शून्य समान अपूर्णांक समीकरणे कशी सोडवायची. तर्कसंगत समीकरणे

सोप्या भाषेत सांगायचे तर, ही अशी समीकरणे आहेत ज्यात भाजकात किमान एक चल आहे.

उदाहरणार्थ:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नाहीअपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणे:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणे कशी सोडवली जातात?

अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणांबद्दल लक्षात ठेवण्याची मुख्य गोष्ट म्हणजे आपल्याला त्यामध्ये लिहिण्याची आवश्यकता आहे. आणि मुळे शोधल्यानंतर, त्यांना स्वीकार्यतेसाठी तपासण्याची खात्री करा. अन्यथा, बाह्य मुळे दिसू शकतात आणि संपूर्ण निर्णय चुकीचा मानला जाईल.

अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम:

ODZ लिहा आणि "निराकरण" करा.

समीकरणातील प्रत्येक पदाचा सामान्य भाजकाने गुणाकार करा आणि परिणामी अपूर्णांक रद्द करा. भाजक नाहीसे होतील.

कंस न उघडता समीकरण लिहा.

परिणामी समीकरण सोडवा.

ODZ सह सापडलेली मुळे तपासा.

चरण 7 मध्ये चाचणी उत्तीर्ण झालेल्या मुळे तुमच्या उत्तरात लिहा.

अल्गोरिदम लक्षात ठेवू नका, 3-5 सोडवलेले समीकरण आणि ते स्वतःच लक्षात राहील.

उदाहरण . अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवा \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

उपाय:

उत्तर: \(3\).

उदाहरण . अपूर्णांक परिमेय समीकरणाची मुळे शोधा \(=0\)

उपाय:

उत्तर: \(\frac(1)(2)\).

चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची हे आपण आधीच शिकलो आहोत. आता अभ्यास केलेल्या पद्धतींचा विस्तार तर्कसंगत समीकरणांपर्यंत करू.

तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती म्हणजे काय? आम्ही या संकल्पनेचा आधीच सामना केला आहे. तर्कशुद्ध अभिव्यक्तीअंक, चल, त्यांची शक्ती आणि गणितीय क्रियांची चिन्हे याने बनलेली अभिव्यक्ती आहेत.

त्यानुसार, तर्कसंगत समीकरणे ही फॉर्मची समीकरणे आहेत: , कुठे - तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती.

पूर्वी, आम्ही फक्त त्या तर्कसंगत समीकरणांचा विचार केला होता जी रेषीय समीकरणांवर कमी केली जाऊ शकतात. आता ती परिमेय समीकरणे पाहू ज्यांना चतुर्भुज समीकरणे कमी करता येतात.

उदाहरण १

समीकरण सोडवा: .

उपाय:

अपूर्णांक ० च्या बरोबरीचा असतो आणि जर त्याचा अंश ० च्या बरोबरीचा असेल आणि त्याचा भाजक ० च्या बरोबर नसेल तरच.

आम्हाला खालील प्रणाली मिळते:

प्रणालीचे पहिले समीकरण हे चतुर्भुज समीकरण आहे. ते सोडवण्याआधी, त्याचे सर्व गुणांक 3 ने विभाजित करू. आम्हाला मिळते:

आम्हाला दोन मुळे मिळतात: ; .

2 कधीही 0 च्या बरोबरीचे नसल्यामुळे, दोन अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत: . वरील प्राप्त समीकरणाचे कोणतेही मूळ दुसरी असमानता सोडवताना प्राप्त झालेल्या चलच्या अवैध मूल्यांशी जुळत नसल्यामुळे, ते दोन्ही या समीकरणाचे निराकरण आहेत.

उत्तर:.

तर, तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम तयार करूया:

1. सर्व संज्ञा डावीकडे हलवा जेणेकरून उजवी बाजू 0 ने संपेल.

2. डाव्या बाजूचे रूपांतर आणि सरलीकरण करा, सर्व अपूर्णांकांना एका सामान्य भाजकावर आणा.

3. खालील अल्गोरिदम वापरून परिणामी अपूर्णांकाची बरोबरी करा: .

4. पहिल्या समीकरणात मिळालेली मुळे लिहा आणि उत्तरातील दुसरी असमानता पूर्ण करा.

आणखी एक उदाहरण पाहू.

उदाहरण २

समीकरण सोडवा: .

उपाय

अगदी सुरुवातीला, सर्व अटी कडे हलवूया डावी बाजू, जेणेकरून 0 उजवीकडे राहील.

आता समीकरणाची डावी बाजू एका सामान्य भाजकाकडे आणू:

हे समीकरण प्रणालीशी समतुल्य आहे:

प्रणालीचे पहिले समीकरण हे चतुर्भुज समीकरण आहे.

या समीकरणाचे गुणांक: . आम्ही भेदभावाची गणना करतो:

आम्हाला दोन मुळे मिळतात: ; .

आता दुसरी असमानता सोडवू: जर घटकांचे गुणाकार 0 च्या बरोबरीचे नसतील आणि जर कोणतेही घटक 0 च्या बरोबर नसतील तरच.

दोन अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत: . पहिल्या समीकरणाच्या दोन मुळांपैकी एकच योग्य आहे - 3.

उत्तर:.

या धड्यात, आम्ही तर्कसंगत अभिव्यक्ती काय आहे हे लक्षात ठेवले आणि परिमेय समीकरण कसे सोडवायचे ते देखील शिकलो, जे चतुर्भुज समीकरणांपर्यंत कमी होते.

पुढील धड्यात आपण तर्कसंगत समीकरणे वास्तविक परिस्थितीचे मॉडेल म्हणून पाहू आणि गती समस्या देखील पाहू.

संदर्भग्रंथ

1. बाश्माकोव्ह एम.आय. बीजगणित, 8 वी इयत्ता. - एम.: शिक्षण, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. आणि इतर बीजगणित, 8. 5वी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 2010.
3. निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव्ह एम.ए., रेशेत्निकोव्ह एन.एन., शेव्हकिन ए.व्ही. बीजगणित, 8 वी इयत्ता. सामान्य शिक्षण संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक. - एम.: शिक्षण, 2006.

1. उत्सव शैक्षणिक कल्पना "सार्वजनिक धडा" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

गृहपाठ

सर्व प्रथम, त्रुटींशिवाय तर्कसंगत अपूर्णांकांसह कसे कार्य करावे हे शिकण्यासाठी, आपल्याला संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे शिकण्याची आवश्यकता आहे. आणि हे शिकणे सोपे नाही - पदांच्या भूमिका सायन्स, लॉगरिदम आणि रूट्स असल्या तरीही त्यांना ओळखणे आवश्यक आहे.

तथापि, मुख्य साधन म्हणजे परिमेय अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक यांचे गुणांकन करणे. हे तीन वेगवेगळ्या प्रकारे साध्य करता येते:

1. वास्तविक, संक्षिप्त गुणाकाराच्या सूत्रानुसार: ते आपल्याला बहुपदीला एक किंवा अधिक घटकांमध्ये संकुचित करण्याची परवानगी देतात;
2. भेदभावाद्वारे चतुर्भुज त्रिपदाचे घटकीकरण वापरणे. हीच पद्धत हे सत्यापित करणे शक्य करते की कोणत्याही त्रिपदाचे अजिबात घटक केले जाऊ शकत नाहीत;
3. गटबद्ध पद्धत सर्वात जटिल साधन आहे, परंतु ते आहे एकमेव मार्ग, जे मागील दोन कार्य करत नसल्यास कार्य करते.

या व्हिडिओच्या शीर्षकावरून तुम्ही अंदाज लावला असेल, आम्ही पुन्हा तर्कशुद्ध अपूर्णांकांबद्दल बोलू. काही मिनिटांपूर्वी, मी दहावीच्या एका विद्यार्थ्यासोबत एक धडा पूर्ण केला आणि तिथे आम्ही या अभिव्यक्तींचे अचूक विश्लेषण केले. म्हणून, हा धडा विशेषतः हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांसाठी असेल.

आता नक्कीच अनेकांना प्रश्न पडला आहे: "इयत्ता 10-11 च्या विद्यार्थ्यांनी तर्कशुद्ध अपूर्णांकांसारख्या साध्या गोष्टींचा अभ्यास का करावा, कारण हे इयत्ता 8 मध्ये शिकवले जाते?" परंतु समस्या अशी आहे की बहुतेक लोक या विषयावर "जातात". 10वी-11वी इयत्तेत, त्यांना आठव्या इयत्तेपासून परिमेय अपूर्णांकांचा गुणाकार, भागाकार, वजाबाकी आणि बेरीज कशी करायची हे आता आठवत नाही, परंतु या साध्या ज्ञानावरच पुढे अधिक जटिल डिझाईन्सलॉगरिदमिकचे समाधान म्हणून, त्रिकोणमितीय समीकरणेआणि इतर अनेक जटिल अभिव्यक्ती, त्यामुळे हायस्कूलमध्ये तर्कसंगत अपूर्णांकांशिवाय व्यावहारिकपणे काहीही करायचे नाही.

समस्या सोडवण्यासाठी सूत्रे

चला व्यवसायात उतरूया. सर्व प्रथम, आपल्याला दोन तथ्यांची आवश्यकता आहे - सूत्रांचे दोन संच. सर्व प्रथम, आपल्याला संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — वर्गांचा फरक;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ — बेरीज किंवा फरकाचा वर्ग;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ही क्यूब्सची बेरीज आहे;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ हा क्यूब्सचा फरक आहे.

IN शुद्ध स्वरूपते कोणत्याही उदाहरणांमध्ये किंवा वास्तविक गंभीर अभिव्यक्तींमध्ये आढळत नाहीत. म्हणून, आमचे कार्य $a$ आणि $b$ या अक्षरांखालील अधिक जटिल संरचना पाहणे शिकणे आहे, उदाहरणार्थ, लॉगरिदम, रूट्स, साइन्स इ. सतत सरावानेच तुम्ही हे बघायला शिकू शकता. म्हणूनच तर्कशुद्ध अपूर्णांक सोडवणे अत्यंत आवश्यक आहे.

दुसरे, पूर्णपणे स्पष्ट सूत्र म्हणजे चतुर्भुज त्रिपदाचे घटकीकरण:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ ही मुळे आहेत.

आम्ही सैद्धांतिक भाग हाताळला आहे. पण 8 व्या वर्गात समाविष्ट असलेले वास्तविक तर्कशुद्ध अपूर्णांक कसे सोडवायचे? आता आपण सराव करू.

कार्य क्रमांक १

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))((b)^(2))+4b+4)\]

परिमेय अपूर्णांक सोडवण्यासाठी वरील सूत्रे लागू करण्याचा प्रयत्न करूया. सर्व प्रथम, मला हे स्पष्ट करायचे आहे की फॅक्टरायझेशन का आवश्यक आहे. वस्तुस्थिती अशी आहे की कार्याच्या पहिल्या भागाच्या पहिल्या दृष्टीक्षेपात, आपण चौरसासह घन कमी करू इच्छित आहात, परंतु हे सक्तीने निषिद्ध आहे, कारण ते अंश आणि भाजकातील संज्ञा आहेत, परंतु कोणत्याही परिस्थितीत घटक नाहीत.

तरीही संक्षेप म्हणजे काय? अशा अभिव्यक्तींसह कार्य करण्यासाठी मूलभूत नियमाचा वापर म्हणजे घट. अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म असा आहे की आपण "शून्य" व्यतिरिक्त समान संख्येने अंश आणि भाजक गुणाकार करू शकतो. या प्रकरणात, जेव्हा आपण कमी करतो, तेव्हा आपण, त्याउलट, समान संख्येने विभाजित करतो, “शून्य” पेक्षा भिन्न. तथापि, आपण भाजकातील सर्व संज्ञा समान संख्येने विभाजित केल्या पाहिजेत. तुम्ही ते करू शकत नाही. आणि आम्हांला भाजकासह अंश कमी करण्याचा अधिकार फक्त तेव्हाच आहे जेव्हा ते दोन्ही घटकबद्ध केले जातात. चल हे करूया.

आता तुम्हाला एका विशिष्ट घटकामध्ये किती संज्ञा आहेत हे पाहणे आवश्यक आहे आणि त्यानुसार कोणते सूत्र वापरायचे ते शोधा.

चला प्रत्येक अभिव्यक्तीचे अचूक घनात रूपांतर करूया:

चला अंक पुन्हा लिहू:

\[(\left(3a \right))^(3))-(\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

चला भाजक पाहू. चौरस सूत्राचा फरक वापरून त्याचा विस्तार करूया:

\[(b)^(2))-4=(b)^(2))-(2)^(2))=\left(b-2 \उजवे)\left(b+2 \ बरोबर)\]

आता अभिव्यक्तीचा दुसरा भाग पाहू:

अंश:

हे भाजक शोधणे बाकी आहे:

\[(b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \उजवे))^(2))\]

वरील तथ्ये लक्षात घेऊन संपूर्ण रचना पुन्हा लिहू:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \उजवे))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \उजवे))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \उजवे))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

परिमेय अपूर्णांकांच्या गुणाकाराच्या बारकावे

या बांधकामांचा मुख्य निष्कर्ष खालीलप्रमाणे आहे:

• प्रत्येक बहुपदी घटकबद्ध करता येत नाही.
• जरी ते विघटित झाले असले तरी, आपल्याला संक्षेपित गुणाकार सूत्र नेमके काय आहे हे काळजीपूर्वक पहावे लागेल.

हे करण्यासाठी, प्रथम, आपल्याला किती संज्ञा आहेत याचा अंदाज लावणे आवश्यक आहे (जर दोन असतील तर आपण त्यांना फक्त चौरसांच्या फरकाच्या बेरजेने किंवा घनांच्या बेरीज किंवा फरकाने विस्तृत करू शकतो; आणि जर तीन आहेत, नंतर हे , अद्वितीयपणे, एकतर बेरीजचा वर्ग किंवा फरकाचा वर्ग). असे बरेचदा घडते की एकतर अंश किंवा भाजकांना अजिबात फॅक्टरायझेशन आवश्यक नसते ते रेषीय असू शकते किंवा त्याचा भेदभाव नकारात्मक असेल.

समस्या क्रमांक 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

सर्वसाधारणपणे, या समस्येचे निराकरण करण्याची योजना मागीलपेक्षा वेगळी नाही - तेथे फक्त अधिक क्रिया होतील आणि त्या अधिक वैविध्यपूर्ण होतील.

चला पहिल्या अपूर्णांकापासून सुरुवात करूया: त्याचा अंश पहा आणि संभाव्य परिवर्तने करा:

आता भाजक पाहू:

दुसऱ्या अपूर्णांकासह: अंशामध्ये काहीही करता येत नाही, कारण ती एक रेखीय अभिव्यक्ती आहे आणि त्यातून कोणताही घटक काढणे अशक्य आहे. चला भाजक पाहू:

\[(x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

चला तिसऱ्या अपूर्णांकाकडे जाऊया. अंश:

चला शेवटच्या अपूर्णांकाचा भाजक पाहू:

वरील तथ्ये लक्षात घेऊन अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \उजवे))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \उजवे))\]

उपाय च्या बारकावे

जसे आपण पाहू शकता, सर्व काही नाही आणि नेहमी संक्षिप्त गुणाकार सूत्रांवर अवलंबून नसते - काहीवेळा कंसातून स्थिर किंवा व्हेरिएबल ठेवणे पुरेसे असते. तथापि, उलट परिस्थिती देखील घडते, जेव्हा बर्याच संज्ञा असतात किंवा त्या अशा प्रकारे तयार केल्या जातात की त्यांच्यासाठी संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे सामान्यतः अशक्य असतात. या प्रकरणात, तो आमच्या मदतीसाठी येतो सार्वत्रिक साधन, म्हणजे, गटबद्ध पद्धत. हेच आता आपण पुढील समस्येत लागू करू.

