Memecahkan persamaan irasional, metode penyelesaian, contoh.

Memecahkan persamaan irasional.

Pada artikel ini kita akan membahas tentang solusi persamaan irasional paling sederhana.

Persamaan irasional adalah persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda akar.

Mari kita lihat dua jenis persamaan irasional, yang sekilas sangat mirip, namun pada hakikatnya sangat berbeda satu sama lain.

(1)

(2)

Pada persamaan pertama kita melihat bahwa yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar derajat ketiga. Kita dapat mengambil akar ganjil dari suatu bilangan negatif, sehingga dalam persamaan ini tidak ada batasan baik pada ekspresi di bawah tanda akar maupun pada ekspresi di ruas kanan persamaan. Kita bisa menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat tiga untuk menghilangkan akarnya. Kami mendapatkan persamaan yang setara:

Saat menaikkan ruas kanan dan kiri persamaan ke pangkat ganjil, kita tidak perlu takut mendapatkan akar asing.

Contoh 1. Mari kita selesaikan persamaannya

Mari kita naikkan kedua ruas persamaan ke pangkat tiga. Kami mendapatkan persamaan yang setara:

Mari kita pindahkan semua suku ke satu sisi dan keluarkan x dari tanda kurung:

Menyamakan setiap faktor dengan nol, kita mendapatkan:

Jawaban: (0;1;2)

Mari kita perhatikan persamaan kedua: . Di sisi kiri persamaan terdapat akar kuadrat, yang hanya bernilai non-negatif. Oleh karena itu, agar persamaan tersebut memiliki solusi, ruas kanannya juga harus non-negatif. Oleh karena itu, kondisi diterapkan pada ruas kanan persamaan:

Judul="g(x)>=0"> - это !} syarat keberadaan akar.

Untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, Anda perlu mengkuadratkan kedua ruas persamaan:

(3)

Mengkuadratkan dapat menyebabkan munculnya akar-akar asing, sehingga kita memerlukan persamaan:

Judul="f(x)>=0"> (4)!}

Namun, pertidaksamaan (4) mengikuti kondisi (3): jika ruas kanan persamaan memuat kuadrat suatu ekspresi, dan kuadrat dari ekspresi apa pun hanya dapat bernilai non-negatif, maka ruas kirinya juga harus non- negatif. Oleh karena itu, kondisi (4) secara otomatis mengikuti kondisi (3) dan kita persamaan setara dengan sistem:

Judul="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Contoh 2. Mari selesaikan persamaannya:

.

Mari beralih ke sistem yang setara:

Judul="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Mari selesaikan persamaan pertama sistem dan periksa akar mana yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Ketimpangan title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Jawaban: x=1

Perhatian! Jika dalam proses penyelesaian kita mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka kita harus ingat bahwa akar-akar asing mungkin muncul. Oleh karena itu, Anda harus beralih ke sistem ekuivalen, atau di akhir penyelesaian, LAKUKAN PERIKSA: temukan akar-akarnya dan substitusikan ke dalam persamaan awal.

Contoh 3. Mari selesaikan persamaannya:

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita juga perlu mengkuadratkan kedua ruasnya. Jangan pusingkan ODZ dan syarat keberadaan akar pada persamaan ini, tapi cukup lakukan pengecekan di akhir penyelesaian.

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan:

Mari kita pindahkan suku yang mengandung akar ke kiri, dan semua suku lainnya ke kanan:

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan lagi:

Tentang tema Vieta:

Mari kita lakukan pemeriksaan. Untuk melakukan ini, kita substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya. Jelasnya, pada , ruas kanan persamaan awal adalah negatif, dan ruas kiri adalah positif.

Saat kita memperoleh persamaan yang benar.

