तर ते जिथे जिथे एक अनियंत्रित अक्षर D ने येते तिथे ते बदलून, आपल्याला एक सूत्र मिळेल जे मूळ प्रमाणे देखील खरे आहे. हे शक्य आहे, आणि तंतोतंत मान्य आहे कारण प्रपोझिशनच्या कॅल्क्युलसमध्ये प्रपोझिशन (सूत्र) च्या अर्थाचे सार काढले जाते... फक्त "सत्य" किंवा "असत्य" मूल्ये विचारात घेतली जातात. उदाहरणार्थ, सूत्र M: A--> (BUA) मध्ये आपण A च्या जागी अभिव्यक्ती (AUB) बदलतो, परिणामी आपल्याला नवीन सूत्र (AUB) -->[(BU(AUB)] मिळते.

    निष्कर्ष काढण्याचा नियम औपचारिक तर्कशास्त्रातील सशर्त श्रेणीबद्ध सिलोजिझम मोडस पोनेन्स (होकारार्थी मोड) च्या संरचनेशी संबंधित आहे. हे असे दिसते:

    a .

    एक प्रस्ताव (a-> b) दिलेला आहे आणि a देखील दिलेला आहे. ते खालीलप्रमाणे बी.

    उदाहरणार्थ: जर पाऊस पडत असेल, तर फुटपाथ ओला आहे, पाऊस पडत आहे (अ), म्हणून, फुटपाथ ओला आहे (ब). गणितीय तर्कशास्त्रात, हा शब्दलेखन खालीलप्रमाणे (a-> b) a-> b लिहिला जातो.

    अनुमान, एक नियम म्हणून, निहितार्थ विभक्त करून निर्धारित केले जाते. जर एक तात्पर्य (a-> b) आणि त्याचा पूर्ववर्ती (a) दिला असेल, तर आम्हाला या तात्पर्य (b) च्या परिणामी तर्क (पुरावा) जोडण्याचा अधिकार आहे. सिलॉजिझम जबरदस्ती आहे, पुराव्याच्या वजावटी साधनांचा एक शस्त्रागार बनवतो, म्हणजेच, गणितीय तर्काच्या आवश्यकता पूर्ण करतो.

    गणिताच्या पुराव्यामध्ये महत्त्वाची भूमिका वजावट प्रमेयाद्वारे खेळली जाते - अनेक प्रमेयांचे सामान्य नाव, ज्याच्या प्रक्रियेमुळे गर्भितार्थाची सिद्धता स्थापित करणे शक्य होते: A-> B, जेव्हा तार्किक व्युत्पत्ती असते. सूत्र A पासून सूत्र B. प्रपोझिशनल कॅल्क्युलसच्या सर्वात सामान्य आवृत्तीमध्ये (शास्त्रीय, अंतर्ज्ञानी आणि इतर प्रकारच्या गणितामध्ये), वजावट प्रमेय खालील गोष्टी सांगते. जर परिसर G आणि परिसर A ची प्रणाली दिली असेल, ज्यावरून, नियमांनुसार, B G, A B (- व्युत्पन्नतेचे चिन्ह) काढले जाऊ शकते, तर ते खालीलप्रमाणे आहे की केवळ G च्या परिसरातूनच A हे वाक्य मिळू शकते. --> बी.

    आम्ही प्रकाराचा विचार केला आहे, जो थेट पुरावा आहे. त्याच वेळी, तथाकथित अप्रत्यक्ष पुरावे देखील तर्कशास्त्रात वापरले जातात; तेथे गैर-प्रत्यक्ष पुरावे आहेत जे खालील योजनेनुसार तैनात केले आहेत. अनेक कारणांमुळे (अभ्यासाच्या वस्तूची दुर्गमता, त्याच्या अस्तित्वाची वास्तविकता नष्ट होणे इ.) कोणत्याही विधानाच्या, प्रबंधाच्या सत्याचा थेट पुरावा घेण्याची संधी न मिळाल्याने, ते विरोधाभास तयार करतात. त्यांना खात्री आहे की विरोधाभास विरोधाभासांना कारणीभूत ठरतो आणि म्हणूनच ते खोटे आहे. मग प्रतिवादाच्या असत्यतेच्या वस्तुस्थितीवरून - वगळलेल्या मध्य (a v) च्या कायद्याच्या आधारे - प्रबंधाच्या सत्याबद्दल निष्कर्ष काढतो.

    गणितामध्ये, अप्रत्यक्ष पुराव्याचा एक प्रकार मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो - विरोधाभासाने पुरावा. हे विशेषतः मौल्यवान आहे आणि खरं तर, मूलभूत संकल्पना आणि गणिताच्या तरतुदींच्या स्वीकृतीमध्ये अपरिहार्य आहे, उदाहरणार्थ, वास्तविक अनंताची संकल्पना, जी इतर कोणत्याही प्रकारे सादर केली जाऊ शकत नाही.

    विरोधाभासाने पुराव्याचे ऑपरेशन खालीलप्रमाणे गणितीय तर्कामध्ये दर्शविले जाते. G सूत्रांचा क्रम आणि A (G , A) चे नकार दिलेला आहे. जर हे B आणि त्याचे नकार (G , A B, non-B) सूचित करते, तर आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की A चे सत्य G सूत्रांच्या अनुक्रमावरून येते. दुसऱ्या शब्दांत, प्रबंधाचे सत्य हे अँटीथिसिसच्या असत्यतेचे अनुसरण करते. .

    संदर्भ:

  • 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, 2002;

    2. एल.डी. कुद्र्यवत्सेव, आधुनिक गणित आणि त्याचे शिक्षण, मॉस्को, नौका, 1985;

    3. O. I. Larichev, वस्तुनिष्ठ मॉडेल्स आणि व्यक्तिनिष्ठ निर्णय, मॉस्को, नौका, 1987;

    4. A.Ya.Halamizer, “गणित? - हे मजेदार आहे! ”, लेखकाची आवृत्ती, 1989;

    5. पी.के. राशेव्स्की, रिमेनियन भूमिती आणि टेन्सर विश्लेषण, मॉस्को, तिसरी आवृत्ती, 1967;

    6. V.E. Gmurman, Probability Theory and Mathematical Statistics, Moscow, Higher School, 1977;

    7. वर्ल्ड वाइड नेटवर्क एंटरनेट.

गणित 1. गणित हा शब्द कुठून आला 2. गणिताचा शोध कोणी लावला? 3. मुख्य थीम. 4. व्याख्या 5. शेवटच्या स्लाइडवर व्युत्पत्ती.

हा शब्द कोठून आला (मागील स्लाइडवर जा) ग्रीकमधून गणित - अभ्यास, विज्ञान) - संरचना, क्रम आणि संबंधांचे विज्ञान, ऐतिहासिकदृष्ट्या मोजणी, मोजणे आणि वस्तूंच्या आकाराचे वर्णन करण्याच्या ऑपरेशनवर आधारित आहे. वास्तविक किंवा इतर गणितीय वस्तूंचे गुणधर्म आदर्श करून आणि हे गुणधर्म औपचारिक भाषेत लिहून गणितीय वस्तू तयार केल्या जातात.

गणिताचा शोध कोणी लावला (मेनूवर जा) पहिल्या गणितज्ञांना सहसा थेल्स ऑफ मिलेटस म्हणतात, जो सहाव्या शतकात राहत होता. इ.स.पू e , ग्रीसच्या तथाकथित सात ज्ञानी पुरुषांपैकी एक. ते असो, या विषयावरील संपूर्ण ज्ञान आधार तयार करणारे तेच पहिले होते, जे त्यांना ज्ञात असलेल्या जगात फार पूर्वीपासून तयार झाले आहे. तथापि, आपल्यापर्यंत आलेल्या गणितावरील पहिल्या ग्रंथाचे लेखक युक्लिड (तिसरे शतक BC) होते. त्यालाही या विज्ञानाचे जनक मानले जावे.

मुख्य विषय (मेनूवर जा) गणिताच्या क्षेत्रात फक्त तेच विज्ञान समाविष्ट आहे ज्यामध्ये क्रम किंवा मोजमाप विचारात घेतले जाते आणि हे संख्या, आकृत्या, तारे, ध्वनी किंवा इतर कोणतीही गोष्ट आहे की नाही हे महत्त्वाचे नाही. आढळले आहे. अशाप्रकारे, असे काही सामान्य विज्ञान असले पाहिजे जे कोणत्याही विशिष्ट विषयाच्या अभ्यासात प्रवेश न करता क्रम आणि मोजमापांशी संबंधित सर्व गोष्टींचे स्पष्टीकरण देते आणि या विज्ञानाला परकीयांनी नव्हे तर सामान्य गणिताच्या जुन्या, पूर्वीपासून सामान्य नावाने संबोधले पाहिजे.

व्याख्या (मेनूवर जा) आधुनिक विश्लेषण शास्त्रीय गणितीय विश्लेषणावर आधारित आहे, जे गणिताच्या तीन मुख्य क्षेत्रांपैकी एक मानले जाते (बीजगणित आणि भूमितीसह). त्याच वेळी, शास्त्रीय अर्थाने "गणितीय विश्लेषण" हा शब्द प्रामुख्याने अभ्यासक्रम आणि सामग्रीमध्ये वापरला जातो. अँग्लो-अमेरिकन परंपरेत, शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण "कॅल्क्युलस" नावाच्या अभ्यासक्रमाशी संबंधित आहे.

व्युत्पत्ती (मेनूवर जा) "गणित" हा शब्द इतर ग्रीक भाषेतून आला आहे. , ज्याचा अर्थ अभ्यास, ज्ञान, विज्ञान इ. - ग्रीक, मूळचा अर्थ ग्रहणक्षम, यशस्वी, नंतर अभ्यासाशी संबंधित, नंतर गणिताशी संबंधित. विशेषतः, लॅटिनमध्ये याचा अर्थ गणिताची कला असा होतो. हा शब्द इतर आहे - ग्रीक. आधुनिक अर्थाने “गणित” हा शब्द अ‍ॅरिस्टॉटल (ई.पू. चौथे शतक) यांच्या कृतींमध्ये आधीपासूनच आढळतो.

प्रमाण, परिमाणवाचक संबंध आणि अवकाशीय स्वरूपांचा अभ्यास करणारे विज्ञान

पहिले अक्षर "m"

दुसरे अक्षर "a"

तिसरे अक्षर "टी"

शेवटचे बीच हे अक्षर "a" आहे

"प्रमाण, परिमाणवाचक संबंध आणि अवकाशीय स्वरूपांचा अभ्यास करणारे विज्ञान", 10 अक्षरे या संकेताचे उत्तर:
गणित

गणित या शब्दासाठी क्रॉसवर्ड पझल्समधील पर्यायी प्रश्न

या विज्ञानाच्या प्रतिनिधीने वधूला नोबेलमधून पराभूत केले आणि म्हणूनच त्यात यश मिळविल्याबद्दल नोबेल पारितोषिक दिले जात नाही.

पॉलिटेक्निक विद्यापीठाच्या कार्यक्रमात "टॉवर".

प्रमाण, परिमाणवाचक संबंध आणि अवकाशीय स्वरूपांचा अभ्यास करणारे अचूक विज्ञान

प्रमाण, परिमाणवाचक संबंध, अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान

हाच विषय मरीना नीलोवाने सादर केलेल्या "प्रिय एलेना सर्गेव्हना" ने शाळेत शिकवला होता.

शब्दकोषांमध्ये गणितासाठी शब्द व्याख्या

लिव्हिंग ग्रेट रशियन भाषेचा स्पष्टीकरणात्मक शब्दकोश, व्लादिमीर दल लिव्हिंग ग्रेट रशियन भाषेच्या स्पष्टीकरणात्मक शब्दकोशातील शब्दाचा अर्थ, व्लादिमीर दल
आणि परिमाण आणि परिमाणांचे विज्ञान; संख्यांमध्ये व्यक्त करता येणारी प्रत्येक गोष्ट गणिताशी संबंधित आहे. - शुद्ध, परिमाणांशी अमूर्तपणे व्यवहार करते; - लागू केले, प्रथम केसला, वस्तूंना जोडते. गणित हे अंकगणित आणि भूमितीमध्ये विभागले गेले आहे, प्रथम आहे ...

