ഒരു ഉപവിഭാഗത്തിൻ്റെ ആശയം. ഉൾപ്പെടുത്തൽ ബന്ധം

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "സെറ്റുകളും ഉപഗണങ്ങളും, ഉദാഹരണങ്ങൾ"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും ആശംസകളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആൻ്റി വൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

ഗ്രേഡ് 9-നുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ വിദ്യാഭ്യാസ സഹായങ്ങളും സിമുലേറ്ററുകളും
9-ാം ഗ്രേഡിനുള്ള മൾട്ടിമീഡിയ പാഠപുസ്തകം "10 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ബീജഗണിതം"
7-9 ഗ്രേഡുകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഇലക്ട്രോണിക് പാഠപുസ്തകം "മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ബീജഗണിതം"

ഗണങ്ങളും ഉപഗണങ്ങളും

അപ്പോൾ എന്താണ് ഒരു സെറ്റ്?
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക ശാഖ, സെറ്റ് തിയറി, സെറ്റുകളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. പ്രധാനവും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് സെറ്റ്. ഇതിന് ഒരു നിർവചനം ഇല്ല, എന്നാൽ ഒരു സെറ്റ് എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം? ഒരു സെറ്റ് എന്നത് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ശേഖരമാണ്; സെറ്റുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ അക്ഷരമാലയിലെ അക്ഷരങ്ങളാണ് - 33 ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു സെറ്റ്. ഒരു മരത്തിൽ ധാരാളം ആപ്പിൾ - ഒരു മരത്തിൽ ആപ്പിളിൻ്റെ എണ്ണം, തീർച്ചയായും, അത് എണ്ണുകയും എണ്ണുകയും ചെയ്യാം. നിങ്ങൾക്ക് സെറ്റുകളുടെ ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങൾ കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും. സ്വയം ഒരു ഉദാഹരണം കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കുക.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു കൂട്ടത്തെ ചുരുണ്ട ബ്രേസുകളിൽ (,) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് അക്ഷരങ്ങളുടെ ഗണം ഇതുപോലെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: (A,B,C,D,E). നിങ്ങൾ ഈ സെറ്റ് മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ എഴുതിയാൽ, അത് മാറില്ല.
ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെ രസകരമായ ഒരു വിഷയമാണ്, ശൂന്യമായ ഗണവും അനന്തമായ ഗണവും നമുക്കുണ്ട്. ഒരു ഘടകവും ഇല്ലാത്ത ഒരു ഗണമാണ് ശൂന്യമായ സെറ്റ്; ഒരു അനന്തമായ ഗണം, ഒരുപക്ഷേ പേരിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാകുന്നത് പോലെ, അനന്തമായ എണ്ണം മൂലകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന് എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഗണം.
സെറ്റുകളെ വിവിധ വാക്കുകളിൽ വിവരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) എന്നത് രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. ധാരാളം മൂലകങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ ഒരു എലിപ്സിസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവയെല്ലാം എഴുതുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, എന്നാൽ അതേ സമയം, സെറ്റിൻ്റെ റെക്കോർഡ് വ്യക്തമായിരിക്കണം, അങ്ങനെ അത് ഏത് തരത്തിലുള്ള സെറ്റാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. .
$\(x| -2

സെറ്റുകൾക്ക് പ്രത്യേക നൊട്ടേഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കൂട്ടം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക്. സുഹൃത്തുക്കളേ, ഈ സെറ്റ് എങ്ങനെയാണ് നിയുക്തമാക്കിയതെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?
ഒരു ഘടകം ഒരു ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ, $ϵ$ എന്ന പ്രത്യേക ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. നോട്ടേഷൻ $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. അത് ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "രണ്ടെണ്ണം ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ പെടുന്നു."

ഉദാഹരണം.
ഒരു നിശ്ചിത ഗണത്തിൽ $x^3+3x^2+2x=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തി ഘടകങ്ങളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ ക്രമീകരണങ്ങളും ലിസ്റ്റ് ചെയ്യുക.

പരിഹാരം.
നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുക്കുക:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

അപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ: $x=0;-2;-1$ എന്നത് ആവശ്യമുള്ള സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളാണ്.
മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമീകരണത്തിനായി സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ എഴുതാം:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

ഉദാഹരണം.
സെറ്റ് ഡാറ്റ വിവരിക്കുക.

$a) \(1,2,3,4,...,9,10\) \\ b) \(1,8,27,64...\)$
പരിഹാരം.
a) 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം.
b) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ക്യൂബുകളുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും കൂട്ടം.

ഉദാഹരണം.
അസമത്വം പരിഹരിച്ച ശേഷം, അതിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുക:

എ) $\(x^2 | x^2+1>0\)$
b) $\(x| 1/x c) $\(x |x^2+7x+12
പരിഹാരം.
a) $x^2+1>0$ എല്ലാ x-നും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. അപ്പോൾ സംഖ്യാ ഇടവേള ഫോമിൽ എഴുതപ്പെടും: $(-∞;+∞)$.
b) 1/x c) $x^2+7x+12

ഉപഗണം

ഒഴിഞ്ഞ സെറ്റും നമ്മുടെ സെറ്റിൻ്റെ ഒരു ഉപവിഭാഗമാണെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്. അപ്പോൾ നമുക്ക് 3+3+1+1=8 ഉപസെറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു.

സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

നിർവ്വചനം:

ഒരു സെറ്റ് എന്നത് വസ്തുക്കളുടെ ഏതെങ്കിലും ശേഖരമാണ്, അതിനെ അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

എങ്കിൽ X- M സെറ്റിൻ്റെ മൂലകം, തുടർന്ന് അവ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: x M (x - M-ൻ്റേതാണ്), അത് ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, x ∉ M; മൂലകങ്ങളൊന്നുമില്ലാത്ത ഒരു സെറ്റിനെ ശൂന്യമെന്ന് വിളിക്കുകയും ∅ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

പരിഗണനയിലുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഗണത്തെ സാർവത്രികം അല്ലെങ്കിൽ പ്രപഞ്ചം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു -

Ư. ഒരേ മൂലകങ്ങൾ അടങ്ങിയ സെറ്റുകളെ തുല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവ A = B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

സെറ്റ് B യുടെ ഏതെങ്കിലും മൂലകം സെറ്റ് A യുടെ മൂലകമാണെങ്കിൽ, B സെറ്റ് A യുടെ ഒരു ഉപഗണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു (സെറ്റ് A യുടെ ഭാഗം) കൂടാതെ B ⊂ A എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു; ഏത് സെറ്റും അതിൻ്റെ ഭാഗമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ശൂന്യമായ സെറ്റ് ∅ ഏത് സെറ്റിൻ്റെയും ഉപഗണമാണ്. അത്. ഏത് സെറ്റ് എയ്ക്കും രണ്ട് ഉപവിഭാഗങ്ങളുണ്ട്:

അവയെ A ഗണത്തിൻ്റെ അനുചിതമായ ഉപഗണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. A യുടെ അനുചിതമായ ഉപഗണം അല്ലാത്ത A ഗണത്തിലെ B യെ (അതായത്, A, ∅ എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്) A എന്ന ഉപഗണത്തിൻ്റെ ശരിയായ ഉപഗണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒന്നിൻ്റെ ഒരു സെറ്റ് ഘടകം a എന്നത് (a) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: A = (1;2;3) അപ്പോൾ ശൂന്യമായ സെറ്റും ∅ ഗണവും A യുടെ അനുചിതമായ ഉപഗണങ്ങളാണ്.

സെറ്റുകൾ: (1), (2), (3), (1;2), (1;3), (2;3) എന്നിവയെ A സെറ്റിൻ്റെ ശരിയായ ഉപഗണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ സെറ്റുകളുടെയും ഗണത്തെ A എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ബൂളിയൻ - 2 എ; B A എന്നതിനർത്ഥം B A, B ≠ A. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, B എന്നത് A യിൽ കർശനമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു അല്ലെങ്കിൽ B എന്നത് A യുടെ ശരിയായ ഉപഗണമാണ്;

B ⊆ A, B = A എന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, A-യിൽ B കർശനമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു, അതായത്. A യുടെ അനുചിതമായ ഉപവിഭാഗമാണ് B.

അടിസ്ഥാന ലോജിക്കൽ ചിഹ്നങ്ങൾ

XP(x) - ജനറൽ ക്വാണ്ടിഫയർ ("ഏത് x-നും വേണ്ടി,"

XP(x) - അസ്തിത്വ ക്വാണ്ടിഫയർ (അർത്ഥം "P (x) കൈവശം വയ്ക്കുന്ന x ഉണ്ട്.")

P ⇒ Q - സൂചന ("P-ൽ നിന്ന് Q പിന്തുടരുന്നു")

⟺ - തുല്യത ("അപ്പോൾ പിന്നെ മാത്രം")

P ∧ Q - സംയോജനം ("P and Q")

P ∨ Q - ഡിസ്ജംഗ്ഷൻ ("P അല്ലെങ്കിൽ Q")

P അല്ല അല്ലെങ്കിൽ - P യുടെ നിഷേധം

: = - അസൈൻമെൻ്റ് ചിഹ്നങ്ങൾ (“ഇട്ട്”)

def - (“നിർവചനം അനുസരിച്ച്”)

ഈ ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

1) (A = B) ⟺(( x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)

2) (A ⊆ B) ⟺ ( x/x ∈A ⇒ x ∈ B)

3) (A = B) ⟺ (B ⊂ A ∧ A⊂ B)

സെറ്റുകൾ നിർവചിക്കുന്നു

ഘടകങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു: M: = (a 1; a 2; a 3; ...; a n)

അല്ലെങ്കിൽ സ്വഭാവഗുണം P(x)

(പ്രവചനം): M: = ( x | P(x) )

ഉദാഹരണത്തിന്:

1) B = ( x ∈ N | x< 3} означает, что В= { 1; 2}

2) A =( x ∈ N | x +1=5) എന്നാൽ A = (4)

3) B = ( x ∈ N | x M5) അല്ലെങ്കിൽ (5;10;15...)

