ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യത്യാസം. നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഒരു പോയിന്റിലെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഡിഫറൻഷ്യൽ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെ dx കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഡിഫറൻഷ്യലുകൾക്കായി അനുബന്ധ പട്ടിക ഉടനടി എഴുതാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യൽ:

മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

നിർവ്വചനം . ഈ ഘട്ടത്തിലെ വർദ്ധനവിനെ ∆y=A∆x + α(∆x)∆x ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ x 0 പോയിന്റിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ A എന്നത് സ്ഥിരാങ്കവും α(∆) x) ∆x → 0 ആയി അനന്തമായി ചെറുതാണ്.
ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യത്യസ്‌തമാകേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത, ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിലനിൽപ്പിന് തുല്യമാണ്, A=f'(x 0).

x 0, f "(x 0)≠0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ f(x) വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ, തുടർന്ന് ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, ഇവിടെ α= α(∆x) →0 ∆x → 0. അളവ് ∆y ഉം വലതുവശത്തുള്ള ഓരോ പദവും ∆x→0 ആയി അനന്തമായ മൂല്യങ്ങളാണ്. നമുക്ക് അവയെ താരതമ്യം ചെയ്യാം: , അതായത്, α(∆x)∆x എന്നത് f'(x 0)∆x എന്നതിനേക്കാൾ അനന്തമായ ഉയർന്ന ക്രമമാണ്.
, അതായത്, ∆y~f'(x 0)∆x. അതിനാൽ, f’(x 0)∆x എന്നത് പ്രധാനവും അതേ സമയം ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ ∆x ഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയവുമാണ്. ഈ പദത്തെ x 0 പോയിന്റിലെ y \u003d f (x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്നും dy (x 0) അല്ലെങ്കിൽ df (x 0) എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അനിയന്ത്രിതമായ x-ന്
dy=f′(x)∆x. (1)
തുടർന്ന് dx=∆x എന്ന് അനുവദിക്കുക
dy=f′(x)dx. (2)

ഉദാഹരണം. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഡിഫറൻഷ്യലുകളും കണ്ടെത്തുക.
a) y=4tg2x
തീരുമാനം:

വ്യത്യാസം:
b)
തീരുമാനം:

വ്യത്യാസം:
c) y=arcsin 2 (lnx)
തീരുമാനം:

വ്യത്യാസം:
ജി)
തീരുമാനം:
=
വ്യത്യാസം:

ഉദാഹരണം. y=x 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനു വേണ്ടി, x, ∆x എന്നിവയുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്കായി ∆y, dy എന്നിവയ്‌ക്കായി ഒരു പദപ്രയോഗം കണ്ടെത്തുക.
തീരുമാനം. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (ഞങ്ങൾ ∆x നെ സംബന്ധിച്ച് ∆y യുടെ പ്രധാന രേഖീയ ഭാഗം എടുത്തു). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

നിർവ്വചനം:ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യത്യാസംനിരവധി വേരിയബിളുകളെ അതിന്റെ എല്ലാ ഭാഗിക വ്യത്യാസങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 1: .

തീരുമാനം:

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ തുല്യമായതിനാൽ:

അപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഭാഗിക വ്യത്യാസങ്ങൾ ഉടൻ എഴുതാം:

, ,

അപ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഉദാഹരണം 2ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക

തീരുമാനം:

ഈ പ്രവർത്തനം സങ്കീർണ്ണമാണ്, അതായത്. ആയി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും

ഞങ്ങൾ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസം:

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ വിശകലന അർത്ഥം, നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തം വർദ്ധനവിന്റെ പ്രധാന ഭാഗമാണ്,അതായത്, ഒരു ഏകദേശ തുല്യതയുണ്ട്: ∆z≈dz.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഏകദേശ തുല്യതകൾ z=f(x,y) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ dx, dy എന്നീ ചെറിയ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾക്ക് മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ എന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ ഉപയോഗം ∆z≈dz എന്ന ഫോർമുലയുടെ ഉപയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

തീർച്ചയായും, ഈ ഫോർമുലയിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റ് ∆z എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ , അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

≈ ,

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യം രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ "പുതിയ" മൂല്യം ഏകദേശം കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കാം, അത് അതിന്റെ രണ്ട് ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെയും മതിയായ ചെറിയ വർദ്ധനവ് ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക , അതിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം: 1.01, .

തീരുമാനം.

ഫോർമുലയിൽ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x=1, ∆x=0.01, y=2, ∆y=0.02 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

സ്കെയിലർ ഫീൽഡ്.

ബഹിരാകാശ D യുടെ ഏതെങ്കിലുമൊരു മേഖലയുടെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും U(p)=U(x,y,z) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയാൽ, D മേഖലയിൽ ഒരു സ്കെയിലർ ഫീൽഡ് നൽകിയതായി പറയപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, U(x, y, z) എന്നത് M(x, y, z) എന്ന പോയിന്റിലെ താപനിലയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഒരു സ്കെയിലർ താപനില ഫീൽഡ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു. ഡി പ്രദേശം ദ്രാവകമോ വാതകമോ കൊണ്ട് നിറയുകയും U(x,y,z) മർദ്ദത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഒരു സ്കെയിലർ പ്രഷർ ഫീൽഡ് ഉണ്ട്. ബഹിരാകാശത്ത് ചാർജുകളുടെയോ കൂറ്റൻ ശരീരങ്ങളുടെയോ ക്രമീകരണം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരാൾ ഒരു സാധ്യതയുള്ള ഫീൽഡിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു.

സ്കെയിലർ ഫീൽഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു നിശ്ചലമായ, U(x,y,z) ഫംഗ്‌ഷൻ സമയത്തിനനുസരിച്ച് മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ: U(x,y,z) ≠ എഫ്(ടി).

ഏതൊരു നിശ്ചല ഫീൽഡും ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ സവിശേഷതയാണ്:

1) സ്കെയിലർ ഫീൽഡിന്റെ ലെവൽ ഉപരിതലം

2) ഒരു നിശ്ചിത ദിശയിൽ ഫീൽഡിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്.

ലെവൽ ഉപരിതലം U(x,y,z) ഫംഗ്‌ഷൻ സ്ഥിരമായ മൂല്യം എടുക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണ് സ്കെലാർ ഫീൽഡ്, അതായത് U(x,y,z) = const. ഈ പോയിന്റുകളുടെ ശേഖരം ഒരു പ്രത്യേക ഉപരിതലം ഉണ്ടാക്കുന്നു. മറ്റൊരു സ്ഥിരാങ്കം എടുത്താൽ നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉപരിതലം ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം:ഒരു സ്കെയിലർ ഫീൽഡ് നൽകട്ടെ. അത്തരമൊരു ഫീൽഡിന്റെ ഉദാഹരണമാണ് ഒരു പോയിന്റ് വൈദ്യുത ചാർജിന്റെ (+q) വൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ ഫീൽഡ്. ഇവിടെ, ലെവൽ പ്രതലങ്ങൾ ഇക്വിപോട്ടൻഷ്യൽ പ്രതലങ്ങളാണ് , അതായത്, ഒരു ഫീൽഡ് സൃഷ്ടിക്കുന്ന ഒരു ചാർജ് ഉള്ള കേന്ദ്രത്തിൽ ഗോളങ്ങൾ.

സ്കെയിലർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ വർദ്ധനവിന്റെ ദിശ നൽകുന്നത് വെക്‌ടറാണ് ഗ്രേഡിയന്റ്കൂടാതെ (അല്ലെങ്കിൽ ) എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രേഡിയന്റ് ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ സ്കെയിലർ ഫീൽഡിന്റെ ലെവൽ ഉപരിതലത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ലംബമായിരിക്കും:

, എവിടെ

യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ യഥാക്രമം OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം

മറ്റേതെങ്കിലും ദിശയിലുള്ള (λ) ഫംഗ്‌ഷൻ U(x,y,z) യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

, എവിടെ

α, β, γ എന്നിവ യഥാക്രമം OX, OY, OZ, ദിശ എന്നീ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണുകളാണ്.