विकिपीडिया विकिपीडिया शब्दकोशातील शब्दाचा अर्थ
गणित (

ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया शब्दकोशातील शब्दाचा अर्थ
I. गणित विषयाची व्याख्या, इतर विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाशी संबंध. गणित (ग्रीक mathematike, mathema ≈ ज्ञान, विज्ञान पासून), परिमाणवाचक संबंध आणि वास्तविक जगाच्या अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान. "शुद्ध गणिताची वस्तुस्थिती आहे...

रशियन भाषेचा नवीन स्पष्टीकरणात्मक आणि व्युत्पन्न शब्दकोश, टी. एफ. एफ्रेमोवा. शब्दकोशातील शब्दाचा अर्थ रशियन भाषेचा नवीन स्पष्टीकरणात्मक आणि व्युत्पन्न शब्दकोश, टी. एफ. एफ्रेमोवा.
आणि अवकाशीय स्वरूप आणि वास्तविक जगाच्या परिमाणवाचक संबंधांबद्दल वैज्ञानिक शिस्त. दिलेल्या वैज्ञानिक शिस्तीचा सैद्धांतिक पाया असलेला एक शैक्षणिक विषय. उलगडणे एक पाठ्यपुस्तक जे दिलेल्या शैक्षणिक विषयाची सामग्री निर्धारित करते. ट्रान्स उलगडणे अचूक,...

साहित्यात गणित या शब्दाच्या वापराची उदाहरणे.

सुरुवातीला, ट्रेडियाकोव्स्कीला वसिली अदादुरोव यांनी आश्रय दिला होता - गणितज्ञ, महान जेकब बर्नौलीचा विद्यार्थी, आणि या आश्रयासाठी कवीने शास्त्रज्ञांना फ्रेंचमध्ये सूचना दिली.

आत गेले गणितज्ञअदादुरोव, मेकॅनिक लेडीझेन्स्की, वास्तुविशारद इव्हान ब्लँक, विविध महाविद्यालयांचे मूल्यांकनकर्ते, डॉक्टर आणि गार्डनर्स, सैन्य आणि नौदल अधिकारी प्रकाशात आले.

लांब, पॉलिश केलेल्या अक्रोड टेबलवर दोन लोक खुर्च्यांवर बसले: एक्सेल ब्रिगोव्ह आणि गणितज्ञब्रॉडस्की, ज्याला मी त्याच्या शक्तिशाली सॉक्रेटिक टक्कल डोक्याने ओळखले.

पोन्ट्रीयागिन, ज्यांच्या प्रयत्नांनी एक नवीन विभाग तयार झाला गणित- टोपोलॉजिकल बीजगणित, - टोपोलॉजीसह संपन्न विविध बीजगणितीय रचनांचा अभ्यास करणे.

उत्तीर्ण करताना आपण हे देखील लक्षात घेऊया की आपण ज्या युगाचे वर्णन करत आहोत त्या युगात बीजगणिताचा विकास होता, जो तुलनेने अमूर्त शाखा आहे. गणित, त्याचे कमी अमूर्त विभाग, भूमिती आणि अंकगणित एकत्र करून, बीजगणिताच्या सर्वात जुन्या अभिव्यक्तींनी सिद्ध केले आहे जे आपल्यापर्यंत आले आहे, अर्धे बीजगणितीय, अर्धे भूमितीय.

परिमाणवाचक संबंधांचे विज्ञान आणि वास्तविकतेच्या अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान म्हणून गणित आपल्या सभोवतालचे जग, नैसर्गिक आणि सामाजिक घटनांचा अभ्यास करते. परंतु इतर विज्ञानांप्रमाणेच, गणित त्यांच्या विशेष गुणधर्मांचा अभ्यास करते, इतरांपासून अमूर्त. तर, भूमिती वस्तूंचे इतर गुणधर्म विचारात न घेता त्यांच्या आकार आणि आकाराचा अभ्यास करते: रंग, वस्तुमान, कडकपणा इ. सर्वसाधारणपणे, गणितीय वस्तू (भौमितिक आकृती, संख्या, मूल्य) मानवी मनाने तयार केल्या आहेत आणि केवळ मानवी विचारांमध्ये, चिन्हे आणि चिन्हांमध्ये अस्तित्वात आहेत जे गणिताची भाषा बनवतात.

गणिताच्या अमूर्ततेमुळे ते विविध क्षेत्रांमध्ये लागू केले जाऊ शकते, हे निसर्ग समजून घेण्यासाठी एक शक्तिशाली साधन आहे.

ज्ञानाचे स्वरूप दोन गटांमध्ये विभागले गेले आहे.

पहिला गटविविध ज्ञानेंद्रियांच्या साहाय्याने चालवल्या जाणार्‍या संवेदी अनुभूतीचे प्रकार: दृष्टी, श्रवण, गंध, स्पर्श, चव.

कॉ. दुसरा गटअमूर्त विचारसरणीचे प्रकार, प्रामुख्याने संकल्पना, विधाने आणि अनुमान यांचा समावेश होतो.

संवेदी अनुभूतीची रूपे आहेत वाटत, समजआणि प्रतिनिधित्व.

प्रत्येक वस्तूमध्ये एक नाही तर अनेक गुणधर्म असतात आणि आपण ते संवेदनांच्या मदतीने ओळखतो.

भावना- हे वस्तूंच्या वैयक्तिक गुणधर्मांचे किंवा भौतिक जगाच्या घटनेचे प्रतिबिंब आहे, जे थेट (म्हणजेच सध्या) आपल्या इंद्रियांवर परिणाम करतात. हे लाल, उबदार, गोलाकार, हिरवे, गोड, गुळगुळीत आणि वस्तूंच्या इतर वैयक्तिक गुणधर्मांच्या संवेदना आहेत [गेटमॅनोव्हा, पी. 7].

वैयक्तिक संवेदनांमधून, संपूर्ण वस्तूची धारणा तयार होते. उदाहरणार्थ, सफरचंदाची धारणा अशा संवेदनांनी बनलेली असते: गोलाकार, लाल, गोड आणि आंबट, सुवासिक इ.

समजहे बाह्य भौतिक वस्तूचे समग्र प्रतिबिंब आहे जे थेट आपल्या संवेदनांवर परिणाम करते [गेटमनोव्हा, पी. 8]. उदाहरणार्थ, प्लेट, कप, चमचा, इतर भांडीची प्रतिमा; नदीची प्रतिमा, जर आपण आता तिच्या बाजूने प्रवास करत आहोत किंवा तिच्या काठावर आहोत; जंगलाची प्रतिमा, जर आपण आता जंगलात आलो आहोत, इ.

धारणा, जरी ते आपल्या मनातील वास्तविकतेचे संवेदनात्मक प्रतिबिंब असले तरी ते मुख्यत्वे मानवी अनुभवावर अवलंबून असतात. उदाहरणार्थ, एक जीवशास्त्रज्ञ कुरण एका प्रकारे समजेल (त्याला वेगवेगळ्या प्रकारच्या वनस्पती दिसतील), परंतु पर्यटक किंवा कलाकार ते पूर्णपणे वेगळ्या प्रकारे जाणतील.

कामगिरी- ही एखाद्या वस्तूची एक कामुक प्रतिमा आहे जी सध्या आपल्याला समजत नाही, परंतु जी पूर्वी आपल्याला एका स्वरूपात किंवा दुसर्‍या स्वरूपात समजली होती [गेटमनोव्हा, पी. 10]. उदाहरणार्थ, आम्ही परिचितांचे चेहरे, घरातील आमची खोली, बर्च झाडाची किंवा मशरूमची कल्पना करू शकतो. ही उदाहरणे आहेत पुनरुत्पादनप्रतिनिधित्व, जसे आपण या वस्तू पाहिल्या आहेत.

सादरीकरण असू शकते सर्जनशील, यासह विलक्षण. आम्ही सुंदर राजकुमारी हंस, किंवा झार साल्टन, किंवा गोल्डन कॉकरेल आणि ए.एस.च्या परीकथांमधील इतर अनेक पात्रे सादर करतो. पुष्किन, ज्याला आपण कधीही पाहिले नाही आणि कधीही दिसणार नाही. मौखिक वर्णनापेक्षा सर्जनशील सादरीकरणाची ही उदाहरणे आहेत. आम्ही स्नो मेडेन, सांताक्लॉज, जलपरी इत्यादींची देखील कल्पना करतो.

तर, संवेदी ज्ञानाचे स्वरूप म्हणजे संवेदना, धारणा आणि प्रतिनिधित्व. त्यांच्या मदतीने, आम्ही ऑब्जेक्टचे बाह्य पैलू (त्याची वैशिष्ट्ये, गुणधर्मांसह) शिकतो.

अमूर्त विचारसरणीचे स्वरूप म्हणजे संकल्पना, विधाने आणि निष्कर्ष.

संकल्पना. संकल्पनांची व्याप्ती आणि सामग्री

"संकल्पना" हा शब्द सामान्यतः अनियंत्रित स्वरूपाच्या वस्तूंच्या संपूर्ण वर्गासाठी वापरला जातो ज्यात विशिष्ट वैशिष्ट्यपूर्ण (विशिष्ट, आवश्यक) गुणधर्म असतात किंवा अशा गुणधर्मांचा संपूर्ण समूह असतो, म्हणजे. गुणधर्म जे त्या वर्गाच्या सदस्यांसाठी अद्वितीय आहेत.

तर्कशास्त्राच्या दृष्टिकोनातून, संकल्पना ही विचारसरणीचा एक विशेष प्रकार आहे, ज्याचे वैशिष्ट्य खालीलप्रमाणे आहे: 1) संकल्पना अत्यंत संघटित पदार्थाचे उत्पादन आहे; २) संकल्पना भौतिक जगाला प्रतिबिंबित करते; 3) संकल्पना चेतनामध्ये सामान्यीकरणाचे साधन म्हणून दिसते; 4) संकल्पना म्हणजे विशेषतः मानवी क्रियाकलाप; 5) एखाद्या व्यक्तीच्या मनात संकल्पना तयार करणे हे भाषण, लेखन किंवा चिन्हाद्वारे तिच्या अभिव्यक्तीपासून अविभाज्य आहे.

कोणत्याही वस्तुस्थितीची संकल्पना आपल्या मनात कशी निर्माण होते?

एक विशिष्ट संकल्पना तयार करण्याची प्रक्रिया ही एक क्रमिक प्रक्रिया आहे ज्यामध्ये अनेक सलग टप्पे पाहिले जाऊ शकतात. सर्वात सोप्या उदाहरणाचा वापर करून या प्रक्रियेचा विचार करा - मुलांमध्ये क्रमांक 3 च्या संकल्पनेची निर्मिती.

1. अनुभूतीच्या पहिल्या टप्प्यावर, मुले विषय चित्रांचा वापर करून आणि तीन घटकांचे (तीन सफरचंद, तीन पुस्तके, तीन पेन्सिल इ.) विविध संच दाखवून, विविध विशिष्ट संचांशी परिचित होतात. मुले यातील प्रत्येक संच केवळ पाहतात असे नाही तर हे संच बनवणाऱ्या वस्तूंना ते स्पर्श (स्पर्श) देखील करू शकतात. "पाहण्याची" ही प्रक्रिया मुलाच्या मनात वास्तवाच्या प्रतिबिंबाचे एक विशेष रूप तयार करते, ज्याला म्हणतात. समज (भावना).

2. प्रत्येक संच बनवणार्‍या वस्तू (वस्तू) काढून टाकू आणि प्रत्येक संचामध्ये काहीतरी साम्य आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी मुलांना आमंत्रित करू. प्रत्येक संचातील वस्तूंची संख्या मुलांच्या मनावर बिंबवली जायची, की सगळीकडे “तीन” आहेत. असे असेल तर मुलांच्या मनात एक नवीन रूप निर्माण झाले आहे - क्रमांक तीनची कल्पना.

3. पुढच्या टप्प्यावर, विचार प्रयोगाच्या आधारे, मुलांनी हे पाहिले पाहिजे की "तीन" शब्दात व्यक्त केलेला गुणधर्म फॉर्मच्या (a; b; c) विविध घटकांच्या कोणत्याही संचाचे वैशिष्ट्य आहे. अशा प्रकारे, अशा संचांचे एक आवश्यक सामान्य वैशिष्ट्य वेगळे केले जाईल: "तीन घटक असणे".आता आपण असे म्हणू शकतो की मुलांच्या मनात तयार झाले क्रमांक 3 ची संकल्पना.

