ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ಜ್ಞಾನದ ಹೈಪರ್ಮಾರ್ಕೆಟ್. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಅವು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ 17 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಉದಾಹರಣೆ:
\(4\) ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು \(\frac(4)(1)\) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ;
\(0.0157304\) ಸಹ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು \(\frac(157304)(10000000)\) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ;
\(0.333(3)...\) - ಮತ್ತು ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ: \(\frac(1)(3)\) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು \(\frac(1)(2)\) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಸಾಧ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದವುಗಳೂ ಸಹ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಸ್ಪರ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ:
\(\sqrt(2)≈1.414213562...\) ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ;
\(π≈3.1415926... \) ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ;
\(\log_(2)(5)≈2.321928...\) ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ (OGE ನಿಂದ ಕಾರ್ಯ) ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

ಪರಿಹಾರ:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ , ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

2) \(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಉಳಿದಿಲ್ಲ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(\frac(-5)(1)\) , ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಸಂಖ್ಯೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) ಸಹ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಹಳೆಯ ಗಣಿತದ "ಕೌಶಲ್ಯ" ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ನಾಗರಿಕತೆಗಳು, ಆಧುನಿಕವುಗಳೂ ಸಹ, ಪ್ರಕೃತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆರೋಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆಧುನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಗಣಿತವು ಈ "ಮಾಂತ್ರಿಕ" ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸದಿದ್ದರೂ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದು.

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಬೇಗ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಈ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಕೊನೆಯ ಸೆಟ್, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ಆಧುನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಅದಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\mathbb(N)$

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\mathbb(N)_0$ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ಯಾಡ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

$\mathbb(N)$ ಯಾವುದೇ $a,b,c\in \mathbb(N)$ ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ (+) ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ($\cdot$) ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ ಸೆಟ್ $\mathbb(N)$ ಅನ್ನು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ ವಿತರಣೆ
5. $a\cdot 1=a$ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವಾಗಿದೆ

$\mathbb(N)$ ಸೆಟ್ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಸಂಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಅದು ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸೆಟ್ $\mathbb(N)$ ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳು "ಕಡಿಮೆ" ($

1. $a b$ ಟ್ರೈಕೋಟಮಿ
2. $a\leq b$ ಮತ್ತು $b\leq a$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $a=b$ ಒಂದು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಆಗಿದೆ
3. $a\leq b$ ಮತ್ತು $b\leq c$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $a\leq c$ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ
4. $a\leq b$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $a+c\leq b+c$
5. $a\leq b$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $a\cdot c\leq b\cdot c$

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $\mathbb(Z)$

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$a+x=b$ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ತಿಳಿದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $x$ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ - ವ್ಯವಕಲನ(-). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $x$ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ $x=b-a$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು $\mathbb(N)$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಪರಿಚಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ ರಿಂದ, ಹಿಂದೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು $+$ ಮತ್ತು $\cdot$ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧ $ 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. $0+a=a+0=a$ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿಗೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವಿದೆ
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ ಗೆ $-a$ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ

5. ಆಸ್ತಿ:
5. $0\leq a$ ಮತ್ತು $0\leq b$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $0\leq a\cdot b$

$\mathbb(Z) $ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\mathbb(Q)$

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

ಈಗ $a\cdot x=b$ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $x$ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಲು, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ($:$) ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು $x=b:a$ ಆಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $x=\frac(b)(a)$. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, $x$ ಯಾವಾಗಲೂ $\mathbb(Z)$ ಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು $\frac(p)(q)$ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $\mathbb(Q)$ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ $p\in \mathbb(Z)$ ಮತ್ತು $q\in \mathbb(N) $. $\mathbb(Z)$ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ $q=1$, ಆದ್ದರಿಂದ $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು $\mathbb(Q)$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

$\mathbb(Q)$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ, $a\cdot x=b$ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರತಿ $a\neq 0$ ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಇದರರ್ಥ $\frac(1)(a)$ ಅಥವಾ $a^(-1)$ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದೆ:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ಎ)\cdot a=a)$

$\mathbb(Q)$ ಸೆಟ್‌ನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:
$\frac(p_1)(q_1)

$\mathbb(Q)$ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\mathbb(I)$

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
$\sqrt(2) \ಅಂದಾಜು 1.41422135...$
$\pi \ಅಂದಾಜು 3.1415926535...$

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ತುಂಬಾ ದಟ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಕೂಡ ಒಮ್ಮೆ ಅಂತಹ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡಿದನು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವನ ಸಮಕಾಲೀನರು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರಾಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವರ್ಗಮೂಲದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು $x=\sqrt(2)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. $x^2=a$ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣ, ಇಲ್ಲಿ $a$ ತಿಳಿದಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು $x$ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿವೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\mathbb(R)$

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ ರಿಂದ, ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು ಹೊಸ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೇಲಿನ-ಸೂಚಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆದೇಶ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳಲು, $\mathbb(Q)$ ಮತ್ತು $\mathbb(R)$ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. $S$ ಎಂಬುದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. $b\in \mathbb(R)$ ಒಂದು ಅಂಶವು $\forall x\in S$ $x\leq b$ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ $S$ ನ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ $S$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. $S$ ಸೆಟ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಸುಪ್ರಿಮಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು $\sup S$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್, ಕೆಳಗೆ ಬೌಂಡ್ ಮಾಡಿದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಇನ್ಫಿನಮ್ $\inf S$ ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಕಾಣೆಯಾದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿಯಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯು ಒಂದು ಸುಪ್ರಿಮಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು$\mathbb(C)$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ ಅಲ್ಲಿ $i = \sqrt(-1)$ ಅಥವಾ $i^2 = -1$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿ ಜೋಡಿಗಳು, ಅಂದರೆ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ $z=a+ib$, ಇಲ್ಲಿ $(a,b)$ ಒಂದು ಜೋಡಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ $i=(0,1)$ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$i^2=-1$ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. $\mathbb(R)$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು $\mathbb(C)$ ಸೆಟ್‌ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. $\mathbb(C)$ ಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗವು $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ ಎಲ್ಲವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ಅಥವಾ $R\subset\mathbb(C)$.

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $\mathbb(C)$ ಸೆಟ್‌ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂವಹನ
2. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ
3. $0+i0$ - ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ
4. $1+i0$ - ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ
5. ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿತರಕವಾಗಿದೆ
6. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎಷ್ಟು ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಯೆಂದರೆ ಅದು "ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರಲು" ಆಸ್ತಿಯ ನಿರಾಕರಣೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ಇವೆರಡನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ "ಶೂನ್ಯ" ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯೇ) ಅಂದಾಜು ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಆಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸರಳ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. $%\varepsilon$%, ಅಂದರೆ $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$% ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಅಂದಾಜು $%\alpha$%, $%\beta$% ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಇದು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ? $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಆಲ್ಫಾ\ ಬೀಟಾ),$$ ಇದು $%\alpha\beta>1$% ಗೆ $%\varepsilon$% ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ನಾವು $%x=\sqrt(2)$% ಎಂದು ಹಾಕೋಣ, ಮತ್ತು $%q\in(\mathbb Q)$% ನಿಖರವಾದ $%\varepsilon$% ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜು $%x$% ಆಗಿರಲಿ. $%x>1$% ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು $%q$% ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅಸಮಾನತೆ $%q\ge1$% ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. $%1$% ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆಯು $%1$% ಗಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

$%x$%, $%q$% ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $%1$% ಅನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು $%\alpha=x+1$% ಮತ್ತು $%\beta=q+1$% ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪರಸ್ಪರರಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು "ಲೆಮ್ಮಾ" ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಮ್ಮ ಅಂದಾಜು ನಿಖರತೆ ಸುಧಾರಿಸಿದೆ, $%\varepsilon$% ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಷರತ್ತು $%\alpha\beta>1$% ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $%\alpha>2$% ಮತ್ತು $%\beta\ge2$% ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ $%4$% ಬಾರಿ ಸುಧಾರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು $%\varepsilon/4$% ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ: ಷರತ್ತು ಪ್ರಕಾರ, $%x^2=2$%, ಅಂದರೆ $%x^2-1=1$%, ಅಂದರೆ $%(x+1)(x- 1) =1$%, ಅಂದರೆ, $%x+1$% ಮತ್ತು $%x-1$% ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ $%\alpha^(-1)=x-1$% (ಭಾಗಶಃ) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುತ್ತದೆ $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% ನಿಖರತೆ $%\varepsilon$% ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $%1$% ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು $%x$%, ಅಂದರೆ $%\sqrt(2)$%, $%\beta ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೊಸ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ^(- 1)+1$%, ಅಂದರೆ $%(q+2)/(q+1)$%, "ಸುಧಾರಿತ" ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $%\varepsilon=0$% ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ" ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ವಾದವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸುವ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ $%\sqrt(2)$% ಗಾಗಿ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂದಾಜು $%q=1$% ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದೇ ಬದಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ ಹೀಗೆ.

1. ಪುರಾವೆಗಳು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಅನುಗಮನದ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಾದಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಸಮರ್ಥನೆಯು ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, "ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲ" ದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
2. ಇಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯು ನಿಮ್ಮದಾಗಿದೆ: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 ಅಥವಾ 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
ನೀವು "ಬೀಜಗಣಿತ" ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +...= 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, n/m ∈ ℚ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಒಂದು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ℚ, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
ಇದು ನಿರಂತರ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ℚ → I ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲ ಎಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು.