ഒരു സംഖ്യാരേഖയിൽ ഡോട്ടുകളാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ചിത്രീകരണം. സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് (സംഖ്യയുടെ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം), നിർവചനങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഗുണവിശേഷതകൾ

$R$ എന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകളാൽ രൂപപ്പെട്ടതാണെന്ന് നമുക്കറിയാം.

യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെ എല്ലായ്പ്പോഴും ദശാംശങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (പരിമിതമായ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ ആനുകാലികം).

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ അനന്തവും എന്നാൽ ആവർത്തിക്കാത്തതുമായ ദശാംശങ്ങളായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

$R$ എന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ $-\infty $, $+\infty $ എന്നീ ഘടകങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിനായി അസമത്വങ്ങൾ $-\infty

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിനുള്ള വഴികൾ പരിഗണിക്കുക.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ

രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും ഒരു തിരശ്ചീന ഫ്രാക്ഷണൽ ബാറും ഉപയോഗിച്ചാണ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എഴുതുന്നത്. ഫ്രാക്ഷണൽ ബാർ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ലൈനിന് താഴെയുള്ള സംഖ്യ ഡിനോമിനേറ്റർ (ഡിവൈസർ), ലൈനിന് മുകളിലുള്ള സംഖ്യ ന്യൂമറേറ്റർ (വിഭജിക്കാവുന്നത്) ആണ്.

നിർവ്വചനം

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ അതിനെ ശരിയായി വിളിക്കുന്നു. നേരെമറിച്ച്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ അതിനെ അനുചിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, ലളിതവും പ്രായോഗികമായി വ്യക്തവും താരതമ്യ നിയമങ്ങളുണ്ട് ($m$,$n$,$p$ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്):

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, വലിയ സംഖ്യയുള്ള ഒന്ന് വലുതാണ്, അതായത് $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ ന് $m>n$;
ഒരേ സംഖ്യകളുള്ള രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, ചെറിയ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ളത് വലുതാണ്, അതായത് $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ m-ന്
ശരിയായ അംശം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവാണ്; അനുചിതമായ അംശം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്; ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായ ഒരു അംശം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്;
ഏതൊരു അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയും ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയേക്കാൾ വലുതാണ്.

ദശാംശ സംഖ്യകൾ

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയുടെ (ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ) നൊട്ടേഷന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: പൂർണ്ണസംഖ്യ, ദശാംശ പോയിന്റ്, ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം. ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ "കോണിനെ" ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ദശാംശ നൊട്ടേഷൻ ലഭിക്കും. ഇത് ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയിലോ അനന്തമായ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയിലോ ഉണ്ടാകാം.

നിർവ്വചനം

ഫ്രാക്ഷണൽ അക്കങ്ങളെ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷമുള്ള ആദ്യ അക്കത്തെ പത്താമത്തെ അക്കം, രണ്ടാമത്തേത് - നൂറാമത്തെ അക്കം, മൂന്നാമത്തേത് - ആയിരത്തിലൊന്ന് അക്കം എന്നിങ്ങനെ വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

3.74 എന്ന ദശാംശ സംഖ്യയുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

ദശാംശ സംഖ്യ റൗണ്ട് ചെയ്യാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏത് അക്കത്തിലേക്കാണ് റൗണ്ടിംഗ് നടത്തുന്നത് എന്ന് നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കണം.

റൗണ്ടിംഗ് നിയമം ഇപ്രകാരമാണ്:

ഈ അക്കത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും പൂജ്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (ഈ അക്കങ്ങൾ ദശാംശ ബിന്ദുവിന് മുമ്പാണെങ്കിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും (ഈ അക്കങ്ങൾ ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷമാണെങ്കിൽ);
തന്നിരിക്കുന്ന അക്കത്തിന് താഴെയുള്ള ആദ്യ അക്കം 5-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, ഈ അക്കത്തിന്റെ അക്കം മാറ്റില്ല;
തന്നിരിക്കുന്ന അക്കത്തിന് ശേഷമുള്ള ആദ്യ അക്കം 5 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ഈ അക്കത്തിന്റെ അക്കം ഒന്നായി വർദ്ധിപ്പിക്കും.

ഉദാഹരണം 2

നമുക്ക് 17302 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള ആയിരം: 17000 ആയി റൗണ്ട് ചെയ്യാം.
നമുക്ക് 17378 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള നൂറിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 17400.
നമുക്ക് 17378.45 എന്ന സംഖ്യയെ പത്തായി റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 17380.
നമുക്ക് 378.91434 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള നൂറിലൊന്നിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 378.91.
നമുക്ക് 378.91534 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള നൂറിലൊന്നിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 378.92.

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയെ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

കേസ് 1

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യ അവസാനിക്കുന്ന ദശാംശമാണ്.

പരിവർത്തന രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2

ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി നേടുക:

ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

കേസ് 2

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യ അനന്തമായ ആവർത്തന ദശാംശമാണ്.

ഒരു ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ആനുകാലിക ഭാഗം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി കണക്കാക്കാം എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പരിവർത്തന രീതി.

ഉദാഹരണം 4

$0,\ഇടത്(74\വലത്)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം $a=0.74$ ആണ്, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ $q=0.01$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 5

$0.5\ഇടത്(8\വലത്)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം $a=0.08$ ആണ്, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ $q=0.1$ ആണ്.