संकल्पना- हा विचार करण्याचा एक विशेष प्रकार आहे, जो अभ्यासाच्या वस्तू किंवा वस्तूंचे आवश्यक (विशिष्ट) गुणधर्म प्रतिबिंबित करतो.

संकल्पनेचे भाषिक रूप म्हणजे शब्द किंवा शब्दांचा समूह. उदाहरणार्थ, “त्रिकोण”, “क्रमांक तीन”, “बिंदू”, “सरळ रेषा”, “समद्विभुज त्रिकोण”, “वनस्पती”, “शंकूच्या आकाराचे झाड”, “येनिसेई नदी”, “टेबल” इ.

गणिती संकल्पनांमध्ये अनेक वैशिष्ट्ये आहेत. मुख्य म्हणजे ज्या गणितीय वस्तूंबद्दल संकल्पना तयार करणे आवश्यक आहे त्या प्रत्यक्षात अस्तित्वात नाहीत. गणिती वस्तू मानवी मनाने निर्माण केल्या आहेत. या आदर्श वस्तू आहेत ज्या वास्तविक वस्तू किंवा घटना प्रतिबिंबित करतात. उदाहरणार्थ, भूमितीमध्ये, वस्तूंचे आकार आणि आकार यांचा अभ्यास केला जातो, त्यांचे इतर गुणधर्म विचारात न घेता: रंग, वस्तुमान, कडकपणा इ. या सगळ्यातून ते विचलित होतात, अमूर्त होतात. म्हणून, भूमितीमध्ये, "ऑब्जेक्ट" या शब्दाऐवजी ते "भौमितिक आकृती" म्हणतात. अमूर्ततेचा परिणाम "संख्या" आणि "मूल्य" सारख्या गणिती संकल्पना देखील आहेत.

मुख्य वैशिष्ट्येकोणतेही संकल्पना आहेतखालील: 1) खंड; 2) सामग्री; 3) संकल्पनांमधील संबंध.

जेव्हा ते गणितीय संकल्पनेबद्दल बोलतात तेव्हा त्यांचा अर्थ सामान्यतः एका संज्ञा (शब्द किंवा शब्दांचा समूह) द्वारे दर्शविलेल्या वस्तूंचा संपूर्ण संच (संच) असतो. म्हणून, चौरसाबद्दल बोलणे, त्यांचा अर्थ सर्व भौमितीय आकार आहेत जे चौरस आहेत. असे मानले जाते की सर्व चौरसांचा संच "चौरस" च्या संकल्पनेची व्याप्ती आहे.

संकल्पनेची व्याप्तीही संकल्पना लागू असलेल्या वस्तू किंवा वस्तूंचा संच म्हणतात.

उदाहरणार्थ, 1) "समांतरभुज चौकोन" या संकल्पनेची व्याप्ती म्हणजे समांतरभुज चौकोन योग्य, समभुज चौकोन, आयत आणि चौकोन अशा चौकोनांचा संच; 2) "एक-अंकी नैसर्गिक संख्या" या संकल्पनेची व्याप्ती हा संच असेल - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

कोणत्याही गणितीय वस्तूचे काही गुणधर्म असतात. उदाहरणार्थ, चौरसाला चार बाजू असतात, कर्णांच्या बरोबरीचे चार काटकोन असतात, कर्ण छेदनबिंदूने दुभाजलेले असतात. आपण त्याचे इतर गुणधर्म निर्दिष्ट करू शकता, परंतु ऑब्जेक्टच्या गुणधर्मांमध्ये ते आहेत आवश्यक (विशिष्ट)आणि अनावश्यक.

मालमत्ता म्हणतात आवश्यक एखाद्या वस्तूसाठी (विशिष्ट) जर ती या वस्तूमध्ये अंतर्भूत असेल आणि त्याशिवाय ती अस्तित्वात नसेल; मालमत्ता म्हणतात नगण्य एखाद्या वस्तूसाठी जर ती त्याशिवाय अस्तित्वात असू शकते.

उदाहरणार्थ, चौरसासाठी, वर सूचीबद्ध केलेले सर्व गुणधर्म आवश्यक आहेत. “बाजूची AD क्षैतिज आहे” हा गुणधर्म ABCD (चित्र 1) वर्गासाठी अप्रासंगिक असेल. हा चौकोन फिरवला तर बाजू AD उभी असेल.

व्हिज्युअल मटेरियल वापरणाऱ्या प्रीस्कूलर्ससाठी एक उदाहरण विचारात घ्या (चित्र 2):

आकृतीचे वर्णन करा.

लहान काळा त्रिकोण. तांदूळ. 2

मोठा पांढरा त्रिकोण.

आकडे कसे समान आहेत?

आकडे कसे वेगळे आहेत?

रंग, आकार.

त्रिकोणामध्ये काय असते?

3 बाजू, 3 कोपरे.

अशा प्रकारे, मुले "त्रिकोण" च्या संकल्पनेचे आवश्यक आणि गैर-आवश्यक गुणधर्म शोधतात. अत्यावश्यक गुणधर्म - "तीन बाजू आणि तीन कोन आहेत", गैर-आवश्यक गुणधर्म - रंग आणि आकार.

या संकल्पनेमध्ये परावर्तित वस्तू किंवा वस्तूच्या सर्व आवश्यक (विशिष्ट) गुणधर्मांची संपूर्णता म्हणतात संकल्पनेची सामग्री .

उदाहरणार्थ, "समांतरभुज चौकोन" च्या संकल्पनेसाठी सामग्री हा गुणधर्मांचा एक संच आहे: त्याला चार बाजू आहेत, त्याला चार कोपरे आहेत, विरुद्ध बाजू जोडीने समांतर आहेत, विरुद्ध बाजू समान आहेत, विरुद्ध कोन समान आहेत, छेदनबिंदूंवरील कर्ण आहेत. अर्ध्या भागात विभागले आहेत.

संकल्पनेची मात्रा आणि त्यातील सामग्री यांच्यात एक संबंध आहे: जर एखाद्या संकल्पनेचा आवाज वाढला तर त्याची सामग्री कमी होते आणि त्याउलट. म्हणून, उदाहरणार्थ, "समद्विभुज त्रिकोण" या संकल्पनेची व्याप्ती "त्रिकोण" या संकल्पनेच्या व्याप्तीचा भाग आहे आणि "समद्विभुज त्रिकोण" या संकल्पनेच्या सामग्रीमध्ये "त्रिकोण" या संकल्पनेच्या सामग्रीपेक्षा अधिक गुणधर्म समाविष्ट आहेत, कारण समद्विभुज त्रिकोणामध्ये केवळ त्रिकोणाचे सर्व गुणधर्म नसतात, तर समद्विभुज त्रिकोणामध्ये अंतर्भूत असलेले इतर देखील असतात ("दोन बाजू समान असतात", "दोन कोन समान असतात", "दोन मध्यक समान असतात" इ.).

संकल्पना विभागल्या आहेत एकल, सामान्यआणि श्रेणी

ज्या संकल्पनेची मात्रा 1 आहे त्याला म्हणतात एकल संकल्पना .

उदाहरणार्थ, संकल्पना: "येनिसेई नदी", "तुवा प्रजासत्ताक", "मॉस्को शहर".

ज्या संकल्पना 1 पेक्षा जास्त आहेत त्यांना म्हणतात सामान्य .

उदाहरणार्थ, संकल्पना: "शहर", "नदी", "चतुर्भुज", "संख्या", "बहुभुज", "समीकरण".

कोणत्याही विज्ञानाच्या पायाचा अभ्यास करण्याच्या प्रक्रियेत, मुले सामान्यतः सामान्य संकल्पना तयार करतात. उदाहरणार्थ, प्राथमिक इयत्तांमध्ये, विद्यार्थ्यांना “संख्या”, “संख्या”, “एकल-अंकी संख्या”, “दोन-अंकी संख्या”, “बहु-अंकी संख्या”, “अपूर्णांक”, “शेअर” या संकल्पनांची ओळख होते. ”, “अ‍ॅडिशन”, “टर्म” , “बेरीज”, “वजाबाकी”, “वजाबाकी”, “कमी”, “फरक”, “गुणाकार”, “गुणक”, “उत्पादन”, “विभाग”, “विभाज्य” "भाजक", "भागफल", "बॉल, सिलेंडर, शंकू, घन, समांतर, पिरॅमिड, कोन, त्रिकोण, चतुर्भुज, चौरस, आयत, बहुभुज, वर्तुळ , "वर्तुळ", "वक्र", "पॉलीलाइन", "सेगमेंट" , "खंडाची लांबी", "किरण", "सरळ रेषा", "बिंदू", "लांबी", "रुंदी", "उंची", "परिमिती", "आकृती क्षेत्र", "खंड", "वेळ", " गती", "वस्तुमान", "किंमत", "किंमत" आणि इतर अनेक. या सर्व संकल्पना सामान्य संकल्पना आहेत.

अभ्यासाखालील वस्तूंचे आदर्श गुणधर्म एकतर स्वयंसिद्ध म्हणून तयार केले जातात किंवा संबंधित गणितीय वस्तूंच्या व्याख्येत सूचीबद्ध केले जातात. मग, तार्किक अनुमानांच्या कठोर नियमांनुसार, या गुणधर्मांवरून इतर खरे गुणधर्म (प्रमेये) काढले जातात. हा सिद्धांत एकत्रितपणे अभ्यासात असलेल्या वस्तूचे गणितीय मॉडेल बनवतो. अशाप्रकारे, सुरुवातीला अवकाशीय आणि परिमाणात्मक संबंधांवरून पुढे जाताना, गणिताला अधिक अमूर्त संबंध प्राप्त होतात, ज्याचा अभ्यास हा आधुनिक गणिताचा देखील विषय आहे.

पारंपारिकपणे, गणित हे सैद्धांतिक मध्ये विभागले गेले आहे, जे आंतर-गणितीय संरचनांचे सखोल विश्लेषण करते आणि ते लागू केले जाते, जे इतर विज्ञान आणि अभियांत्रिकी शाखांना त्याचे मॉडेल प्रदान करते आणि त्यापैकी काही गणिताच्या सीमेवर स्थान व्यापतात. विशेषतः, औपचारिक तर्कशास्त्र तात्विक विज्ञानाचा भाग म्हणून आणि गणितीय विज्ञानाचा भाग म्हणून दोन्ही मानले जाऊ शकते; यांत्रिकी - भौतिकशास्त्र आणि गणित दोन्ही; संगणक विज्ञान, संगणक तंत्रज्ञान आणि अल्गोरिदम हे दोन्ही अभियांत्रिकी आणि गणितीय विज्ञान इत्यादींचा संदर्भ देतात. साहित्यात गणिताच्या अनेक भिन्न व्याख्या प्रस्तावित केल्या आहेत.

व्युत्पत्ती

"गणित" हा शब्द इतर ग्रीक भाषेतून आला आहे. μάθημα, याचा अर्थ अभ्यास करत आहे, ज्ञान, विज्ञान, इ. - ग्रीक. μαθηματικός, मूळ अर्थ ग्रहणक्षम, विपुल, नंतर अभ्यास करण्यायोग्य, त्यानंतर गणिताशी संबंधित. विशेषतः, μαθηματικὴ τέχνη , लॅटिनमध्ये ars mathematica, म्हणजे गणिताची कला. इतर ग्रीक शब्द. μᾰθημᾰτικά "गणित" या शब्दाच्या आधुनिक अर्थाने अ‍ॅरिस्टॉटल (ई.पू. चौथे शतक) यांच्या लिखाणात आधीपासूनच आढळतो. फास्मरच्या मते, हा शब्द पोलिश भाषेतून रशियन भाषेत आला. matematyka, किंवा lat माध्यमातून. गणित

व्याख्या

डेकार्टेसने गणित विषयाची पहिली व्याख्या दिली होती:

गणिताच्या क्षेत्रामध्ये फक्त अशाच विज्ञानांचा समावेश होतो ज्यामध्ये एकतर क्रम किंवा मोजमाप विचारात घेतले जाते आणि या संख्या, आकृत्या, तारे, ध्वनी किंवा इतर कोणतीही गोष्ट ज्यामध्ये हे मोजमाप शोधले जाते याने काही फरक पडत नाही. अशाप्रकारे, असे काही सामान्य विज्ञान असले पाहिजे जे कोणत्याही विशिष्ट विषयाच्या अभ्यासात प्रवेश न करता क्रम आणि मोजमापांशी संबंधित सर्व गोष्टींचे स्पष्टीकरण देते आणि या विज्ञानाला परकीयांनी नव्हे तर सामान्य गणिताच्या जुन्या, पूर्वीपासून सामान्य नावाने संबोधले पाहिजे.

