Kā vienkāršot matemātisko izteiksmi. Tiešsaistes kalkulators Polinomu vienkāršošana Polinomu reizināšana

Jebkurā valodā var izteikt vienu un to pašu informāciju dažādi vārdi un apgrozījumu. Matemātiskā valoda nav izņēmums. Taču vienu un to pašu izteiksmi var līdzvērtīgi uzrakstīt dažādos veidos. Un dažās situācijās viens no ierakstiem ir vienkāršāks. Šajā nodarbībā mēs runāsim par izteicienu vienkāršošanu.

Cilvēki sazinās tālāk dažādās valodās. Mums svarīgs salīdzinājums ir pāris "krievu valoda - matemātiskā valoda". To pašu informāciju var sniegt dažādās valodās. Bet turklāt vienā valodā to var izrunāt atšķirīgi.

Piemēram: “Pēteris ir draugs ar Vasju”, “Vasja ir draugs ar Petju”, “Pēteris un Vasja ir draugi”. Saka savādāk, bet viens un tas pats. Izmantojot jebkuru no šīm frāzēm, mēs saprastu, kas ir uz spēles.

Apskatīsim šo frāzi: "Zēns Petja un zēns Vasja ir draugi." Mēs saprotam, ko jautājumā. Tomēr mums nepatīk, kā šī frāze skan. Vai mēs nevaram to vienkāršot, pateikt to pašu, bet vienkāršāk? "Zēns un zēns" - jūs varat teikt vienreiz: "Zēni Petja un Vasja ir draugi."

"Zēni" ... Vai pēc viņu vārdiem nav skaidrs, ka viņi nav meitenes. Mēs noņemam "zēnus": "Petja un Vasja ir draugi." Un vārdu "draugi" var aizstāt ar "draugiem": "Petja un Vasja ir draugi." Rezultātā pirmā, garā, neglītā frāze tika aizstāta ar līdzvērtīgu apgalvojumu, ko ir vieglāk pateikt un vieglāk saprast. Mēs esam vienkāršojuši šo frāzi. Vienkāršot nozīmē pateikt vieglāk, bet nezaudēt, nesagrozīt nozīmi.

Tas pats notiek matemātiskajā valodā. To pašu var teikt dažādi. Ko nozīmē izteiksmes vienkāršošana? Tas nozīmē, ka oriģinālajai izteiksmei ir daudz līdzvērtīgu izteicienu, tas ir, tie, kas nozīmē vienu un to pašu. Un no visa šī daudzuma mums jāizvēlas visvienkāršākais, mūsuprāt, vai vispiemērotākais mūsu tālākajiem mērķiem.

Piemēram, apsveriet skaitlisku izteiksmi. Tas būs līdzvērtīgs .

Tas būs arī līdzvērtīgs pirmajiem diviem: .

Izrādās, ka mēs esam vienkāršojuši savus izteicienus un atraduši īsāko ekvivalentu izteiksmi.

Skaitliskām izteiksmēm jums vienmēr ir jādara viss darbs un līdzvērtīga izteiksme jāiegūst kā viens skaitlis.

Apsveriet burtiskas izteiksmes piemēru . Acīmredzot tas būs vienkāršāk.

Vienkāršojot burtiskās izteiksmes, jums jāveic visas iespējamās darbības.

Vai vienmēr ir jāvienkāršo izteiksme? Nē, reizēm mums ērtāks būs līdzvērtīgs, bet garāks apzīmējums.

Piemērs: atņemiet skaitli no skaitļa.

Var aprēķināt, bet, ja pirmais skaitlis būtu attēlots ar tā ekvivalentu apzīmējumu: , tad aprēķini būtu momentāni: .

Tas ir, vienkāršota izteiksme mums ne vienmēr ir izdevīga turpmākiem aprēķiniem.

Tomēr ļoti bieži mēs saskaramies ar uzdevumu, kas izklausās tikai kā "vienkāršojiet izteiksmi".

Vienkāršojiet izteicienu: .

Risinājums

1) Veiciet darbības pirmajā un otrajā iekavā: .

2) Aprēķiniet produktus: .

Acīmredzot pēdējai izteiksmei ir vienkāršāka forma nekā sākotnējai. Mēs to esam vienkāršojuši.

Lai vienkāršotu izteiksmi, tas jāaizstāj ar ekvivalentu (vienāds).

Lai noteiktu līdzvērtīgu izteiksmi, jums ir:

1) veikt visas iespējamās darbības,

2) izmantot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas īpašības, lai vienkāršotu aprēķinus.

Saskaitīšanas un atņemšanas īpašības:

1. Saskaitīšanas komutatīva īpašība: summa nemainās no terminu pārkārtošanas.

2. Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā skaitļa summu.

3. Īpašība atņemt summu no skaitļa: lai atņemtu summu no skaitļa, jūs varat atņemt katru terminu atsevišķi.

Reizināšanas un dalīšanas īpašības

1. Reizināšanas komutatīvā īpašība: reizinājums nemainās no faktoru permutācijas.

2. Asociatīvā īpašība: lai reizinātu skaitli ar divu skaitļu reizinājumu, vispirms to var reizināt ar pirmo koeficientu un pēc tam iegūto reizinājumu ar otro koeficientu.

3. Reizināšanas sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, tas jāreizina ar katru vārdu atsevišķi.

Apskatīsim, kā mēs faktiski veicam garīgos aprēķinus.

Aprēķināt:

Risinājums

1) Iedomājieties, kā

2) Pirmo reizinātāju attēlosim kā bitu vārdu summu un veiksim reizināšanu:

3) varat iedomāties, kā un veikt reizināšanu:

4) Aizstāt pirmo koeficientu ar ekvivalentu summu:

Sadales likumu var izmantot arī pretējā virzienā: .

Veiciet tālāk norādītās darbības.

1) 2)

Risinājums

1) Ērtības labad varat izmantot izplatīšanas likumu, tikai izmantojiet to pretējā virzienā - izņemiet kopējo koeficientu no iekavām.

2) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām

Virtuvē un gaitenī nepieciešams iegādāties linoleju. Virtuves zona - gaitenis -. Ir trīs veidu linoleji: par un rubļi par. Cik būs katrs no trīs veidi linolejs? (1. att.)

Rīsi. 1. Problēmas stāvokļa ilustrācija

Risinājums

1. metode. Varat atsevišķi noskaidrot, cik daudz naudas būs nepieciešams, lai virtuvē iegādātos linoleju, un pēc tam pievienot to gaitenī un saskaitīt iegūtos darbus.

Zināms, ka matemātikā nevar iztikt bez izteiksmju vienkāršošanas. Tas ir nepieciešams pareizai un ātrs lēmums dažādas problēmas, kā arī dažāda veida vienādojumi. Pārrunātā vienkāršošana nozīmē mērķa sasniegšanai nepieciešamo darbību skaita samazināšanu. Rezultātā aprēķini tiek ievērojami atviegloti, un laiks tiek ievērojami ietaupīts. Bet kā vienkāršot izteiksmi? Šim nolūkam tiek izmantotas noteiktas matemātiskās attiecības, ko bieži dēvē par formulām vai likumiem, kas ļauj izteiksmes padarīt daudz īsākas, tādējādi vienkāršojot aprēķinus.

Nav noslēpums, ka mūsdienās nav grūti vienkāršot izteicienu tiešsaistē. Šeit ir saites uz dažām populārākajām vietnēm:

Tomēr tas nav iespējams ar katru izteiksmi. Tāpēc mēs sīkāk apsvērsim tradicionālākas metodes.

Kopējā dalītāja izņemšana

Gadījumā, ja vienā izteiksmē ir monomi, kuriem ir vienādi faktori, ar tiem var atrast koeficientu summu un pēc tam reizināt ar tiem kopējo koeficientu. Šo darbību sauc arī par "kopējā dalītāja atņemšanu". Konsekventi lietojot šī metode, dažreiz ir iespējams ievērojami vienkāršot izteiksmi. Galu galā algebra kopumā ir balstīta uz faktoru un dalītāju grupēšanu un pārgrupēšanu.

Vienkāršākās formulas saīsinātai reizināšanai

Viena no iepriekš aprakstītās metodes sekām ir reducētās reizināšanas formulas. Kā ar viņu palīdzību vienkāršot izteiksmes, tas ir daudz skaidrāk tiem, kuri šīs formulas pat nav iemācījušies no galvas, bet zina, kā tās ir atvasinātas, proti, no kurienes tās nāk, un attiecīgi arī to matemātisko raksturu. Iepriekšējais apgalvojums principā paliek spēkā visā mūsdienu matemātikā, sākot no pirmās klases līdz Mehānikas un matemātikas nodaļu augstākajiem kursiem. Kvadrātu starpība, starpības un summas kvadrāts, kubu summa un starpība - visas šīs formulas plaši izmanto elementārajā, kā arī augstākajā matemātikā, gadījumos, kad uzdevumu risināšanai nepieciešams vienkāršot izteiksmi. . Šādu transformāciju piemērus var viegli atrast jebkurā skolas mācību grāmatā par algebru vai, vēl vienkāršāk, globālajā tīmeklī.

Pakāpju saknes

Elementārā matemātika, ja paskatās uz to kopumā, ir bruņota ar ne tik daudziem veidiem, kā jūs varat vienkāršot izteiksmi. Grādi un darbības ar tiem, kā likums, lielākajai daļai studentu ir salīdzinoši viegli. Tikai tagad daudziem mūsdienu skolēniem un studentiem ir ievērojamas grūtības, kad ir nepieciešams vienkāršot izteicienu ar saknēm. Un tas ir pilnīgi nepamatoti. Jo sakņu matemātiskais raksturs neatšķiras no to pašu pakāpju rakstura, ar kurām parasti ir daudz mazāk grūtību. Ir zināms, ka Kvadrātsakne skaitļa, mainīgā vai izteiksmes vērtība nav nekas cits kā tas pats skaitlis, mainīgais vai izteiksme, kas palielināta līdz pakāpei vienai pusei, kuba sakne ir vienāda ar vienas trešdaļas pakāpi, un tā tālāk ar korespondences palīdzību.

Izteikumu vienkāršošana ar daļskaitļiem

Apsveriet arī izplatītu piemēru, kā vienkāršot izteiksmi ar daļskaitļiem. Gadījumos, kad izteicieni ir dabiskās frakcijas, no saucēja un skaitītāja jāizvēlas kopīgs koeficients un pēc tam jāsamazina daļa par to. Ja monomiāļiem ir vienādi reizinātāji, kas palielināti pakāpēs, ir jāuzrauga pakāpju vienlīdzība, tos summējot.

Vienkāršāko trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana

Daži atsevišķi ir saruna par to, kā vienkāršot trigonometrisko izteiksmi. Visplašākā trigonometrijas sadaļa, iespējams, ir pirmais posms, kurā matemātikas studenti saskarsies ar nedaudz abstraktiem jēdzieniem, problēmām un to risināšanas metodēm. Šeit ir atbilstošas formulas, no kurām pirmā ir pamata trigonometriskā identitāte. Ar pietiekamu matemātisku domāšanas veidu var izsekot visu galveno identitātes sistemātiskai atvasināšanai no šīs identitātes trigonometriskās identitātes un formulas, tostarp formulas argumentu atšķirībai un summai, dubultie, trīskāršie argumenti, samazināšanas formulas un daudzas citas. Protams, šeit nevajadzētu aizmirst pašas pirmās metodes, piemēram, kopējā faktora izņemšanu, kas tiek pilnībā izmantotas kopā ar jaunām metodēm un formulām.

Apkopojot, šeit ir daži vispārīgi padomi lasītājam:

Polinomi ir jāfaktorē, tas ir, tie ir jāatspoguļo noteikta skaita faktoru reizinājuma formā - monomiāli un polinomi. Ja ir tāda iespēja, ir nepieciešams izņemt kopējo faktoru no iekavām.
Labāk ir iegaumēt visas saīsinātās reizināšanas formulas bez izņēmuma. To nav tik daudz, bet tie ir pamats matemātisko izteiksmju vienkāršošanai. Nedrīkst aizmirst arī par perfektu kvadrātu izcelšanas metodi trinomiālos, kas ir apgrieztā darbība vienai no saīsinātajām reizināšanas formulām.
Visas esošās daļas izteiksmē ir jāsamazina pēc iespējas biežāk. To darot, neaizmirstiet, ka tiek samazināti tikai reizinātāji. Kad saucējs un skaitītājs algebriskās daļas reizinot ar to pašu skaitli, kas atšķiras no nulles, daļskaitļu vērtības nemainās.
Kopumā visas izteiksmes var pārveidot ar darbībām vai ar ķēdi. Pirmā metode ir labāka, jo. starpposma darbību rezultāti ir vieglāk pārbaudāmi.
Diezgan bieži matemātiskās izteiksmēs ir jāizvelk saknes. Jāatceras, ka pāra grādu saknes var iegūt tikai no nenegatīva skaitļa vai izteiksmes, un nepāra grādu saknes var iegūt pilnībā no jebkādām izteiksmēm vai skaitļiem.

Mēs ceram, ka mūsu raksts palīdzēs jums nākotnē izprast matemātiskās formulas un iemācīs tās pielietot praksē.

Bieži vien uzdevumos ir jāsniedz vienkāršota atbilde. Lai gan gan vienkāršotās, gan nevienkāršās atbildes ir pareizas, jūsu instruktors var pazemināt jūsu atzīmi, ja jūs nevienkāršojat savu atbildi. Turklāt ar vienkāršotu matemātisko izteiksmi ir daudz vieglāk strādāt. Tāpēc ir ļoti svarīgi iemācīties vienkāršot izteicienus.

Soļi

Pareiza matemātisko darbību secība

Atcerieties pareizo matemātisko darbību secību. Vienkāršojot matemātisko izteiksmi, ir jāievēro noteikta secība, jo dažas matemātiskās darbības ir prioritāras pār citām, un tās ir jāveic vispirms (patiesībā, neievērojot pareizo darbību secību, nonāksit pie nepareiza rezultāta). Atcerieties šādu matemātisko darbību secību: izteiksme iekavās, kāpināšana, reizināšana, dalīšana, saskaitīšana, atņemšana.
- Ņemiet vērā, ka, zinot pareizo darbību secību, varēsiet vienkāršot lielāko daļu vienkāršāko izteiksmju, bet, lai vienkāršotu polinomu (izteiksmi ar mainīgo), jums jāzina īpaši triki (skatiet nākamo sadaļu).
Sāciet ar izteiksmes atrisināšanu iekavās. Matemātikā iekavas norāda, ka vispirms jānovērtē pievienotā izteiksme. Tāpēc, vienkāršojot jebkuru matemātisko izteiksmi, sāciet ar izteiksmes atrisināšanu iekavās (nav svarīgi, kādas darbības jums jāveic iekavās). Bet atcerieties, ka, strādājot ar izteiksmi, kas ievietota iekavās, ir jāievēro darbību secība, tas ir, iekavās esošie termini vispirms tiek reizināti, dalīti, saskaitīti, atņemti utt.
- Piemēram, vienkāršosim izteiksmi 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Šeit mēs sākam ar izteiksmēm iekavās: 5 + 2 = 7 un 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
  - Izteiksme otrajā iekavu pārī tiek vienkāršota līdz 5, jo vispirms ir jāsadala 4/2 (atbilstoši pareizai darbību secībai). Ja neievērosiet šo secību, jūs saņemsiet nepareizu atbildi: 3 + 4 = 7 un 7 ÷ 2 = 7/2.
- Ja iekavās ir vēl viens iekavu pāris, sāciet vienkāršošanu, atrisinot izteiksmi iekšējās iekavās, un pēc tam pārejiet pie ārējās iekavās esošās izteiksmes atrisināšanas.
Paaugstināt līdz jaudai. Pēc iekavās esošo izteiksmju atrisināšanas pārejiet pie paaugstināšanas līdz pakāpei (atcerieties, ka pakāpei ir eksponents un bāze). Paaugstiniet atbilstošo izteiksmi (vai skaitli) līdz pakāpei un aizstājiet rezultātu ar jums doto izteiksmi.
- Mūsu piemērā vienīgā izteiksme (skaitlis) pakāpē ir 3 2: 3 2 = 9. Jums dotajā izteiksmē aizstājiet 9, nevis 3 2, un jūs saņemsiet: 2x + 4(7) + 9 - 5 .
Pavairot. Atcerieties, ka reizināšanas darbību var apzīmēt ar šādiem simboliem: "x", "∙" vai "*". Bet, ja starp skaitli un mainīgo (piemēram, 2x) vai starp skaitli un skaitli iekavās (piemēram, 4(7)) nav simbolu, tad šī ir arī reizināšanas darbība.
- Mūsu piemērā ir divas reizināšanas darbības: 2x (divas reizes x) un 4 (7) (četras reizes septiņas). Mēs nezinām x vērtību, tāpēc izteiksmi 2x atstāsim tādu, kāda tā ir. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Tagad jūs varat pārrakstīt jums piešķirto izteiksmi šādi: 2x + 28 + 9 - 5.
Sadaliet. Atcerieties, ka dalīšanas darbību var apzīmēt ar šādiem simboliem: "/", "÷" vai "-" (jūs varat redzēt pēdējo simbolu daļskaitļos). Piemēram, 3/4 ir trīs dalīts ar četriem.
- Mūsu piemērā dalīšanas vairs nav, jo, risinot iekavās ievietoto izteiksmi, jūs jau dalījāt 4 ar 2 (4/2). Tāpēc jūs varat pāriet uz nākamo soli. Atcerieties, ka lielākajā daļā izteiksmju nav visas matemātiskās darbības vienlaikus (tikai dažas no tām).
Salocīt. Pievienojot izteiksmes terminus, varat sākt ar visattālāko (kreiso) terminu vai vispirms varat pievienot tos vārdus, kas ir viegli saskaitāmi. Piemēram, izteiksmē 49 + 29 + 51 +71 vispirms ir vieglāk saskaitīt 49 + 51 = 100, tad 29 + 71 = 100 un visbeidzot 100 + 100 = 200. Šādi pievienot ir daudz grūtāk. : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.
- Mūsu 2x + 28 + 9 + 5 piemērā ir divas pievienošanas darbības. Sāksim ar ekstrēmāko (kreiso) terminu: 2x + 28; jūs nevarat pievienot 2x un 28, jo jūs nezināt x vērtību. Tāpēc saskaitiet 28 + 9 = 37. Tagad izteiksmi var pārrakstīt šādi: 2x + 37 - 5.
Atņemt.Šī ir pēdējā operācija pareiza kārtība veikt matemātiskas darbības. Šajā posmā varat pievienot arī negatīvus skaitļus, vai arī to var izdarīt dalībnieku pievienošanas posmā - tas nekādā veidā neietekmēs gala rezultātu.
- Mūsu piemērā 2x + 37 - 5 ir tikai viena atņemšanas darbība: 37 - 5 = 32.
Šajā posmā, veicot visas matemātiskās darbības, jums vajadzētu iegūt vienkāršotu izteiksmi. Bet, ja jums dotā izteiksme satur vienu vai vairākus mainīgos, tad atcerieties, ka dalībnieks ar mainīgo paliks tāds, kāds tas ir. Izteiksmes ar mainīgo atrisināšana (nevis vienkāršošana) ietver šī mainīgā vērtības atrašanu. Dažreiz izteiksmes ar mainīgo var vienkāršot, izmantojot īpašas metodes(skatīt nākamo sadaļu).
- Mūsu piemērā galīgā atbilde ir 2x + 32. Jūs nevarat pievienot divus vārdus, kamēr nezināt x vērtību. Kad jūs zināt mainīgā vērtību, varat viegli vienkāršot šo binomiālu.
Sarežģītu izteiksmju vienkāršošana
1. Līdzīgu terminu pievienošana. Atcerieties, ka varat atņemt un pievienot tikai līdzīgus terminus, tas ir, terminus ar vienu un to pašu mainīgo un vienādu eksponentu. Piemēram, jūs varat pievienot 7x un 5x, bet jūs nevarat pievienot 7x un 5x 2 (jo eksponenti šeit atšķiras).
  - Šis noteikums attiecas arī uz dalībniekiem ar vairākiem mainīgajiem. Piemēram, varat pievienot 2xy 2 un -3xy 2 , bet nevarat pievienot 2xy 2 un -3x 2 y vai 2xy 2 un -3y 2 .
  - Apsveriet piemēru: x 2 + 3x + 6 - 8x. Šeit līdzīgie vārdi ir 3x un 8x, tāpēc tos var saskaitīt. Vienkāršotā izteiksme izskatās šādi: x 2 - 5x + 6.
2. Vienkāršojiet numuru.Šādā daļskaitlī gan skaitītājs, gan saucējs satur skaitļus (bez mainīgā). Skaitliskā daļa tiek vienkāršota vairākos veidos. Pirmkārt, vienkārši sadaliet saucēju ar skaitītāju. Otrkārt, faktorējiet skaitītāju un saucēju un atceliet tos pašus faktorus (jo, dalot skaitli ar sevi, jūs iegūstat 1). Citiem vārdiem sakot, ja gan skaitītājam, gan saucējam ir vienāds koeficients, varat to atmest un iegūt vienkāršotu daļskaitli.
  - Piemēram, apsveriet daļu 36/60. Izmantojot kalkulatoru, sadaliet 36 ar 60 un iegūstiet 0,6. Bet jūs varat vienkāršot šo daļskaitli citā veidā, skaitot skaitītāju un saucēju: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Kopš 6/6 \u003d 1, tad vienkāršotā daļa: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Bet šo daļu var arī vienkāršot: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.
3. Ja daļa satur mainīgo, tos pašus faktorus varat samazināt ar mainīgo. Faktorējiet gan skaitītāju, gan saucēju un atceliet vienus un tos pašus faktorus, pat ja tie satur mainīgo (atcerieties, ka šeit vieni un tie paši faktori var saturēt vai nesatur mainīgo).
  - Apsveriet piemēru: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Šo izteiksmi var pārrakstīt (faktorizēt) šādi: (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x). Tā kā 3x vārds ir gan skaitītājā, gan saucējā, to var samazināt, lai iegūtu vienkāršotu izteiksmi: (x + 1)/(5 - x). Apsveriet citu piemēru: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
  - Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs nevarat atcelt nevienu vienumu — tiek atcelti tikai tie paši faktori, kas ir gan skaitītājā, gan saucējā. Piemēram, izteiksmē (x(x + 2))/x mainīgais (reizinātājs) "x" atrodas gan skaitītājā, gan saucējā, tāpēc "x" var samazināt un iegūt vienkāršotu izteiksmi: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Tomēr izteiksmē (x + 2)/x mainīgo "x" nevar samazināt (jo skaitītājā "x" nav faktors).
4. Atvērt iekavas. Lai to izdarītu, reiziniet ārpus iekavas esošo vārdu ar katru iekavās esošo vārdu. Dažreiz tas palīdz vienkāršot sarežģītu izteiksmi. Tas attiecas gan uz dalībniekiem, kuri ir pirmskaitļi, un dalībniekiem, kas satur mainīgo.
  - Piemēram, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 un 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
  - Lūdzu, ņemiet vērā, ka daļskaitļu izteiksmēs iekavas nav jāatver, ja gan skaitītājs, gan saucējs satur vienu un to pašu koeficientu. Piemēram, izteiksmē (3(x 2 + 8)) / 3x jums nav jāpaplašina iekavas, jo šeit jūs varat samazināt koeficientu 3 un iegūt vienkāršotu izteiksmi (x 2 + 8) / x. Ar šo izteiksmi ir vieglāk strādāt; ja paplašinātu iekavas, jūs iegūtu šādu sarežģītu izteiksmi: (3x 3 + 24x)/3x.
5. Faktorizējiet polinomus. Izmantojot šo metodi, jūs varat vienkāršot dažas izteiksmes un polinomus. Faktorings ir pretstats iekavas paplašināšanai, tas ir, izteiksme tiek uzrakstīta kā divu izteiksmju reizinājums, no kurām katra ir ievietota iekavās. Dažos gadījumos faktorings ļauj saīsināt to pašu izteiksmi. Īpašos gadījumos (parasti kvadrātvienādojumi) faktorings ļaus atrisināt vienādojumu.
  - Aplūkosim izteiksmi x 2 - 5x + 6. To sadala faktoros: (x - 3) (x - 2). Tātad, ja, piemēram, ir dota izteiksme (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), tad to var pārrakstīt kā (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), samaziniet izteiksmi (x - 2) un iegūstiet vienkāršotu izteiksmi (x - 3) / 2.
  - Faktoringa polinomus izmanto, lai atrisinātu (atrast saknes) vienādojumus (vienādojums ir polinoms, kas vienāds ar 0). Piemēram, apsveriet vienādojumu x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Ieskaitot to faktoros, jūs iegūstat (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Tā kā jebkura izteiksme, kas reizināta ar 0, ir 0, mēs to varam uzrakstīt šādi: x - 3 = 0 un x - 2 = 0. Tādējādi x = 3 un x = 2, tas ir, jūs esat atradis divas jums dotā vienādojuma saknes.

Algebrisko izteiksmju vienkāršošana ir viena no algebras apguves atslēgām un ārkārtīgi noderīga prasme visiem matemātiķiem. Vienkāršošana ļauj samazināt sarežģītu vai garu izteiksmi līdz vienkāršai izteiksmei, ar kuru ir viegli strādāt. Vienkāršošanas pamatprasmes ir labas pat tiem, kuri nav entuziasma par matemātiku. Paturot dažus vienkārši noteikumi, jūs varat vienkāršot daudzus visbiežāk sastopamos algebrisko izteiksmju veidus bez īpašām matemātikas zināšanām.

Soļi

Svarīgas definīcijas

Līdzīgi dalībnieki. Tie ir dalībnieki ar tādas pašas kārtas mainīgo, dalībnieki ar vienādiem mainīgajiem vai brīvie dalībnieki (dalībnieki, kas nesatur mainīgo). Citiem vārdiem sakot, līdzīgi termini ietver vienu mainīgo tādā pašā mērā, ietver vairākus identiskus mainīgos vai vispār neiekļauj mainīgo. Terminu secībai izteiksmē nav nozīmes.
- Piemēram, 3x 2 un 4x 2 ir līdzīgi terminiem, jo tie satur otrās kārtas mainīgo "x" (otrajā pakāpē). Tomēr x un x 2 nav līdzīgi dalībnieki, jo tie satur dažādu secību mainīgo "x" (pirmā un otrā). Tāpat -3yx un 5xz nav līdzīgi dalībnieki, jo tajos ir dažādi mainīgie.
Faktorizācija. Tas ir tādu skaitļu atrašana, kuru reizinājums noved pie sākotnējā skaitļa. Jebkuram sākotnējam skaitlim var būt vairāki faktori. Piemēram, skaitli 12 var sadalīt šādās faktoru sērijās: 1 × 12, 2 × 6 un 3 × 4, tāpēc mēs varam teikt, ka skaitļi 1, 2, 3, 4, 6 un 12 ir faktori no skaitlis 12. Koeficienti ir tādi paši kā dalītāji , tas ir, skaitļi, ar kuriem dalās sākotnējais skaitlis.
- Piemēram, ja vēlaties faktorēt skaitli 20, ierakstiet to šādi: 4×5.
- Ņemiet vērā, ka, veicot faktoringu, tiek ņemts vērā mainīgais. Piemēram, 20x = 4 (5 x).
- Pirmskaitļus nevar ņemt vērā, jo tie dalās tikai ar sevi un 1.
Atcerieties un ievērojiet darbību secību, lai izvairītos no kļūdām.
- Kronšteini
- Grāds
- Reizināšana
- Divīzija
- Papildinājums
- Atņemšana
Casting Like Members
1. Pierakstiet izteiksmi. Vienšūņi algebriskās izteiksmes(kas nesatur frakcijas, saknes un tā tālāk) var atrisināt (vienkāršoti) tikai dažās darbībās.
  - Piemēram, vienkāršojiet izteiksmi 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Definējiet līdzīgus dalībniekus (dalībniekus ar tādas pašas kārtas mainīgo, dalībniekus ar vienādiem mainīgajiem vai brīvos dalībniekus).
  - Atrodiet līdzīgus terminus šajā izteiksmē. Termini 2x un 4x satur tādas pašas secības mainīgo (pirmais). Arī 1 un -3 ir bezmaksas dalībnieki (neietver mainīgo). Tādējādi šajā izteiksmē termini 2x un 4x ir līdzīgi, un dalībnieki 1 un -3 ir arī līdzīgi.
3. Sniedziet līdzīgus terminus. Tas nozīmē to pievienošanu vai atņemšanu un izteiksmes vienkāršošanu.
  - 2x+4x= 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Pārrakstiet izteiksmi, ņemot vērā dotos terminus. Jūs saņemsiet vienkāršu izteiksmi ar mazāk terminu. Jaunā izteiksme ir vienāda ar sākotnējo.
  - Mūsu piemērā: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, tas ir, sākotnējā izteiksme ir vienkāršota un ar to ir vieglāk strādāt.
5. Ievērojiet secību, kādā tiek veiktas darbības, izlejot līdzīgus terminus. Mūsu piemērā bija viegli ieviest līdzīgus terminus. Tomēr sarežģītu izteicienu gadījumā, kuros dalībnieki ir ievietoti iekavās un ir klāt daļskaitļi un saknes, šādus terminus nav tik vienkārši ieviest. Šādos gadījumos ievērojiet darbību secību.
  - Piemēram, apsveriet izteiksmi 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Šeit būtu kļūda uzreiz definēt 3x un 2x kā līdzīgus terminus un tos citēt, jo vispirms ir jāpaplašina iekavas. Tāpēc veiciet darbības to secībā.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Tagad, ja izteiksmē ir ietvertas tikai saskaitīšanas un atņemšanas darbības, varat nodot līdzīgus terminus.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Reizinātāja ievietošana iekavās
1. Atrodiet visu izteiksmes koeficientu lielāko kopīgo dalītāju (gcd). GCD ir lielākais skaitlis, ar kuru dalās visi izteiksmes koeficienti.
  - Piemēram, apsveriet vienādojumu 9x 2 + 27x - 3. Šajā gadījumā gcd=3, jo jebkurš šīs izteiksmes koeficients dalās ar 3.
2. Sadaliet katru izteiksmes terminu ar gcd. Iegūtie termini saturēs mazākus koeficientus nekā sākotnējā izteiksmē.
  - Mūsu piemērā katru izteiksmes vienumu sadaliet ar 3.
    - 9x2/3=3x2
    - 27x/3=9x
    - -3/3 = -1
    - Izrādījās izteiksme 3x2 + 9x-1. Tas nav vienāds ar sākotnējo izteiksmi.
3. Uzrakstiet sākotnējo izteiksmi kā vienādu ar gcd reizinājumu ar iegūto izteiksmi. Tas ir, ievietojiet iegūto izteiksmi iekavās un izlieciet GCD no iekavām.
  - Mūsu piemērā: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3 x 2 + 9 x - 1)
4. Daļskaitļu izteiksmju vienkāršošana, izņemot reizinātāju no iekavām. Kāpēc vienkārši izņemt reizinātāju no iekavām, kā tas tika darīts iepriekš? Pēc tam, lai uzzinātu, kā vienkāršot sarežģītas izteiksmes, piemēram, daļskaitļus. Šajā gadījumā faktora izlikšana no iekavām var palīdzēt atbrīvoties no daļskaitļa (no saucēja).
  - Piemēram, apsveriet daļskaitļu izteiksmi (9x 2 + 27x - 3)/3. Izmantojiet iekavas, lai vienkāršotu šo izteiksmi.
    - Izņemiet koeficientu 3 (kā jūs to darījāt iepriekš): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Ņemiet vērā, ka gan skaitītājam, gan saucējam tagad ir skaitlis 3. To var samazināt, un jūs saņemsiet izteiksmi: (3x 2 + 9x - 1) / 1
    - Tā kā jebkura daļa, kuras saucējā ir skaitlis 1, ir vienāda ar skaitītāju, sākotnējā daļskaitļa izteiksme tiek vienkāršota līdz: 3x2 + 9x-1.
Papildu vienkāršošanas metodes
Apsveriet vienkāršu piemēru: √(90). Skaitli 90 var sadalīt šādos faktoros: 9 un 10, un no 9 ņem kvadrātsakni (3) un no saknes apakšas izņem 3.
- √(90)
- √ (9 × 10)
- √(9) × √(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Izteicienu vienkāršošana ar pilnvarām. Dažās izteiksmēs ir terminu reizināšanas vai dalīšanas darbības ar pakāpi. Ja termini tiek reizināti ar vienu bāzi, to pakāpes tiek saskaitītas; dalot terminus ar vienu un to pašu bāzi, to pakāpes tiek atņemtas.
- Piemēram, apsveriet izteiksmi 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Reizināšanas gadījumā saskaitiet eksponentus, bet dalīšanas gadījumā atņemiet tos.
  - 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17/x15)
  - (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17–15)
  - 48x7+x2
- Tālāk ir sniegts noteikumu skaidrojums par terminu reizināšanu un dalīšanu ar pakāpi.
  - Vārdu reizināšana ar pilnvarām ir līdzvērtīga terminu reizināšanai ar sevi. Piemēram, tā kā x 3 = x × x × x un x 5 = x × x × x × x × x, tad x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), vai x 8 .
  - Tāpat terminu sadalīšana ar pilnvarām ir līdzvērtīga terminu dalīšanai ar sevi. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Tā kā līdzīgus vārdus, kas ir gan skaitītājā, gan saucējā, var samazināt, divu "x" vai x 2 reizinājums paliek skaitītājā.

Vienmēr ievērojiet zīmes (plus vai mīnus) pirms izteiksmes terminiem, jo daudziem cilvēkiem ir grūtības izvēlēties pareizo zīmi.
Lūdziet palīdzību, ja nepieciešams!
Algebrisko izteiksmju vienkāršošana nav vienkārša, taču, ja jūs to paņemat, jūs varat izmantot šo prasmi visu mūžu.

Ar jebkuras valodas palīdzību jūs varat izteikt vienu un to pašu informāciju dažādos vārdos un frāzēs. Matemātiskā valoda nav izņēmums. Taču vienu un to pašu izteiksmi var līdzvērtīgi uzrakstīt dažādos veidos. Un dažās situācijās viens no ierakstiem ir vienkāršāks. Šajā nodarbībā mēs runāsim par izteicienu vienkāršošanu.

Cilvēki sazinās dažādās valodās. Mums svarīgs salīdzinājums ir pāris "krievu valoda - matemātiskā valoda". To pašu informāciju var sniegt dažādās valodās. Bet turklāt vienā valodā to var izrunāt atšķirīgi.

Apskatīsim šo frāzi: "Zēns Petja un zēns Vasja ir draugi." Mēs saprotam, kas ir uz spēles. Tomēr mums nepatīk, kā šī frāze skan. Vai mēs nevaram to vienkāršot, pateikt to pašu, bet vienkāršāk? "Zēns un zēns" - jūs varat teikt vienreiz: "Zēni Petja un Vasja ir draugi."

Piemēram, apsveriet skaitlisku izteiksmi. Tas būs līdzvērtīgs .

Tas būs arī līdzvērtīgs pirmajiem diviem: .

Izrādās, ka mēs esam vienkāršojuši savus izteicienus un atraduši īsāko ekvivalentu izteiksmi.

Skaitliskām izteiksmēm jums vienmēr ir jādara viss darbs un līdzvērtīga izteiksme jāiegūst kā viens skaitlis.

Apsveriet burtiskas izteiksmes piemēru . Acīmredzot tas būs vienkāršāk.

Vienkāršojot burtiskās izteiksmes, jums jāveic visas iespējamās darbības.

Vai vienmēr ir jāvienkāršo izteiksme? Nē, reizēm mums ērtāks būs līdzvērtīgs, bet garāks apzīmējums.

Piemērs: atņemiet skaitli no skaitļa.

Var aprēķināt, bet, ja pirmais skaitlis būtu attēlots ar tā ekvivalentu apzīmējumu: , tad aprēķini būtu momentāni: .

Tas ir, vienkāršota izteiksme mums ne vienmēr ir izdevīga turpmākiem aprēķiniem.

Tomēr ļoti bieži mēs saskaramies ar uzdevumu, kas izklausās tikai kā "vienkāršojiet izteiksmi".

Vienkāršojiet izteicienu: .

Risinājums

1) Veiciet darbības pirmajā un otrajā iekavā: .

2) Aprēķiniet produktus: .

Acīmredzot pēdējai izteiksmei ir vienkāršāka forma nekā sākotnējai. Mēs to esam vienkāršojuši.

Lai vienkāršotu izteiksmi, tas jāaizstāj ar ekvivalentu (vienāds).

Lai noteiktu līdzvērtīgu izteiksmi, jums ir:

1) veikt visas iespējamās darbības,

2) izmantot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas īpašības, lai vienkāršotu aprēķinus.

Saskaitīšanas un atņemšanas īpašības:

1. Saskaitīšanas komutatīva īpašība: summa nemainās no terminu pārkārtošanas.

2. Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā skaitļa summu.

3. Īpašība atņemt summu no skaitļa: lai atņemtu summu no skaitļa, jūs varat atņemt katru terminu atsevišķi.

Reizināšanas un dalīšanas īpašības

1. Reizināšanas komutatīvā īpašība: reizinājums nemainās no faktoru permutācijas.

2. Asociatīvā īpašība: lai reizinātu skaitli ar divu skaitļu reizinājumu, vispirms to var reizināt ar pirmo koeficientu un pēc tam iegūto reizinājumu ar otro koeficientu.

3. Reizināšanas sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, tas jāreizina ar katru vārdu atsevišķi.

Apskatīsim, kā mēs faktiski veicam garīgos aprēķinus.

Aprēķināt:

Risinājums

1) Iedomājieties, kā

2) Pirmo reizinātāju attēlosim kā bitu vārdu summu un veiksim reizināšanu:

3) varat iedomāties, kā un veikt reizināšanu:

4) Aizstāt pirmo koeficientu ar ekvivalentu summu:

Sadales likumu var izmantot arī pretējā virzienā: .

Veiciet tālāk norādītās darbības.

1) 2)

Risinājums

1) Ērtības labad varat izmantot izplatīšanas likumu, tikai izmantojiet to pretējā virzienā - izņemiet kopējo koeficientu no iekavām.

2) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām

Virtuvē un gaitenī nepieciešams iegādāties linoleju. Virtuves zona - gaitenis -. Ir trīs veidu linoleji: par un rubļi par. Cik maksās katrs no trim linoleja veidiem? (1. att.)

Rīsi. 1. Problēmas stāvokļa ilustrācija

Risinājums

1. metode. Varat atsevišķi noskaidrot, cik daudz naudas būs nepieciešams, lai virtuvē iegādātos linoleju, un pēc tam pievienot to gaitenī un saskaitīt iegūtos darbus.