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക $s=\frac(a)(1-q) $ എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്, ഇവിടെ $a$ എന്നത് ആദ്യ പദവും $q$ എന്നത് പുരോഗതിയുടെ ഛേദവും $ \ഇടത് (0

ഉദാഹരണം 6

നമുക്ക് അനന്തമായ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ $0,\ഇടത്(72\വലത്)$ ഒരു സാധാരണ ഒന്നാക്കി മാറ്റാം.

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം $a=0.72$ ആണ്, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ $q=0.01$ ആണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. അതിനാൽ $0,\ഇടത്(72\വലത്)=\frac(8)(11) $.

ഉദാഹരണം 7

നമുക്ക് അനന്തമായ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ $0.5\ഇടത്(3\വലത്)$ ഒരു സാധാരണ ഒന്നാക്കി മാറ്റാം.

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം $a=0.03$ ആണ്, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ $q=0.1$ ആണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1 )(30)$.

അതിനാൽ $0.5\ഇടത്(3\വലത്)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ നമ്പർ ലൈനിലെ പോയിന്റുകൾ കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ അക്ഷത്തെ അനന്തമായ നേർരേഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഉത്ഭവം (പോയിന്റ് $O$), പോസിറ്റീവ് ദിശ (ഒരു അമ്പടയാളത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു), സ്കെയിൽ (മൂല്യങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നതിന്) എന്നിവ തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു.

എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കുമിടയിൽ ഒന്നിൽ നിന്ന് ഒരു കത്തിടപാടുകൾ ഉണ്ട്: ഓരോ പോയിന്റും ഒരു സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, മറിച്ച്, ഓരോ സംഖ്യയും ഒരൊറ്റ പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സംഖ്യാ അച്ചുതണ്ട് തുടർച്ചയായതും അനന്തവുമാകുന്നത് പോലെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം തുടർച്ചയായതും അനന്തവുമാണ്.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന്റെ ചില ഉപഗണങ്ങളെ സംഖ്യാ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയിലെ ഘടകങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന R$-ലെ $x സംഖ്യകളാണ്. $a\in R$, $b\in R$, $a\le b$ എന്നിവ അനുവദിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിടവുകളുടെ തരങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കാം:

ഇടവേള $\ഇടത്(a,\; b\right)$. അതേ സമയം $ എ
സെഗ്മെന്റ് $\ഇടത്$. മാത്രമല്ല, $a\le x\le b$.
പകുതി സെഗ്‌മെന്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പകുതി ഇടവേളകൾ $\ഇടത്$. അതേ സമയം $ a \le x
അനന്തമായ സ്പാനുകൾ, ഉദാ. $a

ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരുതരം ഇടവേളയും വലിയ പ്രാധാന്യം അർഹിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റ് $x_(0) \ in R$ എന്നതിന്റെ അയൽപക്കം $\ഇടത്(a,\; b\right)$ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഇടവേളയാണ്, അതിൽ തന്നെ ഈ പോയിന്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത് $a 0$ - 10th ആരം.

സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം

ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം (അല്ലെങ്കിൽ മോഡുലസ്) $\left|x\right|$ ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്, ഇത് ഫോർമുലയാൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: $\left|x\right|=\left\(\ ആരംഭിക്കുക(അറേ)(സി) (\; \; x\; \; (\rm ഓൺ)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm ഓൺ)\; \; x

ജ്യാമിതീയമായി, $\left|x\right|$ എന്നാൽ യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ടിലെ $x$, 0 എന്നീ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

$\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
തുകയുടെ മൊഡ്യൂളിനും രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസിനും, അസമത്വങ്ങൾ $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ഇടത്|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ കൂടാതെ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ ഇടത്|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മോഡുലസും രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ മോഡുലസും $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$, $\ഇടത് എന്നീ തുല്യതകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

$a>0$ എന്ന ഏകപക്ഷീയ സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യത്തിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്ന ജോഡി അസമത്വങ്ങളുടെ തുല്യതയും ഒരാൾക്ക് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും:

എങ്കിൽ $ \ഇടത്|x\വലത്|
$\left|x\right|\le a$ എങ്കിൽ $-a\le x\le a$;
$\left|x\right|>a$ ആണെങ്കിൽ ഒന്നുകിൽ $xa$;
$\left|x\right|\ge a$ എങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ $x\le -a$ അല്ലെങ്കിൽ $x\ge a$.

ഉദാഹരണം 8

അസമത്വം പരിഹരിക്കുക $\left|2\cdot x+1\right|

ഈ അസമത്വം $-7 അസമത്വങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $-8

ഒരു സംഖ്യാ രേഖ, ഒരു സംഖ്യാ അക്ഷം, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു വരയാണ്. നേർരേഖയിൽ, ഉത്ഭവം തിരഞ്ഞെടുത്തു - പോയിന്റ് O (പോയിന്റ് O 0 യെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു), പോയിന്റ് L, യൂണിറ്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. പോയിന്റ് L സാധാരണയായി O എന്ന പോയിന്റിന്റെ വലതുവശത്താണ് നിൽക്കുന്നത്. OL സെഗ്‌മെന്റിനെ യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പോയിന്റ് O യുടെ വലതുവശത്തുള്ള പോയിന്റുകൾ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഡോട്ടിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഡോട്ടുകൾ. ഓ, നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ചിത്രീകരിക്കുക. പോയിന്റ് X ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ x, ദൂരം OX = x. പോയിന്റ് X ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ x, ദൂരം OX = - x.

ഒരു നേർരേഖയിൽ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം കാണിക്കുന്ന സംഖ്യയെ ഈ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിന്റ് V ന് 2 ന്റെ കോർഡിനേറ്റ് ഉണ്ട്, പോയിന്റ് H -2.6 കോർഡിനേറ്റ് ഉണ്ട്.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂലസ് ഈ സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ് ഉത്ഭവം. x എന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നിശ്ചയിക്കുക, അങ്ങനെ: | x |. വ്യക്തമായും, | 0 | = 0.

x എന്ന സംഖ്യ 0-നേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ | x | = x, x 0-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ | x | = - x. മൊഡ്യൂളിന്റെ ഈ സവിശേഷതകളിൽ, മൊഡ്യൂളുമായുള്ള നിരവധി സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും പരിഹാരം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

ഉദാഹരണം: സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക | x - 3 | = 1.

പരിഹാരം: രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക - ആദ്യ കേസ്, എപ്പോൾ x -3 > 0, രണ്ടാമത്തെ കേസ്, എപ്പോൾ x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ | x - 3 | = x - 3.

സമവാക്യം x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു - ആദ്യ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക.

2. x -3 0, x 3.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ | x - 3 | = - x + 3

സമവാക്യം x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉത്തരം: x = 4, x = -2.

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ.

ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം എന്നത് ഗണിത ഓപ്പറേറ്റർമാരും ബ്രാക്കറ്റുകളും ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ശേഖരമാണ്.
സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം ഒരു സംഖ്യയാണ്.
സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിലാണ് നടത്തുന്നത്:

1. ബ്രാക്കറ്റിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

2. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

3. എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ

4. ഗുണനവും വിഭജനവും.

5. കൂട്ടലും കുറയ്ക്കലും.

6. ഒരേ തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് നടത്തുന്നു.

അതിനാൽ ആദ്യ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം 12.3 എന്ന സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കും
രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും:

1. ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക - ആദ്യം ഞങ്ങൾ 2 മൂന്നാം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 11 കുറയ്ക്കുക:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. 3 നെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് തുടർച്ചയായി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക:

12 + (-3) = 9.
ഗണിത ഓപ്പറേറ്റർമാരും ബ്രാക്കറ്റുകളും ബന്ധിപ്പിച്ച ഒന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകൾ, വേരിയബിളുകൾ, ഫംഗ്‌ഷനുകൾ എന്നിവയുടെ ശേഖരമാണ് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം. വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവിടെയുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്തുകൊണ്ട് വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ് - പരാൻതീസിസ്, പരാൻതീസിസ് വിപുലീകരണം, ഗ്രൂപ്പിംഗ്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കൽ, സമാനമായവ കുറയ്ക്കൽ മുതലായവ. കൂടാതെ, പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിന്, വിവിധ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, വിവിധ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ മുതലായവ.

ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ.

ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളാൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ബീജഗണിത അളവുകളാണ് (അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും) ബീജഗണിത പദപ്രയോഗം: സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, വിഭജനം, അതുപോലെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്‌ത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് ഉയർത്തുക (കൂടാതെ, റൂട്ടും എക്‌സ്‌പോണന്റും ആയിരിക്കണം. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ) ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമത്തിന്റെ അടയാളങ്ങളും (സാധാരണയായി വിവിധ തരത്തിലുള്ള ബ്രാക്കറ്റുകൾ). ബീജഗണിത പദപ്രയോഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായിരിക്കണം.

ബീജഗണിത പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം:

"ബീജഗണിത പദപ്രയോഗം" എന്നത് ഒരു വാക്യഘടനയാണ്, അതായത്, ചില വ്യാകരണ നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ മാത്രം അത് ബീജഗണിത പദപ്രയോഗമാണ് (ഔപചാരിക വ്യാകരണം കാണുക). ബീജഗണിത പദപ്രയോഗത്തിലെ അക്ഷരങ്ങളെ വേരിയബിളുകളായി കണക്കാക്കിയാൽ, ബീജഗണിത പദപ്രയോഗം ബീജഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അർത്ഥം നേടുന്നു.

നമ്പർ 1. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

 ചിട്ട . ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്കും അവയ്ക്കിടയിൽ മൂന്നിൽ ഒന്ന് മാത്രം അദ്വിതീയമായി തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു നിയമമുണ്ട്. ബന്ധങ്ങൾ: "", "" അഥവാ "". ഈ നിയമത്തെ വിളിക്കുന്നു ഓർഡർ നിയമംകൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അതേ ബന്ധത്താൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു; രണ്ട് പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ രണ്ട് നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ അതേ ബന്ധത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; പെട്ടെന്ന് നെഗറ്റീവ് അല്ല, മറിച്ച് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഗ്രഹം

 കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനം . സംഗ്രഹ നിയമം, ഇത് അവരെ ചില യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുമായുള്ള കത്തിടപാടുകളിൽ ഇടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ തന്നെ വിളിക്കുന്നു തുക അക്കങ്ങൾ u സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അത്തരമൊരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു സംഗ്രഹം. സംഗ്രഹ നിയമത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: .

 ഗുണന പ്രവർത്തനം . ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്കും ഒരു വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട് ഗുണന നിയമം, ഇത് അവരെ ചില യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുമായുള്ള കത്തിടപാടുകളിൽ ഇടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ തന്നെ വിളിക്കുന്നു ജോലി അക്കങ്ങൾ ii സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അത്തരമൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ഗുണനം. ഗുണന നിയമം ഇപ്രകാരമാണ്: .

 ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി ഓർഡർ ബന്ധങ്ങൾ.ഏതെങ്കിലും ട്രിപ്പിൾ യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്ക് , കുറവും കുറവുമാണെങ്കിൽ കുറവ്, തുല്യവും തുല്യവുമാണെങ്കിൽ, തുല്യവും.

 കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.യുക്തിസഹമായ പദങ്ങളുടെ സ്ഥലങ്ങളിലെ മാറ്റത്തിൽ നിന്ന്, തുക മാറില്ല.

 സഹവാസം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.മൂന്ന് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്ന ക്രമം ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല.

 ലഭ്യതപൂജ്യം . സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ മറ്റെല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെയും സംരക്ഷിക്കുന്ന ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ 0 ഉണ്ട്.

 വിപരീത സംഖ്യകളുടെ സാന്നിധ്യം.ഏതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയ്ക്കും വിപരീത അനുപാത സംഖ്യയുണ്ട്, അത് സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ 0 നൽകുന്നു.

 ഗുണനത്തിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി.യുക്തിസഹമായ ഘടകങ്ങളുടെ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ, ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല.

 ഗുണനത്തിന്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി.മൂന്ന് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ച ക്രമം ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല.

 ലഭ്യതയൂണിറ്റുകൾ . ഗുണിക്കുമ്പോൾ മറ്റെല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെയും സംരക്ഷിക്കുന്ന ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ 1 ഉണ്ട്.

 ലഭ്യതപരസ്പര സംഖ്യകൾ . പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതൊരു റേഷണൽ സംഖ്യയ്ക്കും വിപരീത അനുപാത സംഖ്യയുണ്ട്, ഗുണനം 1 നൽകുന്നു.

 വിതരണക്ഷമത സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗുണനം.ഗുണന പ്രവർത്തനം വിതരണ നിയമത്തിലൂടെയുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:

 കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെ പ്രവർത്തനവുമായി ഓർഡർ ബന്ധത്തിന്റെ കണക്ഷൻ.യുക്തിസഹമായ അസമത്വത്തിന്റെ ഇടത്തും വലത്തും ഒരേ യുക്തിസഹ സംഖ്യ ചേർക്കാം.

 ഗുണനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനവുമായി ഓർഡർ ബന്ധത്തിന്റെ കണക്ഷൻ.യുക്തിസഹമായ അസമത്വത്തിന്റെ ഇടതും വലതും ഒരേ പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം.

 ആർക്കിമിഡീസിന്റെ സിദ്ധാന്തം . യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ എന്തുതന്നെയായാലും, നിങ്ങൾക്ക് അവയുടെ തുക കവിയുന്ന നിരവധി യൂണിറ്റുകൾ എടുക്കാം.

നമ്പർ 2. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്.

നിർവ്വചനം . ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് റിയൽ നമ്പർ x ന്റെ മോഡുലസ് സംഖ്യ തന്നെയാണ്: | x | = x; ഒരു നെഗറ്റീവ് റിയൽ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് x വിപരീത സംഖ്യയാണ്: I x | = - x.

ചുരുക്കത്തിൽ, ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

2. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ R സെറ്റിലേക്കും അതിന്റെ ജ്യാമിതീയത്തിലേക്കും മടങ്ങാം മോഡലുകൾ- നമ്പർ ലൈൻ. ഞങ്ങൾ വരിയിൽ a, b എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു (രണ്ട് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ a, b), (a, b) പോയിന്റുകൾ a, b എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം (- ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമാല "ro" എന്ന അക്ഷരം) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ദൂരം b - a, b > a (ചിത്രം 101) ന് തുല്യമാണ്, അത് a - b ന് തുല്യമാണ്, a > b ആണെങ്കിൽ (ചിത്രം 102), ഒടുവിൽ, a = b ആണെങ്കിൽ ഇത് പൂജ്യമാണ്.

മൂന്ന് കേസുകളും ഒരു ഫോർമുലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു:

b) സമവാക്യം | x + 3.2 | = 2 രൂപത്തിൽ തിരുത്തിയെഴുതുക | x - (- 3.2) | \u003d 2 ഉം അതിലും കൂടുതലും (x, - 3.2) \u003d 2. പോയിന്റിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്ത കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട് - 3.2 2 ന് തുല്യമായ അകലത്തിൽ. ഇവ പോയിന്റുകളാണ് - 5.2, - 1.2 (ചിത്രം. . 104). അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് ഉണ്ട് റൂട്ട്: -5.2 ഒപ്പം -1.2.

№4.യഥാർത്ഥ നമ്പറുകളുടെ സെറ്റ്

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടവും അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണവും ചേരുന്നതിനെ ഗണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സാധുവായ (അഥവാ മെറ്റീരിയൽ ) സംഖ്യകൾ . യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ആർ. സ്പഷ്ടമായി, .

യഥാർത്ഥ നമ്പറുകൾ പ്രദർശിപ്പിക്കും സംഖ്യാ അക്ഷം ഓഡോട്ടുകൾ (ചിത്രം). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ അക്ഷത്തിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും ഒരു നിശ്ചിത യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി യോജിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, "യഥാർത്ഥ നമ്പർ" എന്ന വാക്കുകൾക്ക് പകരം "പോയിന്റ്" എന്ന് പറയാം.

നമ്പർ 5. സംഖ്യ വിടവുകൾ.

വിടവ് തരം	ജ്യാമിതീയ ചിത്രങ്ങൾ	പദവി	അസമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് എഴുതുന്നത്
ഇടവേള

പകുതി ഇടവേള
പകുതി ഇടവേള


തുറന്ന ബീം
തുറന്ന ബീം

നമ്പർ 6. സംഖ്യാ പ്രവർത്തനം.

ഓരോ നമ്പറിനും ഒരൊറ്റ നമ്പർ നൽകിയാൽ ഒരു നമ്പർ സെറ്റ് നൽകട്ടെ വൈ, അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് സെറ്റിൽ പറയുന്നു ഡിസംഖ്യാപരമായ പ്രവർത്തനം :

വൈ = എഫ് (x),

ഒരുപാട് ഡിവിളിച്ചു പ്രവർത്തന വ്യാപ്തി സൂചിപ്പിച്ചു ഡി (എഫ് (x)). എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും കൂട്ടം എഫ് (x), എവിടെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തന ശ്രേണി സൂചിപ്പിച്ചു ഇ (എഫ് (x)).

നമ്പർ xപലപ്പോഴും വിളിക്കാറുണ്ട് ഫംഗ്ഷൻ വാദം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും സംഖ്യയും വൈ- ആശ്രിത വേരിയബിൾ അല്ലെങ്കിൽ, വാസ്തവത്തിൽ, പ്രവർത്തനം വേരിയബിൾ x. മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തന മൂല്യം ഒരു ഘട്ടത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ സജ്ജമാക്കാൻ എഫ്, നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1) അതിന്റെ നിർവചന മേഖല ഡി (എഫ് (x));

2) നിയമം വ്യക്തമാക്കുക എഫ്, അതനുസരിച്ച് ഓരോ മൂല്യവും ചില മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു വൈ = എഫ് (x).

№7. വിപരീത പ്രവർത്തനം,

വിപരീത പ്രവർത്തനം

വാദത്തിന്റെയും പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും റോളുകൾ വിപരീതമാണെങ്കിൽ, പിന്നെ xയുടെ ഒരു പ്രവർത്തനമായി മാറുന്നു വൈ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ച് ഒരാൾ സംസാരിക്കുന്നു വിപരീത പ്രവർത്തനം.നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക:

വി = യു 2 ,

എവിടെ യു- വാദം, എ വി- പ്രവർത്തനം. നമ്മൾ അവരുടെ റോളുകൾ മാറ്റിമറിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും യു ഒരു ചടങ്ങായി വി :

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളിലെയും ആർഗ്യുമെന്റിനെ ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ x , ഒപ്പം ഫംഗ്‌ഷൻ വഴിയും വൈ, അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

അവ ഓരോന്നും മറ്റൊന്നിന്റെ വിപരീതമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരസ്പരം വിപരീതമാണ്:

1) പാപം xആർക്‌സിനും x, എങ്കിൽ മുതൽ വൈ= പാപം x, പിന്നെ x= ആർക്‌സിൻ വൈ;

2) കോസ് xആർക്കോസും x, എങ്കിൽ മുതൽ വൈ= കോസ് x, പിന്നെ x= ആർക്കോസ് വൈ;

3) ടാൻ xആർക്റ്റാൻ എന്നിവരും x, എങ്കിൽ മുതൽ വൈ= ടാൻ x, പിന്നെ x= ആർക്റ്റാൻ വൈ;

4) ഇ xഒപ്പം എൽഎൻ x, എങ്കിൽ മുതൽ വൈ= ഇ x, പിന്നെ x=ln വൈ.

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ- ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് വിപരീതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ. വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളിൽ സാധാരണയായി ആറ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

ആർക്ക്സൈൻ(ചിഹ്നം: ആർക്‌സിൻ)

ആർക്ക് കോസൈൻ(ചിഹ്നം: ആർക്കോസ്)

ആർക്ക് ടാൻജെന്റ്(പദവി: arctg; വിദേശ സാഹിത്യത്തിൽ arctan)

ആർക്ക് ടാൻജെന്റ്(പദവി: arcctg; വിദേശ സാഹിത്യത്തിൽ ആർക്കോട്ടൻ)

ആർക്ക്സെക്കന്റ്(ചിഹ്നം: ആർക്ക്സെക്ക്)

ആർക്കോസെക്കന്റ്(പദവി: ആർക്കോസെക്; വിദേശ സാഹിത്യത്തിൽ arccsc)

№8. അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ

വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഒന്നിലധികം മൂല്യമുള്ളവയാണ് (അനന്തമായി പ്രാധാന്യമുള്ളത്), അവയ്‌ക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, പ്രധാന മൂല്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

№9. സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ

ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: a+ ദ്വി. ഇവിടെ എഒപ്പം ബി – യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, എ ഐ – സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്, അതായത്. ഐ 2 = –1. നമ്പർ എ വിളിച്ചു abscissa, എ ബി – ഓർഡിനേറ്റ് ചെയ്യുകസങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ a+ ബി.ഐ. രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ a+ ദ്വി ഒപ്പം എ – ദ്വി വിളിച്ചു സംയോജിപ്പിക്കുകസങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ ഒരു നേർരേഖയിലുള്ള പോയിന്റുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇവിടെ പോയിന്റ് A സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ബി പോയിന്റ് -5 സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരേ സംഖ്യകളെ OA, OB എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളാലും പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അവയുടെ നീളം മാത്രമല്ല, ദിശയും കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

സംഖ്യാരേഖയിലെ ഓരോ പോയിന്റും M ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു (ഭാഗം OM നീളമുള്ള ഒരു യൂണിറ്റിന് അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ യുക്തിസഹവും അത് അനുരൂപമല്ലെങ്കിൽ യുക്തിരഹിതവുമാണ്). അതിനാൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്ക് സംഖ്യാരേഖയിൽ ഇടമില്ല.