गणिताचे सार ... आता वस्तूंमधील संबंधांचा सिद्धांत म्हणून सादर केला जातो, ज्याबद्दल त्यांचे वर्णन करणार्‍या काही गुणधर्मांशिवाय काहीही ज्ञात नाही - तंतोतंत जे सिद्धांताच्या आधारावर स्वयंसिद्ध म्हणून ठेवले जातात ... गणित आहे अमूर्त स्वरूपांचा संच - गणितीय संरचना.

गणिताच्या शाखा

1. गणित म्हणून शैक्षणिक शिस्त

नोटेशन

गणित अत्यंत वैविध्यपूर्ण आणि त्याऐवजी जटिल संरचनांशी संबंधित असल्याने, त्याचे संकेतन देखील खूप गुंतागुंतीचे आहे. युरोपियन बीजगणितीय परंपरेच्या आधारे, तसेच गणिताच्या नंतरच्या शाखांच्या गरजा - गणितीय विश्लेषण, गणितीय तर्कशास्त्र, संच सिद्धांत इत्यादींच्या आधारे लेखन सूत्रांची आधुनिक प्रणाली तयार करण्यात आली. भूमितीने काळापासून दृश्य (भूमितीय) प्रतिनिधित्व वापरले आहे. अनादि आधुनिक गणितामध्ये, जटिल ग्राफिक नोटेशन सिस्टम (उदाहरणार्थ, कम्युटेटिव्ह आकृत्या) देखील सामान्य आहेत आणि आलेखांवर आधारित नोटेशन देखील बर्याचदा वापरले जाते.

लघु कथा

गणिताचे तत्वज्ञान

ध्येय आणि पद्धती

जागा R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), येथे n > 3 (\displaystyle n>3)एक गणितीय शोध आहे. तथापि, एक अतिशय कल्पक शोध जो गणितीयदृष्ट्या जटिल घटना समजून घेण्यास मदत करतो».

पाया

अंतर्ज्ञानवाद

रचनात्मक गणित

स्पष्ट करणे

मुख्य थीम

प्रमाण

परिमाणांच्या अमूर्ततेशी संबंधित मुख्य विभाग बीजगणित आहे. "संख्या" ची संकल्पना मूळतः अंकगणित प्रस्तुतीकरणातून उद्भवली आणि नैसर्गिक संख्यांना संदर्भित केले. नंतर, बीजगणिताच्या मदतीने, हळूहळू पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, जटिल आणि इतर संख्यांपर्यंत विस्तारित केले गेले.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\ displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) परिमेय संख्या 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\ displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) वास्तविक संख्या − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\ displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\डॉट्स) जटिल संख्या चतुर्थांश

परिवर्तने

परिवर्तन आणि बदलांच्या घटना विश्लेषणाद्वारे सर्वात सामान्य स्वरूपात विचारात घेतल्या जातात.

संरचना

अवकाशीय संबंध

भूमिती अवकाशीय संबंधांच्या मूलभूत गोष्टींचा विचार करते. त्रिकोणमिती त्रिकोणमितीय कार्यांचे गुणधर्म विचारात घेते. गणितीय विश्लेषणाद्वारे भौमितिक वस्तूंचा अभ्यास विभेदक भूमितीशी संबंधित आहे. सतत विकृतींमध्ये अपरिवर्तित राहिलेल्या स्पेसचे गुणधर्म आणि सातत्य ही घटना टोपोलॉजीद्वारे अभ्यासली जाते.

स्वतंत्र गणित

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

गणित फार पूर्वीपासून आहे. माणसाने फळे गोळा केली, फळे खणली, मासेमारी केली आणि हिवाळ्यासाठी ते सर्व साठवले. किती अन्न साठवले जाते हे समजून घेण्यासाठी, एका व्यक्तीने खात्याचा शोध लावला. गणिताची सुरुवात अशी झाली.

मग तो माणूस शेती करू लागला. जमिनीचे भूखंड मोजणे, घरे बांधणे, वेळ मोजणे आवश्यक होते.

म्हणजेच, एखाद्या व्यक्तीसाठी वास्तविक जगाचे परिमाणवाचक गुणोत्तर वापरणे आवश्यक झाले. किती पिकांची कापणी झाली आहे, इमारतीच्या प्लॉटचा आकार किती आहे किंवा आकाशाचे क्षेत्रफळ किती मोठे आहे ते ठराविक संख्येने तेजस्वी ताऱ्यांसह निश्चित करा.

याव्यतिरिक्त, एखाद्या व्यक्तीने फॉर्म निर्धारित करण्यास सुरुवात केली: सूर्य गोल आहे, बॉक्स चौरस आहे, तलाव अंडाकृती आहे आणि या वस्तू जागेत कशा आहेत. म्हणजेच, एखाद्या व्यक्तीला वास्तविक जगाच्या अवकाशीय स्वरूपांमध्ये रस निर्माण झाला.

अशा प्रकारे संकल्पना गणितपरिमाणवाचक संबंध आणि वास्तविक जगाच्या अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते.

सध्या असा एकही व्यवसाय नाही जिथे गणिताशिवाय करता येईल. प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस, ज्यांना "गणिताचा राजा" म्हटले गेले होते, एकदा म्हणाले:

"गणित ही विज्ञानाची राणी आहे, अंकगणित ही गणिताची राणी आहे."

"अंकगणित" हा शब्द ग्रीक शब्द "अरिथमॉस" - "संख्या" पासून आला आहे.

अशा प्रकारे, अंकगणितगणिताची एक शाखा आहे जी संख्या आणि त्यावरील क्रियांचा अभ्यास करते.

प्राथमिक शाळेत, सर्व प्रथम, ते अंकगणिताचा अभ्यास करतात.

हे विज्ञान कसे विकसित झाले, चला या समस्येचे अन्वेषण करूया.

गणिताच्या जन्माचा काळ

गणितीय ज्ञान जमा होण्याचा मुख्य काळ हा इसवी सनपूर्व ५ व्या शतकापूर्वीचा काळ मानला जातो.

प्रथम ज्याने गणितीय स्थिती सिद्ध करण्यास सुरुवात केली तो एक प्राचीन ग्रीक विचारवंत होता जो ईसापूर्व 7 व्या शतकात, संभाव्यतः 625-545 मध्ये राहत होता. या तत्त्ववेत्त्याने पूर्वेकडील देशांतून प्रवास केला. परंपरा सांगते की त्याने इजिप्शियन पुजारी आणि बॅबिलोनियन कॅल्डियन लोकांसोबत अभ्यास केला.

मिलेटसच्या थेल्सने इजिप्तमधून ग्रीसमध्ये प्राथमिक भूमितीच्या पहिल्या संकल्पना आणल्या: व्यास म्हणजे काय, त्रिकोण काय ठरवते इ. त्याने सूर्यग्रहणाची भविष्यवाणी केली, अभियांत्रिकी रचना तयार केल्या.

या काळात, अंकगणित हळूहळू विकसित होते, खगोलशास्त्र आणि भूमिती विकसित होते. बीजगणित आणि त्रिकोणमिती जन्माला येतात.

प्राथमिक गणिताचा कालावधी

हा काळ इ.स.पू. सहावीपासून सुरू होतो. आता गणित हे सिद्धांत आणि पुरावे असलेले विज्ञान म्हणून उदयास येत आहे. संख्यांचा सिद्धांत दिसून येतो, प्रमाणांचा सिद्धांत, त्यांच्या मोजमापाचा.

या काळातील सर्वात प्रसिद्ध गणितज्ञ म्हणजे युक्लिड. तो ख्रिस्तपूर्व तिसऱ्या शतकात राहत होता. हा माणूस आपल्यापर्यंत आलेल्या गणितावरील पहिल्या सैद्धांतिक ग्रंथाचा लेखक आहे.

युक्लिडच्या कार्यांमध्ये, तथाकथित युक्लिडियन भूमितीचा पाया दिला जातो - हे स्वयंसिद्ध आहेत जे मूलभूत संकल्पनांवर अवलंबून असतात, जसे की.

प्राथमिक गणिताच्या काळात, संख्यांचा सिद्धांत, तसेच प्रमाण आणि त्यांचे मोजमाप यांचा सिद्धांत जन्माला आला. प्रथमच, ऋण आणि अपरिमेय संख्या दिसतात.

या कालावधीच्या शेवटी, बीजगणिताची निर्मिती, शाब्दिक कॅल्क्युलस म्हणून पाहिली जाते. अरबांमध्ये "बीजगणित" हेच विज्ञान समीकरण सोडवण्याचे शास्त्र आहे. अरबी भाषेतील "बीजगणित" या शब्दाचा अर्थ "पुनर्प्राप्ती" असा आहे, म्हणजेच समीकरणाच्या दुसर्‍या भागात नकारात्मक मूल्यांचे हस्तांतरण.

चलांच्या गणिताचा कालावधी

या कालावधीचा संस्थापक रेने डेकार्टेस आहे, जो इसवी सन 17 व्या शतकात राहत होता. डेकार्टेसने आपल्या लेखनात प्रथमच व्हेरिएबलची संकल्पना मांडली.

याबद्दल धन्यवाद, शास्त्रज्ञ स्थिर प्रमाणांच्या अभ्यासापासून चलांमधील संबंधांच्या अभ्यासाकडे आणि गतीच्या गणितीय वर्णनाकडे जातात.

फ्रेडरिक एंगेल्सने या कालावधीचे सर्वात स्पष्टपणे वर्णन केले, त्यांनी आपल्या लेखनात लिहिले:

"गणितातील टर्निंग पॉइंट म्हणजे कार्टेशियन व्हेरिएबल. याचे आभार, हालचाल आणि अशा प्रकारे द्वंद्ववादाने गणितात प्रवेश केला आणि त्याबद्दल धन्यवाद, विभेदक आणि अविभाज्य कॅल्क्युलस ताबडतोब आवश्यक बनले, जे लगेच उद्भवते आणि जे मोठ्या प्रमाणात पूर्ण झाले आणि न्यूटन आणि लीबनिझ यांनी शोध लावला नाही.

आधुनिक गणिताचा काळ

19 व्या शतकाच्या 20 च्या दशकात, निकोलाई इव्हानोविच लोबाचेव्हस्की तथाकथित नॉन-युक्लिडियन भूमितीचे संस्थापक बनले.

या क्षणापासून आधुनिक गणिताच्या सर्वात महत्वाच्या विभागांचा विकास सुरू होतो. जसे की संभाव्यता सिद्धांत, सेट सिद्धांत, गणितीय आकडेवारी आणि असेच.

हे सर्व शोध आणि अभ्यास विज्ञानाच्या विविध क्षेत्रात मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात.

आणि सध्या, गणिताचे विज्ञान वेगाने विकसित होत आहे, नवीन रूपे आणि नातेसंबंधांसह गणिताचा विषय विस्तारत आहे, नवीन प्रमेये सिद्ध होत आहेत आणि मूलभूत संकल्पना अधिक गहन होत आहेत.

अभ्यासाखालील वस्तूंचे आदर्श गुणधर्म एकतर स्वयंसिद्ध म्हणून तयार केले जातात किंवा संबंधित गणितीय वस्तूंच्या व्याख्येत सूचीबद्ध केले जातात. मग, तार्किक अनुमानांच्या कठोर नियमांनुसार, या गुणधर्मांवरून इतर खरे गुणधर्म (प्रमेये) काढले जातात. हा सिद्धांत एकत्रितपणे अभ्यासात असलेल्या वस्तूचे गणितीय मॉडेल बनवतो. अशाप्रकारे, सुरुवातीला, अवकाशीय आणि परिमाणवाचक संबंधांवरून पुढे जाताना, गणिताला अधिक अमूर्त संबंध प्राप्त होतात, ज्याचा अभ्यास हा आधुनिक गणिताचा देखील विषय आहे.

