Как делать комплексный чертеж точки. Проецирование точки

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A", имеющая координаты x, y. Проведем из т. A" перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A х, A у. Координата х для т. A равна длине отрезка A х O со знаком плюс, так как A х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A у O со знаком минус, так как т. A у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A"" имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A"" на ось z и найдем A z . Координата z точки A равна длине отрезка A z O со знаком минус, так как A z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В". Так как она лежит на оси х, то B x = B" и координата B у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B х O со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B"" к оси z, таким образом найдем B z . Аппликата z точки B равна длине отрезка B z O со знаком минус, так как B z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П 3 имеют следующие координаты: A""" (y, z); B""" (y, z). При этом A"" и A""" лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B"" и B""". Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A у O. После этого проведем перпендикуляр из A у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A"" к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A""".

Точка B""" лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B"" к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B""".

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 , расположение октантов , а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П 2 .

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П 2 . Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П 1 , П 2 , П 3

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П 1 , П 2 , П 3 , а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A". Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A х и A у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A х и A у соответственно к осям x и y определяет положение т. A". Отложив от A" параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA", длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П 2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B х и B z , определит положение точки B.

1. Наибольшее применение в технической практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций 1 располагается вертикально перед наблюдателем и поэтому называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 5а), а другая плоскость 2 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций . Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций 1 и 2 какую-нибудь точку А , тогда получим две ее проекции: фронтальную проек- цию А 1 на плоскости 1 и горизонтальную проекцию А 2 на плоскости 2 .

Проецирующие прямые АА 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А 1 АА 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х . Прямые А 1 А x и А x А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций 1 и 2 , будут перпендикулярны к оси проекций х .

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плоскостям 1 и 2 и расположенных на перпендикулярах к оси х , восстановленных из одной и той же точки А х , определяет в пространстве единственную точку А . В самом деле, если провести через точки А 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответственно к плоскостям 1 и 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А x А 2 , пересекутся в некоторой точке А .

Расстояние А 2 А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А , а ее расстояние А 1 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А .

2. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций 2 c плоскостью 1 , вращая плоскость 2 вокруг оси х в направлении, указанном на рис. 5а стрелкой. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 5б), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А , лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х . Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется линией связи .

Полученный комплексный чертеж будет обратимым , т. е. по этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А 1 точки А и имея на чертеже ее глубину f =IА x А 2 I, можно реконструировать точку А . Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 1 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А .

3. Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить установленное в § 1 (2) свойство 6, что проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа точки А при нефиксированных плоскостях проекций показано на рис. 6. В этом случае плоскости проекций 1 и 2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 лежали бы на одной прямой (рис. 6б)  . Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния между проекциями каждых двух из этих плоскостей на плоскостях 1 и 2 равны между собой. Для удобства чтения чертежа плоскость 2 считают расположенной ниже всех точек оригинала, а плоскость 1 – сзади всех точек оригинала.

Изображение на плоскости проекции 1 в технической практике называют видом спереди , или, короче, видом 1 , отображение же на плоскости проекций 2 называют видом сверху , или видом 2 . Реконструи- рование оригинала по его комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, производят по его виду спереди 1 и измеренным на чертеже глубинам точек оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении плоскости проекции 1 (рис. 6а); на виде сверху эту плоскость обозначим знаком треугольника.

Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым производят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плоскостями.

Таким образом, для реконструкции точки А по ее комплексному чертежу (рис. 6б) нужно восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А на виде спереди и отложить на нем от плоскости чертежа глубину f точки А , измеренную на виде сверху от базовой плоскости, отмеченной на этом виде знаком треугольника (вид сверху этой базовой плоскости будем называть базой отсчета глубин).

Конец этого перпендикуляра определит положение точки А по отношению к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбирается произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, его положение определяется с точностью до параллельного переноса.

Наибольшее применение на практике получил чертёж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертёж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Принцип образования чертежа состоит в том, что данная фигура проецируется ортогонально на 2 взаимно ^-е плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа.

Одна из плоскостей проекций располагается горизонтально, обозначается П 1 и называется горизонтальной плоскостью проекций .

2-я плоскость располагается вертикально перед наблюдателем, обозначается П 2 – фронтальная плоскость проекций . Прямая пересечения плоскостей – ось проекций .

А 1 – горизонтальная проекция А 2 – фронтальная проекция

h А – высота точки А

f А – глубина т.А

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций П 1 и П 2 какую-нибудь

точку А, тогда получим две её проекции: горизонтальную проекцию А 1 на плос­кости П 1 и фронтальную проекцию А 2 на плоскости П 2 . Проецирующие прямые AA 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость A 1 AA 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций X. Прямые A х A 1 и А х А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П 1 и П 2 , будут перпендикулярны к оси проекций X.

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плос­костям П 1 и П 2 и расположенных на перпендикулярах к оси X, восставленных из одной и той же точки А х, определяют в пространстве единственную точку А. В са­мом деле, если провести через точку A 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответ­ственно к плоскостям П 1 и П 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А х А 2 , пере­секутся в некоторой точке А. Расстояние A 1 А точки А от горизонтальной плоскос­ти проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А 2 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П 1 с плос­костью П 2 , вращая переднюю полуплоскость П 1 вокруг оси Х вниз. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 4), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси X. Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т.е. по нему можно вос­становить оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проек­цию А 2 точки А и имея на чертеже ее глубину f=А х А 1 , можно построить точку А. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 2 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендику­ляра определит положение точки А.

На практике часто бывает безразличным положение изображаемой фигуры относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образова­нии комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций и оси проекций не изображать. Основанием этому может служить отмеченное шестое свойство параллельной проекции не изменять проекции фигуры при параллельном переносе плоскости проекций.

Плоскости проекций П 1 и П 2 разбивают все пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями . При этом условимся нумеровать квад­ранты в порядке, указанном на рис., и называть их I, II, III и IV квадрантами.

Если точка А лежит в I квадранте, то ее горизонтальная проекция A 1 будет принадлежать передней полуплоскости П 1 , а фронтальная проекция А 2 - верхней полуплоскости П 2 . При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проек­ция A 1 точки А окажется расположенной ниже оси Х 12 , а фронтальная проекция А 2 - выше оси Х 12 (рис. 5). В зависимости от положения точек в различных квад­рантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже (рис. 5), так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит точка.

Итак, комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций (называемый еще двухкартинным чертежом), является обратимым чертежом. Однако реконструкция оригинала часто становится проще, когда помимо двух основных проекций имеется еще одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плос­кости проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным плоскостям П 1 и П 2 , которая называется профильной плоскостью проекций. Ее обозначают П 3 . Три плоскости проекций П 1 , П 2 и П 3 образуют систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 6). Ребра полученного трехгранника будем обозначать через X, У, Z.

Рассмотрим построение трехкартинного комплексного чертежа. Пусть А - некоторая точка пространства. Опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций П 1 , П 2 и П 3: АА i ^П i (i = 1, 2, 3). Основания этих перпендикуляров (точ­ки А 1 , А 2 , А 3) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и про­фильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 . Заметим при этом, что проецирующие плоскости AA 1 A 2 , AA 1 A 3 и АА 2 А 3 перпендикулярны соответственно осям X, У, Z. Обозначив точки пересечения этих плоскостей с осями через А 12 , А 13 , А 23 , заметим, что как прямые A 1 A 12 и А 12 А 2 перпендикулярны к оси X, так и две другие пары прямых A 1 A 13 , А 13 А 3 и А 2 А 23 , А 23 А 3 должны быть перпендикулярны соответственно осям Y и Z. Расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций П 1 мы назвали ранее высотой точки А, а расстояние точки А от фронтальной плоскости проекций П 2 - ее глубиной; расстояние точки А от профильной плоскости проекций П 3 будем называть широтой точки А.

При построении плоского чертежа плоскость П 2 считается неподвижной, а остальные плоскости П 1 и П 3 совмещаются с ней путем вращения соответственно вокруг осей Х и Z в направлении, указанном на рис. стрелками. После совме­щения плоскости П 1 с фронтальной плоскостью П 2 отрезки А 1 А 12 ^Х 12 и A 12 A 2 ^X 12 окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после со­вмещения плоскости П 3 с плоскостью П 2 отрезки A 2 A 23 ^Z 23 и А 23 А 3 ^Z 23 распо­ложатся на линии связи А 2 А 3 ^Z 23 .

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комп­лексный чертеж точки А, состоящий из трех ортогональных проекций (трехкартинный ). При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям: А 1 А 2 ^Х 12 , А 2 А 3 ^Z 23 , а отрезки А 1 А 12 и А 23 А 3 равны, ибо А 1 А 12 = А 23 А 3 =А 2 А есть глубина точки А.

Рассмотрим, какой линией связи можно соединять горизонтальную и про­фильную проекции точки А. Для этого обратим внимание на квадрат А 13 ОА 3 А*. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла Х 12 ОZ 23 . Следо­вательно, линия связи, соединяющая проекции А 1 и А 3 , представляет собой лома­ную линию с вершиной на биссектрисе угла Х 12 ОZ 23, состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). В дальнейшем эту линию будем называть горизонтально-вертикальной линией связи. Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.

Введенная система трех плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 разбивает все про­странство на восемь частей, называемых октантами. Их нумеруют следующим об­разом: слева от профильной плоскости октанты сохраняют нумерацию квадрантов, а справа от плоскости П 3 идут номера 5, 6, 7 и 8. При совмещении плоскостей про­екций передняя часть горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя подни­мается вверх; передняя часть профильной плоскости удаляется от нас направо, а задняя приближается слева.

Множество горизонтальных проекций всех точек пространства назовем по­лем горизонтальных проекций П 1 (соответствующая проекция фигуры называется видом сверху ), а множество фронтальных проекций всех точек пространства - по­лем фронтальных проекций П 2 (соответствующая проекция фигуры называется ви­дом спереди или главным видом ). Аналогично множество профильных проекций всех точек пространства назовем полем профильных проекций П 3 (соответствующая проекция фигуры называется видом слева ).

Чтобы иметь возможность точного построения комплексных чертежей каких-либо фигур, необходимо уметь задавать положения проекций точек, определяющих данные фигуры, при помощи чисел. Для этого, как известно, следует пользоваться координатным методом. Рассмотрим трехгранник, образованный системой плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 . На осях X, У, Z установим единицу измерения е. За начало отсчета примем точку О пересечения трех плоскостей проекций (вершину трехгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рис. Тогда трехгранник OXYZ можем рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с коорди­натными осями: Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Oz - ось аппликат.

Ломаная ОА 12 А 1 А, определяющая положение точки А относительно коор­динатной системы OXYZ, называется, как, уже было сказано ранее, координатной ломаной линией. Звенья этой ломаной называются отрезками координат: ОА - отрезок абсциссы, А 12 А 1 - отрезок ординаты, А 1 А - отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной единицей длины е , называются координатами точки А:

Координаты точки А можно рассматривать, как ее расстояния до плос­костей проекций, поэтому координаты будут иметь следующие значения: Z А - высота, Y A - глубина, Х A - широта точки А. Координаты точки называются определителем точки.

По заданным координатам точку А(Х А,Y A ,Z A) можно построить сле­дующим образом. Сначала с помощью единицы длины е строится отрезок OA 12 , затем отрезок A 12 A 1 , параллельный оси Y, и, наконец, отрезок А 1 А, параллельный оси Z. В результате получаем точку А.

5. Комплексный чертёж прямой линии

Пусть в I четверти расположен отрезок прямой l не параллельный и не перпендикулярный ни к одной из плоскостей проекций. Для построения его ортогональных проекций возьмём на прямой 2 точки и спроецируем их на П 1 и П 2 . Полученные проекции точек и определяют искомые проекции отрезка прямой.

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

К прямым частного положения относятся параллельные или ^-ые какой-либо плоскости проекций.

Прямая, //-ая какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня .

//-ая П 1 – горизонталь,

//-ая П 2 – фронталь,

//-ая П 3 – профильная прямая уровня.

Прямая уровня на плоскость проекций, которой она параллельна, проецируется без искажений в натуральную величину. При этом её проекция на этой плоскости с осями координат образует углы, равные углам наклона этой прямой к соответствующим плоскостям проекций.

Для задания профильной прямой уровня необходимо задавать на ней проекции двух точек.

Прямая, ^-я какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой.

^-я к П 1 – горизонтально проецирующая,

^-я к П 2 – фронтально проецирующая,

^-я к П 3 – профильно проецирующая.

2 точки, проекции которых на какую-либо плоскость проекций совпадают, называются конкурирующие точки .

Если совпадают горизонтальные проекции – горизонтально конкурирующие.

Из двух горизонтально конкурирующих точек на П 1 будет видна та, фронтальная проекция которой находится выше от оси х 12 .

Из двух фронтально конкурирующих точек на П 2 будет видна та, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси х 12 .

6. Определение натуральной величины отрезка прямой

Натуральная величина отрезка прямой является гипотенузой прямоугольного треугольника одним катетом которого служит проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а другим катетом разность расстояний концов этого отрезка до этой плоскости проекций.

3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П 3 (проекция на П 2 или П 1), координатой У – удалённость от плоскости П 2 (проекция на П 3 или П 1), координатой Z – удаленность от плоскости П 1 (проекция на П 3 или П 2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Классификация точек

Т очка общего положения . Координаты точки общего положения не равны нулю (x ≠0, y ≠0, z ≠0 ), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).

На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.

Точки частного положения . Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.A П 3 ,то точка Х А =0; В П 3 ,то точка Х В =0; С П 2 ,то точкаY C =0;D П 1 ,то точкаZ D =0.

Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(G OZ,то точка Х G =0,Y G =0).

3.3. Взаимное положение точек в пространстве

Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.

На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.

Их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: Y А >Y В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; Z А >Z В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; X А

На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются.

Их взаимное расположение можно оценить по удалённости к плоскостям проекций следующим образом:

Y А =Y В =Y D , то точки А, В и D равноудалены от плоскости П 2 , и их горизонтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 В 1 ]llОХ и [А 3 В 3 ]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 2 ;

Z А =Z В =Z С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П 1 , и их фронтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 2 В 2 ]llОХ и [А 3 С 3 ]llOY. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 1 ;

X А =X C =X D , то точки А, C и D равноудалены от плоскости П 3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 C 1 ]llOY и [А 2 D 2 ]llOZ . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 3 .

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими . Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 3.3 даны три пары таких точек, у которых: X А =X D ; Y А =Y D ; Z D > Z А; X A =X C ; Z A =Z C ; Y C > Y A ; Y A =Y B ; Z A =Z B ; X B > X A .

Различают горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD, фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC, профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

Выводы по теме

1. Точка – линейный геометрический образ, одно из основных понятий начертательной геометрии. Положение точки в пространстве можно определить её координатами. Каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A 1 (XA; YA); фронтальная – A 2 (XA; ZA); профильная – A 3 (YA; ZA). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. По двум проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически.

3. Точка по отношению к плоскостям проекций может занимать в пространстве как общее, так и частное положение.

4. Точка общего положения – точка, не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций, т. е. лежащая в пространстве между плоскостями проекций. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Точка частного положения – это точка, принадлежащая одной или двум плоскостям проекций. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле плоскости проекций, другие две – на осях проекций.

6. Конкурирующие точки – точки, одноименные координаты которых совпадают. Существуют горизонтально конкурирующие точки, фронтально конкурирующие точки, профильно конкурирующие точки.

Ключевые слова

Координаты точки

Точка общего положения

Точка частного положения

Конкурирующие точки

Способы деятельности, необходимые для решения задач

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций в пространстве;

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже.

Вопросы для самопроверки

1. Как устанавливается связь расположения координат на комплексном чертеже в системе трех плоскостей проекций П 1 П 2 П 3 с координатами проекций точек?

2. Какими координатами определяется удалённость точек до горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостей проекций?

3. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, перпендикулярном профильной плоско­сти проекций П 3 ?

4. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, параллельном оси OZ?

5. Какими координатами, определяется горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция точки?

7. В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой пространства и где располагаются две другие проекции этой точки?

8. Может ли точка принадлежать одновременно трём плоскостям проекций и в каком случае?

9. Как называют точки, одноимённые проекции которых совпадают?

10. Каким образом можно определить, какая из двух точек ближе к наблюдателю, если их фронтальные проекции совпадают?

Задания для самостоятельного решения

2. Построить проекции точек А и В по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20). Построить проекцию точки С, расположенной симметрично точке А относительно фронтальной плоскости проекций П 2 .

3. Построить проекции точек А, В, С по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30; -20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D, расположенную симметрично точке С относительно осиOХ.

Пример решения типовой задачи

Задача 1. Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3)

Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Октант	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
I
II
III
IV

Пример построения третьей проекции точки по двум заданным

Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28).

Примеры решения задач в I октанте

Дано А1; А2	Построить А3
Дано А2; А3	Построить А1
Дано А1; А3	Построить А2

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5 Алгоритм построения точки А по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

Вербальная форма	Графическая форма
Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3	Согласно табл. 2.3, это знаки 4-го октанта
Построить наглядное (аксонометрическое) изображение 4-го октанта
Определить механизм совмещения плоскостей
Построить комплексный чертеж 4-го октанта
Отложить координаты точки на осях: x = 5, y = 20, z = -9
Перенести координаты точки на оси комплексного чертежа
Построить горизонтальную, фронтальную и профильную проекции точки А (табл. 2.4)
Построить проекции точки А (А1, А2, А3) на комплексном чертеже (табл. 2.4)

проекция точка октанта перпендикулярный чертеж

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.

Выводы

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p1 и p2, либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p3.

2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.

3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p2 – неподвижна, а плоскость p1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p2, отрицательная часть p1 – с положительной частью p2.

4. Плоскость p3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p2 (см. рис. 2.31).

Изображения, получающиеся на плоскостях p1, p2 и p3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.

Плоскости p1, p2 и p3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p1, p 2, p 3.

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p1, p2, либо p1, p2, p3.

Систему плоскостей p1, p2, p3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).

Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:

· расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);

· положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);

· положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);

· положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).

Метрические задачи:

· равноудаленность проекции от плоскостей проекций;

· отношение удаления проекции от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);

· определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).

Размещено на Allbest.ru