Urutan melakukan operasi matematika tanpa tanda kurung. Prosedur untuk melakukan tindakan - Pengetahuan Hypermarket

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari bersama kecepatan tetap. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ternyata tidak solusi lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil poin yang berbeda ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan darinya (tentu saja, data tambahan masih diperlukan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Apa yang ingin saya tunjukkan Perhatian khusus, apakah dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang merupakan hal yang berbeda sehingga tidak boleh tertukar, karena memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.

Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.

Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa uang kertas pecahan yang sama mempunyai nomor uang kertas yang berbeda, yang berarti tidak dapat dianggap sebagai unsur yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: ada koin yang berbeda jumlah yang berbeda kotoran, struktur kristal dan susunan atom setiap koin unik...

Dan sekarang saya punya yang paling banyak minat Tanya: di manakah garis yang diluarnya unsur-unsur suatu himpunan banyak berubah menjadi unsur-unsur suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun, angka memang demikian simbol grafis, yang dengannya kita menulis angka-angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya adalah sebagai berikut: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk menemukan jumlah digit suatu bilangan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Nah, itu matematika.

Jumlah digit angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” yang diajarkan oleh dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda Dalam kalkulus, jumlah angka-angka suatu bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. DENGAN jumlah yang besar 12345 Gak mau membodohi kepalaku, mari kita lihat nomor 26 dari artikel tentang . Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.

Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka-angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika perbuatan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda terhadap besaran yang sama menimbulkan hasil yang berbeda setelah dibandingkan, berarti tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya bilangan, satuan pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.

Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.

Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini bukanlah orang bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip yang kuat dalam melihat gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.

1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Yang ingin saya tarik perhatian khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena keduanya memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.

Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.

Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa uang kertas pecahan yang sama mempunyai nomor uang kertas yang berbeda, yang berarti tidak dapat dianggap sebagai unsur yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom unik untuk setiap koin...

Dan sekarang saya mempunyai pertanyaan yang paling menarik: di manakah garis di luar mana elemen-elemen dari suatu himpunan banyak berubah menjadi elemen-elemen suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun, bilangan adalah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya adalah seperti ini: “Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili bilangan apa pun.” Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk menemukan jumlah digit suatu bilangan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Nah, itu matematika.

Jumlah digit angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” yang diajarkan oleh dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan banyaknya angka 12345, saya tidak mau membodohi kepala saya, mari kita simak angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.

Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka-angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama menghasilkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya bilangan, satuan pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.

Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.

Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini bukanlah orang bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip yang kuat dalam melihat gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.

1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

24 Oktober 2017 admin

Lopatko Irina Georgievna

Target: pembentukan pengetahuan tentang urutan pelaksanaan operasi aritmatika dalam ekspresi numerik tanpa tanda kurung dan dengan tanda kurung, terdiri dari 2-3 tindakan.

Tugas:

Pendidikan: untuk mengembangkan pada siswa kemampuan untuk menggunakan aturan urutan tindakan ketika menghitung ekspresi tertentu, kemampuan untuk menerapkan algoritma tindakan.

Pembangunan: mengembangkan keterampilan bekerja berpasangan, aktivitas mental siswa, kemampuan menalar, membandingkan dan membedakan, keterampilan berhitung dan berbicara matematis.

Pendidikan: menumbuhkan minat terhadap mata pelajaran, sikap toleran terhadap satu sama lain, gotong royong.

Jenis: mempelajari materi baru

Peralatan: presentasi, visual, handout, kartu, buku teks.

Metode: verbal, visual dan figuratif.

SELAMA KELAS

1. Pengorganisasian waktu

Salam.

Kami datang ke sini untuk belajar

Jangan malas, tapi bekerja.

Kami bekerja dengan tekun

Mari kita dengarkan baik-baik.

Markushevich mengucapkan kata-kata yang luar biasa: “Barangsiapa mempelajari matematika sejak kecil, ia mengembangkan perhatian, melatih otaknya, kemauannya, menumbuhkan ketekunan dan ketekunannya dalam mencapai tujuan.” Selamat datang di pelajaran matematika!

1. Memperbarui pengetahuan

Mata pelajaran matematika sangat serius sehingga tidak ada kesempatan yang boleh dilewatkan untuk menjadikannya lebih menghibur.(B.Pascal)

Saya sarankan Anda menyelesaikan tugas logis. Kamu siap?

