Trigonometrija ir vienkārša un skaidra. Trigonometrija Izskaidrotas trigonometriskās funkcijas

Veicot trigonometriskos reklāmguvumus, ievērojiet šos padomus:

1. Nemēģiniet uzreiz nākt klajā ar piemēra risinājumu no sākuma līdz beigām.
2. Nemēģiniet pārvērst visu piemēru uzreiz. Sniedziet mazus soļus uz priekšu.
3. Atcerieties, ka papildus trigonometriskajām formulām trigonometrijā joprojām varat izmantot visas godīgās algebriskās transformācijas (iekavās, daļskaitļu saīsināšanas, saīsinātās reizināšanas formulas un tā tālāk).
4. Tici, ka viss būs labi.

Trigonometriskās pamatformulas

Lielākā daļa trigonometrijas formulu bieži tiek izmantotas gan no labās puses uz kreiso, gan no kreisās puses uz labo, tāpēc jums ir jāiemācās šīs formulas tik labi, lai jūs varētu viegli piemērot kādu formulu abos virzienos. Vispirms pierakstīsim trigonometrisko funkciju definīcijas. Lai ir taisnleņķa trīsstūris:

Tad sinusa definīcija:

Kosinusa definīcija:

Pieskares definīcija:

Kotangensa definīcija:

Pamata trigonometriskā identitāte:

Vienkāršākās trigonometriskās identitātes sekas:

Dubultā leņķa formulas. Dubultā leņķa sinuss:

Dubultā leņķa kosinuss:

Dubultā leņķa tangenss:

Dubultā leņķa kotangense:

Papildu trigonometriskās formulas

Trigonometriskās saskaitīšanas formulas. Summas sinuss:

Starpības sinuss:

Summas kosinuss:

Starpības kosinuss:

Summas tangenss:

Atšķirības tangenss:

Daudzuma kotangenss:

Starpības kotangenss:

Trigonometriskās formulas summas pārvēršanai reizinājumā. Sinusu summa:

Sinusa atšķirība:

Kosinusu summa:

Kosinusu atšķirība:

Pieskares summa:

Pieskares atšķirība:

Kotangentu summa:

Kotangentes atšķirība:

Trigonometriskās formulas reizinājuma pārvēršanai summā. Sinusu produkts:

Sinusa un kosinusa reizinājums:

Kosinusu produkts:

Pakāpju samazināšanas formulas.

Pusleņķa formulas.

Trigonometriskās samazināšanas formulas

Tiek saukta kosinusa funkcija kopfunkcija sinusa funkcijas un otrādi. Līdzīgi tangensas un kotangences funkcijas ir kofunkcijas. Samazināšanas formulas var formulēt saskaņā ar šādu noteikumu:

• Ja samazināšanas formulā no 90 grādiem vai 270 grādiem tiek atņemts (saskaitīts) leņķis, tad reducētā funkcija mainās uz kofunkciju;
• Ja samazinājuma formulā leņķis tiek atņemts (saskaitīts) no 180 grādiem vai 360 grādiem, tad reducētās funkcijas nosaukums tiek saglabāts;
• Šajā gadījumā zīme, kas reducētajai (t.i., oriģinālajai) funkcijai atrodas attiecīgajā kvadrantā, tiek novietota reducētās funkcijas priekšā, ja mēs uzskatām, ka atņemtais (saskaitītais) leņķis ir akūts.

Samazināšanas formulas ir norādīti tabulas veidā:

Autors trigonometriskais aplis viegli noteikt trigonometrisko funkciju tabulas vērtības:

Trigonometriskie vienādojumi

Lai atrisinātu noteiktu trigonometrisko vienādojumu, tas ir jāsamazina līdz vienam no vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem, kas tiks apspriests tālāk. Lai to izdarītu:

