Vai sērijā ir kādi neracionāli skaitļi? Racionālie un iracionālie skaitļi

Iracionālo skaitļu kopu parasti apzīmē ar lielo burtu Latīņu burts I (\displaystyle \mathbb (I) ) treknrakstā bez ēnojuma. Tādējādi: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q)), tas ir, iracionālo skaitļu kopa ir starpība starp reālo un racionālo skaitļu kopām.

Iracionālu skaitļu, precīzāk, segmentu, kas nav samērojami ar vienības garuma segmentu, esamību zināja jau senie matemātiķi: viņi zināja, piemēram, kvadrāta diagonāles un malas nesamērojamību, kas ir līdzvērtīga kvadrāta iracionalitātei. numuru.

Enciklopēdisks YouTube

1 / 5
Iracionāli ir:

Iracionalitātes pierādījumu piemēri

2. sakne

Pieņemsim pretējo: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionāls, tas ir, attēlots kā daļa m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kur m (\displaystyle m) ir vesels skaitlis un n (\displaystyle n)- dabiskais skaitlis.
Izlīdzināsim šķietamo vienādību:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displeja stils (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\labā bultiņa 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\bultiņa pa labi m^(2)=2n^(2)).
Stāsts

Senatne

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad Manava (ap 750. g. p.m.ē. – ap 690. g. p.m.ē.) izdomāja, ka kvadrātsaknes naturālie skaitļi, piemēram, 2 un 61, nevar skaidri izteikt [ ] .
Pirmais iracionālo skaitļu esamības pierādījums parasti tiek piedēvēts pitagorietim Hipasam no Metaponta (ap 500. g. p.m.ē.). Pitagoriešu laikā tika uzskatīts, ka pastāv viena garuma vienība, pietiekami maza un nedalāma, kas ietver veselu skaitu reižu jebkurā segmentā [ ] .
Nav precīzu datu par to, kurš skaitlis Hipasus ir pierādījis, ka ir neracionāls. Saskaņā ar leģendu, viņš to atradis, pētot pentagrammas malu garumus. Tāpēc ir saprātīgi pieņemt, ka tā bija zelta griezums [ ] .
Grieķu matemātiķi šo nesamērojamo lielumu attiecību sauca alogos(neizsakāmi), bet saskaņā ar leģendām viņi nav izrādījuši pienācīgu cieņu Hipasam. Pastāv leģenda, ka Hipazs atklāja, atrodoties jūras ceļojumā, un citi pitagorieši viņu izmeta aiz borta, "lai radītu Visuma elementu, kas noliedz doktrīnu, ka visas Visuma būtības var reducēt līdz veseliem skaitļiem un to attiecībām". Hipasa atklāšana radīja nopietnu problēmu Pitagora matemātikai, iznīcinot pamatā esošo pieņēmumu, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir viens un nedalāms.

Visu naturālo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu N. Naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus izmantojam objektu skaitīšanai: 1,2,3,4, ... Dažos avotos skaitlis 0 tiek uzskatīts arī par naturālu skaitli.

Visu veselo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu Z. Veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, nulle un negatīvi skaitļi:

1,-2,-3, -4, …

Tagad visu veselo skaitļu kopai pievienojam visu kopu parastās frakcijas: 2/3, 18/17, -4/5 un tā tālāk. Tad mēs iegūstam visu racionālo skaitļu kopu.

Racionālo skaitļu kopa

Visu racionālo skaitļu kopa ir apzīmēta ar burtu Q. Visu racionālo skaitļu kopa (Q) ir kopa, kas sastāv no skaitļiem formā m/n, -m/n un skaitļa 0. kā n,m var būt jebkurš naturāls skaitlis. Jāņem vērā, ka visus racionālos skaitļus var attēlot kā galīgus vai bezgalīgus PERIODIKUS decimālzīme. Ir arī otrādi, ka jebkuru galīgu vai bezgalīgu periodisku decimāldaļskaitli var uzrakstīt kā racionālu skaitli.

Bet kā ir, piemēram, ar numuru 2.0100100010...? Tā ir bezgalīgi NEPERIODISKA decimāldaļdaļa. Un tas neattiecas uz racionāliem skaitļiem.

Skolas algebras kursā tiek pētīti tikai reāli (vai reāli) skaitļi. Daudz visiem reāli skaitļi apzīmē ar burtu R. Kopa R sastāv no visiem racionālajiem un visiem iracionālajiem skaitļiem.

Iracionālo skaitļu jēdziens

Iracionālie skaitļi ir bezgalīgas neperiodiskas decimāldaļas. Iracionāliem skaitļiem nav īpaša apzīmējuma.

Piemēram, visi skaitļi, kas iegūti, izdalot kvadrātsakni no naturāliem skaitļiem, kas nav naturālu skaitļu kvadrāti, būs neracionāli. (√2, √3, √5, √6 utt.).

Bet nevajadzētu domāt, ka iracionāli skaitļi tiek iegūti tikai ekstrahējot kvadrātsaknes. Piemēram, skaitlis “pi” arī ir neracionāls, un to iegūst dalot. Un neatkarīgi no tā, cik smagi jūs mēģināt, jūs to nevarēsit iegūt, izvelkot kvadrātsakne no jebkura naturālā skaitļa.

Norādījumi

Pirms atbrīvojies no iracionalitāte V saucējs, seko tā veids, un atkarībā no tā turpiniet risinājumu. Un, lai gan jebkura iracionalitāte izriet no vienkāršas klātbūtnes, to dažādās kombinācijas un pakāpes nozīmē dažādus algoritmus.

Klātbūtne zem līnijas frakcijas formas m/n daļveida sakne ar n>m Šī izteiksme izskatās šādi: a/√(b^m/n).

Atbrīvojieties no šī iracionalitāte arī ievadot reizinātāju, šoreiz sarežģītāku: b^(n-m)/n, t.i. No pašas saknes eksponenta jums ir nepieciešama izteiksmes pakāpe zem tās zīmes. Tad iekšā saucējs paliks tikai :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b. 2. piemērs: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5) / 4 = 5 √(16^1/5)/4.

Kvadrātsakņu summa Reiziniet abas sastāvdaļas frakcijas ar līdzīgu atšķirību. Tad no iracionālas sakņu saskaitīšanas saucējs tiek pārveidots par / zem saknes zīmes:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c). 3. piemērs: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13–√23)/(13–23) = 9 (√23–√13)/10.

Kuba sakņu summa/starpībaIzvēlieties starpības daļējo kvadrātu kā papildu koeficientu, ja saucējs ir summa un attiecīgi summas nepilnīgais kvadrāts sakņu starpībai: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c) ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c). 4. piemērs: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25 - ∛20 + ∛16) /9.

Ja uzdevumā ir gan kvadrāts, gan , sadaliet risinājumu divos posmos: secīgi atvasiniet kvadrātsakni no saucēja un pēc tam kubiksakni. Tas tiek darīts, izmantojot jums jau zināmas metodes: pirmajā solī jāizvēlas sakņu starpības/summas reizinātājs, otrajā - summas/starpības nepilnīgais kvadrāts.

Video par tēmu

Avoti:
- kā atbrīvoties no iracionalitātes daļskaitļos
Padoms 2: kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā

Pareizs daļskaitļa apzīmējums nesatur iracionalitāte V saucējs. Šāds ieraksts ir vieglāk uztverams pēc skata, tāpēc, kad iracionalitāte V saucējs Ir prātīgi no tā atbrīvoties. Šajā gadījumā iracionalitāte var kļūt par skaitītāju.

Norādījumi

Sākumā mēs varam apsvērt vienkāršāko - 1/sqrt(2). Kvadrātsakne no diviem ir skaitlis šajā gadījumā jums ir jāreizina skaitītājs un saucējs ar tā saucēju. Tas nodrošinās saucējs. Patiešām, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Reizinot divas identiskas kvadrātsaknes, galu galā tiks iegūts tas, kas atrodas zem katras saknes: šajā gadījumā divi Rezultātā: 1/. kvadrāts(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = kvadrāts(2)/2. Šis algoritms attiecas arī uz daļdaļām, in saucējs kura sakne tiek reizināta ar racionālu skaitli. Skaitītājs un saucējs šajā gadījumā jāreizina ar sakni, kas atrodas iekšā saucējs.Piemērs: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = kvadrāts(3)/(2*3) = kvadrāts( 3)/6.

Jums ir jārīkojas tieši tāpat, ja saucējs tiek atrasta nevis sakne, bet, teiksim, kubiskais vai kāds cits grāds. Iesakņoties saucējs jums jāreizina ar tieši to pašu sakni un jāreizina skaitītājs ar to pašu sakni. Tad sakne nonāks skaitītājā.

Vairākos gadījumos in saucējs ir vai nu iracionāla skaitļa un vai divu iracionālu skaitļu summa. Divu kvadrātsakņu vai kvadrātsaknes un racionāla skaitļa summas (starpības) gadījumā var izmantot labi zināmo formulu (x+y). (x-y) = (x^2)-(y^2) . Tas palīdzēs jums atbrīvoties no saucējs. Ja iekšā saucējs starpība, tad jāreizina skaitītājs un saucējs ar to pašu skaitļu summu, ja summa - tad ar starpību. Šī reizinātā summa vai starpība tiks saukta par konjugātu izteiksmei in saucējs.Tā efekts ir skaidri redzams piemērā: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( kvadrāts(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = kvadrāts(2)-1.

Ja iekšā saucējs ir summa (starpība), kurā atrodas lielākas pakāpes sakne, tad situācija kļūst netriviāla un atbrīvojas no iracionalitāte V saucējs ne vienmēr iespējams

Avoti:
- atbrīvoties no saknes saucējā 2019. gadā
3. padoms: kā atbrīvot sevi no iracionalitātes daļskaitļa saucējā

Daļskaitlis sastāv no skaitītāja, kas atrodas rindas augšpusē, un saucēja, ar kuru tā tiek dalīta, atrodas apakšā. Iracionāls skaitlis ir skaitlis, kuru nevar attēlot formā frakcijas ar veselu skaitli skaitītājā un naturālu skaitli iekšā saucējs. Šādi skaitļi ir, piemēram, kvadrātsakne no diviem vai pi. Parasti, kad viņi runā par iracionalitāte V saucējs, sakne ir netieša.

Norādījumi

Atbrīvojies no reizinot ar saucēju. Tādējādi tas tiks pārsūtīts uz skaitītāju. Reizinot skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli, vērtība frakcijas nemainās. Izmantojiet šo opciju, ja viss saucējs ir sakne.

Reiziniet skaitītāju un saucēju ar saucēju nepieciešamo reižu skaitu atkarībā no saknes. Ja sakne ir kvadrātveida, tad vienreiz.

Reiziniet skaitītāju un saucēju frakcijas uz saucēju, tas ir, uz √(x+2). Sākotnējais piemērs (56-y)/√(x+2) pārvērtīsies par ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Rezultāts būs ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Tagad sakne ir skaitītājā un iekšā saucējs Nē iracionalitāte.

Reiziniet saucēju ar sakņu summu. Lai iegūtu vērtību, reiziniet skaitītāju ar to pašu frakcijas nav mainījies. Daļai būs šāda forma ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

Izmantojiet iepriekš minētās īpašības (x+y)*(x-y)=x²-y² un atbrīvojiet saucēju no iracionalitāte. Rezultāts būs ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Tagad sakne ir skaitītājā, un saucējs ir atbrīvots iracionalitāte.

IN sarežģīti gadījumi atkārtojiet abas šīs iespējas, piemērojot pēc vajadzības. Lūdzu, ņemiet vērā, ka ne vienmēr ir iespējams atbrīvoties iracionalitāte V saucējs.

Avoti:

Algebriskā daļa ir A/B formas izteiksme, kur burti A un B apzīmē jebkuru skaitlisku vai alfabētisku izteiksmi. Bieži vien skaitītājs un saucējs tiek ievadīts algebriskās daļas ir apgrūtinošs izskats, taču darbības ar šādām daļām jāveic saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā darbības ar parastajām, kur skaitītājs un saucējs ir pozitīvi veseli skaitļi.

Norādījumi

Ja dota frakcijas, konvertējiet tos (daļskaitli, kurā skaitītājs ir lielāks par saucēju): reiziniet saucēju ar visu daļu un pievienojiet skaitītāju. Tātad skaitlis 2 1/3 pārvērtīsies par 7/3. Lai to izdarītu, reiziniet 3 ar 2 un pievienojiet vienu.

Ja jums ir jāpārvērš daļskaitlis par nepareizu daļskaitli, iedomājieties to kā skaitļus bez komata uz vienu ar tik nullēm, cik skaitļu ir aiz komata. Piemēram, iedomājieties, ka skaitlis 2,5 ir 25/10 (ja tas ir saīsināts, jūs saņemat 5/2), bet skaitli 3,61 - 361/100. Bieži vien ir vieglāk darboties ar neregulāriem, nevis ar jauktiem vai decimālskaitļiem.

Ja jums ir jāatņem viena daļa no otras, bet tām ir dažādi saucēji, apvienojiet daļskaitļus līdz kopsaucējam. Lai to izdarītu, atrodiet skaitli, kas būs abu saucēju mazākais kopīgais reizinājums (LCM) vai vairāki, ja ir vairāk nekā divas daļskaitļi. LCM ir skaitlis, kas tiks sadalīts visu doto daļu saucējos. Piemēram, 2 un 5 šis skaitlis ir 10.

Pēc vienādības zīmes novelciet horizontālu līniju un saucējā ierakstiet šo skaitli (NOC). Katram terminam pievienojiet papildu faktorus - skaitli, ar kuru jāreizina gan skaitītājs, gan saucējs, lai iegūtu LCM. Secīgi reiziniet skaitītājus ar papildu koeficientiem, saglabājot saskaitīšanas vai atņemšanas zīmi.

Aprēķiniet rezultātu, ja nepieciešams, saīsiniet to vai atlasiet visu daļu. Piemēram, jums jāpievieno ⅓ un ¼. LCM abām frakcijām ir 12. Tad papildu koeficients pirmajai frakcijai ir 4, otrajai - 3. Kopā: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

Ja dota reizināšanai, reiziniet skaitītājus (tas būs rezultāta skaitītājs) un saucējus (tas būs rezultāta saucējs). Šajā gadījumā nav vajadzības tos reducēt līdz kopsaucējam.

Ja nepieciešams, koeficientu skaitītāju un saucēju. Piemēram, izņemiet kopējo koeficientu no iekavām vai izmantojiet saīsinātas reizināšanas formulas, lai pēc tam, ja nepieciešams, varētu samazināt skaitītāju un saucēju par GCD — mazāk izplatīto dalītāju.

Lūdzu, ņemiet vērā

Pievienojiet ciparus ar cipariem, viena veida burtus ar tāda paša veida burtiem. Piemēram, jūs nevarat pievienot 3a un 4b, kas nozīmē, ka to summa vai starpība paliks skaitītājā - 3a ± 4b.

Avoti:
- Daļskaitļu reizināšana un dalīšana
Ikdienā visbiežāk sastopami nedabiski skaitļi: 1, 2, 3, 4 utt. (5 kg kartupeļu) un daļskaitļi, kas nav veseli skaitļi (5,4 kg sīpolu). Lielākā daļa no tiem ir prezentēti formā decimāldaļskaitļi. Bet attēlojiet decimāldaļu in formā frakcijas pietiekami vienkārši.

Norādījumi

Piemēram, tiek dots skaitlis "0,12". Ja ne šī daļa un iedomājieties to tādu, kāda tā ir, tad tā izskatīsies šādi: 12/100 (“divpadsmit”). Lai atbrīvotos no simta, jums ir jādala gan skaitītājs, gan saucējs ar skaitli, kas dala to skaitļus. Šis skaitlis ir 4. Tad, dalot skaitītāju un saucēju, iegūstam skaitli: 3/25.

Ja domājam par ikdienišķāku preci, tad uz cenu birkas nereti ir skaidri redzams, ka tā svars ir, piemēram, 0,478 kg vai tā tālāk. Arī šis skaitlis ir viegli iedomājams formā frakcijas:
478/1000 = 239/500. Šī daļa ir diezgan neglīta, un, ja tas būtu iespējams, šo decimāldaļu varētu vēl vairāk samazināt. Un tas viss, izmantojot vienu un to pašu metodi: izvēloties skaitli, kas dala gan skaitītāju, gan saucēju. Šim skaitlim ir vislielākais kopīgais faktors. Koeficients ir “lielākais”, jo daudz ērtāk ir uzreiz dalīt gan skaitītāju, gan saucēju ar 4 (kā pirmajā piemērā), nekā divreiz dalīt ar 2.

Kas ir neracionālie skaitļi? Kāpēc viņus tā sauc? Kur tie tiek izmantoti un kādi tie ir? Tikai daži cilvēki var atbildēt uz šiem jautājumiem, nedomājot. Bet patiesībā atbildes uz tām ir pavisam vienkāršas, lai gan ne visiem tās ir vajadzīgas un ļoti retās situācijās
Būtība un apzīmējums
Iracionālie skaitļi ir bezgalīgi neperiodiski skaitļi. Nepieciešamība ieviest šo jēdzienu ir saistīta ar to, ka, lai atrisinātu jaunas problēmas, vairs nepietika ar iepriekš pastāvošajiem reālo vai reālo, veselo skaitļu, naturālo un racionālo skaitļu jēdzieniem. Piemēram, lai aprēķinātu, kurš lielums ir 2 kvadrāts, ir jāizmanto neperiodiskas bezgalīgas decimāldaļas. Turklāt daudziem vienkāršiem vienādojumiem arī nav risinājuma, neieviešot iracionālā skaitļa jēdzienu.
Šī kopa ir apzīmēta kā I. Un, kā jau skaidrs, šīs vērtības nevar attēlot kā vienkāršu daļskaitli, kuras skaitītājs būs vesels skaitlis, bet saucējs
Pirmo reizi, tā vai citādi, Indijas matemātiķi ar šo parādību saskārās 7. gadsimtā, kad tika atklāts, ka dažu lielumu kvadrātsaknes nevar skaidri norādīt. Un pirmais pierādījums šādu skaitļu esamībai tiek attiecināts uz Pitagora Hipasu, kurš to izdarīja vienādsānu izpētes procesā taisnleņķa trīsstūris. Daži citi zinātnieki, kas dzīvoja pirms mūsu ēras, sniedza nopietnu ieguldījumu šīs kopas izpētē. Iracionālo skaitļu jēdziena ieviešana nozīmēja esošā pārskatīšanu matemātiskā sistēma, tāpēc tie ir tik svarīgi.
Nosaukuma izcelsme
Ja koeficients tulkojumā no latīņu valodas ir “daļdaļa”, “attiecība”, tad prefikss “ir”
piešķir šim vārdam pretēju nozīmi. Tādējādi šo skaitļu kopas nosaukums norāda, ka tos nevar korelēt ar veselu skaitli vai daļskaitli, tiem ir atsevišķa vieta. Tas izriet no to būtības.
Vieta kopvērtējumā
Iracionālie skaitļi kopā ar racionāliem skaitļiem pieder reālo vai reālo skaitļu grupai, kas savukārt pieder pie kompleksajiem skaitļiem. Nav apakškopu, bet ir algebriskās un transcendentālās šķirnes, par kurām mēs parunāsim zemāk.
Īpašības
Tā kā iracionālie skaitļi ir daļa no reālo skaitļu kopas, uz tiem attiecas visas to īpašības, kas tiek pētītas aritmētikā (tos sauc arī par algebras pamatlikumiem).
a + b = b + a (komutativitāte);
(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitāte);
a + (-a) = 0 (pretēja skaitļa esamība);
ab = ba (komutatīvais likums);
(ab)c = a(bc) (izplatība);
a(b+c) = ab + ac (sadales likums);
a x 1/a = 1 (apgrieztā skaitļa esamība);
Salīdzinājums tiek veikts arī saskaņā ar vispārējiem likumiem un principiem:
Ja a > b un b > c, tad a > c (attiecības tranzitivitāte) un. utt.
Protams, visus neracionālos skaitļus var pārvērst, izmantojot pamata aritmētiku. Nav īpaši noteikumi tajā pašā laikā nē.
Turklāt Arhimēda aksioma attiecas uz iracionāliem skaitļiem. Tajā teikts, ka jebkuriem diviem lielumiem a un b ir taisnība, ka, ja pietiekami daudz reižu lietojat a kā terminu, jūs varat pārspēt b.
Lietošana
Neskatoties uz to, ka in parastā dzīve Ne pārāk bieži ar tiem sastopas, nevar saskaitīt iracionālus skaitļus. Viņu ir milzīgs skaits, taču tie ir gandrīz neredzami. Iracionāli skaitļi ir mums visapkārt. Ikvienam pazīstami piemēri ir pi, kas ir 3.1415926..., vai e, kas būtībā ir bāze naturālais logaritms, 2.718281828... Algebrā, trigonometrijā un ģeometrijā tie ir pastāvīgi jāizmanto. Starp citu, arī slavenā “zelta griezuma” nozīme, tas ir, attiecības starp lielāko daļu un mazāko daļu un otrādi.
pieder šim komplektam. Arī mazāk zināmais “sudrabs”.
Uz skaitļu līnijas tie atrodas ļoti blīvi, tāpēc starp jebkuriem diviem lielumiem, kas klasificēti kā racionāli, noteikti rodas iracionāls.
Ar šo komplektu joprojām ir daudz neatrisinātu problēmu. Ir tādi kritēriji kā iracionalitātes mērs un skaitļa normalitāte. Matemātiķi turpina pētīt nozīmīgākos piemērus, lai noteiktu, vai tie pieder vienai vai otrai grupai. Piemēram, tiek uzskatīts, ka e ir normāls skaitlis, t.i., varbūtība, ka tā apzīmējumā parādīsies dažādi cipari, ir vienāda. Attiecībā uz pi joprojām notiek pētījumi par to. Iracionalitātes mērs ir vērtība, kas parāda, cik labi doto skaitli var tuvināt ar racionāliem skaitļiem.
Algebriskā un transcendentālā
Kā jau minēts, neracionālos skaitļus nosacīti iedala algebriskajos un transcendentālajos. Nosacīti, jo, stingri runājot, šī klasifikācija tiek izmantota kopas C sadalīšanai.
Šis apzīmējums slēpj kompleksos skaitļus, kas ietver reālus vai reālus skaitļus.
Tātad algebriskā ir vērtība, kas ir polinoma sakne, kas nav identiski vienāda ar nulli. Piemēram, kvadrātsakne no 2 būtu šajā kategorijā, jo tā ir vienādojuma x 2 risinājums - 2 = 0.
Visus pārējos reālos skaitļus, kas neatbilst šim nosacījumam, sauc par pārpasaulīgiem. Šajā šķirnē ir iekļauti slavenākie un jau minētie piemēri - skaitlis pi un naturālā logaritma bāze e.
Interesanti, ka ne vienu, ne otru matemātiķi sākotnēji neizstrādāja šajā statusā, to neracionalitāte un transcendence tika pierādīta daudzus gadus pēc to atklāšanas. Attiecībā uz pi pierādījums tika sniegts 1882. gadā un vienkāršots 1894. gadā, noslēdzot 2500 gadus ilgušo diskusiju par apļa kvadrāta problēmu. Tas joprojām nav pilnībā izpētīts, tāpēc mūsdienu matemātiķiem ir pie kā strādāt. Starp citu, pirmo diezgan precīzu šīs vērtības aprēķinu veica Arhimēds. Pirms viņa visi aprēķini bija pārāk aptuveni.
Attiecībā uz e (Eilera vai Napiera skaitlis) pierādījums tā transcendencei tika atrasts 1873. gadā. To izmanto logaritmisko vienādojumu risināšanā.
Citi piemēri ietver sinusa, kosinusa un pieskares vērtības jebkurai algebriskai vērtībai, kas nav nulles vērtība.

Matemātisko jēdzienu abstraktums dažkārt rada tik lielu atslāņošanos, ka neviļus rodas doma: "Kāpēc tas viss?" Bet, neskatoties uz pirmo iespaidu, visas teorēmas, aritmētiskās darbības, funkcijas utt. - nekas vairāk kā vēlme apmierināt pamatvajadzības. Īpaši skaidri to var redzēt dažādu komplektu izskata piemērā.
Viss sākās ar naturālo skaitļu parādīšanos. Un, lai gan maz ticams, ka tagad kāds spēs atbildēt, kā īsti bija, visticamāk, zinātņu karalienes kājas izaug no kaut kurienes alas. Šeit, analizējot ādu, akmeņu un cilšu cilvēku skaitu, cilvēkam ir daudz "skaitļu, kas jāsaskaita". Un ar to viņam pietika. Līdz kādam brīdim, protams.
Pēc tam ādas un akmeņus vajadzēja sadalīt un aizvest. Tā radās nepieciešamība pēc aritmētiskām operācijām un līdz ar tām arī racionālām, kuras var definēt kā daļskaitli kā m/n, kur, piemēram, m ir ādas skaits, n ir cilts biedru skaits.
Šķiet, ka ar jau atklāto matemātisko aparātu pilnīgi pietiek, lai izbaudītu dzīvi. Taču drīz vien izrādījās, ka ir gadījumi, kad rezultāts nav ne tikai vesels skaitlis, bet pat ne daļskaitlis! Un tiešām, kvadrātsakni no diviem nevar izteikt citādi, izmantojot skaitītāju un saucēju. Vai, piemēram, sengrieķu zinātnieka Arhimēda atklātais labi zināmais skaitlis Pi arī nav racionāls. Un laika gaitā šādu atklājumu skaits kļuva tik daudz, ka visi skaitļi, kurus nevarēja “racionalizēt”, tika apvienoti un saukti par neracionāliem.
Īpašības
Iepriekš aplūkotās kopas pieder pie matemātikas pamatjēdzienu kopas. Tas nozīmē, ka tos nevar definēt, izmantojot vienkāršākus matemātiskus objektus. Bet to var izdarīt ar kategoriju (no grieķu “paziņojumiem”) vai postulātu palīdzību. Šajā gadījumā vislabāk bija norādīt šo komplektu īpašības.
o Iracionālie skaitļi definē Dedekind izcirtņus racionālo skaitļu kopā, kuriem nav lielākais skaitlis mazākajā skaitļā un nav mazākais skaitlis augšējā.
o Katrs pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls.
o Katrs neracionāls skaitlis ir algebrisks vai pārpasaulīgs.
o skaitļu kopa ir blīva visur uz skaitļu līnijas: starp jebkuru ir iracionāls skaitlis.
o Komplekts ir nesaskaitāms un ir otrās Baire kategorijas komplekts.
o Šī kopa ir sakārtota, tas ir, katriem diviem dažādiem racionālajiem skaitļiem a un b var norādīt, kurš no tiem ir mazāks par otru.
o Starp katriem diviem dažādiem racionālajiem skaitļiem ir vēl vismaz viens, tātad bezgalīgs skaits racionālo skaitļu.
o Aritmētiskās darbības(saskaitīšana, reizināšana un dalīšana) pār jebkuriem diviem racionālajiem skaitļiem vienmēr ir iespējama, un rezultātā tiek iegūts noteikts racionālais skaitlis. Izņēmums ir dalīšana ar nulli, kas nav iespējama.
o Katru racionālo skaitli var attēlot kā decimālo daļu (galīgu vai bezgalīgi periodisku).