ആ. ( x | P(x) ) അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഗണത്തിൻ്റെ x മൂലകങ്ങളുടെ ഗണത്തിന് P(x) ഗുണമുണ്ട് എന്നാണ്.

4) М = ( x ∈ N | x 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

പ്രവർത്തനങ്ങൾ സജ്ജമാക്കുക

സെറ്റുകളിലെ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു:

10. എ, ബി സെറ്റുകളുടെ യൂണിയൻ.

യു

A ∪ B = (x/x ∈ A അല്ലെങ്കിൽ x ∈ B) - അതായത്. എ അല്ലെങ്കിൽ ബി സെറ്റുകളിൽ ഒന്നിലെങ്കിലും ഉൾപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

20. എ, ബി സെറ്റുകളുടെ കവല.

A∩B = (x/x ∈ A, x ∈ B) - അതായത്. എ, ബി എന്നിവയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

3º. എ, ബി സെറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.

A/B = (x/x ∈ A, x ∉ B) - അതായത്. ബിയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത എ യുടെ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

4º. A, B എന്നിവയുടെ സമമിതി വ്യത്യാസം (അല്ലെങ്കിൽ A, B എന്നിവയുടെ റിംഗ് തുക)

A Ө B = (x/x ∈ A, x ∉ B) ∪ (x/x ∈ B, x ∉ A) അല്ലെങ്കിൽ (A\B ∪ B\A)

5º. പ്രപഞ്ചത്തിലേക്കുള്ള അനുബന്ധം എ

= U\A = (x|x ∈ Uux, x ∉ A)

സെറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം

A, B എന്നീ രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ ഡയറക്ട് (കാർട്ടീഷ്യൻ) ഉൽപ്പന്നം എല്ലാ ക്രമീകരിച്ച ജോഡികളുടെയും ഗണമാണ്, അതിൽ സെറ്റ് A-ൽ നിന്നുള്ള മൂലകം I ആണ്, സെറ്റ് B-ൽ നിന്നുള്ള മൂലകം II, അതായത്. A×B = ((a, b)/a Є Âв Є B)

ഉദാഹരണം: A=(2;5;7;9), B =(2;4;7),

അപ്പോൾ A×B = ((2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7 ,4); (9,2);

A∩B=(2.7); A∪B=(2,4,5,7,9); A/B=(5.9); B/A=(4); A Ө B=(4,5,9)

A×B സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ പോയിൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ഒരു ജോഡിയിൽ (x, y), abscissa x ആണ്, ഓർഡിനേറ്റ് ഈ ജോഡിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റിൻ്റെ y ആണ്.

വിമാനത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടം R×R=R 2 എന്ന ഫോമിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നമാണ്, ഇവിടെ R എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ്.

R 2 എന്ന് വിളിക്കുന്നു R-ലെ കാർട്ടീഷ്യൻ സ്ക്വയർ.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ

"കീഴിൽ പലതുംനമ്മുടെ അവബോധത്തിൻ്റെ അല്ലെങ്കിൽ നമ്മുടെ ചിന്തയുടെ ചില, പൂർണ്ണമായും വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയുന്ന ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ഒന്നായി ഏകീകരണം ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു" - സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥാപകനായ ജോർജ്ജ് കാൻ്റർ "സെറ്റ്" എന്ന ആശയത്തെ വിവരിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്.
കാൻ്ററിൻ്റെ സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന പരിസരം ഇനിപ്പറയുന്നവയിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു:
1°ഒരു സെറ്റിൽ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയുന്ന ഏതെങ്കിലും വസ്തുക്കൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം.
2°ഒരു ഗണത്തെ അതിൻ്റെ ഘടക വസ്തുക്കളുടെ കൂട്ടം അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കുന്നു.
3°ഏതൊരു വസ്തുവും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം നിർവ്വചിക്കുന്നു.

x ഒരു വസ്തുവാണെങ്കിൽ, P ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ആണെങ്കിൽ, P(x) എന്നത് x ന് P പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള ഒരു പദവിയാണ്, പിന്നെ (x|P(x)) എന്നത് P പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ മുഴുവൻ ക്ലാസ്സിനെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ക്ലാസ് അല്ലെങ്കിൽ സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഘടകങ്ങൾക്ലാസ് അല്ലെങ്കിൽ സെറ്റ്.

നിബന്ധന " ഒരു കൂട്ടം"ചില മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ശേഖരണം, ശേഖരണം എന്നീ ആശയങ്ങളുടെ പര്യായമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം:
a) പുഴയിൽ ധാരാളം തേനീച്ചകൾ,
b) ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾ,
c) ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ കൂട്ടം അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെയും ഡയഗണലുകളുടെയും സെറ്റുകൾ,
d) പ്രേക്ഷകരിൽ നിരവധി വിദ്യാർത്ഥികൾ, മുതലായവ.
മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, a), c)-d), അനുബന്ധ സെറ്റുകളിൽ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അത്തരം സെറ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു ഫൈനൽ. ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സെറ്റ് (ഉദാഹരണം ബി)) കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ അത്തരം സെറ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ. ഒരു ഘടകം പോലും ഉൾക്കൊള്ളാത്ത ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശൂന്യംപലതും.

ഒരു സെറ്റ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുക എന്നതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന് A = (4, 7, 13) (സെറ്റ് A മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു - പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ 4, 7, 13). പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മറ്റൊരു അസൈൻമെൻ്റ് ഫോം സെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് A = (x| x^2 ≤ 4) എന്നത് നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടമാണ് x.

സെറ്റുകളെ സാധാരണയായി വലിയ അക്ഷരങ്ങൾ A, B, C,..., അവയുടെ മൂലകങ്ങളെ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കും: a, b, c,... നൊട്ടേഷൻ a ∈ A (വായിക്കുക: a A-ൻ്റേതാണ്) അല്ലെങ്കിൽ A ∋ a (വായിക്കുക: A എന്നത് a ഉൾക്കൊള്ളുന്നു) അർത്ഥമാക്കുന്നത് , a എന്നത് A ഗണത്തിലെ ഒരു ഘടകമാണ് എന്നാണ്. ഒരു ശൂന്യമായ സെറ്റിനെ Ø എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ബി സെറ്റിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും സെറ്റ് എയുടെ മൂലകമാണെങ്കിൽ, സെറ്റ് ബി എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഉപഗണംസെറ്റ് എ (നൊട്ടേഷൻ: ബി ⊆ എ അല്ലെങ്കിൽ എ ⊇ ബി).

ഓരോ സെറ്റും അതിൻ്റേതായ ഉപവിഭാഗമാണ് (ഇത് സെറ്റിൻ്റെ "വിശാലമായ" ഉപവിഭാഗമാണ്). ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഏതൊരു സെറ്റിൻ്റെയും ഉപഗണമാണ് (ഇത് "ഇടുങ്ങിയ" ഉപഗണമാണ്). സെറ്റ് എയുടെ മറ്റേതെങ്കിലും ഉപഗണത്തിൽ സെറ്റ് എ യുടെ ഒരു ഘടകമെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഇല്ല. അത്തരം ഉപഗണങ്ങളെ ശരി അല്ലെങ്കിൽ ശരിയായ ഉപഗണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സെറ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഉപഗണങ്ങൾക്ക്, B ⊂ A അല്ലെങ്കിൽ A ⊃ B എന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത് B ⊆ A, A ⊆ B എന്നിവയാണെങ്കിൽ, B സെറ്റിൻ്റെ ഓരോ ഘടകവും A യുടേതാണ്. സമയം, A യുടെ ഓരോ മൂലകവും B യുടേതാണ്, തുടർന്ന് A, B എന്നിവ ഒരേ മൂലകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ ഒത്തുചേരുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സെറ്റ് തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു: A = B. (ചിഹ്നങ്ങളെ ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ ഉൾപ്പെടുത്തൽ ചിഹ്നങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു).

ജ്യാമിതീയമായി, സെറ്റുകൾ സാധാരണയായി ഒരു വിമാനത്തിലെ ചില സെറ്റ് പോയിൻ്റുകളായി ചിത്രീകരിക്കപ്പെടുന്നു. ഏതൊരു അർത്ഥവത്തായ പ്രശ്നത്തിലും, സാർവത്രിക സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ചില "ഏറ്റവും വലിയ" സെറ്റിൻ്റെ ഉപഗണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി പരിഗണിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചിത്രത്തിൽ. 1 സാർവത്രിക സെറ്റ് U ഉം അതിൻ്റെ രണ്ട് ഉപഗണങ്ങളും കാണിക്കുന്നു - സെറ്റുകൾ A, B, B ⊂ A. ചിത്രങ്ങൾ തന്നെ ചിത്രം പോലെയാണ്. 1 വിളിക്കുന്നു യൂലർ-വെൻ ഡയഗ്രമുകൾ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സെറ്റ് എന്ന ആശയം പ്രധാനവും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ഒന്നാണ്, എന്നാൽ സെറ്റിന് ഒരൊറ്റ നിർവചനം ഇല്ല. ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഏറ്റവും നന്നായി സ്ഥാപിതമായ നിർവചനങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്: ഒരു സെറ്റ് എന്നത് നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും വ്യതിരിക്തവുമായ ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ഏതെങ്കിലും ശേഖരമാണ്, അത് ഒരൊറ്റ മൊത്തമായി കണക്കാക്കാം. സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്രഷ്ടാവ്, ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോർജ്ജ് കാൻ്റർ (1845-1918) ഇപ്രകാരം പറഞ്ഞു: "ഒരു സെറ്റ് എന്നത് നമ്മൾ മൊത്തത്തിൽ ചിന്തിക്കുന്ന പല കാര്യങ്ങളും ആണ്."

ഇന്ന് ഉച്ചഭക്ഷണം കഴിച്ചോ? ഇപ്പോൾ ഭയങ്കരമായ ഒരു രഹസ്യം അറിയപ്പെടും. ഉച്ചഭക്ഷണം ധാരാളം. അതായത്, അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന നിരവധി വിഭവങ്ങൾ. അതിൽ (ചട്ടം പോലെ) സമാനമായ വിഭവങ്ങളൊന്നുമില്ല, സമൃദ്ധമായി എല്ലാ ഘടകങ്ങളും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം. കൂടാതെ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രഭാതഭക്ഷണത്തിന് സമാനമായ സാലഡ് ഉച്ചഭക്ഷണത്തിന് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സാലഡ് "ഉച്ചഭക്ഷണം", "പ്രഭാതഭക്ഷണം" എന്നീ സെറ്റുകളുടെ കവലയാണ്.

മേശപ്പുറത്ത് കിടക്കുന്നതോ ഷെൽഫിൽ നിൽക്കുന്നതോ ആയ പുസ്തകം നോക്കുക. ഒരുപാട് പേജുകളുണ്ട്. അതിലെ എല്ലാ പേജുകളും പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കുറഞ്ഞത് അക്കങ്ങളാൽ.

നിങ്ങൾ താമസിക്കുന്ന തെരുവ്? ഇത് നിരവധി വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ ശേഖരമാണ്, എന്നാൽ ഈ തെരുവിൽ തീർച്ചയായും നിരവധി വീടുകൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, വീടുകളുടെ കൂട്ടം "സ്ട്രീറ്റ്" എന്ന സെറ്റിൻ്റെ ഒരു ഉപവിഭാഗമാണ്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സെറ്റുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രമല്ല, സെറ്റുകളിലെ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണവും - ഇൻ്റർസെക്ഷൻ, അതുപോലെ തന്നെ ഒരു സെറ്റിൽ ഒരു ഉപസെറ്റ് ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ബന്ധവും. ഈ പാഠത്തിൽ ഈ ആശയങ്ങളെല്ലാം ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കും.

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ സെറ്റുകളുടെ പ്രായോഗിക പരിഗണനയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി.

സങ്കീർണ്ണമായ ജീവിതസാഹചര്യങ്ങൾ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ചെയ്യുന്നതിന് ഒരു ഡാറ്റാ തരമെന്ന നിലയിൽ സെറ്റുകൾ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, കാരണം അവ യഥാർത്ഥ ലോക വസ്തുക്കളെ കൃത്യമായി മാതൃകയാക്കാനും സങ്കീർണ്ണമായ ലോജിക്കൽ ബന്ധങ്ങൾ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കാനും ഉപയോഗിക്കും. പാസ്കൽ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയിൽ സെറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ചുവടെ നോക്കും.

ഉദാഹരണം 0 (പാസ്കൽ).നഗരത്തിലെ നിരവധി സ്റ്റോറുകളിൽ വിൽക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ നിരയുണ്ട്. നിർണ്ണയിക്കുക: നഗരത്തിലെ എല്ലാ സ്റ്റോറുകളിലും എന്ത് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ലഭ്യമാണ്; നഗരത്തിലെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ ഒരു അടിസ്ഥാന ഡാറ്റ തരം ഭക്ഷണം (ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ) നിർവചിക്കുന്നു, അത് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ പേരുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, hleb). ഞങ്ങൾ ഒരു സെറ്റ് തരം പ്രഖ്യാപിക്കുന്നു, അത് അടിസ്ഥാന തരത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ സംയോജനത്താൽ നിർമ്മിച്ച എല്ലാ ഉപവിഭാഗങ്ങളെയും നിർവചിക്കുന്നു, അതായത് ഭക്ഷണം. കൂടാതെ ഞങ്ങൾ ഉപസെറ്റുകൾ രൂപീകരിക്കുന്നു: സ്റ്റോറുകൾ "Solnyshko", "Veterok", "Ogonyok", അതുപോലെ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഉപസെറ്റുകൾ: MinFood (എല്ലാ സ്റ്റോറുകളിലും ലഭ്യമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ), MaxFood (നഗരത്തിലെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഒരു മുഴുവൻ ശ്രേണി). അടുത്തതായി, ലഭിച്ച ഉപസെറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. Solnyshko, Veterok, Ogonyok എന്നീ ഉപസെറ്റുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലമായാണ് MinFood ഉപസെറ്റ് ലഭിക്കുന്നത്, കൂടാതെ ഈ ഉപസെറ്റുകളിൽ ഓരോന്നിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഈ ഉപസെറ്റുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ മാത്രം ഉൾപ്പെടുന്നു (Pascal-ൽ, സെറ്റുകളുടെ കവലയുടെ പ്രവർത്തനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു നക്ഷത്രചിഹ്നം പ്രകാരം: A * B * C, സെറ്റുകളുടെ വിഭജനത്തിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പദവി ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു ). ഒരേ ഉപസെറ്റുകൾ സംയോജിപ്പിച്ചാണ് MaxFood ഉപസെറ്റ് ലഭിക്കുന്നത്, കൂടാതെ എല്ലാ ഉപസെറ്റുകളിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു (പാസ്കലിൽ, സെറ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തെ പ്ലസ് ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: A + B + C, സെറ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പദവി ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ).

കോഡ് PASCAL

പ്രോഗ്രാം ഷോപ്പുകൾ; ടൈപ്പ് ഫുഡ്=(ഹ്ലെബ്, മൊളോക്കോ, മൈസോ, സിർ, സോൾ, ഷുഗർ, മാസ്ലോ, റൈബ); കട = ഭക്ഷണത്തിൻ്റെ കൂട്ടം; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: ഷോപ്പ്; Solnyshko ആരംഭിക്കുക:=; വെറ്ററോക്ക്:=; ഒഗോന്യോക്ക്:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; അവസാനിക്കുന്നു.

ഏത് തരത്തിലുള്ള സെറ്റുകൾ ഉണ്ട്?

സെറ്റുകൾ നിർമ്മിക്കുന്ന വസ്തുക്കൾ - നമ്മുടെ അവബോധത്തിൻ്റെ അല്ലെങ്കിൽ ബുദ്ധിയുടെ വസ്തുക്കൾ - വളരെ വ്യത്യസ്തമായ സ്വഭാവമായിരിക്കും. ആദ്യ ഖണ്ഡികയിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു കൂട്ടം ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന സെറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്തു. സെറ്റുകൾക്ക് റഷ്യൻ അക്ഷരമാലയിലെ എല്ലാ അക്ഷരങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സംഖ്യകളുടെ ഗണങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ 0, 1, 2, 3, 4, ...

പ്രധാന സംഖ്യകൾ

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പോലും

ഇത്യാദി. (പ്രധാന സംഖ്യാ സെറ്റുകൾ ഈ മെറ്റീരിയലിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു).

ഒരു സെറ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്ന വസ്തുക്കളെ അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സെറ്റ് "ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ബാഗ്" ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്: ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങളൊന്നുമില്ല.

സെറ്റുകൾ പരിമിതവും അനന്തവുമാകാം. ഒരു പരിമിതഗണം എന്നത് അതിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണമായ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുള്ള ഒരു ഗണമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തെ അഞ്ച് നോൺ-നെഗറ്റീവ് ഒറ്റ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണം ഒരു പരിമിത ഗണമാണ്.പരിമിതമല്ലാത്ത ഒരു ഗണത്തെ അനന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ഗണം അനന്തമായ ഗണമാണ്.

എങ്കിൽ എം- ഒരുപാട്, ഒപ്പം എ- അതിൻ്റെ ഘടകം, തുടർന്ന് അവർ എഴുതുന്നു: എ∈എം, അത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് " എസെറ്റിൻ്റേതാണ് എം".

ചില സ്റ്റോറുകളിൽ ലഭ്യമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുള്ള പാസ്കലിലെ ആദ്യ (പൂജ്യം) ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്:

hleb∈വെറ്ററോക്ക് ,

അതിനർത്ഥം: "VETEROK" സ്റ്റോറിൽ ലഭ്യമായ നിരവധി ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടേതാണ് "hleb" എന്ന ഘടകം.

സെറ്റുകൾ നിർവചിക്കുന്നതിന് രണ്ട് പ്രധാന വഴികളുണ്ട്: എണ്ണലും വിവരണവും.

ഒരു സെറ്റ് അതിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ലിസ്റ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് നിർവചിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

വെറ്ററോക്ക് = {hleb, syr, വെണ്ണ} ,

എ = {7 , 14 , 28 } .

ഒരു കണക്കിന് ഒരു പരിമിതമായ സെറ്റ് മാത്രമേ നിർവചിക്കാനാകൂ. ഒരു വിവരണം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെങ്കിലും. എന്നാൽ അനന്തമായ ഗണങ്ങളെ വിവരണത്തിലൂടെ മാത്രമേ നിർവചിക്കാനാകൂ.

സെറ്റുകളെ വിവരിക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അനുവദിക്കുക പി(x) - ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ വിവരിക്കുന്ന ചില പ്രസ്താവനകൾ x, ഇതിൻ്റെ ശ്രേണി സെറ്റ് ആണ് എം. പിന്നെ അതിലൂടെ എം = {x | പി(x)} പ്രസ്‌താവനയ്‌ക്കുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും മാത്രം അടങ്ങുന്ന ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു പി(x) സത്യമാണ്. ഈ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: "പലരും എം, അത്തരത്തിലുള്ളവയെല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു x, എന്ത് പി(x) ".

ഉദാഹരണത്തിന്, റെക്കോർഡ് ചെയ്യുക

എം = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

ഉദാഹരണം 6.സിട്രസ് പഴങ്ങൾ വാങ്ങിയ 100 മാർക്കറ്റ് വാങ്ങുന്നവരുടെ സർവേ പ്രകാരം, ഓറഞ്ച് 29 വാങ്ങുന്നവർ, നാരങ്ങ - 30 വാങ്ങുന്നവർ, ടാംഗറിൻ - 9, ടാംഗറിൻ മാത്രം - 1, ഓറഞ്ച്, നാരങ്ങ - 10, നാരങ്ങ, ടാംഗറിൻ - 4, മൂന്ന് തരം ഫലം - 3 വാങ്ങുന്നവർ. ഇവിടെ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന സിട്രസ് പഴങ്ങളൊന്നും വാങ്ങാത്ത എത്ര ഉപഭോക്താക്കൾ? നാരങ്ങ മാത്രം വാങ്ങിയ എത്ര ഉപഭോക്താക്കൾ?

സെറ്റുകളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം

സെറ്റുകളിലെ മറ്റൊരു പ്രധാന പ്രവർത്തനം നിർവ്വചിക്കാൻ - സെറ്റുകളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഉൽപ്പന്നംക്രമീകരിച്ച ദൈർഘ്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം എൻ.

സെറ്റിൻ്റെ നീളം സംഖ്യയാണ് എൻഅതിൻ്റെ ഘടകം. ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്ത ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സെറ്റ് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു . അതിൽ ഐ i () സെറ്റ് ഘടകം ആണ് .

ഇപ്പോൾ കർശനമായ ഒരു നിർവചനം പിന്തുടരും, അത് ഉടനടി വ്യക്തമായിരിക്കില്ല, എന്നാൽ ഈ നിർവചനത്തിന് ശേഷം സെറ്റുകളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഉൽപ്പന്നം എങ്ങനെ നേടാമെന്ന് വ്യക്തമാകുന്ന ഒരു ചിത്രം ഉണ്ടാകും.

സെറ്റുകളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ (നേരിട്ട്) ഉൽപ്പന്നംസൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അവയെല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്നതും നീളമുള്ളതുമായ സെറ്റുകൾ മാത്രം എൻ, ഐ-ആം ഘടകം ഉൾപ്പെടുന്നു .

ഉൾപ്പെടുന്ന $എ$, എന്നിവയും ഉൾപ്പെടുന്നു $ബി$. ഔപചാരിക നിർവചനം:

$(എ\; \backslash സബ്സെറ്റ്\; ബി)\; \backslash ഇടത്\; വലത്താരോ\; \backslash മൊത്തം\; x.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash Righttarrow\; x\; \backslash in\; B).$

ഒരു കൂട്ടം $ബി$വിളിച്ചു സൂപ്പർസെറ്റ്സെറ്റുകൾ $എ$, എങ്കിൽ $എ$- ഉപഗണം $ബി$.

ഉപഗണങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പ്രതീകാത്മക നൊട്ടേഷനുകളുണ്ട്:

രണ്ട് നൊട്ടേഷൻ സിസ്റ്റങ്ങളും ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു $\backslash ഉപഗണം$വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങളിൽ, അത് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ അവസാനത്തെ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും.

എന്ത് $ബി$ഒരു സൂപ്പർസെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു $എ$, പലപ്പോഴും എഴുതിയിരിക്കുന്നു $B\backslash supset\; എ$.

ഒരു സെറ്റിൻ്റെ എല്ലാ ഉപവിഭാഗങ്ങളുടെയും സെറ്റ് $എ$സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $\backslash mathcal(P)(A)$ഒരു ബൂളിയൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

സ്വന്തം ഉപവിഭാഗം

ഏതെങ്കിലും സെറ്റ് $ബി$സ്വന്തം ഉപവിഭാഗമാണ്. നമുക്ക് ഒഴിവാക്കണമെങ്കിൽ $ബി$പരിഗണനയിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു സ്വന്തം

ഒരു കൂട്ടം $എ$സെറ്റിൻ്റെ ശരിയായ ഉപവിഭാഗമാണ് $ബി$, എങ്കിൽ $എ\backslash സബ്സെറ്റ്\; ബി$ഒപ്പം $എ\backslash nബി$.

ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഏതൊരു സെറ്റിൻ്റെയും ഉപഗണമാണ്. ശൂന്യമായ സെറ്റ് പരിഗണനയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കണമെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു നിസ്സാരമല്ലാത്തത്ഉപഗണം, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു കൂട്ടം $എ$സെറ്റിൻ്റെ ഒരു നോൺട്രിവിയൽ ഉപവിഭാഗമാണ് $ബി$, എങ്കിൽ $എ$സ്വന്തം ഉപവിഭാഗമാണ് $ബി$ഒപ്പം $എ\backslash n\backslash nഒന്നുമില്ല$.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

• സെറ്റുകൾ $\backslash varnothing,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• സെറ്റുകൾ $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$സെറ്റിൻ്റെ ഉപവിഭാഗങ്ങളാണ് $\backslash (\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; Moose\; \backslash )$
• അനുവദിക്കുക $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, പിന്നെ $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• അനുവദിക്കുക $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. പിന്നെ $ബി\backslash സബ്സെറ്റ്\; എ,\backslash ;\; സി\backslash അല്ല\backslash ഉപസെറ്റ്\; എ$.

പ്രോപ്പർട്ടികൾ

ഉപസെറ്റ് ബന്ധത്തിന് നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

• ഉപസെറ്റ് ബന്ധം ഒരു ഭാഗിക ഓർഡർ ബന്ധമാണ്:
  • ഉപസെറ്റ് ബന്ധം റിഫ്ലെക്സീവ് ആണ്: $ബി\backslash സബ്സെറ്റ്\; ബി$
  • ഉപസെറ്റ് ബന്ധം ആൻ്റിസിമെട്രിക് ആണ്: $(എ\; \backslash സബ്സെറ്റ്\; ബി\backslash ;\; \backslash \; ഒപ്പം\; \backslash ;\; ബി\; \backslash \; സബ്സെറ്റ്\; എ)\; \backslash ഇടത്\; വലത്താരോ\; (എ\; =\; ബി)$
  • ഉപസെറ്റ് ബന്ധം ട്രാൻസിറ്റീവ് ആണ്: $(എ\; \backslash സബ്സെറ്റ്\; ബി\; \backslash ;\backslash \; കൂടാതെ\; \backslash ;\; ബി\; \backslash \; സബ്സെറ്റ്\; സി)\; \backslash \; റൈറ്റ്\; ആരോ\; (എ\; \backslash \; സബ്സെറ്റ്\; സി)$
• ശൂന്യമായ സെറ്റ് മറ്റെല്ലാ സെറ്റുകളുടെയും ഒരു ഉപഗണമാണ്, അതിനാൽ ഇത് ഉപസെറ്റ് ബന്ധവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏറ്റവും ചെറിയ സെറ്റാണ്: $\backslash varnothing\; \backslash ഉപസെറ്റ്\; B$
• ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സെറ്റുകൾക്ക് $എ$ഒപ്പം $ബി$ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ തുല്യമാണ്:
  • $എ\backslash സബ്സെറ്റ്\; ബി.$
  • $A\backslash cap\; B\; =\; A.$
  • $എ\backslash കപ്പ്\; ബി\; =\; ബി.$
  • $B^(\backslash complement)\; \backslash subset\; A^(\backslash complement).$

ഫിനിറ്റ് സെറ്റുകളുടെ ഉപവിഭാഗങ്ങൾ

ഒറിജിനൽ സെറ്റ് പരിമിതമാണെങ്കിൽ, അതിന് പരിമിതമായ ഉപസെറ്റുകൾ ഉണ്ട്. അതായത്, at $എൻ$-എലമെൻ്റ് സെറ്റ് നിലവിലുണ്ട് $2^n$ഉപസെറ്റുകൾ (ശൂന്യം ഉൾപ്പെടെ). ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, ഓരോ ഘടകങ്ങളും ഒന്നുകിൽ ഉൾപ്പെടുത്താം അല്ലെങ്കിൽ ഉൾപ്പെടുത്താതിരിക്കാം എന്നത് ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതിയാകും, അതായത് ഉപസെറ്റുകളുടെ ആകെ എണ്ണം $എൻ$- രണ്ടിൻ്റെ ഒന്നിലധികം ഉൽപ്പന്നം. ഞങ്ങൾ ഉപവിഭാഗങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ $എൻ$-എലമെൻ്റ് സെറ്റ് $k\backslash le\; n$മൂലകങ്ങൾ, അപ്പോൾ അവയുടെ സംഖ്യ ബൈനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. ഈ വസ്തുത പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഉപവിഭാഗത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ തുടർച്ചയായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ആദ്യ ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കാം $എൻ$വഴികൾ, രണ്ടാമത്തേത് $n-1$വഴിയും മറ്റും, ഒടുവിൽ, $കെ$- ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കാം $n-k+1$വഴി. അങ്ങനെ നമുക്ക് ഒരു ക്രമം ലഭിക്കുന്നു $കെ$ഘടകങ്ങൾ, കൃത്യമായി $കെ!$അത്തരം ക്രമങ്ങൾ ഒരു ഉപവിഭാഗവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, എല്ലാം ഉണ്ടാകും $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash dots(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$അത്തരം ഉപവിഭാഗങ്ങൾ.

"സബ്സെറ്റ്" എന്ന ലേഖനത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു അവലോകനം എഴുതുക

കുറിപ്പുകൾ

സാഹിത്യം

• വെരേഷ്ചാഗിൻ എൻ.കെ., ഷെൻ എ.ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയെയും അൽഗോരിതം സിദ്ധാന്തത്തെയും കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണങ്ങൾ. ഭാഗം 1. സെറ്റ് തിയറിയുടെ ആരംഭം.. - 3rd ed., സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ്. - എം.: MTsNMO, 2008. - 128 പേ. - ISBN 978-5-94057-321-0.

ഉപഗണത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഉദ്ധരണി

കുട്ടുസോവ് വിയന്നയിലേക്ക് പിൻവാങ്ങി, ഇൻ (ബ്രൗനൗവിൽ), ട്രൗൺ (ലിൻസിൽ) നദികളിലെ പാലങ്ങൾ നശിപ്പിച്ചു. ഒക്ടോബർ 23 ന് റഷ്യൻ സൈന്യം എൻസ് നദി മുറിച്ചുകടന്നു. റഷ്യൻ വാഹനവ്യൂഹങ്ങളും പീരങ്കികളും സൈനികരുടെ നിരകളും പകലിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ എൺസ് നഗരത്തിലൂടെ പാലത്തിൻ്റെ ഇപ്പുറത്തും മറുവശത്തും നീണ്ടു.