Trigonometri sederhana dan jelas. Trigonometri Fungsi trigonometri dijelaskan

Saat melakukan konversi trigonometri, ikuti tips berikut:

1. Jangan mencoba untuk langsung memberikan solusi terhadap contoh tersebut dari awal hingga akhir.
2. Jangan mencoba mengonversi seluruh contoh sekaligus. Ambil langkah kecil ke depan.
3. Ingatlah bahwa selain rumus trigonometri dalam trigonometri, Anda masih dapat menggunakan semua transformasi aljabar yang wajar (pengurungan, penyingkatan pecahan, rumus perkalian yang disingkat, dan sebagainya).
4. Percayalah bahwa semuanya akan baik-baik saja.

Rumus dasar trigonometri

Kebanyakan rumus dalam trigonometri sering digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan, jadi Anda perlu mempelajari rumus-rumus ini dengan baik agar Anda dapat dengan mudah menerapkan beberapa rumus di kedua arah. Mari kita tuliskan dulu definisi fungsi trigonometri. Misalkan ada segitiga siku-siku:

Lalu, definisi sinus:

Definisi kosinus:

Definisi garis singgung:

Definisi kotangen:

Identitas trigonometri dasar:

Akibat paling sederhana dari identitas trigonometri dasar:

Rumus sudut ganda. Sinus sudut ganda:

Cosinus sudut ganda:

Garis singgung sudut ganda:

Kotangen sudut ganda:

Rumus trigonometri tambahan

Rumus penjumlahan trigonometri. Sinus penjumlahan:

Sinus perbedaannya:

Kosinus jumlah:

Kosinus selisihnya:

Tangen dari jumlah tersebut:

Tangen perbedaan:

Kotangen jumlah:

Kotangen selisihnya:

Rumus trigonometri untuk mengubah suatu jumlah menjadi suatu hasil kali. Jumlah sinus:

Perbedaan sinus:

Jumlah cosinus:

Perbedaan cosinus:

Jumlah garis singgung:

Perbedaan tangen:

Jumlah kotangen:

Perbedaan kotangen:

Rumus trigonometri untuk mengubah suatu hasil kali menjadi suatu jumlah. Produk sinus:

Hasil kali sinus dan kosinus:

Hasil kali cosinus:

Rumus pengurangan derajat.

Rumus setengah sudut.

Rumus reduksi trigonometri

Fungsi kosinus disebut fungsi fungsi sinus dan sebaliknya. Demikian pula fungsi tangen dan kotangen adalah fungsi bersama. Rumus reduksi dapat dirumuskan sebagai aturan berikut:

• Jika dalam rumus reduksi suatu sudut dikurangi (ditambahkan) dari 90 derajat atau 270 derajat, maka fungsi tereduksi berubah menjadi kofungsi;
• Jika dalam rumus reduksi sudut dikurangi (ditambahkan) dari 180 derajat atau 360 derajat, maka nama fungsi reduksi tetap dipertahankan;
• Dalam hal ini, tanda fungsi tereduksi (yaitu asli) pada kuadran yang bersesuaian ditempatkan di depan fungsi tereduksi, jika kita menganggap sudut yang dikurangi (ditambahkan) adalah lancip.

Rumus reduksi diberikan dalam bentuk tabel:

Oleh lingkaran trigonometri mudah untuk menentukan nilai tabel fungsi trigonometri:

Persamaan trigonometri

Untuk menyelesaikan suatu persamaan trigonometri tertentu, maka harus direduksi menjadi salah satu persamaan trigonometri yang paling sederhana, yang akan dibahas di bawah ini. Untuk ini:

• Anda dapat menggunakan rumus trigonometri yang diberikan di atas. Pada saat yang sama, Anda tidak perlu mencoba mengubah keseluruhan contoh sekaligus, namun Anda perlu bergerak maju dalam langkah-langkah kecil.
• Kita tidak boleh melupakan kemungkinan mengubah beberapa ekspresi menggunakan metode aljabar, yaitu. misalnya, mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung atau sebaliknya membuka tanda kurung, mengurangi pecahan, menerapkan rumus perkalian yang disingkat, membawa pecahan ke penyebut yang sama, dan sebagainya.
• Saat menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda dapat menggunakan metode pengelompokan. Harus diingat bahwa agar hasil kali beberapa faktor sama dengan nol, cukuplah salah satu faktor tersebut sama dengan nol, dan sisanya ada.
• Melamar metode penggantian variabel, seperti biasa, persamaan setelah memasukkan pengganti harus menjadi lebih sederhana dan tidak mengandung variabel asli. Anda juga harus ingat untuk melakukan penggantian terbalik.
• Ingatlah bahwa persamaan homogen sering kali muncul dalam trigonometri.
• Saat membuka modul atau menyelesaikan persamaan irasional dengan fungsi trigonometri, Anda perlu mengingat dan memperhitungkan semua seluk-beluk penyelesaian persamaan yang sesuai dengan fungsi biasa.
• Ingat tentang ODZ (dalam persamaan trigonometri, pembatasan ODZ terutama disebabkan oleh fakta bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol, tetapi jangan lupakan batasan lainnya, terutama tentang kepositifan ekspresi dalam pangkat rasional dan di bawah akar pangkat genap). Ingat juga bahwa nilai sinus dan cosinus hanya boleh berada pada rentang dari minus satu hingga plus satu, inklusif.

Yang penting, jika Anda tidak tahu harus berbuat apa, lakukan setidaknya sesuatu, dan yang utama adalah menggunakan rumus trigonometri dengan benar. Jika yang didapat semakin membaik maka lanjutkan penyelesaiannya, dan jika semakin parah maka kembali ke awal dan coba terapkan rumus lain, lakukan hingga Anda menemukan solusi yang tepat.

Rumus penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Untuk sinus, ada dua bentuk penulisan penyelesaian yang setara:

Untuk fungsi trigonometri lainnya, notasinya tidak ambigu. Untuk kosinus:

Untuk garis singgung:

Untuk kotangen:

Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam beberapa kasus khusus:

Penerapan ketiga poin ini yang berhasil, rajin, dan bertanggung jawab akan memungkinkan Anda menunjukkan hasil yang sangat baik di CT, semaksimal kemampuan Anda.

Menemukan kesalahan?

Jika Anda merasa menemukan kesalahan dalam materi pelatihan, silakan tuliskan melalui email. Anda juga dapat melaporkan kesalahan di jejaring sosial (). Dalam surat tersebut sebutkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau ujian, nomor soal, atau tempat dalam teks (halaman) yang menurut Anda terdapat kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari definisinya fungsi trigonometri dan sifat dasarnya, pelajari cara bekerja dengannya lingkaran trigonometri, mari kita cari tahu apa itu periode fungsinya dan ingat berbagai cara mengukur sudut. Selain itu, kita akan memahami kegunaannya rumus reduksi.

Pelajaran ini akan membantu Anda mempersiapkan salah satu jenis tugas PUKUL 7.

Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika

Percobaan

Pelajaran 7.Pengantar trigonometri.

Teori

Ringkasan pelajaran

Hari ini kami memulai bagian yang bagi banyak orang memiliki nama yang menakutkan “Trigonometri”. Mari kita perjelas segera bahwa ini bukanlah mata pelajaran terpisah yang namanya mirip dengan geometri, seperti yang dipikirkan sebagian orang. Meskipun diterjemahkan dari bahasa Yunani, kata “trigonometri” berarti “pengukuran segitiga” dan berhubungan langsung dengan geometri. Selain itu, perhitungan trigonometri banyak digunakan dalam fisika dan teknologi. Namun kita akan mulai dengan pembahasan tentang bagaimana fungsi dasar trigonometri diperkenalkan ke dalam geometri menggunakan segitiga siku-siku.

Kita baru saja menggunakan istilah "fungsi trigonometri" - ini berarti kita akan memperkenalkan seluruh kelas hukum korespondensi tertentu antara satu variabel dengan variabel lainnya.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku, yang, untuk kenyamanan, menggunakan notasi standar untuk sisi dan sudut, yang dapat Anda lihat pada gambar:

Misalnya saja sudutnyadan masukkan tindakan berikut untuk itu:

Sebut saja perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi miring sebagai sinus, yaitu.

Sebut saja rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring kosinus, yaitu. ;

Perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan disebut tangen, yaitu. ;

Perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan disebut kotangen, yaitu. .

Semua tindakan dengan sudut ini disebut fungsi trigonometri. Sudut itu sendiri biasa disebut argumen fungsi trigonometri dan dapat dilambangkan, misalnya, dengan X, seperti yang biasa dilakukan dalam aljabar.

Penting untuk segera dipahami bahwa fungsi trigonometri bergantung secara khusus pada sudut dalam segitiga siku-siku, dan bukan pada sisi-sisinya. Hal ini mudah dibuktikan jika kita perhatikan suatu segitiga sebangun yang panjang sisi-sisinya berbeda, tetapi semua sudut dan perbandingan sisi-sisinya tidak berubah, yaitu. Fungsi trigonometri sudut juga tidak berubah.

Setelah definisi fungsi trigonometri ini, mungkin timbul pertanyaan: “Apakah ada, misalnya,? Lagi pula, sudutnyatidak bisa berada pada segitiga siku-siku» . Anehnya, jawaban atas pertanyaan ini adalah afirmatif, dan nilai ungkapan ini sama dengan , dan ini bahkan lebih mengejutkan, karena semua fungsi trigonometri adalah perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku, dan panjang sisi-sisinya adalah angka positif.

Namun tidak ada paradoks dalam hal ini. Faktanya adalah, misalnya, dalam fisika, ketika menjelaskan beberapa proses, perlu menggunakan fungsi trigonometri sudut tidak hanya besar, tetapi juga besar dan genap. Untuk melakukan ini, perlu diperkenalkan aturan yang lebih umum untuk menghitung fungsi trigonometri menggunakan apa yang disebut "lingkaran trigonometri satuan".

Merupakan lingkaran yang berjari-jari satuan, digambar sedemikian rupa sehingga pusatnya berada pada titik asal bidang kartesius.

Untuk menggambarkan sudut-sudut dalam lingkaran ini, Anda harus menyepakati dari mana akan meletakkannya. Diterima untuk mengambil arah positif sumbu absis sebagai sinar acuan sudut, yaitu. sumbu x. Arah pengendapan sudut dianggap berlawanan arah jarum jam. Berdasarkan kesepakatan tersebut, mari kita kesampingkan dulu sudut lancipnya. Untuk sudut lancip seperti itulah kita sudah mengetahui cara menghitung nilai fungsi trigonometri pada segitiga siku-siku. Ternyata dengan menggunakan lingkaran yang digambarkan Anda juga dapat menghitung fungsi trigonometri, hanya saja dengan lebih nyaman.

Nilai sinus dan cosinus suatu sudut lancip adalah koordinat titik potong sisi sudut tersebut dengan lingkaran satuan:

Ini dapat ditulis seperti ini:

:

Berdasarkan fakta itu koordinat sepanjang sumbu x menunjukkan nilai cosinus, dan koordinat sepanjang sumbu y menunjukkan nilai sinus sudut, akan lebih mudah untuk mengganti nama sumbu dalam sistem koordinat dengan lingkaran satuan seperti yang Anda lihat pada gambar:

Sumbu absis diubah namanya menjadi sumbu kosinus, dan sumbu ordinat diubah namanya menjadi sumbu sinus.

Aturan yang ditentukan untuk menentukan sinus dan kosinus digeneralisasikan baik untuk sudut tumpul maupun sudut yang terletak dalam rentang dari ke. Dalam hal ini, sinus dan cosinus dapat bernilai positif dan negatif. Bermacam-macam tanda-tanda nilai fungsi trigonometri tersebut tergantung pada bagian mana sudut yang dipermasalahkan, biasanya digambarkan sebagai berikut:

Seperti yang Anda lihat, tanda-tanda fungsi trigonometri ditentukan oleh arah positif dan negatif dari sumbunya.

Selain itu, perlu diperhatikan fakta bahwa karena koordinat terbesar suatu titik pada lingkaran satuan baik sepanjang absis maupun sumbu ordinat sama dengan satu, dan terkecil adalah minus satu, maka nilai sinus dan cosinus terbatas pada angka-angka ini:

Catatan ini juga biasanya ditulis dalam bentuk ini:

Untuk memperkenalkan fungsi garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri, perlu menggambar elemen tambahan: garis singgung lingkaran di titik A - nilai garis singgung sudut ditentukan darinya, dan garis singgung ke di titik B - nilai kotangen sudut ditentukan darinya.

Namun kita tidak akan mendalami pengertian garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri, karena mereka dapat dengan mudah dihitung dengan mengetahui nilai sinus dan kosinus suatu sudut tertentu, yang sudah kita ketahui caranya. Jika Anda tertarik mempelajari cara menghitung garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri, lihatlah silabus mata pelajaran aljabar kelas 10.

Kami hanya menunjukkan gambar pada lingkaran tanda garis singgung dan kotangen tergantung pada sudutnya:

Perhatikan bahwa, serupa dengan rentang nilai sinus dan cosinus, Anda dapat menentukan rentang nilai tangen dan kotangen. Berdasarkan definisinya pada lingkaran trigonometri, arti dari fungsi-fungsi ini tidak terbatas:

Apa lagi yang bisa ditulis seperti ini:

Selain sudut dalam rentang dari hingga, lingkaran trigonometri memungkinkan Anda bekerja dengan sudut yang lebih besar dan bahkan dengan sudut negatif. Nilai sudut seperti itu, meskipun tampaknya tidak berarti bagi geometri, digunakan untuk menggambarkan beberapa proses fisik. Misalnya, bagaimana Anda menjawab pertanyaan: “Berapa sudut putaran jarum jam dalam sehari?” Selama waktu ini ia akan menyelesaikan dua putaran penuh, dan dalam satu putaran akan berlalu, yaitu. dalam sehari itu akan berubah menjadi. Seperti yang Anda lihat, nilai-nilai tersebut memiliki arti yang sangat praktis. Tanda sudut digunakan untuk menunjukkan arah putaran - salah satu arah disepakati untuk diukur dengan sudut positif, dan yang lainnya dengan sudut negatif. Bagaimana hal ini dapat diperhitungkan dalam lingkaran trigonometri?

Pada lingkaran dengan sudut seperti itu cara kerjanya sebagai berikut:

1) Sudut yang lebih besar dari , diplot berlawanan arah jarum jam, melewati titik asal sebanyak yang diperlukan. Misalnya, untuk membuat sudut, Anda perlu melakukan dua putaran penuh dan satu putaran lagi. Semua fungsi trigonometri dihitung untuk posisi akhir. Sangat mudah untuk melihat bahwa nilai semua fungsi trigonometri untuk dan untuk akan sama.

2) Sudut negatif disusun persis menurut prinsip yang sama dengan sudut positif, hanya searah jarum jam.

Hanya dengan cara membentuk sudut besar saja kita dapat menyimpulkan bahwa nilai sinus dan kosinus sudut yang berbeda adalah sama. Jika kita menganalisis nilai garis singgung dan kotangen, maka keduanya akan sama untuk sudut yang berbeda sebesar .

Bilangan minimal bukan nol yang jika ditambahkan ke argumen tidak mengubah nilai fungsinya disebut periode fungsi ini.

Dengan demikian, periodesinus dan cosinus adalah sama, dan tangen dan kotangen. Artinya, tidak peduli seberapa banyak Anda menambah atau mengurangi periode-periode ini dari sudut-sudut yang dipertimbangkan, nilai-nilai fungsi trigonometri tidak akan berubah.

Misalnya, , dan sebagainya.

Nanti kita akan kembali ke penjelasan lebih detail dan penerapan sifat fungsi trigonometri ini.

Ada hubungan tertentu antara fungsi trigonometri dengan argumen yang sama yang sangat sering digunakan dan disebut identitas trigonometri dasar.

Mereka terlihat seperti ini:

1) , yang disebut "satuan trigonometri"

3)

4)

5)

Perhatikan bahwa, misalnya, notasi tersebut berarti seluruh fungsi trigonometri adalah kuadrat. Itu. itu dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: . Penting untuk dipahami bahwa ini tidak sama dengan notasi seperti , dalam hal ini hanya argumen yang dikuadratkan, dan bukan seluruh fungsi, dan selain itu, ekspresi jenis ini sangat jarang.

Ada dua akibat wajar yang sangat berguna dari identitas pertama yang dapat berguna dalam memecahkan berbagai jenis masalah. Setelah transformasi sederhana, Anda dapat menyatakan sinus melalui kosinus dengan sudut yang sama dan sebaliknya:

Dua kemungkinan tanda ekspresi muncul karena mengambil akar kuadrat aritmatika hanya memberikan nilai non-negatif, dan sinus serta kosinus, seperti yang telah kita lihat, dapat memiliki nilai negatif. Selain itu, cara paling mudah untuk menentukan tanda-tanda fungsi ini adalah dengan menggunakan lingkaran trigonometri, bergantung pada sudut mana yang ada di dalamnya.

Sekarang mari kita ingat bahwa sudut dapat diukur dengan dua cara: dalam derajat dan radian. Mari kita tunjukkan definisi satu derajat dan satu radian.

Satu derajat- ini adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang membentuk busur sama dengan lingkaran.

Satu radian- ini adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang dibatasi oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari tersebut.

Itu. keduanya hanyalah dua cara berbeda untuk mengukur sudut yang benar-benar sama. Dalam mendeskripsikan proses fisika yang bercirikan fungsi trigonometri, biasanya menggunakan besaran sudut radian, sehingga kita juga harus membiasakannya.

Merupakan kebiasaan untuk mengukur sudut dalam radian dalam pecahan pi, misalnya, atau. Dalam hal ini dapat disubstitusikan dengan nilai bilangan “pi” yaitu sebesar 3,14, namun hal ini jarang dilakukan.

Untuk mengubah besaran derajat sudut menjadi radian manfaatkan fakta bahwa sudutnya adalah , yang darinya mudah untuk mendapatkan rumus terjemahan umum:

Misalnya, mari kita ubah ke radian: .

Ada juga yang sebaliknya rumuskonversi dari radian ke derajat:

Misalnya, mari kita ubah ke derajat: .

Kita akan cukup sering menggunakan ukuran radian sudut dalam topik ini.

Sekaranglah waktunya untuk mengingat nilai spesifik apa yang dapat diberikan oleh fungsi trigonometri berbagai sudut. Untuk beberapa sudut yang merupakan kelipatan , ada tabel nilai fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, sudut dinyatakan dalam satuan derajat dan radian.

Sudut-sudut ini sering ditemui dalam banyak soal, dan disarankan untuk dapat menavigasi tabel ini dengan percaya diri. Nilai tangen dan kotangen dari beberapa sudut tidak masuk akal, yang ditunjukkan dalam tabel sebagai tanda hubung. Pikirkan sendiri mengapa demikian atau bacalah lebih terinci di sisipan pelajaran.

Hal terakhir yang perlu kita pelajari dalam pelajaran trigonometri pertama kita adalah transformasi fungsi trigonometri menggunakan apa yang disebut rumus reduksi.

Ternyata ada tipe ekspresi tertentu untuk fungsi trigonometri yang cukup umum dan mudah disederhanakan. Misalnya, ini adalah ekspresi: dll.

Itu. Kita akan berbicara tentang fungsi yang mengambil sudut sembarang sebagai argumen, diubah menjadi keseluruhan atau setengah bagian. Fungsi-fungsi tersebut disederhanakan menjadi argumen yang sama dengan sudut sembarang penambahan atau pengurangan bagian. Misalnya, , A . Seperti yang Anda lihat, hasilnya bisa berupa fungsi sebaliknya, dan fungsinya bisa berubah tanda.

Oleh karena itu, aturan transformasi fungsi tersebut dapat dibagi menjadi dua tahap. Pertama, Anda perlu menentukan fungsi apa yang akan Anda dapatkan setelah transformasi:

1) Jika argumen arbitrer diubah menjadi bilangan bulat, maka fungsinya tidak berubah. Hal ini berlaku untuk fungsi bertipe , di mana bilangan bulat apa pun;

Dahulu kala di sekolah ada mata kuliah tersendiri yang mempelajari trigonometri. Sertifikat tersebut mencakup nilai dalam tiga disiplin matematika: aljabar, geometri dan trigonometri.

Kemudian, sebagai bagian dari reformasi pendidikan sekolah, trigonometri tidak lagi dijadikan mata pelajaran tersendiri. Di sekolah modern, perkenalan pertama dengan trigonometri terjadi pada mata pelajaran geometri kelas 8. Kajian lebih mendalam mengenai mata pelajaran ini dilanjutkan pada mata kuliah aljabar kelas 10.

Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen pertama kali diberikan dalam geometri melalui hubungan sisi-sisi segitiga siku-siku.

Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.

Kosinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Garis singgung Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Kotangens Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.

Definisi ini hanya berlaku untuk sudut lancip (0º hingga 90°).

Misalnya,

pada segitiga ABC, dimana ∠C=90°, BC adalah kaki yang berhadapan dengan sudut A, AC adalah kaki yang berdekatan dengan sudut A, AB adalah sisi miring.

Mata kuliah aljabar kelas 10 memperkenalkan pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sembarang sudut (termasuk negatif).

Perhatikan sebuah lingkaran berjari-jari R dengan pusat di titik asal - titik O(0;0). Mari kita nyatakan titik potong lingkaran dengan arah positif sumbu absis sebagai P 0 .

Dalam geometri, sudut dianggap sebagai bagian dari bidang yang dibatasi oleh dua sinar. Dengan definisi ini, sudut bervariasi dari 0° hingga 180°.

Dalam trigonometri, sudut dianggap sebagai hasil perputaran sinar OP 0 di sekitar titik awal O.

Pada saat yang sama, mereka sepakat untuk mempertimbangkan memutar sinar berlawanan arah jarum jam sebagai arah lintasan positif, dan searah jarum jam sebagai arah negatif (kesepakatan ini dikaitkan dengan pergerakan sebenarnya Matahari mengelilingi Bumi).

Misalnya, ketika sinar OP 0 diputar mengelilingi titik O dengan sudut α berlawanan arah jarum jam, maka titik P 0 akan menuju ke titik P α,

saat berbelok dengan sudut α searah jarum jam - ke titik F.

Dengan definisi ini, sudut dapat bernilai berapa pun.

Jika kita terus memutar sinar OP 0 berlawanan arah jarum jam, ketika memutar melalui sudut α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, dimana n adalah bilangan bulat (n∈ Ζ), sekali lagi mari kita ke titik P α:

Sudut diukur dalam derajat dan radian.

1° adalah sudut yang sama dengan 1/180 derajat sudut yang dikembangkan.

1 radian adalah sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran:

∠AOB=1 rad.

Simbol radian biasanya tidak ditulis. Penunjukan gelar tidak dapat dihilangkan dari catatan.

Misalnya,

Titik P α , diperoleh dari titik P 0 dengan memutar sinar OP 0 mengelilingi titik O dengan sudut α berlawanan arah jarum jam, mempunyai koordinat P α (x;y).

Mari kita jatuhkan P α A yang tegak lurus dari titik P α ke sumbu absis.

Pada segitiga siku-siku OP α A:

P α A - kaki berlawanan dengan sudut α,

OA - kaki berdekatan dengan sudut ,

OP α adalah sisi miring.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Berdasarkan definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen pada segitiga siku-siku kita mempunyai:

Jadi, dalam kasus lingkaran dengan pusat di titik asal berjari-jari sembarang sinus sudut α adalah perbandingan ordinat titik P α dengan panjang jari-jarinya.

Kosinus sudut α adalah perbandingan absis titik P α dengan panjang jari-jarinya.

Garis singgung sudut α adalah perbandingan ordinat suatu titik P α terhadap absisnya.

Kotangens sudut α adalah perbandingan absis titik P α terhadap ordinatnya.

Nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada nilai α dan tidak bergantung pada panjang jari-jari R (berdasar pada persamaan lingkaran).

Oleh karena itu, lebih mudah untuk memilih R=1.

Lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari R=1 disebut lingkaran satuan.

Definisi

1) Sinus sudut α disebut ordinat titik P α (x;y) dari lingkaran satuan:

2) Kosinus sudut α disebut absis titik P α (x;y) lingkaran satuan:

3) Garis singgung sudut α adalah perbandingan ordinat suatu titik P α (x;y) terhadap absisnya, yaitu perbandingan sinα dengan cosα (di mana cosα≠0):

4) Kotangen sudut α adalah perbandingan absis suatu titik P α (x;y) terhadap ordinatnya, yaitu perbandingan cosα terhadap sinα (dimana sinα≠0):

Definisi yang diperkenalkan dengan cara ini memungkinkan kita untuk mempertimbangkan tidak hanya fungsi trigonometri sudut, tetapi juga fungsi trigonometri argumen numerik (jika kita menganggap sinα, cosα, tanα dan ctgα sebagai fungsi trigonometri sudut dalam α radian, yaitu, sinus bilangan α adalah sinus sudut dalam α radian, kosinus bilangan α adalah kosinus sudut dalam α radian, dst.).

Sifat-sifat fungsi trigonometri dipelajari sebagai topik tersendiri pada mata pelajaran aljabar di kelas 10 atau 11. Fungsi trigonometri banyak digunakan dalam fisika.

Sinus, cosinus, tangen - ketika mengucapkan kata-kata ini di hadapan siswa sekolah menengah, dapat dipastikan bahwa dua pertiga dari mereka akan kehilangan minat untuk berbicara lebih lanjut. Alasannya terletak pada kenyataan bahwa dasar-dasar trigonometri di sekolah diajarkan sepenuhnya terpisah dari kenyataan, sehingga siswa tidak melihat pentingnya mempelajari rumus dan teorema.

Faktanya, jika diteliti lebih dekat, bidang pengetahuan ini ternyata sangat menarik, sekaligus terapan - trigonometri digunakan dalam astronomi, konstruksi, fisika, musik, dan banyak bidang lainnya.

Mari mengenal konsep dasar dan menyebutkan beberapa alasan untuk mempelajari cabang ilmu matematika ini.

Cerita

Tidak diketahui kapan umat manusia mulai menciptakan trigonometri masa depan dari awal. Namun, tercatat bahwa pada milenium kedua SM, orang Mesir sudah mengetahui dasar-dasar ilmu ini: para arkeolog menemukan sebuah papirus dengan tugas yang mengharuskan mereka menemukan sudut kemiringan piramida pada dua sisi yang diketahui.

Para ilmuwan Babel Kuno mencapai kesuksesan yang lebih serius. Selama berabad-abad, mempelajari astronomi, mereka menguasai sejumlah teorema, memperkenalkan metode khusus untuk mengukur sudut, yang, omong-omong, kita gunakan saat ini: derajat, menit, dan detik dipinjam oleh sains Eropa dalam budaya Yunani-Romawi, di mana unit-unit ini berasal dari Babilonia.

Diasumsikan bahwa teorema Pythagoras yang terkenal, yang berkaitan dengan dasar-dasar trigonometri, telah diketahui orang Babilonia hampir empat ribu tahun yang lalu.

Nama

Secara harfiah, istilah “trigonometri” dapat diterjemahkan sebagai “pengukuran segitiga”. Objek kajian utama dalam bagian ilmu ini selama berabad-abad adalah segitiga siku-siku, atau lebih tepatnya, hubungan antara besar sudut dan panjang sisi-sisinya (saat ini, kajian trigonometri dari awal dimulai dengan bagian ini) . Seringkali ada situasi dalam kehidupan ketika hampir tidak mungkin untuk mengukur semua parameter yang diperlukan dari suatu objek (atau jarak ke objek), dan kemudian menjadi perlu untuk mendapatkan data yang hilang melalui perhitungan.

Misalnya, di masa lalu, manusia tidak dapat mengukur jarak ke benda-benda luar angkasa, namun upaya untuk menghitung jarak tersebut telah terjadi jauh sebelum munculnya zaman kita. Trigonometri juga memainkan peran penting dalam navigasi: dengan pengetahuan tertentu, kapten selalu dapat bernavigasi berdasarkan bintang di malam hari dan menyesuaikan jalurnya.

Konsep dasar

Menguasai trigonometri dari awal memerlukan pemahaman dan mengingat beberapa istilah dasar.

Sinus sudut tertentu adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring. Mari kita perjelas bahwa kaki yang berlawanan adalah sisi yang berhadapan dengan sudut yang kita pertimbangkan. Jadi, jika suatu sudut besarnya 30 derajat, sinus sudut tersebut, untuk ukuran segitiga apa pun, akan selalu sama dengan ½. Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Tangen adalah perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan (atau, yang sama, perbandingan sinus dan kosinus). Kotangen adalah satuan dibagi garis singgung.

Perlu disebutkan bilangan terkenal Pi (3.14...), yang merupakan setengah panjang lingkaran dengan jari-jari satu satuan.

Kesalahan populer

Orang yang mempelajari trigonometri dari awal membuat sejumlah kesalahan - sebagian besar karena kurangnya perhatian.

Pertama, ketika menyelesaikan soal geometri, Anda harus ingat bahwa penggunaan sinus dan cosinus hanya mungkin dilakukan pada segitiga siku-siku. Kebetulan seorang siswa “secara otomatis” mengambil sisi terpanjang suatu segitiga sebagai sisi miring dan mendapatkan hasil perhitungan yang salah.

Kedua, pada awalnya mudah untuk mengacaukan nilai sinus dan kosinus untuk sudut yang dipilih: ingatlah bahwa sinus 30 derajat secara numerik sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Jika Anda mengganti angka yang salah, semua perhitungan selanjutnya akan salah.

Ketiga, hingga soal terselesaikan sepenuhnya, Anda tidak boleh membulatkan nilai apa pun, mengekstrak akar, atau menulis pecahan biasa sebagai desimal. Seringkali siswa berusaha keras untuk mendapatkan bilangan yang “indah” dalam soal trigonometri dan segera mengekstrak akar tiga, meskipun setelah tepat satu tindakan akar ini dapat dikurangi.

Etimologi dari kata "sinus"

Sejarah kata “sinus” sungguh tidak biasa. Faktanya adalah terjemahan literal kata ini dari bahasa Latin berarti “kosong.” Hal ini karena pemahaman yang benar tentang kata tersebut hilang selama penerjemahan dari satu bahasa ke bahasa lain.

Nama-nama fungsi dasar trigonometri berasal dari India, di mana konsep sinus dilambangkan dengan kata "string" dalam bahasa Sansekerta - faktanya segmen tersebut, bersama dengan busur lingkaran tempat ia bertumpu, tampak seperti busur. . Pada masa kejayaan peradaban Arab, prestasi India di bidang trigonometri dipinjam, dan istilah tersebut diteruskan ke bahasa Arab sebagai transkripsi. Kebetulan bahasa ini sudah memiliki kata serupa yang menunjukkan depresi, dan jika orang Arab memahami perbedaan fonetik antara kata asli dan kata pinjaman, maka orang Eropa, ketika menerjemahkan risalah ilmiah ke dalam bahasa Latin, secara keliru menerjemahkan kata Arab, yang tidak ada artinya. hubungannya dengan konsep sinus. Kami masih menggunakannya sampai hari ini.

Tabel nilai

Ada tabel yang berisi nilai numerik sinus, cosinus, dan tangen dari semua sudut yang mungkin. Di bawah ini kami menyajikan data sudut 0, 30, 45, 60 dan 90 derajat, yang harus dipelajari sebagai bagian wajib trigonometri untuk “boneka”;

Jika kebetulan nilai numerik sinus atau kosinus suatu sudut “keluar dari pikiran Anda”, ada cara untuk menurunkannya sendiri.

Representasi geometris

Mari kita menggambar sebuah lingkaran dan menggambar sumbu absis dan ordinat melalui pusatnya. Sumbu absisnya horizontal, sumbu ordinatnya vertikal. Mereka biasanya diberi tanda masing-masing sebagai "X" dan "Y". Sekarang kita akan menggambar garis lurus dari pusat lingkaran sehingga diperoleh sudut yang kita butuhkan antara lingkaran tersebut dengan sumbu X. Terakhir, dari titik potong garis lurus lingkaran, kita turunkan garis tegak lurus terhadap sumbu X. Panjang segmen yang dihasilkan akan sama dengan nilai numerik sinus sudut kita.

Cara ini sangat relevan jika Anda lupa nilai yang diminta, misalnya saat ujian, dan Anda tidak memiliki buku teks trigonometri. Anda tidak akan mendapatkan angka pastinya dengan cara ini, tetapi Anda pasti akan melihat perbedaan antara ½ dan 1,73/2 (sinus dan kosinus sudut 30 derajat).

Aplikasi

Beberapa ahli pertama yang menggunakan trigonometri adalah para pelaut yang tidak memiliki titik acuan lain di laut lepas kecuali langit di atas kepala mereka. Saat ini, kapten kapal (pesawat terbang dan moda transportasi lainnya) tidak mencari jalur terpendek menggunakan bintang, tetapi secara aktif menggunakan navigasi GPS, yang tidak mungkin dilakukan tanpa menggunakan trigonometri.

Di hampir setiap bagian fisika Anda akan menemukan perhitungan menggunakan sinus dan kosinus: baik itu penerapan gaya dalam mekanika, perhitungan jalur benda dalam kinematika, getaran, perambatan gelombang, pembiasan cahaya - Anda tidak dapat melakukannya tanpa trigonometri dasar di rumusnya.

Profesi lain yang tidak terpikirkan tanpa trigonometri adalah surveyor. Dengan menggunakan teodolit dan alat tingkat atau yang lebih kompleks - takometer, orang-orang ini mengukur perbedaan ketinggian antara berbagai titik di permukaan bumi.

Pengulangan

Trigonometri tidak hanya membahas sudut dan sisi segitiga, meskipun di sinilah ia memulai keberadaannya. Di semua bidang di mana terdapat siklus (biologi, kedokteran, fisika, musik, dll.), Anda akan menemukan grafik yang namanya mungkin Anda kenal - yaitu gelombang sinus.

Grafik seperti itu adalah lingkaran yang terbentang sepanjang sumbu waktu dan tampak seperti gelombang. Jika Anda pernah bekerja dengan osiloskop di kelas fisika, Anda pasti tahu apa yang sedang kita bicarakan. Baik equalizer musik maupun monitor detak jantung menggunakan rumus trigonometri dalam pekerjaannya.

Akhirnya

Ketika memikirkan cara belajar trigonometri, sebagian besar siswa SMP dan SMA mulai menganggapnya sebagai ilmu yang sulit dan tidak praktis, karena mereka hanya berkenalan dengan informasi membosankan dari buku teks.

Mengenai ketidakpraktisan, kita telah melihat bahwa, pada tingkat tertentu, kemampuan menangani sinus dan garis singgung diperlukan di hampir semua bidang aktivitas. Adapun kerumitannya... Pikirkan: jika orang menggunakan pengetahuan ini lebih dari dua ribu tahun yang lalu, ketika orang dewasa memiliki pengetahuan yang lebih sedikit dibandingkan siswa sekolah menengah saat ini, apakah realistis bagi Anda secara pribadi untuk mempelajari bidang ilmu ini pada tingkat dasar? Beberapa jam latihan yang bijaksana dalam memecahkan masalah - dan Anda akan mencapai tujuan Anda dengan mempelajari kursus dasar, yang disebut trigonometri untuk boneka.