എന്നാൽ സംഖ്യാ തലത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വിമാനത്തിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, രണ്ട് അക്ഷങ്ങളിലും ഒരേ സ്കെയിൽ.

കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ a + b iപോയിന്റ് M പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിൽ abscissa x abscissa ന് തുല്യമാണ് എസങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ, y യുടെ ഓർഡിനേറ്റ് ഓർഡിനേറ്റിന് തുല്യമാണ് ബിസങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന് ഞങ്ങൾ വിവിധ നിർവചനങ്ങൾ നൽകും, നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിവിധ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. അതിനുശേഷം, മൊഡ്യൂളിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും ന്യായീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ലേഖനത്തിന്റെ അവസാനം, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കുകയും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് - നിർവചനം, നൊട്ടേഷൻ, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ആദ്യം ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു മോഡുലസ് പദവി. a എന്ന സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂൾ എന്ന് എഴുതപ്പെടും, അതായത്, സംഖ്യയുടെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളിന്റെ അടയാളം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ലംബ വരകൾ ഇടും. ഒന്നുരണ്ടു ഉദാഹരണങ്ങൾ പറയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, modulo -7 എന്ന് എഴുതാം; മൊഡ്യൂൾ 4,125 എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, മൊഡ്യൂൾ എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

മൊഡ്യൂളിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന്റെ ഘടകഭാഗങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, അതിനാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, യുക്തിസഹവും അവിഭാജ്യവുമായ സംഖ്യകൾ എന്നിവയെയാണ്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിനെ കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും.

നിർവ്വചനം.

എ യുടെ മോഡുലസ്ഒന്നുകിൽ a എന്ന സംഖ്യയാണ്, a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യ -a, a എന്ന സംഖ്യയുടെ വിപരീതം, a നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ 0, a=0 .

ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ശബ്ദ നിർവ്വചനം പലപ്പോഴും ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു , ഈ നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് എങ്കിൽ a>0 , if a=0 , and if a<0 .

റെക്കോർഡ് കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം . ഈ നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് if (a 0-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ്), എങ്കിൽ a എന്നാണ്<0 .

ഒരു റെക്കോർഡും ഉണ്ട് . ഇവിടെ, a=0 എന്ന സന്ദർഭം പ്രത്യേകം വിശദീകരിക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് , എന്നാൽ −0=0 ഉണ്ട്, കാരണം പൂജ്യം അതിന് വിപരീതമായ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

കൊണ്ടുവരാം ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾതന്നിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തോടൊപ്പം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 15 ന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ കണ്ടെത്താം. കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. സംഖ്യ 15 പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, അതിന്റെ മോഡുലസ്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്, . ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്താണ്? ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായതിനാൽ, അതിന്റെ മോഡുലസ് സംഖ്യയുടെ എതിർ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് സംഖ്യ . ഈ വഴിയിൽ, .

ഈ ഖണ്ഡികയുടെ സമാപനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു നിഗമനം നൽകുന്നു, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കാൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് അതിന്റെ ചിഹ്നം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ മൊഡ്യൂലസിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഇത് വളരെ വ്യക്തമായി കാണാം. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസും വിളിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് ശബ്ദമുള്ള പ്രസ്താവന വിശദീകരിക്കുന്നു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം. അതിനാൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂളും ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യവും ഒന്നുതന്നെയാണ്.

ദൂരമെന്ന നിലയിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്

ജ്യാമിതീയമായി, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ഇങ്ങനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം ദൂരം. കൊണ്ടുവരാം ദൂരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നിർണ്ണയിക്കൽ.

നിർവ്വചനം.

എ യുടെ മോഡുലസ്കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് a എന്ന സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്.

ഈ നിർവചനം ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഈ പോയിന്റ് വിശദീകരിക്കാം. ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. പൂജ്യം റഫറൻസ് പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ കോർഡിനേറ്റ് 0 ഉള്ള പോയിന്റിൽ നിന്ന് റഫറൻസ് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഒയിൽ നിന്ന് പോയിന്റിലേക്ക് എത്താൻ ഒരൊറ്റ സെഗ്‌മെന്റും ഒരു സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സെഗ്‌മെന്റും ആവശ്യമില്ല. കോർഡിനേറ്റ് 0). ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് നെഗറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റിന്റെ എതിർ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കാരണം ഇത് ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് വിപരീത സംഖ്യയായ പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 9 എന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് 9 ആണ്, കാരണം ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് 9 ഉള്ള പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം ഒമ്പത് ആണ്. നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം. കോർഡിനേറ്റ് -3.25 ഉള്ള പോയിന്റ് O പോയിന്റിൽ നിന്ന് 3.25 അകലെയാണ്, അതിനാൽ .

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസ് നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ് ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ശബ്ദ നിർവചനം.

നിർവ്വചനം.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസ മോഡുലസ് a, b എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിന്റെ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ് a, b .

അതായത്, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ A(a), B(b) എന്നിവയിലെ പോയിന്റുകൾ നൽകിയാൽ, പോയിന്റ് A മുതൽ പോയിന്റ് B വരെയുള്ള ദൂരം a, b സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്. പോയിന്റ് ബി ആയി O (റഫറൻസ് പോയിന്റ്) എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ട് വഴി ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു

ചിലപ്പോൾ കണ്ടെത്തി ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ട് വഴി മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർണ്ണയം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി −30 സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട് . അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ മൂന്നിൽ രണ്ട് മോഡുലസ് കണക്കാക്കുന്നു: .

ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനവും ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. കാണിച്ചു തരാം. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാകട്ടെ, −a നെഗറ്റീവാകട്ടെ. പിന്നെ ഒപ്പം , a=0 ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ .

മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടികൾ

മൊഡ്യൂളിന് നിരവധി സ്വഭാവ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട് - മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടികൾ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അവയിൽ പ്രധാനവും ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നതും നൽകും. ഈ ഗുണങ്ങളെ സാധൂകരിക്കുമ്പോൾ, ദൂരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനത്തെ ഞങ്ങൾ ആശ്രയിക്കും.

ഏറ്റവും വ്യക്തമായ മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം - ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാകരുത്. അക്ഷരരൂപത്തിൽ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടിക്ക് ഏത് സംഖ്യയുടെയും ഫോം ഉണ്ട് a . ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ന്യായീകരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്: ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ദൂരമാണ്, ദൂരം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.

മൊഡ്യൂളിന്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയിലേക്ക് പോകാം. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. പൂജ്യത്തിന്റെ മോഡുലസ് നിർവചനം അനുസരിച്ച് പൂജ്യമാണ്. പൂജ്യം ഉത്ഭവത്തോട് യോജിക്കുന്നു, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ മറ്റൊരു പോയിന്റും പൂജ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഒരൊറ്റ പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതേ കാരണത്താൽ, പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും ഉത്ഭവം അല്ലാതെ മറ്റൊരു പോയിന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഒറിജിനലിൽ നിന്ന് പോയിന്റ് O അല്ലാതെ മറ്റേതൊരു ബിന്ദുവിലേക്കും ഉള്ള ദൂരം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, കാരണം രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ഈ പോയിന്റുകൾ ഒത്തുവന്നാൽ മാത്രം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. പൂജ്യത്തിന്റെ മോഡുലസ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് മുകളിൽ പറഞ്ഞ ന്യായവാദം തെളിയിക്കുന്നു.

നീങ്ങുക. എതിർ സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യ മൊഡ്യൂളുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും a . തീർച്ചയായും, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വിപരീത സംഖ്യകളാണ്, ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്, അതായത് വിപരീത സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ തുല്യമാണ്.

അടുത്ത മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടി ഇതാണ്: രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ ഈ സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതാണ്, . നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ മോഡുലസ് ഒന്നുകിൽ a b if , അല്ലെങ്കിൽ −(a b) if . യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗുണന നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളിയുടെ ഗുണനം ഒന്നുകിൽ a b , , അല്ലെങ്കിൽ -(a b) , if , ഇത് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സ്വത്ത് തെളിയിക്കുന്നു.

a യെ b കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഘടകത്തിന്റെ മോഡുലസ് a യുടെ മോഡുലസിനെ b യുടെ മോഡുലസ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്., അതാണ്, . മൊഡ്യൂളിന്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് ന്യായീകരിക്കാം. ഘടകഭാഗം ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, . മുമ്പത്തെ സ്വത്തിന്റെ ബലത്തിൽ, നമുക്കുണ്ട് . സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനം കാരണം സാധുതയുള്ള തുല്യത ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

ഇനിപ്പറയുന്ന മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടി അസമത്വമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: , a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. എഴുതപ്പെട്ട അസമത്വം മറ്റൊന്നുമല്ല ത്രികോണ അസമത്വം. ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ A(a) , B(b) , C(c) പോയിന്റുകൾ എടുത്ത്, അതേ വരിയിൽ കിടക്കുന്ന ABC ഡീജനറേറ്റ് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസ് സെഗ്മെന്റ് എബിയുടെ നീളത്തിന് തുല്യമാണ്, - സെഗ്മെന്റ് എസിയുടെ നീളം, കൂടാതെ - സെഗ്മെന്റ് സിബിയുടെ നീളം. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശത്തിന്റെ നീളം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുകയിൽ കവിയാത്തതിനാൽ, അസമത്വം അതിനാൽ, അസമത്വവും നിലനിൽക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കപ്പെട്ട അസമത്വം രൂപത്തിൽ വളരെ സാധാരണമാണ് . രേഖാമൂലമുള്ള അസമത്വം സാധാരണയായി മൊഡ്യൂളിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സ്വത്തായി കണക്കാക്കുന്നു: " രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൊഡ്യൂലസ് ഈ സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളിന്റെ ആകെത്തുക കവിയരുത്". എന്നാൽ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് അസമത്വം പിന്തുടരുന്നു, അതിൽ b എന്നതിന് പകരം −b ഇടുകയും c=0 എടുക്കുകയും ചെയ്താൽ.

കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ മോഡുലസ്

കൊടുക്കാം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നിർണ്ണയിക്കൽ. നമുക്ക് നൽകപ്പെടട്ടെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ, ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതിയത് , ഇവിടെ x ഉം y ഉം ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, യഥാക്രമം, തന്നിരിക്കുന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയായ z ന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റാണ്.

നിർവ്വചനം.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് z=x+i y എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് z എന്ന് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ശബ്ദ നിർവചനം ഇങ്ങനെ എഴുതാം .

ബീജഗണിത നൊട്ടേഷനിൽ ഏത് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെയും മോഡുലസ് കണക്കാക്കാൻ ഈ നിർവചനം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണക്കാക്കാം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം , സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം മൈനസ് നാല് ആണ്. പിന്നെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട് .

ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനവുമായി സാമ്യമുള്ള ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ദൂരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ മോഡുലസ് z എന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിന്റെ ആരംഭത്തിൽ നിന്ന് ഈ തലത്തിലെ z എന്ന സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, പോയിന്റ് O മുതൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (x, y) ഉള്ള ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം , അതിനാൽ, , എവിടെ . അതിനാൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ അവസാന നിർവചനം ആദ്യത്തേതുമായി യോജിക്കുന്നു.

ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ, z എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്താണെന്ന് ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കാൻ ഈ നിർവചനം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ. ഇവിടെ . ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് 5 ആണ്, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ആണ്.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെയും അതിന്റെ സങ്കീർണ്ണ സംയോജനത്തിന്റെയും ഗുണനം യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നൽകുന്നതായും കാണാം. ശരിക്കും, . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന് ഒരു നിർവചനം കൂടി നൽകാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ മോഡുലസ് z എന്നത് ഈ സംഖ്യയുടെയും അതിന്റെ സങ്കീർണ്ണ സംയോജനത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന്റെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലമാണ്, അതായത്, .

ഉപസംഹാരമായി, അനുബന്ധ ഉപവിഭാഗത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ മൊഡ്യൂളിന്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

വിലെൻകിൻ എൻ.യാ. മുതലായവ. ഗണിതം. ഗ്രേഡ് 6: വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
മകാരിചെവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക്ക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ബീജഗണിതം: 8 സെല്ലുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
ലണ്ട്സ് ജി.എൽ., എൽസ്ഗോൾട്ട്സ് എൽ.ഇ. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ: സർവ്വകലാശാലകൾക്കുള്ള ഒരു പാഠപുസ്തകം.
പ്രിവലോവ് I.I. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആമുഖം.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിനുള്ള വഴികൾ പരിഗണിക്കുക.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ

നിർവ്വചനം

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, വലിയ സംഖ്യയുള്ള ഒന്ന് വലുതാണ്, അതായത് $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ ന് $m>n$;
ഒരേ സംഖ്യകളുള്ള രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, ചെറിയ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ളത് വലുതാണ്, അതായത് $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ m-ന്
ശരിയായ അംശം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവാണ്; അനുചിതമായ അംശം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്; ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായ ഒരു അംശം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്;
ഏതൊരു അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയും ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയേക്കാൾ വലുതാണ്.

ദശാംശ സംഖ്യകൾ

നിർവ്വചനം

ഉദാഹരണം 1

റൗണ്ടിംഗ് നിയമം ഇപ്രകാരമാണ്:

ഈ അക്കത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും പൂജ്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (ഈ അക്കങ്ങൾ ദശാംശ ബിന്ദുവിന് മുമ്പാണെങ്കിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും (ഈ അക്കങ്ങൾ ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷമാണെങ്കിൽ);
തന്നിരിക്കുന്ന അക്കത്തിന് താഴെയുള്ള ആദ്യ അക്കം 5-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, ഈ അക്കത്തിന്റെ അക്കം മാറ്റില്ല;
തന്നിരിക്കുന്ന അക്കത്തിന് ശേഷമുള്ള ആദ്യ അക്കം 5 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ഈ അക്കത്തിന്റെ അക്കം ഒന്നായി വർദ്ധിപ്പിക്കും.

ഉദാഹരണം 2

നമുക്ക് 17302 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള ആയിരം: 17000 ആയി റൗണ്ട് ചെയ്യാം.
നമുക്ക് 17378 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള നൂറിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 17400.
നമുക്ക് 17378.45 എന്ന സംഖ്യയെ പത്തായി റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 17380.
നമുക്ക് 378.91434 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള നൂറിലൊന്നിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 378.91.
നമുക്ക് 378.91534 എന്ന സംഖ്യയെ അടുത്തുള്ള നൂറിലൊന്നിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യാം: 378.92.

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയെ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

കേസ് 1

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യ അവസാനിക്കുന്ന ദശാംശമാണ്.

പരിവർത്തന രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2

ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി നേടുക:

ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

കേസ് 2

ഒരു ദശാംശ സംഖ്യ അനന്തമായ ആവർത്തന ദശാംശമാണ്.

ഉദാഹരണം 4

ഉദാഹരണം 5

ഉദാഹരണം 6

ഉദാഹരണം 7

അതിനാൽ $0.5\ഇടത്(3\വലത്)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ നമ്പർ ലൈനിലെ പോയിന്റുകൾ കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഇടവേള $\ഇടത്(a,\; b\right)$. അതേ സമയം $ എ
സെഗ്മെന്റ് $\ഇടത്$. മാത്രമല്ല, $a\le x\le b$.
പകുതി സെഗ്‌മെന്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പകുതി ഇടവേളകൾ $\ഇടത്$. അതേ സമയം $ a \le x
അനന്തമായ സ്പാനുകൾ, ഉദാ. $a

സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം

കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

$\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
തുകയുടെ മൊഡ്യൂളിനും രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസിനും, അസമത്വങ്ങൾ $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ഇടത്|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ കൂടാതെ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ ഇടത്|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മോഡുലസും രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ മോഡുലസും $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$, $\ഇടത് എന്നീ തുല്യതകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

എങ്കിൽ $ \ഇടത്|x\വലത്|
$\left|x\right|\le a$ എങ്കിൽ $-a\le x\le a$;
$\left|x\right|>a$ ആണെങ്കിൽ ഒന്നുകിൽ $xa$;
$\left|x\right|\ge a$ എങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ $x\le -a$ അല്ലെങ്കിൽ $x\ge a$.

ഉദാഹരണം 8

അസമത്വം പരിഹരിക്കുക $\left|2\cdot x+1\right|

ഈ അസമത്വം $-7 അസമത്വങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $-8