Kepala Departemen Matematika, Universitas Negeri Timur Jauh

Sistem persamaan irasional, logaritma dan eksponensial

Secara tradisional, materi pengukuran kontrol untuk Unified State Examination in Mathematics mencakup tugas-tugas yang memungkinkan siswa menguji kemampuannya dalam menyelesaikan berbagai sistem persamaan. Biasanya, ini adalah sistem dua persamaan dengan dua variabel. Persamaan yang termasuk dalam sistem dapat berupa persamaan aljabar, termasuk irasional, atau transendental. Pada artikel ini, kita akan membahas metode utama untuk menyelesaikan sistem dengan dua variabel persamaan irasional, logaritmik, dan eksponensial.

Sebelum beralih langsung ke metode penyelesaian sistem persamaan, mari kita mengingat kembali definisi dasar dan sifat-sifat berbagai fungsi yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan sistem.

Ingatlah bahwa dua persamaan dengan dua bentuk yang tidak diketahui sistem persamaan, jika tugasnya adalah menemukan nilai variabel yang merupakan solusi untuk setiap persamaan.

Solusi sistem dua persamaan dalam dua hal yang tidak diketahui disebut pasangan nomor yang dipesan, ketika menggantinya ke dalam sistem alih-alih variabel yang sesuai, persamaan numerik yang benar diperoleh.

Memecahkan sistem persamaan berarti menemukan semua solusinya.

Proses penyelesaian sistem persamaan, seperti halnya proses penyelesaian persamaan, terdiri dari transisi berurutan, menggunakan beberapa transformasi, dari sistem tertentu ke sistem yang lebih sederhana. Biasanya, transformasi digunakan yang mengarah ke sistem yang setara; dalam hal ini, verifikasi solusi yang ditemukan tidak diperlukan. Jika transformasi yang tidak sama digunakan, maka pemeriksaan solusi yang ditemukan adalah wajib.

Irasional adalah persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar atau di bawah tanda operasi pangkat pecahan.

Perlu dicatat bahwa

1. Semua akar derajat genap yang termasuk dalam persamaan adalah aritmatika. Dengan kata lain, jika ekspresi radikalnya negatif, maka akar kata tidak ada artinya; jika ekspresi radikal sama dengan nol, maka akarnya juga sama dengan nol; Jika ekspresi akarnya positif, maka nilai akarnya juga positif.

2. Semua akar ganjil yang termasuk dalam persamaan didefinisikan untuk setiap nilai riil dari ekspresi radikal. Dalam hal ini, akarnya negatif jika ekspresi radikalnya negatif; sama dengan nol jika ekspresi radikalnya sama dengan nol; positif jika ekspresi radikalnya positif.

Fungsi kamu = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> meningkat dalam domain definisinya.

Saat menyelesaikan sistem persamaan irasional, dua metode utama digunakan: 1) menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sama; 2) pengenalan variabel baru.

Ketika menyelesaikan sistem persamaan irasional dengan menggunakan metode pertama, harus diingat bahwa ketika kedua ruas persamaan yang mengandung akar-akar yang berpangkat genap dinaikkan ke pangkat yang sama, diperoleh persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya, oleh karena itu, asing akar mungkin muncul selama proses solusi

Larutan. Untuk menghilangkan irasionalitas, kami memperkenalkan variabel baru. Misalkan ……………………… (1),

maka sistem awal akan berbentuk: ..gif" width="92" height="59">. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan pertama dan pangkat kedua hingga keempat, kita peroleh sistemnya: , dari mana kita menemukan:

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa solusi yang ditemukan pada sistem terakhir adalah solusi terhadap sistem asli.

Jawaban: (6; 5)

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan

Larutan. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). Mari kita perkenalkan variabel baru: masukkan …………………….(3) dan substitusikan ke persamaan (2), kita mendapatkan persamaan kuadrat dari variabel: ..gif" width="56" height="23 src="> adalah asing, karena melambangkan akar aritmatika..gif" width="84 height=27" height="27">. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan dan nyatakan: .

Mari kita substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dari sistem asli: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Mari kita naikkan kedua sisi persamaan yang dihasilkan menjadi persegi, dan agar tidak memperluas rentang nilai yang diizinkan dari persamaan yang dihasilkan, kami memerlukan https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width = "297" height = "24 src => .gif" width = "65" height = "23 src = ">.gif" width = "56" height = "41 src = "> tidak relevan.

Mari kita temukan nilainya pada di: https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

Larutan. 1. Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan pertama harus non-negatif, yaitu..gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Mari kita substitusikan ke persamaan kedua dan cari nilai variabelnya:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, pasangan (10; 5) bukan merupakan solusi dari sistem aslinya.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa pasangan bilangan yang ditemukan adalah solusi dari sistem aslinya.

Jawaban: (-10; -5)

Agar berhasil menyelesaikan sistem persamaan eksponensial dan logaritma, mari kita mengingat kembali definisi dan sifat-sifat logaritma.

Logaritma suatu bilanganBbasis a adalah eksponen dimana bilangan a harus dipangkatkan untuk mendapatkan bilangan tersebutB.

Sifat dasar logaritma:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Mari kita daftar sifat-sifat utama fungsi eksponensial dan logaritma:

1) Daerah definisi fungsi, dimana seluruh himpunan bilangan real; fungsi https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - himpunan bilangan real positif.

2) Himpunan nilai fungsi adalah himpunan bilangan real positif; fungsi https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">kedua fungsi meningkat; jika - kedua fungsi menurun.

Komentar. Sesuai dengan sifat kedua, ketika menyelesaikan persamaan logaritma, perlu untuk mengetahui kisaran nilai persamaan yang diizinkan, atau setelah menyelesaikannya, lakukan pemeriksaan.

Persamaan eksponensial adalah persamaan transendental yang bilangan yang tidak diketahui dimasukkan dalam eksponen suatu besaran. Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, dua metode utama digunakan:

1) peralihan dari persamaan……….(1) ke persamaan ;

2) pengenalan variabel baru.

Terkadang Anda harus menggunakan teknik buatan.

Metode pertama untuk menyelesaikan persamaan eksponensial didasarkan pada teorema berikut:

Jika, lalu persamaannya setara dengan persamaan .

Mari kita daftar teknik utama untuk mereduksi persamaan eksponensial menjadi persamaan bentuk (1).

1. Mengurangi kedua ruas persamaan menjadi basis yang sama.

2. Logaritma kedua ruas persamaan (jika benar-benar positif) menggunakan basis yang sama.

Komentar. Secara umum, Anda dapat mengambil logaritma dalam basis apa pun, tetapi biasanya Anda mengambil logaritma dalam salah satu basis pangkat yang termasuk dalam persamaan.

3. Memfaktorkan ruas kiri persamaan dan mereduksi persamaan tersebut menjadi himpunan beberapa persamaan yang berbentuk (1).

Persamaan logaritma adalah persamaan transendental yang mana hal yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam argumen logaritma.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, dua metode utama digunakan:

1) transisi dari persamaan ke persamaan bentuk;

2) pengenalan variabel baru.

Komentar. Karena domain definisi fungsi logaritma hanyalah himpunan bilangan real positif, maka ketika menyelesaikan persamaan logaritma, perlu untuk menemukan domain nilai persamaan yang diizinkan (ADV), atau setelah menemukan solusi persamaan tersebut. melakukan pemeriksaan.

Memecahkan bentuk persamaan logaritma paling sederhana

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - satu-satunya root.

Untuk persamaan bentuk https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Contoh 4. Temukan nilai ekspresi jika pasangan merupakan solusi sistem persamaan https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Karena persamaan sistem mengandung logaritma dalam dua basis berbeda, mari kita beralih ke satu basis 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, kami menyimpulkan bahwa itu adalah akar asing. Dari persamaan pertama sistem terakhir kita menemukan nilainya di: https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Contoh 5. Temukan jumlah terbesar jika pasangan tersebut merupakan solusi sistem persamaan https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> dari persamaan kedua sistem: ..gif" width="161" height="21">. Kami memperoleh persamaan eksponensial untuk satu variabel.

