Dubultā leņķa sinusa formulas atvasinājums. Trigonometrijas pamatformulas

– noteikti būs uzdevumi par trigonometriju. Trigonometrija bieži vien nepatīk, jo ir nepieciešams piebāzt milzīgu skaitu sarežģītu formulu, kas ir pilnas ar sinusiem, kosinusiem, pieskarēm un kotangensiem. Vietne jau savulaik sniedza padomus, kā atcerēties aizmirstu formulu, izmantojot Eilera un Pīla formulu piemēru.

Un šajā rakstā mēs centīsimies parādīt, ka ir pietiekami stingri zināt tikai piecus vienkāršākos trigonometriskās formulas, un par pārējiem ir vispārēja ideja un izvelciet tos ārā. Tas ir tāpat kā ar DNS: molekula neglabā pilnīgus gatavas dzīvas radības rasējumus. Drīzāk tajā ir norādījumi par tā salikšanu no pieejamajām aminoskābēm. Tātad trigonometrijā, zinot dažus vispārīgie principi, mēs iegūsim visas nepieciešamās formulas no neliela to, kas jāpatur prātā.

Mēs paļausimies uz šādām formulām:

No sinusu un kosinusu summu formulām, zinot par kosinusa funkcijas paritāti un sinusa funkcijas nepāra, b vietā aizstājot -b, iegūstam atšķirības formulas:

1. Starpības sinuss: grēks(a-b) = grēksacos(-b)+cosagrēks(-b) = grēksacosb-cosagrēksb
2. Atšķirības kosinuss: cos(a-b) = cosacos(-b)-grēksagrēks(-b) = cosacosb+grēksagrēksb

Ievietojot a = b vienās un tajās pašās formulās, iegūstam dubultleņķu sinusa un kosinusa formulas:

1. Dubultā leņķa sinuss: grēks2a = grēks(a+a) = grēksacosa+cosagrēksa = 2grēksacosa
2. Dubultā leņķa kosinuss: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grēksagrēksa = cos2 a-grēks2 a

Formulas citiem vairākiem leņķiem tiek iegūtas līdzīgi:

1. Trīskāršā leņķa sinuss: grēks3a = grēks(2a+a) = grēks2acosa+cos2agrēksa = (2grēksacosa)cosa+(cos2 a-grēks2 a)grēksa = 2grēksacos2 a+grēksacos2 a-grēks 3a = 3 grēksacos2 a-grēks 3a = 3 grēksa(1-grēks2 a)-grēks 3a = 3 grēksa-4grēks 3a
2. Trīskāršā leņķa kosinuss: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grēks2agrēksa = (cos2 a-grēks2 a)cosa-(2grēksacosa)grēksa = cos 3 a- grēks2 acosa-2grēks2 acosa = cos 3.a-3 grēks2 acosa = cos 3a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3.a-3 cosa

Pirms turpinām, apskatīsim vienu problēmu.
Ņemot vērā: leņķis ir akūts.
Atrodi tā kosinusu, ja
Viena studenta sniegtais risinājums:
Jo , Tas grēksa= 3,a cosa = 4.
(No matemātikas humora)

Tātad pieskares definīcija šo funkciju saista gan ar sinusu, gan kosinusu. Bet jūs varat iegūt formulu, kas pieskares saiti tikai ar kosinusu. Lai to atvasinātu, ņemsim galveno trigonometriskā identitāte: grēks 2 a+cos 2 a= 1 un daliet to ar cos 2 a. Mēs iegūstam:

Tātad šīs problēmas risinājums būtu šāds:

(Tā kā leņķis ir akūts, tad, ekstrahējot sakni, tiek ņemta + zīme)

Summas tangensa formula ir vēl viena, kuru ir grūti atcerēties. Izvadīsim to šādi:

Uzreiz tiek parādīts un

No dubultleņķa kosinusa formulas varat iegūt sinusa un kosinusa formulas pusleņķiem. Lai to izdarītu, dubultā leņķa kosinusa formulas kreisajā pusē:
cos2 a = cos 2 a-grēks 2 a
pievienojam vienu, un pa labi - trigonometrisko vienību, t.i. sinusa un kosinusa kvadrātu summa.
cos2a+1 = cos2 a-grēks2 a+cos2 a+grēks2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Izsakot cosa cauri cos2 a un veicot mainīgo lielumu maiņu, mēs iegūstam:

Zīme tiek ņemta atkarībā no kvadranta.

Līdzīgi, atņemot vienu no vienādības kreisās puses un sinusa un kosinusa kvadrātu summu no labās puses, mēs iegūstam:
cos2a-1 = cos2 a-grēks2 a-cos2 a-grēks2 a
2grēks 2 a = 1-cos2 a

Un visbeidzot, lai trigonometrisko funkciju summu pārvērstu produktā, mēs izmantojam šādu paņēmienu. Pieņemsim, ka sinusu summa ir jāatspoguļo kā reizinājums grēksa+grēksb. Ieviesīsim mainīgos x un y tā, lai a = x+y, b+x-y. Tad
grēksa+grēksb = grēks(x+y)+ grēks(x-y) = grēks x cos y+ cos x grēks y+ grēks x cos y- cos x grēks y=2 grēks x cos y. Tagad izteiksim x un y a un b izteiksmē.

Tā kā a = x+y, b = x-y, tad . Tieši tāpēc

Jūs varat nekavējoties izņemt

1. Formula sadalīšanai sinusa un kosinusa produkti V summa: grēksacosb = 0.5(grēks(a+b)+grēks(a-b))

Mēs iesakām pašiem vingrināties un atvasināt formulas sinusu starpības un kosinusu summas un starpības pārvēršanai reizinājumā, kā arī sinusu un kosinusu reizinājumu sadalīšanai summā. Pabeidzot šos vingrinājumus, jūs rūpīgi apgūsit trigonometrisko formulu atvasināšanas prasmi un nepazudīsit pat visgrūtākajā ieskaitē, olimpiādē vai testēšanā.

Dubultleņķa formulas tiek izmantotas, lai izteiktu leņķa ar vērtību 2 α sinusus, kosinusus, tangences, kotangentus, izmantojot leņķa α trigonometriskās funkcijas. Šajā rakstā tiks ieviestas visas dubultā leņķa formulas ar pierādījumiem. Tiks apskatīti formulu pielietošanas piemēri. Pēdējā daļā tiks parādītas trīskāršo un četrkāršo leņķu formulas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dubultā leņķa formulu saraksts

Lai pārveidotu dubultā leņķa formulas, atcerieties, ka trigonometrijā leņķiem ir n α apzīmējums, kur n ir dabiskais skaitlis, izteiksmes vērtību raksta bez iekavām. Tādējādi tiek uzskatīts, ka apzīmējumam sin n α ir tāda pati nozīme kā sin (n α) . Apzīmējot sin n α, mums ir līdzīgs apzīmējums (sin α) n. Apzīmējumu izmantošana ir piemērojama visām trigonometriskajām funkcijām ar pakāpēm n.

Zemāk ir dubultā leņķa formulas:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Ņemiet vērā, ka šīs formulas sin un cos ir piemērojamas ar jebkuru leņķa α vērtību. Dubultā leņķa pieskares formula ir derīga jebkurai α vērtībai, kur t g 2 α ir jēga, tas ir, α ≠ π 4 + π 2 · z, z ir jebkurš vesels skaitlis. Divkāršā leņķa kotangente pastāv jebkuram α, kur c t g 2 α ir definēts pie α ≠ π 2 z.

Dubultā leņķa kosinusam ir dubultā leņķa trīskāršs apzīmējums. Visi no tiem ir piemērojami.

Dubultā leņķa formulu pierādīšana

Formulu pierādīšana sākas no saskaitīšanas formulām. Izmantosim formulas summas sinusam:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β un summas cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β kosinuss. Pieņemsim, ka β = α, tad mēs to iegūstam

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α un cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α

Tādējādi ir pierādītas dubultleņķa sin 2 α = 2 · sin α · cos α un cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α sinusa un kosinusa formulas.

Atpūta cos formulas 2 α = 1 - 2 · sin 2 α un cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 nonāk formā cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , aizstājot 1 ar kvadrātu summu pēc galvenās identitātes sin 2 α + cos 2 α = 1 . Mēs iegūstam, ka grēks 2 α + cos 2 α = 1. Tātad 1–2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α un 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.

Lai pierādītu pieskares un kotangences dubultā leņķa formulas, pielietojam vienādības t g 2 α = sin 2 α cos 2 α un c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Pēc pārveidošanas iegūstam, ka t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α un c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Sadaliet izteiksmi ar cos 2 α, kur cos 2 α ≠ 0 ar jebkuru α vērtību, ja ir definēts t g α. Mēs sadalām citu izteiksmi ar sin 2 α, kur sin 2 α ≠ 0 ar jebkurām α vērtībām, kad c t g 2 α ir jēga. Lai pierādītu dubultā leņķa formulu tangensam un kotangensam, mēs aizstājam un iegūstam:

Visbiežāk uzdotie jautājumi

Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi laba kvalitāte, un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.

Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat? Atbilde Samaksāt par dokumentu var, to saņemot kurjeram, pēc diploma aizpildīšanas pareizības un noformēšanas kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā “Maksājums un piegāde”. Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas noteikumiem.

Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas tīmekļa vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pāriet uz labāk apmaksātu darbu. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par pasūtījumu, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.

Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Kopumā jā. Šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidota gandrīz pilnīga dokumentu datubāze, ko izdevušas gandrīz visas augstskolas valstī un ārpus tās. dažādi gadi izdošana. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties universitāti, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.

Ko darīt, ja dokumentā atrodat drukas kļūdas un kļūdas? Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, jums ir tiesības neizņemt diplomu, bet jums par konstatētajiem defektiem ir personīgi jāpaziņo kurjeram vai rakstiski nosūtot vēstuli uz e-pasts.
IN pēc iespējas ātrāk Mēs labosim dokumentu un nosūtīsim to atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas mēs klientam pa e-pastu nosūtām pārbaudei un apstiprināšanai nākamā dokumenta maketu. galīgā versija. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu arī mēs to darām papildu foto un video (tostarp ultravioletajā gaismā), lai jums būtu skaidrs priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūsit.

Kas man jādara, lai jūsu uzņēmumā pasūtītu diplomu? Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko sertifikātu utt.), jums ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu vietnē vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs varētu jums nosūtīt pieteikuma veidlapu, kas jums jāaizpilda un jānosūta atpakaļ. mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.

Jaunākās atsauksmes

Valentīna:

Jūs izglābāt mūsu dēlu no atlaišanas! Fakts ir tāds, ka, pametis koledžu, mans dēls iestājās armijā. Un, kad viņš atgriezās, viņš nevēlējās atgūties. Strādāja bez diploma. Bet nesen viņi sāka atlaist visus, kuriem nav “garozas”. Tāpēc mēs nolēmām ar jums sazināties un nenožēlojām! Tagad strādā mierīgi un ne no kā nebaidās! Paldies!