Jerat node. Metode simpul pada soal B5 Untuk jaring simpul tiga bidang datar

Ada rumus luar biasa yang memungkinkan Anda menghitung luas poligon pada grid koordinat dengan hampir tidak ada kesalahan. Itu bahkan bukan sebuah formula, itu nyata. dalil. Sekilas mungkin tampak rumit. Namun itu cukup untuk menyelesaikan beberapa masalah dan Anda akan memahami betapa kerennya fitur ini. Jadi silakan!

Pertama, mari kita perkenalkan definisi baru:

Node grid adalah setiap titik yang terletak pada perpotongan garis vertikal dan horizontal dari grid tersebut.

Penamaan:

Pada gambar pertama, node tidak ditandai sama sekali. Yang kedua menunjukkan 4 node. Terakhir, gambar ketiga menunjukkan 16 node.

Bagaimana hubungannya dengan tugas B5? Faktanya adalah bahwa simpul-simpul poligon dalam masalah seperti itu Selalu terletak di node grid. Akibatnya, teorema berikut berlaku untuk mereka:

Dalil. Pertimbangkan sebuah poligon pada kisi koordinat, yang simpul-simpulnya terletak pada simpul-simpul kisi ini. Maka luas poligonnya adalah:

dimana n adalah jumlah node di dalam poligon tertentu, k adalah jumlah node yang terletak pada perbatasannya (border node).

Sebagai contoh, perhatikan segitiga biasa pada kisi koordinat dan coba tandai titik dalam dan titik batasnya.

Gambar pertama menunjukkan segitiga biasa. Gambar kedua menunjukkan simpul-simpul dalamnya yang jumlahnya n = 10. Gambar ketiga menunjukkan simpul-simpul yang terletak pada batas, jumlahnya k = 6.

Mungkin banyak pembaca yang masih bingung bagaimana cara menghitung angka n dan k. Mulailah dengan node dalam. Semuanya jelas di sini: kita mengecat segitiga dengan pensil dan melihat berapa banyak titik yang diarsir.

Node batas sedikit lebih rumit. Batas poligon - polyline tertutup, yang memotong kisi koordinat di banyak titik. Cara termudah adalah dengan menandai beberapa titik “awal”, dan kemudian mengelilingi sisanya.

Node batas hanya berupa titik-titik pada polyline tempat titik-titik tersebut berpotongan secara bersamaan tiga baris:

Sebenarnya, ini adalah garis putus-putus;
Garis kisi horizontal;
Garis vertikal.

Mari kita lihat bagaimana semua ini bekerja dalam permasalahan nyata.

Tugas. Hitunglah luas segitiga jika ukuran selnya 1 x 1 cm:

Pertama, mari tandai titik-titik yang terletak di dalam segitiga, serta di perbatasannya:

Ternyata hanya ada satu simpul internal: n = 1. Ada sebanyak enam simpul batas: tiga berhimpitan dengan simpul segitiga, dan tiga lagi terletak di samping. Jumlah k = 6.

Sekarang kita menghitung luasnya menggunakan rumus:

Itu saja! Masalah terpecahkan.

Tugas. Temukan luas segi empat yang digambarkan pada kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm. Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Sekali lagi, tandai node internal dan batas. Hanya ada n = 2 simpul internal. K = 7 simpul batas, 4 diantaranya titik sudut segi empat, dan 3 lagi terletak di samping.

Tetap mengganti angka n dan k ke dalam rumus luas:

Perhatikan contoh terakhir. Tugas ini sebenarnya diusulkan selama pekerjaan diagnostik pada tahun 2012. Jika Anda bekerja sesuai skema standar, Anda harus melakukan banyak konstruksi tambahan. Dan dengan metode simpul, semuanya diselesaikan hampir secara lisan.

Catatan penting tentang area

Namun formula bukanlah segalanya. Mari kita tulis ulang rumusnya sedikit dengan menambahkan suku-suku di sisi kanan ke penyebut yang sama. Kita mendapatkan:

Angka n dan k adalah jumlah node, selalu bilangan bulat. Artinya seluruh pembilangnya juga merupakan bilangan bulat. Kami membaginya dengan 2, yang menghasilkan fakta penting:

Area selalu diungkapkan bilangan bulat atau pecahan. Selain itu, di akhir pecahan selalu ada “lima persepuluh”: 10,5; 17.5, dll.

Jadi, luas pada soal B5 selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat atau pecahan yang berbentuk ***,5. Jika jawabannya berbeda, berarti ada kesalahan di suatu tempat. Ingatlah ini ketika Anda mengikuti Ujian Negara Bersatu dalam matematika!

Ringan, kerawang, dengan pola simpul jaring yang jelas hanya jika terbuat dari benang rata dan halus (tanpa serat): ini adalah tali pancing, benang linen, wol yang dipilin kuat. Dengan mengurangi atau menambah jarak antar titik, jaring tersebut menjalin objek tiga dimensi, mengulangi bentuknya secara akurat. Namun paling sering, tekstur jaring yang monoton dan tidak mencolok digunakan sebagai latar belakang pola utama.

Ada aturan tertentu untuk menenun jaring:

semakin besar ruang di antara benang yang digantung di alasnya, semakin banyak kerawang jaringnya;
jumlah benang yang digantung pada lungsin harus kelipatan dari jumlah benang dalam satu simpul;
benang simpul yang diikat dan diikat dengan pola kotak-kotak ditukar setelah setiap baris, sehingga digunakan secara merata;
jumlah baris dihitung dari tepi samping bingkai (dari atas ke bawah) pada simpul terluar, dengan memperhatikan bahwa simpul baris ganjil terletak di bagian paling tepi, dan simpul genap dipindahkan lebih dalam;
jumlah benang gantung tergantung pada motif polanya (motif adalah sejumlah simpul tertentu yang diulang secara ritmis dalam pola).

Jaring simpul sederhana (Gbr. 164, a).

Ujung benang gantung untuk menenun jaring harus 2 kali lebih panjang dari tinggi produk jadi. Pekerjaan dapat dilakukan dari kanan ke kiri dan dari kiri ke kanan.

Kencangkan 4 benang sepanjang 1 m ke alas dengan jarak 2-3 cm satu sama lain, lipat menjadi dua (ternyata 8 benang).

Baris pertama - mundur 1 cm dari alas, ikat satu simpul sederhana kiri pada setiap pasang benang (Gbr. 164, b) dan sematkan ke setengahnya - Anda mendapatkan 4 simpul (Gbr. 164, c).

Baris ke-2 - sisihkan benang paling kiri dan pada 2 benang berikutnya (masing-masing 1 benang dari simpul baris ke-1) ikat simpul sederhana kiri, mundur dari baris ke-1 sejauh 2-3 cm simpul, letakkan pada ketinggian yang sama dengan simpul pertama. Benang terakhir di sebelah kanan dibiarkan lepas. 3 node telah terbentuk, yang terhuyung-huyung sehubungan dengan node pada baris pertama.

Sematkan juga simpul ini ke bantal.

Baris ke-3 - kerjakan 1 benang bebas luar dan 2-3 cm di bawah baris ke-2, ikat simpul sederhana pada setiap pasang benang. 4 node terbentuk (seperti pada baris pertama).

Baris ke-4 - menenun seperti baris ke-2, berusaha menjaga jarak yang sama antar baris.

Gambar 164, 165 dan 166:

Untuk mencegah jaring tergelincir di atas bantal, jangan lupa menyematkan simpul dengan peniti - ini akan membantu menghindari kemiringan baris. Pastikan benang lepas di tepi jaring memiliki ukuran yang sama di semua baris.

Jaringnya bisa ditenun menjadi lingkaran jika Anda mengikat ujung-ujung lungsin menjadi satu. Dalam hal ini, tidak ada benang bebas, karena semua benang terlibat dalam menenun setiap baris.

Jaring simpul sederhana yang terjalin (Gbr. 165, a).

Pada pola ini, diikatkan 2 simpul sederhana pada setiap 2 benang, saling terjalin: pertama simpul sederhana kanan diikat (tidak rapat) pada benang kiri, kemudian benang kanan ditarik ke dalam simpul longgar. (Gbr. 165, b) dan simpul sederhana kiri diikat sekaligus mengencangkan simpul kanan. Kedua simpul harus terjalin secara simetris (Gbr. 165, c) - jalinan seperti itu disebut “simpul cinta”.

Jala simpul dasi (Gbr. 166).

Jumlah ujung benang yang digantung adalah kelipatan 2. Panjangnya harus 2 kali tinggi mata jaring.

Jaring simpul Armenia.

Perhitungan satu set benang sama seperti pada jaring sebelumnya, jika simpul diikat pada 2 benang (Gbr. 167, a). Versi lain dari pola tersebut (Gbr. 167, b): simpul pada baris ganjil dibuat pada 3 benang, pada baris genap - pada 2. Jumlah ujung benang gantung pada pola ini harus dibagi 3. Panjangnya tidak sama (Gbr. 168): benang pendek memiliki tinggi mata jaring yang sama, benang panjang harus 2 kali lebih besar.

Skema 167-168:

Jerat simpul lingkaran.

Mereka bisa kerawang atau lebih padat tergantung pada jumlah simpul di setiap tautan: semakin sedikit simpul, semakin padat jaringnya.

Grid dari node kanan tunggal

(padat - Gambar 169). Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 2 kali tinggi mata jaring.

Skema 169-172:

Untuk jaring tiga simpul satu sisi

(semuanya 3 benar) - gbr. 170, jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4. Panjang benang ganjil harus sama dengan tinggi mata jaring, benang genap - 2,5 kali lebih panjang.

Jaring kerawang dari kombinasi simpul lingkaran kanan dan kiri

(Gbr. 171) terbuat dari benang yang panjangnya 2,5 kali dari tingginya, jumlahnya harus habis dibagi 2.

Jaring kerawang dengan sel persegi

(Gbr. 172) ditenun dari rantai “ular”, yang masing-masing terdiri dari 4-6 simpul. "Ular" tersebut dihubungkan berpasangan dengan simpul datar ganda. Jumlah ujung benang gantung untuk jaring adalah kelipatan 4, panjangnya harus 3 kali tinggi jaring.

Jala-jala simpul yang bertautan.

Simpul di dalamnya diikat dengan benang tunggal (Gbr. 173, a) dan benang ganda (Gbr. 173, b). Panjang benang gantung pada kedua mata jaring ini harus 3 kali tinggi mata jaring. Jumlah ujung mata jaring pertama harus habis dibagi 2, untuk mata jaring kedua - dengan 4.

Skema 173-176:

Kelim jaring terbuat dari simpul tatting (Gbr. 174).

Ditenun dengan simpul “tatting” kanan dan kiri secara bergantian: pada baris ganjil, simpul kiri diikat pada setiap 2 benang, pada baris genap, simpul kanan diikat pada simpul yang sama, menggunakan benang kerja dari simpul yang berlawanan. baris sebelumnya. Dalam hal ini, simpul-simpulnya tidak disusun dalam pola kotak-kotak, melainkan dalam barisan vertikal, satu di bawah yang lain. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2 ditambah 1 untuk simetri, benang yang diikat harus sama dengan panjang mata jaring, benang yang bekerja harus 2,5 kali lebih panjang.

Jaring simpul rep.

Mereka ditenun menggunakan simpul rep diagonal dan vertikal.

Saat menenun jaring dengan sel besar (Gbr. 175, a), baris ganjil dibuat pada setiap 2 benang, mengikatnya dengan simpul diagonal dari kiri ke kanan (benang kanan di tangan kiri adalah benang yang diikat, benang kiri di tangan kanan adalah utas yang berfungsi). Di baris genap, fungsi utas berubah: utas yang diikat dari baris sebelumnya menjadi utas yang berfungsi. Node dilakukan dari kanan ke kiri.

Jika simpul jaring ditempatkan berdekatan satu sama lain, maka permukaan tenun akan berbandul halus (Gbr. 175, b). Jenis jaring ini disebut tweed dan bouclé. Jumlah ujung benang gantung harus dibagi 2, panjangnya harus 4 kali tinggi mata jaring.

Menenun jaring dengan sel segitiga dari simpul rep vertikal

(Gbr. 176) mirip dengan menenun kekang horizontal dari simpul rep vertikal (lihat Gambar 38, c).

Ujung benang gantung harus sama panjangnya dengan jaring, jumlahnya harus dibagi 2. Sebelum bekerja, semua benang dibagi menjadi 2 - ini diikat, dan di baris pertama, dengan benang tambahan sebagai benang kerja benang, satu repetisi vertikal diikatkan pada setiap pasang simpul benang (dari kanan ke kiri). Pada baris berikutnya, benang yang diikat didistribusikan kembali dalam pola kotak-kotak dan dijalin di sekitar setiap pasang benang yang diikat dari kiri ke kanan. Benang kerja untuk menenun dapat dipotong sesuai kebutuhan.

Jerat simpul datar.

Mereka sangat populer di bidang tenun. Beberapa di antaranya menyerupai renda, yang lain, sangat padat, memiliki jalinan benang yang rumit.

Jaring padat dari simpul datar tunggal ditenun dengan mengikat simpul berdekatan satu sama lain. Jaring dapat dibuat lebih jarang dan lebih timbul (Gbr. 177) jika setiap mata rantai dijalin dari beberapa simpul (jumlahnya harus cukup agar burung pengicau dapat memutar ujungnya).

Banyaknya ujung benang gantung pada kedua mata jaring adalah kelipatan 4. Panjang ujung mata jaring pertama harus 3 kali, dan mata jaring kedua harus 5 kali tingginya.

Skema 177-180:

Kotak simpul datar ganda - “papan catur” (Gbr. 178)

Teksturnya lebih jelas jika palang semua node terletak di satu sisi. Jumlah ujung benang yang digantung adalah kelipatan 4. Panjangnya harus 4 kali tinggi mata jaring.

Struktur simpul datar ganda memungkinkan Anda menenun jaring tanpa menggantungkan benang pada lungsin. Sebagai gantinya, peniti digunakan: benang dilipat menjadi dua, dijepit dengan lingkaran ke atas ke bantal, dan simpul datar ganda diikat pada setiap 4 benang (Gbr. 179).

Teknik ini digunakan saat menenun pakaian, selendang, mis. ketika tepi elastis diperlukan.

Untuk menenun jaring simpul datar ganda berpasangan pada 6 benang

(Gbr. 180) ujung benang gantung harus 3 kali lebih panjang dari tinggi mata jaring, dan jumlahnya harus dibagi 6. Pertama, ikat simpul datar ganda pada 4 benang tengah (2, 3, 4 dan ke-5) dan tarik benang yang berfungsi ke benang samping (ke-2 dan ke-5), lalu ikat simpul ke-2 pada benang yang diikat sama (ke-3 dan ke-4) dengan benang bebas (ke-1 dan ke-6). Memulai dan mengakhiri baris berikutnya, 3 utas pertama dan terakhir ditarik ke samping, utas tengah didistribusikan kembali menjadi enam.

Dengan menggunakan prinsip yang sama, jaring ditenun dari simpul datar ganda yang dihubungkan dalam kelompok 3 buah (Gbr. 181). Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 8, panjangnya harus 2-3 kali tinggi mata jaring.

Jaring jalur kerawang (Gbr. 182) dibuat dengan jumlah benang yang sama dengan yang sebelumnya, tetapi benang tersebut didistribusikan kembali setelah 2 kelompok yang terdiri dari 3 simpul diikat pada simpul yang sama dengan jarak antar kelompok 0,5 cm.

Skema 181-184:

Dalam jaring simpul datar ganda - "polyanka"

(Gbr. 183) - simpul tidak ditempatkan dalam pola kotak-kotak, tetapi di bawah satu sama lain. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4, panjangnya harus 3 kali tinggi mata jaring.

Hem-mesh

(Gbr. 184) dilakukan dengan menyilangkan benang kerja di setiap baris. Panjang benang kerja 4-6 kali lebih panjang dari benang simpul, panjang benang simpul sama dengan tinggi mata jaring. Jumlah ujung benang yang digantung pada lungsin harus habis dibagi 4. Pastikan tenunan benang yang bekerja sama di semua tempat: kanan ke kiri.

Untuk jaring dengan sel besar simpul datar ganda

(Gbr. 185) jumlah ujung benang yang digantung adalah kelipatan 6 ditambah 4 benang. Agar polanya simetris, panjang benang yang diikat (2, 3, 5 dan 6) harus sama dengan tinggi benang. jala, benang kerja (1 dan 4) 2 kali lebih panjang.

Skema 185-188

Untuk jaring tiga titik datar

(Gbr. 186) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4, panjangnya harus 4 kali tinggi mata jaring.

Untuk jaring simpul kompleks datar

(Gbr. 187) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 6, panjangnya harus 4 kali tinggi mata jaring.

Untuk jaring dengan pemandangan depan

(Gbr. 188) jumlah ujung benang gantung harus dibagi 4, panjangnya harus 3,5-4 kali tinggi mata jaring. “Lalat” ditenun dari 4 benang (benang ke-1 dan ke-4 adalah benang yang berfungsi, benang ke-2 dan ke-3 diikat): pertama ikat simpul datar tunggal kiri, lalu ikat simpul sederhana kanan dengan 2 simpul (Gbr. 189, a ) dan di bawahnya - simpul datar ganda dengan palang kiri (Gbr. 189, b). Jika “lalat” dibuat dari benang tebal, maka alih-alih simpul datar ganda, simpul datar tunggal yang diikat diikat (Gbr. 189, c).

Skema 189-191

Jaring simpul Cina (Gbr. 190).

Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 3 kali tinggi mata jaring (untuk teknik mengikat simpul, lihat Gambar 139, a, b). Jika Anda menggantung benang, bergantian berdasarkan warna, maka baris ganjil dari jaring akan dibuat dari simpul dua warna, dan baris genap akan dibuat monokromatik (Gbr. 191).

Jaring simpul Josephine (Gbr. 192).

Lebih baik membuatnya dari seikat benang atau benang tunggal tapi tebal. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 4 kali tinggi mata jaring.

Skema 192-193:

Jaring terbuat dari kepang (Gbr. 193).

Ini cukup rumit dalam pelaksanaannya, karena saat menenun sulit untuk menjaga jarak yang sama antar kepang. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 4-5 kali tinggi mata jaring.

Fragmen jerat geometris.

Irama node grid mudah diatur ulang menjadi bentuk geometris: segi enam (Gbr. 194, a), segitiga (Gbr. 194, b), belah ketupat (Gbr. 194, c).

Teknik menenunnya sangat sederhana. Misalnya, jika Anda menenun segitiga, maka di awal dan akhir setiap baris baru Anda tidak merajut 2 benang terluar, dan kemudian simpul di baris tersebut akan berkurang 1 simpul dibandingkan yang sebelumnya. Mereka menenun dengan cara ini hingga hanya tersisa 1 simpul. Untuk menenun segitiga, tunjukkan pembagian simpul dalam barisan dengan menggunakan angka, misalnya 3, 2, 1. Jika Anda membuat belah ketupat, mulailah dengan 1 simpul: ikat 1 simpul datar ganda pada 4 benang tengah, bagikan 2 benang di bawahnya dan, tambahkan 2 simpul bebas lagi dari tepinya, ikat 2 simpul datar ganda di bawah simpul pertama dengan pola kotak-kotak. Di baris berikutnya mereka juga menambahkan

2 benang di kiri dan kanan, dan hasilnya, kain mengembang setelah setiap baris sebanyak 1 simpul. Setelah menyelesaikan bagian atas berlian, ikat bagian bawahnya. Jumlah node dalam baris: 1.2, 3.2, 1.

Contoh distribusi simpul lainnya di baris 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - menurut akun ini, berlian ditenun dari bahasa Armenia (Gbr. 195, a), rep diagonal (Gbr. 195, b) dan simpul pionir (Gbr. 195, c) dan dari rantai datar (Gbr. 195, d).

Skema 194 - 195

Node grid disejajarkan secara harmonis secara horizontal

(Gbr. 196, a) dan garis zigzag vertikal (Gbr. 196, b). Lebih mudah untuk menenun yang horizontal dengan sudut terpisah, dan kemudian menghubungkannya dengan simpul menggunakan benang dari fragmen yang berdekatan. Sudut-sudutnya ditenun seperti ini: pertama ikat simpul tengah atas, lalu bagi benang di bawahnya secara merata (misalnya masing-masing 2) dan arahkan 2 ke kiri, 2 ke kanan. Di bawah simpul pertama di sebelah kiri, diikat simpul baru, menggunakan 2 benang kiri dari simpul pertama dan 2 benang bebas di sebelah kiri. Simpul di sebelah kanan diikat dengan cara yang sama. Selanjutnya ikat 1 simpul lagi di kanan dan kiri, dengan menggunakan 2 benang bebas dan 2 benang dari simpul sebelumnya. Beginilah cara mereka menenun secara diagonal sesuai ukuran sudut yang diinginkan dengan puncak di bagian atas. Dengan menghubungkan 2 sudut dengan simpul yang diarahkan ke arah yang berlawanan, diperoleh belah ketupat, yang bagian tengahnya diisi dengan benang bebas (Gbr. 197, a). Segi enam ditenun menggunakan prinsip yang sama (Gbr. 197, b).

Skema 196-199

Garis simpul diagonal yang lebih padat

(Gbr. 198) diperoleh jika untuk setiap simpul baru Anda menggunakan 3 benang dari simpul sebelumnya (1 simpul, 2 berfungsi) dan 1 bebas.

Suatu teknik untuk menghubungkan jaring dengan potongan pola lainnya.

Kain mesh monoton digunakan untuk membuat pola baru. Pada kisi-kisi, berbagai pecahan tenunan tampak lebih menonjol, cembung dan ekspresif. Bagaimana kombinasi rantai, simpul, dan elemen lainnya dijalin menjadi jaring? Kenali teknik-teknik ini dengan menggunakan contoh kotak “kotak-kotak” di tengah dengan simpul datar ganda yang umum (Gbr. 199, a).

Pertama, gambarlah sketsa pola baru dan tentukan ukuran serta lokasi simpulnya. Biasanya, itu dituliskan ke dalam belah ketupat dari benang yang berfungsi bebas (Gbr. 199, b). Jaring dijalin sampai bagian atas belah ketupat, kemudian tidak ada simpul yang diikat di tempat yang dimaksudkan belah ketupat: pertama 1 simpul (bagian atas belah ketupat), pada baris berikutnya 2 simpul lagi dengan pola kotak-kotak, kemudian 3 simpul dan seterusnya sampai diperoleh lebar belah ketupat yang diinginkan. Setelah itu, simpul umum diikat. Semakin banyak benang yang tersisa untuk simpul, semakin spektakuler simpulnya (saat mengikat, jangan miringkan: bagian tengah simpul harus bertepatan dengan bagian tengah berlian). Luruskan benang di bawah simpul dan ikat bagian bawah berlian, secara bertahap termasuk 2 benang terluar dari simpul umum.