Sinusu un kosinusu teorēmas taisnleņķa trijstūrim. Kosinusu, sinusu teorēma: formulējums, sekas un piemēri
Trigonometriju plaši izmanto ne tikai algebras sadaļā - analīzes sākumā, bet arī ģeometrijā. Šajā sakarā ir saprātīgi pieņemt ar trigonometriskām funkcijām saistīto teorēmu un to pierādījumu esamību. Patiešām, kosinusa un sinusa teorēmas rada ļoti interesantas un, pats galvenais, noderīgas attiecības starp trijstūra malām un leņķiem.
Izmantojot šo formulu, jūs varat iegūt jebkuru no trijstūra malām:
Apgalvojuma pierādījums ir iegūts, pamatojoties uz Pitagora teorēmu: hipotenūzas kvadrāts ir vienāda ar summu kāju kvadrāti.
Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC. No virsotnes C nolaižam augstumu h līdz figūras pamatnei, šajā gadījumā tā garumam absolūti nav nozīmes. Tagad, ja mēs uzskatām patvaļīgu trīsstūri ACB, tad mēs varam izteikt punkta C koordinātas cauri trigonometriskās funkcijas cos un grēks.
Atgādiniet kosinusa definīciju un uzrakstiet trijstūra ACD malu attiecību: cos α = AD/AC | reiziniet abas vienādības puses ar maiņstrāvu; AD = AC * cos α.
Ņemsim garumu AC kā b un iegūstam izteiksmi punkta C pirmajai koordinātei:
x = b * cosα. Līdzīgi atrodam ordinātu C vērtību: y = b * sin α. Tālāk mēs izmantojam Pitagora teorēmu un pārmaiņus izsakām h trīsstūrim ACD un DCB:
Acīmredzot abas izteiksmes (1) un (2) ir vienādas viena ar otru. Mēs pielīdzinām labās puses un dodam līdzīgas:
Praksē šī formula ļauj noteikt trijstūra nezināmās malas garumu noteiktos leņķos. Kosinusa teorēmai ir trīs sekas: trijstūra taisnajam, asajam un strupajam leņķim.
Aizstāsim cos α vērtību ar parasto mainīgo x, tad trijstūra ABC asajam leņķim iegūstam:
Ja leņķis izrādās pareizs, tad 2bx pazudīs no izteiksmes, jo cos 90 ° \u003d 0. Grafiski otro konsekvenci var attēlot šādi:
Strupā leņķa gadījumā zīme “-” pirms dubultā argumenta formulā mainīsies uz “+”:
Kā redzams no skaidrojuma, attiecībās nav nekā sarežģīta. Kosinusa teorēma ir nekas cits kā Pitagora teorēmas izkārtojums trigonometriskajos daudzumos.
Teorēmas praktiskais pielietojums
1. vingrinājums. Dots trīsstūris ABC ar malu BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm un cos α = ½. Atrodiet malas AB garumu.
Lai pareizi aprēķinātu, jums jānosaka leņķis α. Lai to izdarītu, skatiet trigonometrisko funkciju vērtību tabulu, saskaņā ar kuru loka kosinuss ir 1/2 leņķim 60 °. Pamatojoties uz to, mēs izmantojam teorēmas pirmā secinājuma formulu:
2. uzdevums. Trijstūrim ABC ir zināmas visas malas: AB =4√2,BC=5,AC=7. Ir jāatrod visi figūras leņķi.
Šajā gadījumā jūs nevarat iztikt bez problēmas apstākļu rasējuma.
Tā kā leņķu vērtības joprojām nav zināmas, ir jāizmanto pilna formula akūtam leņķim.
Pēc analoģijas nav grūti formulēt un aprēķināt citu leņķu vērtības:
Rezumējot, trīs trijstūra leņķiem jābūt 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, tāpēc risinājums ir atrasts.
Sinus teorēma
Teorēma saka, ka visas puses patvaļīgs trīsstūris proporcionāli pretējo leņķu sinusiem. Attiecības ir uzrakstītas trīskāršās vienādības formā:
Klasiskais apgalvojuma pierādījums tiek veikts, izmantojot aplī ierakstītas figūras piemēru.
