Ķermeņa tilpums, ko veido figūras rotācija. Neatņemama darbībā
Nodarbības veids: kombinēts.
Nodarbības mērķis: iemācīties aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus, izmantojot integrāļus.
Uzdevumi:
- nostiprināt prasmi izvēlēties līknes trapeces no vairākām ģeometriskām formām un attīstīt prasmi aprēķināt līknes trapeces laukumus;
- iepazīties ar trīsdimensiju figūras jēdzienu;
- iemācīties aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus;
- veicināt attīstību loģiskā domāšana, kompetenta matemātiskā runa, precizitāte rasējumu konstruēšanā;
- audzināt interesi par mācību priekšmetu, operēt ar matemātiskiem jēdzieniem un tēliem, audzināt gribu, patstāvību, neatlaidību gala rezultāta sasniegšanā.
Nodarbību laikā
I. Organizatoriskais moments.
Grupas sveiciens. Paziņojums skolēniem par stundas mērķiem.
Atspulgs. Mierīga melodija.
Šodienas stundu es vēlētos sākt ar līdzību. “Bija kāds gudrs cilvēks, kurš visu zināja. Viens cilvēks gribēja pierādīt, ka gudrais nezina visu. Satvēris tauriņu rokās, viņš jautāja: "Saki man, gudrais, kurš tauriņš ir manās rokās: miris vai dzīvs?" Un viņš pats domā: "Ja dzīvais saka: es viņu nogalināšu, ja mirušais saka, es viņu izlaidīšu." Gudrais, domādams, atbildēja: "Viss jūsu rokās". (Prezentācija.Slidkalniņš)
– Tāpēc šodien strādāsim auglīgi, apgūsim jaunu zināšanu krātuvi, un iegūtās prasmes un iemaņas pielietosim turpmākajā dzīvē un praktiskajā darbībā. "Viss jūsu rokās".
II. Iepriekš apgūtā materiāla atkārtošana.
Apskatīsim iepriekš pētītā materiāla galvenos punktus. Lai to izdarītu, izpildīsim uzdevumu "Noņemiet lieko vārdu."(Slidkalniņš.)
(Skolēns dodas uz ID ar dzēšgumijas palīdzību noņem lieko vārdu.)
- Pa labi "Diferenciālis". Mēģiniet nosaukt atlikušos vārdus vienā parastajā vārdā. (Integrālais aprēķins.)
- Atcerēsimies galvenos posmus un jēdzienus, kas saistīti ar integrālrēķinu.
"Matemātikas ķekars".
Vingrinājums. Atjaunot caurlaides. (Skolēns iznāk un ar pildspalvu uzraksta vajadzīgos vārdus.)
- Vēlāk dzirdēsim ziņojumu par integrāļu pielietošanu.
Darbs piezīmju grāmatiņās.
– Ņūtona-Leibnica formulu izstrādāja angļu fiziķis Īzaks Ņūtons (1643–1727) un vācu filozofs Gotfrīds Leibnics (1646–1716). Un tas nav pārsteidzoši, jo matemātika ir valoda, kurā runā pati daba.
– Apsveriet, kā šī formula tiek izmantota praktisku uzdevumu risināšanā.
1. piemērs: Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Risinājums: veidosim funkciju grafikus koordinātu plaknē . Atlasiet meklējamo figūras apgabalu.
III. Jauna materiāla apgūšana.
- Pievērsiet uzmanību ekrānam. Kas ir redzams pirmajā bildē? (Slidkalniņš) (Attēls parāda plakanu figūru.)
Kas ir redzams otrajā attēlā? Vai šī figūra ir plakana? (Slidkalniņš) (Attēls parāda trīsdimensiju figūru.)
kosmosā, uz zemes un iekšā Ikdiena mēs sastopamies ne tikai ar plakanām figūrām, bet arī ar trīsdimensiju figūrām, bet kā aprēķināt šādu ķermeņu tilpumu? Piemēram, planētas tilpums, komēta, meteorīts utt.
– Padomājiet par apjomu un māju celtniecību, kā arī ūdens liešanu no viena trauka otrā. Vajadzēja rasties noteikumiem un metodēm apjomu aprēķināšanai, cita lieta, cik tie bija precīzi un pamatoti.
Studentu ziņa. (Tyurina Vera.)