समस्या क्रमांक 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+(b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

पहिला भाग पाहू:

\[(a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\योग्य)=\]

\[=\ डावे(a-b \उजवे)\left(5-a-b \उजवे)\]

चला मूळ अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2))\]

आता दुसरा कंस पाहू:

\[(a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \उजवे))^(2))-(b)^(2))=\left(a-5-b \उजवे)\left(a-5+b) \योग्य)\]

दोन घटकांचे गट करणे शक्य नसल्यामुळे, आम्ही तीन गट केले. शेवटच्या अपूर्णांकाचा भाजक शोधणे बाकी आहे:

\[(a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

आता आमचे संपूर्ण बांधकाम पुन्हा लिहू:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))(((( \left(a-b \उजवे))^(2)))\]

समस्येचे निराकरण झाले आहे आणि येथे आणखी काहीही सोपे केले जाऊ शकत नाही.

उपाय च्या बारकावे

आम्ही गटबद्धता शोधून काढली आणि आम्हाला आणखी एक शक्तिशाली साधन मिळाले जे घटकीकरणाची क्षमता वाढवते. पण समस्या अशी आहे की मध्ये वास्तविक जीवनकोणीही आम्हाला अशी परिष्कृत उदाहरणे देणार नाही, जेथे अनेक अपूर्णांक आहेत ज्यामध्ये तुम्हाला फक्त अंश आणि भाजक घटक बनवायचे आहेत आणि नंतर, शक्य असल्यास, ते कमी करा. वास्तविक अभिव्यक्ती अधिक जटिल असतील.

बहुधा, गुणाकार आणि भागाकार व्यतिरिक्त, वजाबाकी आणि बेरीज, सर्व प्रकारचे कंस असतील - सर्वसाधारणपणे, तुम्हाला क्रियांचा क्रम विचारात घ्यावा लागेल. परंतु सर्वात वाईट गोष्ट अशी आहे की भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक वजा आणि जोडताना, ते एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करावे लागतील. हे करण्यासाठी, त्यापैकी प्रत्येकाला घटक बनवावे लागतील, आणि नंतर या अपूर्णांकांचे रूपांतर करा: समान आणि बरेच काही द्या. हे योग्यरित्या, द्रुतपणे कसे करावे आणि त्याच वेळी स्पष्टपणे योग्य उत्तर कसे मिळवायचे? उदाहरण म्हणून खालील बांधकाम वापरून आपण आता याविषयीच बोलू.

समस्या क्रमांक 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \योग्य)\]

चला पहिला अपूर्णांक लिहू आणि स्वतंत्रपणे शोधण्याचा प्रयत्न करूया:

\[(x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (३))+((३)^(३)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

चला दुसऱ्याकडे जाऊया. चला ताबडतोब भाजकाच्या भेदभावाची गणना करूया:

हे घटकबद्ध केले जाऊ शकत नाही, म्हणून आम्ही खालील लिहितो:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

आम्ही अंश स्वतंत्रपणे लिहू:

\[(x)^(2))-2x+12=0\]

परिणामी, ही बहुपदी गुणांकीत करता येत नाही.

आम्ही जे काही करू शकतो ते आम्ही आधीच केले आहे आणि विघटन करू शकतो.

म्हणून आम्ही आमचे मूळ बांधकाम पुन्हा लिहू आणि मिळवू:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

बस्स, समस्या सोडवली.

खरे सांगायचे तर ते इतके छान नव्हते अवघड काम: तेथे सर्वकाही सहजपणे घटक केले गेले, तत्सम अटी त्वरीत कमी केल्या गेल्या आणि सर्व काही सुंदरपणे कमी केले गेले. तर आता आणखी गंभीर समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करूया.

समस्या क्रमांक 5

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) -8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \योग्य)\]

प्रथम पहिल्या कंसाचा सामना करूया. अगदी सुरुवातीपासूनच, दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक स्वतंत्रपणे करूया:

\[(x)^(3))-8=(x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \उजवे)\left((x) ^(2))+2x+4 \उजवे)\]

\[\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 -\frac(1)((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ डावीकडे(((x)^(2))+2x+4 \उजवे))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+(x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-(x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \उजवे)\लेफ्ट(((x)^(2))+2x+4 \उजवे))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

आता दुसऱ्या अपूर्णांकासह कार्य करूया:

\[\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ डावे(x-2 \उजवे))(\left(x-2 \उजवे)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

चला आमच्याकडे परत जाऊया मूळ डिझाइनआणि लिहा:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \उजवे)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

महत्त्वाचे मुद्दे

पुन्हा एकदा, आजच्या व्हिडिओ धड्यातील मुख्य तथ्ये:

1. तुम्हाला संक्षिप्त गुणाकाराची सूत्रे मनापासून जाणून घेणे आवश्यक आहे - आणि फक्त माहित नाही, परंतु वास्तविक समस्यांमध्ये तुम्हाला ज्या अभिव्यक्तींचा सामना करावा लागेल ते पाहण्यास सक्षम व्हा. एक अद्भुत नियम आपल्याला यात मदत करू शकतो: जर दोन संज्ञा असतील, तर ते एकतर चौरसांचा फरक, किंवा फरक किंवा घनांची बेरीज; तीन असल्यास, तो फक्त बेरीज किंवा फरकाचा वर्ग असू शकतो.
2. संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे वापरून कोणतेही बांधकाम विस्तारित केले जाऊ शकत नसल्यास, एकतर ट्रिनोमियल फॅक्टरिंगचे मानक सूत्र किंवा गटबद्ध पद्धत आमच्या मदतीला येते.
3. जर काहीतरी कार्य करत नसेल तर, त्यामध्ये कोणतेही परिवर्तन आवश्यक आहे का हे पाहण्यासाठी स्त्रोत अभिव्यक्ती काळजीपूर्वक पहा. कदाचित फक्त घटक कंसातून बाहेर टाकणे पुरेसे असेल आणि हे बऱ्याचदा केवळ स्थिर असते.
4. जटिल अभिव्यक्तींमध्ये जिथे तुम्हाला एका ओळीत अनेक क्रिया कराव्या लागतील, सामान्य भाजकापर्यंत कमी करण्यास विसरू नका आणि त्यानंतरच, जेव्हा सर्व अपूर्णांक त्यात कमी केले जातील, तेव्हा नवीन अंशामध्ये तेच आणण्याची खात्री करा आणि नंतर नवीन अंश पुन्हा घटक करा - हे शक्य आहे की काहीतरी कमी होईल.

परिमेय अपूर्णांकांबद्दल मला आज तुम्हाला एवढेच सांगायचे होते. काहीतरी स्पष्ट नसल्यास, साइटवर अद्याप बरेच व्हिडिओ ट्यूटोरियल आहेत, तसेच यासाठी बरीच कार्ये आहेत स्वतंत्र निर्णय. त्यामुळे ट्यून राहा!

या लेखात मी तुम्हाला दाखवणार आहे सात प्रकारची तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम, जे व्हेरिएबल्स बदलून चतुर्भुज पर्यंत कमी केले जाऊ शकते. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, बदल घडवून आणणारी परिवर्तने फारच क्षुल्लक नसतात आणि त्यांच्याबद्दल स्वतःहून अंदाज लावणे खूप कठीण आहे.

प्रत्येक प्रकारच्या समीकरणासाठी, त्यात व्हेरिएबलमध्ये बदल कसा करायचा ते मी समजावून सांगेन आणि नंतर संबंधित व्हिडिओ ट्युटोरियलमध्ये तपशीलवार उपाय दाखवू.