Lai pārbaudītu apgalvojuma patiesumu, izmantojot trijstūra ABC piemēru attēlā, ir jāapstiprina fakts, ka 2R = BC / sin A. Pēc tam jāpierāda, ka arī pārējās malas atbilst pretējo leņķu sinusiem, piemēram, 2R vai D no apļa.
Lai to izdarītu, mēs zīmējam apļa diametru no virsotnes B. No riņķī ierakstīto leņķu īpašībām ∠GCB ir taisna līnija, un ∠CGB ir vai nu vienāds ar ∠CAB vai (π - ∠CAB). Sinusa gadījumā pēdējais apstāklis nav nozīmīgs, jo grēks (π -α) \u003d grēks α. Pamatojoties uz iepriekš minētajiem secinājumiem, var apgalvot, ka:
sin ∠CGB = BC/BG vai sin A = BC/2R,
Ja ņemam vērā citus attēla leņķus, mēs iegūstam sinusa teorēmas paplašināto formulu:
Tipiski uzdevumi sinusa teorēmas zināšanu praktizēšanai ir trijstūra nezināmas malas vai leņķa atrašana.
Kā redzams no piemēriem, šādu uzdevumu risināšana nesagādā grūtības un sastāv no matemātisko aprēķinu veikšanas.
Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūta leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.
Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.
Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.
Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)
Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.
Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.
Hipotenūza Taisnstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.
Kājas- malas pretī asiem stūriem.
Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.
Sinus akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: asā leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):
Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.
Pierādīsim dažus no tiem.
Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.
Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .
Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?
Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.
Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm Un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat atrast visas tā trigonometriskās funkcijas, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.
Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.
Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenss un kotangenss nepastāv.
Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.
1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.
Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.
Tāpēc ka , .
2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.
Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.
Problēma atrisināta.
Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!
Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.
Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.
Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! IN IZMANTOT opcijas matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.
Ne visi skolēni un vēl jo vairāk pieaugušie zina, ka kosinusa teorēma ir tieši saistīta ar Pitagora teorēmu. Precīzāk, pēdējais ir īpašs pirmās kārtas gadījums. Šis brīdis, kā arī divi kosinusa teorēmas pierādīšanas veidi palīdzēs kļūt vairāk zinošs cilvēks. Turklāt labi attīstās prakse lielumu izteikšanā no sākotnējām izteiksmēm loģiskā domāšana. Pētāmās teorēmas garā formula noteikti liks tev smagi strādāt un pilnveidoties.
Sarunas sākšana: Iepazīstieties ar notāciju
Šī teorēma ir formulēta un pierādīta patvaļīgam trīsstūrim. Tāpēc to vienmēr var izmantot jebkurā situācijā, ja ir norādītas divas puses, bet dažos gadījumos trīs un leņķis, un ne vienmēr starp tām. Neatkarīgi no trijstūra veida teorēma vienmēr darbosies.
Un tagad par daudzumu apzīmējumu visās izteiksmēs. Labāk ir vienoties uzreiz, lai vēlāk neskaidrotu vairākas reizes. Šim nolūkam ir sastādīta šāda tabula.
Formulēšana un matemātiskais apzīmējums
Tātad kosinusa teorēma tiek formulēta šādi:
Jebkura trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar tā pārējo divu malu kvadrātu summu, no kuras atņemts divkāršs to pašu malu reizinājums un starp tām esošā leņķa kosinuss.
Protams, tas ir garš, bet, ja sapratīsi tā būtību, tad to būs viegli atcerēties. Jūs pat varat iedomāties trijstūra zīmēšanu. To vienmēr ir vieglāk atcerēties vizuāli.
Šīs teorēmas formula izskatīsies šādi:
Mazliet gari, bet viss loģiski. Paskatoties nedaudz uzmanīgāk, var redzēt, ka burti atkārtojas, kas nozīmē, ka to atcerēties nav grūti.
Kopīgs teorēmas pierādījums
Tā kā tas attiecas uz visiem trijstūriem, argumentācijai var izvēlēties jebkuru no veidiem. Lai tā ir figūra ar visu asi stūri. Apsveriet patvaļīgu akūtu leņķa trīsstūri, kura leņķis C ir lielāks par leņķi B. No virsotnes ar šo augsts leņķis jums ir jāsamazina perpendikuls uz pretējo pusi. Uzzīmētais augstums sadala trīsstūri divos taisnstūros. Tas ir nepieciešams pierādījumam.
