समांतरभुज चौकोनाचे कोणते गुणधर्म त्याच्या व्याख्येत समाविष्ट आहेत. संशोधन प्रकल्प "समांतरभुज चौकोन आणि त्याचे गुणधर्म"

दिलेली आकृती समांतरभुज चौकोन आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी, अनेक चिन्हे आहेत. समांतरभुज चौकोनाची तीन मुख्य वैशिष्ट्ये पाहू.

1 समांतरभुज चिन्ह

जर चौकोनाच्या दोन बाजू समान आणि समांतर असतील, तर हा चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल.

पुरावा:

ABCD चतुर्भुज विचारात घ्या. AB आणि CD बाजू समांतर असू द्या. आणि AB=CD द्या. त्यात कर्ण BD काढू. हे या चौकोनाला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभाजित करेल: ABD आणि CBD.

हे त्रिकोण दोन बाजूंनी एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत आणि त्यांच्यामधील कोन (BD ही सामाईक बाजू आहे, स्थितीनुसार AB = CD, angle1 = angle2 AB आणि CD च्या समांतर रेषांच्या ट्रान्सव्हर्सल BD सह क्रॉसवाईज कोन म्हणून.), आणि म्हणून कोन3 = कोण ४.

आणि जेव्हा BC आणि AD रेषा सीकंट BD ला छेदतात तेव्हा हे कोन क्रॉसवाईज असतील. यावरून असे दिसून येते की BC आणि AD एकमेकांना समांतर आहेत. आपल्याकडे ABCD चतुर्भुज मध्ये विरुद्ध बाजू जोडीने समांतर असतात आणि म्हणून ABCD हा चतुर्भुज समांतरभुज आहे.

समांतरभुज चिन्ह २

जर चतुर्भुजात विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समान असतील, तर हा चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल.

पुरावा:

ABCD चतुर्भुज विचारात घ्या. त्यात कर्ण BD काढू. हे या चौकोनाला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभाजित करेल: ABD आणि CBD.

हे दोन त्रिकोण तीन बाजूंनी एकमेकांना समान असतील (BD ही सामाईक बाजू आहे, AB = CD आणि BC = AD स्थितीनुसार). यावरून आपण angle1 = angle2 असा निष्कर्ष काढू शकतो. हे खालीलप्रमाणे आहे की AB CD ला समांतर आहे. आणि AB = CD आणि AB CD ला समांतर असल्याने, समांतरभुज चौकोनाच्या पहिल्या निकषानुसार, ABCD हा चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल.

3 समांतरभुज चिन्ह

जर चतुर्भुजाचे कर्ण छेदतात आणि छेदनबिंदूच्या बिंदूने दुभाजक असतील, तर हा चौकोन समांतरभुज चौकोन असेल.

ABCD चतुर्भुज विचारात घ्या. त्यामध्ये AC आणि BD असे दोन कर्ण काढू या, जे O बिंदूला छेदतील आणि या बिंदूने दुभाजक असतील.

त्रिकोणांच्या समानतेच्या पहिल्या चिन्हानुसार, त्रिकोण AOB आणि COD एकमेकांच्या समान असतील. (AO = OC, BO = OD स्थितीनुसार, कोन AOB = कोन COD प्रमाणे अनुलंब कोन.) म्हणून, AB = CD आणि कोन 1 = कोन 2. कोन 1 आणि 2 च्या समानतेवरून, आपल्याकडे AB CD ला समांतर आहे. मग आपल्याकडे आहे की ABCD या चौकोनात AB या CD आणि समांतर बाजू आहेत आणि समांतरभुज चौकोनाच्या पहिल्या निकषानुसार, चौकोन ABCD हा समांतरभुज चौकोन असेल.

धडा सारांश.

बीजगणित 8 वी इयत्ता

शिक्षक सिसॉय ए.के.

