Funkciju y sin grafiki. Sinuss (sin x) un kosinuss (cos x) - īpašības, grafiki, formulas

Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim funkciju y \u003d sin x, tās galvenās īpašības un grafiku. Nodarbības sākumā mēs sniegsim trigonometriskās funkcijas y \u003d sin t definīciju uz koordinātu apļa un ņemsim vērā funkcijas grafiku uz apļa un līnijas. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim dažas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās galvenās īpašības un grafiks

Apsverot funkciju, ir svarīgi saistīt vienu funkcijas vērtību ar katru argumenta vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.

Definēsim korespondences likumu priekš .

Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa.Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).

Katrai argumenta vērtībai tiek piešķirta viena funkcijas vērtība.

Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.

Attēlā redzams, ka jo ir vienības apļa punkta ordināta.

Apsveriet funkciju grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Uz ass mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi, atbilstošās funkcijas vērtības.

Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)

Vietnē mēs ieguvām funkcijas grafiku, bet, zinot sinusa periodu, funkcijas grafiku varam attēlot visā definīcijas jomā (3. att.).

Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.

Apsveriet funkcijas īpašības:

1) Definīcijas joma:

2) Vērtību diapazons:

3) Funkcija nepāra:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) Grafika krustošanās punktu koordinātas ar x asi:

6) Grafika krustošanās punkta koordinātas ar y asi:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Dilstoši intervāli:

11) Zemākie punkti:

12) Minimālās funkcijas:

13) Augstākie punkti:

14) Maksimālās iespējas:

Mēs esam apsvēruši funkcijas un tās grafika īpašības. Rekvizīti tiks atkārtoti izmantoti problēmu risināšanā.

Bibliogrāfija

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi) - M .: Izglītība, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināts algebras un matemātiskās analīzes pētījums.-M .: Education, 1997.

5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz tehniskajām augstskolām (M.I.Skanavi redakcijā).-M.: Augstskola, 1992.g.

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais treneris.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Uzdevumi algebrā un analīzes pirmsākumi (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klašu skolēniem).-M .: Izglītība, 2003.g.

8. Karp A.P. Algebras uzdevumu krājums un analīzes sākums: mācību grāmata. pabalsts 10-11 šūnām. ar dziļu pētījums matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājasdarbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd.

A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

Kā attēlot funkciju y=sin x? Vispirms apsveriet intervāla sinusa grafiku.

Mēs ņemam vienu piezīmju grāmatiņas segmentu, kura garums ir 2 šūnas. Mēs atzīmējam vienību uz Oy ass.

Ērtības labad mēs noapaļojam skaitli π/2 līdz 1,5 (un nevis līdz 1,6, kā to nosaka noapaļošanas noteikumi). Šajā gadījumā segments ar garumu π/2 atbilst 3 šūnām.

Uz Vērša ass mēs atzīmējam nevis atsevišķus segmentus, bet segmentus ar garumu π / 2 (ik pēc 3 šūnām). Attiecīgi segments ar garumu π atbilst 6 šūnām, segments ar garumu π/6 atbilst 1 šūnai.

Izvēloties vienu segmentu, grafiks, kas attēlots uz piezīmju grāmatiņas lapas lodziņā, pēc iespējas atbilst funkcijas y=sin x grafikam.

Izveidosim tabulu ar sinusa vērtībām intervālā:

Iegūtie punkti ir atzīmēti koordinātu plaknē:

Tā kā y=sin x ir nepāra funkcija, sinusa grafiks ir simetrisks attiecībā pret sākuma punktu - punktu O(0;0). Ņemot vērā šo faktu, mēs turpinām attēlot grafiku pa kreisi, pēc tam punktus -π:

Funkcija y=sin x ir periodiska ar periodu T=2π. Tāpēc funkcijas grafiks, kas uzņemts intervālā [-π; π], tiek atkārtots bezgalīgi daudz reižu pa labi un pa kreisi.

, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Dzelzs rūsē, neatrodot sev pielietojumu,
stāvošs ūdens aukstumā pūst vai sasalst,
un cilvēka prāts, neatrodot sev pielietojumu, nīkuļo.
Leonardo da Vinči

Izmantotās tehnoloģijas: problēmmācība, kritiskā domāšana, komunikatīva komunikācija.

Mērķi:

• Kognitīvās intereses par mācīšanos attīstība.
• Funkcijas y \u003d sin x īpašību izpēte.
• Praktisko iemaņu veidošana funkcijas y \u003d sin x grafika konstruēšanai, pamatojoties uz pētīto teorētisko materiālu.

Uzdevumi:

1. Izmantojiet esošo zināšanu potenciālu par funkcijas y \u003d sin x īpašībām konkrētās situācijās.

2. Pielietojiet apzinātu saikņu izveidi starp funkcijas y \u003d sin x analītiskajiem un ģeometriskajiem modeļiem.

Attīstīt iniciatīvu, zināmu gatavību un interesi rast risinājumu; spēja pieņemt lēmumus, neapstāties pie tā, aizstāvēt savu viedokli.

Izglītot skolēnus izziņas darbībā, atbildības sajūtu, cieņu vienam pret otru, savstarpējo sapratni, savstarpēju atbalstu, pašapziņu; komunikācijas kultūra.

Nodarbību laikā

1. posms. Pamatzināšanu aktualizēšana, motivācija jauna materiāla apguvei

"Ieraksts nodarbībā"

Uz tāfeles ir uzrakstīti 3 apgalvojumi:

1. Trigonometriskajam vienādojumam sin t = a vienmēr ir risinājumi.
2. Nepāra funkciju var grafiski attēlot, izmantojot simetrijas transformāciju ap y asi.
3. Trigonometrisko funkciju var attēlot, izmantojot vienu galveno pusviļņu.

Skolēni pāros pārrunā: vai apgalvojumi ir patiesi? (1 minūte). Sākotnējās diskusijas rezultāti (jā, nē) tiek ievadīti tabulā ailē "Pirms".

Skolotājs nosaka stundas mērķus un uzdevumus.

2. Zināšanu atjaunošana (frontāli uz trigonometriskā apļa modeļa).

Mēs jau esam tikušies ar funkciju s = sin t.

1) Kādas vērtības var iegūt mainīgais t. Kāda ir šīs funkcijas darbības joma?

2) Kādā intervālā ir izteiksmes sin t vērtības. Atrodiet funkcijas s = sin t lielāko un mazāko vērtību.

3) Atrisiniet vienādojumu sin t = 0.

4) Kas notiek ar punkta ordinātu, pārvietojoties pa pirmo ceturtdaļu? (ordinātas palielinās). Kas notiek ar punkta ordinātu, kad tā pārvietojas otrajā ceturtdaļā? (ordinātas pakāpeniski samazinās). Kā tas ir saistīts ar funkcijas monotonitāti? (funkcija s = sin t segmentā palielinās un segmentā samazinās).

5) Uzrakstīsim funkciju s = sin t mums parastajā formā y = sin x (veidosim parastajā xOy koordinātu sistēmā) un sastādīsim šīs funkcijas vērtību tabulu.

2. posms. Uztvere, izpratne, primārā nostiprināšanās, piespiedu iegaumēšana

4. posms. Primārā zināšanu un darbības metožu sistematizēšana, to pārnese un pielietošana jaunās situācijās

6. Nr. 10.18 (b, c)

5. posms Noslēguma kontrole, korekcija, novērtēšana un pašvērtējums

7. Mēs atgriežamies pie apgalvojumiem (nodarbības sākuma), apspriežam, izmantojot trigonometriskās funkcijas y \u003d sin x īpašības, un aizpildām tabulas kolonnu "Pēc".

8. D/z: 10. pozīcija, 10.7. a), 10.8. b), 10.11. b), 10.16. a)

>>Matemātika: funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, to īpašības un grafiki

Funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, to īpašības un grafiki

Šajā sadaļā mēs aplūkojam dažas funkciju y = sin x, y = cos x īpašības un uzzīmējam to grafikus.

1. Funkcija y \u003d sin X.

Iepriekš, 20. paragrāfā, mēs formulējām noteikumu, kas ļauj katru skaitli t saistīt ar skaitli cos t, t.i. raksturoja funkciju y = sin t. Mēs atzīmējam dažas tās īpašības.

Funkcijas u = sint īpašības.

Definīcijas apgabals ir reālo skaitļu kopa K.
Tas izriet no fakta, ka jebkurš skaitlis 2 atbilst punktam M(1) uz skaitļu apļa, kuram ir precīzi noteikta ordināta; šī ordināta ir cos t.

u = sin t ir nepāra funkcija.

Tas izriet no tā, ka, kā tika pierādīts 19. pantā, jebkurai t vienlīdzībai
Tas nozīmē, ka funkcijas u \u003d sin t grafiks, tāpat kā jebkuras nepāra funkcijas grafiks, ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi taisnstūra koordinātu sistēmā tOi.

Funkcija u = sin t palielinās intervālā
Tas izriet no tā, ka, punktam pārvietojoties pa skaitliskā apļa pirmo ceturtdaļu, ordināta pakāpeniski palielinās (no 0 līdz 1 - sk. 115. att.), un, punktam pārvietojoties pa skaitliskā apļa otro ceturtdaļu, ordināta pakāpeniski samazinās (no 1 līdz 0 – skat. 115. att.). 116. att.).

Funkcija u = sin t ir ierobežota gan no apakšas, gan no augšas. Tas izriet no tā, ka, kā mēs redzējām 19.§, jebkurai t nevienlīdzībai

(funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas punktā (funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas punktā
Izmantojot iegūtās īpašības, mēs izveidojam mums interesējošās funkcijas grafiku. Bet (uzmanību!) u - sin t vietā mēs rakstīsim y \u003d sin x (galu galā mēs esam vairāk pieraduši rakstīt y \u003d f (x), nevis u \u003d f (t)). Tas nozīmē, ka mēs veidosim grafiku parastajā koordinātu sistēmā хОу (un nevis tOy).

Izveidosim funkciju vērtību tabulu, izmantojot - sin x:

komentēt.

Šeit ir viena no termina "sine" izcelsmes versijām. Latīņu valodā sinus nozīmē saliekt (bowstring).

Izveidotais grafiks zināmā mērā attaisno šo terminoloģiju.

Līniju, kas kalpo kā funkcijas y \u003d sin x grafiks, sauc par sinusoīdu. Tā sinusoīda daļa, kas parādīta attēlā. 118 vai 119, sauc par sinusoīda vilni, un to sinusoīda daļu, kas parādīta att. 117 sauc par pusviļņu vai sinusoidālā viļņa arku.

2. Funkcija y = cos x.

Funkcijas y \u003d cos x izpēti varētu veikt aptuveni saskaņā ar to pašu shēmu, kas tika izmantota iepriekš funkcijai y \u003d sin x. Bet mēs izvēlēsimies ceļu, kas ātrāk ved uz mērķi. Pirmkārt, mēs pierādīsim divas formulas, kas pašas par sevi ir svarīgas (to jūs redzēsiet vidusskolā), bet līdz šim tām ir tikai palīgvērtība mūsu mērķiem.

Jebkurai t vērtībai vienādības

Pierādījums. Lai skaitlis t atbilst skaitliskā n apļa punktam M, bet skaitlis * + - punktam P (124. att.; vienkāršības labad punktu M ņēmām pirmajā ceturksnī). Loki AM un BP ir attiecīgi vienādi, un arī taisnleņķa trīsstūri OKM un OBP ir vienādi. Tādējādi O K = Ob, MK = Pb. No šīm vienādībām un trīsstūru OKM un OLR atrašanās vietas koordinātu sistēmā mēs izdarām divus secinājumus:

1) punkta P ordināta gan absolūtā vērtībā, gan zīmē sakrīt ar punkta M abscisi; tas nozīmē, ka

2) punkta P abscise pēc absolūtās vērtības ir vienāda ar punkta M ordinātu, bet atšķiras no tās pēc zīmes; tas nozīmē, ka

Apmēram tāda pati argumentācija tiek veikta gadījumos, kad punkts M nepieder pirmajai ceturtdaļai.
Izmantosim formulu (šī ir iepriekš pierādītā formula, tikai mainīgā t vietā izmantojam mainīgo x). Ko šī formula mums dod? Tas ļauj mums apgalvot, ka funkcijas

ir identiski, tāpēc to grafiki ir vienādi.
Uzzīmēsim funkciju Lai to izdarītu, pārejam uz palīgkoordinātu sistēmu ar sākumpunktu kādā punktā (punktētā līnija novilkta 125. att.). Saistīsim funkciju y \u003d sin x jaunajai koordinātu sistēmai - tas būs funkcijas grafiks (125. att.), t.i. funkcijas y - cos x grafiks. To, tāpat kā funkcijas y \u003d sin x grafiku, sauc par sinusoīdu (kas ir diezgan dabiski).

Funkcijas y = cos x īpašības.

y = cos x ir pāra funkcija.

Būvniecības posmi ir parādīti attēlā. 126:

1) mēs izveidojam funkcijas y \u003d cos x grafiku (precīzāk, vienu pusviļņu);
2) izstiepjot konstruēto grafiku no x ass ar koeficientu 0,5, iegūstam vienu vajadzīgā grafa pusviļņu;
3) izmantojot iegūto pusviļņu, mēs izveidojam visu funkcijas y \u003d 0,5 cos x grafiku.

Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim funkciju y \u003d sin x, tās galvenās īpašības un grafiku. Nodarbības sākumā mēs sniegsim trigonometriskās funkcijas y \u003d sin t definīciju uz koordinātu apļa un ņemsim vērā funkcijas grafiku uz apļa un līnijas. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim dažas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās galvenās īpašības un grafiks

Apsverot funkciju, ir svarīgi saistīt vienu funkcijas vērtību ar katru argumenta vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.

Definēsim korespondences likumu priekš .

Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa.Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).

Katrai argumenta vērtībai tiek piešķirta viena funkcijas vērtība.

Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.

Attēlā redzams, ka jo ir vienības apļa punkta ordināta.

Apsveriet funkciju grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Uz ass mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi, atbilstošās funkcijas vērtības.

Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)

Vietnē mēs ieguvām funkcijas grafiku, bet, zinot sinusa periodu, funkcijas grafiku varam attēlot visā definīcijas jomā (3. att.).

Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.

Apsveriet funkcijas īpašības:

1) Definīcijas joma:

2) Vērtību diapazons:

3) Funkcija nepāra:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) Grafika krustošanās punktu koordinātas ar x asi:

6) Grafika krustošanās punkta koordinātas ar y asi:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Dilstoši intervāli:

11) Zemākie punkti:

12) Minimālās funkcijas:

13) Augstākie punkti:

14) Maksimālās iespējas:

Mēs esam apsvēruši funkcijas un tās grafika īpašības. Rekvizīti tiks atkārtoti izmantoti problēmu risināšanā.

Bibliogrāfija

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi) - M .: Izglītība, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināts algebras un matemātiskās analīzes pētījums.-M .: Education, 1997.

5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz tehniskajām augstskolām (M.I.Skanavi redakcijā).-M.: Augstskola, 1992.g.

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais treneris.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Uzdevumi algebrā un analīzes pirmsākumi (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klašu skolēniem).-M .: Izglītība, 2003.g.

8. Karp A.P. Algebras uzdevumu krājums un analīzes sākums: mācību grāmata. pabalsts 10-11 šūnām. ar dziļu pētījums matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājasdarbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd.

A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().