Mari kita gunakan sifat-sifat derajat: . Persamaan tersebut melibatkan pangkat dengan dua basis berbeda. Teknik standar untuk berpindah ke alas yang sama adalah dengan membagi kedua ruas persamaan dengan salah satu pangkat yang memiliki eksponen terbesar..gif" width="164" height="49">. Metode standar untuk menyelesaikan soal jenis ini persamaan eksponensial adalah mengubah variabel. Misalkan (perhatikan bahwa berdasarkan sifat-sifat fungsi eksponensial, nilai variabel baru harus positif), maka kita mendapatkan persamaan https://pandia.ru/text/78/063 /images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Kami memecahkan satu set dua persamaan: . Kami mendapatkan: ; .

Dari persamaan https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Jadi, pasangkan dan https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> dan pilih yang terbesar, yang jelas sama dengan 3.

Mari kita perhatikan beberapa contoh sistem persamaan “gabungan” yang mencakup berbagai jenis persamaan: irasional, logaritmik, eksponensial.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Transformasikan sistem menggunakan sifat derajat dan logaritma:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), maka persamaan kedua sistem tersebut akan berbentuk: Ayo selesaikan persamaan rasional pecahan ini, mengingat . Kita mendapatkan: https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> melalui .

Ketika https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src="> . Mari kita selesaikan persamaan ini: karena harus positif, maka ini adalah akar asing; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, kita mendapatkan .

Ketika https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src="> . Oleh karena itu, kami telah menemukan bahwa hanya faktor kedua dari hasil perkalian yang dapat sama dengan nol: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28 ">. Jelas sekali, yang merupakan akar asing. Oleh karena itu, solusi lain untuk sistem ini adalah pasangan. .

Institusi pendidikan kota

"Sekolah Menengah Kuedino No. 2"

Metode penyelesaian persamaan irasional

Diselesaikan oleh: Olga Egorova,

Pengawas:

Guru

matematika,

kualifikasi tertinggi

Perkenalan....……………………………………………………………………………………… 3

Bagian 1. Metode penyelesaian persamaan irasional…………………………………6

1.1 Menyelesaikan persamaan irasional bagian C……….….….………………………21

Bagian 2. Tugas individu…………………………………………….....………...24

Jawaban………………………………………………………………………………………….25

Daftar Referensi…….…………………………………………………………………….26

Perkenalan

Pendidikan matematika yang diterima di sekolah komprehensif merupakan komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum manusia modern. Hampir segala sesuatu yang ada di sekitar manusia modern semuanya berhubungan dengan matematika. Dan kemajuan terkini di bidang fisika, teknik, dan teknologi informasi tidak diragukan lagi bahwa di masa depan keadaan akan tetap sama. Oleh karena itu, menyelesaikan banyak masalah praktis berarti menyelesaikan berbagai jenis persamaan yang perlu Anda pelajari cara menyelesaikannya. Salah satu jenisnya adalah persamaan irasional.

Persamaan irasional

Persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui (atau ekspresi aljabar rasional untuk sesuatu yang tidak diketahui) di bawah tanda radikal disebut persamaan irasional. Dalam matematika dasar, solusi persamaan irasional ditemukan dalam himpunan bilangan real.

Persamaan irasional apa pun dapat direduksi menjadi persamaan aljabar rasional menggunakan operasi aljabar dasar (perkalian, pembagian, menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat bilangan bulat). Perlu diingat bahwa persamaan aljabar rasional yang dihasilkan mungkin tidak setara dengan persamaan irasional awal, yaitu mungkin mengandung akar-akar “ekstra” yang bukan merupakan akar-akar persamaan irasional awal. Oleh karena itu, setelah menemukan akar-akar persamaan aljabar rasional yang dihasilkan, perlu dilakukan pengecekan apakah semua akar persamaan rasional tersebut merupakan akar-akar persamaan irasional.