शाळा 1828

धड्याचा विषय: "समांतरभुज चौकोन आणि त्याचे गुणधर्म"

धड्याचा प्रकार: एकत्रित

धड्याची उद्दिष्टे:

1) नवीन संकल्पना - समांतरभुज चौकोन आणि त्याचे गुणधर्म आत्मसात करणे सुनिश्चित करा

2) भौमितिक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी कौशल्ये आणि क्षमता विकसित करणे सुरू ठेवा;

3) गणितीय भाषणाच्या संस्कृतीचा विकास

धडा योजना:

1. संघटनात्मक क्षण

(स्लाइड 1)

स्लाइड लुईस कॅरोल यांचे विधान दाखवते. विद्यार्थ्यांना धड्याच्या उद्देशाबद्दल माहिती दिली जाते. धड्यासाठी विद्यार्थ्यांची तयारी तपासली जाते.

2. ज्ञान अद्यतनित करणे

(स्लाइड 2)

बोर्डवर कार्ये आहेत तोंडी काम. शिक्षक विद्यार्थ्यांना या समस्यांबद्दल विचार करण्यास आमंत्रित करतात आणि ज्यांना समस्या कशी सोडवायची ते समजतात त्यांच्याकडे हात वर करतात. दोन समस्या सोडवल्यानंतर, कोनांच्या बेरजेवर प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी विद्यार्थ्याला बोर्डात बोलावले जाते, जो स्वतंत्रपणे रेखांकनावर अतिरिक्त रचना करतो आणि प्रमेय तोंडी सिद्ध करतो.

विद्यार्थी बहुभुजाच्या कोनांच्या बेरीजसाठी सूत्र वापरतात:

3. मुख्य भाग

(स्लाइड 3)

बोर्डवरील समांतरभुज चौकोनाची व्याख्या. शिक्षक बोलतात नवीन आकृतीआणि रेखांकनाच्या मदतीने आवश्यक स्पष्टीकरण करून व्याख्या तयार करते. त्यानंतर, प्रेझेंटेशनच्या चेकर्ड भागावर, मार्कर आणि शासक वापरून, तो समांतरभुज चौकोन कसा काढायचा ते दाखवतो (अनेक प्रकरणे शक्य आहेत)

(स्लाइड ४)

शिक्षक समांतरभुज चौकोनाचा पहिला गुणधर्म तयार करतो. विद्यार्थ्यांना रेखाचित्रातून काय दिले आहे आणि काय सिद्ध करणे आवश्यक आहे हे सांगण्यासाठी आमंत्रित करते. यानंतर, दिलेले कार्य बोर्डवर दिसते. विद्यार्थ्यांचा अंदाज आहे (कदाचित शिक्षकाच्या मदतीने) आवश्यक समानता त्रिकोणांच्या समानतेद्वारे सिद्ध केल्या पाहिजेत, ज्या कर्ण रेखाटून मिळवता येतात (फलकावर कर्ण दिसतो). पुढे, विद्यार्थी त्रिकोण समान का आहेत याचा अंदाज लावतात आणि त्रिकोण समान असल्याच्या चिन्हाला नाव देतात (संबंधित आकार दिसतो). त्रिकोण समान करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या तथ्ये ते मौखिकपणे संप्रेषण करतात (जसे ते त्यांना नाव देतात, एक संबंधित व्हिज्युअलायझेशन दिसून येते). पुढे, विद्यार्थी एकरूप त्रिकोणांचे गुणधर्म तयार करतात, ते पुराव्याच्या बिंदू 3 प्रमाणे दिसतात आणि नंतर स्वतंत्रपणे प्रमेयाचा पुरावा तोंडी पूर्ण करतात.

(स्लाइड 5)