Puse tiks sadalīta divos segmentos: x, y. Tie ir jāizsaka zināmos daudzumos. Daļa, kas būs trijstūrī ar hipotenūzu, kas vienāda ar b, tiks izteikta ar apzīmējumu:
x \u003d b * cos A.
Otra būs vienāda ar šo starpību:
y \u003d c - in * cos A.
Tagad mums ir jāpieraksta Pitagora teorēma diviem taisnleņķa trijstūriem, kas izriet no konstrukcijas, ņemot augstumu kā nezināmu vērtību. Šīs formulas izskatīsies šādi:
n 2 \u003d in 2 - (in * cos A) 2,
n 2 \u003d a 2 — (c — in * cos A) 2.
Šajās vienādībās kreisajā pusē ir identiskas izteiksmes. Tas nozīmē, ka arī viņu labās puses būs vienādas. To ir viegli pierakstīt. Tagad jums ir jāatver iekavas:
in 2 - in 2 * (cos A) 2 \u003d a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - in 2 * (cos A) 2.
Ja šeit mēs veicam līdzīgu terminu pārnešanu un samazināšanu, tad iegūstam sākotnējo formulu, kas tiek rakstīta pēc formulējuma, tas ir, kosinusa teorēma. Pierādījums ir pabeigts.
Teorēmas pierādījums vektoru izteiksmē
Tas ir daudz īsāks nekā iepriekšējais. Un, ja jūs zināt vektoru īpašības, kosinusa teorēma trijstūrim tiks pierādīta vienkārši.
Ja malas a, b, c apzīmē attiecīgi ar vektoriem BC, AC un AB, tad vienādība ir patiesa:
BC = AC - AB.
Tagad jums ir jādara dažas lietas. Pirmais no tiem ir vienādojuma abu pušu kvadrāts:
BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Tad vienādība ir jāpārraksta skalārā formā, ņemot vērā, ka vektoru reizinājums ir vienāds ar leņķa kosinusu starp tiem un to skalārajām vērtībām:
BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Atliek tikai atgriezties pie vecā apzīmējuma, un atkal mēs iegūstam kosinusa teorēmu:
a 2 \u003d in 2 + c 2 - 2 * in * c * cos A.
Formulas citām pusēm un visiem leņķiem
Lai atrastu malu, jāņem kvadrātsakne no kosinusa teorēmas. Formula vienas otras malas kvadrātiem izskatītos šādi:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Uzrakstīt izteiksmi malas kvadrātam V, jums ir jāaizstāj iepriekšējā vienādībā Ar ieslēgts V, un otrādi, un novietojiet leņķi B zem kosinusa.
No teorēmas galvenās formulas mēs varam izteikt leņķa A kosinusa vērtību:
cos A \u003d (in 2 + c 2 - a 2) / (2 in * c).
Formulas citiem leņķiem tiek iegūtas līdzīgi. Šis laba prakse, lai jūs varētu mēģināt tos uzrakstīt pats.
Protams, šīs formulas nav jāiegaumē. Pietiek saprast teorēmu un prast šīs izteiksmes iegūt no tās galvenā apzīmējuma.
Teorēmas sākotnējā formula ļauj atrast malu, ja leņķis neatrodas starp diviem zināmiem. Piemēram, jums ir jāatrod V kad ir dotas vērtības: a, c, a. vai nezināms Ar, bet ir vērtības a, b, a.
Šajā situācijā jums ir jāpārsūta visi formulas nosacījumi uz kreisā puse. Jūs saņemat šo vienlīdzību:
c 2 - 2 * in * c * cos A + in 2 - a 2 \u003d 0.
Pārrakstīsim to nedaudz citā formā:
c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) \u003d 0.
Var viegli redzēt kvadrātvienādojums. Tam ir nezināms daudzums Ar, un viss pārējais ir dots. Tāpēc pietiek ar to atrisināt, izmantojot diskriminantu. Tātad tiks atrasta nezināmā puse.
Līdzīgi tiek iegūta otrās puses formula:
2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) \u003d 0.
No citiem izteicieniem šādas formulas ir viegli iegūt arī neatkarīgi.
Kā uzzināt leņķa veidu bez kosinusa aprēķināšanas?
Ja uzmanīgi aplūkojat iepriekš iegūto leņķa kosinusa formulu, jūs pamanīsit sekojošo:
- daļdaļas saucējs vienmēr ir pozitīvs skaitlis, jo tajā ir to malu reizinājums, kuras nevar būt negatīvas;
- leņķa vērtība būs atkarīga no skaitītāja zīmes.
Leņķis A būs:
- akūts situācijā, kad skaitītājs ir lielāks par nulli;
- stulbi, ja šī izteiksme ir negatīva;
- tiešs, ja tas ir vienāds ar nulli.
Starp citu, pēdējā situācija kosinusu teorēmu pārvērš Pitagora teorēmā. Jo 90º leņķim tā kosinuss ir nulle, un pēdējais termins pazūd.
Pirmais uzdevums
Stāvoklis
Kāda patvaļīga trīsstūra strups leņķis ir vienāds ar 120º. Par malām, ar kurām to norobežo, zināms, ka viena no tām ir par 8 cm lielāka par otru.Trešās malas garums ir zināms, tas ir 28 cm. Nepieciešams atrast trijstūra perimetru.
Risinājums
Vispirms jums ir jānorāda viena no pusēm ar burtu "x". Šajā gadījumā otrs būs vienāds ar (x + 8). Tā kā visām trim pusēm ir izteiksmes, varat izmantot kosinusa teorēmas sniegto formulu:
28 2 \u003d (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
Kosinusu tabulās jāatrod vērtība, kas atbilst 120 grādiem. Tas būs cipars 0,5 ar mīnusa zīmi. Tagad ir jāatver iekavas, ievērojot visus noteikumus, un jāienes līdzīgi termini:
784 \u003d x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 \u003d 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Šis kvadrātvienādojums tiek atrisināts, atrodot diskriminantu, kas būs vienāds ar:
D \u003d 24 2 - 4 * 3 * (- 720) \u003d 9216.
Tā kā tā vērtība ir lielāka par nulli, vienādojumam ir divas atbildes-saknes.
x 1 \u003d ((-24) + √ (9216)) / (2 * 3) \u003d 12;
x 2 \u003d ((-24) - √ (9216)) / (2 * 3) \u003d -20.
Pēdējā sakne nevar būt atbilde uz problēmu, jo pusei jābūt pozitīvai.
Katrs no mums daudzas stundas sēdēja pie vienas vai otras ģeometrijas problēmas risināšanas. Protams, rodas jautājums, kāpēc vispār ir jāmācās matemātika? Jautājums ir īpaši aktuāls ģeometrijai, kuras zināšanas, ja tās ir noderīgas, ir ļoti reti. Bet matemātikai ir savs mērķis tiem, kas netaisās kļūt par strādniekiem, tā liek cilvēkam strādāt un attīstīties.
Sākotnējais matemātikas mērķis nebija sniegt skolēniem zināšanas par mācību priekšmetu. Skolotāji izvirzīja sev mērķi iemācīt bērniem domāt, spriest, analizēt un argumentēt. Tas ir tieši tas, ko mēs atrodam ģeometrijā ar tās daudzajām aksiomām un teorēmām, sekām un pierādījumiem.
Kosinusa teorēma
Lietošana
Papildus matemātikas un fizikas stundām šī teorēma tiek plaši izmantota arhitektūrā un būvniecībā, lai aprēķinātu nepieciešamās malas un leņķus. To izmanto, lai noteiktu nepieciešamie izmēriēkas un materiālu daudzums, kas būs nepieciešams tā celtniecībai. Protams, lielākā daļa procesu, kas iepriekš prasīja tiešu cilvēka līdzdalību un zināšanas, mūsdienās ir automatizēti. Ir milzīgs skaits programmu, kas ļauj simulēt šādus projektus datorā. Arī to programmēšana tiek veikta, ņemot vērā visus matemātiskos likumus, īpašības un formulas.