Dalam kasus umum, sulit untuk menunjukkan metode universal untuk menyelesaikan persamaan irasional apa pun, karena diinginkan bahwa, sebagai hasil transformasi persamaan irasional asli, hasilnya bukan hanya persamaan aljabar rasional, di antara akar-akarnya. yang merupakan akar-akar persamaan irasional yang diberikan, tetapi persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat sekecil mungkin. Keinginan untuk memperoleh persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat sekecil mungkin adalah hal yang wajar, karena menemukan semua akar persamaan aljabar rasional itu sendiri dapat menjadi tugas yang agak sulit, yang hanya dapat kita selesaikan sepenuhnya. dalam jumlah kasus yang sangat terbatas.

Jenis persamaan irasional

Menyelesaikan persamaan irasional berderajat genap selalu menimbulkan lebih banyak masalah daripada menyelesaikan persamaan irasional berderajat ganjil. Saat menyelesaikan persamaan irasional berderajat ganjil, OD tidak berubah. Oleh karena itu, di bawah ini kita akan membahas persamaan irasional yang derajatnya genap. Ada dua jenis persamaan irasional:

2..

Mari kita pertimbangkan yang pertama.

persamaan ODZ: f(x)≥ 0. Dalam ODZ, ruas kiri persamaan selalu non-negatif - oleh karena itu, solusi hanya bisa ada jika G(X)≥ 0. Dalam hal ini, kedua ruas persamaan adalah non-negatif, dan eksponensial 2 N memberikan persamaan yang setara. Kami mengerti

Mari kita perhatikan faktanya dalam kasus ini ODZ dijalankan secara otomatis, dan tidak perlu menuliskannya, melainkan syaratnyaG(x) ≥ 0 harus dicentang.

Catatan: Ini adalah syarat kesetaraan yang sangat penting. Pertama, hal ini membebaskan siswa dari kebutuhan untuk menyelidiki, dan setelah menemukan solusi, periksa kondisi f(x) ≥ 0 – ekspresi akar yang non-negatif. Kedua, fokus pada pengecekan kondisiG(x) ≥ 0 – sisi kanan yang tidak negatif. Lagi pula, setelah mengkuadratkan, persamaannya terpecahkan yaitu, dua persamaan diselesaikan sekaligus (tetapi pada interval sumbu numerik yang berbeda!):

1. - dimana G(X)≥ 0 dan

2. - dimana g(x) ≤ 0.

Sementara itu, banyak orang, karena kebiasaan mencari ODZ, bertindak sebaliknya ketika menyelesaikan persamaan berikut:

a) setelah menemukan solusi, mereka memeriksa kondisi f(x) ≥ 0 (yang secara otomatis terpenuhi), sambil membuat kesalahan aritmatika dan memperoleh hasil yang salah;

b) mengabaikan kondisi tersebutG(x) ≥ 0 - dan sekali lagi jawabannya mungkin salah.

Catatan: Kondisi kesetaraan sangat berguna ketika menyelesaikan persamaan trigonometri, di mana mencari ODZ melibatkan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri, yang jauh lebih sulit daripada menyelesaikan persamaan trigonometri. Memeriksa kondisi genap dalam persamaan trigonometri G(X)≥ 0 tidak selalu mudah dilakukan.

Mari kita perhatikan persamaan irasional jenis kedua.

. Biarkan persamaannya diberikan . ODZ-nya:

Dalam ODZ kedua ruasnya non-negatif, dan pengkuadratannya menghasilkan persamaan yang ekuivalen F(x) =G(X). Oleh karena itu, di ODZ atau

Dengan metode solusi ini, cukup dengan memeriksa non-negatif dari salah satu fungsi - Anda dapat memilih fungsi yang lebih sederhana.

Bagian 1. Metode penyelesaian persamaan irasional

1 metode. Menyingkirkan radikal dengan menaikkan kedua sisi persamaan secara berturut-turut ke pangkat alami yang sesuai

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah metode menghilangkan radikal dengan menaikkan kedua ruas persamaan secara berturut-turut ke pangkat alami yang sesuai. Perlu diingat bahwa ketika kedua ruas persamaan dipangkatkan ganjil, persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan awal, dan jika kedua ruas persamaan dipangkatkan genap, persamaan yang dihasilkan umumnya akan berbicara, tidak setara dengan persamaan aslinya. Hal ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap. Hasil dari operasi ini adalah persamaan , himpunan solusinya merupakan gabungan dari himpunan solusi: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Namun , terlepas dari kelemahan ini, prosedur menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat tertentu (sering kali genap) merupakan prosedur paling umum untuk mereduksi persamaan irasional menjadi persamaan rasional.

Selesaikan persamaan:

Di mana - beberapa polinomial. Karena definisi operasi ekstraksi akar dalam himpunan bilangan real, nilai yang tidak diketahui yang diizinkan adalah https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" tinggi="21">..gif " lebar="243" tinggi="28 src=">.

Karena kedua ruas persamaan 1 dikuadratkan, mungkin tidak semua akar persamaan 2 merupakan solusi persamaan awal;

Selesaikan persamaan:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Kubus kedua sisi persamaan, kita dapatkan

Mengingat https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Persamaan terakhir mungkin memiliki akar yang, secara umum, bukan akar dari persamaannya ).

Kita pangkatkan kedua ruas persamaan ini: . Kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Dengan memeriksa kita menetapkan bahwa x1 = 0 adalah akar asing dari persamaan (-2 ≠ 1), dan x2 = 1 memenuhi persamaan awal persamaan.

Menjawab: x = 1.

Metode 2. Mengganti sistem kondisi yang berdekatan

Saat menyelesaikan persamaan irasional yang mengandung radikal berorde genap, akar asing mungkin muncul dalam jawaban, yang tidak selalu mudah diidentifikasi. Untuk memudahkan dalam mengidentifikasi dan membuang akar-akar asing, ketika menyelesaikan persamaan irasional, akar tersebut segera diganti dengan sistem kondisi yang berdekatan. Pertidaksamaan tambahan dalam sistem sebenarnya memperhitungkan ODZ persamaan yang diselesaikan. Anda dapat menemukan ODZ secara terpisah dan memperhitungkannya nanti, tetapi lebih baik menggunakan sistem kondisi campuran: ada lebih sedikit bahaya melupakan sesuatu atau tidak memperhitungkannya dalam proses penyelesaian persamaan. Oleh karena itu, dalam beberapa kasus lebih rasional menggunakan metode transisi ke sistem campuran.

Selesaikan persamaan:

Menjawab: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Persamaan ini setara dengan sistem

Menjawab: persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

Metode 3. Menggunakan properti root ke-n

Saat menyelesaikan persamaan irasional, sifat-sifat akar ke-n digunakan. Akar aritmatika N- th derajat dari kalangan A hubungi nomor non-negatif N- saya yang kekuatannya sama dengan A. Jika N - bahkan( 2n), maka a ≥ 0, jika tidak, akarnya tidak ada. Jika N - aneh( 2 n+1), maka a adalah sembarang dan = - ..gif" width="45" height="19"> Lalu:

2.

3.

4.

5.

Saat menerapkan salah satu rumus ini, secara formal (tanpa memperhitungkan batasan yang ditentukan), harus diingat bahwa VA bagian kiri dan kanan masing-masing rumus dapat berbeda. Misalnya, ekspresi didefinisikan dengan f ≥ 0 Dan g ≥ 0, dan ekspresinya seolah-olah f ≥ 0 Dan g ≥ 0, dan dengan f ≤ 0 Dan g ≤ 0.

Untuk setiap rumus 1-5 (tanpa memperhatikan batasan yang ditentukan), ODZ sebelah kanannya bisa lebih lebar dari ODZ sebelah kiri. Oleh karena itu, transformasi persamaan dengan penggunaan formal rumus 1-5 “dari kiri ke kanan” (seperti yang tertulis) menghasilkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya. Dalam hal ini, akar-akar asing dari persamaan asli mungkin muncul, sehingga verifikasi merupakan langkah wajib dalam menyelesaikan persamaan asli.

Transformasi persamaan dengan penggunaan formal rumus 1-5 “dari kanan ke kiri” tidak dapat diterima, karena OD persamaan asli dapat dinilai, dan akibatnya, hilangnya akar.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Menyelesaikan persamaan ini berarti menyelesaikan sekumpulan persamaan .

Dari persamaan pertama himpunan ini kita menemukan https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> dari tempat kita menemukannya. Jadi, akar dari persamaan ini hanya dapat berupa bilangan ( -1) dan (-2). Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan memenuhi persamaan ini.

Menjawab: -1,-2.

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian: berdasarkan identitasnya, ganti suku pertama dengan . Perhatikan bahwa sebagai jumlah dari dua angka non-negatif di sisi kiri. “Hapus” modulnya dan, setelah membawa suku-suku serupa, selesaikan persamaannya. Karena , kita mendapatkan persamaannya . Sejak , lalu https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" lebar="145" tinggi="21 src=">

Menjawab: x = 4,25.

Metode 4 Pengenalan variabel baru

Contoh lain penyelesaian persamaan irasional adalah metode memasukkan variabel baru, sehingga diperoleh persamaan irasional yang lebih sederhana atau persamaan rasional.

Penyelesaian persamaan irasional dengan mengganti persamaan tersebut dengan konsekuensinya (diikuti dengan memeriksa akar-akarnya) dapat dilakukan sebagai berikut:

1. Temukan ODZ dari persamaan aslinya.

2. Beralih dari persamaan ke konsekuensinya.

3. Temukan akar-akar persamaan yang dihasilkan.

4. Periksa apakah akar-akar yang ditemukan merupakan akar-akar persamaan awal.

Pengecekannya adalah sebagai berikut:

A) kepemilikan setiap akar yang ditemukan pada persamaan asli diperiksa. Akar-akar yang bukan milik ODZ tidak ada hubungannya dengan persamaan aslinya.

B) untuk setiap akar yang termasuk dalam ODZ persamaan asal, diperiksa apakah ruas kiri dan kanan masing-masing persamaan yang timbul pada proses penyelesaian persamaan asal dan dipangkatkan genap mempunyai tanda yang sama. Akar-akar yang bagian persamaannya dipangkatkan genap mempunyai tanda yang berbeda adalah asing terhadap persamaan aslinya.

C) hanya akar-akar yang termasuk dalam ODZ persamaan asli dan yang kedua ruas dari setiap persamaan yang timbul dalam proses penyelesaian persamaan asli dan dipangkatkan genap mempunyai tanda yang sama yang diperiksa dengan substitusi langsung ke dalam persamaan asli.

Metode penyelesaian dengan metode verifikasi yang ditentukan ini memungkinkan seseorang untuk menghindari perhitungan yang rumit jika setiap akar yang ditemukan dari persamaan terakhir disubstitusikan secara langsung ke dalam persamaan aslinya.

Selesaikan persamaan irasional:

.

Himpunan nilai yang valid untuk persamaan ini adalah:

Dengan kata lain, setelah substitusi kita memperoleh persamaannya

atau persamaan setara

yang dapat dianggap sebagai persamaan kuadrat terhadap. Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan

.

Oleh karena itu, himpunan penyelesaian persamaan irasional awal adalah gabungan himpunan penyelesaian dua persamaan berikut:

, .

Menaikkan kedua ruas masing-masing persamaan ini menjadi kubus, kita memperoleh dua persamaan aljabar rasional:

, .

Menyelesaikan persamaan ini, kita menemukan bahwa persamaan irasional ini memiliki akar tunggal x = 2 (tidak diperlukan verifikasi, karena semua transformasi ekuivalen).

Menjawab: x = 2.

Selesaikan persamaan irasional:

Mari kita nyatakan 2x2 + 5x – 2 = t. Maka persamaan aslinya akan berbentuk . Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan yang dihasilkan dan menjumlahkan suku-suku yang serupa, kita memperoleh persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan sebelumnya. Dari situ kita temukan t=16.

Kembali ke x yang tidak diketahui, kita memperoleh persamaan 2x2 + 5x – 2 = 16, yang merupakan konsekuensi dari persamaan awal. Dengan memeriksa kita yakin bahwa akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = - 9/2 adalah akar-akar persamaan awal.

Menjawab: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metode. Transformasi persamaan yang identik

Saat menyelesaikan persamaan irasional, Anda tidak boleh memulai penyelesaian persamaan dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat alami, mencoba mereduksi penyelesaian persamaan irasional menjadi penyelesaian persamaan aljabar rasional. Pertama kita perlu melihat apakah mungkin untuk membuat transformasi persamaan yang identik yang dapat menyederhanakan penyelesaiannya secara signifikan.

Selesaikan persamaan:

Kumpulan nilai yang dapat diterima untuk persamaan ini: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Mari kita bagi persamaan ini dengan .

.

Kami mendapatkan:

Ketika a = 0 persamaan tersebut tidak mempunyai solusi; kapan persamaannya dapat dituliskan sebagai

karena persamaan ini tidak memiliki solusi, karena untuk persamaan apa pun X, termasuk dalam himpunan nilai persamaan yang dapat diterima, ekspresi di ruas kiri persamaan adalah positif;

ketika persamaan mempunyai solusi

Dengan mempertimbangkan bahwa himpunan solusi yang dapat diterima terhadap persamaan tersebut ditentukan oleh kondisi , akhirnya kita peroleh:

Saat menyelesaikan persamaan irasional ini, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> solusi persamaannya adalah. Untuk semua nilai lainnya X persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

CONTOH 10:

Selesaikan persamaan irasional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Penyelesaian persamaan kuadrat sistem menghasilkan dua akar: x1 = 1 dan x2 = 4. Akar pertama yang dihasilkan tidak memenuhi pertidaksamaan sistem, oleh karena itu x = 4.

Catatan

1) Melakukan transformasi yang identik memungkinkan Anda melakukannya tanpa memeriksa.

2) Pertidaksamaan x – 3 ≥0 mengacu pada transformasi identitas, dan bukan pada domain definisi persamaan.

3) Di ruas kiri persamaan terdapat fungsi menurun, dan di ruas kanan persamaan terdapat fungsi meningkat. Grafik fungsi menurun dan naik pada perpotongan domain definisinya tidak boleh mempunyai lebih dari satu titik persekutuan. Jelasnya, dalam kasus kita x = 4 adalah absis titik potong grafik.

Menjawab: x = 4.

6 metode. Menggunakan Domain Fungsi untuk Menyelesaikan Persamaan

Metode ini paling efektif ketika menyelesaikan persamaan yang menyertakan fungsi https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> dan menemukan definisi luasnya (F)..gif" lebar = "53" tinggi = "21"> .gif" width="88" height="21 src=">, maka Anda perlu memeriksa apakah persamaan di ujung interval sudah benar, dan apakah< 0, а b >0, maka perlu dilakukan pengecekan secara berkala (sebuah;0) Dan . Bilangan bulat terkecil di E(y) adalah 3.