शिक्षक समांतरभुज चौकोनाचा दुसरा गुणधर्म तयार करतो. बोर्डवर समांतरभुज चौकोनाचे रेखाचित्र दिसते. काय दिले आहे आणि काय सिद्ध करणे आवश्यक आहे हे सांगण्यासाठी शिक्षक चित्र वापरून सुचवतात. विद्यार्थ्यांनी काय दिले आहे आणि काय सिद्ध करणे आवश्यक आहे याचा अचूकपणे अहवाल दिल्यानंतर, प्रमेयची स्थिती दिसून येते. विद्यार्थ्यांचा असा अंदाज आहे की कर्णांच्या भागांची समानता त्रिकोणांच्या समानतेद्वारे सिद्ध केली जाऊ शकतेAOBआणि C.O.D.. समांतरभुज चौकोनाच्या मागील गुणधर्माचा वापर करून, एक अंदाज लावतो की बाजू समान आहेतएबीआणि सीडी. मग त्यांना समजते की त्यांना समान कोन शोधणे आवश्यक आहे आणि समांतर रेषांचे गुणधर्म वापरून, समान बाजूंना लागून असलेल्या कोनांची समानता सिद्ध करा. हे टप्पे स्लाइडवर दृश्यमान आहेत. प्रमेयाचे सत्य त्रिकोणांच्या समानतेवरून येते - विद्यार्थी ते म्हणतात आणि स्लाईडवर संबंधित व्हिज्युअलायझेशन दिसते.

(स्लाइड 6)

शिक्षक समांतरभुज चौकोनाचा तिसरा गुणधर्म तयार करतो. धडा संपेपर्यंत उरलेल्या वेळेवर अवलंबून, शिक्षक विद्यार्थ्यांना ही मालमत्ता स्वतंत्रपणे सिद्ध करण्याची संधी देऊ शकतात किंवा स्वतःला त्याच्या सूत्रीकरणापुरते मर्यादित ठेवू शकतात आणि पुरावा स्वतःच विद्यार्थ्यांवर सोपवू शकतात. गृहपाठ. पुरावा पाठाच्या सुरूवातीस पुनरावृत्ती केलेल्या, कोरलेल्या बहुभुजाच्या कोनांच्या बेरीजवर किंवा दोन समांतर रेषांच्या अंतर्गत एकतर्फी कोनांच्या बेरजेवर आधारित असू शकतो.इ.सआणि B.C., आणि एक secant, उदाहरणार्थएबी.

4. सामग्री निश्चित करणे

या टप्प्यावर, विद्यार्थी समस्या सोडवण्यासाठी पूर्वी शिकलेल्या प्रमेयांचा वापर करतात. विद्यार्थी स्वतंत्रपणे समस्या सोडवण्यासाठी कल्पना निवडतात. कारण संभाव्य पर्यायतेथे बरेच डिझाइन आहे आणि ते सर्व विद्यार्थी समस्येचे निराकरण कसे शोधतील यावर अवलंबून असतात, समस्यांचे निराकरण करण्याचे कोणतेही दृश्य नाही आणि विद्यार्थी स्वतंत्रपणे सोल्यूशनचा प्रत्येक टप्पा एका वेगळ्या बोर्डवर काढतात. नोटबुकमध्ये सोल्यूशन रेकॉर्ड करणे.

(स्लाइड 7)

कार्य स्थिती दिसते. शिक्षक परिस्थितीनुसार "दिलेले" तयार करण्याचे सुचवतात. विद्यार्थ्यांनी अटीचे एक लहान विधान योग्यरित्या तयार केल्यानंतर, "दिलेले" बोर्डवर दिसते. समस्येचे निराकरण करण्याची प्रक्रिया यासारखी दिसू शकते:

चला उंची BH काढू (दृश्यमान)

त्रिकोण AHB हा काटकोन त्रिकोण आहे. कोन ए कोनाच्या समान C आणि बरोबर 30 0 (समांतरभुज चौकोनातील विरुद्ध कोनांच्या गुणधर्मानुसार). 2BH =AB (काटक त्रिकोणातील 30 0 कोनासमोर असलेल्या पायाच्या गुणधर्मानुसार). तर AB = 13 सेमी.

AB = CD, BC = AD (समांतरभुज चौकोनातील विरुद्ध बाजूंच्या गुणधर्मानुसार) तर AB = CD = 13 सेमी. समांतरभुज चौकोनाची परिमिती 50 सेमी असल्याने BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 सेमी.

उत्तर: AB = CD = 13 सेमी, BC = AD = 12 सेमी.

