Kvadrātsakne no 10 ir. Sakņu formulas

Tiek izsaukta pozitīva skaitļa nenegatīvā kvadrātsakne aritmētiskā kvadrātsakne un tiek apzīmēts, izmantojot radikāļu zīmi.

Kompleksie skaitļi

Komplekso skaitļu laukā vienmēr ir divi risinājumi, kas atšķiras tikai pēc zīmes (izņemot kvadrātsakne no nulles). Kompleksā skaitļa sakne bieži tiek apzīmēta kā , taču šis apzīmējums ir jāizmanto uzmanīgi. Izplatīta kļūda:

Lai iegūtu kompleksā skaitļa kvadrātsakni, ir ērti izmantot kompleksā skaitļa eksponenciālo apzīmējumu: ja

kur moduļa sakne tiek saprasta aritmētiskās vērtības izpratnē, un k var iegūt vērtības k=0 un k=1, tāpēc atbildes rezultāts ir divi dažādi rezultāti.

Vispārinājumi

Kvadrātsaknes tiek ieviestas kā formas vienādojumu risinājumi un citiem objektiem: matricām, funkcijām, operatoriem utt. Šajā gadījumā var izmantot diezgan patvaļīgas reizināšanas darbības, piemēram, superpozīcija.

Kvadrātsakne datorzinātnēs

Daudzās funkcionālā līmeņa programmēšanas valodās (kā arī iezīmēšanas valodās, piemēram, LaTeX) kvadrātsaknes funkcija tiek apzīmēta kā sqrt(no angļu valodas. kvadrātsakne"Kvadrātsakne").

Algoritmi kvadrātsaknes atrašanai

Tiek izsaukta dotā skaitļa kvadrātsaknes atrašana vai aprēķināšana ieguve(kvadrātsakne.

Teilora sērijas paplašināšana

Aritmētiskā kvadrātsakne

Ciparu kvadrātiem ir patiesas šādas vienādības:

Tas ir, jūs varat uzzināt skaitļa kvadrātsaknes veselo skaitļu daļu, atņemot no tās visus nepāra skaitļus secībā, līdz atlikums ir mazāks par nākamo atņemto skaitli, vai nulle, un veikto darbību skaita skaitīšana. Piemēram, šādi:

Veicot 3 darbības, kvadrātsakne no 9 ir 3.

Šīs metodes trūkums ir tāds, ka, ja iegūtā sakne nav vesels skaitlis, tad jūs varat uzzināt tikai tās veselā skaitļa daļu, bet ne precīzāk. Tajā pašā laikā šī metode ir diezgan pieejama bērniem, kuri risina visvienkāršākās problēmas. matemātikas uzdevumi, kam nepieciešama kvadrātsaknes ekstrakcija.

aptuvens novērtējums

Daudzi aprēķinu algoritmi kvadrātsaknes no pozitīva reālā skaitļa S nepieciešama sākotnējā vērtība. Ja sākotnējā vērtība ir pārāk tālu no saknes reālās vērtības, aprēķini palēninās. Tāpēc ir lietderīgi iegūt aptuvenu aprēķinu, kas var būt ļoti neprecīzs, taču to ir viegli aprēķināt. Ja S≥ 1, let D būs ciparu skaits S pa kreisi no komata. Ja S < 1, пусть D būs secīgo nullju skaits pa labi no komata, kas ņemts ar mīnusa zīmi. Tad aptuvens aprēķins izskatās šādi:

Ja D dīvaini, D = 2n+ 1, tad mēs izmantojam Ja D pat, D = 2n+ 2, tad mēs izmantojam

Divi un seši tiek izmantoti, jo un

Strādājot binārajā sistēmā (piemēram, datoru iekšienē), jāizmanto cits novērtējums (šeit D ir bināro ciparu skaits).

Ģeometriskā kvadrātsakne

Lai manuāli izvilktu sakni, tiek izmantots apzīmējums, kas līdzīgs kolonnu dalījumam. Tiek izrakstīts skaitlis, kura sakni mēs meklējam. Pa labi no tā mēs pakāpeniski iegūsim vajadzīgās saknes skaitļus. Ļaujiet saknei iegūt no skaitļa ar ierobežotu zīmju skaitu aiz komata. Lai sāktu, garīgi vai ar etiķetēm mēs sadalām skaitli N divu ciparu grupās pa kreisi un pa labi no komata. Ja nepieciešams, grupas tiek polsterētas ar nullēm - veselā skaitļa daļa ir polsterēta kreisajā pusē, daļskaitlis labajā pusē. Tātad 31234.567 var attēlot kā 03 12 34 . 56 70. Atšķirībā no sadalīšanas, nojaukšana tiek veikta šādās grupās pa 2 cipariem.

Vizuāls algoritma apraksts:

Pirms kalkulatoru parādīšanās skolēni un skolotāji ar roku aprēķināja kvadrātsaknes. Ir vairāki veidi, kā manuāli aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. Daži no tiem piedāvā tikai aptuvenu risinājumu, citi sniedz precīzu atbildi.

Soļi

Galvenā faktorizācija

Saknes skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no saknes numura jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi. Vispirms mēģiniet faktorizēt saknes skaitli kvadrātveida faktoros.

• Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (manuāli). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātveida koeficientos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 - tas ir kvadrātveida skaitlis. Dalot 400 ar 25, iegūstat 16. Skaitlis 16 ir arī kvadrātskaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.
• To var uzrakstīt šādi: √400 = √(25 x 16).

1. Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, √(a x b) = √a x √b. Izmantojiet šo noteikumu un ņemiet kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.

   • Mūsu piemērā ņem kvadrātsakni no 25 un 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ja radikālais skaitlis nesadalās divos kvadrātveida reizinātājs(kas notiek lielākoties), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi kā veselu skaitli. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot saknes skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un jūs pieņemsit parastā faktora sakni.

   • Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var ieskaitīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ja nepieciešams, novērtējiet saknes vērtību. Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (abās skaitļu līnijas pusēs) saknes skaitlim. Saknes vērtību iegūsit kā decimālo daļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

   • Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Saknes skaitlis ir 3. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 1 (√1 = 1) un 4 (√4 = 2). Tādējādi √3 vērtība ir no 1 līdz 2. Tā kā √3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aplēse ir šāda: √3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ja veicat aprēķinus, izmantojot kalkulatoru, jūs saņemsiet 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.
     • Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet √35. Saknes skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 25 (√25 = 5) un 36 (√36 = 6). Tādējādi √35 vērtība ir no 5 līdz 6. Tā kā √35 vērtība ir daudz tuvāka 6, nekā tā ir 5 (jo 35 ir tikai par 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka √35 ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaudot ar kalkulatoru, mēs saņemam atbildi 5,92 - mums bija taisnība.

4. Vēl viens veids ir sadalīt saknes skaitli galvenajos faktoros. Pirmfaktori ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Uzrakstiet galvenos faktorus pēc kārtas un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

   • Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Saknes skaitli sadalām pirmfaktoros: 45 \u003d 9 x 5 un 9 \u003d 3 x 3. Tādējādi √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). No saknes zīmes var izņemt 3: √45 = 3√5. Tagad mēs varam novērtēt √5.
   • Apsveriet citu piemēru: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Jums ir trīs reizinātājs 2; paņemiet pāris no tiem un izņemiet tos no saknes zīmes.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tagad mēs varam novērtēt √2 un √11 un atrast aptuvenu atbildi.

   Kvadrātsaknes manuāla aprēķināšana

   Izmantojot kolonnu dalījumu

   1. Šī metode ietver procesu, kas līdzīgs garajai dalīšanai, un sniedz precīzu atbildi. Vispirms novelciet vertikālu līniju, kas sadala lapu divās daļās, un pēc tam novelciet horizontālu līniju pa labi un nedaudz zem lapas augšējās malas līdz vertikālajai līnijai. Tagad sadaliet saknes skaitli skaitļu pāros, sākot ar daļskaitli pēc komata. Tātad numurs 79520789182.47897 tiek rakstīts kā "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Piemēram, aprēķināsim kvadrātsakni no skaitļa 780.14. Uzzīmējiet divas līnijas (kā parādīts attēlā) un augšējā kreisajā stūrī ierakstiet skaitli "7 80, 14". Tas ir normāli, ka pirmais cipars no kreisās puses ir nepāra cipars. Atbilde (norādītā skaitļa sakne) tiks ierakstīta augšējā labajā stūrī.

   2. Dots pirmais skaitļu pāris (vai viens skaitlis) no kreisās puses, atrodiet lielāko veselo skaitli n, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar attiecīgo skaitļu pāri (vai vienu skaitli). Citiem vārdiem sakot, atrodiet kvadrātskaitli, kas ir vistuvāk pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses, bet mazāks par to, un paņemiet šī kvadrātskaitļa kvadrātsakni; jūs saņemsiet numuru n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet atrasto n, bet apakšējā labajā stūrī pierakstiet kvadrātu n.

      • Mūsu gadījumā pirmais cipars pa kreisi būs cipars 7. Tālāk 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Atņemiet tikko atrastā skaitļa n kvadrātu no pirmā skaitļu pāra (vai viena skaitļa) no kreisās puses. Aprēķina rezultātu ierakstiet zem apakšdaļas (skaitļa n kvadrāts).

      • Mūsu piemērā no 7 atņemiet 4, lai iegūtu 3.

   4. Noņemiet otro skaitļu pāri un pierakstiet to blakus vērtībai, kas iegūta iepriekšējā darbībā. Pēc tam dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā otrais skaitļu pāris ir "80". Ierakstiet "80" aiz 3. Pēc tam, dubultojot skaitli no augšējās labās puses, iegūstiet 4. Apakšējā labajā stūrī ierakstiet "4_×_=".

   5. Labajā pusē aizpildiet tukšās vietas.

      • Mūsu gadījumā, ja domuzīmju vietā ievietojam skaitli 8, tad 48 x 8 \u003d 384, kas ir vairāk nekā 380. Tāpēc 8 ir pārāk liels skaitlis, bet 7 ir labi. Defisu vietā ierakstiet 7 un iegūstiet: 47 x 7 \u003d 329. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7 - tas ir otrais cipars vēlamajā skaitļa 780.14 kvadrātsaknē.

   6. Atņemiet iegūto skaitli no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē. Ierakstiet iepriekšējā soļa rezultātu zem pašreizējā skaitļa kreisajā pusē, atrodiet atšķirību un ierakstiet to zem atņemtā.

      • Mūsu piemērā no 380 atņemiet 329, kas ir vienāds ar 51.

   7. Atkārtojiet 4. darbību. Ja nojauktais skaitļu pāris ir sākotnējā skaitļa daļēja daļa, tad ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju (komatu) vēlamajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Kreisajā pusē pārnesiet uz leju nākamo skaitļu pāri. Dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā nākamais skaitļu pāris, kas jānojauc, būs skaitļa 780.14 daļēja daļa, tāpēc ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju vajadzīgajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Nojauciet 14 un pierakstiet apakšējā kreisajā stūrī. Divkāršs augšējā labajā stūrī (27) ir 54, tāpēc apakšējā labajā stūrī ierakstiet "54_×_=".