• Varat izmantot iepriekš norādītās trigonometriskās formulas. Tajā pašā laikā jums nav jāmēģina pārveidot visu piemēru uzreiz, bet jums ir jāvirzās uz priekšu maziem soļiem.
• Nedrīkst aizmirst par iespēju kādu izteiksmi pārveidot, izmantojot algebriskās metodes, t.i. piemēram, izņemt kaut ko no iekavām vai, gluži otrādi, atvērt iekavas, samazināt daļskaitli, lietot saīsinātu reizināšanas formulu, daļskaitļus apvienot līdz kopsaucējam utt.
• Risinot trigonometriskos vienādojumus, varat izmantot grupēšanas metode. Jāatceras, ka, lai vairāku faktoru reizinājums būtu vienāds ar nulli, pietiek ar to, ka kāds no tiem ir vienāds ar nulli, un pārējais pastāvēja.
• Pieteikšanās mainīgā aizstāšanas metode, kā parasti, vienādojumam pēc aizstāšanas ieviešanas ir jākļūst vienkāršākam un tajā nedrīkst būt sākotnējais mainīgais. Jums arī jāatceras veikt apgriezto nomaiņu.
• Atcerieties, ka trigonometrijā bieži parādās viendabīgi vienādojumi.
• Atverot moduļus vai risinot neracionālus vienādojumus ar trigonometriskām funkcijām, ir jāatceras un jāņem vērā visi atbilstošo vienādojumu risināšanas smalkumi ar parastajām funkcijām.
• Atcerieties par ODZ (trigonometriskajos vienādojumos ODZ ierobežojumi galvenokārt izriet no tā, ka jūs nevarat dalīt ar nulli, taču neaizmirstiet par citiem ierobežojumiem, īpaši par izteiksmju pozitivitāti racionālajos pakāpēs un zem pāra spēku saknēm). Atcerieties arī, ka sinusa un kosinusa vērtības var būt tikai diapazonā no mīnus viens līdz plus viens, ieskaitot.

Galvenais ir, ja nezināt, ko darīt, dariet vismaz kaut ko, un galvenais ir pareizi izmantot trigonometriskās formulas. Ja tas, ko iegūstat, kļūst arvien labāks, turpiniet risinājumu, un, ja tas pasliktinās, atgriezieties sākumā un mēģiniet izmantot citas formulas, dariet to, līdz atrodat pareizo risinājumu.

Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisinājumu formulas. Sinusam ir divas līdzvērtīgas risinājuma rakstīšanas formas:

Citām trigonometriskajām funkcijām apzīmējums ir nepārprotams. Kosinusam:

Pieskarei:

Kotangensam:

Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana dažos īpašos gadījumos:

Veiksmīga, uzcītīga un atbildīga šo trīs punktu īstenošana ļaus uzrādīt izcilu DT rezultātu, maksimumu, uz ko esi spējīgs.

Atradāt kļūdu?

Ja uzskatāt, ka mācību materiālos esat atradis kļūdu, lūdzu, rakstiet par to e-pastā. Varat arī ziņot par kļūdu sociālajā tīklā (). Vēstulē norādiet priekšmetu (fizika vai matemātika), tēmas vai kontroldarba nosaukumu vai numuru, uzdevuma numuru vai vietu tekstā (lappusē), kur, jūsuprāt, ir kļūda. Aprakstiet arī iespējamo kļūdu. Jūsu vēstule nepaliks nepamanīta, kļūda vai nu tiks izlabota, vai arī jums tiks paskaidrots, kāpēc tā nav kļūda.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Šajā nodarbībā mēs apgūsim definīcijas trigonometriskās funkcijas un to pamatīpašības, iemācieties strādāt ar trigonometriskais aplis, noskaidrosim, kas tas ir funkcijas periods un atceries dažādus leņķu mērīšanas veidi. Turklāt mēs sapratīsim izmantošanu samazināšanas formulas.

Šī nodarbība palīdzēs sagatavoties kādam no uzdevumu veidiem B7.

Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā

Eksperimentējiet

7. nodarbība.Ievads trigonometrijā.

Teorija

Nodarbības kopsavilkums

Šodien mēs sākam sadaļu, kurai daudziem ir biedējošs nosaukums “Trigonometrija”. Uzreiz paskaidrosim, ka šis nav atsevišķs priekšmets, kas pēc nosaukuma līdzinās ģeometrijai, kā daži domā. Lai gan tulkots no grieķu valodas, vārds "trigonometrija" nozīmē "trīsstūru mērīšana" un ir tieši saistīts ar ģeometriju. Turklāt trigonometriskie aprēķini tiek plaši izmantoti fizikā un tehnoloģijās. Bet mēs sāksim ar apsvērumu par to, kā trigonometriskās pamatfunkcijas tiek ieviestas ģeometrijā, izmantojot taisnleņķa trīsstūri.

Mēs tikko izmantojām terminu "trigonometriskā funkcija" - tas nozīmē, ka mēs ieviesīsim veselu noteiktu atbilstības likumu klasi starp vienu un otru mainīgo.

Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri, kurā ērtībai tiek izmantoti standarta malu un leņķu apzīmējumi, kurus varat redzēt attēlā:

Apsveriet, piemēram, leņķiun ievadiet tam šādas darbības:

Sauksim pretējās puses attiecību pret hipotenūzas sinusu, t.i.

Sauksim blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzas kosinusu, t.i. ;

Pretējās malas attiecība pret blakus malu tiks saukta par tangensu, t.i. ;

Blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi tiks saukta par kotangensu, t.i. .

