4 trigonometriskās funkcijas. Pamata trigonometriskās identitātes

Šajā rakstā mēs to aplūkosim vispusīgi. Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskās funkcijas caur zināmu citu.

Nekavējoties uzskaitīsim galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Pierakstīsim tos tabulā, un tālāk mēs sniegsim šo formulu rezultātus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus.

Lapas navigācija.

Attiecība starp viena leņķa sinusu un kosinusu

Dažreiz viņi nerunā par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns . Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no galvenās trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas attiecīgi ar un, un vienādības Un izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Par to sīkāk runāsim turpmākajos punktos.

Tas ir, īpaši interesē vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.

Pirms galvenās trigonometriskās identitātes pierādīšanas mēs sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.

Pamata trigonometriskā identitāte ļoti bieži tiek izmantota, kad transformācija trigonometriskās izteiksmes . Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne mazāk bieži tiek izmantota pamata trigonometriskā identitāte apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.

Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu

Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar viena skata leņķa sinusu un kosinusu un nekavējoties izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, , un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, .

Pateicoties šādai identitāšu acīmredzamībai un Tangensu un kotangensu bieži definē nevis ar abscisu un ordinātu attiecību, bet gan ar sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa tangenss ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, un kotangenss ir kosinusa attiecība pret sinusu.

Noslēdzot šo punktu, jāatzīmē, ka identitātes un notiek visiem leņķiem, kuros tajos ietvertajām trigonometriskajām funkcijām ir jēga. Tātad formula ir derīga jebkuram , izņemot (pretējā gadījumā saucējam būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .

Attiecības starp tangensu un kotangensu

Vēl acīmredzamāk trigonometriskā identitāte nekā iepriekšējie divi, ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu . Ir skaidrs, ka tas attiecas uz visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.

Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes . Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš , Tas .

Tātad tā paša leņķa tangenss un kotangenss, kurā tiem ir jēga, ir .

Ja tika izskatītas taisnleņķa trijstūra risināšanas problēmas, es apsolīju iepazīstināt ar paņēmienu, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura puse pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Es nolēmu to pārāk ilgi neatlikt, nepieciešamais materiāls zemāk, lūdzu, izlasiet 😉

Fakts ir tāds, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11. klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kura- viņi aizmirst un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts punkts.

Informācijai, ko es sniegšu tieši, nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir saistīts ar tēlaino domāšanu un verbāli-loģiskās komunikācijas metodēm. Tieši tā es to atceros, reizi par visām reizēmdefinīcijas dati. Ja tos aizmirstat, vienmēr varat tos viegli atcerēties, izmantojot piedāvātās metodes.

Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trijstūrī:

Kosinuss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Sinus Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

Tātad, kādas asociācijas jums ir ar vārdu kosinuss?

Droši vien katram ir savs 😉Atcerieties saiti:

Tādējādi izteiciens nekavējoties parādīsies jūsu atmiņā -

«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».

Problēma ar kosinusa noteikšanu ir atrisināta.

Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas, ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad ar sinusu paliek tikai pretējā kāja.

Kā ar tangensu un kotangensu? Apjukums ir tāds pats. Skolēni zina, ka tās ir kāju attiecības, taču problēma ir atcerēties, uz kuru no tām attiecas – vai nu pretējo blakus esošajai, vai otrādi.

Definīcijas:

Pieskares Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu:

Kotangenss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:

Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisko savienojumu, otrs izmanto matemātisko.

MATEMĀTISKĀ METODE

Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

*Iegaumējot formulu, jūs vienmēr varat noteikt, ka akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus malu.

Tāpat.Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:

Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:

- asa leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus malu

— asa leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus malas attiecība pret pretējo malu.

VĀRDU-LOĢISKĀ METODE

Par tangensu. Atcerieties saiti:

Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, varat viegli atcerēties, kas tas ir

“...pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi”

Ja mēs runājam par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -

“... blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi”

Tīmekļa vietnē ir interesants triks, kā atcerēties tangensu un kotangentu " Matemātiskais tandēms " , paskaties.

UNIVERSĀLĀ METODE

Jūs varat to vienkārši iegaumēt.Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.

Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Es nemēģināšu tevi pārliecināt, lai neraksti krāpšanās lapas. Rakstiet! Ieskaitot apkrāptu lapas par trigonometriju. Vēlāk plānoju paskaidrot, kāpēc ir vajadzīgas krāpšanās lapas un kāpēc tās ir noderīgas. Un šeit ir informācija par to, kā nevis mācīties, bet atcerēties dažus trigonometriskās formulas. Tātad - trigonometrija bez krāpšanās lapas Mēs iegaumēšanai izmantojam asociācijas!

1. Papildināšanas formulas:

Kosinusi vienmēr “nāk pa pāriem”: kosinuss-kosinuss, sinususs-sinuss. Un vēl viena lieta: kosinusi ir “neadekvāti”. Viņiem “viss nav pareizi”, tāpēc viņi maina zīmes: “-” uz “+” un otrādi.

Sinusas - “maisījums”: sinusa-kosinuss, kosinuss-sinuss.

2. Summu un starpības formulas:

kosinusi vienmēr “nāk pa pāriem”. Pievienojot divus kosinusus - “koloboks”, mēs iegūstam kosinusu pāri - “koloboks”. Un, atņemot, mēs noteikti neiegūsim nevienu koloboku. Mēs iegūstam pāris sinusus. Arī ar mīnusu priekšā.

Sinusas - “maisījums” :

3. Formulas reizinājuma pārvēršanai summā un starpībā.

Kad mēs iegūstam kosinusu pāri? Kad pievienojam kosinusus. Tieši tāpēc

Kad mēs iegūstam pāris sinusus? Atņemot kosinusus. No šejienes:

“Sajaukšana” tiek iegūta gan saskaitot, gan atņemot sinusus. Kas ir jautrāk: pievienošana vai atņemšana? Tieši tā, salieciet. Un formulai viņi pievieno:

Pirmajā un trešajā formulā summa ir iekavās. Termiņu vietu pārkārtošana summu nemaina. Secība ir svarīga tikai otrajai formulai. Bet, lai neapjuktu, lai būtu vieglāk atcerēties, visās trīs formulās pirmajās iekavās mēs ņemam atšķirību

un otrkārt - summa

Krāpšanas palagi kabatā sniedz jums sirdsmieru: ja aizmirstat formulu, varat to nokopēt. Un tie sniedz jums pārliecību: ja neizdodas izmantot apkrāptu lapu, varat viegli atcerēties formulas.

2. Vērtību diapazons: [-1;1]
3. Nepāra funkcija.
7. Intervāli, kuros funkcija ir pozitīva: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
8. Intervāli, kuros funkcija ir negatīva: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
9. Palielinoši intervāli: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
10. Samazinoši intervāli:
11. Minimālais punktu skaits: -pi/2 +2*pi*n
12. Minimālā funkcija: -1
13. Maksimālie punkti: pi/2 +2*pi*n
14. Maksimālā funkcija: 1

Kosinusa īpašības

1. Definīcijas apgabals: visa skaitļa ass
2. Vērtību diapazons: [-1;1]
3. Vienmērīga funkcija.
4. Mazākais pozitīvais periods: 2*pi
5. Funkcijas grafika krustošanās punktu koordinātas ar Ox asi: (pi/2 +pi*n; 0)
6. Funkciju grafika krustošanās punktu koordinātas ar Oy asi: (0;1)
7. Intervāli, kuros funkcija ir pozitīva: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
8. Intervāli, kuros funkcija ir negatīva: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
9. Palielinoši intervāli: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
10. Samazinoši intervāli:
11. Minimālais punktu skaits: pi+2*pi*n
12. Minimālā funkcija: -1
13. Maksimālie punkti: 2*pi*n
14. Maksimālā funkcija: 1

Pieskares īpašības

1. Definīcijas apgabals: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
3. Nepāra funkcija.
5. Funkcijas grafika krustošanās punktu koordinātas ar Ox asi: (pi*n; 0)
6. Funkciju grafika krustošanās punktu koordinātas ar Oy asi: (0;0)
9. Funkcija palielinās ar intervāliem (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Kotangenta īpašības

1. Domēns: (pi*n; pi +pi*n)
2. Vērtību diapazons: visa skaitļa ass
3. Nepāra funkcija.
4. Mazākais pozitīvais periods: pi
5. Funkcijas grafika krustošanās punktu koordinātas ar Ox asi: (pi/2 + pi*n; 0)
6. Funkciju grafika krustošanās punktu koordinātas ar Oy asi: nr
7. Intervāli, kuros funkcija ir pozitīva: (pi*n; pi/2 +pi*n)
8. Intervāli, kuros funkcija ir negatīva: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
9. Funkcija samazinās ar intervāliem (pi*n; pi +pi*n)
10. Nav maksimālā un minimālā punktu skaita.

Zemāk redzamajā attēlā redzami vairāki vienību apļi, kas norāda sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes dažādās koordinātu ceturtdaļās.

1. Trigonometriskās funkcijas pārstāvēt elementāras funkcijas, kura arguments ir stūrī. Izmantojot trigonometriskās funkcijas, attiecības starp malām un asi stūri taisnleņķa trīsstūrī. Trigonometrisko funkciju pielietošanas jomas ir ārkārtīgi dažādas. Piemēram, jebkurus periodiskus procesus var attēlot kā trigonometrisko funkciju summu (Furjē rinda). Šīs funkcijas bieži parādās, risinot diferenciālos un funkcionālos vienādojumus.

2. Trigonometriskās funkcijas ietver šādas 6 funkcijas: sinusa, kosinuss, pieskares,kotangenss, sekants Un kosekants. Par katru noteiktās funkcijas ir apgriezta trigonometriskā funkcija.

3. Ģeometriskā definīcija trigonometriskās funkcijas var ērti ievadīt, izmantojot vienības aplis. Zemāk redzamajā attēlā parādīts aplis ar rādiusu r=1. Uz apļa atzīmēts punkts M(x,y). Leņķis starp rādiusa vektoru OM un Ox ass pozitīvo virzienu ir vienāds ar α.

4. Sinus leņķis α ir punkta M(x,y) ordinātu y attiecība pret rādiusu r:
sinα=y/r.
Tā kā r=1, tad sinuss ir vienāds ar punkta M(x,y) ordinātu.

5. Kosinuss leņķis α ir punkta M(x,y) abscisu x attiecība pret rādiusu r:
cosα=x/r

6. Pieskares leņķis α ir punkta M(x,y) ordinātu y attiecība pret tā abscisu x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangenss leņķis α ir punkta M(x,y) abscisu x attiecība pret tā ordinātu y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekants leņķis α ir rādiusa r attiecība pret punkta M(x,y) abscisu x:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekants leņķis α ir rādiusa r attiecība pret punkta M(x,y) ordinātu y:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Vienības riņķī projekcijas x, y, punkti M(x,y) un rādiuss r veido taisnleņķa trīsstūri, kurā x,y ir kājas, bet r ir hipotenūza. Tāpēc iepriekš minētās trigonometrisko funkciju definīcijas pielikumā taisnleņķa trīsstūris ir formulēti šādi:
Sinus leņķis α ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu.
Kosinuss leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Pieskares leņķi α sauc par pretējo kāju blakus esošajai.
Kotangenss leņķi α sauc par blakus malu pretējai pusei.
Sekants leņķis α ir hipotenūzas attiecība pret blakus esošo kāju.
Kosekants leņķis α ir hipotenūzas attiecība pret pretējo kāju.

11. Sinusa funkcijas grafiks
y=sinx, definīcijas apgabals: x∈R, vērtību diapazons: −1≤sinx≤1

12. Kosinusa funkcijas grafiks
y=cosx, domēns: x∈R, diapazons: −1≤cosx≤1

13. Pieskares funkcijas grafiks
y=tanx, definīcijas diapazons: x∈R,x≠(2k+1)π/2, vērtību diapazons: −∞

14. Kotangentes funkcijas grafiks
y=cotx, domēns: x∈R,x≠kπ, diapazons: −∞

15. Sekanta funkcijas grafiks
y=secx, domēns: x∈R,x≠(2k+1)π/2, diapazons: secx∈(−∞,−1]∪∪)