1612. gads bija ļoti auglīgs Austrijas pilsētas Lincas iedzīvotājiem, kur dzīvoja tolaik slavenais astronoms Johanness Keplers, īpaši vīnogām. Cilvēki gatavoja vīna mucas un gribēja uzzināt, kā praktiski noteikt to tilpumus. (2. slaids)
- Tādējādi Keplera aplūkotie darbi iezīmēja sākumu veselai pētījumu straumei, kuras kulminācija bija 17. gadsimta pēdējā ceturksnī. dizains I. Ņūtona un G.V. darbos. Leibnica diferenciāļa un integrāļa aprēķins. Kopš tā laika lieluma mainīgo matemātika ir ieņēmusi vadošo vietu matemātikas zināšanu sistēmā.
- Tātad šodien mēs nodarbosimies ar šādām praktiskām aktivitātēm, tāpēc
Mūsu nodarbības tēma: "Revolūcijas ķermeņu tilpumu aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli." (Slidkalniņš)
- Jūs uzzināsit revolūcijas ķermeņa definīciju, izpildot šādu uzdevumu.
"Labirints".
Labirints (grieķu vārds) nozīmē pāreju uz cietumu. Labirints ir sarežģīts ceļu, eju, telpu tīkls, kas sazinās savā starpā.
Bet definīcija “avarēja”, bija mājieni bultu veidā.
Vingrinājums. Atrodiet izeju no mulsinošās situācijas un pierakstiet definīciju.
Slidkalniņš. “Instrukciju karte” Apjomu aprēķins.
Izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt ķermeņa tilpumu, jo īpaši apgriezienu ķermeņa tilpumu.
Apgriezienu ķermenis ir ķermenis, kas iegūts, pagriežot ap tā pamatni izliektu trapecveida formu (1., 2. att.)
Apgriezienu ķermeņa tilpumu aprēķina pēc vienas no formulām:
1.
ap x asi.
2. 
, ja līknes trapeces rotācija ap y asi.
Katrs skolēns saņem mācību karti. Skolotājs izceļ galvenos punktus.
Skolotājs uz tāfeles izskaidro piemēru risinājumu.
Apsveriet fragmentu no slavenā pasaka A. S. Puškins “Pasaka par caru Saltānu, viņa krāšņo un vareno dēlu princi Gvidonu Saltanoviču un skaisto princesi Lebedu” (4. slaids):
…..
Un atveda piedzērušos ziņnesi
Tajā pašā dienā pasūtījums ir:
"Cars pavēl saviem bojāriem,
Netērējot laiku,
Un karaliene un pēcnācēji
Slepus iemests ūdeņu bezdibenī.
Nav ko darīt: bojāri,
Sērojot par suverēnu
Un jaunā karaliene
Viņas guļamistabā ieradās pūlis.
Pasludināja karalisko testamentu -
Viņai un viņas dēlam ir ļauns liktenis,
Izlasiet dekrētu skaļi
Un karaliene tajā pašā laikā
Viņi mani ielika mucā ar manu dēlu,
Lūdzās, ripināja
Un viņi mani ielaida okianā -
Tā pavēlēja de cars Saltans.
Kādam jābūt mucas tilpumam, lai tajā ietilptu karaliene un viņas dēls?
– Apsveriet šādus uzdevumus
1. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap y asi līknes trapecveida formā, kuru ierobežo līnijas: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Atbilde: 1163 cm 3 .
Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot parabolisko trapeci ap abscisu y = , x = 4, y = 0.
IV. Jauna materiāla nostiprināšana
Piemērs 2. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido ziedlapas rotācija ap x asi y \u003d x 2, y 2 \u003d x.
Uzzīmēsim funkcijas grafikus. y=x2, y2=x. Grafiks y 2 = x pārveidot formā y= .
Mums ir V \u003d V 1 - V 2 Aprēķināsim katras funkcijas apjomu
- Tagad paskatīsimies uz torni radiostacijai Maskavā uz Šabolovkas, kas celta pēc brīnišķīga krievu inženiera, goda akadēmiķa V. G. Šuhova projekta. Tas sastāv no daļām - revolūcijas hiperboloīdiem. Turklāt katrs no tiem ir izgatavots no taisnvirziena metāla stieņiem, kas savieno blakus esošos apļus (8., 9. att.).
