Trapeces viduslīnijas paralēlisma pierādījums. N.Ņikitins Ģeometrija

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtība, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Šajā rakstā mēs centīsimies pēc iespējas pilnīgāk atspoguļot trapeces īpašības. Jo īpaši mēs runāsim par kopīgas pazīmes un trapeces īpašības, kā arī par ievilktas trapeces un par trapecveidā ierakstīta apļa īpašībām. Pieskarsimies arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces īpašībām.

Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot aplūkotās īpašības, palīdzēs sakārtot lietas galvā un labāk atcerēties materiālu.

Trapece un viss-viss-viss

Sākumā īsi atcerēsimies, kas ir trapecveida forma un kādi citi jēdzieni ar to ir saistīti.

Tātad trapece ir četrstūra figūra, kuras divas malas ir paralēlas viena otrai (tās ir pamatnes). Un divi nav paralēli – tās ir malas.

Trapecveida formā augstumu var izlaist - perpendikulāri pamatnēm. Tiek novilkta vidējā līnija un diagonāles. Un arī no jebkura trapeces leņķa ir iespējams uzzīmēt bisektoru.

Pro dažādas īpašības kas saistīti ar visiem šiem elementiem un to kombinācijām, mēs tagad runāsim.

Trapeces diagonāļu īpašības

Lai būtu skaidrāk, lasīšanas laikā uz papīra uzzīmējiet ACME trapecveida formu un ievelciet tajā diagonāles.

1. Ja atrodat katras diagonāles viduspunktus (sauksim šos punktus X un T) un savienojat tos, iegūstat segmentu. Viena no trapeces diagonāļu īpašībām ir tāda, ka segments XT atrodas uz tā vidējā līnija. Un tā garumu var iegūt, dalot bāzu starpību ar diviem: XT \u003d (a–b) / 2.
2. Pirms mums ir tā pati ACME trapece. Diagonāles krustojas punktā O. Aplūkosim trijstūrus AOE un IOC, ko veido diagonāļu nogriežņi kopā ar trapeces pamatiem. Šie trīsstūri ir līdzīgi. K trīsstūru līdzības koeficientu izsaka kā trapecveida pamatu attiecību: k = AE/KM.
   Trijstūru AOE un IOC laukumu attiecību raksturo koeficients k 2 .
3. Visas tās pašas trapeces, tās pašas diagonāles, kas krustojas punktā O. Tikai šoreiz mēs apskatīsim trijstūrus, kurus diagonāles atzari veido kopā ar trapeces malām. Trijstūru AKO un EMO laukumi ir vienādi – to laukumi ir vienādi.
4. Vēl viena trapeces īpašība ietver diagonāļu konstrukciju. Tātad, ja mēs turpināsim AK un ME malas mazākās bāzes virzienā, tad agri vai vēlu tās krustosies kādā punktā. Pēc tam novelciet taisnu līniju caur trapecveida pamatu viduspunktiem. Tas krusto bāzes punktos X un T.
   Ja tagad pagarināsim taisni XT, tad tā savienos kopā trapeces O diagonāļu krustpunktu, punktu, kurā krustojas malu paplašinājumi un X un T pamatu viduspunkti.
5. Caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novelkam segmentu, kas savienos trapeces pamatus (T atrodas uz mazākā KM pamata, X - uz lielākā AE). Diagonāļu krustošanās punkts dala šo segmentu šādā proporcijā: TO/OH = KM/AE.
6. Un tagad caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novelkam segmentu, kas ir paralēls trapeces (a un b) pamatiem. Krustpunkts sadalīs to divās vienādās daļās. Segmenta garumu var atrast, izmantojot formulu 2ab/(a + b).

Trapeces viduslīnijas īpašības

Novelciet vidējo līniju trapecē paralēli tās pamatiem.

1. Trapeces viduslīnijas garumu var aprēķināt, saskaitot pamatņu garumus un dalot tos uz pusēm: m = (a + b)/2.
2. Ja velciet jebkuru segmentu (piemēram, augstumu) caur abām trapeces pamatnēm, vidējā līnija to sadalīs divās vienādās daļās.

Trapeces bisektora īpašība

Izvēlieties jebkuru trapeces leņķi un uzzīmējiet bisektrisi. Ņemiet, piemēram, mūsu trapeces ACME leņķi KAE. Patstāvīgi pabeidzot konstrukciju, jūs varat viegli redzēt, ka bisektrise no pamatnes (vai tās turpinājuma taisnā līnijā ārpus pašas figūras) nogriež segmentu, kura garums ir vienāds ar malu.

Trapecveida leņķa īpašības

1. Neatkarīgi no tā, kuru no diviem leņķu pāriem, kas atrodas blakus malai, kuru izvēlaties, pāra leņķu summa vienmēr ir 180 0: α + β = 180 0 un γ + δ = 180 0 .
2. Savienojiet trapecveida pamatu viduspunktus ar segmentu TX. Tagad apskatīsim leņķus trapeces pamatnēs. Ja leņķu summa jebkuram no tiem ir 90 0, TX segmenta garumu ir viegli aprēķināt, pamatojoties uz pamatu garumu starpību, kas sadalīta uz pusēm: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Ja caur trapeces leņķa malām tiek novilktas paralēlas līnijas, tās sadalīs leņķa malas proporcionālos segmentos.

Vienādsānu (viensānu) trapeces īpašības

1. Vienādsānu trapecē leņķi pie jebkuras bāzes ir vienādi.
2. Tagad atkal izveidojiet trapecveida formu, lai būtu vieglāk iedomāties, par ko ir runa. Uzmanīgi apskatiet AE pamatni – M pretējās bāzes virsotne tiek projicēta uz noteiktu punktu uz līnijas, kas satur AE. Attālums no virsotnes A līdz virsotnes M projekcijas punktam un vienādsānu trapeces viduslīnijai ir vienāds.
3. Daži vārdi par vienādsānu trapeces diagonāļu īpašību - to garumi ir vienādi. Un arī šo diagonāļu slīpuma leņķi pret trapeces pamatni ir vienādi.
4. Apli var aprakstīt tikai vienādsānu trapeces tuvumā, jo priekšnoteikums tam ir četrstūra pretējo leņķu summa 180 0.
5. Vienādsānu trapeces īpašība izriet no iepriekšējās rindkopas - ja trapeces tuvumā var aprakstīt apli, tas ir vienādsānu.
6. No vienādsānu trapeces pazīmēm izriet trapeces augstuma īpašība: ja tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, tad augstuma garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas: h = (a + b)/2.
7. Caur trapeces pamatu viduspunktiem atkal novelk taisni TX - vienādsānu trapecē tā ir perpendikulāra pamatiem. Un tajā pašā laikā TX ir vienādsānu trapeces simetrijas ass.
8. Šoreiz zemāks līdz lielākajai pamatnei (sauksim to par a) augstumu no trapeces pretējās virsotnes. Jūs saņemsiet divus griezumus. Viena garumu var atrast, ja saskaita pamatņu garumus un sadala uz pusēm: (a+b)/2. Otro mēs iegūstam, kad no lielākās bāzes atņemam mazāko un iegūto starpību sadalām ar diviem: (a – b)/2.

Aplī ierakstītas trapeces īpašības

Tā kā mēs jau runājam par trapecveida formu, kas ierakstīta aplī, tad pakavēsimies pie šī jautājuma sīkāk. Jo īpaši, kur ir apļa centrs attiecībā pret trapecveida formu. Arī šeit ieteicams nebūt slinkam paņemt rokās zīmuli un uzzīmēt ko tiks apspriests zemāk. Tātad jūs ātrāk sapratīsit un labāk atcerēsities.

1. Apļa centra atrašanās vietu nosaka trapecveida diagonāles slīpuma leņķis uz sāniem. Piemēram, no trapeces augšdaļas taisnā leņķī pret sāniem var parādīties diagonāle. Šajā gadījumā lielākā bāze krustojas ar ierobežotā apļa centru precīzi vidū (R = ½AE).
2. Diagonāle un sāni var satikties zem akūts leņķis- tad apļa centrs atrodas trapeces iekšpusē.
3. Ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trapeces, aiz tās lielā pamata, ja starp trapeces diagonāli un sānu malu ir strups leņķis.
4. Leņķis, ko veido trapeces ACME diagonāle un lielā pamatne (ierakstītais leņķis), ir puse no tam atbilstošā centrālā leņķa: MAE = ½ MY.
5. Īsumā par diviem veidiem, kā atrast ierobežotā apļa rādiusu. Pirmā metode: uzmanīgi apskatiet savu zīmējumu - ko jūs redzat? Jūs viegli pamanīsit, ka diagonāle sadala trapeci divos trīsstūros. Rādiusu var atrast, izmantojot trijstūra malas attiecību pret pretējā leņķa sinusu, reizinot ar divi. Piemēram, R \u003d AE / 2 * sinAME. Līdzīgi formulu var uzrakstīt jebkurai no abu trīsstūru malām.
6. Otrā metode: mēs atrodam ierobežotā apļa rādiusu caur trijstūra laukumu, ko veido trapeces diagonāle, mala un pamatne: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ap apli norobežotas trapeces īpašības

Jūs varat ierakstīt apli trapecē, ja ir izpildīts viens nosacījums. Vairāk par to zemāk. Un kopā šai figūru kombinācijai ir vairākas interesantas īpašības.

1. Ja aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tā viduslīnijas garumu var viegli atrast, saskaitot malu garumus un iegūto summu dalot uz pusēm: m = (c + d)/2.
2. Trapecveida ACME, kas apzīmēts ap apli, pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu: AK + ME = KM + AE.
3. No šīs trapeces pamatu īpašības izriet apgriezts apgalvojums: tajā trapecveidā var ierakstīt apli, kura pamatu summa ir vienāda ar malu summu.
4. Trapecē ierakstītais riņķa rādiusa r pieskares punkts sadala sānu malu divos segmentos, sauksim tos par a un b. Apļa rādiusu var aprēķināt, izmantojot formulu: r = √ab.
5. Un vēl viens īpašums. Lai neapjuktu, uzzīmējiet šo piemēru pats. Mums ir vecā labā ACME trapece, kas apvilkta ap apli. Tajā ievilktas diagonāles, kas krustojas punktā O. Trijstūri AOK un EOM, ko veido diagonāļu un malu nogriežņi, ir taisnstūrveida.
   Šo trīsstūru augstumi, nolaisti līdz hipotenūzām (t.i., trapeces malām), sakrīt ar ierakstītā apļa rādiusiem. Un trapeces augstums ir tāds pats kā ierakstītā apļa diametrs.

Taisnstūra trapeces īpašības

Trapecveida formu sauc par taisnstūrveida formu, kuras viens no stūriem ir taisns. Un tā īpašības izriet no šī apstākļa.

1. Taisnstūra trapeces viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm.
2. Trapeces augstums un sānu mala, kas atrodas blakus pareizā leņķī, ir vienādi. Tas ļauj aprēķināt taisnstūra trapeces laukumu (vispārējā formula S = (a + b) * h/2) ne tikai caur augstumu, bet arī caur malu, kas atrodas blakus taisnam leņķim.
3. Taisnstūra trapecveida formai ir svarīgas jau iepriekš aprakstītās trapeces diagonāļu vispārīgās īpašības.

Dažu trapeces īpašību pierādījumi

Leņķu vienādība vienādsānu trapeces pamatnē:

• Jūs droši vien jau uzminējāt, ka šeit mums atkal ir vajadzīga ACME trapece - uzzīmējiet vienādsānu trapeci. Novelciet līniju MT no virsotnes M paralēli AK malai (MT || AK).

Iegūtais četrstūris AKMT ir paralelograms (AK || MT, KM || AT). Tā kā ME = KA = MT, ∆ MTE ir vienādsānu un MET = MTE.

AK || MT, tāpēc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kur AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tagad, pamatojoties uz vienādsānu trapeces īpašību (diagonāļu vienādība), mēs pierādām, ka trapece ACME ir vienādsānu:

• Sākumā novelkam taisnu līniju МХ – МХ || KE. Mēs iegūstam paralelogramu KMHE (bāze - MX || KE un KM || EX).

∆AMH ir vienādsānu, jo AM = KE = MX un MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, tāpēc MAE = MXE.

Izrādījās, ka trijstūri AKE un EMA ir vienādi viens ar otru, jo AM \u003d KE un AE ir abu trīsstūru kopējā mala. Un arī MAE \u003d MXE. Varam secināt, ka AK = ME, un no tā izriet, ka trapece AKME ir vienādsānu.

Uzdevums, kas jāatkārto

Trapecveida ACME pamati ir 9 cm un 21 cm, KA mala, kas vienāda ar 8 cm, veido 150 0 leņķi ar mazāku pamatni. Jums jāatrod trapeces laukums.

Risinājums: No virsotnes K nolaižam augstumu līdz lielāka zeme trapecveida. Un sāksim aplūkot trapeces leņķus.

Leņķi AEM un KAN ir vienpusēji. Tas nozīmē, ka tie tiek pievienoti līdz 1800. Tāpēc KAN = 30 0 (pamatojoties uz trapeces leņķu īpašību).

Apsveriet tagad taisnstūrveida ∆ANK (manuprāt, šis punkts ir acīmredzams lasītājiem bez papildu pierādījumiem). No tā mēs atrodam trapeces KH augstumu - trijstūrī tā ir kāja, kas atrodas pretī 30 0 leņķim. Tāpēc KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Trapeces laukumu nosaka pēc formulas: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pēcvārds

Ja rūpīgi un pārdomāti izpētījāt šo rakstu, nebija pārāk slinks, lai ar zīmuli rokās uzzīmētu trapeces visām iepriekšminētajām īpašībām un analizētu tās praksē, jums vajadzēja labi apgūt materiālu.

Protams, šeit ir daudz informācijas, daudzveidīga un dažreiz pat mulsinoša: nav tik grūti sajaukt aprakstītās trapeces īpašības ar ierakstītās īpašības. Bet jūs pats redzējāt, ka atšķirība ir milzīga.

Tagad jums ir detalizēts visu kopsavilkums kopīgas īpašības trapecveida. Kā arī specifiskas īpašības un īpatnības vienādsānu un taisnstūrveida trapecveida formām. Tas ir ļoti ērti lietojams, lai sagatavotos ieskaitēm un eksāmeniem. Izmēģiniet to pats un kopīgojiet saiti ar draugiem!

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Trapeces viduslīnijas jēdziens

Vispirms atcerēsimies, kādu figūru sauc par trapecveida formu.

1. definīcija

Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Šajā gadījumā paralēlās malas sauc par trapeces pamatiem, nevis paralēlas - par trapeces malām.

2. definīcija

Trapeces viduslīnija ir līnijas segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.

Trapeces viduslīnijas teorēma

Tagad mēs ieviešam teorēmu par trapeces viduslīniju un pierāda to ar vektoru metodi.

1. teorēma

Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatiem un vienāda ar pusi to summas.

Pierādījums.

Dota mums trapece $ABCD$ ar bāzēm $AD\ un\ BC$. Un lai $MN$ ir šīs trapeces viduslīnija (1. att.).

1. attēls. Trapeces viduslīnija

Pierādīsim, ka $MN||AD\ un\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Apsveriet vektoru $\overrightarrow(MN)$. Tālāk mēs izmantojam daudzstūru likumu vektoru pievienošanai. No vienas puses, mēs to saņemam

Citā pusē

Saskaitot pēdējās divas vienādības, mēs iegūstam

Tā kā $M$ un $N$ ir trapeces malu viduspunkti, mums ir

Mēs iegūstam:

Līdz ar to

No tās pašas vienlīdzības (tā kā $\overrightarrow(BC)$ un $\overrightarrow(AD)$ ir līdzvirziena un līdz ar to kolineāri), mēs iegūstam, ka $MN||AD$.

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevumu piemēri par trapeces viduslīnijas jēdzienu

1. piemērs

Trapeces malas ir attiecīgi $15\cm$ un $17\cm$. Trapeces perimetrs ir $52\cm$. Atrodiet trapeces viduslīnijas garumu.

Risinājums.

Trapeces viduslīniju apzīmē ar $n$.

Malu summa ir

Tāpēc, tā kā perimetrs ir $ 52\ cm $, bāzu summa ir

Tādējādi ar 1. teorēmu iegūstam

Atbilde:$10\cm$.

2. piemērs

Apļa diametra gali ir attiecīgi $9$ cm un $5$ cm no tā pieskares Atrodiet šī apļa diametru.

Risinājums.

Dosim mums apli ar centru $O$ un diametru $AB$. Uzzīmējiet tangensu $l$ un izveidojiet attālumus $AD=9\ cm$ un $BC=5\ cm$. Uzzīmēsim rādiusu $OH$ (2. att.).

2. attēls.

Tā kā $AD$ un $BC$ ir attālumi līdz pieskarei, tad $AD\bot l$ un $BC\bot l$ un tā kā $OH$ ir rādiuss, tad $OH\bot l$, tātad $OH | \left|AD\right||BC$. No tā visa mēs iegūstam, ka $ABCD$ ir trapece, bet $OH$ ir tās viduslīnija. Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

Četrstūri.

§ 49. TRAPĒCIJA.

Četrstūri, kurā divas pretējās malas ir paralēlas un pārējās divas nav paralēlas, sauc par trapecveida formu.

252. zīmējumā četrstūris ABDC AB || CD, AC || B.D. ABDC - trapece.

Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatojums; AB un CD ir trapeces pamati. Pārējās divas puses sauc puses trapece; AC un BD ir trapeces malas.

Ja malas ir vienādas, tad sauc trapecveida formu vienādsānu.

Trapece ABOM ir vienādsānu, jo AM=BO (253. att.).

Tiek saukta trapece, kurā viena no malām ir perpendikulāra pamatnei taisnstūrveida(dev. 254).

Trapeces viduslīnija ir segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.

Teorēma. Trapeces viduslīnija ir paralēla katrai tās pamatnei un ir vienāda ar to pussummu.

Dots: OS - ABDK trapeces vidējā līnija, t.i. OK \u003d OA un BC \u003d CD (255. att.).

Mums jāpierāda:

1) OS || KD un OS || AB;
2)

Pierādījums. Caur punktiem A un C novelciet līniju, kas krusto pamatnes KD turpinājumu kādā punktā E.

Trijstūros ABC un DCE:
BC \u003d CD - pēc nosacījuma;
/ 1 = / 2 kā vertikāli,
/ 4 = / 3, kā iekšējais šķērsvirziena guļus ar paralēlu AB un KE un nogriezni BD. Tāpēc /\ ABC = /\ DSE.

Tādējādi AC = CE, t.i. OS ir trijstūra KAE viduslīnija. Tādējādi (48. §):

1) OS || KE un līdz ar to OS || KD un OS || AB;
2) , bet DE \u003d AB (no trijstūra ABC un DCE vienādības), tāpēc segmentu DE var aizstāt ar segmentu AB, kas ir vienāds ar to. Tad mēs iegūstam:

Teorēma ir pierādīta.

Vingrinājumi.

1. Pierādiet, ka summa iekšējie stūri trapece, kas atrodas blakus katrai pusei, ir 2 d.

2. Pierādīt, ka vienādsānu trapeces pamatnes leņķi ir vienādi.

3. Pierādīt, ja trapeces leņķi pie pamatnes ir vienādi, tad šī trapece ir vienādsānu.

4. Pierādīt, ka vienādsānu trapeces diagonāles ir vienādas viena ar otru.

5. Pierādīt, ja trapeces diagonāles ir vienādas, tad šī trapece ir vienādsānu.

6. Pierādīt, ka figūras perimetrs, ko veido nogriežņi, kas savieno četrstūra malu viduspunktus, ir ir vienāda ar summušī četrstūra diagonāles.

7. Pierādīt, ka taisne, kas iet caur trapeces vienas malas vidu paralēli tās pamatiem, sadala trapeces otru malu uz pusēm.

Tiek saukts četrstūris, kuram ir tikai divas paralēlas malas trapece.

Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatojums, un tiek sauktas tās malas, kas nav paralēlas puses. Ja malas ir vienādas, tad šāda trapece ir vienādsānu. Attālumu starp pamatnēm sauc par trapeces augstumu.

Trapeces viduslīnija

Vidējā līnija ir segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus. Trapeces viduslīnija ir paralēla tās pamatiem.

Teorēma:

Ja taisne, kas krusto vienas malas vidu, ir paralēla trapeces pamatiem, tad tā sadala uz pusēm trapeces otro malu.

Teorēma:

Viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko

MN viduslīnija, AB un CD - pamatnes, AD un BC - malas

MN=(AB+DC)/2

Teorēma:

Trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko.

Galvenais uzdevums: Pierādīt, ka trapeces viduslīnija sadala uz pusēm segmentu, kura gali atrodas trapeces pamatu vidū.

Trīsstūra vidējā līnija

Līnijas posmu, kas savieno trijstūra abu malu viduspunktus, sauc par trijstūra viduslīniju. Tas ir paralēls trešajai malai, un tā garums ir puse no trešās malas garuma.
Teorēma: Ja taisne, kas krusto trijstūra vienas malas viduspunktu, ir paralēla dotā trijstūra otrai malai, tad tā sadala trešo malu uz pusēm.

AM = MC un BN = NC =>

Trīsstūra un trapecveida viduslīnijas īpašību piemērošana

Segmenta sadalīšana noteiktā skaitā vienādās daļās.
Uzdevums: Sadaliet segmentu AB 5 vienādās daļās.
Risinājums:
Lai p ir nejaušs stars, kura sākums ir punkts A un kas neatrodas uz taisnes AB. Mēs secīgi noliekam malā 5 vienādus segmentus uz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Mēs savienojam A 5 ar B un novelkam līnijas caur A 4 , A 3 , A 2 un A 1, kas ir paralēlas A 5 B. Tās krustojas AB attiecīgi B 4 , B 3 , B 2 un B 1 . Šie punkti sadala segmentu AB 5 vienādās daļās. Patiešām, no trapeces BB 3 A 3 A 5 mēs redzam, ka BB 4 = B 4 B 3 . Tādā pašā veidā no trapeces B 4 B 2 A 2 A 4 iegūstam B 4 B 3 = B 3 B 2

Kamēr no trapeces B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tad no B 2 AA 2 izriet, ka B 2 B 1 = B 1 A. Noslēgumā mēs iegūstam:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ir skaidrs, ka, lai sadalītu segmentu AB citā vienādās daļās, mums ir jāprojicē vienāds skaits vienādu segmentu uz staru p. Un pēc tam turpiniet iepriekš aprakstītajā veidā.