Visas šīs darbības ar leņķi sauc trigonometriskās funkcijas. Pats leņķis parasti tiek saukts trigonometriskās funkcijas arguments un to var apzīmēt, piemēram, ar X, kā parasti algebrā pieņemts.

Ir svarīgi nekavējoties saprast, ka trigonometriskās funkcijas ir tieši atkarīgas no leņķa taisnstūrī, nevis no tā malām. To ir viegli pierādīt, ja ņemam vērā šim līdzīgu trīsstūri, kurā malu garumi būs dažādi, bet visi malu leņķi un attiecības nemainīsies, t.i. Arī leņķu trigonometriskās funkcijas paliks nemainīgas.

Pēc šīs trigonometrisko funkciju definīcijas var rasties jautājums: "Vai ir, piemēram,? Galu galā stūrisnevar atrasties taisnleņķa trīsstūrī» . Savādi, bet atbilde uz šo jautājumu ir apstiprinoša, un šīs izteiksmes vērtība ir vienāda ar , un tas ir vēl pārsteidzošāk, jo visas trigonometriskās funkcijas ir taisnleņķa trijstūra malu attiecība un trīsstūra garumi. malas ir pozitīvi skaitļi.

Bet tajā nav paradoksa. Fakts ir tāds, ka, piemēram, fizikā, aprakstot dažus procesus, ir jāizmanto ne tikai lielu, bet arī lielu un vienmērīgu leņķu trigonometriskās funkcijas. Lai to izdarītu, ir nepieciešams ieviest vispārīgāku noteikumu trigonometrisko funkciju aprēķināšanai, izmantojot t.s. "vienības trigonometriskais aplis".

Tas ir aplis ar vienības rādiusu, kas novilkts tā, lai tā centrs būtu Dekarta plaknes sākumā.

Lai attēlotu leņķus šajā aplī, jāvienojas, no kurienes tos likt. Par leņķa atskaites staru pieņemts ņemt abscisu ass pozitīvo virzienu, t.i. x-ass. Tiek uzskatīts, ka leņķu nogulsnēšanās virziens ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pamatojoties uz šiem līgumiem, vispirms noliksim malā akūto leņķi. Tieši šādiem asiem leņķiem mēs jau zinām, kā aprēķināt trigonometrisko funkciju vērtības taisnleņķa trijstūrī. Izrādās, ka izmantojot attēloto apli var aprēķināt arī trigonometriskās funkcijas, tikai ērtāk.

Akūtā leņķa sinusa un kosinusa vērtības ir šī leņķa malas krustošanās punkta koordinātas ar vienības apli:

To var uzrakstīt šādi:

:

Pamatojoties uz to, koordinātas gar x asi parāda kosinusa vērtību, un koordinātas gar y asi parāda leņķa sinusa vērtību, ir ērti pārdēvēt asu nosaukumus koordinātu sistēmā ar vienības apli, kā redzat attēlā:

Abscisu ass tiek pārdēvēta par kosinusa asi, bet ordinātu ass - par sinusa asi.

Norādītais sinusa un kosinusa noteikšanas noteikums ir vispārināts gan neasiem leņķiem, gan leņķiem, kas atrodas diapazonā no līdz. Šajā gadījumā sinusiem un kosinusiem var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Dažādi šo trigonometrisko funkciju vērtību zīmes atkarībā no tā, kurā ceturksnī attiecīgais leņķis ietilpst, ir ierasts to attēlot šādi:

Kā redzat, trigonometrisko funkciju zīmes nosaka to atbilstošo asu pozitīvie un negatīvie virzieni.

Turklāt ir vērts pievērst uzmanību faktam, ka, tā kā vienības riņķa punkta lielākā koordināta gan pa abscisu, gan ordinātu asi ir vienāda ar vienu, bet mazākā ir mīnus viens, tad sinusa un kosinusa vērtības ierobežots ar šiem skaitļiem:

Šos ierakstus parasti raksta arī šādā formā:

Lai ieviestu trigonometriskā riņķa pieskares un kotangensas funkcijas, ir jāuzzīmē papildu elementi: riņķa pieskare punktā A - no tā tiek noteikta leņķa pieskares vērtība, bet pieskares pieskarei punktā A. punkts B - no tā tiek noteikta leņķa kotangensa vērtība.

Tomēr mēs neiedziļināsimies trigonometriskā apļa pieskares un kotangenšu definīcijā, jo tos var viegli aprēķināt, zinot noteiktā leņķa sinusa un kosinusa vērtības, ko mēs jau zinām, kā to izdarīt. Ja vēlaties uzzināt, kā aprēķināt tangensu un kotangensu uz trigonometriskā apļa, pārskatiet 10. klases algebras kursa programmu.

Mēs norādām tikai attēlu uz apļa pieskares un kotangenšu pazīmes atkarībā no leņķa:

Ņemiet vērā, ka līdzīgi kā sinusa un kosinusa vērtību diapazoni, varat norādīt tangensu un kotangensu vērtību diapazonus. Pamatojoties uz to definīciju trigonometriskajā aplī, šo funkciju nozīme nav ierobežota:

Ko vēl var uzrakstīt šādi:

Papildus leņķiem diapazonā no līdz trigonometriskais aplis ļauj strādāt ar leņķiem, kas ir lielāki un vienmērīgi ar negatīviem leņķiem. Šādas leņķa vērtības, lai gan tās šķiet bezjēdzīgas ģeometrijai, tiek izmantotas, lai aprakstītu dažus fiziskus procesus. Piemēram, kā jūs atbildat uz jautājumu: "Kādā leņķī pulksteņa rādītājs pagriezīsies dienā?"Šajā laikā tas veiks divus pilnus apgriezienus, un vienā apgriezienā tas pāries, t.i. dienas laikā tas kļūs par . Kā redzat, šādām vērtībām ir ļoti praktiska nozīme. Leņķa zīmes tiek izmantotas, lai norādītu griešanās virzienu - vienu no virzieniem vienojas mērīt ar pozitīviem leņķiem, bet otru ar negatīviem. Kā to var ņemt vērā trigonometriskajā aplī?

Uz apļa ar šādiem leņķiem tie darbojas šādi:

1) Leņķi, kas ir lielāki par , tiek attēloti pretēji pulksteņrādītāja virzienam, šķērsojot sākuma punktu tik reižu, cik nepieciešams. Piemēram, lai izveidotu leņķi, jums jāiziet divi pilni apgriezieni un vēl viens. Visas trigonometriskās funkcijas tiek aprēķinātas gala pozīcijai. Ir viegli redzēt, ka visu trigonometrisko funkciju vērtības un for būs vienādas.

2) Negatīvie leņķi tiek izlikti tieši pēc tāda paša principa kā pozitīvie, tikai pulksteņrādītāja virzienā.

Tikai ar lielu leņķu konstruēšanas metodi mēs varam secināt, ka leņķu sinusu un kosinusu vērtības ir vienādas. Ja analizēsim pieskares un kotangenšu vērtības, tās būs vienādas leņķiem, kas atšķiras par .

Tiek izsaukti šādi minimāli skaitļi, kas nav nulles skaitļi, ja tie tiek pievienoti argumentam, nemaina funkcijas vērtību periodāšī funkcija.

Tādējādi periodāsinuss un kosinuss ir vienādi, un tangenss un kotangenss. Tas nozīmē, ka neatkarīgi no tā, cik daudz jūs pievienojat vai atņemat šos periodus no aplūkojamajiem leņķiem, trigonometrisko funkciju vērtības nemainīsies.

Piemēram, , un utt.

Vēlāk atgriezīsimies pie sīkāka skaidrojuma un šīs trigonometrisko funkciju īpašības pielietojuma.

Pastāv noteiktas attiecības starp viena un tā paša argumenta trigonometriskajām funkcijām, kuras ļoti bieži izmanto un sauc pamata trigonometriskās identitātes.

Tie izskatās šādi:

1) , tā sauktā "trigonometriskā vienība"

3)

4)

5)

Ņemiet vērā, ka, piemēram, apzīmējums nozīmē, ka visa trigonometriskā funkcija ir kvadrātā. Tie. to var attēlot šādā formā: . Ir svarīgi saprast, ka tas nav vienāds ar tādu ierakstu kā , šajā gadījumā kvadrātā ir tikai arguments, nevis visa funkcija, turklāt šāda veida izteiksmes ir ārkārtīgi reti.

No pirmās identitātes ir divas ļoti noderīgas sekas, kas var būt noderīgas daudzu veidu problēmu risināšanā. Pēc vienkāršām transformācijām jūs varat izteikt sinusu caur tāda paša leņķa kosinusu un otrādi:

Parādās divas iespējamās izteiksmes zīmes, jo ņemot aritmētisko kvadrātsakni, tiek iegūtas tikai nenegatīvas vērtības, savukārt sinusam un kosinusam, kā mēs jau redzējām, var būt negatīvas vērtības. Turklāt visērtāk ir noteikt šo funkciju zīmes, izmantojot trigonometrisko apli, atkarībā no tā, kādi leņķi tajās atrodas.

Tagad atcerēsimies, ka leņķus var izmērīt divos veidos: grādos un radiānos. Norādīsim viena grāda un viena radiāna definīcijas.

Viens grāds- ir leņķis, ko veido divi rādiusi, kas veido loku, kas vienāds ar apli.

Viens radiāns- tas ir leņķis, ko veido divi rādiusi, kurus noliek loka garums, kas vienāds ar rādiusiem.