- Apsveriet problēmu.
Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot hiperbolas lokus 
ap savu iedomāto asi, kā parādīts attēlā. 8, kur
kubs vienības
Grupu uzdevumi. Skolēni izlozē ar uzdevumiem, tiek veidoti zīmējumi uz whatman papīra, darbu aizstāv viens no grupas pārstāvjiem.
1. grupa.
Sist! Sist! Kārtējais sitiens!
Vārtos ielido bumba - Bumba!
Un šī ir arbūzu bumba
Zaļa, apaļa, garšīga.
Izskaties labāk – kāda bumba!
To veido apļi.
Arbūzu sagriež aprindās
Un garšo tos.
Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, rotējot ap OX asi funkcijai, kuru ierobežo
Kļūda! Grāmatzīme nav definēta.
- Pastāsti man, lūdzu, kur mēs tiekamies ar šo figūru?
Māja. uzdevums 1. grupai. CILINDS (slidkalniņš) .
"Cilindrs - kas tas ir?" Es jautāju tētim.
Tēvs smējās: cilindrs ir cepure.
Lai būtu pareizs priekšstats,
Cilindrs, teiksim, ir skārda kārba.
Tvaikoņa caurule ir cilindrs,
Arī caurule uz mūsu jumta,
Visas caurules ir līdzīgas cilindram.
Un es sniedzu šādu piemēru -
Kaleidoskops Mana mīlestība,
Jūs nevarat atraut no viņa acis.
Tas arī izskatās pēc cilindra.
- Vingrojiet. Mājasdarbs uzzīmējiet funkciju un aprēķiniet tilpumu.
2. grupa. KONUSS (slidkalniņš).
Mamma teica: Un tagad
Par čiekuru būs mans stāsts.
Stargazer augstā vāciņā
Skaita zvaigznes visu gadu.
KONUSS - zvaigžņu vērotāja cepure.
Tāds viņš ir. Sapratu? Tieši tā.
Mamma bija pie galda
Viņa ielēja eļļu pudelēs.
- Kur ir piltuve? Piltuves nav.
Skaties. Nestāvi malā.
- Mammu, es nepārvietošos no vietas,
Pastāstiet man vairāk par konusu.
- Piltuve ir lejkannas konusa formā.
Nāc, atrodi mani ātri.
Es nevarēju atrast piltuvi
Bet mamma uztaisīja somu,
Aptiniet kartonu ap pirkstu
Un veikli piesprādzēts ar saspraudi.
Eļļa lej, mamma priecājas
Konuss iznāca tieši pareizi.
Vingrinājums. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, griežot ap x asi
Māja. uzdevums 2. grupai. PIRAMĪDA(slidkalniņš).
es redzēju attēlu. Šajā attēlā
Smilšainajā tuksnesī ir PIRAMĪDA.
Piramīdā viss ir neparasts,
Tajā ir kāds noslēpums un noslēpums.
Spasskaya tornis Sarkanajā laukumā
Gan bērni, gan pieaugušie ir labi zināmi.
Paskaties uz torni - pēc izskata parasts,
Kas viņai ir virsū? Piramīda!
Vingrinājums. Mājasdarbā uzzīmējiet funkciju un aprēķiniet piramīdas tilpumu
- Mēs aprēķinājām dažādu ķermeņu tilpumus, pamatojoties uz ķermeņu tilpumu pamatformulu, izmantojot integrāli.
Tas ir vēl viens apstiprinājums tam, ka noteiktais integrālis ir zināms pamats matemātikas studijām.
"Tagad mazliet atpūtīsimies."
Atrodi pāri.
Skan matemātiskā domino melodija.
"Ceļš, kuru viņš pats meklēja, nekad netiks aizmirsts ..."
Pētnieciskais darbs. Integrāļa pielietojums ekonomikā un tehnoloģijā.
Pārbaudījumi spēcīgiem studentiem un matemātikas futbols.
Matemātikas simulators.
2. Tiek izsaukta dotās funkcijas visu antiatvasinājumu kopa
A) nenoteikts integrālis
B) funkcija,
B) diferenciācija.
7. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap līknes trapeces abscisu asi, kuru ierobežo līnijas:
D/Z. Aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus.
Atspulgs.
Pārdomu pieņemšana formā cinquain(piecas rindiņas).
1. rinda - tēmas nosaukums (viens lietvārds).
2. rindiņa - tēmas apraksts īsumā, divi īpašības vārdi.
3. rindiņa - darbības apraksts šīs tēmas ietvaros trīs vārdos.
4. rinda - četru vārdu frāze, parāda attieksmi pret tēmu (vesels teikums).
5. rinda ir sinonīms, kas atkārto tēmas būtību.
- Skaļums.
- Noteikta integrāla, integrējama funkcija.
- Mēs būvējam, rotējam, aprēķinām.
- Ķermenis, kas iegūts, pagriežot izliektu trapecveida formu (ap tā pamatni).
- Revolūcijas ķermenis (3D ģeometriskais ķermenis).
Secinājums (slidkalniņš).
- Noteikts integrālis ir sava veida pamats matemātikas studijām, kas sniedz neaizstājamu ieguldījumu praktiska satura problēmu risināšanā.
- Tēma "Integrāls" uzskatāmi demonstrē saikni starp matemātiku un fiziku, bioloģiju, ekonomiku un tehnoloģijām.
- Attīstība mūsdienu zinātne nav iedomājams bez integrāļa lietošanas. Šajā sakarā ir jāsāk to apgūt vidējās speciālās izglītības ietvaros!
Novērtēšana. (Ar komentāriem.)
Lielais Omars Khayyam ir matemātiķis, dzejnieks un filozofs. Viņš aicina būt sava likteņa saimniekiem. Klausieties fragmentu no viņa darba:
Jūs sakāt, ka šī dzīve ir tikai mirklis.
Novērtē to, smelies no tā iedvesmu.
Kā iztērēsi, tā arī pāries.
Neaizmirstiet: viņa ir jūsu radījums.
I. Revolūcijas ķermeņu apjomi. Sākotnēji izpētiet XII nodaļu, p°p° 197, 198, saskaņā ar G. M. Fikhtengol'ts mācību grāmatu* Detalizēti analizējiet 198. p° sniegtos piemērus.
508. Aprēķināt ķermeņa tilpumu, ko veido elipses rotācija ap x asi.
Tādējādi
530. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido sinusoīda y loka griešanās ap asi Ox \u003d sin x no punkta X \u003d 0 līdz punktam X \u003d It.
531. Aprēķini virsmas laukumu konusam ar augstumu h un rādiusu r.
532. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido
astroīda rotācija x3 -) - y* - a3 ap x asi.
533. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido līknes 18 y-x(6-x)r cilpas inversija ap x asi.
534. Atrodiet tora virsmu, ko rada apļa X2 - j - (y-3)2 = 4 rotācija ap x asi.
535. Aprēķiniet virsmas laukumu, ko veido apļa griešanās X = izmaksas, y = asint ap Ox asi.
536. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido līknes cilpas griešanās x = 9t2, y = St - 9t3 ap asi Ox.
537. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido līknes loka rotācija x = e * sint, y = el izmaksas ap asi Ox
no t = 0 līdz t = -.
538. Parādiet, ka virsma, ko rada cikloīda x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) loka rotācija ap asi Oy, ir vienāda ar 16 u2 o2.
539. Atrast virsmu, kas iegūta, pagriežot kardioīdu ap polāro asi.
540. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido lemniskāta rotācija 
ap polāro asi.
Papildu uzdevumi IV nodaļai
Plaknes figūru laukumi
541. Atrodiet visu apgabala laukumu, ko ierobežo līkne 
Un ass Oh.
542. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne
Un ass Oh.
543. Atrodiet apgabala laukuma daļu, kas atrodas pirmajā kvadrantā un kuru ierobežo līkne
l koordinātu asis.
544. Atrodiet tajā esošās zonas laukumu
cilpas: 
545. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo viena līknes cilpa:
546. Atrodiet cilpas iekšpusē esošās zonas laukumu: 
547. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne
Un ass Oh.
548. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne
Un ass Oh.
549. Atrodiet apgabala apgabalu, ko ierobežo Oxr ass
taisni un izliekti 
Integrāļu izmantošana, lai atrastu revolūcijas cietvielu apjomus
Matemātikas praktiskā lietderība ir saistīta ar to, ka bez
specifiskas matemātiskās zināšanas apgrūtina ierīces darbības principu un mūsdienu tehnoloģiju izmantošanas izpratni. Katram cilvēkam savā dzīvē ir jādara pietiekami daudz sarežģīti aprēķini, izmantot bieži lietotu aprīkojumu, atrast uzziņu grāmatās, lai izmantotu nepieciešamās formulas, sastādīt vienkāršus algoritmus problēmu risināšanai. Mūsdienu sabiedrībā kļūst arvien vairāk specialitāšu, kas prasa augsts līmenis izglītība ir saistīta ar tiešu matemātikas pielietojumu. Tādējādi skolēnam matemātika kļūst par profesionāli nozīmīgu priekšmetu. Vadošā loma algoritmiskās domāšanas veidošanā ir matemātikai, tā audzina spēju rīkoties pēc dotā algoritma un izstrādāt jaunus algoritmus.
Studējot tēmu par integrāļa izmantošanu apgriezienu ķermeņu tilpumu aprēķināšanai, iesaku fakultatīvo klašu skolēniem apsvērt tēmu: "Revolūcijas ķermeņu tilpumi, izmantojot integrāļus". Šeit ir dažas vadlīnijas, kā rīkoties ar šo tēmu:
1. Plakanas figūras laukums.
No algebras kursa mēs zinām, ka praktiskas problēmas noveda pie noteikta integrāļa koncepcijas..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.
Lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu, ko veido līknes trapeces rotācija ap Ox asi, ko ierobežo lauzta līnija y=f(x), Ox ass, taisnes x=a un x=b, mēs aprēķinām pēc formulas
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3. Cilindra tilpums.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konusu iegūst, pagriežot taisnleņķa trīsstūris ABC(C=90) ap Vērša asi, uz kuras atrodas kāja AC.
Segments AB atrodas uz līnijas y=kx+c, kur https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.
Lai a=0, b=H (H ir konusa augstums), tad Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.
5. Nocirsta konusa tilpums.
Nogrieztu konusu var iegūt, pagriežot taisnstūra trapecveida ABCD (CDOx) ap Ox asi.
Nogrieznis AB atrodas uz taisnes y=kx+c, kur 
, c=r.
Tā kā taisne iet caur punktu A (0; r).
Tādējādi taisnā līnija izskatās šādi: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Ļaujiet a=0, b=H (H ir nošķeltā konusa augstums), pēc tam https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = 
.
6. Bumbiņas tilpums.
Bumbiņu var iegūt, pagriežot apli ar centru (0;0) ap x asi. Pusaplis, kas atrodas virs x ass, ir dots ar vienādojumu
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
Tāpat kā apgabala atrašanas problēmai, jums ir nepieciešamas pārliecinātas zīmēšanas prasmes - tas ir gandrīz vissvarīgākais (jo paši integrāļi bieži vien būs viegli). Izmantojot to, varat apgūt kompetentu un ātru grafiku veidošanas paņēmienu mācību materiāli un ģeometrisko grafiku transformācijas. Bet patiesībā es vairākkārt esmu runājis par zīmējumu nozīmi stundā.
Kopumā integrāļa aprēķinos ir daudz interesantu pielietojumu, ar noteikta integrāļa palīdzību jūs varat aprēķināt figūras laukumu, apgriezienu ķermeņa tilpumu, loka garumu, virsmas laukumu. rotācija un daudz kas cits. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!
Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Pārstāvēts? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā apgabalu. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:
- ap abscisu asi;
- ap y asi.
Šajā rakstā tiks apspriesti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais griešanās paņēmiens, tas rada vislielākās grūtības, bet patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un pastāstīt, kā atrast apgabalu otrā veidā – pa asi. Pat ne tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.
Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.
plakana figūra ap asi
1. piemērs
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, ap asi pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas.
Risinājums: Tāpat kā apgabala problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir nepieciešams izveidot figūru, ko ierobežo līnijas , , vienlaikus neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi. Kā zīmējumu uztaisīt racionālāk un ātrāk, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības Un Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Šis ir ķīniešu atgādinājums, un es neapstājos.
Zīmējums šeit ir diezgan vienkāršs:
Vēlamā plakanā figūra ir ietonēta zilā krāsā, un tieši šī figūra griežas ap asi.Rotācijas rezultātā tiek iegūts tāds nedaudz olveidīgs lidojošs šķīvītis, kas ir simetrisks pret asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, taču ir pārāk slinks, lai kaut ko norādītu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.
Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu?
Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas:
Formulā pirms integrāļa ir jābūt skaitlim. Sanāca tā – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.
Kā noteikt integrācijas "a" un "be" robežas, manuprāt, ir viegli uzminēt no pabeigtā zīmējuma.
Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru no augšas ierobežo parabola grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.
Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina - integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir diezgan loģiski.
Aprēķiniet apgriezienu korpusa tilpumu, izmantojot šo formulu: 
Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.
Atbilde: 
Atbildē jānorāda izmērs - kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 "kubi". Kāpēc tieši kub vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, var būt kubikmetri, var būt kubikkilometri utt., lūk, cik mazo zaļo cilvēciņu tava iztēle var ietilpt lidojošā šķīvī.
2. piemērs
Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,
Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.
3. piemērs
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un
Risinājums: uzzīmējiet zīmējumā plakanu figūru, kuru ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:
Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts tāds sirreāls virtulis ar četriem stūriem.
Apgriezienu korpusa tilpumu aprēķina kā ķermeņa tilpuma atšķirība.
Vispirms apskatīsim figūru, kas ir apvilkta sarkanā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu kā .
Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .
Un, acīmredzot, tilpumu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.
Apgriezienu ķermeņa tilpuma noteikšanai mēs izmantojam standarta formulu: 
1) Sarkanā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:
2) Zaļā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:
3) Vēlamā apgriezienu korpusa tilpums: 
Atbilde: 
Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.
Pats lēmums bieži tiek pieņemts īsāks, piemēram: 
Tagad paņemsim pārtraukumu un parunāsim par ģeometriskām ilūzijām.
Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko Perelmans (cits) pamanīja grāmatā Interesanta ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visas savas dzīves laikā dzer šķidrumu ar telpas tilpumu 18 kvadrātmetri, kas, gluži pretēji, šķiet par mazu.
Kopumā PSRS izglītības sistēma tiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, spriešanu un māca meklēt oriģinālu. nestandarta risinājumi problēmas. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, pieejams pat humanitārajiem. Nē, jums nav jāsmaida, ka es ierosināju bezrūpīgu laika pavadīšanu, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.
Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:
4. piemērs
Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .
Šis ir “dari pats” piemērs. Ņemiet vērā, ka joslā viss notiek, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi izveidojiet grafiku trigonometriskās funkcijas, atcerieties nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments dalās ar divi: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.
Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi
Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap y asi ir diezgan biežs viesis. kontroles darbs. Garāmejot tiks izskatīts figūras laukuma atrašanas problēma otrs veids - integrācija pa asi, tas ļaus ne tikai uzlabot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast izdevīgāko risinājumu. Tam ir arī praktiska nozīme! Kā smaidot atcerējās mana skolotāja matemātikas mācīšanas metodēs, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: "Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām savus darbiniekus." Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).
Iesaku izlasīt visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrās rindkopas asimilētais materiāls būs nenovērtējams palīgs dubultintegrāļu aprēķināšanā..
5. piemērs
Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .
1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.
Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro rindkopu, vispirms Obligāti izlasi pirmo!
Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.
1) Izpildīsim zīmējumu:
Ir viegli redzēt, ka funkcija definē parabolas augšējo atzaru, bet funkcija nosaka parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".
Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.
Kā atrast figūras laukumu? To var atrast "parastajā" veidā, kas tika aplūkots nodarbībā. Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt skaitļa laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā 
;
- segmentā.
Tāpēc:
Kas šajā gadījumā nav kārtībā ar parasto risinājumu? Pirmkārt, ir divi integrāļi. Otrkārt, saknes zem integrāļiem un saknes integrāļos nav dāvana, turklāt var apjukt integrācijas robežu aizstāšanā. Patiesībā integrāļi, protams, nav nāvējoši, bet praksē viss ir daudz bēdīgāk, es vienkārši paņēmu uzdevumam “labākas” funkcijas.
Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārejas uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.
Kā pāriet uz apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka "x" caur "y". Vispirms tiksim galā ar parabolu:
Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:
Ar taisnu līniju viss ir vieglāk:
Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Turklāt segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: 
. Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule, un nekas vairāk.
! Piezīme: Jāiestata integrācijas ierobežojumi gar asi stingri no apakšas uz augšu!
Apgabala atrašana:
Tāpēc segmentā: 
Pievērsiet uzmanību tam, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.
Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus: 
Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrācija tiek veikta pareizi.
Atbilde:
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.
Zīmējumu pārzīmēšu nedaudz citā dizainā:
Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir "lidojošs tauriņš", kas griežas ap savu asi.
Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums ir jāpāriet uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.
Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot apgriezienu korpusa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.
Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo apjomu ar .
Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to caur iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu.
Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.
Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu: 
Kā tas atšķiras no iepriekšējās rindkopas formulas? Tikai vēstulēs.
Un šeit ir integrācijas priekšrocība, par kuru es runāju pirms kāda laika, to ir daudz vieglāk atrast 
nekā paaugstināt integrandu līdz 4. pakāpei.
Atbilde: 
Tomēr slimīgs tauriņš.
Ņemiet vērā, ka, ja ap asi pagriež vienu un to pašu plakanu figūru, tad izrādīsies pavisam cits revolūcijas ķermenis ar atšķirīgu, dabiski, tilpumu.
6. piemērs
Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas, un ass.
1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo .
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.
Šis ir “dari pats” piemērs. Tie, kas vēlas, var arī atrast figūras laukumu "parastajā" veidā, tādējādi aizpildot 1. punkta testu. Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat ap asi plakanu figūru, tad jūs iegūstat pilnīgi citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt).
Divu piedāvāto uzdevuma punktu pilnīgs risinājums nodarbības beigās.
Ak, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas ietvaros!
Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu
izmantojot noteiktu integrāli?
Kopumā integrāļa aprēķinos ir daudz interesantu pielietojumu, ar noteikta integrāļa palīdzību jūs varat aprēķināt figūras laukumu, apgriezienu ķermeņa tilpumu, loka garumu, rotācijas virsmas laukums un daudz kas cits. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!
Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Pārstāvēts? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā apgabalu. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:
- ap x asi;
- ap y asi.
Šajā rakstā tiks apspriesti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais griešanās paņēmiens, tas rada vislielākās grūtības, bet patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un pastāstīt, kā atrast apgabalu otrā veidā – pa asi. Pat ne tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.
Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.
plakana figūra ap asi
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, ap asi pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas.
Risinājums: Tāpat kā apgabala problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir nepieciešams izveidot figūru, ko ierobežo līnijas , , vienlaikus neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi. Kā zīmējumu uztaisīt racionālāk un ātrāk, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības Un . Šis ir ķīniešu atgādinājums, un es neapstājos.
Zīmējums šeit ir diezgan vienkāršs:
Vēlamā plakanā figūra ir ietonēta zilā krāsā, un tieši šī figūra griežas ap asi.Rotācijas rezultātā tiek iegūts tāds nedaudz olveidīgs lidojošs šķīvītis, kas ir simetrisks pret asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, taču ir pārāk slinks, lai kaut ko norādītu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.
Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu?
Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas:
Formulā pirms integrāļa ir jābūt skaitlim. Sanāca tā – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.
Kā noteikt integrācijas "a" un "be" robežas, manuprāt, ir viegli uzminēt no pabeigtā zīmējuma.
Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru no augšas ierobežo parabola grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.
Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina - integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir diezgan loģiski.
Aprēķiniet apgriezienu korpusa tilpumu, izmantojot šo formulu: 
Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.
Atbilde:
Atbildē jānorāda izmērs - kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 "kubi". Kāpēc tieši kub vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, var būt kubikmetri, var būt kubikkilometri utt., tik daudz zaļo cilvēciņu tava iztēle var ietilpt lidojošā šķīvī.
Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,
Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un
Risinājums: uzzīmējiet zīmējumā plakanu figūru, kuru ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:
Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts tāds sirreāls virtulis ar četriem stūriem.
Apgriezienu korpusa tilpumu aprēķina kā ķermeņa tilpuma atšķirība.
Vispirms apskatīsim figūru, kas ir apvilkta sarkanā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu kā .
Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .
Un, acīmredzot, apjomu starpība ir tieši mūsu "donča" tilpumā.
Apgriezienu ķermeņa tilpuma noteikšanai mēs izmantojam standarta formulu:
1) Sarkanā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:
2) Zaļā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:
3) Vēlamā apgriezienu korpusa tilpums: 
Atbilde: 
Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.
Pats lēmums bieži tiek pieņemts īsāks, piemēram: 
Tagad paņemsim pārtraukumu un parunāsim par ģeometriskām ilūzijām.
Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko Perelmans (cits) pamanīja grāmatā Interesanta ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visu mūžu dzer šķidrumu, kura tilpums ir 18 kvadrātmetri, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.
Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:
Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .
Šis ir “dari pats” piemērs. Ņemiet vērā, ka joslā viss notiek, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments dalās ar divi: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.
Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi
Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Testos diezgan biežs apmeklētājs ir arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap y asi. Garāmejot tiks izskatīts figūras laukuma atrašanas problēma otrs veids – integrējot pa asi, tas ļaus ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast izdevīgāko risinājumu. Tam ir arī praktiska nozīme! Kā smaidot atcerējās mana skolotāja matemātikas mācīšanas metodēs, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: "Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām savus darbiniekus." Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).
Iesaku izlasīt visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrās rindkopas asimilētais materiāls būs nenovērtējams palīgs dubultintegrāļu aprēķināšanā..
Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .
1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.
Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro rindkopu, noteikti vispirms izlasiet pirmo!
Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.
1) Izpildīsim zīmējumu:
Ir viegli redzēt, ka funkcija definē parabolas augšējo atzaru, bet funkcija nosaka parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".
Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.
Kā atrast figūras laukumu? To var atrast "parastajā" veidā, kas tika aplūkots nodarbībā. Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt skaitļa laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā 
;
- segmentā.
Tāpēc:
Kas šajā gadījumā nav kārtībā ar parasto risinājumu? Pirmkārt, ir divi integrāļi. Otrkārt, saknes zem integrāļiem un saknes integrāļos nav dāvana, turklāt var apjukt integrācijas robežu aizstāšanā. Patiesībā integrāļi, protams, nav nāvējoši, bet praksē viss ir daudz bēdīgāk, es vienkārši paņēmu uzdevumam “labākas” funkcijas.
Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārejas uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.
Kā pāriet uz apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka "x" caur "y". Vispirms tiksim galā ar parabolu:
Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:
Ar taisnu līniju viss ir vieglāk:
Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Turklāt segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: 
. Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule, un nekas vairāk.
! Piezīme: Jāiestata integrācijas ierobežojumi gar asi stingri no apakšas uz augšu!
Apgabala atrašana:
Tāpēc segmentā: 
Pievērsiet uzmanību tam, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.
Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus: 
Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrācija tiek veikta pareizi.
Atbilde:
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.
Zīmējumu pārzīmēšu nedaudz citā dizainā:
Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir "lidojošs tauriņš", kas griežas ap savu asi.
Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums ir jāpāriet uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.
Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot apgriezienu korpusa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.
Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo apjomu ar .
Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to caur iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu.
Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.
Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu: 
Kā tas atšķiras no iepriekšējās rindkopas formulas? Tikai vēstulēs.
Un šeit ir integrācijas priekšrocība, par kuru es runāju pirms kāda laika, to ir daudz vieglāk atrast 
nekā provizoriski pacelt integrandu uz 4.pakāpi.
Atbilde: 
Ņemiet vērā, ka, ja ap asi pagriež vienu un to pašu plakanu figūru, tad izrādīsies pavisam cits revolūcijas ķermenis ar atšķirīgu, dabiski, tilpumu.
Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas, un ass.
1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo .
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.
Šis ir “dari pats” piemērs. Tie, kas vēlas, var arī atrast figūras laukumu "parastajā" veidā, tādējādi aizpildot 1. punkta testu. Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat ap asi plakanu figūru, tad jūs iegūstat pilnīgi citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt).
Divu piedāvāto uzdevuma punktu pilnīgs risinājums nodarbības beigās.
Ak, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas ietvaros!
Es gribēju, tas jau bija, pabeigt rakstu, bet šodien viņi atnesa interesants piemērs tikai, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu ap y asi. Svaigs:
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līknes un .
Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:
Pa ceļam iepazīstamies ar dažu citu funkciju grafikiem. Tik interesants pāra funkcijas grafiks...