तुम्हाला स्वतः समीकरणे सोडवणे सुरू ठेवण्याची संधी आहे आणि नंतर व्हिडिओ धड्याने तुमचे समाधान तपासा.

तर, चला सुरुवात करूया.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

लक्षात घ्या की समीकरणाच्या डाव्या बाजूला चार कंसांचा गुणाकार आहे आणि उजव्या बाजूला एक संख्या आहे.

1. कंसाचे दोन गट करू जेणेकरून मुक्त पदांची बेरीज समान असेल.

2. त्यांना गुणा.

3. व्हेरिएबल चे बदल सादर करू.

आमच्या समीकरणात, आम्ही पहिल्या ब्रॅकेटला तिसऱ्या आणि दुसऱ्या ब्रॅकेटला चौथ्यासह गट करू, कारण (-1)+(-4)=(-7)+2:

या टप्प्यावर व्हेरिएबल बदलणे स्पष्ट होते:

आम्हाला समीकरण मिळते

उत्तर:

2 .

या प्रकारचे समीकरण एका फरकासह मागील समीकरणासारखे आहे: समीकरणाच्या उजव्या बाजूला संख्या आणि . आणि ते पूर्णपणे वेगळ्या पद्धतीने सोडवले जाते:

1. आम्ही कंस दोनने गटबद्ध करतो जेणेकरून मुक्त अटींचे उत्पादन समान असेल.

2. कंसाच्या प्रत्येक जोडीला गुणाकार करा.

3. आपण प्रत्येक घटकातून x काढतो.

4. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित करा.

5. आम्ही व्हेरिएबल बदल सादर करतो.

या समीकरणामध्ये, आम्ही पहिल्या ब्रॅकेटला चौथ्यासह आणि दुसऱ्या ब्रॅकेटला तिसऱ्यासह गटबद्ध करतो, कारण:

लक्षात घ्या की प्रत्येक कंसात गुणांक आणि मुक्त संज्ञा समान आहेत. चला प्रत्येक ब्रॅकेटमधून एक घटक घेऊ:

x=0 हे मूळ समीकरणाचे मूळ नसल्यामुळे, आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित करतो. आम्हाला मिळते:

आम्हाला समीकरण मिळते:

उत्तर:

3 .

लक्षात घ्या की दोन्ही अपूर्णांकांचे भाजक आहेत चौरस त्रिपदी, ज्यासाठी अग्रगण्य गुणांक आणि मुक्त संज्ञा समान आहेत. दुसऱ्या प्रकाराच्या समीकरणाप्रमाणे कंसातून x बाहेर काढू. आम्हाला मिळते:

प्रत्येक अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक x ने विभाजित करा:

आता आपण व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट सादर करू शकतो:

आम्हाला t व्हेरिएबलचे समीकरण मिळते:

4 .

लक्षात घ्या की समीकरणाचे गुणांक मध्यवर्ती एकाच्या संदर्भात सममितीय आहेत. या समीकरणाला म्हणतात परत करण्यायोग्य .

ते सोडवण्यासाठी,

1. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना याने विभाजित करा (x=0 हे समीकरणाचे मूळ नसल्यामुळे आपण हे करू शकतो.) आपल्याला मिळते:

2. अशा प्रकारे संज्ञांचे गट करूया:

3. प्रत्येक गटात, कंसातून सामान्य घटक घेऊ:

4. बदलाची ओळख करून देऊ:

5. टी द्वारे व्यक्त करा:

येथून

आम्हाला t साठी समीकरण मिळते:

उत्तर:

5. एकसंध समीकरणे.

घातांकीय, लॉगरिदमिक आणि त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवताना एकसंध रचना असलेल्या समीकरणांचा सामना केला जाऊ शकतो, म्हणून तुम्हाला ते ओळखण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

एकसमान समीकरणांची खालील रचना आहे:

या समानतेमध्ये, A, B आणि C या संख्या आहेत आणि चौरस आणि वर्तुळ समान अभिव्यक्ती दर्शवतात. म्हणजेच, एकसंध समीकरणाच्या डाव्या बाजूला समान पदवी असलेल्या मोनोमियल्सची बेरीज आहे (या प्रकरणात, एकपदाची डिग्री 2 आहे), आणि कोणतेही मुक्त पद नाही.

एकसंध समीकरण सोडवण्यासाठी, दोन्ही बाजूंना विभाजित करा

लक्ष द्या! समीकरणाच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंना अज्ञात असलेल्या अभिव्यक्तीद्वारे विभाजित करताना, आपण मुळे गमावू शकता. म्हणून, आपण ज्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना विभाजित करतो त्या अभिव्यक्तीची मुळे मूळ समीकरणाची मुळे आहेत का हे तपासणे आवश्यक आहे.

चला पहिल्या मार्गाने जाऊया. आम्हाला समीकरण मिळते:

आता आम्ही व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट सादर करतो:

चला अभिव्यक्ती सोपी करूया आणि t साठी द्विचतुर्भुज समीकरण मिळवूया:

उत्तर:किंवा

7 .

या समीकरणाची खालील रचना आहे:

ते सोडवण्यासाठी, तुम्हाला समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण चौरस निवडणे आवश्यक आहे.

पूर्ण चौरस निवडण्यासाठी, तुम्हाला उत्पादनाच्या दुप्पट जोडणे किंवा वजा करणे आवश्यक आहे. मग आपल्याला बेरीज किंवा फरकाचा वर्ग मिळेल. यशस्वी व्हेरिएबल रिप्लेसमेंटसाठी हे महत्त्वपूर्ण आहे.

दुप्पट उत्पादन शोधून प्रारंभ करूया. व्हेरिएबल बदलण्याची ही गुरुकिल्ली असेल. आमच्या समीकरणात, दुप्पट उत्पादन समान आहे

आता आपल्यासाठी अधिक सोयीस्कर काय आहे ते शोधूया - बेरीज किंवा फरकाचा वर्ग. प्रथम अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा विचार करूया:

छान! ही अभिव्यक्ती उत्पादनाच्या दुप्पट समान आहे. नंतर, कंसात बेरीजचा वर्ग मिळविण्यासाठी, तुम्हाला दुहेरी उत्पादन जोडणे आणि वजा करणे आवश्यक आहे:

चला याबद्दल बोलूया समीकरणे सोडवणे. या लेखात आपण याबद्दल तपशीलवार विचार करू तर्कसंगत समीकरणेआणि तर्कसंगत समीकरणे एका चलने सोडवण्याची तत्त्वे. प्रथम, कोणत्या प्रकारची समीकरणे परिमेय म्हणतात ते शोधू या, संपूर्ण परिमेय आणि अपूर्णांक परिमेय समीकरणांची व्याख्या द्या आणि उदाहरणे द्या. पुढे, आम्ही तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम मिळवू आणि अर्थातच, आम्ही सर्व आवश्यक स्पष्टीकरणांसह ठराविक उदाहरणांच्या निराकरणाचा विचार करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

नमूद केलेल्या व्याख्यांच्या आधारे, आम्ही तर्कसंगत समीकरणांची अनेक उदाहरणे देतो. उदाहरणार्थ, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , ही सर्व परिमेय समीकरणे आहेत.

दर्शविलेल्या उदाहरणांवरून, हे स्पष्ट होते की तर्कसंगत समीकरणे, तसेच इतर प्रकारची समीकरणे, एक चल किंवा दोन, तीन, इत्यादीसह असू शकतात. चल पुढील परिच्छेदांमध्ये आपण तर्कसंगत समीकरणे एका चलने सोडविण्याबद्दल बोलू. दोन चलांमध्ये समीकरणे सोडवणेआणि त्यांना मोठ्या संख्येनेविशेष लक्ष देण्यास पात्र आहे.

तर्कसंगत समीकरणांना अज्ञात चलांच्या संख्येने विभाजित करण्याव्यतिरिक्त, ते पूर्णांक आणि अपूर्णांकात देखील विभागले जातात. चला संबंधित व्याख्या देऊ.

व्याख्या.

तर्कसंगत समीकरण म्हणतात संपूर्ण, जर त्याच्या डाव्या आणि उजव्या दोन्ही बाजू पूर्णांक परिमेय अभिव्यक्ती असतील.

व्याख्या.

जर परिमेय समीकरणाच्या भागांपैकी किमान एक भाग अंशात्मक अभिव्यक्ती असेल तर अशा समीकरणाला म्हणतात. अंशतः तर्कसंगत(किंवा अपूर्णांक तर्कसंगत).

हे स्पष्ट आहे की संपूर्ण समीकरणांमध्ये व्हेरिएबलद्वारे भागाकार नसतो; तर ३ x+२=० आणि (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- ही संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणे आहेत, त्यांचे दोन्ही भाग संपूर्ण अभिव्यक्ती आहेत. A आणि x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ही अंशात्मक परिमेय समीकरणांची उदाहरणे आहेत.

या बिंदूचा निष्कर्ष काढताना, या बिंदूला ज्ञात असलेली रेखीय समीकरणे आणि चतुर्भुज समीकरणे ही संपूर्ण परिमेय समीकरणे आहेत या वस्तुस्थितीकडे आपण लक्ष देऊ या.

संपूर्ण समीकरणे सोडवणे

संपूर्ण समीकरणे सोडवण्याच्या मुख्य पध्दतींपैकी एक म्हणजे त्यांना समतुल्य पातळीवर कमी करणे बीजगणितीय समीकरणे. हे नेहमी समीकरणाचे खालील समतुल्य परिवर्तन करून केले जाऊ शकते:

• प्रथम, मूळ पूर्णांक समीकरणाच्या उजव्या बाजूकडील अभिव्यक्ती डावीकडे हस्तांतरित केली जाते विरुद्ध चिन्हउजव्या बाजूला शून्य मिळविण्यासाठी;
• यानंतर, समीकरणाच्या डाव्या बाजूला परिणामी मानक दृश्य.

परिणाम म्हणजे बीजगणितीय समीकरण जे मूळ पूर्णांक समीकरणाच्या समतुल्य आहे. तर सर्वात जास्त साधी प्रकरणेसंपूर्ण समीकरणे सोडवणे रेखीय किंवा द्विघातीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत कमी होते आणि सर्वसाधारणपणे अंश n चे बीजगणितीय समीकरण सोडवण्यापर्यंत कमी होते. स्पष्टतेसाठी, उदाहरणाचे समाधान पाहू.

उदाहरण.

संपूर्ण समीकरणाची मुळे शोधा 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

उपाय.

या संपूर्ण समीकरणाचे समाधान एका समतुल्य बीजगणितीय समीकरणाच्या समाधानापर्यंत कमी करू. हे करण्यासाठी, प्रथम, आम्ही अभिव्यक्ती उजवीकडून डावीकडे हस्तांतरित करतो, परिणामी आम्ही समीकरणावर पोहोचतो. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. आणि, दुसरे म्हणजे, आम्ही आवश्यक पूर्ण करून डाव्या बाजूला तयार केलेल्या अभिव्यक्तीला मानक फॉर्म बहुपदीमध्ये रूपांतरित करतो: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. अशा प्रकारे, मूळ पूर्णांक समीकरणाचे समाधान कमी केले जाते चतुर्भुज समीकरण x 2 −5 x−6=0 .

आम्ही त्याची भेदभावाची गणना करतो D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, हे सकारात्मक आहे, याचा अर्थ असा की समीकरणाची दोन वास्तविक मुळे आहेत, जी आपल्याला द्विघात समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्र वापरून आढळते:

पूर्णपणे खात्री करण्यासाठी, चला ते करूया समीकरणाची सापडलेली मुळे तपासत आहे. प्रथम आपण मूळ 6 तपासतो, मूळ पूर्णांक समीकरणात x व्हेरिएबल ऐवजी त्यास बदलतो: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6-1)−3, जे समान आहे, 63=63. हे एक वैध संख्यात्मक समीकरण आहे, म्हणून x=6 हे समीकरणाचे मूळ आहे. आता आपण रूट −1 तपासू, आपल्याकडे आहे 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, कुठून, 0=0 . जेव्हा x=−1, मूळ समीकरण देखील योग्य संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलते, म्हणून, x=−1 हे देखील समीकरणाचे मूळ आहे.

उत्तर:

6 , −1 .

येथे हे देखील लक्षात घेतले पाहिजे की "संपूर्ण समीकरणाची पदवी" हा शब्द बीजगणितीय समीकरणाच्या रूपात संपूर्ण समीकरणाच्या प्रतिनिधित्वाशी संबंधित आहे. चला संबंधित व्याख्या देऊ:

व्याख्या.

संपूर्ण समीकरणाची शक्तीसमतुल्य बीजगणितीय समीकरणाची पदवी म्हणतात.

या व्याख्येनुसार, मागील उदाहरणातील संपूर्ण समीकरणाची दुसरी पदवी आहे.

एका गोष्टीसाठी नाही तर संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्याचा हा शेवट असू शकतो…. ज्ञात आहे की, द्वितीय वरील पदवीची बीजगणितीय समीकरणे सोडवणे महत्त्वपूर्ण अडचणींशी संबंधित आहे आणि चौथ्या वरील पदवीच्या समीकरणांसाठी कोणतीही सामान्य मूळ सूत्रे नाहीत. म्हणून, तिसऱ्या, चौथ्या आणि उच्च अंशांची संपूर्ण समीकरणे सोडवण्यासाठी, बहुतेक वेळा इतर उपाय पद्धतींचा अवलंब करणे आवश्यक असते.

अशा परिस्थितीत, आधारित संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणे सोडविण्याचा दृष्टीकोन फॅक्टरायझेशन पद्धत. या प्रकरणात, खालील अल्गोरिदमचे पालन केले जाते:

• प्रथम, ते हे सुनिश्चित करतात की समीकरणाच्या उजव्या बाजूला शून्य आहे, ते संपूर्ण समीकरणाच्या उजव्या बाजूला डावीकडे हस्तांतरित करतात;
• नंतर, डाव्या बाजूला परिणामी अभिव्यक्ती अनेक घटकांचे उत्पादन म्हणून सादर केली जाते, जी आपल्याला अनेक सोप्या समीकरणांच्या संचाकडे जाण्यास अनुमती देते.

फॅक्टरायझेशनद्वारे संपूर्ण समीकरण सोडवण्यासाठी दिलेल्या अल्गोरिदमसाठी उदाहरण वापरून तपशीलवार स्पष्टीकरण आवश्यक आहे.

उदाहरण.

संपूर्ण समीकरण सोडवा (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

उपाय.

प्रथम, नेहमीप्रमाणे, आम्ही समीकरणाच्या उजव्या बाजूपासून डाव्या बाजूला अभिव्यक्ती हस्तांतरित करतो, चिन्ह बदलण्यास विसरू नका, आम्हाला मिळते (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . येथे हे अगदी स्पष्ट आहे की परिणामी समीकरणाच्या डाव्या बाजूचे मानक स्वरूपाच्या बहुपदीमध्ये रूपांतर करणे उचित नाही, कारण हे फॉर्मच्या चौथ्या अंशाचे बीजगणितीय समीकरण देईल. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ज्याचे समाधान अवघड आहे.

दुसरीकडे, हे उघड आहे की परिणामी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला आपण x 2 −10 x+13 करू शकतो, ज्यामुळे ते गुणाकार म्हणून सादर करू शकतो. आमच्याकडे आहे (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. परिणामी समीकरण मूळ संपूर्ण समीकरणाशी समतुल्य आहे, आणि ते, यामधून, x 2 −10·x+13=0 आणि x 2 −2·x−1=0 या दोन द्विघात समीकरणांच्या संचाने बदलले जाऊ शकते. द्वारे त्यांची मुळे शोधणे ज्ञात सूत्रेभेदभाव द्वारे मुळे कठीण नाही, मुळे समान आहेत. ते मूळ समीकरणाचे इच्छित मुळे आहेत.

उत्तर:

संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्यासाठी देखील उपयुक्त नवीन व्हेरिएबल सादर करण्याची पद्धत. काही प्रकरणांमध्ये, ज्याची पदवी मूळ संपूर्ण समीकरणाच्या डिग्रीपेक्षा कमी आहे अशा समीकरणांवर जाण्याची परवानगी देते.

उदाहरण.

तर्कसंगत समीकरणाची खरी मुळे शोधा (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

उपाय.

हे संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण एका बीजगणितीय समीकरणापर्यंत कमी करणे म्हणजे सौम्यपणे सांगायचे तर फार चांगली कल्पना नाही, कारण या प्रकरणात आपल्याला तर्कसंगत मूळ नसलेले चौथ्या-अंशाचे समीकरण सोडवण्याची गरज भासेल. त्यामुळे तुम्हाला दुसरा उपाय शोधावा लागेल.

येथे हे पाहणे सोपे आहे की तुम्ही नवीन व्हेरिएबल y सादर करू शकता आणि एक्स 2 +3·x या अभिव्यक्तीसह बदलू शकता. हे प्रतिस्थापन आपल्याला संपूर्ण समीकरणाकडे घेऊन जाते (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , जे −2·(y−4) अभिव्यक्ती डावीकडे हलवल्यानंतर आणि त्यानंतरच्या अभिव्यक्तीचे परिवर्तन तेथे तयार होते, ते द्विघात समीकरण y 2 +4·y+3=0 पर्यंत कमी केले जाते. y=−1 आणि y=−3 या समीकरणाची मुळे शोधणे सोपे आहे, उदाहरणार्थ, ते व्हिएटाच्या प्रमेयाच्या व्यस्त प्रमेयावर आधारित निवडले जाऊ शकतात.

आता आपण नवीन व्हेरिएबल सादर करण्याच्या पद्धतीच्या दुसऱ्या भागाकडे वळू, म्हणजे, रिव्हर्स रिप्लेसमेंट करणे. रिव्हर्स प्रतिस्थापन केल्यानंतर, आम्हाला x 2 +3 x=−1 आणि x 2 +3 x=−3 अशी दोन समीकरणे मिळतात, जी x 2 +3 x+1=0 आणि x 2 +3 x+3 म्हणून पुन्हा लिहिली जाऊ शकतात. =0. चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांचे सूत्र वापरून, आपण पहिल्या समीकरणाची मुळे शोधतो. आणि दुस-या चतुर्भुज समीकरणाला कोणतेही वास्तविक मूळ नाही, कारण त्याचा भेदभाव ऋणात्मक आहे (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

उत्तर:

सर्वसाधारणपणे, जेव्हा आपण उच्च अंशांची संपूर्ण समीकरणे हाताळत असतो, तेव्हा आपण नेहमी शोधण्यासाठी तयार असले पाहिजे मानक नसलेली पद्धतकिंवा त्यांचे निराकरण करण्यासाठी एक कृत्रिम पद्धत.

अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणे सोडवणे

प्रथम, फॉर्मची अपूर्णांक परिमेय समीकरणे कशी सोडवायची हे समजून घेणे उपयुक्त ठरेल, जेथे p(x) आणि q(x) पूर्णांक परिमेय अभिव्यक्ती आहेत. आणि मग दर्शविलेल्या प्रकाराच्या समीकरणांच्या समाधानापर्यंत इतर अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणांचे समाधान कसे कमी करायचे ते आम्ही दाखवू.

समीकरण सोडवण्याचा एक दृष्टीकोन खालील विधानावर आधारित आहे: u/v हा संख्यात्मक अपूर्णांक, जिथे v ही शून्य नसलेली संख्या आहे (अन्यथा आपल्याला भेटेल, जी अपरिभाषित आहे), शून्य असेल तरच आणि जर त्याचा अंश असेल तर शून्याच्या बरोबरीचे, नंतर, जर आणि फक्त जर u=0 असेल. या विधानाच्या आधारे, समीकरण सोडवणे p(x)=0 आणि q(x)≠0 या दोन अटी पूर्ण करण्यासाठी कमी होते.

हा निष्कर्ष खालीलप्रमाणे आहे अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम. फॉर्मचे अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे

• p(x)=0 संपूर्ण परिमेय समीकरण सोडवा;
• आणि आढळलेल्या प्रत्येक रूटसाठी q(x)≠0 ही स्थिती समाधानी आहे का ते तपासा
• खरे असल्यास, हे मूळ मूळ समीकरणाचे मूळ आहे;
• जर ते समाधानी नसेल, तर हे मूळ बाह्य आहे, म्हणजेच ते मूळ समीकरणाचे मूळ नाही.

फ्रॅक्शनल परिमेय समीकरण सोडवताना घोषित अल्गोरिदम वापरण्याचे उदाहरण पाहू.

उदाहरण.

समीकरणाची मुळे शोधा.

उपाय.

हे अपूर्णांक परिमेय समीकरण आहे, आणि फॉर्मचे, जेथे p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

या प्रकारची अपूर्णांक परिमेय समीकरणे सोडवण्याच्या अल्गोरिदमनुसार, प्रथम आपल्याला 3 x−2=0 हे समीकरण सोडवावे लागेल. हे एक रेखीय समीकरण आहे ज्याचे मूळ x=2/3 आहे.

हे मूळ तपासणे बाकी आहे, म्हणजेच ते 5 x 2 −2≠0 अट पूर्ण करते की नाही ते तपासा. आपण x ऐवजी 5 x 2 −2 या अभिव्यक्तीमध्ये 2/3 संख्या बदलतो आणि आपल्याला मिळते. अट पूर्ण झाली आहे, म्हणून x=2/3 हे मूळ समीकरणाचे मूळ आहे.

उत्तर:

2/3 .

तुम्ही थोड्या वेगळ्या स्थितीतून अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवण्यासाठी संपर्क साधू शकता. हे समीकरण मूळ समीकरणाच्या x व्हेरिएबलवरील p(x)=0 या पूर्णांक समीकरणाशी समतुल्य आहे. म्हणजेच, आपण याला चिकटून राहू शकता अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम :

• p(x)=0 समीकरण सोडवा;
• व्हेरिएबल x चा ODZ शोधा;
• स्वीकार्य मूल्यांच्या प्रदेशाशी संबंधित मुळे घ्या - ती मूळ अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणाची इच्छित मुळे आहेत.

उदाहरणार्थ, हा अल्गोरिदम वापरून अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवू.

उदाहरण.

समीकरण सोडवा.

उपाय.

प्रथम, आपण द्विघात समीकरण x 2 −2·x−11=0 सोडवू. त्याच्या मुळांची गणना अगदी दुसऱ्या गुणांकासाठी मूळ सूत्र वापरून केली जाऊ शकते, आमच्याकडे आहे D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, आणि .

दुसरे म्हणजे, मूळ समीकरणासाठी x या व्हेरिएबलचा ODZ सापडतो. यात सर्व संख्यांचा समावेश आहे ज्यासाठी x 2 +3·x≠0, जे x·(x+3)≠0 सारखे आहे, तेथून x≠0, x≠−3.

पहिल्या चरणात सापडलेली मुळे ओडीझेडमध्ये समाविष्ट आहेत की नाही हे तपासणे बाकी आहे. साहजिकच होय. त्यामुळे मूळ अपूर्णांक परिमेय समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

उत्तर:

लक्षात घ्या की ODZ शोधणे सोपे असल्यास हा दृष्टीकोन पहिल्यापेक्षा अधिक फायदेशीर आहे आणि p(x) = 0 समीकरणाची मुळे अपरिमेय असल्यास, उदाहरणार्थ, किंवा परिमेय, परंतु त्याऐवजी मोठ्या अंशासह आणि विशेषतः फायदेशीर आहे. /किंवा भाजक, उदाहरणार्थ, 127/1101 आणि −31/59. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की अशा प्रकरणांमध्ये, q(x)≠0 स्थिती तपासण्यासाठी महत्त्वपूर्ण गणनात्मक प्रयत्नांची आवश्यकता असेल आणि ODZ वापरून बाह्य मुळे वगळणे सोपे आहे.