(स्लाइड 8)

कार्य स्थिती दिसते. शिक्षक परिस्थितीनुसार "दिलेले" तयार करण्याचे सुचवतात. नंतर स्क्रीनवर "दिलेले" दिसेल. लाल रेषा वापरून, एक चतुर्भुज हायलाइट केला जातो, ज्याबद्दल आपल्याला हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे की तो समांतरभुज चौकोन आहे. समस्येचे निराकरण करण्याची प्रक्रिया यासारखी दिसू शकते:

कारण BK आणि MD एका रेषेला लंब आहेत, नंतर BK आणि MD रेषा समांतर आहेत.

च्या माध्यमातून समीप कोन BM आणि KD आणि सीकंट MD या सरळ रेषांवरील अंतर्गत एकतर्फी कोनांची बेरीज 180 0 इतकी आहे असे दाखवले जाऊ शकते. त्यामुळे या रेषा समांतर आहेत.

चौकोन BMDK च्या विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समांतर असल्याने, हा चौकोन समांतरभुज चौकोन आहे.

5. धड्याचा शेवट. परिणामांचे वर्तन.

(स्लाइड 8)

स्लाइडवर प्रश्न दिसतात नवीन विषय, ज्याला विद्यार्थी प्रतिसाद देतात.

समांतरभुज चौकोन म्हणजे ज्याच्या विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समांतर असतात. खालील आकृती ABCD समांतरभुज चौकोन दाखवते. यात बाजू CD च्या समांतर बाजू AB आणि बाजू AD च्या समांतर बाजू BC आहे.

जसे तुम्ही अंदाज लावला असेल, समांतरभुज चौकोन हा बहिर्वक्र चतुर्भुज आहे. समांतरभुज चौकोनाचे मूळ गुणधर्म पाहू.

समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म

1. समांतरभुज चौकोनात, विरुद्ध कोन आणि विरुद्ध बाजू समान असतात. चला हा गुणधर्म सिद्ध करू - खालील आकृतीमध्ये सादर केलेल्या समांतरभुज चौकोनाचा विचार करा.

कर्ण BD त्याला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतो: ABD आणि CBD. BC आणि AD आणि AB आणि CD या समांतर रेषांच्या सीकंट BD वर अनुक्रमे आडवा दिशेने पडलेले कोन BD आणि त्यालगतचे दोन कोन यांच्या बाजूने ते समान आहेत. म्हणून AB = CD आणि
BC = AD. आणि कोन 1, 2, 3 आणि 4 च्या समानतेवरून ते कोन A = angle1 + angle3 = angle2 + angle4 = angle C चे अनुसरण करते.

2. समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण छेदनबिंदूने अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत. बिंदू O हा समांतरभुज चौकोन ABCD च्या कर्ण AC आणि BD चा छेदनबिंदू मानू.

नंतर त्रिकोण AOB आणि त्रिकोण COD एकमेकांच्या बरोबरीने, बाजूने आणि दोन समीप कोन आहेत. (AB = CD कारण या समांतरभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू आहेत. आणि angle1 = angle2 आणि angle3 = angle4 जेव्हा AB आणि CD रेषा अनुक्रमे AC आणि BD ला छेदतात तेव्हा आडवा कोनाप्रमाणे असतात.) यावरून ते AO = OC असे पुढे येते. आणि OB = OD, जे आणि सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

सर्व मुख्य गुणधर्म खालील तीन आकृत्यांमध्ये स्पष्ट केले आहेत.

ज्याप्रमाणे युक्लिडियन भूमितीमध्ये, बिंदू आणि सरळ रेषा हे समतल सिद्धांताचे मुख्य घटक आहेत, त्याचप्रमाणे समांतरभुज चौकोन ही बहिर्वक्र चतुर्भुजांच्या प्रमुख आकृत्यांपैकी एक आहे. त्यातून, बॉलच्या धाग्यांप्रमाणे, “आयत”, “चौरस”, “समभुज” आणि इतर भौमितिक परिमाणांच्या संकल्पना प्रवाहित होतात.

च्या संपर्कात आहे

समांतरभुज चौकोनाची व्याख्या

उत्तल चतुर्भुज,खंडांचा समावेश आहे, ज्याची प्रत्येक जोडी समांतर आहे, भूमितीमध्ये समांतरभुज चौकोन म्हणून ओळखली जाते.

क्लासिक समांतरभुज चौकोन ABCD द्वारे चित्रित केलेला आहे. बाजूंना तळ (AB, BC, CD आणि AD) म्हणतात, कोणत्याही शिरोबिंदूपासून या शिरोबिंदूच्या विरुद्ध बाजूस काढलेल्या लंबाला उंची (BE आणि BF) म्हणतात, AC आणि BD रेषांना कर्ण म्हणतात.

लक्ष द्या!चौरस, समभुज चौकोन आणि आयत ही समांतरभुज चौकोनाची विशेष प्रकरणे आहेत.

बाजू आणि कोन: संबंधांची वैशिष्ट्ये

मुख्य गुणधर्म, मोठ्या प्रमाणात, पदनामानेच पूर्वनिर्धारित, ते प्रमेयाने सिद्ध केले आहेत. ही वैशिष्ट्ये खालीलप्रमाणे आहेत.

1. विरुद्ध असलेल्या बाजू जोड्यांमध्ये एकसारख्या असतात.
2. एकमेकांच्या विरुद्ध असलेले कोन जोड्यांमध्ये समान असतात.

पुरावा: ∆ABC आणि ∆ADC विचारात घ्या, जे सरळ रेषेतील AC सह चतुर्भुज ABCD विभाजित करून प्राप्त होतात. ∠BCA=∠CAD आणि ∠BAC=∠ACD, कारण AC त्यांच्यासाठी सामान्य आहे (अनुक्रमे BC||AD आणि AB||CD साठी अनुलंब कोन). हे यावरून पुढे येते: ∆ABC = ∆ADC (त्रिकोणांच्या समानतेचे दुसरे चिन्ह).

∆ABC मधील AB आणि BC हे खंड ∆ADC मधील CD आणि AD या रेषांशी जोड्यांमध्ये जुळतात, याचा अर्थ ते एकसारखे आहेत: AB = CD, BC = AD. अशा प्रकारे, ∠B ∠D शी संबंधित आहे आणि ते समान आहेत. ∠A=∠BAC+∠CAD असल्याने, ∠C=∠BCA+∠ACD, जे जोडीने समान आहेत, नंतर ∠A = ∠C. मालमत्ता सिद्ध झाली आहे.

आकृतीच्या कर्णांची वैशिष्ट्ये

मुख्य वैशिष्ट्यसमांतरभुज चौकोनाच्या या रेषांपैकी: छेदनबिंदू त्यांना अर्ध्यामध्ये विभाजित करतो.

पुरावा: ABCD आकृतीच्या कर्ण AC आणि BD चे छेदनबिंदू असू द्या. ते दोन समतुल्य त्रिकोण तयार करतात - ∆ABE आणि ∆CDE.

AB=CD कारण ते विरुद्ध आहेत. रेषा आणि सेकंटनुसार, ∠ABE = ∠CDE आणि ∠BAE = ∠DCE.

समानतेच्या दुसऱ्या निकषानुसार, ∆ABE = ∆CDE. याचा अर्थ ∆ABE आणि ∆CDE हे घटक: AE = CE, BE = DE आणि त्याच वेळी ते AC आणि BD चे आनुपातिक भाग आहेत. मालमत्ता सिद्ध झाली आहे.

समीप कोपऱ्यांची वैशिष्ट्ये

लगतच्या बाजूंना कोनांची बेरीज 180° असते, कारण ते समांतर रेषा आणि ट्रान्सव्हर्सलच्या एकाच बाजूला आहेत. चतुर्भुज ABCD साठी:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

दुभाजकाचे गुणधर्म:

1. , एका बाजूला कमी, लंब आहेत;
2. विरुद्ध शिरोबिंदूंना समांतर दुभाजक असतात;
3. दुभाजक काढल्याने मिळणारा त्रिकोण समद्विभुज असेल.

प्रमेय वापरून समांतरभुज चौकोनाच्या वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्यांचे निर्धारण

या आकृतीची वैशिष्ट्ये त्याच्या मुख्य प्रमेयातून आढळतात, ज्यात पुढील गोष्टी सांगितल्या जातात: चतुर्भुज समांतरभुज चौकोन मानला जातोजर त्याचे कर्ण एकमेकांना छेदतात आणि हा बिंदू त्यांना समान विभागांमध्ये विभागतो.

पुरावा: ABCD या चौकोनाच्या AC आणि BD रेषा एकमेकांना छेदू द्या. ∠AED = ∠BEC, आणि AE+CE=AC BE+DE=BD असल्याने, नंतर ∆AED = ∆BEC (त्रिकोणांच्या समानतेच्या पहिल्या निकषानुसार). म्हणजेच, ∠EAD = ∠ECB. ते AD आणि BC रेषांसाठी secant AC चे अंतर्गत क्रॉस कोन देखील आहेत. अशा प्रकारे, समांतरतेच्या व्याख्येनुसार - AD || B.C. ओळी BC आणि CD ची समान गुणधर्म देखील साधित केलेली आहे. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजत आहे

या आकृतीचे क्षेत्रफळ अनेक पद्धतींनी आढळतातसर्वात सोप्यापैकी एक: उंची आणि पाया ज्यावर काढला आहे त्याचा गुणाकार करणे.

पुरावा: B आणि C शिरोबिंदूंवरून BE आणि CF लंब काढा. AB = CD आणि BE = CF असल्याने ∆ABE आणि ∆DCF समान आहेत. ABCD हा आयताकृती EBCF च्या आकारात समान असतो, कारण त्यामध्ये अनुरूप आकृत्या असतात: S ABE आणि S EBCD, तसेच S DCF आणि S EBCD. यावरून याचे क्षेत्रफळ लक्षात येते भौमितिक आकृतीआयताप्रमाणेच स्थित आहे:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सामान्य सूत्र निश्चित करण्यासाठी, आपण उंची असे दर्शवू hb, आणि बाजू - b. अनुक्रमे:

क्षेत्र शोधण्याचे इतर मार्ग

क्षेत्र गणना समांतरभुज चौकोन आणि कोनाच्या बाजूंमधून, जी ते तयार करतात, ही दुसरी ज्ञात पद्धत आहे.

,

Spr-ma - क्षेत्र;

a आणि b त्याच्या बाजू आहेत

α हा खंड a आणि b मधील कोन आहे.

ही पद्धत व्यावहारिकदृष्ट्या पहिल्यावर आधारित आहे, परंतु ती अज्ञात असल्यास. नेहमी कापतो काटकोन त्रिकोण, ज्याचे पॅरामीटर्स आहेत त्रिकोणमितीय ओळख, ते आहे . नात्याचे रूपांतर, आपल्याला मिळते. पहिल्या पद्धतीच्या समीकरणामध्ये, आम्ही या उत्पादनासह उंची बदलतो आणि या सूत्राच्या वैधतेचा पुरावा मिळवतो.

समांतरभुज चौकोनाच्या कर्ण आणि कोनाद्वारे,जेव्हा ते एकमेकांना छेदतात तेव्हा ते तयार करतात, तुम्ही क्षेत्र देखील शोधू शकता.

पुरावा: AC आणि BD चार त्रिकोण तयार करण्यासाठी छेदतात: ABE, BEC, CDE आणि AED. त्यांची बेरीज या चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची आहे.

यापैकी प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ ∆ अभिव्यक्तीद्वारे शोधले जाऊ शकते, जेथे a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. पासून, गणना एकल साइन मूल्य वापरते. ते आहे . AE+CE=AC= d 1 आणि BE+DE=BD= d 2 असल्याने, क्षेत्र सूत्र कमी होते:

.

वेक्टर बीजगणित मध्ये अर्ज

या चतुर्भुजाच्या घटक भागांच्या वैशिष्ट्यांचा वेक्टर बीजगणितामध्ये उपयोग आढळून आला आहे, म्हणजे दोन सदिश जोडणे. समांतरभुज चौकोन नियम सांगतो की सदिश दिले असल्यासआणिनाहीसमरेखीय आहेत, तर त्यांची बेरीज या आकृतीच्या कर्णाच्या बरोबरीची असेल, ज्याचे तळ या सदिशांशी जुळतात.

पुरावा: अनियंत्रितपणे निवडलेल्या सुरुवातीपासून - म्हणजे. - वेक्टर तयार करा आणि . पुढे, आम्ही समांतरभुज चौकोन OASV बनवतो, जेथे OA आणि OB हे विभाग बाजू आहेत. अशा प्रकारे, OS वेक्टर किंवा बेरीज वर स्थित आहे.

समांतरभुज चौकोनाच्या पॅरामीटर्सची गणना करण्यासाठी सूत्रे

खालील अटींनुसार ओळख दिली जाते:

1. a आणि b, α - बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन;
2. d 1 आणि d 2, γ - कर्ण आणि त्यांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूवर;
3. h a आणि h b - a आणि b बाजूंना कमी केलेली उंची;

पॅरामीटर	सुत्र
बाजू शोधत आहे
कर्ण आणि त्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या कोसाइनसह
कर्ण आणि बाजूंच्या बाजूने
उंची आणि विरुद्ध शिरोबिंदू द्वारे
कर्णांची लांबी शोधत आहे
बाजूंवर आणि त्यांच्या दरम्यानच्या शिखराचा आकार

हा एक चतुर्भुज आहे ज्याच्या विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समांतर आहेत.

मालमत्ता १. समांतरभुज चौकोनाचा कोणताही कर्ण त्याला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभागतो.

पुरावा. II वैशिष्ट्यानुसार (क्रॉसवाइज कोन आणि सामान्य बाजू).

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

मालमत्ता 2. समांतरभुज चौकोनामध्ये, विरुद्ध बाजू समान असतात आणि विरुद्ध कोन समान असतात.

पुरावा.
त्याचप्रमाणे,

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

गुणधर्म 3. समांतरभुज चौकोनामध्ये, कर्ण छेदनबिंदूद्वारे दुभाजित केले जातात.

पुरावा.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

मालमत्ता 4. समांतरभुज चौकोनाला छेदणारा कोन दुभाजक उलट बाजू, समद्विभुज त्रिकोण आणि समलंब त्रिकोणामध्ये विभागतो. (Ch. शब्द - शिरोबिंदू - दोन समद्विभुज? -ka).

पुरावा.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

मालमत्ता 5. समांतरभुज चौकोनामध्ये, कर्णांच्या छेदनबिंदूमधून जाणाऱ्या विरुद्ध बाजूंना टोक असलेला रेषाखंड या बिंदूने दुभाजित केला जातो.

पुरावा.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

मालमत्ता 6. समांतरभुज चौकोनाच्या स्थूल कोनाच्या शिरोबिंदूवरून खाली आलेला उंचीमधील कोन समांतरभुज चौकोनाच्या तीव्र कोनाइतका असतो.

पुरावा.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

मालमत्ता 7. एका बाजूस लागून असलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 180° आहे.

पुरावा.

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

कोनाचे दुभाजक बांधणे. त्रिकोणाच्या कोन दुभाजकाचे गुणधर्म.

1) अनियंत्रित किरण DE तयार करा.

2) दिलेल्या किरणांवर, शिरोबिंदू आणि त्याच केंद्रावर एक अनियंत्रित वर्तुळ तयार करा
तयार केलेल्या किरणाच्या सुरूवातीस केंद्रासह.

3) F आणि G - दिलेल्या कोनाच्या बाजूंनी वर्तुळाच्या छेदनबिंदूचे बिंदू, H - बांधलेल्या किरणांसह वर्तुळाच्या छेदनबिंदूचे बिंदू

H बिंदूवर केंद्र आणि FG च्या समान त्रिज्या असलेले वर्तुळ तयार करा.

5) I हा तयार केलेल्या बीमच्या वर्तुळांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आहे.

6) शिरोबिंदू आणि I मधून सरळ रेषा काढा.

IDH आवश्यक कोन आहे.
)

मालमत्ता १. त्रिकोणाच्या कोनाचा दुभाजक विरुद्ध बाजूस समीप बाजूंच्या प्रमाणात विभागतो.

पुरावा. x, y हे बाजू c चे खंड समजा. चला बीम बीसी चालू ठेवूया. किरण BC वर आपण C वरून AC च्या बरोबरीचा CK भाग काढतो.