Tie. tie ir vienkārši divi dažādi leņķu mērīšanas veidi, kas ir absolūti vienādi. Aprakstot fizikālos procesus, kam raksturīgas trigonometriskās funkcijas, ierasts izmantot leņķu radiāna mēru, tāpēc arī pie tā būs jāpierod.

Ir ierasts mērīt leņķus radiānos pi daļās, piemēram, vai. Šajā gadījumā pi vērtību, kas ir vienāda ar 3,14, var aizstāt, taču tas tiek darīts reti.

Lai pārvērstu leņķu grādu mēru radiānos izmantojiet to, ka leņķis ir , no kura var viegli iegūt vispārīgu tulkošanas formulu:

Piemēram, konvertēsim uz radiānos: .

Ir arī pretējais formulapārvēršana no radiāniem uz grādiem:

Piemēram, konvertēsim grādos: .

Šajā tēmā diezgan bieži izmantosim leņķa radiānu.

Tagad ir laiks atcerēties, kādas konkrētas vērtības var dot dažādu leņķu trigonometriskās funkcijas. Dažiem leņķiem, kas ir daudzkārtņi , ir trigonometrisko funkciju vērtību tabula. Ērtības labad leņķi ir norādīti grādos un radiānos.

Ar šiem leņķiem bieži saskaras daudzās problēmās, un šajā tabulā ir ieteicams droši orientēties. Dažu leņķu pieskares un kotangences vērtībām nav jēgas, kas tabulā norādītas kā domuzīmes. Padomājiet paši, kāpēc tas tā ir, vai lasiet par to sīkāk nodarbības ielikumā.

Pēdējā lieta, kas mums jāiepazīst mūsu pirmajā trigonometrijas nodarbībā, ir trigonometrisko funkciju transformācija, izmantojot tā sauktās samazināšanas formulas.

Izrādās, ka trigonometriskām funkcijām ir noteikts izteiksmes veids, kas ir diezgan izplatīts un ērti vienkāršots. Piemēram, tie ir izteicieni: utt.

Tie. Mēs runāsim par funkcijām, kuru arguments ir patvaļīgs leņķis, kas mainīts uz veselu vai pusi. Šādas funkcijas ir vienkāršotas līdz argumentam, kas ir vienāds ar patvaļīgu daļu saskaitīšanas vai atņemšanas leņķi. Piemēram, , A . Kā redzat, rezultāts var būt pretēja funkcija, un funkcija var mainīt zīmi.

Tāpēc šādu funkciju pārveidošanas noteikumus var iedalīt divos posmos. Pirmkārt, jums ir jānosaka, kādu funkciju jūs iegūsit pēc transformācijas:

1) Ja patvaļīgs arguments tiek mainīts uz veselu skaitli, funkcija nemainās. Tas attiecas uz funkcijām tipa , kur jebkurš vesels skaitlis;

Kādreiz skolā bija atsevišķs kurss trigonometrijas apguvei. Sertifikātā bija atzīmes trīs matemātikas disciplīnās: algebrā, ģeometrijā un trigonometrijā.

Tad skolas izglītības reformas ietvaros trigonometrija beidza pastāvēt kā atsevišķs priekšmets. Mūsdienu skolā pirmā iepazīšanās ar trigonometriju notiek 8. klases ģeometrijas kursā. Padziļinātāka mācību priekšmeta apguve turpinās 10. klases algebras kursā.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas vispirms tiek dotas ģeometrijā, izmantojot taisnleņķa trijstūra malu attiecības.

Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu.

Kosinuss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Pieskares Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu.

Kotangenss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo malu.

Šīs definīcijas attiecas tikai uz asajiem leņķiem (no 0° līdz 90°).

Piemēram,

trijstūrī ABC, kur ∠C=90°, BC ir kāja, kas ir pretēja leņķim A, AC ir kāja, kas atrodas blakus leņķim A, AB ir hipotenūza.

10. klases algebras kurss iepazīstina ar sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām jebkuram leņķim (arī negatīvam).

Aplūkosim apli ar rādiusu R, kura centrs atrodas sākuma punktā - punktā O(0;0). Apļa krustošanās punktu ar abscisu ass pozitīvo virzienu apzīmēsim ar P 0 .

Ģeometrijā leņķi uzskata par plaknes daļu, ko ierobežo divi stari. Ar šo definīciju leņķis svārstās no 0° līdz 180°.

Trigonometrijā leņķi uzskata par stara OP 0 rotācijas rezultātu ap sākuma punktu O.

Tajā pašā laikā viņi vienojās apsvērt staru kūļa pagriešanu pretēji pulksteņrādītāja virzienam kā pozitīvu šķērsošanas virzienu un pulksteņrādītāja virzienā kā negatīvu (šī vienošanās ir saistīta ar patieso Saules kustību ap Zemi).

Piemēram, kad stars OP 0 tiek pagriezts ap punktu O par leņķi α pretēji pulksteņrādītāja virzienam, punkts P 0 nonāks punktā P α,

pagriežot ar leņķi α pulksteņrādītāja virzienā - līdz punktam F.

Izmantojot šo definīciju, leņķim var būt jebkura vērtība.

Turpinot griezt staru kūli OP 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam, pagriežot leņķi α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, kur n ir vesels skaitlis (n∈ Ζ), atkal nonāksim punktā P α:

Leņķus mēra grādos un radiānos.

1° ir leņķis, kas vienāds ar 1/180 no izveidotā leņķa grādu mēra.

1 radiāns ir centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu:

∠AOB=1 rad.

Radiāna simbolus parasti neraksta. Grāda apzīmējumu ierakstā nevar izlaist.

Piemēram,

Punktam P α , kas iegūts no punkta P 0, pagriežot staru OP 0 ap punktu O par leņķi α pretēji pulksteņrādītāja virzienam, ir koordinātas P α (x;y).

Nometīsim perpendikulāru P α A no punkta P α uz abscisu asi.

Taisnajā trijstūrī OP α A:

P α A - kāja pretēja leņķim α,

OA — kāja blakus leņķim α,

OP α ir hipotenūza.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Pēc sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas taisnleņķa trijstūrī mums ir:

Tādējādi apļa gadījumā ar centru patvaļīga rādiusa sākumā sinusa leņķis α ir punkta P α ordinātu attiecība pret rādiusa garumu.

Kosinuss leņķis α ir punkta P α abscisu attiecība pret rādiusa garumu.

Pieskares leņķis α ir punkta P α ordinātu attiecība pret tā abscisu.

Kotangenss leņķis α ir punkta P α abscisu attiecība pret tā ordinātām.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības ir atkarīgas tikai no α vērtības un nav atkarīgas no rādiusa R garuma (tas izriet no apļu līdzības).

Tāpēc ir ērti izvēlēties R=1.

Apli, kura centrs atrodas sākumpunktā un rādiuss R=1, sauc par vienības apli.

Definīcijas

1) Sinuss leņķi α sauc par vienības apļa punkta P α (x;y) ordinātu:

2) Kosinuss leņķi α sauc par vienības apļa punkta P α (x;y) abscisu:

3) Pieskares leņķis α ir punkta P α (x;y) ordinātu attiecība pret tā abscisu, tas ir, sinα attiecība pret cosα (kur cosα≠0):

4) Kotangenss leņķis α ir punkta P α (x;y) abscisu attiecība pret tā ordinātām, tas ir, cosα attiecība pret sinα (kur sinα≠0):

Šādā veidā ieviestās definīcijas ļauj aplūkot ne tikai leņķu trigonometriskās funkcijas, bet arī skaitlisko argumentu trigonometriskās funkcijas (ja par atbilstošām leņķa trigonometriskām funkcijām α radiānos uzskatām sinα, cosα, tanα un ctgα, tas ir, skaitļa α sinuss ir leņķa sinuss α radiānos, skaitļa α kosinuss ir leņķa kosinuss α radiānos utt.).

Trigonometrisko funkciju īpašības kā atsevišķa tēma tiek pētītas algebras kursā 10. vai 11. klasē. Trigonometriskās funkcijas plaši izmanto fizikā.

Sinuss, kosinuss, tangenss – izrunājot šos vārdus vidusskolēnu klātbūtnē, vari būt drošs, ka divas trešdaļas no viņiem zaudēs interesi par tālāko sarunu. Iemesls ir apstāklī, ka trigonometrijas pamati skolā tiek mācīti pilnīgi izolēti no realitātes, un tāpēc skolēni neredz jēgu studēt formulas un teorēmas.

Patiesībā, rūpīgāk izpētot, šī zināšanu joma izrādās ļoti interesanta, kā arī pielietojama - trigonometriju izmanto astronomijā, būvniecībā, fizikā, mūzikā un daudzās citās jomās.

Iepazīsimies ar pamatjēdzieniem un nosauksim vairākus iemeslus, lai pētītu šo matemātikas zinātnes nozari.

Stāsts

Nav zināms, kurā brīdī cilvēce sāka veidot nākotnes trigonometriju no nulles. Taču ir dokumentēts, ka jau otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras ēģiptieši bija pazīstami ar šīs zinātnes pamatiem: arheologi atrada papirusu ar uzdevumu, kurā bija jāatrod piramīdas slīpuma leņķis no divām zināmajām pusēm.

Senās Babilonas zinātnieki guva nopietnākus panākumus. Gadsimtu gaitā, pētot astronomiju, viņi apguva vairākas teorēmas, ieviesa īpašas leņķu mērīšanas metodes, kuras, starp citu, izmantojam arī mūsdienās: grādus, minūtes un sekundes Eiropas zinātne aizguva grieķu-romiešu kultūrā, kurā šīs vienības nāca no babiloniešiem.

Tiek pieņemts, ka slavenā Pitagora teorēma, kas attiecas uz trigonometrijas pamatiem, babiloniešiem bija zināma gandrīz pirms četriem tūkstošiem gadu.

Vārds

Burtiski terminu "trigonometrija" var tulkot kā "trīsstūru mērīšanu". Galvenais izpētes objekts šajā zinātnes sadaļā daudzus gadsimtus bija taisnleņķa trīsstūris vai, precīzāk, attiecības starp leņķu lielumu un tā malu garumiem (mūsdienās trigonometrijas izpēte no nulles sākas ar šo sadaļu). . Dzīvē nereti gadās situācijas, kad praktiski nav iespējams izmērīt visus objekta nepieciešamos parametrus (vai attālumu līdz objektam), un tad rodas nepieciešamība ar aprēķiniem iegūt trūkstošos datus.

Piemēram, agrāk cilvēki nevarēja izmērīt attālumu līdz kosmosa objektiem, taču mēģinājumi aprēķināt šos attālumus notika ilgi pirms mūsu ēras parādīšanās. Trigonometrijai bija arī izšķiroša nozīme navigācijā: ar zināmām zināšanām kapteinis vienmēr varēja pārvietoties pēc zvaigznēm naktī un pielāgot kursu.

Pamatjēdzieni

Lai apgūtu trigonometriju no nulles, ir jāsaprot un jāatceras vairāki pamatjēdzieni.

Noteikta leņķa sinuss ir pretējās puses attiecība pret hipotenūzu. Precizēsim, ka pretējā kāja ir puse, kas atrodas pretī aplūkojamajam leņķim. Tādējādi, ja leņķis ir 30 grādi, šī leņķa sinuss vienmēr jebkuram trijstūra izmēram būs vienāds ar ½. Leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Pieskares ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi (vai, kas ir tāda pati, sinusa un kosinusa attiecība). Kotangenss ir vienība, kas dalīta ar tangensu.

Ir vērts pieminēt slaveno skaitli Pi (3,14...), kas ir puse no apļa garuma ar vienas vienības rādiusu.

Populāras kļūdas

Cilvēki, kas apgūst trigonometriju no nulles, pieļauj vairākas kļūdas - galvenokārt neuzmanības dēļ.

Pirmkārt, risinot ģeometrijas uzdevumus, jāatceras, ka sinusus un kosinusus var izmantot tikai taisnleņķa trīsstūrī. Gadās, ka students “automātiski” par hipotenūzu ņem trijstūra garāko malu un iegūst nepareizus aprēķinu rezultātus.

Otrkārt, sākumā ir viegli sajaukt izvēlētā leņķa sinusa un kosinusa vērtības: atcerieties, ka 30 grādu sinuss ir skaitliski vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Ja aizvietojat nepareizu skaitli, visi turpmākie aprēķini būs nepareizi.

Treškārt, kamēr problēma nav pilnībā atrisināta, nevajadzētu noapaļot vērtības, izvilkt saknes vai rakstīt parasto daļskaitli kā decimāldaļu. Bieži vien skolēni trigonometrijas uzdevumā cenšas iegūt “skaistu” skaitli un uzreiz izvelk trīs sakni, lai gan pēc tieši vienas darbības šo sakni var samazināt.

Vārda "sine" etimoloģija

Vārda “sine” vēsture ir patiesi neparasta. Fakts ir tāds, ka šī vārda burtiskais tulkojums no latīņu valodas nozīmē "dobs". Tas ir tāpēc, ka, tulkojot no vienas valodas uz citu, tika zaudēta pareizā vārda izpratne.

Trigonometrisko pamatfunkciju nosaukumi ir cēlušies no Indijas, kur sinusa jēdziens sanskritā tika apzīmēts ar vārdu "string" - fakts ir tāds, ka segments kopā ar apļa loku, uz kura tas balstījās, izskatījās kā loks. . Arābu civilizācijas ziedu laikos Indijas sasniegumi trigonometrijas jomā tika aizgūti, un šis termins pārgāja arābu valodā kā transkripcija. Tā notika, ka šajā valodā jau bija līdzīgs vārds, kas apzīmē depresiju, un, ja arābi saprata fonētisko atšķirību starp dzimto un aizgūto vārdu, tad eiropieši, tulkojot zinātniskos traktātus latīņu valodā, kļūdaini burtiski tulkoja arābu vārdu, kuram nebija nekā. kas saistīts ar sinusa jēdzienu. Mēs to joprojām lietojam līdz šai dienai.

Vērtību tabulas

Ir tabulas, kurās ir visu iespējamo leņķu sinusu, kosinusu un tangenšu skaitliskās vērtības. Zemāk mēs sniedzam datus par 0, 30, 45, 60 un 90 grādu leņķiem, kas jāapgūst kā obligāta trigonometrijas sadaļa "manekeniem", par laimi, tos ir diezgan viegli atcerēties.

Ja gadās, ka leņķa sinusa vai kosinusa skaitliskā vērtība “izkāpa no galvas”, ir veids, kā to atvasināt pats.

Ģeometriskais attēlojums

Zīmēsim apli un caur tā centru zīmēsim abscisu un ordinātu asis. Abscisu ass ir horizontāla, ordinātu ass ir vertikāla. Tie parasti ir attiecīgi parakstīti ar "X" un "Y". Tagad mēs novilksim taisnu līniju no apļa centra, lai starp to un X asi iegūtu vajadzīgo leņķi. Visbeidzot, no punkta, kur taisne krustojas ar apli, mēs nolaižam perpendikulāri X asij Iegūtā segmenta garums būs vienāds ar mūsu leņķa sinusa skaitlisko vērtību.

Šī metode ir ļoti svarīga, ja esat aizmirsis nepieciešamo vērtību, piemēram, eksāmena laikā un jums nav pie rokas trigonometrijas mācību grāmatas. Tādā veidā jūs neiegūsit precīzu skaitli, taču noteikti redzēsit atšķirību starp ½ un 1,73/2 (30 grādu leņķa sinusus un kosinuss).

Pieteikums

Daži no pirmajiem ekspertiem, kas izmantoja trigonometriju, bija jūrnieki, kuriem atklātā jūrā nebija cita atskaites punkta, izņemot debesis virs viņu galvām. Mūsdienās kuģu (lidmašīnu un citu transporta veidu) kapteiņi nemeklē īsāko ceļu, izmantojot zvaigznes, bet gan aktīvi ķeras pie GPS navigācijas, kas nebūtu iespējams bez trigonometrijas izmantošanas.

Gandrīz katrā fizikas sadaļā jūs atradīsiet aprēķinus, izmantojot sinusus un kosinusus: vai tas būtu spēka pielietojums mehānikā, objektu ceļa aprēķini kinemātikā, vibrācijas, viļņu izplatīšanās, gaismas laušana - jūs vienkārši nevarat iztikt bez pamata trigonometrijas. formulās.

Vēl viena profesija, kas nav iedomājama bez trigonometrijas, ir mērnieks. Izmantojot teodolītu un nivelieri vai sarežģītāku ierīci - tahometru, šie cilvēki mēra augstuma starpību starp dažādiem zemes virsmas punktiem.

Atkārtojamība

Trigonometrija attiecas ne tikai uz trijstūra leņķiem un malām, lai gan tieši šeit tā sāka savu pastāvēšanu. Visās jomās, kur ir cikliskums (bioloģija, medicīna, fizika, mūzika utt.), Jūs saskarsities ar grafiku, kura nosaukums, iespējams, jums ir pazīstams - tas ir sinusoidāls vilnis.

Šāds grafiks ir aplis, kas izlocīts gar laika asi un izskatās kā vilnis. Ja jūs kādreiz esat strādājis ar osciloskopu fizikas stundā, jūs zināt, par ko mēs runājam. Gan mūzikas ekvalaizers, gan pulsometrs savā darbā izmanto trigonometrijas formulas.

Nobeigumā

Domājot par to, kā apgūt trigonometriju, lielākā daļa vidusskolēnu un vidusskolēnu sāk to uzskatīt par sarežģītu un nepraktisku zinātni, jo viņi iepazīstas ar garlaicīgu informāciju tikai no mācību grāmatas.

Runājot par nepraktiskumu, mēs jau esam redzējuši, ka vienā vai otrā pakāpē gandrīz jebkurā darbības jomā ir nepieciešama spēja rīkoties ar sinusiem un pieskares. Kas attiecas uz sarežģītību... Padomājiet: ja cilvēki šīs zināšanas izmantoja pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu, kad pieaugušajam bija mazāk zināšanu nekā mūsdienu vidusskolniekam, vai jums personīgi ir reāli apgūt šo zinātnes jomu pamatlīmenī? Dažas stundas pārdomātas prakses problēmu risināšanā - un jūs sasniegsiet savu mērķi, apgūstot pamata kursu, tā saukto trigonometriju manekeniem.