इतर प्रकरणांमध्ये, समीकरण सोडवताना, विशेषत: जेव्हा p(x) = 0 समीकरणाची मुळे पूर्णांक असतात, तेव्हा दिलेल्या अल्गोरिदमपैकी पहिला वापरणे अधिक फायदेशीर असते. म्हणजेच, संपूर्ण समीकरण p(x)=0 ची मुळे ताबडतोब शोधा आणि नंतर ODZ शोधण्यापेक्षा q(x)≠0 ही स्थिती त्यांच्यासाठी समाधानी आहे का ते तपासा आणि नंतर समीकरण सोडवा. p(x)=0 या ODZ वर. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की अशा प्रकरणांमध्ये डीझेड शोधण्यापेक्षा तपासणे सहसा सोपे असते.

निर्दिष्ट बारकावे स्पष्ट करण्यासाठी दोन उदाहरणांच्या समाधानाचा विचार करूया.

उदाहरण.

समीकरणाची मुळे शोधा.

उपाय.

प्रथम, संपूर्ण समीकरणाची मुळे शोधू (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, अपूर्णांकाचा अंश वापरून बनवलेले. डावी बाजूया समीकरणाचा गुणाकार आहे, आणि उजवा हात शून्य आहे, म्हणून, गुणांकनाद्वारे समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतीनुसार, हे समीकरण चार समीकरणांच्या समतुल्य आहे 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . यातील तीन समीकरणे रेखीय आहेत आणि एक चतुर्भुज आहे; पहिल्या समीकरणातून आपल्याला x=1/2, दुस-यामधून - x=6, तिसऱ्या मधून - x=7, x=−2, चौथ्या वरून - x=−1 सापडतो.

मुळे सापडल्यामुळे, मूळ समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या अपूर्णांकाचा भाजक नाहीसा होतो की नाही हे तपासणे अगदी सोपे आहे, परंतु त्याउलट, ODZ निश्चित करणे इतके सोपे नाही, कारण यासाठी तुम्हाला एक निराकरण करावे लागेल. पाचव्या अंशाचे बीजगणितीय समीकरण. म्हणून, आम्ही मुळे तपासण्याच्या बाजूने ODZ शोधणे सोडून देऊ. हे करण्यासाठी, एक्स्प्रेशनमधील व्हेरिएबल x ऐवजी आपण त्यांना एक-एक करून बदलू x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, प्रतिस्थापनानंतर प्राप्त केले आणि त्यांची शून्याशी तुलना करा: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + ५७·(१/२) ३ -१३·(१/२) २ +२६·(१/२)+११२= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

अशा प्रकारे, 1/2, 6 आणि −2 ही मूळ अपूर्णांक परिमेय समीकरणाची इच्छित मुळे आहेत आणि 7 आणि −1 ही बाह्य मुळे आहेत.

उत्तर:

1/2 , 6 , −2 .

उदाहरण.

अपूर्णांक परिमेय समीकरणाची मुळे शोधा.

उपाय.

प्रथम, समीकरणाची मुळे शोधू (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. हे समीकरण दोन समीकरणांच्या संचाशी समतुल्य आहे: वर्ग 5 x 2 −7 x−1=0 आणि रेखीय x−2=0. चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांचे सूत्र वापरून, आपल्याला दोन मुळे सापडतात आणि दुसऱ्या समीकरणावरून आपल्याला x=2 मिळते.

x च्या सापडलेल्या मूल्यांवर भाजक शून्यावर जातो की नाही हे तपासणे खूप अप्रिय आहे. आणि मूळ समीकरणातील व्हेरिएबल x च्या परवानगीयोग्य मूल्यांची श्रेणी निश्चित करणे अगदी सोपे आहे. म्हणून, आम्ही ODZ द्वारे कार्य करू.

आमच्या बाबतीत, मूळ अपूर्णांक परिमेय समीकरणाच्या व्हेरिएबल x च्या ODZ मध्ये x 2 +5·x−14=0 ही स्थिती समाधानी आहे त्याशिवाय सर्व संख्यांचा समावेश होतो. या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे x=−7 आणि x=2 आहेत, ज्यावरून आपण ODZ बद्दल निष्कर्ष काढतो: त्यात सर्व x असतात.

सापडलेली मुळे आणि x=2 स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीशी संबंधित आहेत की नाही हे तपासणे बाकी आहे. मुळे संबंधित आहेत, म्हणून, ती मूळ समीकरणाची मुळे आहेत, आणि x=2 संबंधित नाही, म्हणून, ते बाह्य मूळ आहे.

उत्तर:

फॉर्मच्या फ्रॅक्शनल परिमेय समीकरणामध्ये अंशामध्ये एक संख्या असते, म्हणजेच p(x) काही संख्येद्वारे दर्शविली जाते तेव्हा प्रकरणांवर स्वतंत्रपणे विचार करणे देखील उपयुक्त ठरेल. ज्यामध्ये

• जर ही संख्या शून्य नसलेली असेल, तर समीकरणाला मूळ नाही, कारण अपूर्णांक शून्याच्या बरोबरीचा असतो आणि जर त्याचा अंश शून्य असतो;
• जर ही संख्या शून्य असेल, तर समीकरणाचे मूळ ODZ मधील कोणतीही संख्या असेल.

उदाहरण.

उपाय.

समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये शून्य नसलेली संख्या असल्याने, कोणत्याही x साठी या अपूर्णांकाचे मूल्य शून्यासारखे असू शकत नाही. त्यामुळे, दिलेले समीकरणमुळे नाहीत.

उत्तर:

मुळे नाहीत.

उदाहरण.

समीकरण सोडवा.

उपाय.

या अपूर्णांक परिमेय समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये शून्य आहे, म्हणून या अपूर्णांकाचे मूल्य शून्य आहे ज्यासाठी ते अर्थपूर्ण आहे. दुसऱ्या शब्दांत, या समीकरणाचे समाधान हे या चलच्या ODZ मधील x चे कोणतेही मूल्य आहे.

स्वीकार्य मूल्यांची ही श्रेणी निश्चित करणे बाकी आहे. त्यामध्ये x ची सर्व मूल्ये समाविष्ट आहेत ज्यासाठी x 4 +5 x 3 ≠0. समीकरण x 4 +5 x 3 =0 0 आणि −5 आहेत, कारण हे समीकरण x 3 (x+5)=0 या समीकरणाच्या समतुल्य आहे, आणि त्या बदल्यात ते x दोन समीकरणांच्या संयोगाच्या समतुल्य आहे. 3 =0 आणि x +5=0, जिथून ही मुळे दिसतात. म्हणून, स्वीकार्य मूल्यांची इच्छित श्रेणी x=0 आणि x=−5 वगळता कोणतीही x आहे.

अशा प्रकारे, अपूर्णांक परिमेय समीकरणामध्ये अमर्यादपणे अनेक निराकरणे आहेत, जी शून्य आणि उणे पाच वगळता कोणतीही संख्या आहेत.

उत्तर:

शेवटी, अनियंत्रित स्वरूपाची अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्याबद्दल बोलण्याची वेळ आली आहे. त्यांना r(x)=s(x) असे लिहिता येते, जेथे r(x) आणि s(x) या तर्कसंगत अभिव्यक्ती आहेत आणि त्यापैकी किमान एक अंशात्मक आहे. पुढे पाहताना, आपण असे म्हणू या की त्यांचे समाधान आपल्याला आधीच परिचित असलेल्या फॉर्मची समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येते.

हे ज्ञात आहे की समीकरणाच्या एका भागातून दुसऱ्या भागामध्ये विरुद्ध चिन्हासह पद हस्तांतरित केल्याने समतुल्य समीकरण होते, म्हणून समीकरण r(x)=s(x) हे समीकरण r(x)−s(x) च्या समतुल्य आहे )=0.

आम्हाला हे देखील माहित आहे की कोणतीही, या अभिव्यक्तीच्या समान, शक्य आहे. अशा प्रकारे, आपण नेहमी r(x)−s(x)=0 समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या परिमेय अभिव्यक्तीचे रूपांतर फॉर्मच्या समान परिमेय अपूर्णांकात करू शकतो.

म्हणून आपण मूळ अपूर्णांक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) वरून समीकरणाकडे वळतो आणि त्याचे समाधान, जसे आपण वर पाहिले आहे, समीकरण p(x)=0 सोडवण्यापर्यंत कमी होते.

परंतु येथे हे तथ्य विचारात घेणे आवश्यक आहे की जेव्हा r(x)−s(x)=0 बरोबर बदलले जाते आणि नंतर p(x)=0 सह, व्हेरिएबल x च्या परवानगीयोग्य मूल्यांची श्रेणी विस्तृत होऊ शकते. .

परिणामी, मूळ समीकरण r(x)=s(x) आणि p(x)=0 हे समीकरण ज्यावर आपण आलो ते असमान असू शकतात आणि p(x)=0 हे समीकरण सोडवून आपण मुळे मिळवू शकतो. ते मूळ समीकरण r(x)=s(x) चे बाह्य मूळ असेल. तुम्ही एकतर तपासणी करून किंवा मूळ समीकरणाच्या ODZ शी संबंधित असल्याची तपासणी करून उत्तरामध्ये बाह्य मुळे ओळखू शकता आणि समाविष्ट करू शकत नाही.

मध्ये ही माहिती सारांशित करूया अपूर्णांक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम. अपूर्णांक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) सोडवण्यासाठी, तुम्हाला आवश्यक आहे

• विरुद्ध चिन्हासह अभिव्यक्ती उजवीकडून हलवून उजवीकडे शून्य मिळवा.
• समीकरणाच्या डाव्या बाजूला अपूर्णांक आणि बहुपदांसह ऑपरेशन्स करा, ज्यामुळे ते फॉर्मच्या तर्कसंगत अपूर्णांकात रूपांतरित करा.
• p(x)=0 हे समीकरण सोडवा.
• बाह्य मुळे ओळखा आणि काढून टाका, जी त्यांना मूळ समीकरणात बदलून किंवा मूळ समीकरणाच्या ODZ शी संबंधित तपासून केली जाते.

अधिक स्पष्टतेसाठी, आम्ही अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्याची संपूर्ण साखळी दर्शवू:
.

दिलेल्या माहितीच्या ब्लॉकला स्पष्ट करण्यासाठी उपाय प्रक्रियेच्या तपशीलवार स्पष्टीकरणासह अनेक उदाहरणांचे निराकरण पाहू.

उदाहरण.

अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवा.

उपाय.

आम्ही नुकत्याच प्राप्त केलेल्या सोल्यूशन अल्गोरिदमनुसार कार्य करू. आणि प्रथम आपण समीकरणाच्या उजव्या बाजूपासून डावीकडे अटी हलवतो, परिणामी आपण समीकरणाकडे जाऊ.

दुस-या चरणात, आपल्याला परिणामी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या अपूर्णांक परिमेय अभिव्यक्तीचे अपूर्णांकाच्या रूपात रूपांतर करावे लागेल. हे करण्यासाठी, आम्ही तर्कसंगत अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करतो आणि परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करतो: . तर आपण समीकरणावर येतो.

चालू पुढील टप्पाआपल्याला −2·x−1=0 हे समीकरण सोडवायचे आहे. आम्हाला x=−1/2 सापडतो.

सापडलेली संख्या −1/2 मूळ समीकरणाचे बाह्य मूळ नाही का हे तपासणे बाकी आहे. हे करण्यासाठी, तुम्ही मूळ समीकरणाच्या x व्हेरिएबलचा VA तपासू शकता किंवा शोधू शकता. चला दोन्ही पध्दती दाखवू.

चला तपासणीसह प्रारंभ करूया. आपण x च्या ऐवजी मूळ समीकरणामध्ये −1/2 ही संख्या बदलतो आणि आपल्याला समान गोष्ट मिळते, −1=−1. प्रतिस्थापन योग्य संख्यात्मक समानता देते, म्हणून x=−1/2 हे मूळ समीकरणाचे मूळ आहे.

आता आपण अल्गोरिदमचा शेवटचा बिंदू ODZ द्वारे कसा केला जातो ते दाखवू. मूळ समीकरणाच्या अनुज्ञेय मूल्यांची श्रेणी म्हणजे −1 आणि 0 वगळता सर्व संख्यांचा संच (x=−1 आणि x=0 वर अपूर्णांकांचे भाजक नाहीसे होतात). मागील चरणात आढळलेले मूळ x=−1/2 हे ODZ चे आहे, म्हणून, x=−1/2 हे मूळ समीकरणाचे मूळ आहे.

उत्तर:

−1/2 .

आणखी एक उदाहरण पाहू.

उदाहरण.

समीकरणाची मुळे शोधा.

उपाय.

आपल्याला एक अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरण सोडवायचे आहे, चला अल्गोरिदमच्या सर्व चरणांवर जाऊ या.

प्रथम, आपण संज्ञा उजवीकडून डावीकडे हलवतो, आपल्याला मिळते.

दुसरे म्हणजे, आम्ही डाव्या बाजूला तयार केलेल्या अभिव्यक्तीचे रूपांतर करतो: . परिणामी, आपण x=0 या समीकरणावर पोहोचतो.

त्याचे मूळ स्पष्ट आहे - ते शून्य आहे.

चौथ्या पायरीवर, सापडलेले मूळ मूळ अपूर्णांक परिमेय समीकरणाला बाहेरील आहे की नाही हे शोधणे बाकी आहे. जेव्हा ते मूळ समीकरणात बदलले जाते तेव्हा अभिव्यक्ती प्राप्त होते. स्पष्टपणे, त्यास अर्थ नाही कारण त्यात शून्याने भागाकार आहे. जेथून आपण असा निष्कर्ष काढतो की 0 हे बाह्य मूळ आहे. त्यामुळे मूळ समीकरणाला मुळीच नाही.

7, ज्यामुळे Eq. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की डाव्या बाजूच्या भाजकातील अभिव्यक्ती उजव्या बाजूच्या समान असणे आवश्यक आहे, म्हणजेच . आता आपण तिहेरीच्या दोन्ही बाजूंमधून वजा करतो: . साधर्म्याने, कुठून आणि पुढे.

तपासणी दर्शविते की सापडलेली दोन्ही मुळे मूळ अपूर्णांक तर्कसंगत समीकरणाची मुळे आहेत.

उत्तर:

संदर्भग्रंथ.

• बीजगणित:पाठ्यपुस्तक 8 व्या वर्गासाठी. सामान्य शिक्षण संस्था / [यु. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; द्वारा संपादित एस.ए. तेल्याकोव्स्की. - 16वी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 2008. - 271 पी. : आजारी. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• मोर्डकोविच ए. जी.बीजगणित. 8वी इयत्ता. 2 तासांत भाग 1. सामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक / A. G. Mordkovich. - 11वी आवृत्ती, मिटवली. - एम.: नेमोसिन, 2009. - 215 पी.: आजारी. ISBN 978-5-346-01155-2.
• बीजगणित: 9वी श्रेणी: शैक्षणिक. सामान्य शिक्षणासाठी संस्था / [यु. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; द्वारा संपादित एस.ए. तेल्याकोव्स्की. - 16वी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 2009. - 271 पी. : आजारी. - ISBN 978-5-09-021134-5.