   8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Labajā pusē atrodiet lielāko skaitli domuzīmju vietā (domuzīmju vietā ir jāaizstāj tas pats skaitlis), lai reizināšanas rezultāts būtu mazāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.

      • Mūsu piemērā 549 x 9 = 4941, kas ir mazāks par pašreizējo skaitli kreisajā pusē (5114). Augšējā labajā pusē ierakstiet 9 un atņemiet reizināšanas rezultātu no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ja kvadrātsaknei jāatrod vairāk zīmju aiz komata, ierakstiet nulles pāri blakus pašreizējam skaitlim kreisajā pusē un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību. Atkārtojiet darbības, līdz iegūstat vajadzīgās atbildes precizitāti (skaits no decimālzīmes).

      Procesa izpratne

      1. Par asimilāciju šī metode padomājiet par skaitli, kura kvadrātsakni vēlaties atrast kā kvadrāta S laukumu. Šajā gadījumā jūs meklēsit šāda kvadrāta malas L garumu. Aprēķiniet L vērtību, kurai L² = S.

         Katram atbildes ciparam ievadiet burtu. Apzīmē ar A pirmo ciparu L vērtībā (vēlamā kvadrātsakne). B būs otrais cipars, C trešais un tā tālāk.

         Norādiet burtu katram sākuma ciparu pārim. Apzīmē ar S a pirmo ciparu pāri vērtībā S, ar S b otro ciparu pāri utt.

         Izskaidrojiet šīs metodes saistību ar garo dalīšanu. Tāpat kā dalīšanas operācijā, kur katru reizi mūs interesē tikai viens nākamais dalāmā skaitļa cipars, aprēķinot kvadrātsakni, mēs strādājam ar ciparu pāri pēc kārtas (lai iegūtu nākamo vienu ciparu kvadrātsaknes vērtībā) .

      2. Apsveriet skaitļa S pirmo ciparu pāri Sa (mūsu piemērā Sa = 7) un atrodiet tā kvadrātsakni.Šajā gadījumā meklētās kvadrātsaknes vērtības pirmais cipars A būs tāds cipars, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S a (tas ir, mēs meklējam tādu A, kas apmierina nevienādību A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 88962 ar 7; šeit pirmais solis būs līdzīgs: mēs ņemam vērā dalāmā skaitļa 88962 pirmo ciparu (8) un izvēlamies lielāko skaitli, kas, reizinot ar 7, iegūst vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 8. Tas ir, mēs meklējam skaitlis d, kuram ir patiesa nevienādība: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Garīgi iedomājieties kvadrātu, kura laukums jums jāaprēķina. Jūs meklējat L, tas ir, kvadrāta malas garumu, kura laukums ir S. A, B, C ir skaitļi skaitļā L. Varat to rakstīt citādi: 10A + B \u003d L (par divciparu skaitlis) vai 100A + 10B + C \u003d L (trīsciparu skaitlim) un tā tālāk.

         • Ļaujiet (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B ir skaitlis, kura B apzīmē vieniniekus un A apzīmē desmitus. Piemēram, ja A=1 un B=2, tad 10A+B ir vienāds ar skaitli 12. (10A+B)² ir visa laukuma platība, 100A² ir lielā iekšējā kvadrāta laukums, B² ir mazā iekšējā kvadrāta laukums, 10A × B ir katra no diviem taisnstūriem laukums. Pievienojot aprakstīto figūru laukumus, jūs atradīsit sākotnējā kvadrāta laukumu.

Šajā rakstā mēs iepazīstināsim skaitļa saknes jēdziens. Mēs darbosimies secīgi: sāksim ar kvadrātsakni, no tās pāriesim pie kubsaknes apraksta, pēc tam vispārināsim saknes jēdzienu, definējot n-tās pakāpes sakni. Tajā pašā laikā mēs iepazīstināsim ar definīcijām, apzīmējumiem, sniegsim sakņu piemērus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus un komentārus.

Kvadrātsakne, aritmētiskā kvadrātsakne

Lai saprastu skaitļa saknes definīciju un jo īpaši kvadrātsakni, ir jābūt . Šajā brīdī mēs bieži sastopamies ar skaitļa otro pakāpju – skaitļa kvadrātu.

Sāksim ar kvadrātsaknes definīcijas.

Definīcija

Kvadrātsakne no a ir skaitlis, kura kvadrāts ir .

Lai atvestu kvadrātsakņu piemēri, ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 5 , -0,3 , 0,3 , 0 un salieciet tos kvadrātā, iegūstam attiecīgi skaitļus 25 , 0,09 , 0,09 un 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 un 0 2 = 0 0 = 0). Tad saskaņā ar iepriekš minēto definīciju 5 ir kvadrātsakne no 25, −0,3 un 0,3 ir kvadrātsakne no 0,09, un 0 ir kvadrātsakne no nulles.

Jāņem vērā, ka neeksistē nevienam skaitlim a , kura kvadrāts ir vienāds ar a . Proti, jebkuram negatīvam skaitlim a nav reāla skaitļa b, kura kvadrāts būtu vienāds ar a. Patiešām, vienādība a=b 2 nav iespējama nevienam negatīvam a , jo b 2 ir nenegatīvs skaitlis jebkuram b . Pa šo ceļu, reālo skaitļu kopā nav negatīva skaitļa kvadrātsaknes. Citiem vārdiem sakot, reālo skaitļu kopā negatīva skaitļa kvadrātsakne nav definēta un tai nav nozīmes.

Tas noved pie loģiska jautājuma: “Vai jebkuram nenegatīvam a ir kvadrātsakne no a”? Atbilde ir jā. Šī fakta pamatojumu var uzskatīt par konstruktīvu metodi, ko izmanto kvadrātsaknes vērtības noteikšanai.

Tad rodas šāds loģisks jautājums: "Kāds ir dotā nenegatīvā skaitļa a visu kvadrātsakņu skaits - viens, divi, trīs vai pat vairāk"? Šeit ir atbilde uz to: ja a ir nulle, tad vienīgā kvadrātsakne no nulles ir nulle; ja a ir kāds pozitīvs skaitlis, tad kvadrātsakņu skaits no skaitļa a ir vienāds ar divi, un saknes ir . Pamatosim to.

Sāksim ar gadījumu a=0 . Vispirms parādīsim, ka nulle patiešām ir nulles kvadrātsakne. Tas izriet no acīmredzamās vienādības 0 2 =0·0=0 un kvadrātsaknes definīcijas.

Tagad pierādīsim, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles. Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka ir kāds skaitlis b, kas atšķiras no nulles un ir nulles kvadrātsakne. Tad ir jāizpilda nosacījums b 2 =0, kas nav iespējams, jo jebkuram b 2, kas nav nulle, izteiksmes vērtība b 2 ir pozitīva. Mēs esam nonākuši pie pretrunas. Tas pierāda, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles.

Pāriesim pie gadījumiem, kad a ir pozitīvs skaitlis. Iepriekš mēs teicām, ka vienmēr ir kvadrātsakne no jebkura nenegatīva skaitļa, pieņemsim, ka b ir a kvadrātsakne. Pieņemsim, ka ir skaitlis c , kas ir arī kvadrātsakne no a . Tad pēc kvadrātsaknes definīcijas ir spēkā vienādības b 2 =a un c 2 =a, no kā izriet, ka b 2 −c 2 =a−a=0, bet tā kā b 2 −c 2 =( b–c) ( b+c) , tad (b–c) (b+c)=0 . Rezultātā spēkā esošā vienlīdzība darbību īpašības ar reāliem skaitļiem iespējams tikai tad, ja b-c=0 vai b+c=0 . Tādējādi skaitļi b un c ir vienādi vai pretēji.

Ja pieņemam, ka ir skaitlis d, kas ir vēl viena kvadrātsakne no skaitļa a, tad, spriežot līdzīgi kā jau dotajiem, tiek pierādīts, ka d ir vienāds ar skaitli b vai skaitli c. Tātad pozitīva skaitļa kvadrātsakņu skaits ir divi, un kvadrātsaknes ir pretēji skaitļi.

Lai ērtāk strādātu ar kvadrātsaknēm, negatīvā sakne tiek "atdalīta" no pozitīvās. Šim nolūkam tas ievieš aritmētiskās kvadrātsaknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar .

Skaitļa a aritmētiskajai kvadrātsaknei tiek pieņemts apzīmējums. Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi. To sauc arī par radikāļu zīmi. Tāpēc daļēji var dzirdēt gan "sakne", gan "radikāls", kas nozīmē vienu un to pašu objektu.

Tiek izsaukts skaitlis zem aritmētiskās kvadrātsaknes zīmes saknes numurs, un izteiksme zem saknes zīmes - radikāla izpausme, savukārt termins "radikālais skaitlis" bieži tiek aizstāts ar "radikāla izteiksme". Piemēram, apzīmējumā skaitlis 151 ir radikāls skaitlis, bet apzīmējumā izteiksme a ir radikāls izteiksme.

Lasot, vārds "aritmētika" bieži tiek izlaists, piemēram, ieraksts tiek lasīts kā "kvadrātsakne no septiņām komata divdesmit deviņām simtdaļām". Vārds "aritmētika" tiek lietots tikai tad, kad viņi to vēlas uzsvērt mēs runājam par skaitļa pozitīvo kvadrātsakni.

Ņemot vērā ieviesto apzīmējumu, no aritmētiskās kvadrātsaknes definīcijas izriet, ka jebkuram nenegatīvam skaitlim a .

Pozitīva skaitļa a kvadrātsaknes raksta, izmantojot aritmētisko kvadrātsaknes zīmi kā un . Piemēram, 13 kvadrātsaknes ir un . Nulles aritmētiskā kvadrātsakne ir nulle, tas ir, . Negatīviem skaitļiem a mēs nepiešķirsim nozīmi ierakstiem, kamēr mēs neizpētīsim kompleksie skaitļi. Piemēram, izteicieni un ir bezjēdzīgi.

Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, tiek pierādītas kvadrātsakņu īpašības, kuras bieži izmanto praksē.

Noslēdzot šo apakšnodaļu, atzīmējam, ka skaitļa kvadrātsaknes ir formas x 2 =a atrisinājumi attiecībā pret mainīgo x .

kuba sakne no

Kuba saknes definīcija skaitļa a ir dota līdzīgi kvadrātsaknes definīcijai. Tikai tā pamatā ir skaitļa, nevis kvadrāta kuba jēdziens.

Definīcija

Kuba sakne no a tiek izsaukts skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Atvedīsim kubu sakņu piemēri. Lai to izdarītu, ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 7 , 0 , −2/3 , un sagrieziet tos kubā: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Pēc tam, pamatojoties uz kuba saknes definīciju, mēs varam teikt, ka skaitlis 7 ir 343 kuba sakne, 0 ir nulles kuba sakne un −2/3 ir −8/27 kuba sakne.

Var parādīt, ka skaitļa a kubsakne atšķirībā no kvadrātsaknes pastāv vienmēr, un ne tikai nenegatīvam a, bet arī jebkuram reālam skaitlim a. Lai to izdarītu, varat izmantot to pašu metodi, ko mēs minējām, pētot kvadrātsakni.

Turklāt no dotā skaitļa a ir tikai viena kubsakne. Pierādīsim pēdējo apgalvojumu. Lai to izdarītu, aplūkojiet trīs gadījumus atsevišķi: a ir pozitīvs skaitlis, a=0 un a ir negatīvs skaitlis.

Ir viegli parādīt, ka pozitīvam a kuba sakne nevar būt ne negatīva, ne nulle. Patiešām, pieņemsim, ka b ir a kuba sakne, tad pēc definīcijas mēs varam uzrakstīt vienādību b 3 =a . Ir skaidrs, ka šī vienādība nevar būt patiesa negatīvam b un b=0, jo šajos gadījumos b 3 =b·b·b būs attiecīgi negatīvs skaitlis vai nulle. Tātad pozitīva skaitļa a kuba sakne ir pozitīvs skaitlis.

Tagad pieņemsim, ka bez skaitļa b ir vēl viena kuba sakne no skaitļa a, apzīmēsim to ar c. Tad c 3 =a. Tāpēc b 3 −c 3 =a−a=0 , bet b 3 - c 3 = (b - c) (b 2 + b c + c 2)(šī ir saīsinātā reizināšanas formula kubu atšķirība), no kurienes (b–c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Iegūtā vienādība ir iespējama tikai tad, ja b−c=0 vai b 2 +b c+c 2 =0 . No pirmās vienādības mums ir b=c, bet otrajai vienādībai nav atrisinājumu, jo tās kreisā puse ir pozitīvs skaitlis jebkuriem pozitīviem skaitļiem b un c kā trīs pozitīvo vārdu b 2 , b c un c 2 summa. Tas pierāda pozitīva skaitļa a kuba saknes unikalitāti.

Ja a=0, vienīgā a kuba sakne ir nulle. Patiešām, ja mēs pieņemam, ka ir skaitlis b , kas ir nulles kuba sakne no nulles, tad ir jāpastāv vienādībai b 3 =0, kas ir iespējama tikai tad, ja b=0 .

Par negatīvo a var strīdēties līdzīgi kā par pozitīvo a. Pirmkārt, mēs parādām, ka negatīva skaitļa kuba sakne nevar būt vienāda ar pozitīvu skaitli vai nulli. Otrkārt, mēs pieņemam, ka ir otra negatīva skaitļa kuba sakne, un parādām, ka tā noteikti sakritīs ar pirmo.

Tātad jebkuram reālajam skaitļam a vienmēr ir kubsakne un tikai viens.

Dosim aritmētiskā kuba saknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kuba sakne a tiek izsaukts nenegatīvs skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Nenegatīva skaitļa a aritmētiskā kuba sakne tiek apzīmēta kā , zīmi sauc par aritmētiskā kuba saknes zīmi, skaitli 3 šajā apzīmējumā sauc saknes indikators. Numurs zem saknes zīmes ir saknes numurs, izteiksme zem saknes zīmes ir radikāla izpausme.

Lai gan aritmētiskā kuba sakne ir definēta tikai nenegatīviem skaitļiem a, ir ērti izmantot arī ierakstus, kuros negatīvi skaitļi atrodas zem aritmētiskā kuba saknes zīmes. Mēs tos sapratīsim šādi: , kur a ir pozitīvs skaitlis. Piemēram, .

Par kubu sakņu īpašībām mēs runāsim vispārīgajos sakņu rakstu īpašībās.

Kuba saknes vērtības aprēķināšanu sauc par kuba saknes izvilkšanu, šī darbība ir apskatīta rakstā sakņu iegūšana: metodes, piemēri, risinājumi.

Noslēdzot šo apakšnodaļu, sakām, ka a kuba sakne ir formas x 3 =a risinājums.

N sakne, n aritmētiskā sakne

Mēs vispārinām saknes jēdzienu no skaitļa – ieviešam n-tās saknes noteikšana par n.

Definīcija

n-tā sakne no a ir skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

No šī definīcija ir skaidrs, ka pirmās pakāpes sakne no skaitļa a ir pats skaitlis a, jo, pētot grādu ar naturālo rādītāju, mēs paņēmām 1 \u003d a.

Iepriekš mēs aplūkojām īpašos n-tās pakāpes saknes gadījumus n=2 un n=3 - kvadrātsakni un kubsakni. Tas ir, kvadrātsakne ir otrās pakāpes sakne, un kubsakne ir trešās pakāpes sakne. Lai pētītu n-tās pakāpes saknes n=4, 5, 6, ..., ir ērti tās iedalīt divās grupās: pirmā grupa - pāra grādu saknes (tas ir, n=4, 6). , 8, ...), otrā grupa - saknes nepāra pakāpes (tas ir, ja n=5, 7, 9, ... ). Tas ir saistīts ar faktu, ka pāra grādu saknes ir līdzīgas kvadrātsaknei, bet nepāra grādu saknes ir līdzīgas kubiksaknei. Tiksim ar tiem galā pēc kārtas.

Sāksim ar saknēm, kuru pakāpes ir pāra skaitļi 4, 6, 8, ... Kā jau teicām, tie ir līdzīgi skaitļa a kvadrātsaknei. Tas nozīmē, ka jebkura pāra pakāpes sakne no skaitļa a pastāv tikai nenegatīvam a. Turklāt, ja a=0, tad a sakne ir unikāla un vienāda ar nulli, un ja a>0, tad no skaitļa a ir divas pāra pakāpes saknes, un tās ir pretēji skaitļi.

Pamatosim pēdējo apgalvojumu. Lai b ir pāra pakāpes sakne (mēs to apzīmējam kā 2 m, kur m ir daži dabiskais skaitlis) no numura a . Pieņemsim, ka ir skaitlis c — vēl 2 m sakne no a . Tad b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Bet mēs zinām formu b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), tad (b–c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. No šīs vienādības izriet, ka b−c=0 , vai b+c=0 , vai b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Pirmās divas vienādības nozīmē, ka skaitļi b un c ir vienādi vai b un c ir pretēji. Un pēdējā vienādība ir spēkā tikai b=c=0, jo tās kreisajā pusē ir izteiksme, kas nav negatīva jebkuram b un c kā nenegatīvu skaitļu summa.

Kas attiecas uz n-tās pakāpes saknēm nepāra n, tās ir līdzīgas kuba saknei. Tas ir, jebkuras nepāra pakāpes sakne no skaitļa a pastāv jebkuram reālam skaitlim a, un noteiktam skaitlim a tā ir unikāla.

Nepāra pakāpes 2·m+1 saknes unikalitāte no skaitļa a tiek pierādīta pēc analoģijas ar kuba saknes unikalitātes pierādījumu no a . Tikai šeit vienlīdzības vietā a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) formas b 2 m+1 −c 2 m+1 = vienādība (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… + c 2 m). Izteicienu pēdējā iekavās var pārrakstīt kā b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m–4 + c 2 m–4 + b c (…+ (b 2 + c 2 + b c)))). Piemēram, m=2 mums ir b 5 -c 5 = (b - c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Ja a un b abi ir pozitīvi vai abi negatīvi, to reizinājums ir pozitīvs skaitlis, tad izteiksme b 2 +c 2 +b·c , kas atrodas iekavās augstākajai ligzdošanas pakāpei, ir pozitīva kā pozitīvā summa. cipariem. Tagad, secīgi pārejot uz iepriekšējo ligzdošanas pakāpju izteiksmēm iekavās, mēs pārliecināmies, ka tās ir pozitīvas arī kā pozitīvo skaitļu summas. Rezultātā iegūstam, ka vienādība b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… + c 2 m)=0 iespējams tikai tad, ja b–c=0, tas ir, ja skaitlis b ir vienāds ar skaitli c .

Ir pienācis laiks nodarboties ar n-tās pakāpes sakņu apzīmējumu. Šim nolūkam tas tiek dots n-tās pakāpes aritmētiskās saknes noteikšana.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa n-tās pakāpes aritmētiskā sakne a tiek izsaukts nenegatīvs skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

Ir pienācis laiks izjaukt sakņu ekstrakcijas metodes. Tie ir balstīti uz sakņu īpašībām, jo ​​īpaši uz vienādību, kas attiecas uz jebkuru nenegatīvu skaitli b.

Tālāk mēs savukārt apsvērsim galvenās sakņu ieguves metodes.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu – sakņu izvilkšanu no naturāliem skaitļiem, izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Ja kvadrātu, kubu u.c. nav pie rokas, ir loģiski izmantot saknes iegūšanas metodi, kas ietver saknes skaitļa sadalīšanu vienkāršos faktoros.

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie tā, kas ir iespējams saknēm ar nepāra eksponentiem.

Visbeidzot, apsveriet metodi, kas ļauj secīgi atrast saknes vērtības ciparus.

Sāksim.

Izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Vienkāršākajos gadījumos kvadrātu, kubu uc tabulas ļauj iegūt saknes. Kas ir šīs tabulas?

Veselu skaitļu kvadrātu tabula no 0 līdz 99 (ieskaitot) sastāv no divām zonām. Tabulas pirmā zona atrodas uz pelēka fona, atlasot noteiktu rindu un noteiktu kolonnu, tā ļauj izveidot skaitli no 0 līdz 99. Piemēram, atlasīsim 8 desmitu rindu un 3 vienību kolonnu, ar to mēs nofiksējām skaitli 83. Otrā zona aizņem pārējo tabulu. Katra tā šūna atrodas noteiktas rindas un noteiktas kolonnas krustpunktā un satur atbilstošā skaitļa kvadrātu no 0 līdz 99. Mūsu izvēlētās 8 desmitnieku rindas un viena 3. kolonnas krustpunktā atrodas šūna ar skaitli 6889, kas ir skaitļa 83 kvadrāts.

Kubu tabulas, skaitļu ceturto pakāpju tabulas no 0 līdz 99 un tā tālāk ir līdzīgas kvadrātu tabulai, tikai tās otrajā zonā satur kubus, ceturtās pakāpes utt. atbilstošos skaitļus.

Kvadrātu, kubu, ceturto pakāpju tabulas utt. ļauj iegūt kvadrātsaknes, kubsaknes, ceturtās saknes utt. attiecīgi no skaitļiem šajās tabulās. Izskaidrosim to pielietošanas principu sakņu ieguvē.

Pieņemsim, ka no skaitļa a ir jāizvelk n-tās pakāpes sakne, savukārt skaitlis a ir ietverts n-to grādu tabulā. Saskaņā ar šo tabulu mēs atrodam skaitli b tādu, ka a=b n . Tad , tāpēc skaitlis b būs vēlamā n-tās pakāpes sakne.

Kā piemēru parādīsim, kā 19683. gada kuba sakne tiek iegūta, izmantojot kuba tabulu. Mēs atrodam kubu tabulā skaitli 19 683, no tā secinām, ka šis skaitlis ir skaitļa 27 kubs, tāpēc .

Skaidrs, ka n-to grādu tabulas ir ļoti ērtas, iegūstot saknes. Tomēr tie bieži vien nav pa rokai, un to sastādīšana prasa noteiktu laiku. Turklāt bieži vien ir nepieciešams iegūt saknes no skaitļiem, kas nav ietverti attiecīgajās tabulās. Šādos gadījumos ir jāizmanto citas sakņu iegūšanas metodes.

Saknes skaitļa sadalīšana pirmfaktoros

Pietiekami ērts veids, kas ļauj iegūt sakni no naturāla skaitļa (ja, protams, sakne tiek izdalīta), ir saknes skaitļa sadalīšana pirmfaktoros. Viņa būtība ir šāda: pēc tam ir diezgan viegli attēlot to kā grādu ar vēlamo rādītāju, kas ļauj iegūt saknes vērtību. Paskaidrosim šo punktu.

No naturāla skaitļa a izņem n-tās pakāpes sakni, un tā vērtība ir vienāda ar b. Šajā gadījumā vienādība a=b n ir patiesa. Skaitli b kā jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā visu tā pirmfaktoru p 1 , p 2 , …, p m reizinājumu formā p 1 p 2 … p m , un saknes skaitli a šajā gadījumā attēlo kā (p 1 p 2 ... p m) n . Tā kā skaitļa sadalīšana pirmfaktoros ir unikāla, tad saknes skaitļa a sadalīšana pirmfaktoros izskatīsies šādi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , kas ļauj aprēķināt saknes vērtību kā .

Ņemiet vērā, ka, ja saknes skaitļa a faktorizāciju nevar attēlot formā (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tad n-tās pakāpes sakne no šāda skaitļa a netiek pilnībā izvilkta.

Ar to nodarbosimies, risinot piemērus.

Piemērs.

Paņemiet kvadrātsakni no 144 .

Risinājums.

Ja pievēršamies iepriekšējā rindkopā dotajai kvadrātu tabulai, skaidri redzams, ka 144=12 2 , no kuras ir skaidrs, ka 144 kvadrātsakne ir 12 .

Bet, ņemot vērā šo punktu, mēs esam ieinteresēti, kā sakne tiek iegūta, sadalot saknes numuru 144 primārajos faktoros. Apskatīsim šo risinājumu.

Sadalīsimies 144 uz galvenajiem faktoriem:

Tas ir, 144=2 2 2 2 3 3 . Pamatojoties uz iegūto sadalīšanos, var veikt šādas pārvērtības: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Sekojoši, .

Izmantojot sakņu pakāpes un īpašību īpašības, risinājumu varētu formulēt nedaudz savādāk: .

Atbilde:

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet vēl divu piemēru risinājumus.

Piemērs.

Aprēķiniet saknes vērtību.

Risinājums.

Saknes skaitļa 243 pirmfaktorizācija ir 243=3 5 . Pa šo ceļu, .

Atbilde:

Piemērs.

Vai saknes vērtība ir vesels skaitlis?

Risinājums.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, sadalīsim saknes skaitli galvenajos faktoros un noskaidrosim, vai to var attēlot kā vesela skaitļa kubu.

Mums ir 285 768=2 3 3 6 7 2 . Iegūtais sadalījums netiek attēlots kā vesela skaitļa kubs, jo pakāpe galvenais faktors 7 nav reizināts ar trīs. Tāpēc kuba sakne 285 768 netiek ņemta pilnībā.

Atbilde:

Nē.

Sakņu iegūšana no daļskaitļiem

Ir pienācis laiks izdomāt, kā sakne tiek iegūta no daļskaitļa. Daļējās saknes skaitli rakstīsim kā p/q . Saskaņā ar koeficienta saknes īpašību šāda vienādība ir patiesa. No šīs vienlīdzības izriet frakcijas saknes noteikums: Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja saknes dalījumu ar saucēja sakni.

Apskatīsim piemēru saknes iegūšanai no frakcijas.

Piemērs.

Kas ir kvadrātsakne no kopējā frakcija 25/169 .

Risinājums.

Saskaņā ar kvadrātu tabulu mēs atklājam, ka sākotnējās daļas skaitītāja kvadrātsakne ir 5, bet saucēja kvadrātsakne ir 13. Tad . Tas pabeidz saknes ekstrakciju no parastās frakcijas 25/169.

Atbilde:

Decimāldaļskaitļa vai jaukta skaitļa sakne tiek iegūta pēc saknes skaitļu aizstāšanas ar parastajām daļām.

Piemērs.

Ņemiet decimāldaļas 474.552 kubsakni.

Risinājums.

Iedomājieties oriģinālu decimālzīme parastās daļdaļas veidā: 474,552=474552/1000. Tad . Atliek izvilkt kuba saknes, kas atrodas iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā. Jo 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 un 1 000 =10 3, tad un . Atliek tikai pabeigt aprēķinus .

Atbilde:

.

Negatīvā skaitļa saknes izvilkšana

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie sakņu iegūšanas no negatīviem skaitļiem. Pētot saknes, mēs teicām, ka, ja saknes eksponents ir nepāra skaitlis, tad zem saknes zīmes var atrasties negatīvs skaitlis. Mēs piešķīrām šādiem apzīmējumiem šādu nozīmi: negatīvam skaitlim −a un nepāra eksponentam saknes 2 n−1, mums ir . Šī vienlīdzība dod noteikums nepāra sakņu iegūšanai no negatīviem skaitļiem: lai izvilktu sakni no negatīva skaitļa, jāizņem sakne no pretējā pozitīvā skaitļa un rezultāta priekšā jāievieto mīnusa zīme.

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet saknes vērtību.

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi tā, lai zem saknes zīmes parādītos pozitīvs skaitlis: . Tagad jaukto skaitli aizstājam ar parastu daļskaitli: . Mēs piemērojam noteikumu par saknes izņemšanu no parastās frakcijas: . Atliek aprēķināt saknes iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā: .

Šeit ir risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

.

Bitu pagrieziena saknes vērtības atrašana

Vispārīgā gadījumā zem saknes ir skaitlis, kuru, izmantojot iepriekš apspriestos paņēmienus, nevar attēlot kā jebkura skaitļa n-to pakāpi. Bet ir jāzina nozīme dota sakne, vismaz līdz kādai zīmei. Šajā gadījumā, lai izvilktu sakni, varat izmantot algoritmu, kas ļauj konsekventi iegūt pietiekamu skaitu vēlamā skaitļa ciparu vērtību.

Pirmais šī algoritma solis ir noskaidrot, kas ir vissvarīgākais saknes vērtības bits. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100, ... secīgi paaugstina līdz pakāpei n, līdz tiek iegūts skaitlis, kas pārsniedz saknes skaitli. Tad skaitlis, ko iepriekšējā solī paaugstinājām līdz pakāpei n, norādīs atbilstošo augstāko secību.

Piemēram, apsveriet šo algoritma darbību, iegūstot kvadrātsakni no pieci. Mēs ņemam skaitļus 0, 10, 100, ... un saliekam tos kvadrātā, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 5 . Mums ir 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , kas nozīmē, ka nozīmīgākais cipars būs vienību cipars. Šī bita vērtība, kā arī zemākie, tiks atrasta saknes ekstrakcijas algoritma nākamajos soļos.

Visas sekojošās algoritma darbības ir vērstas uz saknes vērtības secīgu precizēšanu, jo tiek atrastas vēlamās saknes vērtības nākamo ciparu vērtības, sākot no augstākās un pārejot uz zemāko. . Piemēram, saknes vērtība pirmajā solī ir 2 , otrajā - 2,2 , trešajā - 2,23 un tā tālāk 2,236067977 ... . Aprakstīsim, kā tiek atrastas bitu vērtības.

Bitu atrašana tiek veikta, uzskaitot to iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., 9. Šajā gadījumā paralēli tiek aprēķinātas atbilstošo skaitļu n-tās pakāpes, un tās tiek salīdzinātas ar saknes skaitli. Ja kādā posmā pakāpes vērtība pārsniedz radikālo skaitli, tad tiek uzskatīts, ka ir atrasta iepriekšējai vērtībai atbilstošā cipara vērtība, un tiek veikta pāreja uz nākamo saknes ekstrakcijas algoritma soli, ja tas nenotiek, tad šī cipara vērtība ir 9 .

Izskaidrosim visus šos punktus, izmantojot to pašu piemēru, kā iegūt kvadrātsakni no pieci.

Vispirms atrodiet vienību cipara vērtību. Mēs atkārtosim vērtības 0, 1, 2, …, 9, attiecīgi aprēķinot 0 2 , 1 2 , …, 9 2, līdz iegūsim vērtību, kas lielāka par radikāļu skaitli 5. Visi šie aprēķini ir ērti parādīti tabulas veidā:

Tātad vienību cipara vērtība ir 2 (jo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pāriesim pie desmitās vietas vērtības atrašanas. Šajā gadījumā skaitļus 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 salīdzināsim kvadrātā, salīdzinot iegūtās vērtības ar saknes skaitli 5:

Kopš 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tad desmitās vietas vērtība ir 2 . Varat turpināt simtdaļas vērtības atrašanu:

Tātad tiek atrasta nākamā pieci saknes vērtība, tā ir vienāda ar 2,23. Un tāpēc jūs varat turpināt atrast vērtības tālāk: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim saknes ekstrakciju ar simtdaļu precizitāti, izmantojot aplūkoto algoritmu.

Pirmkārt, mēs definējam vecāko ciparu. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100 utt. līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 2151.186 . Mums ir 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tātad nozīmīgākais cipars ir desmiti cipars.

Definēsim tā vērtību.

Kopš 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , tad desmitcipara vērtība ir 1 . Pāriesim pie vienībām.

Tādējādi vienas vietas vērtība ir 2 . Pārejam pie desmit.

Tā kā pat 12.9 3 ir mazāks par radikālo skaitli 2 151.186 , tad desmitās vietas vērtība ir 9 . Atliek veikt pēdējo algoritma soli, tas mums dos saknes vērtību ar nepieciešamo precizitāti.

Šajā posmā saknes vērtība tiek atrasta līdz simtdaļām: .

Noslēdzot šo rakstu, es vēlos teikt, ka ir daudz citu veidu, kā iegūt saknes. Bet lielākajai daļai uzdevumu pietiek ar tiem, kurus mēs pētījām iepriekš.

Bibliogrāfija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. un citi.Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).