पारंपारिकपणे, गणित हे सैद्धांतिक मध्ये विभागले गेले आहे, जे आंतर-गणितीय संरचनांचे सखोल विश्लेषण करते आणि ते लागू केले जाते, जे इतर विज्ञान आणि अभियांत्रिकी शाखांना त्याचे मॉडेल प्रदान करते आणि त्यापैकी काही गणिताच्या सीमेवर स्थान व्यापतात. विशेषतः, औपचारिक तर्कशास्त्र तात्विक विज्ञानाचा भाग म्हणून आणि गणितीय विज्ञानाचा भाग म्हणून दोन्ही मानले जाऊ शकते; यांत्रिकी - भौतिकशास्त्र आणि गणित दोन्ही; संगणक विज्ञान, संगणक तंत्रज्ञान आणि अल्गोरिदम हे दोन्ही अभियांत्रिकी आणि गणितीय विज्ञान इत्यादींचा संदर्भ घेतात. साहित्यात गणिताच्या अनेक भिन्न व्याख्या प्रस्तावित केल्या आहेत (पहा).

व्युत्पत्ती

"गणित" हा शब्द इतर ग्रीक भाषेतून आला आहे. μάθημα ( गणित), ज्याचा अर्थ होतो अभ्यास करत आहे, ज्ञान, विज्ञान, इ. - ग्रीक. μαθηματικός ( गणित), मूळ अर्थ ग्रहणक्षम, विपुल, नंतर अभ्यास करण्यायोग्य, त्यानंतर गणिताशी संबंधित. विशेषतः, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), लॅटिनमध्ये ars mathematica, म्हणजे गणिताची कला.

व्याख्या

गणिताच्या क्षेत्रामध्ये फक्त अशाच विज्ञानांचा समावेश होतो ज्यामध्ये एकतर क्रम किंवा मोजमाप विचारात घेतले जाते आणि या संख्या, आकृत्या, तारे, ध्वनी किंवा इतर कोणतीही गोष्ट ज्यामध्ये हे मोजमाप शोधले जाते याने काही फरक पडत नाही. अशाप्रकारे, असे काही सामान्य विज्ञान असले पाहिजे जे कोणत्याही विशिष्ट विषयाच्या अभ्यासात प्रवेश न करता क्रम आणि मोजमापांशी संबंधित सर्व गोष्टींचे स्पष्टीकरण देते आणि या विज्ञानाला परकीयांनी नव्हे तर सामान्य गणिताच्या जुन्या, पूर्वीपासून सामान्य नावाने संबोधले पाहिजे.

सोव्हिएत काळात, ए.एन. कोल्मोगोरोव्ह यांनी दिलेली टीएसबीची व्याख्या क्लासिक मानली जात होती:

गणित... परिमाणवाचक संबंध आणि वास्तविक जगाच्या अवकाशीय स्वरूपांचे विज्ञान.

गणिताचे सार ... आता वस्तूंमधील संबंधांचा सिद्धांत म्हणून सादर केला जातो, ज्याबद्दल त्यांचे वर्णन करणार्‍या काही गुणधर्मांशिवाय काहीही ज्ञात नाही - तंतोतंत जे सिद्धांताच्या आधारावर स्वयंसिद्ध म्हणून ठेवले जातात ... गणित आहे अमूर्त स्वरूपांचा संच - गणितीय संरचना.

येथे आणखी काही आधुनिक व्याख्या आहेत.

आधुनिक सैद्धांतिक ("शुद्ध") गणित हे गणितीय संरचनांचे विज्ञान आहे, विविध प्रणाली आणि प्रक्रियांचे गणितीय अपरिवर्तनीय.

गणित हे एक शास्त्र आहे जे मॉडेल्सची गणना करण्याची क्षमता प्रदान करते जे मानक (प्रामाणिक) स्वरूपात कमी केले जाऊ शकतात. औपचारिक परिवर्तनाद्वारे विश्लेषणात्मक मॉडेल्स (विश्लेषण) वर उपाय शोधण्याचे विज्ञान.

गणिताच्या शाखा

1. गणित म्हणून शैक्षणिक शिस्तरशियन फेडरेशनमध्ये माध्यमिक शाळेत शिकलेल्या प्राथमिक गणितामध्ये उपविभाजित केले आहे आणि खालील विषयांद्वारे तयार केले आहे:

  • प्राथमिक भूमिती: प्लॅनिमेट्री आणि स्टिरिओमेट्री
  • प्राथमिक कार्यांचा सिद्धांत आणि विश्लेषणाचे घटक

4. अमेरिकन मॅथेमॅटिकल सोसायटी (AMS) ने गणिताच्या शाखांचे वर्गीकरण करण्यासाठी स्वतःचे मानक विकसित केले आहे. त्याला गणित विषय वर्गीकरण म्हणतात. हे मानक वेळोवेळी अद्यतनित केले जाते. सध्याची आवृत्ती MSC 2010 आहे. मागील आवृत्ती MSC 2000 आहे.

नोटेशन

गणित अत्यंत वैविध्यपूर्ण आणि त्याऐवजी जटिल संरचनांशी संबंधित आहे या वस्तुस्थितीमुळे, नोटेशन देखील खूप गुंतागुंतीचे आहे. युरोपियन बीजगणितीय परंपरेच्या आधारे, तसेच गणितीय विश्लेषण (फंक्शनची संकल्पना, व्युत्पन्न इ.) आधारावर लेखन सूत्रांची आधुनिक प्रणाली तयार केली गेली. अनादी काळापासून, भूमितीने दृश्य (भूमितीय) प्रतिनिधित्व वापरले आहे. आधुनिक गणितामध्ये, जटिल ग्राफिक नोटेशन सिस्टम (उदाहरणार्थ, कम्युटेटिव्ह आकृत्या) देखील सामान्य आहेत आणि आलेखांवर आधारित नोटेशन देखील बर्याचदा वापरले जाते.

लघु कथा

गणिताचा विकास लेखन आणि संख्या लिहिण्याच्या क्षमतेवर अवलंबून असतो. कदाचित, प्राचीन लोकांनी प्रथम जमिनीवर रेषा काढून किंवा लाकडावर स्क्रॅच करून प्रमाण व्यक्त केले. प्राचीन इंकास, इतर कोणतीही लेखन प्रणाली नसताना, दोरीच्या गाठींची जटिल प्रणाली, तथाकथित क्विपू वापरून संख्यात्मक डेटाचे प्रतिनिधित्व आणि संग्रहित केले. अनेक भिन्न संख्या प्रणाली होत्या. मध्य साम्राज्याच्या इजिप्शियन लोकांनी तयार केलेल्या अहमेस पॅपिरसमध्ये संख्यांचे प्रथम ज्ञात रेकॉर्ड सापडले. भारतीय सभ्यतेने शून्य ही संकल्पना समाविष्ट करून आधुनिक दशांश संख्या प्रणाली विकसित केली.

ऐतिहासिकदृष्ट्या, प्रमुख गणिती विषयांचा उदय व्यावसायिक क्षेत्रात, जमीन मोजण्यासाठी आणि खगोलीय घटनांचा अंदाज लावण्यासाठी आणि नंतर, नवीन भौतिक समस्या सोडवण्यासाठी गणना करण्याच्या गरजेच्या प्रभावाखाली झाला. यापैकी प्रत्येक क्षेत्र गणिताच्या व्यापक विकासामध्ये मोठी भूमिका बजावते, ज्यामध्ये रचना, जागा आणि बदल यांचा अभ्यास केला जातो.

गणिताचे तत्वज्ञान

ध्येय आणि पद्धती

गणित औपचारिक भाषा वापरून काल्पनिक, आदर्श वस्तू आणि त्यांच्यातील संबंधांचा अभ्यास करते. सर्वसाधारणपणे, गणितीय संकल्पना आणि प्रमेय भौतिक जगातल्या कोणत्याही गोष्टीशी सुसंगत नसतात. गणिताच्या उपयोजित शाखेचे मुख्य कार्य म्हणजे एक गणितीय मॉडेल तयार करणे जे अभ्यासाधीन वास्तविक वस्तूसाठी पुरेसे आहे. सैद्धांतिक गणितज्ञांचे कार्य हे लक्ष्य साध्य करण्यासाठी सोयीस्कर साधनांचा पुरेसा संच प्रदान करणे आहे.

गणिताची सामग्री गणितीय मॉडेल्स आणि त्यांच्या निर्मितीसाठी साधनांची प्रणाली म्हणून परिभाषित केली जाऊ शकते. ऑब्जेक्ट मॉडेल त्याची सर्व वैशिष्ट्ये विचारात घेत नाही, परंतु केवळ अभ्यासाच्या हेतूंसाठी सर्वात आवश्यक आहे (आदर्श). उदाहरणार्थ, संत्र्याच्या भौतिक गुणधर्मांचा अभ्यास करताना, आपण त्याचा रंग आणि चव यावरून अमूर्त करू शकतो आणि त्याचे प्रतिनिधित्व (पूर्णपणे अचूक नसले तरी) बॉल म्हणून करू शकतो. जर आपण दोन आणि तीन एकत्र जोडले तर आपल्याला किती संत्रा मिळतात हे समजून घेणे आवश्यक असल्यास, मॉडेलला फक्त एक वैशिष्ट्य - प्रमाण सोडून आपण फॉर्मपासून दूर जाऊ शकतो. अॅब्स्ट्रॅक्शन आणि ऑब्जेक्ट्समधील संबंधांची स्थापना सर्वात सामान्य स्वरूपात गणितीय सर्जनशीलतेच्या मुख्य क्षेत्रांपैकी एक आहे.

अमूर्ततेसह दुसरी दिशा म्हणजे सामान्यीकरण. उदाहरणार्थ, n-परिमाणांच्या जागेसाठी "स्पेस" ची संकल्पना सामान्य करणे. " येथील जागा हा एक गणितीय आविष्कार आहे. तथापि, एक अतिशय कल्पक शोध जो गणितीयदृष्ट्या जटिल घटना समजून घेण्यास मदत करतो».

अंतर्गणितीय वस्तूंचा अभ्यास, एक नियम म्हणून, स्वयंसिद्ध पद्धतीचा वापर करून होतो: प्रथम, अभ्यासाधीन वस्तूंसाठी मूलभूत संकल्पना आणि स्वयंसिद्धांची सूची तयार केली जाते आणि नंतर अनुमान नियमांचा वापर करून स्वयंसिद्धांमधून अर्थपूर्ण प्रमेये मिळवली जातात, जी एकत्रितपणे तयार होतात. एक गणिती मॉडेल.

पाया

गणिताचे सार आणि पाया या प्रश्नावर प्लेटोच्या काळापासून चर्चा होत आहे. 20 व्या शतकापासून, एक कठोर गणितीय पुरावा काय मानला जावा यावर तुलनात्मक करार झाला आहे, परंतु गणितामध्ये काय खरे मानले जाते यावर कोणताही करार झालेला नाही. यामुळे अ‍ॅक्सिओमॅटिक्सचे प्रश्न आणि गणिताच्या शाखांचे परस्पर संबंध आणि पुराव्यांमध्ये वापरल्या जाणाऱ्या तार्किक प्रणालींच्या निवडीमध्ये मतभेद निर्माण होतात.

संशयवादी व्यतिरिक्त, या समस्येसाठी खालील दृष्टिकोन ज्ञात आहेत.

सेट-सैद्धांतिक दृष्टीकोन

सेट सिद्धांताच्या चौकटीत सर्व गणिती वस्तूंचा विचार करणे प्रस्तावित आहे, बहुतेकदा झर्मेलो-फ्रेन्केल अ‍ॅक्सिओमॅटिक्ससह (जरी त्याच्या समतुल्य इतर अनेक आहेत). 20 व्या शतकाच्या मध्यापासून हा दृष्टीकोन प्रचलित मानला जात आहे, तथापि, प्रत्यक्षात, बहुतेक गणिती कार्ये त्यांच्या विधानांचे कठोरपणे सेट सिद्धांताच्या भाषेत भाषांतर करण्याचे कार्य स्वत: ला सेट करत नाहीत, परंतु काही क्षेत्रांमध्ये स्थापित संकल्पना आणि तथ्यांसह कार्य करतात. गणिताचा. अशा प्रकारे, सेट सिद्धांतामध्ये विरोधाभास आढळल्यास, यामुळे बहुतेक निकाल अवैध ठरणार नाहीत.

तर्कशास्त्र

हा दृष्टिकोन गणितीय वस्तूंचे काटेकोर टाइपिंग गृहीत धरतो. सेट सिद्धांतामध्ये केवळ विशेष युक्तीने टाळलेले अनेक विरोधाभास तत्त्वतः अशक्य असल्याचे दिसून येते.

औपचारिकता

या दृष्टिकोनामध्ये शास्त्रीय तर्कावर आधारित औपचारिक प्रणालींचा अभ्यास समाविष्ट आहे.

अंतर्ज्ञानवाद

अंतर्ज्ञानवाद गणिताच्या पायावर एक अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्र मानतो जे पुराव्याच्या माध्यमांमध्ये अधिक मर्यादित आहे (परंतु, असे मानले जाते की ते अधिक विश्वासार्ह आहे). अंतर्ज्ञानवाद विरोधाभासाने पुरावा नाकारतो, अनेक गैर-रचनात्मक पुरावे अशक्य होतात आणि सेट सिद्धांताच्या अनेक समस्या निरर्थक (नॉन-फॉर्मलाइजबल) बनतात.

रचनात्मक गणित

रचनात्मक गणित हा अंतर्ज्ञानाच्या जवळ असलेला गणिताचा कल आहे जो रचनात्मक रचनांचा अभ्यास करतो [ स्पष्ट करणे] बांधणीच्या निकषानुसार - " अस्तित्वात असणे म्हणजे बांधणे" सुसंगतता निकषापेक्षा रचनात्मकता निकष अधिक मजबूत आवश्यकता आहे.

मुख्य थीम

संख्या

"संख्या" ची संकल्पना मूळतः नैसर्गिक संख्यांना संदर्भित करते. नंतर ते हळूहळू पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, जटिल आणि इतर संख्यांमध्ये वाढवले ​​गेले.

पूर्ण संख्या परिमेय संख्या वास्तविक संख्या जटिल संख्या चतुर्थांश

परिवर्तने

स्वतंत्र गणित

ज्ञान वर्गीकरण प्रणाली मध्ये कोड

ऑनलाइन सेवा

गणितीय गणनेसाठी सेवा देणार्‍या मोठ्या संख्येने साइट्स आहेत. त्यापैकी बहुतेक इंग्रजीत आहेत. रशियन भाषिकांपैकी, शोध इंजिन निगमाच्या गणितीय प्रश्नांची सेवा लक्षात घेतली जाऊ शकते.

देखील पहा

विज्ञान लोकप्रिय करणारे

नोट्स

  1. एनसायक्लोपीडिया ब्रिटानिका
  2. वेबस्टरचा ऑनलाइन शब्दकोश
  3. धडा 2. विज्ञानाची भाषा म्हणून गणित. सायबेरियन मुक्त विद्यापीठ. 2 फेब्रुवारी 2012 रोजी मूळ पासून संग्रहित. 5 ऑक्टोबर 2010 रोजी पुनर्प्राप्त.
  4. मोठा प्राचीन ग्रीक शब्दकोश (αω)
  5. XI-XVII शतकातील रशियन भाषेचा शब्दकोश. अंक 9 / Ch. एड एफ. पी. फिलिन. - एम.: नौका, 1982. - एस. 41.
  6. डेकार्टेस आर.मनाला मार्गदर्शन करणारे नियम. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
  7. पहा: TSB गणित
  8. मार्क्स के., एंगेल्स एफ.कार्य करते. दुसरी आवृत्ती. टी. 20. एस. 37.
  9. बोरबाकी एन.गणिताचे आर्किटेक्चर. गणिताच्या इतिहासावरील निबंध / I. G. Bashmakova द्वारा अनुवादित, ed. के.ए. रिबनिकोवा. एम.: आयएल, 1963. एस. 32, 258.
  10. काझीव व्ही. एम.गणिताचा परिचय
  11. मुखिन ओ. आय.मॉडेलिंग सिस्टम ट्यूटोरियल. पर्म: RCI PSTU.
  12. हरमन वेल // क्लाइन एम.. - एम.: मीर, 1984. - एस. 16.
  13. उच्च व्यावसायिक शिक्षणाचे राज्य शैक्षणिक मानक. विशेष 01.01.00. "गणित". पात्रता - गणितज्ञ. मॉस्को, 2000 (ओ.बी. लुपानोव यांच्या मार्गदर्शनाखाली संकलित)
  14. दिनांक 25 फेब्रुवारी 2009 रोजी रशियाच्या शिक्षण आणि विज्ञान मंत्रालयाच्या आदेशानुसार मंजूर वैज्ञानिक कामगारांच्या वैशिष्ट्यांचे नामांकन क्रमांक 59
  15. UDC 51 गणित
  16. या. एस. बुग्रोव्ह, एस. एम. निकोल्स्की. रेखीय बीजगणित आणि विश्लेषणात्मक भूमितीचे घटक. एम.: नौका, 1988. एस. 44.
  17. एन. आय. कोंडाकोव्ह. तार्किक शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक. एम.: नौका, 1975. एस. 259.
  18. जी. आय. रुझाविन. गणितीय ज्ञानाच्या स्वरूपावर. एम.: 1968.
  19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
  20. उदाहरणार्थ: http://mathworld.wolfram.com

साहित्य

ज्ञानकोश
  • // ब्रोकहॉस आणि एफ्रॉनचा विश्वकोशीय शब्दकोश: 86 खंडांमध्ये (82 खंड आणि 4 अतिरिक्त). - सेंट पीटर्सबर्ग. , 1890-1907.
  • गणितीय विश्वकोश (5 खंडांमध्ये), 1980. // EqWorld वर सामान्य आणि विशेष गणित संदर्भ
  • कोंडाकोव्ह एन.आय.तार्किक शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक. मॉस्को: नौका, 1975.
  • गणितीय विज्ञानाचा विश्वकोश आणि त्यांचे अनुप्रयोग (जर्मन) 1899-1934 (19व्या शतकातील साहित्याची सर्वात मोठी समीक्षा)
संदर्भ पुस्तके
  • जी. कॉर्न, टी. कॉर्न.शास्त्रज्ञ आणि अभियंत्यांसाठी गणिताचे हँडबुक एम., 1973
पुस्तके
  • क्लाइन एम.गणित. खात्रीचा तोटा. - एम.: मीर, 1984.
  • क्लाइन एम.गणित. सत्याचा शोध. एम.: मीर, 1988.
  • क्लेन एफ.उच्च दृष्टिकोनातून प्राथमिक गणित.
  • खंड I. अंकगणित. बीजगणित. विश्लेषण एम.: नौका, 1987. 432 पी.
  • खंड II. भूमिती एम.: नौका, 1987. 416 पी.
  • आर. कौरंट, जी. रॉबिन्स.गणित म्हणजे काय? 3री आवृत्ती, रेव्ह. आणि अतिरिक्त - एम.: 2001. 568 पी.
  • पिसारेव्स्की बी.एम., खारिन व्ही. टी.गणित बद्दल, गणितज्ञ आणि फक्त. - एम.: बिनोम. ज्ञान प्रयोगशाळा, 2012. - 302 पी.
  • पॉईनकेअर ए.विज्ञान आणि पद्धत (rus.) (fr.)

गणित हे सर्वात प्राचीन शास्त्रांपैकी एक आहे. गणिताची थोडक्यात व्याख्या देणे अजिबात सोपे नाही, त्याची सामग्री एखाद्या व्यक्तीच्या गणिताच्या शिक्षणाच्या पातळीनुसार मोठ्या प्रमाणात बदलू शकते. प्राथमिक शाळेतील विद्यार्थी ज्याने नुकतेच अंकगणित शिकण्यास सुरुवात केली आहे असे म्हणेल की गणित हा वस्तू मोजण्याच्या नियमांचा अभ्यास करत आहे. आणि तो बरोबर असेल, कारण त्याच्याशीच तो प्रथम परिचित होतो. गणिताच्या संकल्पनेत बीजगणित आणि भौमितिक वस्तूंचा अभ्यास यांचा समावेश होतो: रेषा, त्यांचे छेदनबिंदू, समतल आकृत्या, भौमितिक शरीरे, विविध प्रकारची परिवर्तने, असे म्हटल्याप्रमाणे जुने विद्यार्थी जोडतील. हायस्कूल पदवीधर, तथापि, गणिताच्या व्याख्येमध्ये फंक्शन्सचा अभ्यास आणि मर्यादेपर्यंत उत्तीर्ण होण्याची क्रिया, तसेच व्युत्पन्न आणि अविभाज्य संकल्पना समाविष्ट करतील. उच्च तांत्रिक शैक्षणिक संस्था किंवा विद्यापीठे आणि शैक्षणिक संस्थांच्या नैसर्गिक विज्ञान विभागांचे पदवीधर यापुढे शालेय व्याख्येवर समाधानी राहणार नाहीत, कारण त्यांना माहित आहे की इतर विषय देखील गणिताचा भाग आहेत: संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय सांख्यिकी, विभेदक कॅल्क्युलस, प्रोग्रामिंग, संगणकीय पद्धती, तसेच मॉडेलिंग उत्पादन प्रक्रिया, प्रायोगिक डेटाची प्रक्रिया, माहितीचे प्रसारण आणि प्रक्रिया यासाठी या शाखांचे अनुप्रयोग. तथापि, जे सूचीबद्ध केले आहे ते गणिताची सामग्री संपत नाही. सेट सिद्धांत, गणितीय तर्कशास्त्र, इष्टतम नियंत्रण, यादृच्छिक प्रक्रियांचा सिद्धांत आणि बरेच काही देखील त्याच्या रचनामध्ये समाविष्ट केले आहे.

गणिताच्या घटक शाखांची यादी करून गणिताची व्याख्या करण्याचा प्रयत्न आपल्याला भरकटतो, कारण गणिताचा अभ्यास नेमका काय आहे आणि त्याचा आपल्या सभोवतालच्या जगाशी काय संबंध आहे याची कल्पना ते देत नाहीत. असा प्रश्न एखाद्या भौतिकशास्त्रज्ञाला, जीवशास्त्रज्ञाला किंवा खगोलशास्त्रज्ञाला विचारला असता, तर त्या प्रत्येकाने अतिशय संक्षिप्त उत्तर दिले होते, ज्यात ते ज्या विज्ञानाचा अभ्यास करतात त्या भागांची सूची नसते. अशा उत्तरात ती तपासत असलेल्या निसर्गाच्या घटनेचे संकेत असेल. उदाहरणार्थ, एक जीवशास्त्रज्ञ म्हणेल की जीवशास्त्र म्हणजे जीवनाच्या विविध अभिव्यक्तींचा अभ्यास. हे उत्तर पूर्णपणे पूर्ण नसले तरी, जीवन आणि जीवनातील घटना काय आहेत हे ते सांगत नाही, तरीही, अशा व्याख्येमुळे जीवशास्त्राच्या स्वतःच्या विज्ञानाच्या सामग्रीची आणि या विज्ञानाच्या विविध स्तरांची पूर्ण कल्पना येईल. . आणि ही व्याख्या आपल्या जीवशास्त्राच्या ज्ञानाच्या विस्ताराने बदलणार नाही.

अशी कोणतीही निसर्ग, तांत्रिक किंवा सामाजिक प्रक्रिया नाही जी गणिताच्या अभ्यासाचा विषय असेल, परंतु भौतिक, जैविक, रासायनिक, अभियांत्रिकी किंवा सामाजिक घटनांशी संबंधित नसेल. प्रत्येक नैसर्गिक विज्ञान शाखा: जीवशास्त्र आणि भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र आणि मानसशास्त्र - त्याच्या विषयाच्या भौतिक वैशिष्ट्यांद्वारे, वास्तविक जगाच्या क्षेत्राच्या विशिष्ट वैशिष्ट्यांद्वारे निर्धारित केले जाते ज्याचा अभ्यास केला जातो. ऑब्जेक्ट किंवा इंद्रियगोचर स्वतः गणिताच्या पद्धतींसह वेगवेगळ्या पद्धतींनी अभ्यासले जाऊ शकते, परंतु पद्धती बदलून, आपण अद्याप या विषयाच्या मर्यादेतच राहतो, कारण या विज्ञानाची सामग्री हा खरा विषय आहे, संशोधन पद्धती नाही. गणितासाठी, संशोधनाचा भौतिक विषय निर्णायक महत्त्वाचा नाही; उपयोजित पद्धत महत्त्वाची आहे. उदाहरणार्थ, दोलन गतीचा अभ्यास करण्यासाठी आणि दुर्गम वस्तूची उंची निर्धारित करण्यासाठी त्रिकोणमितीय कार्ये दोन्ही वापरली जाऊ शकतात. आणि गणितीय पद्धतीचा वापर करून वास्तविक जगाच्या कोणत्या घटना तपासल्या जाऊ शकतात? या घटना त्यांच्या भौतिक स्वरूपाद्वारे निर्धारित केल्या जात नाहीत, परंतु केवळ औपचारिक संरचनात्मक गुणधर्मांद्वारे आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे ते अस्तित्वात असलेल्या परिमाणात्मक संबंध आणि स्थानिक स्वरूपांद्वारे निर्धारित केले जातात.

म्हणून, गणित भौतिक वस्तूंचा अभ्यास करत नाही, परंतु संशोधन पद्धती आणि अभ्यासाच्या ऑब्जेक्टच्या संरचनात्मक गुणधर्मांचा अभ्यास करते, ज्यामुळे त्यावर काही विशिष्ट ऑपरेशन्स लागू होतात (संक्षेप, भिन्नता इ.). तथापि, गणितीय समस्या, संकल्पना आणि सिद्धांतांचा एक महत्त्वपूर्ण भाग त्याच्या प्राथमिक स्त्रोत वास्तविक घटना आणि प्रक्रिया आहे. उदाहरणार्थ, अंकगणित आणि संख्या सिद्धांत वस्तू मोजण्याच्या प्राथमिक व्यावहारिक कार्यातून उदयास आले. प्राथमिक भूमितीमध्ये अंतरांची तुलना करणे, समतल आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करणे किंवा अवकाशीय शरीराच्या आकारमानाशी संबंधित समस्या होत्या. हे सर्व शोधणे आवश्यक आहे, कारण संरक्षण संरचनेच्या बांधकामादरम्यान वापरकर्त्यांमध्ये जमिनीचे पुनर्वितरण करणे, धान्यसाठ्याच्या आकाराची किंवा मातीकामांची मात्रा मोजणे आवश्यक होते.

गणितीय परिणामामध्ये अशी मालमत्ता असते की ती केवळ विशिष्ट घटना किंवा प्रक्रियेच्या अभ्यासासाठी वापरली जाऊ शकत नाही, परंतु इतर घटनांचा अभ्यास करण्यासाठी देखील वापरली जाऊ शकते, ज्याचे भौतिक स्वरूप पूर्वी विचारात घेतलेल्यापेक्षा मूलभूतपणे भिन्न आहे. तर, अंकगणिताचे नियम आर्थिक समस्यांमध्ये आणि तांत्रिक समस्यांमध्ये आणि शेतीच्या समस्या सोडवण्यासाठी आणि वैज्ञानिक संशोधनात लागू होतात. अंकगणिताचे नियम हजारो वर्षांपूर्वी विकसित केले गेले होते, परंतु त्यांनी त्यांचे व्यावहारिक मूल्य कायमचे कायम ठेवले. अंकगणित हा गणिताचा अविभाज्य भाग आहे, त्याचा पारंपारिक भाग यापुढे गणिताच्या चौकटीत सर्जनशील विकासाच्या अधीन नाही, परंतु तो असंख्य नवीन अनुप्रयोग शोधतो आणि शोधत राहील. हे अनुप्रयोग मानवजातीसाठी खूप महत्त्वाचे असू शकतात, परंतु ते यापुढे गणितासाठी योग्य योगदान देणार नाहीत.

गणित, एक सर्जनशील शक्ती म्हणून, सामान्य नियमांचा विकास हे त्याचे ध्येय आहे जे असंख्य विशेष प्रकरणांमध्ये वापरले जावे. जो हे नियम तयार करतो, काहीतरी नवीन बनवतो, निर्माण करतो. जो तयार नियम लागू करतो तो यापुढे गणितातच निर्माण करत नाही, परंतु, शक्यतो, गणिताच्या नियमांच्या मदतीने ज्ञानाच्या इतर क्षेत्रांमध्ये नवीन मूल्ये निर्माण करतो. उदाहरणार्थ, आज उपग्रह प्रतिमांच्या स्पष्टीकरणातील डेटा, तसेच खडकांची रचना आणि वय, भू-रासायनिक आणि भूभौतिकीय विसंगतींची माहिती संगणक वापरून प्रक्रिया केली जाते. निःसंशयपणे, भूवैज्ञानिक संशोधनामध्ये संगणकाचा वापर केल्याने हे संशोधन भूवैज्ञानिक सोडले जाते. भूवैज्ञानिक विज्ञानाच्या हितासाठी त्यांच्या वापराची शक्यता विचारात न घेता संगणक आणि त्यांच्या सॉफ्टवेअरच्या ऑपरेशनची तत्त्वे विकसित केली गेली. ही शक्यता स्वतःच निश्चित केली जाते की भौगोलिक डेटाचे संरचनात्मक गुणधर्म विशिष्ट संगणक प्रोग्रामच्या तर्कानुसार आहेत.

गणिताच्या दोन व्याख्या व्यापक झाल्या आहेत. यापैकी पहिले एफ. एंगेल्स यांनी अँटी-ड्युहरिंगमध्ये दिले होते, तर दुसरे निकोलस बोरबाकी नावाच्या फ्रेंच गणितज्ञांच्या गटाने द आर्किटेक्चर ऑफ मॅथेमॅटिक्स (1948) या लेखात दिले होते.

"शुद्ध गणितामध्ये वास्तविक जगाचे अवकाशीय स्वरूप आणि परिमाणवाचक संबंध हे त्याचे उद्दिष्ट आहे." ही व्याख्या केवळ गणिताच्या अभ्यासाच्या वस्तुचे वर्णन करत नाही तर त्याचे मूळ - वास्तविक जग देखील दर्शवते. तथापि, एफ. एंगेल्सची ही व्याख्या मुख्यत्वे 19व्या शतकाच्या उत्तरार्धात गणिताची स्थिती दर्शवते. आणि त्याचे नवीन क्षेत्र विचारात घेत नाही जे परिमाणवाचक संबंध किंवा भौमितिक स्वरूपांशी थेट संबंधित नाहीत. हे, सर्व प्रथम, गणितीय तर्कशास्त्र आणि प्रोग्रामिंगशी संबंधित विषय आहेत. म्हणून, या व्याख्येचे काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. कदाचित असे म्हटले पाहिजे की गणितामध्ये अवकाशीय स्वरूप, परिमाणवाचक संबंध आणि तार्किक रचना यांचा अभ्यास केला जातो.

बोरबाकी असा युक्तिवाद करतात की "केवळ गणितीय वस्तू म्हणजे, योग्यरित्या बोलणे, गणितीय संरचना." दुसऱ्या शब्दांत, गणित हे गणितीय संरचनांचे विज्ञान म्हणून परिभाषित केले पाहिजे. ही व्याख्या मूलत: एक टॅटोलॉजी आहे, कारण ती फक्त एकच गोष्ट सांगते: गणित हे ज्या वस्तूंचा अभ्यास करते त्यांच्याशी संबंधित आहे. या व्याख्येचा आणखी एक दोष म्हणजे आपल्या सभोवतालच्या जगाशी गणिताचा संबंध स्पष्ट होत नाही. शिवाय, बोरबाकी यावर जोर देतात की गणितीय रचना वास्तविक जग आणि त्याच्या घटनांपासून स्वतंत्रपणे तयार केल्या जातात. म्हणूनच बोरबाकी यांना हे घोषित करण्यास भाग पाडले गेले की "मुख्य समस्या प्रायोगिक जग आणि गणितीय जग यांच्यातील संबंध आहे. प्रायोगिक घटना आणि गणितीय संरचना यांच्यात जवळचा संबंध आहे हे आधुनिक भौतिकशास्त्राच्या शोधांद्वारे पूर्णपणे अनपेक्षितपणे पुष्टी केली गेली आहे असे दिसते, परंतु यामागील सखोल कारणांबद्दल आपण पूर्णपणे अनभिज्ञ आहोत ... आणि कदाचित आपल्याला ते कधीच कळणार नाही. .

एफ. एंगेल्सच्या व्याख्येवरून असा निराशाजनक निष्कर्ष निघू शकत नाही, कारण त्यात आधीपासून असे प्रतिपादन आहे की गणितीय संकल्पना काही संबंध आणि वास्तविक जगाच्या स्वरूपातील अमूर्त आहेत. या संकल्पना वास्तविक जगातून घेतलेल्या आहेत आणि त्याच्याशी संबंधित आहेत. थोडक्यात, हे आपल्या सभोवतालच्या जगाच्या घटनांमध्ये गणिताच्या परिणामांची आश्चर्यकारक लागूक्षमता आणि त्याच वेळी ज्ञानाच्या गणितीकरणाच्या प्रक्रियेचे यश स्पष्ट करते.

गणित हे ज्ञानाच्या सर्व क्षेत्रांतून अपवाद नाही - ते व्यावहारिक परिस्थिती आणि त्यानंतरच्या अमूर्ततेतून निर्माण होणाऱ्या संकल्पना देखील तयार करते; हे एखाद्याला वास्तविकतेचा अंदाजे अभ्यास करण्यास देखील अनुमती देते. परंतु त्याच वेळी, हे लक्षात घेतले पाहिजे की गणित वास्तविक जगाच्या गोष्टींचा अभ्यास करत नाही, तर अमूर्त संकल्पनांचा अभ्यास करते आणि त्याचे तार्किक निष्कर्ष पूर्णपणे कठोर आणि अचूक असतात. त्याची निकटता निसर्गात अंतर्गत नाही, परंतु इंद्रियगोचरच्या गणितीय मॉडेलच्या संकलनाशी संबंधित आहे. आम्ही हे देखील लक्षात घेतो की गणिताच्या नियमांना पूर्णपणे लागू होत नाही, त्यांच्याकडे अनुप्रयोगाचे मर्यादित क्षेत्र देखील आहे, जिथे ते सर्वोच्च राज्य करतात. आपण व्यक्त केलेली कल्पना उदाहरणासह समजावून सांगूया: असे दिसून येते की दोन आणि दोन नेहमी चार समान नसतात. हे ज्ञात आहे की 2 लिटर अल्कोहोल आणि 2 लिटर पाण्यात मिसळताना, 4 लिटरपेक्षा कमी मिश्रण मिळते. या मिश्रणात, रेणू अधिक संक्षिप्तपणे व्यवस्थित केले जातात आणि मिश्रणाचा आकार घटक घटकांच्या खंडांच्या बेरजेपेक्षा कमी असतो. अंकगणिताच्या अतिरिक्त नियमाचे उल्लंघन केले आहे. आपण अशी उदाहरणे देखील देऊ शकता ज्यामध्ये अंकगणिताच्या इतर सत्यांचे उल्लंघन केले आहे, उदाहरणार्थ, काही वस्तू जोडताना, हे दिसून येते की बेरीज बेरीजच्या क्रमावर अवलंबून असते.

