Atrodiet divus dažādus plakņu kopīgos punktus. Lidmašīna kosmosā - nepieciešamā informācija

7. jautājums.

Divas plaknes telpā var būt vai nu savstarpēji paralēlas, un konkrētā gadījumā viena ar otru sakrist, vai krustoties. Savstarpēji perpendikulāras plaknes ir īpašs krustojošo plakņu gadījums, un tas tiks apspriests turpmāk.

Paralēlas plaknes. Plaknes ir paralēlas, ja divas vienas plaknes krustojošās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes krustojošām taisnēm. Risinot dažādus uzdevumus, nereti caur doto punktu A, paralēli noteiktai plaknei α, ir jāizvelk plakne β.

Attēlā 81 plakne α ir noteikta ar divām krustojošām taisnēm a un b. Nepieciešamo plakni β nosaka taisnes a1 un b1, kas ir attiecīgi paralēlas a un b un iet caur noteiktu punktu A1.

Krustojošas plaknes. Divu plakņu krustošanās līnija ir taisne, kuras uzbūvei pietiek noteikt divus abām plaknēm kopīgus punktus vai vienu punktu un plakņu krustošanās līnijas virzienu.

Pirms mēs aplūkojam divu plakņu krustošanās līnijas uzbūvi, mēs analizēsim svarīgu un palīgproblēmu: atradīsim vispārīgas taisnes krustošanās punktu K ar izvirzīto plakni.

Dota, piemēram, taisne a un horizontāli izvirzīta plakne α (82. att.). Tad vēlamā punkta horizontālajai projekcijai K1 vienlaikus jāatrodas uz plaknes α horizontālās projekcijas α1 un uz taisnes a horizontālās projekcijas a1, t.i. a1 krustošanās punktā ar α1 (83. att.). Punkta K frontālā projekcija K2 atrodas uz projekcijas savienojuma līnijas un uz taisnes a frontālās projekcijas a2.

Tagad apskatīsim vienu no īpašajiem plakņu krustošanās gadījumiem, kad viena no tām izvirzās.

Attēlā 84 parādīta vispārējā stāvokļa plakne, ko nosaka trijstūris ABC un horizontāli projicējamā plakne α. Atradīsim divus kopīgus punktus šīm divām plaknēm. Acīmredzot šie kopīgie punkti plaknēm ∆ABC un α būs trijstūra ABC malu AB un BC krustošanās punkti ar izvirzīto plakni α. Šādu punktu D un E uzbūve gan telpiskā zīmējumā (84. att.), gan diagrammā (85. att.) pēc iepriekš aplūkotā piemēra grūtības nesagādā.

Savienojot vienādas punktu D un E projekcijas, iegūstam plaknes ∆ ABC un plaknes α krustošanās taisnes projekcijas.

Tādējādi doto plakņu krustošanās līnijas horizontālā projekcija D1E1 sakrīt ar izvirzītās plaknes α horizontālo projekciju - ar tās horizontālajām pēdām α1.

Tagad aplūkosim vispārīgo gadījumu. Telpā dotas divas vispārīgās plaknes α un β (86. att.). Lai izveidotu to krustojuma līniju, kā minēts iepriekš, ir jāatrod divi punkti, kas kopīgi abām plaknēm.

Lai noteiktu šos punktus, dotās plaknes krusto divas palīgplaknes. Par tādām plaknēm lietderīgāk ir ņemt izvirzītās plaknes un it īpaši līdzenas plaknes. Attēlā 86, pirmā līmeņa γ palīgplakne krusto katru no šīm plaknēm gar horizontāliem h un h1, kas nosaka punktu 1, kas ir kopīgs plaknēm α un β. Šo punktu nosaka horizontālo līniju h2 un h3 krustpunkts, pa kuru palīgplakne δ krusto katru no šīm plaknēm.

Dotas divas plaknes

Pirmajai plaknei ir normāls vektors (A 1;B 1;C 1), otrajai plaknei (A 2;B 2;C 2).

Ja plaknes ir paralēlas, tad vektori ir kolineāri, t.i. = l kādam skaitlim l. Tieši tāpēc

─ plaknes paralēlisma nosacījums.

Nosacījumi lidmašīnu saskaņošanai:

,

jo šajā gadījumā, reizinot otro vienādojumu ar l =, mēs iegūstam pirmo vienādojumu.

Ja paralēlisma nosacījums nav izpildīts, tad plaknes krustojas. Jo īpaši, ja plaknes ir perpendikulāras, tad vektori , . Tāpēc to skalārais reizinājums ir vienāds ar 0, t.i. = 0 vai

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

Tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums, lai plaknes būtu perpendikulāras.

Leņķis starp divām plaknēm.

Leņķis starp divām plaknēm

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

ir leņķis starp to normāliem vektoriem un , Tātad

cosj = =
.

Taisni kosmosā.

Taisnes vektorparametriskais vienādojums.

Definīcija. Virzošais vektors ir taisns Tiek izsaukts jebkurš vektors, kas atrodas uz taisnes vai paralēli tai.

Izveidosim vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 0 (x 0;y 0;z 0) un kurai ir virziena vektors = (a 1;a 2;a 3).

Atzīmēsim vektoru 0 no punkta M . Ļaujiet M(x;y;z) ─ patvaļīgs punkts dotajā taisnē, un ─ tā rādiuss ir punkta M 0 vektors. Tad , , Tieši tāpēc . Šo vienādojumu sauc taisnas līnijas vektora parametru vienādojums.

Taisnes līnijas parametriskie vienādojumi.

Taisnes vektora-parametriskā vienādojumā dosies uz koordinātu attiecībām (x;y;z) = (x 0;y 0;z 0) + (a 1;a 2;a 3)t. No šejienes mēs iegūstam līnijas parametriskie vienādojumi

x = x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Taisnes kanoniskie vienādojumi.

No vienādojumiem (4) mēs izsakām t:

t = , t = , t = ,

no kurienes mēs to ņemam taisnes kanoniskie vienādojumi

= = (5)

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

Doti divi punkti M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) un M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2). Kā taisnas līnijas virzošo vektoru varam ņemt vektoru = (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 - z 1). Tā kā taisne iet caur punktu M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ), tās kanoniskie vienādojumi saskaņā ar (5) tiks ierakstīti formā

(6)

Leņķis starp divām taisnām līnijām.

Apsveriet divas taisnes ar virziena vektoriem = (a 1;a 2;a 3) un .

Leņķis starp līnijām ir vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem, tāpēc

cosj = =
(7)

Līniju perpendikulitātes nosacījums:

a 1 in 1 + a 2 in 2 + a 3 in 3 = 0.

Nosacījums paralēlām līnijām:

l,

. (8)

Līniju relatīvais novietojums telpā.

Dotas divas rindas
Un
.

Acīmredzot līnijas atrodas vienā plaknē tad un tikai tad, ja vektori , un koplanārs, t.i.

= 0 (9)

Ja (9) pirmās divas taisnes ir proporcionālas, tad taisnes ir paralēlas. Ja visas trīs līnijas ir proporcionālas, tad līnijas sakrīt. Ja nosacījums (9) ir izpildīts un pirmās divas līnijas nav proporcionālas, tad līnijas krustojas.

Ja
¹ 0, tad līnijas ir šķības.

Problēmas uz taisnēm un plaknēm telpā.

Taisne ir divu plakņu krustpunkts.

Dotas divas plaknes

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Ja plaknes nav paralēlas, tad nosacījums tiek pārkāpts

.

Pieņemsim, piemēram, ¹.

Atradīsim taisnes vienādojumu, pa kuru plaknes krustojas.

Kā vajadzīgās taisnes virziena vektoru mēs varam ņemt vektoru

= × = =
.

Lai atrastu punktu, kas pieder vēlamajai līnijai, mēs fiksējam noteiktu vērtību

z = z 0 un sistēmas atrisināšana

,

mēs iegūstam vērtības x = x 0, y = y 0. Tātad vēlamais punkts ir M(x 0;y 0;z 0).

Nepieciešamais vienādojums

.

Taisnes līnijas un plaknes relatīvais novietojums.

Dota taisne x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

un lidmašīna

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

Lai atrastu taisnes un plaknes kopīgos punktus, ir jāatrisina to vienādojumu sistēma

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3) t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Ja A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums

t = t 0 = -
.

Šajā gadījumā taisne un plakne krustojas vienā punktā M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ), kur

x 1 = x 0 + a 1 t 0, y 1 = y 0 + a 2 t 0, z 1 = z 0 + a 3 t 0.

Ja A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, tad taisnei un plaknei nav kopīgu punktu, t.i. paralēli.

Ja A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0, tad taisne pieder plaknei.

Leņķis starp taisni un plakni.

Divas plaknes telpā var būt savstarpēji paralēlas vai krustoties.

Plaknes ir paralēlas, ja divas vienas plaknes krustojošās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes krustojošām taisnēm.

Trijstūra malu izvēle ir patvaļīga, jo tikai pēc konstrukcijas var precīzi noteikt, kura trijstūra mala patiesībā krustojas ar otra plakni. Arī palīgplaknes izvēle ir patvaļīga, jo taisne atrodas vispārējā stāvoklī, kuras visas malas ir ∆ ABC un ∆ DEF, var ietvert horizontāli izvirzītā vai frontāli izvirzītā plaknē.

1. Lai uzzīmētu punktu M izmanto horizontāli izvirzītu palīgplakni F (F AB trīsstūris ABC (AB Î F).

2. Izbūvējam palīgplaknes krustojuma līniju (zīmējumā to norāda 1. un 2. punkts) F (F 2) un plaknes ∆ DEF.

Viens punkts atrasts M vēlamā krustojuma līnija.

4. Uzzīmēt punktu N tiek izmantota horizontāla projekcijas plakne R (R 2), kurā ir iekļauta partija E.F. trīsstūris DEF.

Konstrukcija ir līdzīga iepriekšējiem.

5. Elementu redzamības noteikšana plaknē P 2 tiek izpildīts, izmantojot frontāli konkurējošus punktus 1=2 un 5=2.

5. punkts (5О AB) atrodas tālāk no ass X nekā 1. punkts (1О DF), tāpēc lidmašīnā P Trijstūra 2. daļa ABC, kas atrodas virzienā uz punktu 1, aptver daļu no trīsstūra DEF, kas atrodas no krustojuma līnijas virzienā uz punktu 5.

Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.

Divas plaknes telpā var būt vai nu savstarpēji paralēlas, konkrētā gadījumā viena ar otru sakrist, vai krustoties. Savstarpēji perpendikulāras plaknes ir īpašs krustošanās plakņu gadījums.

1. Paralēlas plaknes. Plaknes ir paralēlas, ja divas vienas plaknes krustojošās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes krustojošām taisnēm.

Šo definīciju labi ilustrē problēma zīmēt plakni caur punktu B paralēli plaknei, ko nosaka divas krustojošas taisnes ab (61. att.).

Uzdevums. Dota: vispārīga plakne, ko nosaka divas krustojošas līnijas ab un punkts B.

Ir nepieciešams novilkt plakni caur punktu B, kas ir paralēla plaknei ab, un definēt to ar divām krustojošām taisnēm c un d.

Saskaņā ar definīciju, ja divas vienas plaknes krustošanās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes krustojošām taisnēm, tad šīs plaknes ir paralēlas viena otrai.

Lai diagrammā uzzīmētu paralēlas līnijas, ir jāizmanto paralēlās projekcijas īpašība - paralēlo līniju projekcijas ir paralēlas viena otrai

d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3, c3//b3.

61. attēls. Paralēlas plaknes

2. Krustošas ​​plaknes,īpašs gadījums ir savstarpēji perpendikulāras plaknes. Divu plakņu krustošanās līnija ir taisne, kuras uzbūvēšanai pietiek noteikt tās divus abām plaknēm kopīgos punktus jeb vienu punktu un plakņu krustošanās līnijas virzienu.

Apsvērsim divu plakņu krustošanās līnijas konstruēšanu, kad viena no tām ir izvirzīta (62. att.).

Uzdevums. Dots: vispārīgā plakne ir dota ar trijstūri ABC, un otrā plakne ir horizontāli izvirzīta plakne a.

Nepieciešams izveidot plakņu krustošanās līniju.

Problēmas risinājums ir atrast divus punktus, kas kopīgi šīm plaknēm, caur kuriem var novilkt taisnu līniju. Trijstūra ABC definēto plakni var attēlot kā taisnes (AB), (AC), (BC). Taisnes (AB) krustpunkts ar plakni a ir punkts D, taisne (AC) ir F. Segments nosaka plakņu krustošanās līniju. Tā kā a ir horizontāli izvirzīta plakne, projekcija D1F1 sakrīt ar plaknes aP1 trasi, tāpēc atliek tikai konstruēt trūkstošās projekcijas uz P2 un P3.

62. attēls. Vispārējās plaknes krustpunkts ar horizontāli izvirzītu plakni

Pāriesim pie vispārējā gadījuma. Telpā dotas divas vispārīgās plaknes a(m,n) un b (ABC) (63. att.)

63. attēls. Vispārējo plakņu krustpunkts

Apskatīsim plakņu a(m//n) un b(ABC) krustošanās līnijas konstruēšanas secību. Pēc analoģijas ar iepriekšējo uzdevumu, lai atrastu šo plakņu krustošanās līniju, mēs uzzīmējam griešanas palīgplaknes g un d. Atradīsim šo plakņu krustošanās līnijas ar aplūkojamajām plaknēm. Plakne g krusto plakni a pa taisni (12), un plakne b krustojas pa taisni (34). Punkts K - šo taisnu krustpunkts vienlaikus pieder pie trim plaknēm a, b un g, tādējādi ir punkts, kas pieder plakņu a un b krustošanās līnijai. Plakne d krusto plaknes a un b pa taisnēm (56) un (7C), to krustpunkts M atrodas vienlaikus trijās plaknēs a, b, d un pieder pie plakņu a un b krustošanās taisnes. Tādējādi tika atrasti divi punkti, kas pieder plakņu a un b krustošanās līnijai - taisnei (KS).

Plakņu krustošanās līnijas konstruēšanas vienkāršošanu var panākt, ja griešanas palīgplaknes tiek novilktas caur taisnām līnijām, kas nosaka plakni.

Savstarpēji perpendikulāras plaknes. No stereometrijas ir zināms, ka divas plaknes ir savstarpēji perpendikulāras, ja viena no tām iet caur perpendikulu otrai. Caur punktu A iespējams novilkt daudzas plaknes, kas ir perpendikulāras noteiktai plaknei a(f,h). Šīs plaknes telpā veido plakņu saišķi, kuras ass ir perpendikulārs, kas nolaižas no punkta A uz plakni a. Lai no punkta A uzzīmētu plakni, kas ir perpendikulāra plaknei, ko dod divas krustojošās taisnes hf, no punkta A jānovelk taisne n, kas ir perpendikulāra plaknei hf (horizontālā projekcija n ir perpendikulāra horizontālās līnijas horizontālajai projekcijai h, frontālā projekcija n ir perpendikulāra frontālās f) frontālajai projekcijai. Jebkura plakne, kas iet caur taisni n, būs perpendikulāra plaknei hf, tāpēc, lai definētu plakni caur punktiem A, novelciet patvaļīgu līniju m. Plakne, ko nosaka divas krustojošas taisnes mn, būs perpendikulāra plaknei hf (64. att.).

64. attēls. Savstarpēji perpendikulāras plaknes