Trapeces viduslīnija ir vienāda ar pusi no lielākās bāzes. Trapece, trapeces viduslīnija, trīsstūris

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Trapeces viduslīnijas jēdziens

Pirmkārt, atcerēsimies, kāda veida figūru sauc par trapecveida formu.

1. definīcija

Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Šajā gadījumā paralēlās malas sauc par trapeces pamatiem, bet neparalēlas – par trapeces sānu malām.

2. definīcija

Trapeces viduslīnija ir segments, kas savieno trapeces sānu malu viduspunktus.

Trapecveida viduslīnijas teorēma

Tagad mēs ieviešam teorēmu par trapeces viduslīniju un pierāda to ar vektora metodi.

1. teorēma

Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatnēm un vienāda ar to pussummu.

Pierādījums.

Dota mums trapece $ABCD$ ar bāzēm $AD\ un\ BC$. Un lai $MN$ -- viduslīnijašī trapece (1. att.).

1. attēls. Trapeces viduslīnija

Pierādīsim, ka $MN||AD\ un\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsveriet vektoru $\overrightarrow(MN)$. Tālāk mēs izmantojam daudzstūra noteikumu, lai pievienotu vektorus. No vienas puses, mēs to saņemam

No otras puses

Saskaitīsim pēdējās divas vienādības un iegūsim

Tā kā $M$ un $N$ ir trapeces sānu malu viduspunkti, mums būs

Mēs iegūstam:

Līdz ar to

No vienas un tās pašas vienādības (tā kā $\overrightarrow(BC)$ un $\overrightarrow(AD)$ ir līdzvirziena un līdz ar to kolineāras) iegūstam, ka $MN||AD$.

Teorēma ir pierādīta.

Problēmu piemēri par trapeces viduslīnijas jēdzienu

1. piemērs

Trapeces sānu malas ir attiecīgi $15\ cm$ un $17\ cm$. Trapeces perimetrs ir $52\cm$. Atrodiet trapeces viduslīnijas garumu.

Risinājums.

Apzīmēsim trapeces viduslīniju ar $n$.

Malu summa ir vienāda ar

Tāpēc, tā kā perimetrs ir $52\ cm$, bāzu summa ir vienāda ar

Tātad ar 1. teorēmu mēs iegūstam

Atbilde:$10\cm$.

2. piemērs

Apļa diametra gali atrodas attiecīgi $9$ cm un $5$ cm attālumā no tā pieskares. Atrodiet šī apļa diametru.

Risinājums.

Dosim mums apli ar centru punktā $O$ un diametru $AB$. Uzzīmēsim tangensu $l$ un konstruēsim attālumus $AD=9\ cm$ un $BC=5\ cm$. Uzzīmēsim rādiusu $OH$ (2. att.).

2. attēls.

Tā kā $AD$ un $BC$ ir attālumi līdz pieskarei, tad $AD\bot l$ un $BC\bot l$ un tā kā $OH$ ir rādiuss, tad $OH\bot l$, tāpēc $OH |\left|AD\right||BC$. No tā visa mēs iegūstam, ka $ABCD$ ir trapece, bet $OH$ ir tās viduslīnija. Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

\[(\Large(\text(brīva trapece)))\]

Definīcijas

Trapecveida forma ir izliekts četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas malas nav paralēlas.

Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatnēm, bet pārējās divas malas sauc par sānu malām.

Trapeces augstums ir perpendikuls, kas nolaižas no jebkura vienas bāzes punkta uz otru pamatni.

Teorēmas: trapeces īpašības

1) Leņķu summa malā ir $180^\circ$ .

2) Diagonāles sadala trapeci četros trīsstūros, no kuriem divi ir līdzīgi, bet pārējie divi ir vienāda izmēra.

Pierādījums

1) jo $AD\parallel BC$, tad leņķi $\angle BAD$ un $\angle ABC$ ir vienpusēji šīm līnijām un šķērsvirziena $AB$, tāpēc $\angle BAD +\angle ABC=180^\circ$.

2) jo $AD\parallel BC$ un $BD$ ir secants, tad $\angle DBC=\angle BDA$ atrodas šķērsām.
Arī $\angle BOC=\angle AOD$ kā vertikāli.
Tāpēc divos leņķos $\trijstūris BOC \sim \trijstūris AOD$.

Pierādīsim to $S_(\trijstūris AOB)=S_(\trijstūris COD)$. Ļaujiet $h$ apzīmēt trapeces augstumu. Tad $S_(\trijstūris ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trijstūris ACD)$. Pēc tam: \

Definīcija

Trapeces viduslīnija ir segments, kas savieno malu viduspunktus.

Teorēma

Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatnēm un vienāda ar to pussummu.

Pierādījums*

1) Pierādīsim paralēlismu.

Novelkam caur punktu $M$ taisni $MN"\parallel AD$ ($N"\in CD$ ). Pēc tam saskaņā ar Tāla teorēmu (kopš $MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB$) punkts $N"$ ir segmenta $CD$ vidus. Tas nozīmē, ka punkti $N$ un $N"$ sakritīs.

2) Pierādīsim formulu.

Darīsim $BB"\perp AD, CC"\perp AD$ . Ļaujiet $BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"$.

Tad saskaņā ar Thales teorēmu $M"$ un $N"$ ir attiecīgi segmentu $BB"$ un $CC"\ viduspunkti). Tas nozīmē, ka \(MM"$ ir $\triangle ABB"$ vidējā līnija, $NN"$ ir $\trīsstūris DCC"$ vidējā līnija. Tāpēc: \

Jo $MN\parallel AD\parallel BC$ un $BB", CC"\perp AD$ , tad $B"M"N"C"$ un $BM"N"C$ ir taisnstūri. Saskaņā ar Tālesa teorēmu no $MN\paralēlā AD$ un $AM=MB$ izriet, ka $B"M"=M"B$ . Tātad $B"M"N"C "$ un $BM"N"C$ ir vienādi taisnstūri, tāpēc $M"N"=B"C"=BC$ .

Tādējādi:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorēma: patvaļīgas trapeces īpašība

Pamatu viduspunkti, trapecveida diagonāļu krustpunkts un sānu malu pagarinājumu krustpunkts atrodas uz vienas taisnes.

Pierādījums*
Ar pierādījumu ieteicams iepazīties pēc tēmas “Trīsstūru līdzība” apguves.

1) Pierādīsim, ka punkti $P$ , $N$ un $M$ atrodas uz vienas taisnes.

Nozīmēsim taisnu līniju $PN$ ($P$ ir sānu malu paplašinājumu krustpunkts, $N$ ir $BC$ vidus). Ļaujiet tai krustot malu $AD$ punktā $M$ . Pierādīsim, ka $M$ ir $AD$ viduspunkts.

Apsveriet $\trijstūris BPN$ un $\trijstūris APM$ . Tie ir līdzīgi divos leņķos ($\angle APM$ – vispārīgs, $\angle PAM=\angle PBN$, kas atbilst $AD\parallel BC$ un $AB$ secant). Līdzekļi: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Apsveriet $\trijstūris CPN$ un $\trijstūris DPM$ . Tie ir līdzīgi divos leņķos ($\angle DPM$ – vispārīgs, $\angle PDM=\angle PCN$, kas atbilst $AD\parallel BC$ un $CD$ secant). Līdzekļi: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

No šejienes $\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)$. Bet $BN=NC$ tāpēc $AM=DM$ .

2) Pierādīsim, ka punkti $N, O, M$ atrodas uz vienas taisnes.

Pieņemsim, ka $N$ ir $BC$ viduspunkts un $O$ ir diagonāļu krustpunkts. Novelkam taisni $NO$ , tā krustos malu $AD$ punktā $M$ . Pierādīsim, ka $M$ ir $AD$ viduspunkts.

$\trijstūris BNO\sim \trijstūris DMO$ pa diviem leņķiem ($\angle OBN=\angle ODM$, kas atrodas šķērsām pie $BC\parallel AD$ un $BD$ secant; $\angle BON=\angle DOM$ kā vertikāli). Līdzekļi: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Tāpat $\trijstūris CON\sim \trijstūris AOM$. Līdzekļi: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

No šejienes $\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)$. Bet $BN=CN$ tāpēc $AM=MD$ .

\[(\Large(\text(vienādsānu trapece)))\]

Definīcijas

Trapecveida formu sauc par taisnstūri, ja viens no tās leņķiem ir taisns.

Trapeci sauc par vienādsānu, ja tās malas ir vienādas.

Teorēmas: vienādsānu trapeces īpašības

1) Vienādsānu trapecei ir vienādi pamata leņķi.

2) Vienādsānu trapeces diagonāles ir vienādas.

3) Divi trīsstūri, ko veido diagonāles un pamatne, ir vienādsānu.

Pierādījums

1) Aplūkosim vienādsānu trapeci $ABCD$ .

No virsotnēm $B$ un $C$ mēs nolaižam perpendikulus $BM$ un $CN$ attiecīgi uz malu $AD$. Tā kā $BM\perp AD$ un $CN\perp AD$ , tad $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , tad $MBCN$ ir paralelograms, tāpēc $BM = CN$ .

Apsvērsim taisnie trīsstūri$ABM$ un $CDN$ . Tā kā to hipotenūzas ir vienādas un kāja $BM$ ir vienāda ar kāju $CN$, tad šie trīsstūri ir vienādi, tāpēc $\angle DAB = \angle CDA$ .

Jo $AB=CD, \angle A=\angle D, AD$– vispārīgi, tad pēc pirmās zīmes. Tāpēc $AC=BD$ .

3) jo $\trijstūris ABD=\trijstūris ACD$, tad $\angle BDA=\angle CAD$ . Tāpēc trīsstūris $\trijstūris AOD$ ir vienādsānu. Līdzīgi ir pierādīts, ka $\trijstūris BOC$ ir vienādsānu.

Teorēmas: vienādsānu trapeces pazīmes

1) Ja trapecei ir vienādi pamata leņķi, tad tā ir vienādsānu.

2) Ja trapecei ir vienādas diagonāles, tad tā ir vienādsānu.

Pierādījums

Apsveriet trapecveida $ABCD$ tādu, ka $\angle A = \angle D$ .

Pabeigsim trapecveida formu līdz trīsstūrim $AED$, kā parādīts attēlā. Tā kā $\angle 1 = \angle 2$ , tad trīsstūris $AED$ ir vienādsānu un $AE = ED$ . Leņķi $1$ un $3$ ir vienādi kā atbilstošie leņķi paralēlām līnijām $AD$ un $BC$ un šķērsvirziena $AB$. Tāpat leņķi $2$ un $4$ ir vienādi, bet $\angle 1 = \angle 2$, tad $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$, tāpēc trīsstūris $BEC$ ir arī vienādsānu un $BE = EC$ .

Galu galā $AB = AE — BE = DE — CE = CD$, tas ir, $AB = CD$, kas bija jāpierāda.

2) Ļaujiet $AC=BD$ . Jo $\trijstūris AOD\sim \trijstūris BOC$, tad to līdzības koeficientu apzīmējam kā $k$ . Tad, ja $BO=x$ , tad $OD=kx$ . Līdzīgi kā $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Jo $AC=BD$ , pēc tam $x+kx=y+ky \Pa labi x=y$ . Tas nozīmē, ka $\trijstūris AOD$ ir vienādsānu un $\angle OAD=\angle ODA$ .

Tādējādi saskaņā ar pirmo zīmi $\trijstūris ABD=\trijstūris ACD$ ($AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$- vispārīgi). Tātad, $AB=CD$ , kāpēc.

Šajā rakstā mēs centīsimies pēc iespējas pilnīgāk atspoguļot trapeces īpašības. Jo īpaši mēs runāsim par vispārīgas pazīmes un trapeces īpašības, kā arī par ievilktas trapeces un par trapecveidā ierakstīta apļa īpašībām. Pieskarsimies arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces īpašībām.

Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot apspriestos rekvizītus, palīdzēs sakārtot to pa vietām jūsu galvā un labāk atcerēties materiālu.

Trapece un viss-viss-viss

Sākumā īsi atcerēsimies, kas ir trapecveida forma un kādi citi jēdzieni ar to ir saistīti.

Tātad trapece ir četrstūra figūra, kuras divas malas ir paralēlas viena otrai (tās ir pamatnes). Un tie divi nav paralēli – tās ir malas.

Trapecveida formā augstumu var pazemināt - perpendikulāri pamatnēm. Tiek novilkta centra līnija un diagonāles. Bisektoru var uzzīmēt arī no jebkura trapeces leņķa.

Par dažādas īpašības, kas saistīti ar visiem šiem elementiem un to kombinācijām, mēs tagad runāsim.

Trapecveida diagonāļu īpašības

Lai tas būtu skaidrāk, lasīšanas laikā uz papīra uzzīmējiet trapecveida formu ACME un uzzīmējiet tajā diagonāles.

Ja atrodat katras diagonāles viduspunktus (sauksim šos punktus X un T) un savienojat tos, iegūstat segmentu. Viena no trapeces diagonāļu īpašībām ir tā, ka segments HT atrodas uz viduslīnijas. Un tā garumu var iegūt, dalot bāzu starpību ar diviem: ХТ = (a – b)/2.
Pirms mums ir tā pati trapece ACME. Diagonāles krustojas punktā O. Apskatīsim trijstūrus AOE un MOK, ko veido diagonāļu segmenti kopā ar trapeces pamatiem. Šie trīsstūri ir līdzīgi. Trīsstūru līdzības koeficientu k izsaka ar trapeces pamatu attiecību: k = AE/KM.
Trijstūru AOE un MOK laukumu attiecību raksturo koeficients k 2 .
Tāda pati trapece, tās pašas diagonāles, kas krustojas punktā O. Tikai šoreiz apskatīsim trijstūrus, kurus diagonāļu segmenti veidoja kopā ar trapeces malām. Trijstūriem AKO un EMO laukumi ir vienādi – to laukumi ir vienādi.
Vēl viena trapeces īpašība ir diagonāļu konstrukcija. Tātad, ja turpināsiet AK un ME malas mazākās bāzes virzienā, tad agri vai vēlu tās krustosies noteiktā punktā. Pēc tam novelciet taisnu līniju caur trapecveida pamatnes vidu. Tas krusto bāzes punktos X un T.
Ja tagad pagarināsim taisni XT, tad tā savienos kopā trapeces O diagonāļu krustpunktu, punktu, kurā krustojas X un T pamatu malu pagarinājumi un vidus.
Caur diagonāļu krustpunktu novelkam nogriezni, kas savienos trapeces pamatus (T atrodas uz mazākā pamata KM, X uz lielākā AE). Diagonāļu krustošanās punkts dala šo segmentu šādā proporcijā: TO/OX = KM/AE.
Tagad, izmantojot diagonāļu krustošanās punktu, mēs uzzīmēsim segmentu, kas ir paralēls trapeces (a un b) pamatiem. Krustpunkts sadalīs to divās vienādās daļās. Segmenta garumu var atrast, izmantojot formulu 2ab/(a + b).

Trapeces viduslīnijas īpašības

Novelciet vidējo līniju trapecveidā paralēli tās pamatiem.

Trapeces viduslīnijas garumu var aprēķināt, saskaitot pamatņu garumus un dalot tos uz pusēm: m = (a + b)/2.
Ja velciet jebkuru segmentu (piemēram, augstumu) caur abām trapeces pamatnēm, vidējā līnija to sadalīs divās vienādās daļās.

Trapecveida bisektoru īpašība

Izvēlieties jebkuru trapeces leņķi un uzzīmējiet bisektrisi. Ņemsim, piemēram, mūsu trapeces ACME leņķi KAE. Pats pabeidzot konstrukciju, varat viegli pārbaudīt, vai bisektrise no pamatnes (vai tās turpinājuma uz taisnas līnijas ārpus pašas figūras) nogriež segmentu, kura garums ir vienāds ar sānu.

Trapecveida leņķu īpašības

Neatkarīgi no tā, kuru no diviem leņķu pāriem, kas atrodas blakus jūsu izvēlētajai pusei, pāra leņķu summa vienmēr ir 180 0: α + β = 180 0 un γ + δ = 180 0.
Savienosim trapeces pamatu viduspunktus ar nogriezni TX. Tagad apskatīsim leņķus trapeces pamatnēs. Ja leņķu summa jebkuram no tiem ir 90 0, segmenta TX garumu var viegli aprēķināt, pamatojoties uz pamatu garumu starpību, kas sadalīta uz pusēm: TX = (AE – KM)/2.
Ja caur trapecveida leņķa malām tiek novilktas paralēlas līnijas, tās sadalīs leņķa malas proporcionālos segmentos.

Vienādsānu (vienādmalu) trapeces īpašības

Vienādsānu trapecē leņķi jebkurā pamatnē ir vienādi.
Tagad atkal izveidojiet trapecveida formu, lai būtu vieglāk iedomāties, par ko mēs runājam. Uzmanīgi apskatiet bāzes AE – pretējās bāzes M virsotne tiek projicēta uz noteiktu punktu uz līnijas, kas satur AE. Attālums no virsotnes A līdz virsotnes M projekcijas punktam un vienādsānu trapeces viduslīnijai ir vienāds.
Daži vārdi par vienādsānu trapeces diagonāļu īpašību - to garumi ir vienādi. Un arī šo diagonāļu slīpuma leņķi pret trapeces pamatni ir vienādi.
Apli var aprakstīt tikai ap vienādsānu trapeci, jo četrstūra pretējo leņķu summa ir 180 0 - priekšnoteikums par šo.
Vienādsānu trapeces īpašība izriet no iepriekšējās rindkopas - ja trapeces tuvumā var aprakstīt apli, tas ir vienādsānu.
No vienādsānu trapeces pazīmēm izriet trapeces augstuma īpašība: ja tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, tad augstuma garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas: h = (a + b)/2.
Atkal novelciet nogriezni TX caur trapeces pamatu viduspunktiem - vienādsānu trapecē tas ir perpendikulārs pamatiem. Un tajā pašā laikā TX ir vienādsānu trapeces simetrijas ass.
Šoreiz nolaidiet augstumu no trapeces pretējās virsotnes uz lielāko pamatni (sauksim to par a). Jūs iegūsit divus segmentus. Viena garumu var atrast, ja saskaita pamatņu garumus un sadala uz pusēm: (a + b)/2. Otro mēs iegūstam, kad no lielākās bāzes atņemam mazāko un iegūto starpību sadalām ar diviem: (a – b)/2.

Aplī ierakstītas trapeces īpašības

Tā kā mēs jau runājam par trapecveida formu, kas ierakstīta aplī, ļaujiet mums pakavēties pie šī jautājuma sīkāk. Jo īpaši, kur apļa centrs atrodas attiecībā pret trapecveida formu. Arī šeit ieteicams neslinkot, paņemt rokās zīmuli un uzzīmēt to, par ko runā. mēs parunāsim zemāk. Tādā veidā jūs ātrāk sapratīsit un labāk atcerēsities.

Apļa centra atrašanās vietu nosaka trapecveida diagonāles slīpuma leņķis uz sāniem. Piemēram, diagonāle var stiepties no trapeces augšdaļas taisnā leņķī uz sāniem. Šajā gadījumā lielākā bāze krustojas ar ierobežotā apļa centru precīzi vidū (R = ½AE).
Diagonāle un sāni var satikties arī zem akūts leņķis– tad apļa centrs atrodas trapeces iekšpusē.
Ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trapeces, aiz tās lielākās pamatnes, ja starp trapeces diagonāli un malu ir strups leņķis.
Leņķis, ko veido trapeces ACME diagonāle un lielā pamatne (ierakstītais leņķis), ir puse no tam atbilstošā centrālā leņķa: MAE = ½ MOE.
Īsumā par diviem veidiem, kā atrast ierobežota apļa rādiusu. Pirmā metode: uzmanīgi apskatiet savu zīmējumu - ko jūs redzat? Jūs varat viegli pamanīt, ka diagonāle sadala trapeci divos trīsstūros. Rādiusu var atrast pēc trijstūra malas attiecības pret pretējā leņķa sinusu, reizinot ar divi. Piemēram, R = AE/2*sinAME. Formulu var uzrakstīt līdzīgi jebkurai no abu trīsstūru malām.
Otrā metode: atrodiet ierobežotā apļa rādiusu caur trijstūra laukumu, ko veido trapeces diagonāle, mala un pamatne: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ap apli norobežotas trapeces īpašības

Apli var ievietot trapecē, ja ir izpildīts viens nosacījums. Lasiet vairāk par to zemāk. Un kopā šai figūru kombinācijai ir vairākas interesantas īpašības.

Ja aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tā viduslīnijas garumu var viegli atrast, saskaitot malu garumus un iegūto summu dalot uz pusēm: m = (c + d)/2.
Trapecei ACME, kas aprakstīta ap apli, pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu: AK + ME = KM + AE.
No šīs trapeces pamatu īpašības izriet apgriezts apgalvojums: trapecveidā var ierakstīt apli, kura pamatu summa ir vienāda ar tās malu summu.
Trapecē ierakstītais riņķa rādiusa r pieskares punkts sadala malu divos segmentos, sauksim tos par a un b. Apļa rādiusu var aprēķināt, izmantojot formulu: r = √ab.
Un vēl viens īpašums. Lai izvairītos no neskaidrībām, uzzīmējiet šo piemēru arī pats. Mums ir vecā labā trapece ACME, kas aprakstīta ap apli. Tajā ir diagonāles, kas krustojas punktā O. Trijstūri AOK un EOM, ko veido diagonāļu segmenti un sānu malas, ir taisnstūrveida.
Šo trīsstūru augstumi, nolaisti līdz hipotenūzām (t.i., trapeces sānu malām), sakrīt ar ierakstītā apļa rādiusiem. Un trapeces augstums sakrīt ar ierakstītā apļa diametru.

Taisnstūra trapeces īpašības

Trapecveida formu sauc par taisnstūri, ja viens no tās leņķiem ir taisns. Un tā īpašības izriet no šī apstākļa.

Taisnstūra trapeces viena no malām ir perpendikulāra tās pamatnei.
Trapeces augstums un sānu mala blakus taisnā leņķī, ir vienādi. Tas ļauj aprēķināt taisnstūra trapeces laukumu (vispārējā formula S = (a + b) * h/2) ne tikai caur augstumu, bet arī caur malu, kas atrodas blakus taisnam leņķim.
Taisnstūra trapecveida formai ir svarīgas jau iepriekš aprakstītās trapeces diagonāļu vispārīgās īpašības.

Pierādījumi par dažām trapeces īpašībām

Leņķu vienādība vienādsānu trapeces pamatnē:

Jūs droši vien jau uzminējāt, ka šeit mums atkal būs nepieciešama AKME trapece - uzzīmējiet vienādsānu trapeci. Novelciet taisni MT no virsotnes M paralēli AK malai (MT || AK).

Iegūtais četrstūris AKMT ir paralelograms (AK || MT, KM || AT). Tā kā ME = KA = MT, ∆ MTE ir vienādsānu un MET = MTE.

AK || MT, tāpēc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kur AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tagad, pamatojoties uz vienādsānu trapeces īpašību (diagonāļu vienādība), mēs pierādām, ka trapece ACME ir vienādsānu:

Vispirms novelkam taisnu līniju MX – MX || KE. Iegūstam paralelogramu KMHE (bāze – MX || KE un KM || EX).

∆AMX ir vienādsānu, jo AM = KE = MX un MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, tāpēc MAE = MXE.

Izrādījās, ka trijstūri AKE un EMA ir vienādi viens ar otru, jo AM = KE un AE ir abu trīsstūru kopējā mala. Un arī MAE = MXE. Varam secināt, ka AK = ME, un no tā izriet, ka trapece AKME ir vienādsānu.

Pārskatiet uzdevumu

Trapecveida ACME pamati ir 9 cm un 21 cm, sānu mala KA, kas vienāda ar 8 cm, veido 150 0 leņķi ar mazāko pamatni. Jums jāatrod trapeces laukums.

Risinājums: No virsotnes K nolaižam augstumu līdz lielākajai trapeces pamatnei. Un sāksim aplūkot trapeces leņķus.

Leņķi AEM un KAN ir vienpusēji. Tas nozīmē, ka kopā viņi dod 180 0. Tāpēc KAN = 30 0 (pamatojoties uz trapecveida leņķu īpašību).

Tagad apskatīsim taisnstūrveida ∆ANC (es uzskatu, ka lasītājiem šis punkts ir acīmredzams bez papildu pierādījumiem). No tā mēs atradīsim trapeces KH augstumu - trijstūrī tā ir kāja, kas atrodas pretī leņķim 30 0. Tāpēc KH = ½AB = 4 cm.

Mēs atrodam trapeces laukumu, izmantojot formulu: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pēcvārds

Ja rūpīgi un pārdomāti izpētījāt šo rakstu, nebija pārāk slinks, lai ar zīmuli rokās uzzīmētu trapeces visām dotajām īpašībām un analizētu tās praksē, jums vajadzēja labi apgūt materiālu.

Protams, šeit ir daudz informācijas, daudzveidīga un dažreiz pat mulsinoša: nav tik grūti sajaukt aprakstītās trapeces īpašības ar ierakstītās īpašības. Bet jūs pats esat redzējis, ka atšķirība ir milzīga.

Tagad jums ir detalizēts visu kopsavilkums vispārīgas īpašības trapeces. Kā arī specifiskas īpašības un raksturlielumi vienādsānu un taisnstūrveida trapecveida formām. Tas ir ļoti ērti lietojams, lai sagatavotos ieskaitēm un eksāmeniem. Izmēģiniet to pats un kopīgojiet saiti ar draugiem!

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.