बरेच गणितज्ञ गणिती संकल्पनांना शुद्ध कारणाची निर्मिती मानतात, परंतु खरोखर अस्तित्वात असलेल्या गोष्टी, घटना, प्रक्रिया किंवा आधीच स्थापित अमूर्त (उच्च ऑर्डरचे अमूर्त) मधील अमूर्तता मानतात. डायलेक्टिक ऑफ नेचरमध्ये, एफ. एंगेल्सने लिहिले की "... सर्व तथाकथित शुद्ध गणित अमूर्तांमध्ये गुंतलेले आहे ... त्याचे सर्व प्रमाण, काटेकोरपणे, काल्पनिक प्रमाण आहेत ..." हे शब्द अगदी स्पष्टपणे त्यांचे मत प्रतिबिंबित करतात. गणितातील अमूर्ततेच्या भूमिकेबद्दल मार्क्सवादी तत्त्वज्ञानाच्या संस्थापकांपैकी एक. आपण फक्त हे जोडले पाहिजे की या सर्व "काल्पनिक परिमाण" वास्तविकतेतून घेतलेल्या आहेत आणि विचारांच्या मुक्त उड्डाणाने अनियंत्रितपणे तयार केल्या जात नाहीत. अशाप्रकारे संख्या ही संकल्पना सर्वसामान्य वापरात आली. सुरुवातीला, या युनिट्समधील संख्या होत्या आणि त्याशिवाय, केवळ सकारात्मक पूर्णांक. मग अनुभवाने मला संख्यांचे शस्त्रागार दहापट आणि शेकडो पर्यंत वाढवण्यास भाग पाडले. पूर्णांकांच्या मालिकेच्या अमर्यादतेची संकल्पना ऐतिहासिकदृष्ट्या आपल्या जवळच्या युगात आधीच जन्माला आली होती: आर्किमिडीजने “पसंमिट” (“वाळूच्या कणांची गणना”) पुस्तकात दिलेल्या संख्यांपेक्षा मोठ्या संख्येची रचना कशी शक्य आहे हे दाखवून दिले. . त्याच वेळी, अपूर्णांक संख्यांच्या संकल्पनेचा जन्म व्यावहारिक गरजांमधून झाला. सर्वात सोप्या भौमितिक आकृत्यांशी संबंधित गणनेने मानवजातीला नवीन संख्येकडे नेले आहे - अपरिमेय संख्या. अशा प्रकारे, सर्व वास्तविक संख्यांच्या संचाची कल्पना हळूहळू तयार झाली.

गणिताच्या इतर कोणत्याही संकल्पनांसाठी हाच मार्ग अवलंबला जाऊ शकतो. ते सर्व व्यावहारिक गरजांमधून उद्भवले आणि हळूहळू अमूर्त संकल्पनांमध्ये तयार झाले. एफ. एंगेल्सचे शब्द पुन्हा आठवू शकतात: “... शुद्ध गणिताचा अर्थ प्रत्येक व्यक्तीच्या विशेष अनुभवापेक्षा स्वतंत्र असतो... परंतु शुद्ध गणितामध्ये मन केवळ स्वतःच्या उत्पादनांशी संबंधित असते हे पूर्णपणे चुकीचे आहे. सर्जनशीलता आणि कल्पनाशक्ती. संख्या आणि आकृती या संकल्पना कोठूनही घेतलेल्या नाहीत, परंतु केवळ वास्तविक जगातून घेतलेल्या आहेत. ज्या दहा बोटांवर लोक मोजायला शिकले, म्हणजेच अंकगणिताचे पहिले ऑपरेशन करणे, ते मनाच्या मुक्त सर्जनशीलतेचे उत्पादन आहे. मोजण्यासाठी, केवळ मोजण्यायोग्य वस्तू नसणे आवश्यक आहे, तर संख्या वगळता इतर सर्व गुणधर्मांवरून या वस्तूंचा विचार करताना विचलित होण्याची क्षमता देखील असणे आवश्यक आहे आणि ही क्षमता यावर आधारित दीर्घ ऐतिहासिक विकासाचा परिणाम आहे. अनुभव संख्येची संकल्पना आणि आकृतीची संकल्पना दोन्ही केवळ बाह्य जगातून उधार घेतलेल्या आहेत आणि शुद्ध विचारातून डोक्यात उद्भवलेल्या नाहीत. विशिष्ट स्वरूपाच्या गोष्टी असायला हव्या होत्या आणि आकृतीच्या संकल्पनेत येण्यापूर्वी या स्वरूपांची तुलना करणे आवश्यक होते.

विज्ञानाच्या भूतकाळातील प्रगती आणि सरावाच्या सध्याच्या प्रगतीशी संबंध न ठेवता विज्ञानात अशा काही संकल्पना आहेत का याचा विचार करूया. आम्हाला चांगले माहित आहे की वैज्ञानिक गणिती सर्जनशीलता ही शाळा, विद्यापीठातील अनेक विषयांचा अभ्यास, पुस्तके वाचणे, लेख वाचणे, त्यांच्या स्वत: च्या क्षेत्रातील आणि ज्ञानाच्या इतर क्षेत्रातील तज्ञांशी संभाषण आहे. एक गणितज्ञ समाजात राहतो आणि पुस्तकांमधून, रेडिओवरून, इतर स्त्रोतांकडून, तो विज्ञान, अभियांत्रिकी आणि सामाजिक जीवनात उद्भवणाऱ्या समस्यांबद्दल शिकतो. याव्यतिरिक्त, संशोधकाच्या विचारसरणीवर वैज्ञानिक विचारांच्या संपूर्ण पूर्वीच्या उत्क्रांतीचा प्रभाव पडतो. म्हणून, विज्ञानाच्या प्रगतीसाठी आवश्यक असलेल्या काही समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ते तयार असल्याचे दिसून येते. म्हणूनच एखादा शास्त्रज्ञ आपल्या इच्छेनुसार समस्या मांडू शकत नाही, परंतु त्याने गणितीय संकल्पना आणि सिद्धांत तयार केले पाहिजेत जे विज्ञानासाठी, इतर संशोधकांसाठी, मानवतेसाठी मौल्यवान असतील. परंतु गणितीय सिद्धांत विविध सामाजिक निर्मिती आणि ऐतिहासिक युगांच्या परिस्थितीत त्यांचे महत्त्व टिकवून ठेवतात. याव्यतिरिक्त, बर्याचदा समान कल्पना शास्त्रज्ञांकडून उद्भवतात जे कोणत्याही प्रकारे कनेक्ट केलेले नाहीत. गणितीय संकल्पनांच्या मुक्त निर्मितीच्या संकल्पनेचे पालन करणार्‍यांच्या विरोधात हा एक अतिरिक्त युक्तिवाद आहे.

तर, आम्ही "गणित" च्या संकल्पनेत काय समाविष्ट आहे ते सांगितले. पण उपयोजित गणित अशीही एक गोष्ट आहे. हे गणिताच्या बाहेरील अनुप्रयोग शोधणार्‍या सर्व गणितीय पद्धती आणि विषयांची संपूर्णता म्हणून समजले जाते. प्राचीन काळी, भूमिती आणि अंकगणित हे सर्व गणिताचे प्रतिनिधित्व करत होते आणि दोन्हींना व्यापार विनिमय, क्षेत्रे आणि खंडांचे मोजमाप आणि नेव्हिगेशनच्या बाबतीत असंख्य अनुप्रयोग आढळल्यामुळे, सर्व गणित केवळ सैद्धांतिकच नव्हते तर ते लागू देखील होते. नंतर, प्राचीन ग्रीसमध्ये, गणित आणि उपयोजित गणिताची विभागणी झाली. तथापि, सर्व प्रख्यात गणितज्ञ देखील केवळ सैद्धांतिक संशोधनातच नव्हे तर अनुप्रयोगांमध्ये गुंतलेले होते.

गणिताचा पुढील विकास नैसर्गिक विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या प्रगतीशी, नवीन सामाजिक गरजांच्या उदयाशी सतत जोडलेला होता. XVIII शतकाच्या शेवटी. गतीचा गणिती सिद्धांत तयार करण्याची गरज होती (प्रामुख्याने नेव्हिगेशन आणि आर्टिलरीच्या समस्यांशी संबंधित). जी.व्ही. लिबनिझ आणि आय. न्यूटन यांनी त्यांच्या कामात हे केले होते. उपयोजित गणित एका नवीन अतिशय शक्तिशाली संशोधन पद्धतीने भरले गेले आहे - गणितीय विश्लेषण. जवळजवळ एकाच वेळी, लोकसंख्याशास्त्र आणि विम्याच्या गरजांमुळे संभाव्यता सिद्धांताची सुरुवात झाली (संभाव्यता सिद्धांत पहा). 18वे आणि 19वे शतक उपयोजित गणिताची सामग्री विस्तृत केली, त्यात सामान्य आणि आंशिक विभेदक समीकरणे, गणितीय भौतिकशास्त्राची समीकरणे, गणितीय सांख्यिकी घटक, भिन्न भूमिती यांचा सिद्धांत जोडला. 20 वे शतक व्यावहारिक समस्यांच्या गणितीय संशोधनाच्या नवीन पद्धती आणल्या: यादृच्छिक प्रक्रियांचा सिद्धांत, आलेख सिद्धांत, कार्यात्मक विश्लेषण, इष्टतम नियंत्रण, रेखीय आणि नॉन-लिनियर प्रोग्रामिंग. शिवाय, असे दिसून आले की संख्या सिद्धांत आणि अमूर्त बीजगणित भौतिकशास्त्राच्या समस्यांसाठी अनपेक्षित अनुप्रयोग आढळले. परिणामी, गणित ही वेगळी शिस्त अस्तित्वात नाही आणि सर्व गणिते लागू मानली जाऊ शकतात, असा विश्वास आकार घेऊ लागला. कदाचित, असे म्हणणे आवश्यक आहे की गणित लागू आणि सैद्धांतिक नाही, परंतु गणितज्ञ लागू आणि सैद्धांतिकांमध्ये विभागलेले आहेत. काही लोकांसाठी, गणित ही आजूबाजूच्या जगाची आणि त्यात घडणाऱ्या घटनांचे आकलन करण्याची एक पद्धत आहे, या हेतूने शास्त्रज्ञ गणिती ज्ञानाचा विकास आणि विस्तार करतो. इतरांसाठी, गणित स्वतःच संपूर्ण जगाचे प्रतिनिधित्व करते जे अभ्यास आणि विकासासाठी योग्य आहे. विज्ञानाच्या प्रगतीसाठी दोन्ही प्रकारच्या शास्त्रज्ञांची गरज आहे.

गणित, कोणत्याही घटनेचा स्वतःच्या पद्धतींनी अभ्यास करण्यापूर्वी, त्याचे गणितीय मॉडेल तयार करते, म्हणजेच, त्या घटनेच्या सर्व वैशिष्ट्यांची यादी करते जी विचारात घेतली जाईल. मॉडेल संशोधकाला अशी गणिती साधने निवडण्यास भाग पाडते जे अभ्यासाधीन घटनेची वैशिष्ट्ये आणि त्याची उत्क्रांती पुरेशा प्रमाणात व्यक्त करण्यास अनुमती देईल. उदाहरण म्हणून, ग्रह प्रणालीचे मॉडेल घेऊ: सूर्य आणि ग्रह हे संबंधित वस्तुमानांसह भौतिक बिंदू मानले जातात. प्रत्येक दोन बिंदूंचा परस्परसंवाद त्यांच्यामधील आकर्षण शक्तीद्वारे निर्धारित केला जातो

जेथे m 1 आणि m 2 हे परस्पर बिंदूंचे वस्तुमान आहेत, r हे त्यांच्यातील अंतर आहे आणि f हे गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक आहे. या मॉडेलची साधेपणा असूनही, गेल्या तीनशे वर्षांपासून ते सूर्यमालेतील ग्रहांच्या गतीची वैशिष्ट्ये अतिशय अचूकतेने प्रसारित करत आहे.

अर्थात, प्रत्येक मॉडेल वास्तविकतेला खडबडीत बनवते आणि संशोधकाचे कार्य हे आहे की, सर्व प्रथम, एक मॉडेल प्रस्तावित करणे जे एकीकडे, प्रकरणाची वास्तविक बाजू पूर्णपणे व्यक्त करते (जसे ते म्हणतात, त्याची भौतिक वैशिष्ट्ये), आणि, दुसरीकडे, वास्तविकतेला महत्त्वपूर्ण अंदाज देते. अर्थात, एकाच घटनेसाठी अनेक गणिती मॉडेल्स प्रस्तावित केल्या जाऊ शकतात. मॉडेल आणि वास्तविकता यांच्यातील महत्त्वपूर्ण विसंगती प्रभावित होईपर्यंत त्या सर्वांना अस्तित्वात राहण्याचा अधिकार आहे.

संबंधित पोस्ट: