Kā pievienot dažāda izmēra matricas. Darbības ar matricām

1.kurss, augstākā matemātika, studijas matricas un pamata darbības ar tiem. Šeit sistematizējam galvenās darbības, kuras var veikt ar matricām. Kā sākt ar matricām? Protams, no vienkāršākajiem – definīcijām, pamatjēdzieniem un vienkāršākajām operācijām. Garantējam, ka matricas sapratīs ikviens, kurš tām veltīs vismaz nedaudz laika!

Matricas definīcija

Matrica ir taisnstūrveida elementu tabula. Nu ja vienkārša valoda- skaitļu tabula.

Matricas parasti apzīmē ar lielajiem burtiem. ar latīņu burtiem. Piemēram, matrica A , matrica B un tā tālāk. Matricas var būt dažāda izmēra: taisnstūrveida, kvadrātveida, ir arī rindu matricas un kolonnu matricas, ko sauc par vektoriem. Matricas lielumu nosaka rindu un kolonnu skaits. Piemēram, uzrakstīsim taisnstūra izmēra matricu m ieslēgts n , Kur m ir rindu skaits un n ir kolonnu skaits.

Elementi, kuriem i=j (a11, a22, .. ) veido matricas galveno diagonāli un tiek sauktas par diagonāli.

Ko var izdarīt ar matricām? Pievienot/atņemt, reizināt ar skaitli, vairojas savā starpā, transponēt. Tagad par visām šīm pamatoperācijām ar matricām kārtībā.

Matricas saskaitīšanas un atņemšanas darbības

Mēs uzreiz brīdinām, ka varat pievienot tikai tāda paša izmēra matricas. Rezultāts ir tāda paša izmēra matrica. Matricu pievienošana (vai atņemšana) ir vienkārša – vienkārši pievienojiet tiem atbilstošos elementus . Ņemsim piemēru. Saskaitīsim divas matricas A un B, kuru izmērs ir pa divi.

Atņemšana tiek veikta pēc analoģijas, tikai ar pretēju zīmi.

Jebkuru matricu var reizināt ar patvaļīgu skaitli. Lai to izdarītu, jums jāreizina ar šo skaitli katrs tā elements. Piemēram, sareizināsim matricu A no pirmā piemēra ar skaitli 5:

Matricas reizināšanas operācija

Ne visas matricas var reizināt savā starpā. Piemēram, mums ir divas matricas - A un B. Tās var reizināt viena ar otru tikai tad, ja matricas A kolonnu skaits ir vienāds ar matricas B rindu skaitu. katrs iegūtās matricas elements, kas atrodas i-tajā rindā un j-tajā kolonnā, būs ir vienāda ar summu atbilstošo elementu produkti i-tā rinda pirmais faktors un otrā j-tā kolonna. Lai saprastu šo algoritmu, pierakstīsim, kā tiek reizinātas divas kvadrātveida matricas:

Un piemērs ar reāliem skaitļiem. Sareizināsim matricas:

Matricas transponēšanas darbība

Matricas transponēšana ir darbība, kurā tiek apmainītas atbilstošās rindas un kolonnas. Piemēram, mēs transponējam matricu A no pirmā piemēra:

Matricas determinants

Determinants, ak, determinants, ir viens no lineārās algebras pamatjēdzieniem. Reiz cilvēki izdomāja lineārus vienādojumus, un pēc tiem bija jāizgudro determinants. Galu galā tas viss ir jātiek galā ar jums, tāpēc pēdējais grūdiens!

Determinants ir kvadrātveida matricas skaitlisks raksturlielums, kas nepieciešams daudzu problēmu risināšanai.
Lai aprēķinātu vienkāršākās kvadrātveida matricas determinantu, jāaprēķina starpība starp galvenās un sekundārās diagonāles elementu reizinājumu.

Pirmās kārtas matricas determinants, kas sastāv no viena elementa, ir vienāds ar šo elementu.

Ko darīt, ja matrica ir trīs reiz trīs? Tas ir grūtāk, bet to var izdarīt.

Šādai matricai determinanta vērtība ir vienāda ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu summu un to elementu reizinājumu summu, kas atrodas uz trijstūriem ar skaldni paralēli galvenajai diagonālei, no kuras elementu reizinājums. sekundārajai diagonālei un elementu reizinājumu, kas atrodas uz trijstūriem, kuru skaldne ir paralēla sekundārajai diagonālei, tiek atņemta.

Par laimi, lai aprēķinātu matricu determinantus lieli izmēri praksē tas notiek reti.

Šeit mēs esam apsvēruši pamatoperācijas ar matricām. Protams, iekšā īsta dzīve jūs nekad nevarat pat sastapt mājienu par matricas vienādojumu sistēmu vai otrādi - saskarties ar daudz vairāk sarežģīti gadījumi kad tiešām jālauza galva. Tieši šādiem gadījumiem ir profesionāls studentu dienests. Lūdziet palīdzību, iegūstiet kvalitāti un detalizēts risinājums, izbaudi akadēmiskos panākumus un brīvo laiku.

Ņemot vērā Rīku komplekts palīdzēs jums uzzināt, kā matricas operācijas: matricu saskaitīšana (atņemšana), matricas transponēšana, matricu reizināšana, matricas inversā atrašana. Viss materiāls ir sniegts vienkāršā un pieejamā formā, ir sniegti atbilstoši piemēri, lai pat nesagatavots cilvēks varētu iemācīties veikt darbības ar matricām. Paškontrolei un pašpārbaudei varat bez maksas lejupielādēt matricas kalkulatoru >>>.

Mēģināšu maksimāli samazināt teorētiskos aprēķinus, vietām iespējami skaidrojumi “uz pirkstiem” un nezinātnisku terminu lietošana. Solīdas teorijas cienītāji, lūdzu, neiesaistieties kritikā, mūsu uzdevums ir iemācīties strādāt ar matricām.

SUPERĀTRAI sagatavošanai par tēmu (kurš "deg") ir intensīvs pdf-kurss Matrica, determinants un nobīde!

Matrica ir dažu taisnstūrveida tabula elementi. Kā elementi mēs apsvērsim skaitļus, tas ir, skaitliskās matricas. ELEMENTS ir termins. Vēlams šo terminu atcerēties, tas bieži gadīsies, nav nejaušība, ka izmantoju treknrakstu, lai to izceltu.

Apzīmējums: matricas parasti apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem

Piemērs: Apsveriet matricu "divreiz trīs":

Šī matrica sastāv no sešām elementi:

Visi skaitļi (elementi) matricas iekšpusē pastāv atsevišķi, tas ir, nav runas par atņemšanu:

Tā ir tikai skaitļu tabula (kopa)!

Mēs arī vienosimies nepārkārtot numuru, ja paskaidrojumā nav norādīts citādi. Katram numuram ir sava atrašanās vieta, un tos nevar sajaukt!

Attiecīgajai matricai ir divas rindas:

un trīs kolonnas:

STANDARTS: runājot par matricas izmēriem, tad vispirms norāda rindu skaitu, un tikai tad - kolonnu skaitu. Mēs tikko esam sadalījuši matricu pa trīs.

Ja matricas rindu un kolonnu skaits ir vienāds, tad matrica tiek izsaukta kvadrāts, Piemēram: ir trīs reizes trīs matrica.

Ja matricai ir viena kolonna vai viena rinda, tad šādas matricas arī sauc vektori.

Faktiski matricas jēdzienu mēs zinām jau kopš skolas laikiem. Apsveriet, piemēram, punktu ar koordinātām "x" un "y": . Būtībā punkta koordinātas tiek ierakstītas matricā pa vienam. Starp citu, šeit ir piemērs, kāpēc skaitļu secībai ir nozīme: un tie ir divi pilnīgi atšķirīgi plaknes punkti.

Tagad pāriesim pie pētījuma. matricas operācijas:

1) Pirmā darbība. Mīnusa noņemšana no matricas (mīnusa ievietošana matricā).

Atpakaļ uz mūsu matricu . Kā jūs droši vien pamanījāt, šajā matricā ir pārāk daudz negatīvu skaitļu. Īstenošanas ziņā tas ir ļoti neērti. dažādas aktivitātes ar matricu ir neērti rakstīt tik daudz mīnusu, un tas vienkārši izskatās neglīts dizainā.

Pārvietosim mīnusu ārpus matricas, mainot KATRAM matricas elementa zīmi:

Pie nulles, kā jūs saprotat, zīme nemainās, nulle - arī Āfrikā ir nulle.

Apgrieztais piemērs: . Neglīti izskatās.

Mēs ieviešam matricā mīnusu, mainot KATRA matricas elementa zīmi:

Nu, tas ir daudz skaistāks. Un, pats galvenais, ar matricu būs VIEGLĀK veikt jebkādas darbības. Jo ir tāda matemātiska tautas zīme: jo vairāk mīnusu - jo vairāk neskaidrību un kļūdu.

2) Otrā darbība. Matricas reizināšana ar skaitli.

Piemērs:

Tas ir vienkārši, lai reizinātu matricu ar skaitli, jums ir nepieciešams katrs reiziniet matricas elementu ar doto skaitli. Šajā gadījumā trīs.

Cits noderīgs piemērs:

– matricas reizināšana ar daļskaitli

Vispirms apskatīsim, ko darīt NAV VAJADZĪBAS:

Matricā NAV NEPIECIEŠAMS ievadīt daļskaitli, pirmkārt, tas tikai apgrūtina turpmākās darbības ar matricu, otrkārt, skolotājam apgrūtina risinājuma pārbaudi (īpaši, ja - uzdevuma galīgā atbilde).

Un jo īpaši, NAV VAJADZĪBAS sadaliet katru matricas elementu ar mīnus septiņi:

No raksta Matemātika manekeniem vai kur sākt, mēs to atceramies decimāldaļskaitļi ar komatu augstākajā matemātikā viņi visos iespējamos veidos cenšas izvairīties.

Vienīgā lieta vēlamsšajā piemērā ir jāievieto matricā mīnuss:

Bet ja VISI matricas elementi tika dalīti ar 7 bez pēdām, tad varētu (un vajag!) dalīt.

Piemērs:

Šajā gadījumā jūs varat VAJAG reiziniet visus matricas elementus ar , jo visi matricas skaitļi dalās ar 2 bez pēdām.

Piezīme: augstākās matemātikas teorijā nav skolas jēdziena "dalījums". Frāzes "šis ir dalīts ar šo" vietā vienmēr varat teikt "tas tiek reizināts ar daļskaitli". Tas ir, dalīšana ir īpašs reizināšanas gadījums.

3) Trešā darbība. Matricas transponēšana.

Lai transponētu matricu, tās rindas jāieraksta transponētās matricas kolonnās.

Piemērs:

Transponēt matricu

Šeit ir tikai viena rinda, un saskaņā ar likumu tā ir jāraksta kolonnā:

ir transponētā matrica.

Transponētā matrica parasti tiek apzīmēta ar augšējo indeksu vai svītru augšējā labajā stūrī.

Soli pa solim piemērs:

Transponēt matricu

Pirmkārt, mēs pārrakstām pirmo rindu pirmajā kolonnā:

Tad mēs pārrakstām otro rindu otrajā kolonnā:

Un visbeidzot mēs pārrakstām trešo rindu trešajā kolonnā:

Gatavs. Aptuveni runājot, transponēt nozīmē apgriezt matricu uz sāniem.

4) Ceturtā darbība. Matricu summa (starpība)..

Matricu summa ir vienkārša darbība.
NE VISAS MATRIKSAS VAR LOKOTI. Lai veiktu matricu saskaitīšanu (atņemšanu), tām ir jābūt VIENĀDA IZMĒRA.

Piemēram, ja ir dota matrica divi reiz divi, tad to var pievienot tikai matricai divi reiz divi, nevis citai!

Piemērs:

Pievienojiet matricas Un

Lai pievienotu matricas, jāpievieno tām atbilstošie elementi:

Matricu atšķirībai noteikums ir līdzīgs, jāatrod atbilstošo elementu atšķirība.

Piemērs:

Atrodi matricu atšķirību ,

Kā izlemt dots piemērs vieglāk izvairīties no neskaidrībām? Vēlams atbrīvoties no nevajadzīgiem mīnusiem, tāpēc matricai pievienosim mīnusu:

Piezīme: augstākās matemātikas teorijā nav skolas jēdziena "atņemšana". Frāzes “atņemt šo no šī” vietā vienmēr varat teikt “pievienot tam negatīvu skaitli”. Tas ir, atņemšana ir īpašs saskaitīšanas gadījums.

5) Piektā darbība. Matricas reizināšana.

Kādas matricas var reizināt?

Lai matrica tiktu reizināta ar matricu, tā, lai matricas kolonnu skaits būtu vienāds ar matricas rindu skaitu.

Piemērs:
Vai ir iespējams reizināt matricu ar matricu?

Tātad, jūs varat reizināt matricas datus.

Bet, ja matricas ir pārkārtotas, tad šajā gadījumā reizināšana vairs nav iespējama!

Tāpēc reizināšana nav iespējama:

Nereti sastopami uzdevumi ar viltību, kad skolēnam tiek lūgts reizināt matricas, kuru reizināšana acīmredzami nav iespējama.

Jāņem vērā, ka dažos gadījumos ir iespējams reizināt matricas abos veidos.
Piemēram, matricām ir iespējama gan reizināšana, gan reizināšana

Matricas pievienošana:

Matricas atņemšana un saskaitīšana tiek reducēts līdz atbilstošām darbībām ar to elementiem. Matricas pievienošanas operācija ievadīts tikai priekš matricas tāda paša izmēra, t.i., par matricas, kurām ir attiecīgi vienāds rindu un kolonnu skaits. matricu summa A un B sauc matrica C, kura elementi ir vienādi ar atbilstošo elementu summu. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij matricas atšķirība.

Matricas reizināšana ar skaitli:

Matricas reizināšanas (dalīšanas) darbība jebkura izmēra ar patvaļīgu skaitli tiek reducēts līdz katra elementa reizināšanai (dalīšanai). matricasšim numuram. Matricas produkts Un tiek izsaukts cipars k matrica B, tāds

b ij = k × a ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matrica- A \u003d (-1) × A sauc par pretējo matrica A.

Matricas saskaitīšanas un matricas reizināšanas īpašības:

Matricas pievienošanas operācijas Un matricu reizināšanas uz skaitļa ir šādas īpašības: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A — A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , kur A, B un C ir matricas, α un β ir skaitļi.

Matricas reizināšana (matricas reizinājums):

Divu matricu reizināšanas operācija tiek ievadīts tikai gadījumam, kad kolonnu skaits ir pirmais matricas vienāds ar otrās rindu skaitu matricas. Matricas produkts Un m × n tālāk matrica In n × p , tiek saukts matricaС m×p tā, lai с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , t.i., atrastu i-tās rindas elementu reizinājumu summu matricas Un uz atbilstošajiem j-tās kolonnas elementiem matricas B. Ja matricas A un B ir vienāda izmēra kvadrāti, tad produkti AB un BA vienmēr pastāv. Ir viegli parādīt, ka A × E = E × A = A, kur A ir kvadrāts matrica, E - viens matrica vienāda izmēra.

Matricas reizināšanas īpašības:

Matricas reizināšana nav komutatīva, t.i. AB ≠ BA, pat ja ir definēti abi produkti. Tomēr, ja par kādu matricas sakarība AB = BA ir apmierināta, tad tāda matricas sauc par permutācijām. Tipiskākais piemērs ir singls matrica, kas ir maināms ar jebkuru citu matrica vienāda izmēra. Permutācija var būt tikai kvadrātveida matricas tādā pašā kārtībā. A × E = E × A = A

Matricas reizināšana ir šādas īpašības: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2. un 3. kārtas noteicēji. Determinantu īpašības.

matricas determinants otrās kārtas, vai noteicējs otrā secība, ko sauc par skaitli, ko aprēķina pēc formulas:

matricas determinants trešā kārtība, vai noteicējs trešā kārtība, ko sauc par skaitli, ko aprēķina pēc formulas:

Šis skaitlis ir algebriskā summa, kas sastāv no sešiem vārdiem. Katrs termins satur tieši vienu elementu no katras rindas un katras kolonnas matricas. Katrs termins sastāv no trīs faktoru reizinājuma.

Zīmes, ar kurām biedriem matricas determinants ir iekļauti formulā matricas determinanta atrašana trešo secību var noteikt, izmantojot iepriekš minēto shēmu, ko sauc par trīsstūru likumu vai Sarrus likumu. Pirmie trīs termini tiek ņemti ar plus zīmi un tiek noteikti no kreisā skaitļa, bet nākamie trīs termini tiek ņemti ar mīnusa zīmi un tiek noteikti no labās figūras.

Nosakiet meklējamo terminu skaitu matricas determinants, V algebriskā summa, jūs varat aprēķināt faktoriālu: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Matricas determinantu īpašības

Matricas noteicošās īpašības:

Īpašums Nr. 1:

Matricas determinants nemainīsies, ja tās rindas tiks aizstātas ar kolonnām, katra rinda ar kolonnu ar vienādu numuru un otrādi (Transpozīcija). |A| = |A| T

Sekas:

Kolonnas un rindas matricas determinants ir vienādas, tāpēc rindām raksturīgās īpašības tiek veiktas arī kolonnām.

2. īpašums:

Mainot 2 rindas vai kolonnas matricas determinants mainīs zīmi uz pretējo, saglabājot absolūto vērtību, t.i.:

Īpašums Nr. 3:

Matricas determinants, kurā ir divas identiskas rindas, ir vienāds ar nulli.

Īpašums Nr. 4:

Jebkuras sērijas elementu kopējais faktors matricas determinants var izņemt no zīmes noteicējs.

Sekas no īpašībām #3 un #4:

Ja visi noteiktas sērijas elementi (rinda vai kolonna) ir proporcionāli atbilstošajiem paralēlās sērijas elementiem, tad tādi matricas determinants vienāds ar nulli.

Īpašums Nr. 5:

matricas determinants tad ir vienādi ar nulli matricas determinants vienāds ar nulli.

Īpašums Nr. 6:

Ja visi jebkuras rindas vai kolonnas elementi noteicējs uzrādīts kā 2 terminu summa, tad noteicējs matricas var attēlot kā summu 2 noteicošie faktori pēc formulas:

Īpašums Nr. 7:

Ja uz kādu rindu (vai kolonnu) noteicējs pievienojiet citas rindas (vai kolonnas) atbilstošos elementus, kas reizināti ar to pašu skaitli, pēc tam matricas determinants tā vērtību nemainīs.

Rekvizītu piemērošanas aprēķinam piemērs matricas determinants:

Matricas pievienošana$ A $ un $ B $ ir aritmētiska darbība, kuras rezultātā vajadzētu izveidot matricu $ C $, kuras katrs elements ir vienāds ar pievienoto matricu atbilstošo elementu summu:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

Detaļās Formula divu matricu pievienošanai izskatās šādi:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ beigas(pmatrica) = C $$

Ņemiet vērā, ka var pievienot un atņemt tikai vienas dimensijas matricas. Ar summu vai starpību matrica $ C $ tiks iegūta ar tādu pašu dimensiju kā matricas $ A $ un $ B $ termini (atņemti). Ja matricas $ A $ un $ B $ atšķiras viena no otras pēc izmēra, tad šādu matricu saskaitīšana (atņemšana) būs kļūda!

Formulā tiek pievienotas 3 x 3 matricas, kas nozīmē, ka jāiegūst matrica — 3 x 3.

Matricas atņemšana pilnīgi līdzīgs pievienošanas algoritmam, tikai mīnusa zīme. Katrs vajadzīgās matricas $ C $ elements tiek iegūts, atņemot atbilstošos matricu $ A $ un $ B $ elementus:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Pierakstīsim sīkāk formula divu matricu atņemšanai:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ beigas(pmatrica) = C $$

Ir arī vērts atzīmēt, ka jūs nevarat pievienot un atņemt matricas ar parastajiem skaitļiem, kā arī ar dažiem citiem elementiem.

Būs noderīgi zināt saskaitīšanas (atņemšanas) īpašības turpmākajiem matricu uzdevumu risinājumiem.

Īpašības

1. Ja matricām $ A,B,C $ ir vienāds izmērs, tad uz tām attiecas asociatīvā īpašība: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Katrai matricai ir nulles matrica, apzīmēta ar $ O $, ar kuru sākotnējā matrica nemainās, pievienojot (atņemot): $$ A \pm O = A $$
3. Katrai nulles matricai $A$ ir pretēja matrica $(-A)$, kuras summa pazūd: $$A + (-A) = 0 $$
4. Saskaitot (atņemot) matricas, ir atļauta komutativitātes īpašība, tas ir, matricas $ A $ un $ B $ var apmainīt: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Risinājumu piemēri

Rakstā: "Matricu saskaitīšana un atņemšana" definīcijas, noteikumi, piezīmes, darbību īpašības un praktiski piemēri risinājumus.