Ko nozīmē norādīt funkciju vērtību kopu. Funkcijas vērtību kopas atrašana

Funkcija ir modelis. Definēsim X kā neatkarīga mainīgā vērtību kopu // neatkarīgs nozīmē jebkuru.

Funkcija ir noteikums, ar kura palīdzību katrai neatkarīgā mainīgā vērtībai no kopas X var atrast unikālu atkarīgā mainīgā vērtību. // t.i. uz katru x ir viens y.

No definīcijas izriet, ka ir divi jēdzieni - neatkarīgais mainīgais (kuru mēs apzīmējam ar x un tas var iegūt jebkuru vērtību) un atkarīgais mainīgais (kuru mēs apzīmējam ar y vai f (x) un tas tiek aprēķināts no funkcijas, kad mēs aizstājam x).

PIEMĒRAM y=5+x

1. Neatkarīgs ir x, kas nozīmē, ka mēs pieņemam jebkuru vērtību, pieņemsim, ka x=3

2. Tagad aprēķināsim y, kas nozīmē y=5+x=5+3=8. (y ir atkarīgs no x, jo neatkarīgi no tā, ko x mēs aizstājam, mēs iegūstam to pašu y)

Tiek uzskatīts, ka mainīgais y ir funkcionāli atkarīgs no mainīgā x, un to apzīmē šādi: y = f (x).

PIEMĒRAM.

1.y=1/x. (saukta par hiperbolu)

2. y=x^2. (saukta par parabolu)

3.y=3x+7. (saukta par taisnu līniju)

4. y= √ x. (saukta parabolas zars)

Neatkarīgo mainīgo (ko mēs apzīmējam ar x) sauc par funkcijas argumentu.

Funkciju domēns

Visu vērtību kopu, ko izmanto funkcijas arguments, sauc par funkcijas domēnu un apzīmē ar D(f) vai D(y).

Apsveriet D(y) 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) un (0;+∞) //visa reālo skaitļu kopa, izņemot nulli.

2. D (y)= (∞; +∞)//viss reālo skaitļu skaits

3. D (y)= (∞; +∞)//viss reālo skaitļu skaits

4. D(y)=. Atradīsim šī segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

Atvasinājums ir pozitīvs visiem x no intervāla (-1; 1) , tas ir, arcsine funkcija palielinās visā definīcijas jomā. Tāpēc tiek ņemta mazākā vērtība, kad x = -1, un lielākais plkst x = 1.

Mēs esam ieguvuši arksīna funkcijas diapazonu .

Atrodiet funkciju vērtību kopu segmentā .

Risinājums.

Atradīsim lielāko un mazāko funkcijas vērtību dotajā segmentā.

Nosakīsim segmentam piederošos galējības punktus :

Daudzas problēmas liek mums meklēt funkciju vērtību kopu noteiktā segmentā vai visā definīcijas jomā. Pie šādiem uzdevumiem pieder dažādi izteiksmju izvērtējumi un nevienlīdzību risināšana.

Šajā rakstā mēs definēsim funkcijas vērtību diapazonu, apsvērsim metodes tā atrašanai un detalizēti analizēsim piemēru risinājumu no vienkārša līdz sarežģītākam. Viss materiāls skaidrības labad tiks nodrošināts ar grafiskām ilustrācijām. Tātad šis raksts ir detalizēta atbilde uz jautājumu par to, kā atrast funkcijas diapazonu.

Definīcija.

Funkcijas y = f(x) vērtību kopa intervālā X ir visu funkcijas vērtību kopa, kas tai nepieciešama, atkārtojot visas .

Definīcija.

Funkciju diapazons y = f(x) ir visu funkcijas vērtību kopa, kas tai nepieciešama, atkārtojot visu x no definīcijas domēna.

Funkcijas diapazons ir apzīmēts kā E(f) .

Funkcijas diapazons un funkcijas vērtību kopa nav viens un tas pats. Mēs uzskatīsim šos jēdzienus par līdzvērtīgiem, ja intervāls X, atrodot funkcijas y = f(x) vērtību kopu, sakrīt ar funkcijas definīcijas apgabalu.

Tāpat nejauciet funkcijas diapazonu ar mainīgo x izteiksmei vienādības y=f(x) labajā pusē. Mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazons izteiksmei f(x) ir funkcijas y=f(x) definīcijas apgabals.

Attēlā parādīti vairāki piemēri.

Funkciju grafiki ir parādīti ar biezām zilām līnijām, tievas sarkanās līnijas ir asimptotes, sarkanie punkti un līnijas uz Oy ass parāda atbilstošās funkcijas vērtību diapazonu.

Kā redzat, funkcijas vērtību diapazons tiek iegūts, projicējot funkcijas grafiku uz y asi. Tas var būt viens cipars (pirmais gadījums), skaitļu kopa (otrais gadījums), segments (trešais gadījums), intervāls (ceturtais gadījums), atvērts stars (piektais gadījums), savienība (sestais gadījums) utt. .

Tātad, kas jums jādara, lai atrastu funkcijas vērtību diapazonu?

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu: mēs parādīsim, kā segmentā noteikt nepārtrauktas funkcijas y = f(x) vērtību kopu.

Ir zināms, ka funkcija, kas nepārtraukta intervālā, sasniedz maksimālo un minimālo vērtību. Tādējādi sākotnējās funkcijas vērtību kopa segmentā būs segments . Līdz ar to mūsu uzdevums ir atrast segmentā funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Piemēram, atradīsim arksīna funkcijas vērtību diapazonu.

Piemērs.

Norādiet funkcijas y = arcsinx diapazonu.

Risinājums.

Arksīna definīcijas laukums ir segments [-1; 1]. Atradīsim šī segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

Atvasinājums ir pozitīvs visiem x no intervāla (-1; 1), tas ir, arcsinusa funkcija palielinās visā definīcijas jomā. Līdz ar to tā ņem mazāko vērtību pie x = -1 un lielāko pie x = 1.

Mēs esam ieguvuši arksīna funkcijas diapazonu .

Piemērs.

Atrodiet funkciju vērtību kopu segmentā.

Risinājums.

Atradīsim lielāko un mazāko funkcijas vērtību dotajā segmentā.

Nosakīsim segmentam piederošos galējos punktus:

Mēs aprēķinām sākotnējās funkcijas vērtības segmenta galos un punktos :

Tāpēc intervāla funkcijas vērtību kopa ir intervāls .

Tagad mēs parādīsim, kā atrast nepārtrauktas funkcijas vērtību kopu y = f(x) intervālos (a; b) , .

Pirmkārt, mēs nosakām ekstrēmuma punktus, funkcijas ekstrēmus, funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus noteiktā intervālā. Tālāk mēs aprēķinām intervāla galos un (vai) robežas bezgalībā (tas ir, mēs pētām funkcijas uzvedību pie intervāla robežām vai bezgalībā). Šī informācija ir pietiekama, lai atrastu funkciju vērtību kopu šādos intervālos.

Piemērs.

Definējiet funkciju vērtību kopu intervālā (-2; 2) .

Risinājums.

Atradīsim funkcijas galējos punktus, kas ietilpst intervālā (-2; 2):

Punkts x = 0 ir maksimālais punkts, jo, ejot cauri, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu, un funkcijas grafiks pāriet no pieaugošas uz samazinošu.

ir atbilstošs funkcijas maksimums.

Noskaidrosim funkcijas uzvedību, kad x tiecas uz -2 labajā pusē un kā x tiecas uz 2 kreisajā pusē, tas ir, mēs atrodam vienpusējas robežas:

Ko mēs ieguvām: kad arguments mainās no -2 uz nulli, funkcijas vērtības palielinās no mīnus bezgalības līdz mīnus vienai ceturtdaļai (funkcijas maksimums pie x = 0), kad arguments mainās no nulles uz 2, funkciju vērtības samazinās līdz mīnus bezgalībai. Tādējādi funkciju vērtību kopa intervālā (-2; 2) ir .

Piemērs.

Intervālā norādiet pieskares funkcijas vērtību kopu y = tgx.

Risinājums.

Intervāla pieskares funkcijas atvasinājums ir pozitīvs , kas norāda uz funkcijas palielināšanos. Izpētīsim funkcijas uzvedību pie intervāla robežām:

Tādējādi, kad arguments mainās no uz, funkcijas vērtības palielinās no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai, tas ir, pieskares vērtību kopa šajā intervālā ir visu reālo skaitļu kopa.

Piemērs.

Atrodiet naturālā logaritma funkcijas diapazonu y = lnx.

Risinājums.

Dabiskā logaritma funkcija ir definēta argumenta pozitīvajām vērtībām . Šajā intervālā atvasinājums ir pozitīvs , tas norāda uz tā funkcijas palielināšanos. Atradīsim funkcijas vienpusējo robežu, jo argumentam labajā pusē ir tendence uz nulli, bet robežai kā x ir plus bezgalība:

Mēs redzam, ka x mainās no nulles uz plus bezgalību, funkcijas vērtības palielinās no mīnus bezgalības uz plus bezgalību. Tāpēc naturālā logaritma funkcijas diapazons ir visa reālo skaitļu kopa.

Piemērs.

Risinājums.

Šī funkcija ir definēta visām x reālajām vērtībām. Noteiksim ekstrēma punktus, kā arī funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus.

Līdz ar to funkcija samazinās pie , palielinās pie , x = 0 ir maksimālais punkts, atbilstošo funkcijas maksimumu.

Apskatīsim funkcijas uzvedību bezgalībā:

Tādējādi bezgalībā funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas nullei.

Mēs noskaidrojām, ka, ja arguments mainās no mīnus bezgalības uz nulli (maksimālais punkts), funkcijas vērtības palielinās no nulles līdz deviņām (līdz funkcijas maksimumam), un, kad x mainās no nulles uz plus bezgalību, funkcijas vērtības. samazināt no deviņiem līdz nullei.

Apskatiet shematisko zīmējumu.

Tagad ir skaidri redzams, ka funkcijas vērtību diapazons ir .

Funkcijas y = f(x) vērtību kopas atrašana intervālos prasa līdzīgus pētījumus. Mēs tagad sīkāk neapspriedīsim šos gadījumus. Mēs ar viņiem atkal tiksimies tālāk minētajos piemēros.

Lai funkcijas y = f(x) definīcijas apgabals ir vairāku intervālu savienība. Atrodot šādas funkcijas vērtību diapazonu, tiek noteiktas vērtību kopas katram intervālam un tiek ņemta to savienība.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas diapazonu.

Risinājums.

Mūsu funkcijas saucējam nevajadzētu būt līdz nullei, tas ir, .

Vispirms atradīsim funkciju vērtību kopu atvērtajā starā.

Funkcijas atvasinājums ir negatīvs šajā intervālā, tas ir, funkcija tajā samazinās.

Mēs noskaidrojām, ka, tā kā argumentam ir tendence mīnus bezgalība, funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas vienotībai. Kad x mainās no mīnus bezgalības uz diviem, funkcijas vērtības samazinās no viena līdz mīnus bezgalībai, tas ir, aplūkotajā intervālā funkcija iegūst vērtību kopu. Mēs neiekļaujam vienotību, jo funkcijas vērtības to nesasniedz, bet tikai asimptotiski tiecas uz to mīnus bezgalībā.

Līdzīgi rīkojamies ar atvērto staru kūli.

Šajā intervālā funkcija arī samazinās.

Funkciju vērtību kopa šajā intervālā ir kopa .

Tādējādi vēlamais funkcijas vērtību diapazons ir kopu un .

Grafiska ilustrācija.

Īpaša uzmanība jāpievērš periodiskām funkcijām. Periodisko funkciju vērtību diapazons sakrīt ar vērtību kopu intervālā, kas atbilst šīs funkcijas periodam.

Piemērs.

Atrodiet sinusa funkcijas diapazonu y = sinx.

Risinājums.

Šī funkcija ir periodiska ar divu pi periodu. Paņemsim segmentu un definēsim tā vērtību kopu.

Segments satur divus galējības punktus un .

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības šajos punktos un uz segmenta robežām, atlasām mazākās un lielākās vērtības:

Tāpēc .

Piemērs.

Atrodiet funkcijas diapazonu .

Risinājums.

Mēs zinām, ka loka kosinusa diapazons ir segments no nulles līdz pi, tas ir, vai citā ierakstā. Funkcija var iegūt no arccosx, pārbīdot un izstiepjot pa abscisu asi. Šādas transformācijas neietekmē vērtību diapazonu, tāpēc . Funkcija iegūts no stiepjas trīs reizes pa Oy asi, tas ir, . Un pēdējais transformācijas posms ir četru vienību nobīde uz leju pa ordinātām. Tas mūs noved pie dubultas nevienlīdzības

Tādējādi nepieciešamais vērtību diapazons ir .

Sniegsim risinājumu citam piemēram, bet bez paskaidrojumiem (tie nav nepieciešami, jo ir pilnīgi līdzīgi).

Piemērs.

Definējiet funkciju diapazonu .

Risinājums.

Formā ierakstīsim sākotnējo funkciju . Jaudas funkcijas vērtību diapazons ir intervāls. Tas ir, . Tad

Tāpēc .

Lai pabeigtu attēlu, mums vajadzētu runāt par tādas funkcijas vērtību diapazona atrašanu, kas definīcijas jomā nav nepārtraukta. Šajā gadījumā definīcijas domēnu sadalām intervālos pēc pārtraukuma punktiem un katrā no tiem atrodam vērtību kopas. Apvienojot iegūtās vērtību kopas, mēs iegūstam sākotnējās funkcijas vērtību diapazonu. Mēs iesakām atcerēties 3 kreisajā pusē, funkcijas vērtībām ir tendence mīnus viens, un, tā kā x ir 3 labajā pusē, funkcijas vērtībām ir tendence palielināties ar bezgalību.

Tādējādi funkcijas definīcijas apgabalu sadalām trīs intervālos.

Intervālā mums ir funkcija . Kopš tā laika

Tādējādi sākotnējās funkcijas vērtību kopa intervālā ir [-6;2].

Pusintervālā mums ir nemainīga funkcija y = -1. Tas nozīmē, ka sākotnējās funkcijas vērtību kopa intervālā sastāv no viena elementa .

Funkcija ir definēta visām derīgajām argumentu vērtībām. Noskaidrosim funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus.

Atvasinājums pazūd pie x=-1 un x=3. Atzīmēsim šos punktus uz skaitļu līnijas un noteiksim atvasinājuma zīmes uz iegūtajiem intervāliem.

Funkcija samazinās par , palielinās par [-1; 3] , x=-1 minimālais punkts, x=3 maksimālais punkts.

Aprēķināsim atbilstošo funkcijas minimumu un maksimumu:

Pārbaudīsim funkcijas uzvedību bezgalībā:

Otrā robeža tika aprēķināta, izmantojot .

Izveidosim shematisku zīmējumu.

Kad arguments mainās no mīnus bezgalības uz -1, funkcijas vērtības samazinās no plus bezgalības līdz -2e, kad arguments mainās no -1 uz 3, funkcijas vērtības palielinās no -2e līdz, kad arguments mainās no 3 līdz plus bezgalībai, funkciju vērtības samazinās no līdz nullei, taču tās nesasniedz nulli.

Tiek saukta viena mainīgā atkarība no cita funkcionālā atkarība. Atkarības mainīgais y no mainīgā x sauca funkciju, ja katra vērtība x atbilst vienai vērtībai y.

Apzīmējums:

Mainīgs x sauc par neatkarīgo mainīgo vai arguments, un mainīgais y- atkarīgs. Viņi to saka y ir funkcija x. Nozīme y, kas atbilst norādītajai vērtībai x, zvanīja funkcijas vērtība.

Visas vērtības, ko tā pieņem x, forma funkcijas domēns; visas nepieciešamās vērtības y, forma funkciju vērtību kopa.

Apzīmējumi:

D(f)- argumentu vērtības. E(f)- funkciju vērtības. Ja funkcija ir dota ar formulu, tiek uzskatīts, ka definīcijas domēns sastāv no visām mainīgā vērtībām, kurām šī formula ir jēga.

Funkciju grafiks ir visu koordinātu plaknes punktu kopa, kuru abscises ir vienādas ar argumenta vērtībām un kuru ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām. Ja kāda vērtība x=x 0 atbilst vairākām vērtībām (ne tikai vienai) y, tad šāda sarakste nav funkcija. Lai punktu kopa koordinātu plaknē būtu noteiktas funkcijas grafiks, ir nepieciešams un pietiekami, lai jebkura Oy asij paralēla taisne krustotos ar grafiku ne vairāk kā vienā punktā.

Funkcijas noteikšanas metodes

1) Funkciju var iestatīt analītiski formulas veidā. Piemēram,

2) Funkciju var norādīt ar daudzu pāru tabulu (x; y).

3) Funkciju var norādīt grafiski. Vērtību pāri (x; y) ir attēloti koordinātu plaknē.

Funkcijas monotonitāte

Funkcija f(x) sauca pieaug dotajā skaitliskā intervālā, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai. Iedomājieties, ka noteikts punkts pārvietojas pa grafiku no kreisās puses uz labo. Tad šķiet, ka punkts "kāpj" diagrammā.

Funkcija f(x) sauca samazinās dotajā skaitliskā intervālā, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai. Iedomājieties, ka noteikts punkts pārvietojas pa grafiku no kreisās puses uz labo. Tad šķiet, ka punkts "ritēs" uz leju diagrammā.

Tiek izsaukta funkcija, kas tikai palielinās vai tikai samazinās noteiktā skaitliskā intervālā vienmuļššajā intervālā.

Funkcijas nulles un konstantes zīmes intervāli

Vērtības X, pie kura y=0, zvanīja funkciju nulles. Tās ir funkcijas grafika krustošanās punktu abscises ar Vērša asi.

Tādi vērtību diapazoni x, kurā funkcijas vērtības y tiek saukti tikai pozitīvi vai tikai negatīvi funkcijas pastāvīgās zīmes intervāli.

Pāra un nepāra funkcijas

Vienmērīga funkcija
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0), tas ir, ja punkts a pieder definīcijas jomai, tad punktam -a arī pieder definīcijas jomai.
2) par jebkuru vērtību x f(-x)=f(x)
3) Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret Oy asi.

Nepāra funkcija ir šādas īpašības:
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0).
2) jebkurai vērtībai x, kas pieder definīcijas jomai, vienlīdzība f(-x)=-f(x)
3) Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret izcelsmi (0; 0).

Ne katra funkcija ir pāra vai nepāra. Funkcijas vispārējs skats nav ne pāra, ne nepāra.

Periodiskas funkcijas

Funkcija f tiek saukts par periodisku, ja ir tāds skaitlis, ka jebkuram x no definīcijas jomas vienlīdzība f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ir funkcijas periods.

Katrai periodiskai funkcijai ir bezgalīgs periodu skaits. Praksē parasti tiek ņemts vērā mazākais pozitīvais periods.

Periodiskās funkcijas vērtības tiek atkārtotas pēc intervāla, kas vienāds ar periodu. To izmanto, veidojot grafikus.

Šodien nodarbībā pievērsīsimies vienam no matemātikas pamatjēdzieniem - funkcijas jēdzienam; Sīkāk apskatīsim vienu no funkcijas īpašībām – tās vērtību kopu.

Nodarbības progress

Skolotājs. Risinot problēmas, mēs pamanām, ka dažkārt tieši funkcijas vērtību kopas atrašana mūs nostāda sarežģītās situācijās. Kāpēc? Šķiet, ka, mācoties funkciju kopš 7. klases, mēs par to zinām diezgan daudz. Tāpēc mums ir viss iemesls aktīvi rīkoties. Šodien “paspēlēsimies” ar daudzām funkciju vērtībām, lai nākamajā eksāmenā atbildētu uz daudziem jautājumiem par šo tēmu.

Elementāro funkciju vērtību kopas

Skolotājs. Pirmkārt, jums ir jāatkārto elementāro pamatfunkciju grafiki, vienādojumi un vērtību kopas visā definīcijas jomā.

Uz ekrāna tiek projicēti funkciju grafiki: lineāri, kvadrātiski, daļēji racionāli, trigonometriski, eksponenciāli un logaritmiski, katram no tiem verbāli tiek noteikts vērtību kopums. Pievērsiet studentu uzmanību faktam, ka lineārā funkcija E(f) = R vai viens skaitlis daļējai lineārai

Tas ir mūsu alfabēts. Pievienojot tai savas zināšanas par grafu transformācijām: paralēlo tulkošanu, stiepšanu, saspiešanu, refleksiju, varēsim atrisināt pirmās daļas problēmas. Vienotais valsts eksāmens ir pat nedaudz grūtāks. Pārbaudīsim to.

Patstāvīgs darbs

U Katram skolēnam tiek izdrukāti uzdevumu termini un koordinātu sistēmas.

1. Atrodiet funkciju vērtību kopu visā definīcijas domēnā:

A) y= 3 grēks X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
d)

2. Atrodiet funkciju vērtību kopu y = x 2 pa vidu Dž, Ja:

A) Dž = ;
b) Dž = [–1; 5).

3. Definējiet funkciju analītiski (ar vienādojumu), ja tās vērtību kopa ir:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] un f(x) - funkcija

a) kvadrātveida,
b) logaritmisks,
c) demonstratīvs;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Apspriežot uzdevumu 2patstāvīgais darbs, vērst studentu uzmanību uz to, ka funkcijas y monotonitātes un nepārtrauktības gadījumā=f(x)noteiktā intervālā[a;b],tās daudzās nozīmes-intervāls,kuru galos ir f vērtības(a)un f(b).

Uzdevuma atbilžu iespējas 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 plkst A < 0.

b) y= –| žurnāls 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Kur x ≠ 1 .

Vairāku funkcijas vērtību atrašana, izmantojot atvasinājumu

Skolotājs. 10. klasē iepazināmies ar algoritmu, kā atrast segmentā nepārtrauktas funkcijas ekstrēmu un atrast tās vērtību kopu, nepaļaujoties uz funkcijas grafiku. Atcerieties, kā mēs to izdarījām? ( Izmantojot atvasinājumu.) Atcerēsimies šo algoritmu .

Problēmas, kas saistītas ar šī algoritma izmantošanu, ir atrodamas vienotā valsts eksāmena versijās. Piemēram, 2008. gadā šāds uzdevums tika piedāvāts. Jums tas ir jāatrisina Mājas .

Uzdevums C1. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

pie | x + 1| ≤ 3.

Katram skolēnam tiek izdrukāti mājasdarbu nosacījumi .

Sarežģītas funkcijas vērtību kopas atrašana

Skolotājs. Mūsu nodarbības galvenā daļa būs nestandarta uzdevumi, kas satur sarežģītas funkcijas, kuru atvasinājumi ir ļoti sarežģītas izteiksmes. Un šo funkciju grafiki mums nav zināmi. Tāpēc, lai atrisinātu, mēs izmantosim sarežģītas funkcijas definīciju, tas ir, atkarību starp mainīgajiem to ligzdošanas secībā noteiktā funkcijā un to vērtību diapazona novērtējumu (to izmaiņu intervālu). vērtības). Šāda veida problēmas ir atrodamas Vienotā valsts eksāmena otrajā daļā. Apskatīsim dažus piemērus.

1. uzdevums. Funkcijām y = f(x) Un y = g(x) uzrakstiet sarežģītu funkciju y = f(g(x)) un atrodiet tās vērtību kopu:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = grēks x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = žurnāls 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Risinājums. a) Sarežģītajai funkcijai ir šāda forma: y= – grēks 2 x+ 2 grēks x + 3.

Iepazīstinām ar starpposma argumentu t, mēs varam uzrakstīt šo funkciju šādi:

y= –t 2 + 2t+ 3, kur t= grēks x.

Pie iekšējās funkcijas t= grēks x arguments pieņem jebkuras vērtības, un tā vērtību kopa ir segments [–1; 1].

Tādējādi ārējai funkcijai y = –t 2 +2t+ 3 mēs noskaidrojām tā argumenta vērtību maiņas intervālu t: t[–1; 1]. y = –t 2 +2t + 3.

Apskatīsim funkcijas grafiku t Mēs atzīmējam, ka kvadrātiskā funkcija plkst y[–1; 1] tā galos ņem mazākās un lielākās vērtības: y vārds = y(–1) = 0 un y naib =

(1) = 4. Un tā kā šī funkcija ir nepārtraukta intervālā [–1; 1], tad tas pieņem visas vērtības starp tām.: y .

Atbilde

y= –t 2 + 2t+ 3, kur t b) Šo funkciju sastāvs noved mūs pie sarežģītas funkcijas, kuru pēc starpposma argumenta ieviešanas var attēlot šādi: x,

= žurnāls 7 t Funkcija x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

= žurnāls 7 y = –t 2 + 2t= žurnāls 7 t+ 3 (skat. grafiku) arguments

(1) = 4. Un tā kā šī funkcija ir nepārtraukta intervālā [–1; 1], tad tas pieņem visas vērtības starp tām.: y (–∞ ; 4].

ņem jebkuras vērtības, un pati kvadrātiskā funkcija visas vērtības ņem ne vairāk kā 4.

c) Sarežģītajai funkcijai ir šāda forma:

Ieviešot starpposma argumentu, mēs iegūstam: t = x 2 + 1.

Kur x R Tā kā iekšējai funkcijai t .

(1) = 4. Un tā kā šī funkcija ir nepārtraukta intervālā [–1; 1], tad tas pieņem visas vērtības starp tām.: y (0; 3].

, A

d) Šo divu funkciju sastāvs dod mums sarežģītu funkciju

ko var uzrakstīt kā

Ņemiet vērā, ka

Ieviešot starpposma argumentu, mēs iegūstam: Tātad, kad k , t [–1; 0) (0; 1].

Z Uzzīmējot funkcijas grafiku t

y mēs to redzam ar šīm vērtībām

(–∞ ; –4] c ;

Risinājums. b) visā definīcijas apgabalā. t Pirmkārt, mēs pārbaudām šīs funkcijas monotonitāti. Funkcija x= arcctg R - nepārtraukti un samazinās par y un tā vērtību kopa (0; π). Funkcija t= žurnāls 5 R ir definēts uz intervāla (0; π), ir nepārtraukts un palielinās uz tā. Tas nozīmē, ka šī sarežģītā funkcija komplektā samazinās R .

. Un tas kā divu nepārtrauktu funkciju sastāvs būs nepārtraukti ieslēgts

Atrisināsim uzdevumu "a".

Tā kā funkcija ir nepārtraukta visā skaitļu rindā, tā ir nepārtraukta jebkurā tās daļā, jo īpaši noteiktā segmentā. Un tad tam ir mazākās un lielākās vērtības šajā segmentā un tiek ņemtas visas vērtības starp tām:

Kura no iegūtajām vērtībām ir lielāka? Kāpēc? Un kāda būs vērtību kopa?

Atbilde:

Atrisināsim uzdevumu "b".

Atbilde: plkst(–∞ ; log 5 π) visā definīcijas apgabalā.

Problēma ar parametru

Tagad mēģināsim izveidot un atrisināt vienkāršu vienādojumu ar formas parametru f(x) = a, Kur f(x) - tāda pati funkcija kā 4. uzdevumā.

5. uzdevums. Nosakiet vienādojuma sakņu skaitu log 5 (arcctg x) = A katrai parametra vērtībai A.

Risinājums. Kā mēs jau esam parādījuši 4. uzdevumā, funkcija plkst= log 5(arcctg x) - samazinās un ir nepārtraukti ieslēgts R un ņem vērtības, kas mazākas par log 5 π. Šī informācija ir pietiekama, lai sniegtu atbildi.

Atbilde: Ja A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ja A≥ log 5 π, tad nav sakņu.

Skolotājs. Šodien mēs apskatījām problēmas, kas saistītas ar funkcijas vērtību kopas atrašanu. Šajā ceļā mēs atklājām jaunu vienādojumu un nevienādību risināšanas metodi - aplēses metodi, tāpēc funkcijas vērtību kopas atrašana kļuva par līdzekli augstāka līmeņa problēmu risināšanai. To darot, mēs redzējām, kā šādas problēmas tiek konstruētas un kā funkcijas monotonitātes īpašības atvieglo to risināšanu.

Un es gribētu cerēt, ka loģika, kas savienoja šodien apspriestos uzdevumus, jūs pārsteidza vai vismaz pārsteidza. Citādi nevar būt: uzkāpšana jaunā virsotnē nevienu neatstāj vienaldzīgu! Pamanām un novērtējam skaistas gleznas, skulptūras u.c. Taču arī matemātikā ir savs skaistums, pievilcīgs un valdzinošs – loģikas skaistums. Matemātiķi saka, ka skaists risinājums parasti ir pareizs risinājums, un tā nav tikai frāze. Tagad tādi risinājumi jāatrod pašiem, un mēs šodien esam norādījuši vienu no ceļiem uz tiem. Lai tev veicas! Un atcerieties: tas, kurš iet, pārvaldīs ceļu!