Dua bilangan manakah yang bila dikalikan hasilnya sama dengan bila dijumlahkan? (2 dan 2)

Dari bawah pagar terlihat 6 pasang kaki kuda. Berapa banyak hewan-hewan ini yang ada di halaman? (3)

Seekor ayam jantan yang berdiri dengan satu kaki memiliki berat 5 kg. Berapa beratnya saat berdiri dengan dua kaki? (5kg)

Ada 10 jari di tangan. Berapa jumlah jari pada 6 tangan? (tigapuluh)

Orang tuanya memiliki 6 orang putra. Setiap orang mempunyai saudara perempuan. Berapa banyak anak yang ada dalam keluarga? (7)

Berapa ekor yang dimiliki tujuh kucing?

Berapa banyak hidung yang dimiliki dua anjing?

Berapa banyak telinga yang dimiliki 5 bayi?

Teman-teman, pekerjaan seperti inilah yang saya harapkan dari Anda: Anda aktif, penuh perhatian, dan cerdas.

Penilaian: lisan.

Penghitungan verbal

KOTAK PENGETAHUAN

Hasil kali bilangan 2*3, 4*2;

Bilangan parsial 15:3, 10:2;

Jumlah bilangan 100+20, 130+6, 650+4;

Selisih angkanya adalah 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30.

Komponen perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan.

Penilaian: siswa secara mandiri mengevaluasi satu sama lain

1. Mengkomunikasikan topik dan tujuan pelajaran

“Untuk mencerna pengetahuan, Anda perlu menyerapnya dengan nafsu makan.”(A.Franz)

Apakah Anda siap menyerap ilmu dengan nafsu makan?

Teman-teman, Masha dan Misha ditawari rantai seperti itu

24 + 40: 8 – 4=

Masha memutuskannya seperti ini:

24 + 40: 8 – 4= 25 benar? Jawaban anak-anak.

Dan Misha memutuskan seperti ini:

24 + 40: 8 – 4= 4 benar? Jawaban anak-anak.

Apa yang mengejutkanmu? Tampaknya Masha dan Misha memutuskan dengan benar. Lalu mengapa mereka mempunyai jawaban berbeda?

Mereka menghitung dalam urutan yang berbeda; mereka tidak sepakat dalam urutan apa mereka akan menghitung.

Hasil perhitungannya bergantung pada apa? Dari pesanan.

Apa yang Anda lihat dalam ungkapan-ungkapan ini? Angka, tanda.

Apa yang disebut tanda dalam matematika? Tindakan.

Perintah apa yang tidak disetujui oleh mereka? Tentang prosedurnya.

Apa yang akan kita pelajari di kelas? Apa topik pelajarannya?

Kita akan mempelajari urutan operasi aritmatika dalam ekspresi.

Mengapa kita perlu mengetahui prosedurnya? Lakukan perhitungan dengan benar dalam ekspresi panjang

"Keranjang Pengetahuan". (Keranjang digantung di papan)

Siswa menyebutkan asosiasi yang berkaitan dengan topik.

1. Mempelajari materi baru

Teman-teman, tolong dengarkan apa yang dikatakan ahli matematika Perancis D. Poya: “Jalan terbaik mempelajari sesuatu berarti menemukannya sendiri.” Apakah Anda siap untuk penemuan?

180 – (9 + 2) =

Baca ekspresinya. Membandingkan mereka.

Bagaimana kemiripannya? 2 tindakan, angka yang sama

Apa bedanya? Tanda kurung, tindakan berbeda

Aturan 1.

Baca aturannya di slide. Anak-anak membaca peraturan itu dengan lantang.

Pada ekspresi tanpa tanda kurung hanya mengandung penjumlahan dan pengurangan atau perkalian dan pembagian, operasi dilakukan sesuai urutan penulisannya: dari kiri ke kanan.

Tindakan apa yang kita bicarakan di sini? +, — atau : , ·

Dari ungkapan-ungkapan ini, temukan hanya ungkapan-ungkapan yang sesuai dengan aturan 1. Tuliskan di buku catatan Anda.

Hitung nilai ekspresi.

Penyelidikan.

180 – 9 + 2 = 173

Aturan 2.

Baca aturannya di slide.

Anak-anak membaca peraturan itu dengan lantang.

Dalam ekspresi tanpa tanda kurung, perkalian atau pembagian dilakukan terlebih dahulu, berurutan dari kiri ke kanan, lalu penjumlahan atau pengurangan.

:, · dan +, — (bersama)

Apakah ada tanda kurung? TIDAK.

Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? ·, : dari kiri ke kanan

Tindakan apa yang akan kita ambil selanjutnya? +, — kiri, kanan

Temukan artinya.

Penyelidikan.

180 – 9 * 2 = 162

Aturan 3

Dalam ekspresi dengan tanda kurung, pertama-tama evaluasi nilai ekspresi dalam tanda kurung, laluperkalian atau pembagian dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan, kemudian penjumlahan atau pengurangan.

Operasi aritmatika apa yang ditunjukkan di sini?

:, · dan +, — (bersama)

Apakah ada tanda kurung? Ya.

Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Dalam kurung

Tindakan apa yang akan kita ambil selanjutnya? ·, : dari kiri ke kanan

Kemudian? +, — kiri, kanan

Tuliskan ekspresi yang berhubungan dengan aturan kedua.

Temukan artinya.

Penyelidikan.

180: (9 * 2) = 10

180 – (9 + 2) = 169

Sekali lagi, kita semua mengucapkan aturan itu bersama-sama.

FISIK

1. Konsolidasi

“Sebagian besar matematika tidak tersimpan dalam ingatan, tetapi ketika Anda memahaminya, maka akan mudah untuk mengingat apa yang kadang-kadang Anda lupakan.”, kata M.V. Ostrogradsky. Sekarang kita akan mengingat apa yang baru saja kita pelajari dan menerapkan pengetahuan baru dalam praktik .

Halaman 52 No.2

(52 – 48) * 4 =

Halaman 52 No.6 (1)

Siswa mengumpulkan 700 kg sayuran di rumah kaca: 340 kg mentimun, 150 kg tomat, dan sisanya paprika. Berapa kilogram cabai yang dikumpulkan siswa tersebut?

Apa yang mereka bicarakan? Apa yang diketahui? Apa yang perlu Anda temukan?

Mari kita coba selesaikan masalah ini dengan ekspresi!

700 – (340 + 150) = 210 (kg)

Jawaban: Siswa mengumpulkan 210 kg lada.

Bekerja berpasangan.

Kartu dengan tugas diberikan.

5 + 5 + 5 5 = 35

(5+5) : 5 5 = 10

Penilaian:

• kecepatan – 1b
• kebenaran - 2 b
• logika - 2b

1. Pekerjaan rumah

Halaman 52 No. 6 (2) selesaikan masalahnya, tuliskan penyelesaiannya dalam bentuk ekspresi.

1. Hasilnya, refleksi

Kubus Bloom

Beri nama topik pelajaran kita?

Menjelaskan urutan pelaksanaan tindakan dalam ekspresi dengan tanda kurung.

Mengapa Apakah penting mempelajari topik ini?

Melanjutkan aturan pertama.

Pikirkanlah itu algoritma untuk melakukan tindakan dalam ekspresi dengan tanda kurung.

“Jika Anda ingin berpartisipasi hidup yang hebat, lalu isi kepala Anda dengan matematika selagi ada kesempatan. Dia kemudian akan sangat membantu Anda dalam semua pekerjaan Anda.”(MI Kalinin)

Terima kasih atas pekerjaanmu di kelas!!!

Pelajaran video "Urutan Tindakan" menjelaskan secara rinci topik penting dalam matematika - urutan melakukan operasi aritmatika saat menyelesaikan suatu ekspresi. Selama video pembelajaran dibahas apa prioritas yang dimiliki berbagai operasi matematika, bagaimana penggunaannya dalam menghitung ekspresi, diberikan contoh untuk menguasai materi, dan pengetahuan yang diperoleh digeneralisasikan dalam menyelesaikan tugas-tugas di mana semua operasi yang dipertimbangkan ada. Dengan bantuan video pembelajaran, guru mempunyai kesempatan untuk segera mencapai tujuan pembelajaran dan meningkatkan efektivitasnya. Video dapat digunakan sebagai bahan visual untuk menemani penjelasan guru, serta sebagai bagian mandiri dalam pembelajaran.

Materi visual menggunakan teknik yang membantu untuk lebih memahami topik, serta mengingatnya aturan penting. Dengan bantuan warna dan ejaan yang berbeda, fitur dan properti operasi disorot, dan kekhasan contoh penyelesaian dicatat. Efek animasi membantu memberikan konsistensi materi pendidikan dan juga menarik perhatian siswa poin penting. Videonya bersuara, sehingga dilengkapi dengan komentar dari guru, membantu siswa memahami dan mengingat topik.

Video pembelajaran dimulai dengan pengenalan topik. Kemudian diketahui bahwa perkalian dan pengurangan merupakan operasi tahap pertama, operasi perkalian dan pembagian disebut operasi tahap kedua. Definisi ini perlu dioperasikan lebih lanjut, ditampilkan di layar dan disorot dalam font berwarna besar. Kemudian aturan-aturan yang membentuk urutan operasi disajikan. Aturan urutan pertama diturunkan, yang menunjukkan bahwa jika tidak ada tanda kurung dalam ekspresi, dan ada tindakan pada tingkat yang sama, maka tindakan ini harus dilakukan secara berurutan. Aturan orde kedua menyatakan bahwa jika ada tindakan dari kedua tahap dan tidak ada tanda kurung, maka operasi tahap kedua dilakukan terlebih dahulu, kemudian operasi tahap pertama dilakukan. Aturan ketiga menetapkan urutan operasi untuk ekspresi yang menyertakan tanda kurung. Perlu dicatat bahwa dalam hal ini operasi dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu. Kata-kata peraturan disorot dalam font berwarna dan direkomendasikan untuk dihafal.

Selanjutnya, diusulkan untuk memahami urutan operasi dengan mempertimbangkan contoh-contoh. Solusi untuk ekspresi yang hanya berisi operasi penjumlahan dan pengurangan dijelaskan. Fitur utama yang mempengaruhi urutan perhitungan dicatat - tidak ada tanda kurung, ada operasi tahap pertama. Di bawah ini penjelasan cara perhitungannya, pertama pengurangan, kemudian penjumlahan dua kali, dan kemudian pengurangan.

Pada contoh kedua 780:39·212:156·13 Anda perlu mengevaluasi ekspresi, melakukan tindakan sesuai perintah. Perlu dicatat bahwa ekspresi ini hanya berisi operasi tahap kedua, tanpa tanda kurung. DI DALAM dalam contoh ini semua tindakan dilakukan secara ketat dari kiri ke kanan. Di bawah ini kami jelaskan tindakannya satu per satu, secara bertahap mendekati jawabannya. Hasil perhitungannya adalah angka 520.

Contoh ketiga mempertimbangkan solusi dari contoh di mana terdapat operasi pada kedua tahap. Perlu dicatat bahwa dalam ungkapan ini tidak ada tanda kurung, tetapi ada tindakan dari kedua tahap tersebut. Berdasarkan urutan operasinya, dilakukan operasi tahap kedua, disusul operasi tahap pertama. Di bawah ini adalah deskripsi solusi langkah demi langkah, di mana tiga operasi dilakukan terlebih dahulu - perkalian, pembagian, dan pembagian lainnya. Kemudian operasi tahap pertama dilakukan dengan nilai produk dan hasil bagi yang ditemukan. Selama penyelesaian, tindakan setiap langkah digabungkan dalam kurung kurawal untuk kejelasan.

Contoh berikut berisi tanda kurung. Oleh karena itu, ditunjukkan bahwa perhitungan pertama dilakukan pada ekspresi dalam tanda kurung. Setelah mereka, operasi tahap kedua dilakukan, diikuti oleh operasi tahap pertama.

Berikut ini adalah catatan tentang kasus di mana Anda tidak boleh menulis tanda kurung saat menyelesaikan ekspresi. Perlu dicatat bahwa ini hanya mungkin jika menghilangkan tanda kurung tidak mengubah urutan operasi. Contohnya adalah ekspresi dengan tanda kurung (53-12)+14, yang hanya berisi operasi tahap pertama. Setelah menulis ulang 53-12+14 dengan penghapusan tanda kurung, Anda dapat mencatat bahwa urutan pencarian nilai tidak akan berubah - pertama-tama dilakukan pengurangan 53-12=41, dan kemudian penambahan 41+14=55. Dicatat di bawah ini bahwa Anda dapat mengubah urutan operasi saat menemukan solusi ekspresi menggunakan properti operasi.

Di akhir video pembelajaran, materi yang dipelajari dirangkum dalam kesimpulan bahwa setiap ekspresi yang memerlukan solusi menentukan program perhitungan tertentu, yang terdiri dari perintah. Contoh program tersebut disajikan dalam deskripsi solusi contoh yang kompleks, mewakili hasil bagi (814+36·27) dan (101-2052:38). Program yang diberikan berisi poin-poin berikut: 1) mencari hasil kali 36 dengan 27, 2) menjumlahkan jumlah yang ditemukan menjadi 814, 3) membagi bilangan 2052 dengan 38, 4) mengurangi hasil pembagian 3 bilangan dari bilangan 101, 5) membagi hasil langkah 2 dengan hasil poin 4.

Di akhir video pembelajaran terdapat daftar pertanyaan yang diminta untuk dijawab oleh siswa. Diantaranya adalah kemampuan membedakan tindakan tahap pertama dan kedua, pertanyaan tentang urutan tindakan dalam ekspresi dengan tindakan pada tahap yang sama dan tahapan yang berbeda, tentang urutan tindakan dengan adanya tanda kurung dalam ekspresi.

Video pelajaran “Urutan Tindakan” direkomendasikan untuk digunakan dalam pelajaran sekolah tradisional untuk meningkatkan efektivitas pelajaran. Selain itu, materi visual akan berguna untuk pembelajaran jarak jauh. Jika siswa memerlukan pelajaran tambahan untuk menguasai suatu topik atau sedang mempelajarinya secara mandiri, video tersebut mungkin direkomendasikan untuk belajar mandiri.