ഓരോ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവും (ഓവർ xകൂടാതെ വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ എന്നത് ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ സാധാരണ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, മറ്റൊരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം:

(എവിടെ വൈ= കോൺസ്റ്റ്),

(എവിടെ x= കോൺസ്റ്റ്).

അതിനാൽ, ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നു ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിയമങ്ങളും, മറ്റ് വേരിയബിളിനെ സ്ഥിരമായി (സ്ഥിരമായി) പരിഗണിക്കുമ്പോൾ.

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശകലനവും ഇതിന് ആവശ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തവും ആവശ്യമില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് ഒരു പരിഹാരം മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ, തുടർന്ന് മുന്നോട്ട് പോകുക ഓൺലൈൻ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് കാൽക്കുലേറ്റർ .

ഫംഗ്‌ഷനിൽ കോൺസ്റ്റന്റ് എവിടെയാണെന്ന് ട്രാക്ക് ചെയ്യുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമുള്ള വേരിയബിളിന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണത്തിന്റെ ഡ്രാഫ്റ്റ് സൊല്യൂഷനിൽ ഏത് സംഖ്യയും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം - അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് സാധാരണയായി വേഗത്തിൽ കണക്കാക്കാം. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പൂർത്തിയാക്കുമ്പോൾ സ്ഥിരമായ (ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമുള്ള ഒരു വേരിയബിൾ) അതിന്റെ സ്ഥാനത്തേക്ക് തിരികെ നൽകാൻ മറക്കാതിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

മുകളിൽ വിവരിച്ച ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ സ്വത്ത് ഒരു ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അത് പരീക്ഷാ ചോദ്യങ്ങളിൽ കാണാം. അതിനാൽ, ചുവടെയുള്ള നിർവചനം പരിചയപ്പെടാൻ, നിങ്ങൾക്ക് സൈദ്ധാന്തിക റഫറൻസ് തുറക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ച എന്ന ആശയം z= എഫ്(x, വൈ) ഒരു പോയിന്റിൽ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷനായി ഈ ആശയത്തിന് സമാനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ z = എഫ്(x, വൈ) എങ്കിൽ ഒരു പോയിന്റിൽ തുടർച്ചയായി വിളിക്കുന്നു

വ്യത്യാസം (2) ഫംഗ്ഷന്റെ ആകെ വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു z(രണ്ട് ആർഗ്യുമെന്റുകളും വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് ലഭിക്കും).

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ z= എഫ്(x, വൈ) ഒപ്പം ഡോട്ട്

പ്രവർത്തനം മാറുകയാണെങ്കിൽ zആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ ഒന്ന് മാത്രം മാറുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, x, മറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം വൈ, അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിപ്പിക്കും

ഫംഗ്ഷന്റെ ഭാഗിക വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എഫ്(x, വൈ) ഓൺ x.

ഫംഗ്ഷൻ മാറ്റം പരിഗണിക്കുന്നു zആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ ഒന്നിന്റെ മാത്രം മാറ്റത്തെ ആശ്രയിച്ച്, നമ്മൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് കടക്കുന്നു.

ഒരു പരിമിതമായ പരിധി ഉണ്ടെങ്കിൽ

തുടർന്ന് അതിനെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എഫ്(x, വൈ) വാദം വഴി xകൂടാതെ ഒരു ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു

(4)

ഭാഗിക വർദ്ധനവ് സമാനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു zഓൺ വൈ:

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവും എഫ്(x, വൈ) ഓൺ വൈ:

(6)

ഉദാഹരണം 1

തീരുമാനം. "x" എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

(വൈനിശ്ചിത);

"y" എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

(xനിശ്ചിത).

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വേരിയബിൾ എത്രത്തോളം ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് പ്രശ്നമല്ല: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് ഒരു ഘടകമാണ് (സാധാരണ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ) ഞങ്ങൾ ഭാഗികം കണ്ടെത്തുന്ന വേരിയബിളിനൊപ്പം. ഡെറിവേറ്റീവ്. നമ്മൾ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവിനെ കണ്ടെത്തുന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിശ്ചിത വേരിയബിളിനെ ഗുണിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഈ ഏകാന്ത സ്ഥിരാങ്കം, ഒരു സാധാരണ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, എത്രത്തോളം പോയാലും അപ്രത്യക്ഷമാകും.

ഉദാഹരണം 2ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക

(x മുഖേന) കൂടാതെ (y വഴി) പോയിന്റിൽ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക ഒപ്പം (1; 2).

തീരുമാനം. ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് വൈആദ്യ പദത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി കാണപ്പെടുന്നു ( ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പട്ടിക):

ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് xആദ്യ പദത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവായി കാണപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി:

ഇപ്പോൾ ഈ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പോയിന്റിൽ കണക്കാക്കുന്നു ഒപ്പം (1; 2):

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കാം ഓൺലൈൻ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് കാൽക്കുലേറ്റർ .

ഉദാഹരണം 3ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക

തീരുമാനം. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

(വൈ x, സൈനിന്റെ വാദം 5 ആയതുപോലെ x: അതേ രീതിയിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ അടയാളത്തിന് മുമ്പ് 5 പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു);

(xസ്ഥിരമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു ഘടകമാണ് വൈ).

മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ സമാനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

മൂല്യങ്ങളുടെ ഓരോ സെറ്റ് ആണെങ്കിൽ ( x; വൈ; ...; ടി) സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ ഡിഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു യുപലരിൽ നിന്നും ഇ, പിന്നെ യുവേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു x, വൈ, ..., ടിസൂചിപ്പിക്കുന്നു യു= എഫ്(x, വൈ, ..., ടി).

മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനമില്ല.

നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിർവചിക്കുകയും കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മാത്രമേ മാറുന്നുള്ളൂ, മറ്റുള്ളവ സ്ഥിരമാണ്.

ഉദാഹരണം 4ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക

തീരുമാനം. വൈഒപ്പം zനിശ്ചിത:

xഒപ്പം zനിശ്ചിത:

xഒപ്പം വൈനിശ്ചിത:

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ സ്വയം കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് പരിഹാരങ്ങൾ കാണുക

ഉദാഹരണം 5

ഉദാഹരണം 6ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക.

നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവിന് സമാനമാണ് ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി മെക്കാനിക്കൽ അർത്ഥം, ആർഗ്യുമെന്റുകളിലൊന്നിലെ മാറ്റവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഫംഗ്ഷൻ മാറുന്ന നിരക്കാണ്.

ഉദാഹരണം 8ഒഴുക്ക് അളവ് പിറെയിൽവേ യാത്രക്കാരെ ഒരു ചടങ്ങായി പ്രകടിപ്പിക്കാം

എവിടെ പി- യാത്രക്കാരുടെ എണ്ണം, എൻ- അനുബന്ധ പോയിന്റുകളിലെ താമസക്കാരുടെ എണ്ണം, ആർ- പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് പിഓൺ ആർതുല്യമാണ്

യാത്രക്കാരുടെ ഒഴുക്ക് കുറയുന്നത് പോയിന്റുകളിലെ അതേ എണ്ണം നിവാസികൾക്ക് അനുബന്ധ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് പിഓൺ എൻതുല്യമാണ്

യാത്രക്കാരുടെ ഒഴുക്കിലെ വർദ്ധനവ് പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ ഒരേ ദൂരമുള്ള സെറ്റിൽമെന്റുകളിലെ നിവാസികളുടെ ഇരട്ടി ആനുപാതികമാണെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

ഫുൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗുണനത്തെയും അനുബന്ധ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ വർദ്ധനവിനെയും ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭാഗിക വ്യത്യാസങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

എല്ലാ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളിലുമുള്ള ഭാഗിക വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ നൽകുന്നു. രണ്ട് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്, മൊത്തം വ്യത്യാസം തുല്യതയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

(7)

ഉദാഹരണം 9ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക

തീരുമാനം. ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം (7):

ചില ഡൊമെയ്‌നിലെ ഓരോ പോയിന്റിലും മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ആ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സ്വയം കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് പരിഹാരം കാണുക

ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഒരു നിശ്ചിത മേഖലയിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വ്യതിരിക്തത ഈ മേഖലയിൽ അതിന്റെ തുടർച്ചയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ തിരിച്ചും അല്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വ്യത്യസ്‌തതയ്‌ക്ക് മതിയായ ഒരു വ്യവസ്ഥ നമുക്ക് തെളിവില്ലാതെ രൂപപ്പെടുത്താം.

സിദ്ധാന്തം.ഫംഗ്ഷൻ എങ്കിൽ z= എഫ്(x, വൈ) തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്

ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത്, ഈ മേഖലയിൽ അത് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിന്റെ വ്യത്യാസം ഫോർമുല (7) വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെ പ്രധാന രേഖീയ ഭാഗമാണെന്ന് കാണിക്കാം, അതിനാൽ നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കാര്യത്തിൽ, മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ പ്രധാന, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഇൻക്രിമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ലീനിയർ, ഫംഗ്ഷന്റെ മൊത്തം ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ ഭാഗം.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്, ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തം ഇൻക്രിമെന്റിന് ഫോം ഉണ്ട്

(8)

ഇവിടെ α ഉം β ഉം അനന്തതയാണ്.

ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും എഫ്(x, വൈ) ഒരേ വേരിയബിളുകളുടെ ചില ഫംഗ്ഷനുകളാണ്, അതാകട്ടെ, വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം, അവയെ ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക z=f(x, y)പോയിന്റിൽ അതിന്റെ ആകെ വർദ്ധനവും M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

നിർവ്വചനം. നമ്പറുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ പിഒപ്പം ക്യുമൊത്തം ഇൻക്രിമെന്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

എവിടെ ഒപ്പം ε→ 0 ചെയ്തത് Δρ→ 0 , പിന്നെ എക്സ്പ്രഷൻ PΔx + QΔyഫംഗ്ഷന്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു z=f(x,y)പോയിന്റിൽ M0 (x0,y0).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ പൂർണ്ണ വർദ്ധനവ് രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ആദ്യ ഭാഗം PΔx + QΔyസംബന്ധിച്ച് രേഖീയമാണ് Δxഒപ്പം Δy, രണ്ടാമത്തേത് താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അനന്തമായ ഉയർന്ന ക്രമമാണ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യത്യാസം z=f(x,y)കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു dz, അതാണ്

dz = PΔx+QΔy.

ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ആ പോയിന്റിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം. എങ്കിൽ u=f(M)ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വേർതിരിക്കാം M0, അപ്പോൾ അത് അതിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും.

അഭിപ്രായം. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ച അതിന്റെ വ്യത്യാസത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണം. തുടർച്ചയായി (0,0) , എന്നാൽ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല - നിലവിലില്ല. അതുപോലെ, സംബന്ധിച്ച് ഭാഗികമായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല വൈ. അതിനാൽ, പ്രവർത്തനം വ്യത്യസ്തമല്ല.

സിദ്ധാന്തം [വ്യത്യാസത്തിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ]. എങ്കിൽ z=f(x,y)ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വേർതിരിക്കാം M0, തുടർന്ന് ഇതിന് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് xഒപ്പം വൈ, ഒപ്പം

f′ x (x 0 ,y 0) = പി, f′ y (x 0, y 0) = Q.

അഭിപ്രായം. ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തത പിന്തുടരുന്നില്ല. ഉദാഹരണം:

നമുക്ക് ഉണ്ട് , എന്നാൽ ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയായതല്ല, അതിനാൽ ഇത് വ്യത്യസ്തമല്ല.

സിദ്ധാന്തം [വ്യത്യാസത്തിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥ]. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആദ്യ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളാണെങ്കിൽ z=f(x,y)പോയിന്റിന്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു M0 (x0,y0)പോയിന്റിൽ തുടർച്ചയായും M0, അപ്പോൾ തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉണ്ട്.

അഭിപ്രായം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

എവിടെ ε→ 0 ചെയ്തത് Δρ→ 0 . തൽഫലമായി,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

ഈ ഫോർമുല ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്ഥിരമായി Δxഒപ്പം Δyമൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്നത് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ് xഒപ്പം വൈ:

ഇടാം dx=Δx, dy=Δyഈ അളവുകളെ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുക.

അപ്പോൾ നമുക്ക് ഫോർമുല ലഭിക്കും

അതായത്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ, ആദ്യത്തെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ അനുബന്ധ ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ നിർവചിക്കുകയും സമാനമായ രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എങ്കിൽ u=f(x, y, z)അക്കങ്ങളും ഉണ്ട് പി, ക്യു, ആർഅത്തരം

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0ചെയ്തത് δρ→ 0 ,

അപ്പോൾ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ എക്സ്പ്രഷൻ ആണ്

du = PΔx+QΔy+RΔz.

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ തുടർച്ചയായതാണെങ്കിൽ, പിന്നെ

എവിടെ dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

നിർവ്വചനം. ചില ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തം സെക്കൻഡ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ അതിന്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യലാണ്.

എങ്കിൽ z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, പിന്നെ

ടാൻജെന്റ് തലവും ഉപരിതലവും സാധാരണമാണ്

ഉപരിതലം പരിഗണിക്കുക എസ്, സമവാക്യം നൽകിയത്

z=f(x, y).

അനുവദിക്കുക f(x, y)ചില ഡൊമെയ്‌നുകളിൽ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. പരിഗണിക്കുക M 0 (x 0 , y 0).

- പോയിന്റിലെ ടാൻജെന്റിന്റെ ചരിവ് M0വിമാനം വഴി ഉപരിതലത്തിന്റെ വിഭാഗത്തിലേക്ക് y=y0, അതായത്, വരിയിലേക്ക് z=f(x,y 0). ഈ വരിയുടെ സ്പർശം ഇതാണ്:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

അതുപോലെ, ഒരു വിമാനം വഴി ഒരു വിഭാഗം x=x0സമവാക്യം നൽകുന്നു

z-z 0 =f′ y (x 0, y 0)(y-y 0), x=x 0.

ഈ രണ്ട് വരികളും അടങ്ങുന്ന വിമാനത്തിന് സമവാക്യമുണ്ട്

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

ഉപരിതലത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് തലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എസ്പോയിന്റിൽ P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

ടാൻജെന്റ് പ്ലെയിൻ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക

z-z 0 =df.

അങ്ങനെ, മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം: ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഡിഫറൻഷ്യൽ M0ഇൻക്രിമെന്റിനായി (x-x 0, y-y 0)ഉപരിതലത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് പ്ലെയിനിന്റെ ആപ്ലിക്കേഷൻ പോയിന്റിന്റെ വർദ്ധനവാണ് z=f(x,y)പോയിന്റിൽ (x0, y0)അതേ ഇൻക്രിമെന്റുകൾക്കായി.

ടാൻജെന്റ് പ്ലെയിനിന് പോയിന്റിൽ ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉണ്ട് (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖ P0ഒരു ദിശ വെക്‌ടറും ഉണ്ട് \vec(n), ഉപരിതലത്തിലേക്ക് സാധാരണ എന്ന് വിളിക്കുന്നു z=f(x,y)ഈ അവസരത്തിൽ. അവളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഇവയാണ്: