Taisnes parametriskais vienādojums plaknē. Parametriskie vienādojumi Taisnes vienādojums parametriskā formā telpā

Noteikti izlasiet šo rindkopu! Parametriskie vienādojumi, protams, nav telpiskās ģeometrijas alfa un omega, bet gan daudzu problēmu darba skudra. Turklāt šāda veida vienādojumi bieži tiek izmantoti negaidīti un, es teiktu, eleganti.

Ja ir zināms līnijai piederošais punkts un šīs taisnes virziena vektors, tad šīs taisnes parametriskos vienādojumus dod sistēma:

Es klasē runāju par parametrisko vienādojumu jēdzienu Taisnes vienādojums plaknē Un Parametriski definētas funkcijas atvasinājums.

Viss ir vienkāršāk nekā tvaicēti rāceņi, tāpēc jums būs jāpaātrina problēma:

7. piemērs

Risinājums: Līnijas tiek dotas ar kanoniskiem vienādojumiem, un pirmajā posmā jāatrod kāds punkts, kas pieder līnijai un tās virziena vektoram.

a) No vienādojumiem izņemam punktu un virziena vektoru: . Jūs varat izvēlēties citu punktu (kā to izdarīt, ir aprakstīts iepriekš), taču labāk ir izvēlēties visredzamāko. Starp citu, lai izvairītos no kļūdām, vienmēr vienādojumos aizstājiet tās koordinātas.

Izveidosim parametru vienādojumus šai līnijai:

Parametrisko vienādojumu ērtība ir tāda, ka tie ļauj ļoti viegli atrast citus punktus uz līnijas. Piemēram, atradīsim punktu, kura koordinātas, teiksim, atbilst parametra vērtībai:

Tādējādi:

b) Apsveriet kanoniskos vienādojumus. Punkta izvēle šeit nav grūta, bet nodevīga: (uzmanieties, lai nesajauktu koordinātes!!!). Kā noņemt virzošo vektoru? Varat spekulēt par to, kam šī līnija ir paralēla, vai arī varat izmantot vienkāršu formālu paņēmienu: proporcijā ir “Y” un “Z”, tāpēc mēs pierakstām virziena vektoru un atlikušajā vietā ievietojam nulli: .

Sastādām taisnes parametriskos vienādojumus:

c) Pārrakstīsim vienādojumus formā , tas ir, “zet” var būt jebkas. Un, ja ar kādu, tad lai, piemēram, . Tādējādi punkts pieder šai līnijai. Lai atrastu virziena vektoru, mēs izmantojam šādu formālu paņēmienu: oriģinālajos vienādojumos ir “x” un “y”, un virziena vektorā šajās vietās mēs rakstām nulles: . Atlikušajā vietā mēs ievietojam vienība: . Viena vietā derēs jebkurš skaitlis, izņemot nulli.

Pierakstīsim taisnes parametriskos vienādojumus:

Apmācībai:

8. piemērs

Sastādiet šādu taisnu līniju parametriskos vienādojumus:

Risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jūsu saņemtās atbildes var nedaudz atšķirties no manām atbildēm, būtība ir tāda parametriskos vienādojumus var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā. Ir svarīgi, lai jūsu un mani virziena vektori būtu kolineāri un jūsu punkts “iekļautos” maniem vienādojumiem (labi, vai otrādi, mans punkts atbilst jūsu vienādojumiem).

Kā vēl jūs varat definēt taisnu līniju telpā? Es gribētu kaut ko izdomāt ar parasto vektoru. Tomēr skaitlis nedarbosies, telpiskās līnijas normālie vektori var skatīties pilnīgi dažādos virzienos.

Vēl viena metode jau tika minēta nodarbībā. Plaknes vienādojums un šī raksta sākumā.

LEŅĶIS STARP PLAKNĒM

Apsveriet divas plaknes α 1 un α 2, kas attiecīgi definētas ar vienādojumiem:

Zem leņķis starp divām plaknēm mēs sapratīsim vienu no diedrālajiem leņķiem, ko veido šīs plaknes. Ir skaidrs, ka leņķis starp normālvektoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vienu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai . Tieši tāpēc . Jo Un , Tas

.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+4=0 un 2 x+3y+z+8=0.

Divu plakņu paralēlisma nosacījums.

Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir paralēli, un tāpēc .

Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja atbilstošo koordinātu koeficienti ir proporcionāli:

vai

Plakņu perpendikulitātes nosacījums.

Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir perpendikulāri, un tāpēc vai .

Tādējādi,.

Piemēri.

TAISNI KOSMOSĀ.

VEKTORU VIENĀDOJUMS LĪNIJAI.

PARAMETRISKI TIEŠIE VIENĀDĀJUMI

Līnijas novietojums telpā tiek pilnībā noteikts, norādot jebkuru tās fiksēto punktu M 1 un šai taisnei paralēlu vektoru.

Tiek izsaukts vektors, kas ir paralēls taisnei ceļvežišīs līnijas vektors.

Tātad ļaujiet taisnai līnijai l iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1), kas atrodas uz taisnes, kas ir paralēla vektoram .

Apsveriet patvaļīgu punktu M(x,y,z) uz taisnas līnijas. No attēla ir skaidrs, ka .

Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas , kur ir reizinātājs t atkarībā no punkta atrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Faktors t sauc par parametru. Pēc punktu rādiusa vektoru noteikšanas M 1 un M attiecīgi caur un , mēs iegūstam . Šo vienādojumu sauc vektors taisnas līnijas vienādojums. Tas parāda, ka katrai parametra vērtībai t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M, guļ uz taisnas līnijas.

Uzrakstīsim šo vienādojumu koordinātu formā. Ņemiet vērā, ka un no šejienes

Iegūtos vienādojumus sauc parametrisks taisnas līnijas vienādojumi.

Mainot parametru t mainās koordinātas x, y Un z un periods M pārvietojas taisnā līnijā.

TIEŠĀ KANONISKIE VIENĀDĀJUMI

Ļaujiet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – punkts, kas atrodas uz taisnes l, Un ir tā virziena vektors. Atkal paņemsim patvaļīgu punktu uz līnijas M(x,y,z) un apsveriet vektoru .

Ir skaidrs, ka arī vektori ir kolineāri, tāpēc to atbilstošajām koordinātām jābūt proporcionālām, tāpēc

– kanonisks taisnas līnijas vienādojumi.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem, izslēdzot parametru t. Patiešām, no parametru vienādojumiem mēs iegūstam vai .

Piemērs. Pierakstiet līnijas vienādojumu parametriskā formā.

Apzīmēsim , no šejienes x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. piezīme. Lai taisne būtu perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, piemēram, asij Vērsis. Tad taisnes virziena vektors ir perpendikulārs Vērsis, tātad, m=0. Līdz ar to līnijas parametriskie vienādojumi iegūs formu

Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnes vienādojumus formā

Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli ierakstīt līnijas kanoniskos vienādojumus formā . Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka taisne ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.

Līdzīgi kā kanoniskajiem vienādojumiem atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Vērsis Un Oy vai paralēli asij Oz.

Piemēri.

TAISNES LĪNIJAS VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI KĀ DIVU LAKMEŅU KRUSTOJUMA LĪNIJAS

Caur katru taisni kosmosā ir neskaitāmas plaknes. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Līdz ar to jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, attēlo šīs līnijas vienādojumus.

Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi

noteikt to krustojuma taisni. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi tiešā veidā.

Piemēri.

Izveidojiet taisni, kas dota ar vienādojumu

Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek atrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids ir izvēlēties taisnas līnijas krustošanās punktus ar koordinātu plaknēm. Piemēram, krustošanās punkts ar plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, pieņemot z= 0:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).

Tāpat, pieņemot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:

No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem var pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz taisnes un taisnes virziena vektoru.

Punkta koordinātas M 1 mēs iegūstam no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vektoru, ņemiet vērā, ka šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem Un . Tāpēc aiz taisnes virziena vektora l jūs varat ņemt parasto vektoru vektorreizinājumu:

.

Piemērs. Dodiet taisnes vispārīgos vienādojumus uz kanonisko formu.

Atradīsim punktu, kas atrodas uz līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, piemēram, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas Tāpēc virziena vektors būs taisns

. Tāpēc l: .

LEŅĶIS STARP TAISNĒM

Leņķis starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus esošajiem leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu paralēli datiem.

Telpā dotas divas rindas:

Acīmredzot leņķi φ starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad, izmantojot formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam

Viens no tēmas “Tiesnes vienādojums plaknē” apakšpunktiem ir taisnstūra koordinātu sistēmas plaknes parametrisko vienādojumu sastādīšanas jautājums. Tālāk esošajā rakstā ir apskatīts šādu vienādojumu sastādīšanas princips, ņemot vērā noteiktus zināmus datus. Mēs parādīsim, kā pāriet no parametriskiem vienādojumiem uz cita veida vienādojumiem; Apskatīsim tipisku problēmu risināšanu.

Konkrētu līniju var definēt, norādot punktu, kas pieder šai līnijai, un līnijas virziena vektoru.

Pieņemsim, ka mums ir dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y. Un arī ir dota taisne a, kas norāda uz tās esošo punktu M 1 (x 1, y 1) un dotās taisnes virziena vektoru a → = (a x , a y) . Sniegsim dotās taisnes a aprakstu, izmantojot vienādojumus.

Mēs izmantojam patvaļīgu punktu M (x, y) un iegūstam vektoru M 1 M → ; Aprēķināsim tā koordinātas no sākuma un beigu punktu koordinātām: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Aprakstīsim iegūto: taisni nosaka punktu kopa M (x, y), tā iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un tai ir virziena vektors. a → = (a x , a y) . Šī kopa definē taisni tikai tad, ja vektori M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) un a → = (a x, a y) ir kolineāri.

Ir nepieciešams un pietiekams nosacījums vektoru kolinearitātei, ko šajā gadījumā vektoriem M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) un a → = (a x, a y) var uzrakstīt kā vienādojumu:

M 1 M → = λ · a → , kur λ ir kāds reāls skaitlis.

1. definīcija

Vienādojumu M 1 M → = λ · a → sauc par taisnes vektorparametrisko vienādojumu.

Koordinātu formā tas izskatās šādi:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Iegūtās sistēmas vienādojumus x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sauc par taisnstūra koordinātu sistēmas plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem. Nosaukuma būtība ir šāda: visu taisnes punktu koordinātas var noteikt ar parametriskiem vienādojumiem plaknē, kuras forma ir x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, uzskaitot visus reālos. parametra λ vērtības

Saskaņā ar iepriekš minēto, taisnes parametru vienādojumi plaknē x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ definē taisni, kas definēta taisnstūra koordinātu sistēmā, iet caur punktu M. 1 (x 1, y 1), un tam ir virzošais vektors a → = (a x , a y) . Līdz ar to, ja ir dotas noteikta taisnes punkta koordinātas un tā virziena vektora koordinātas, tad ir iespējams uzreiz pierakstīt dotās taisnes parametriskos vienādojumus.

1. piemērs

Taisnes līnijas parametriskos vienādojumus jāsastāda plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā, ja ir dots tai piederošais punkts M 1 (2, 3) un tā virziena vektors. a → = (3 , 1) .

Risinājums

Pamatojoties uz sākotnējiem datiem, iegūstam: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametru vienādojumi izskatīsies šādi:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ļaujiet mums skaidri ilustrēt:

Atbilde: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Jāņem vērā: ja vektors a → = (a x , a y) kalpo kā taisnes a virziena vektors, un šai līnijai pieder punkti M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2), tad to var noteikt, norādot parametriskos vienādojumus formā: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , kā arī šī opcija: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

Piemēram, mums ir dots taisnas līnijas virzošais vektors a → = (2, - 1), kā arī šai līnijai piederošos punktus M 1 (1, - 2) un M 2 (3, - 3). Tad taisni nosaka parametru vienādojumi: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ vai x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Jums vajadzētu pievērst uzmanību arī šādam faktam: ja a → = (a x , a y) ir taisnes a virziena vektors, tad jebkurš no vektoriem būs tās virziena vektors μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , kur μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Tādējādi taisnstūrveida koordinātu sistēmas plaknes taisni a var noteikt ar parametru vienādojumiem: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ jebkurai μ vērtībai, kas nav nulle.

Pieņemsim, ka taisne a ir dota ar parametru vienādojumiem x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Tad a → = (2 , - 5) - šīs taisnes virziena vektors. Un arī jebkurš no vektoriem μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 kļūs par virzošo vektoru noteiktai līnijai. Skaidrības labad apsveriet konkrētu vektoru - 2 · a → = (- 4, 10), tas atbilst vērtībai μ = - 2. Šajā gadījumā doto taisni var noteikt arī ar parametru vienādojumiem x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Pāreja no plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem uz citiem dotās taisnes vienādojumiem un atpakaļ

Dažu uzdevumu risināšanā parametrisko vienādojumu izmantošana nav optimālākais variants, tad rodas nepieciešamība pārveidot taisnes parametriskos vienādojumos cita veida taisnes vienādojumos. Apskatīsim, kā to izdarīt.

Taisnes ar formu x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ parametriskie vienādojumi atbildīs taisnes kanoniskajam vienādojumam plaknē x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Atrisināsim katru parametrisko vienādojumu attiecībā pret parametru λ, pielīdzināsim iegūto vienādību labās puses un iegūsim dotās taisnes kanonisko vienādojumu:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Šajā gadījumā nevajadzētu būt mulsinošam, ja x vai a y ir vienāds ar nulli.

2. piemērs

Nepieciešams veikt pāreju no taisnes x = 3 y = - 2 - 4 · λ parametriskajiem vienādojumiem uz kanonisko vienādojumu.

Risinājums

Uzrakstīsim dotos parametriskos vienādojumus šādā formā: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Izteiksim parametru λ katrā no vienādojumiem: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Pielīdzināsim vienādojumu sistēmas labās puses un iegūsim nepieciešamo kanonisko vienādojumu taisnei plaknē:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Atbilde: x - 3 0 = y + 2 - 4

Gadījumā, ja nepieciešams uzrakstīt taisnes vienādojumu formā A x + B y + C = 0, un ir doti plaknes taisnes parametriskie vienādojumi, vispirms ir jāveic pāreja uz kanonisko. vienādojumu un pēc tam uz līnijas vispārējo vienādojumu. Pierakstīsim visu darbību secību:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

3. piemērs

Ir nepieciešams pierakstīt taisnes vispārīgo vienādojumu, ja ir doti to definējošie parametru vienādojumi: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Risinājums

Vispirms veiksim pāreju uz kanonisko vienādojumu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Iegūtā proporcija ir identiska vienādībai - 3 · (x + 1) = 2 · y. Atvērsim iekavas un iegūstam taisnes vispārīgo vienādojumu: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Atbilde: 3 x + 2 y + 3 = 0

Ievērojot iepriekš minēto darbību loģiku, lai iegūtu taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu, taisnes vienādojumu nogriežņos vai taisnes normālu vienādojumu, ir jāiegūst vispārīgais taisnes vienādojums un pēc tam veikt turpmāku pāreju no tā.

Tagad apsveriet apgriezto darbību: līnijas parametrisko vienādojumu rakstīšana ar atšķirīgu šīs līnijas vienādojumu formu.

Vienkāršākā pāreja: no kanoniskā vienādojuma uz parametriskajiem vienādojumiem. Dots kanoniskais vienādojums ar formu: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Pieņemsim, ka katra no šīs vienādības attiecībām ir vienāda ar parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Atrisināsim iegūtos vienādojumus mainīgajiem x un y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

4. piemērs

Ir nepieciešams pierakstīt taisnes parametriskos vienādojumus, ja ir zināms taisnes kanoniskais vienādojums plaknē: x - 2 5 = y - 2 2

Risinājums

Pielīdzināsim zināmā vienādojuma daļas parametram λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. No iegūtās vienādības iegūstam taisnes parametriskos vienādojumus: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Atbilde: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Ja nepieciešams veikt pāreju uz parametriskiem vienādojumiem no noteikta vispārīga taisnes vienādojuma, taisnes vienādojuma ar leņķa koeficientu vai līnijas vienādojuma segmentos, sākotnējais vienādojums ir jāpārnes uz kanonisko vienādojumu. vienu, un pēc tam veiciet pāreju uz parametriskajiem vienādojumiem.

5. piemērs

Nepieciešams pierakstīt taisnes parametriskos vienādojumus ar zināmu šīs taisnes vispārīgo vienādojumu: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Risinājums

Pārveidosim doto vispārīgo vienādojumu par kanoniskās formas vienādojumu:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 g + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 g + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Pielīdzināsim abas vienādības puses parametram λ un iegūsim vajadzīgos taisnes parametriskos vienādojumus:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Atbilde: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Piemēri un problēmas ar plaknes taisnes parametriskajiem vienādojumiem

Apskatīsim biežāk sastopamos problēmu veidus, izmantojot taisnstūra koordinātu sistēmas plaknes parametriskos vienādojumus.

1. Pirmā tipa uzdevumos punktu koordinātas ir norādītas neatkarīgi no tā, vai tie pieder pie parametru vienādojumu aprakstītas taisnes.

Šādu problēmu risinājums ir balstīts uz šādu faktu: skaitļi (x, y), kas noteikti no parametru vienādojumiem x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ kādai reālai vērtībai λ, ir koordinātes. punktam, kas pieder līnijai, kas ir aprakstīta šajos parametru vienādojumos.

6. piemērs

Nepieciešams noteikt koordinātas punktam, kas atrodas uz taisnes, kas noteikta ar parametru vienādojumu x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pie λ = 3.

Risinājums

Aizstāsim zināmo vērtību λ = 3 dotajos parametru vienādojumos un aprēķināsim vajadzīgās koordinātas: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Atbilde: 1 1 2 , 5

Iespējams arī šāds uzdevums: ļaujiet taisnstūra koordinātu sistēmas plaknē dot noteiktu punktu M 0 (x 0 , y 0) un noteikt, vai šis punkts ietilpst taisnē, ko apraksta parametru vienādojumi x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Lai atrisinātu šādu problēmu, ir jāaizstāj dotā punkta koordinātas ar zināmiem taisnes parametru vienādojumiem. Ja tiek noteikts, ka ir iespējama parametra vērtība λ = λ 0, kurai ir patiesi abi parametru vienādojumi, tad dotais punkts pieder pie dotās taisnes.

7. piemērs

Doti punkti M 0 (4, - 2) un N 0 (- 2, 1). Jānoskaidro, vai tie pieder pie līnijas, ko nosaka parametru vienādojumi x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Risinājums

Aizstāsim punkta M 0 (4, - 2) koordinātas dotajos parametriskajos vienādojumos:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Secinam, ka punkts M 0 pieder dotajai taisnei, jo atbilst vērtībai λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Acīmredzot nav tāda parametra λ, kuram atbilstu punkts N 0. Citiem vārdiem sakot, dotā taisne neiet caur punktu N 0 (- 2, 1).

Atbilde: punkts M 0 pieder noteiktai taisnei; punkts N 0 nepieder dotajai taisnei.

1. Otrā tipa uzdevumos ir jāsastāda taisnstūrveida koordinātu sistēmas plaknes taisnes parametriskie vienādojumi. Vienkāršākais šādas problēmas piemērs (ar zināmām taisnes punkta un virziena vektora koordinātām) tika aplūkots iepriekš. Tagad apskatīsim piemērus, kuros vispirms jāatrod virzošā vektora koordinātas un pēc tam jāpieraksta parametru vienādojumi.

Dots punkts M 1 1 2 , 2 3 . Ir nepieciešams izveidot parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur šo punktu un ir paralēla taisnei x 2 = y - 3 - 1.

Risinājums

Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem taisne, kuras vienādojums mums ir jāapsteidz, ir paralēla taisnei x 2 = y - 3 - 1. Tad kā taisnes, kas iet caur doto punktu, virzošo vektoru var izmantot taisnes virziena vektoru x 2 = y - 3 - 1, ko rakstām formā: a → = (2, - 1) . Tagad mēs zinām visus nepieciešamos datus, lai izveidotu nepieciešamos parametru vienādojumus:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Atbilde: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

9. piemērs

Tiek dots punkts M 1 (0, - 7). Ir nepieciešams pierakstīt parametru vienādojumus tai taisnei, kas iet caur šo punktu perpendikulāri taisnei 3 x – 2 y – 5 = 0.

Risinājums

Kā taisnes, kuras vienādojums jāsastāda, virziena vektoru var ņemt taisnes normālvektoru 3 x – 2 y – 5 = 0. Tās koordinātas ir (3, - 2). Pierakstīsim nepieciešamos taisnes parametru vienādojumus:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Atbilde: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Trešā tipa uzdevumos ir jāveic pāreja no noteiktas līnijas parametriskajiem vienādojumiem uz cita veida vienādojumiem, kas to nosaka. Mēs apspriedām risinājumu līdzīgiem piemēriem, mēs sniegsim vēl vienu.

Dota taisne uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā, kas noteikta ar parametru vienādojumiem x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Ir jāatrod jebkura šīs līnijas normālā vektora koordinātas.

Risinājums

Lai noteiktu vajadzīgās normālā vektora koordinātas, mēs veiksim pāreju no parametriskajiem vienādojumiem uz vispārējo vienādojumu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Mainīgo x un y koeficienti dod mums nepieciešamās normālā vektora koordinātas. Tādējādi taisnes x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ normālvektoram ir koordinātas 1, 3 4.

Atbilde: 1 , 3 4 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Taisnes parametriskie vienādojumi elementāri tiek iegūti no šīs taisnes kanoniskā vienādojuma, kura forma ir . Ņemsim par parametru vērtību, ar kuru var reizināt kanoniskā vienādojuma kreiso un labo pusi.

Tā kā viens no saucējiem noteikti atšķiras no nulles un atbilstošais skaitītājs var iegūt jebkuras vērtības, tad parametra variācijas diapazons ir visa reālo skaitļu ass: .

Mēs saņemsim vai beidzot

Vienādojumi (1) ir nepieciešamie taisnes parametru vienādojumi. Šie vienādojumi pieļauj mehānisku interpretāciju. Ja pieņemam, ka parametrs ir laiks, skaitot no noteikta sākuma momenta, tad parametriskie vienādojumi nosaka materiāla punkta kustības likumu taisnā līnijā ar nemainīgu ātrumu (šāda kustība notiek ar inerci).

1. piemērs. Plaknē sastādiet parametriskus vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu un kurai ir virziena vektors.

Risinājums. Punkta datus un virziena vektoru aizstājam ar (1) un iegūstam:

Bieži vien uzdevumos ir nepieciešams pārveidot taisnes parametriskos vienādojumus cita veida vienādojumos un no cita veida vienādojumiem iegūt līnijas parametriskos vienādojumus. Apskatīsim dažus šādus piemērus. Lai pārvērstu taisnas līnijas parametriskos vienādojumus par līnijas vispārējais vienādojums vispirms jums vajadzētu tos pārvērst kanoniskā formā un pēc tam no kanoniskā vienādojuma iegūt vispārīgo līnijas vienādojumu

2. piemērs. Pierakstiet līnijas vienādojumu

vispārīgi runājot.

Risinājums. Pirmkārt, mēs reducējam līnijas parametriskos vienādojumus līdz kanoniskajam vienādojumam:

Veicot turpmākas transformācijas, vienādojums tiek sasniegts tā vispārējā formā:

Ir nedaudz grūtāk pārveidot vispārīgu vienādojumu taisnas līnijas parametriskajos vienādojumos, taču šai darbībai var izveidot skaidru algoritmu. Vispirms mēs varam pārveidot vispārējo vienādojumu par slīpuma vienādojums un atrodiet no tā jebkura līnijai piederoša punkta koordinātas, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Kad ir zināmas punkta koordinātas un virziena vektors (no vispārējā vienādojuma), var uzrakstīt taisnes parametriskos vienādojumus.

3. piemērs. Pierakstiet taisnes vienādojumu parametru vienādojumu veidā.

Risinājums. Mēs reducējam taisnas līnijas vispārējo vienādojumu līdz vienādojumam ar leņķa koeficientu:

Atrodiet kāda līnijai piederoša punkta koordinātas. Piešķirsim vienai no punkta koordinātām patvaļīgu vērtību

No taisnas līnijas vienādojuma ar leņķa koeficientu iegūstam citu punkta koordinātu:

Tādējādi mēs zinām punktu un virziena vektoru. Mēs aizstājam to datus ar (1) un iegūstam vajadzīgos līnijas parametriskos vienādojumus:

4. piemērs. Atrodiet parametru vienādojumu dotās taisnes slīpumu

Risinājums. Parametrisko līniju vienādojumi vispirms jāpārvērš kanoniskā vienādojumā, pēc tam vispārējā vienādojumā un visbeidzot slīpuma vienādojumā.

Tādējādi dotās taisnes slīpums ir:

5. piemērs. Uzrakstiet parametru vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu un ir perpendikulāra tai

Katras daļas pielīdzināšana noteiktam parametram taisnes kanoniskajos vienādojumos t:

Mēs iegūstam vienādojumus, kas caur parametru izsaka katra līnijas punkta pašreizējās koordinātas t.

Tādējādi līnijas parametriskajiem vienādojumiem ir šāda forma:

Taisnes vienādojumi, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

Doti divi punkti M 1 (x 1,y 1,z 1) un M2 (x 2,y 2,z 2). Taisnes līnijas vienādojumi, kas iet caur diviem dotiem punktiem, tiek iegūti tāpat kā līdzīgs vienādojums plaknē. Tāpēc mēs nekavējoties piedāvājam šī vienādojuma formu.

Taisna līnija divu plakņu krustpunktā. Vispārējs līnijas vienādojums telpā.

Ja ņemam vērā divas neparalēlas plaknes, tad to krustpunkts būs taisna līnija.

Ja normālie vektori un nekolineārs.

Tālāk, aplūkojot piemērus, mēs parādīsim veidu, kā pārveidot šādus līniju vienādojumus par kanoniskajiem vienādojumiem.

5.4. Leņķis starp divām taisnēm. Divu taisnu paralēlisma un perpendikularitātes nosacījums.

Leņķis starp divām taisnēm telpā tiks saukts par jebkuru no leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Ļaujiet divām taisnēm definēt ar to kanoniskajiem vienādojumiem.

Ņemsim leņķi starp virziena vektoriem kā leņķi starp divām taisnēm.

Un

Divu taisnu līniju perpendikulitātes nosacījums tiek samazināts līdz to virziena vektoru perpendikularitātes nosacījumam un tas ir, līdz skalārās reizinājuma vienādībai ar nulli: vai koordinātu formā: .

Divu taisnu paralēlisma nosacījums tiek reducēts līdz to virziena vektoru paralēlisma nosacījumam un

5.5. Taisnes un plaknes relatīvais novietojums.

Ļaujiet dot taisnas līnijas vienādojumus:

un lidmašīnas. Leņķis starp taisni un plakni tiks saukts par jebkuru no diviem blakus leņķiem, ko veido taisne un tās projekcija uz plakni (5.5. attēls).

5.5. att

Ja taisne ir perpendikulāra plaknei, taisnes virziena vektors un plaknes normālvektors ir kolineāri. Tādējādi taisnes un plaknes perpendikulitātes nosacījums tiek reducēts līdz vektoru kolinearitātes nosacījumam

Ja taisne un plakne ir paralēlas, to augšējie vektori ir savstarpēji perpendikulāri. Tāpēc taisnes un plaknes paralēlisma nosacījums tiek reducēts uz vektoru perpendikularitātes nosacījumu; tie. viņu skalārais reizinājums ir nulle vai koordinātu formā: .

Tālāk ir sniegti ar 5. nodaļas tēmu saistīto problēmu risināšanas piemēri.

1. piemērs:

Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu A (1,2,4), kas ir perpendikulāra vienādojuma dotajai taisnei:

Risinājums:

Izmantosim vienādojumu plaknei, kas iet caur doto punktu perpendikulāri dotajam vektoram.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Par punktu ņemam punktu A (1,2,4), caur kuru plakne iziet atbilstoši nosacījumam.

Zinot taisnes kanoniskos vienādojumus, mēs zinām taisnei paralēlo vektoru.

Sakarā ar to, ka pēc nosacījuma taisne ir perpendikulāra vēlamajai plaknei, virziena vektoru var uzskatīt par plaknes normālo vektoru.

Tādējādi mēs iegūstam plaknes vienādojumu šādā formā:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

2. piemērs:

Atrast lidmašīnā 4х-7у+5z-20=0 tāds punkts P, kuram VAI veido vienādus leņķus ar koordinātu asīm.

Risinājums:

Izveidosim shematisku zīmējumu. (5.6. att.)

plkst

5.6. attēls

Tukšajam punktam P ir koordinātes. Tā kā vektors veido vienādus leņķus ar koordinātu asīm, šī vektora virziena kosinusi ir vienādi viens ar otru

Atradīsim vektora projekcijas:

tad šī vektora virziena kosinusus var viegli atrast.

No virziena kosinusu vienādības izriet vienlīdzība:

x p = y p = z p

tā kā punkts P atrodas uz plaknes, tad šī punkta koordināšu aizvietošana plaknes vienādojumā pārvērš to par identitāti.

4x р -7х р +5х р -20=0

2x p =20

x p =10

Attiecīgi: y r=10; z r=10.

Tādējādi vēlamajam punktam P ir koordinātes P(10;10;10)

3. piemērs:

Doti divi punkti A (2,-1,-2) un B (8,-7,5). Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu B un ir perpendikulāra nogriežņam AB.

Risinājums:

Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam plaknes vienādojumu, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Mēs izmantojam punktu B (8,-7,5) kā punktu, bet vektoru, kas ir perpendikulārs plaknei, kā vektoru. Atradīsim vektora projekcijas:

tad iegūstam plaknes vienādojumu formā:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

4. piemērs:

Atrodiet vienādojumu plaknei, kas ir paralēla OY asij un iet caur punktiem K(1,-5,1) un M(3,2,-2).

Risinājums:

Tā kā plakne ir paralēla OY asij, mēs izmantosim plaknes nepilnīgo vienādojumu.

Ax+Cz+D=0

Sakarā ar to, ka punkti K un M atrodas plaknē, mēs iegūstam divus nosacījumus.

Izteiksim koeficientus A un C no šiem nosacījumiem D izteiksmē.

Aizstāsim atrastos koeficientus plaknes nepilnīgajā vienādojumā:

kopš , tad mēs samazinām D:

5. piemērs:

Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim punktiem M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Risinājums:

Izmantosim vienādojumu plaknei, kas iet caur 3 dotiem punktiem.

aizstājot punktu M, K, R koordinātas kā pirmo, otro un trešo, iegūstam:

Izvērsīsim determinantu 1. rindā.

6. piemērs:

Atrast vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) un perpendikulāri plaknei 3х+5у-7z-21=0

Risinājums:

Izveidosim shematisku zīmējumu (5.7. attēls)

5.7. attēls

Apzīmēsim doto plakni P 2 un vēlamo plakni P 2. . No dotās plaknes P 1 vienādojuma nosakām plaknei P 1 perpendikulāras vektora projekcijas.

Vektoru var pārvietot uz P2 plakni ar paralēlu pārnesi, jo saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem P2 plakne ir perpendikulāra P1 plaknei, kas nozīmē, ka vektors ir paralēls P2 plaknei.

Atradīsim vektora projekcijas, kas atrodas P2 plaknē:

tagad mums ir divi vektori un atrodas P 2 plaknē. acīmredzot vektors ir vienāds ar vektoru vektoru reizinājumu un būs perpendikulārs plaknei P 2, jo tas ir perpendikulārs un līdz ar to arī tā normālais vektors plaknei P 2.

Vektorus un nosaka to projekcijas, tāpēc:

Tālāk mēs izmantojam plaknes vienādojumu, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs vektoram. Kā punktu var ņemt jebkuru no punktiem M 1 vai M 2, piemēram, M 1 (8,-3,1); Par normālu vektoru ņemam plakni P2.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

7. piemērs:

Taisni nosaka divu plakņu krustpunkts. Atrodiet taisnes kanoniskos vienādojumus.

Risinājums:

Mums ir vienādojums šādā formā:

Mums jāatrod punkts ( x 0,y 0,z 0), caur kuru iet taisne un virziena vektors.

Patvaļīgi izvēlēsimies vienu no koordinātām. Piemēram, z=1, tad mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem:

Tādējādi mēs esam atraduši punktu, kas atrodas uz vēlamās līnijas (2,0,1).

Kā vajadzīgās līnijas virziena vektoru mēs ņemam vektoru reizinājumu un , kas ir normāli vektori, jo , un tāpēc paralēli vajadzīgajai līnijai.

Tādējādi līnijas virziena vektoram ir projekcijas. Izmantojot taisnes vienādojumu, kas iet caur noteiktu punktu paralēli noteiktam vektoram:

Tātad nepieciešamajam kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma:

8. piemērs:

Atrodiet taisnes krustošanās punkta koordinātas un lidmašīnas 2x+3y+3z-8=0

Risinājums:

Uzrakstīsim doto taisnes vienādojumu parametriskā formā.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

katrs punkts uz līnijas atbilst vienai parametra vērtībai t. Lai atrastu parametru t kas atbilst līnijas un plaknes krustošanās punktam, izteiksmi aizstājam plaknes vienādojumā x, y, z caur parametru t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

tad vēlamā punkta koordinātas

vēlamajam krustojuma punktam ir koordinātes (1;1;1).

9. piemērs:

Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri paralēlām taisnēm.

Izveidosim shematisku zīmējumu (5.9. attēls)

5.9.attēls

No dotajiem taisnes vienādojumiem nosakām šo taisnu virzienu vektoru projekcijas. Atradīsim plaknē P esošā vektora projekcijas un ņemsim punktus no taisnes M 1 (1,-1,2) un M 2 (0,1,-2) kanoniskajiem vienādojumiem.