Diferensial total suatu fungsi. Diferensial total suatu fungsi dari beberapa variabel Diferensial total pada suatu titik

Seperti yang Anda lihat, untuk mencari diferensial, Anda perlu mengalikan turunannya dengan dx. Ini memungkinkan Anda untuk segera menulis tabel yang sesuai untuk diferensial dari tabel rumus turunan.

Diferensial total untuk fungsi dua variabel:

Diferensial total untuk fungsi tiga variabel sama dengan jumlah diferensial parsial: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Definisi . Suatu fungsi y=f(x) disebut terdiferensialkan pada titik x 0 jika kenaikannya pada titik ini dapat direpresentasikan sebagai ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, dengan A adalah konstanta dan α(∆ x) sangat kecil seperti ∆x → 0.
Persyaratan bahwa suatu fungsi terdiferensialkan di suatu titik setara dengan adanya turunan di titik ini, dengan A=f'(x 0).

Biarkan f(x) dapat dibedakan pada titik x 0 dan f "(x 0)≠0 , lalu ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, di mana α= α(∆x) →0 sebagai ∆x → 0. Kuantitas ∆y dan setiap suku di sisi kanan adalah nilai yang sangat kecil sebagai ∆x→0. Mari kita bandingkan: , yaitu, α(∆x)∆x adalah orde yang sangat kecil lebih tinggi daripada f’(x 0)∆x.
, yaitu, ∆y~f’(x 0)∆x. Oleh karena itu, f’(x 0)∆x adalah yang utama dan pada saat yang sama linier terhadap ∆x bagian dari kenaikan ∆y (artinya linier mengandung ∆x derajat pertama). Istilah ini disebut diferensial dari fungsi y \u003d f (x) pada titik x 0 dan dilambangkan dengan dy (x 0) atau df (x 0). Jadi, untuk sembarang x
dy=f′(x)∆x. (1)
Misalkan dx=∆x, lalu
dy=f′(x)dx. (2)

Contoh. Temukan turunan dan diferensial dari fungsi-fungsi ini.
a) y=4tg2x
Larutan:

diferensial:
B)
Larutan:

diferensial:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Larutan:

diferensial:
G)
Larutan:
=
diferensial:

Contoh. Untuk fungsi y=x 3 temukan ekspresi untuk ∆y dan dy untuk beberapa nilai x dan ∆x.
Larutan. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (kami mengambil bagian linier utama dari ∆y sehubungan dengan ∆x). Dalam kasus ini, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Definisi: Diferensial total suatu fungsi beberapa variabel disebut jumlah dari semua diferensial parsialnya:

Contoh 1: .

Larutan:

Karena turunan parsial dari fungsi ini sama:

Kemudian kita dapat langsung menulis diferensial parsial dari fungsi-fungsi ini:

, ,

Maka diferensial total dari fungsi akan terlihat seperti:

Contoh 2 Temukan diferensial penuh dari suatu fungsi

Larutan:

Fungsi ini kompleks, yaitu. dapat dibayangkan sebagai

Kami menemukan turunan parsial:

Diferensial Penuh:

Arti analitis dari diferensial total adalah bahwa diferensial total suatu fungsi dari beberapa variabel adalah bagian utama dari kenaikan total fungsi ini, yaitu, ada perkiraan persamaan: ∆z≈dz.

Namun, harus diingat bahwa perkiraan persamaan ini hanya valid untuk diferensial kecil dx dan dy dari argumen fungsi z=f(x,y).

Penggunaan diferensial total dalam perhitungan aproksimasi didasarkan pada penggunaan rumus ∆z≈dz.

Memang, jika dalam rumus ini kenaikan ∆z dari fungsi direpresentasikan sebagai , dan diferensial total sebagai , maka kita dapatkan:

≈ ,

Rumus yang dihasilkan dapat digunakan untuk kira-kira menemukan nilai "baru" dari suatu fungsi dari dua variabel, yang dibutuhkan dengan peningkatan yang cukup kecil dari kedua argumennya.

Contoh. Temukan nilai perkiraan suatu fungsi , dengan nilai argumennya sebagai berikut: 1.01, .

Larutan.

Mengganti turunan parsial dari fungsi yang ditemukan sebelumnya dalam rumus, kita mendapatkan:

Saat mengganti nilai x=1, ∆x=0,01, y=2, ∆y=0,02, kita mendapatkan:

bidang skalar.

Jika pada setiap titik di suatu wilayah ruang D diberikan fungsi U(p)=U(x,y,z), maka dikatakan bahwa medan skalar diberikan di wilayah D.

Jika, misalnya, U(x, y, z) menunjukkan suhu di titik M(x, y, z), maka kita katakan bahwa medan suhu skalar diberikan. Jika daerah D diisi dengan cairan atau gas dan U(x,y,z) menunjukkan tekanan, maka ada medan tekanan skalar. Jika pengaturan muatan atau benda masif diberikan di ruang angkasa, maka orang berbicara tentang medan potensial.

Bidang skalar disebut tidak bergerak, jika fungsi U(x,y,z) tidak berubah terhadap waktu: U(x,y,z) ≠ F(T).

Setiap bidang stasioner dicirikan oleh:

1) permukaan datar medan skalar

2) laju perubahan medan dalam arah tertentu.

Permukaan rata bidang skalar adalah lokus titik-titik di mana fungsi U(x,y,z) mengambil nilai konstanta, yaitu U(x,y,z) = const. Kumpulan titik-titik ini membentuk permukaan tertentu. Jika kita mengambil konstanta lain, kita mendapatkan permukaan lain.

Contoh: Biarkan medan skalar diberikan. Contoh medan semacam itu adalah medan potensial listrik dari muatan listrik titik (+q). Di sini, permukaan datar adalah permukaan ekuipotensial , yaitu bola yang di tengahnya terdapat muatan yang menciptakan medan.

Arah peningkatan terbesar dari fungsi skalar diberikan oleh vektor yang disebut gradien dan dilambangkan dengan simbol (atau ).

Gradien fungsi ditemukan dalam bentuk turunan parsial dari fungsi ini dan selalu tegak lurus terhadap permukaan bidang skalar pada titik tertentu:

, Di mana

Vektor satuan masing-masing sepanjang sumbu OX, OY, OZ

Turunan dari fungsi U(x,y,z) dalam arah lain (λ) ditentukan dengan rumus:

, Di mana

α, β, γ masing-masing adalah sudut antara sumbu koordinat OX, OY, OZ dan arah.

Setiap turunan parsial (lebih X dan oleh y) dari fungsi dua variabel adalah turunan biasa dari fungsi satu variabel dengan nilai tetap dari variabel lainnya:

(Di mana y= konstanta),

(Di mana X= konstanta).

Oleh karena itu, turunan parsial dihitung dari rumus dan aturan untuk menghitung turunan fungsi dari satu variabel, sambil mempertimbangkan variabel lain sebagai konstanta (konstanta).

Jika Anda tidak memerlukan analisis contoh dan teori minimum yang diperlukan untuk ini, tetapi Anda hanya memerlukan solusi untuk masalah Anda, lanjutkan ke kalkulator derivatif parsial online .

Jika sulit untuk fokus melacak di mana konstanta berada dalam fungsi, maka Anda dapat mengganti angka apa pun dalam draf solusi contoh alih-alih variabel dengan nilai tetap - maka Anda dapat dengan cepat menghitung turunan parsial seperti biasa turunan dari fungsi satu variabel. Hanya perlu untuk tidak lupa mengembalikan konstanta (variabel dengan nilai tetap) ke tempatnya saat selesai.

Sifat turunan parsial yang dijelaskan di atas mengikuti dari pengertian turunan parsial yang terdapat pada soal ujian. Oleh karena itu, untuk mengenal definisi di bawah ini, Anda dapat membuka referensi teoretisnya.

Konsep kontinuitas suatu fungsi z= F(X, y) pada suatu titik didefinisikan mirip dengan konsep ini untuk fungsi satu variabel.

Fungsi z = F(X, y) disebut kontinu di suatu titik jika

Perbedaan (2) disebut peningkatan total fungsi z(diperoleh dengan menambahkan kedua argumen).

Biar fungsi z= F(X, y) dan titik

Jika fungsinya berubah z terjadi ketika hanya salah satu argumen yang berubah, misalnya, X, dengan nilai tetap dari argumen lainnya y, maka fungsinya akan bertambah

disebut peningkatan parsial fungsi F(X, y) Oleh X.

Mengingat perubahan fungsi z tergantung pada perubahan hanya satu argumen, kami benar-benar beralih ke fungsi dari satu variabel.

Jika ada batas yang terbatas

maka itu disebut turunan parsial dari fungsi F(X, y) dengan argumen X dan dilambangkan dengan salah satu simbol

(4)

Kenaikan parsial didefinisikan sama z Oleh y:

dan turunan parsial F(X, y) Oleh y:

(6)

Contoh 1

Larutan. Kami menemukan turunan parsial sehubungan dengan variabel "x":

(y tetap);

Kami menemukan turunan parsial sehubungan dengan variabel "y":

(X tetap).

Seperti yang Anda lihat, tidak masalah sejauh mana variabel yang diperbaiki: dalam hal ini, hanya beberapa angka yang merupakan faktor (seperti dalam kasus turunan biasa) dengan variabel yang kita temukan sebagian turunan. Jika variabel tetap tidak dikalikan dengan variabel yang berhubungan dengan turunan parsial yang kita temukan, maka konstanta tunggal ini, tidak peduli sejauh mana, seperti dalam kasus turunan biasa, lenyap.

Contoh 2 Diberikan suatu fungsi

Temukan Derivatif Parsial

(oleh x) dan (oleh y) dan hitung nilainya pada titik tersebut A (1; 2).

Larutan. Di tetap y turunan dari suku pertama ditemukan sebagai turunan dari fungsi pangkat ( tabel fungsi turunan dari satu variabel):

Di tetap X turunan dari suku pertama ditemukan sebagai turunan dari fungsi eksponensial, dan yang kedua - sebagai turunan dari konstanta:

Sekarang kami menghitung nilai turunan parsial ini pada intinya A (1; 2):

Anda dapat memeriksa penyelesaian soal turunan parsial di kalkulator derivatif parsial online .

Contoh 3 Temukan Turunan Parsial dari Fungsi

Larutan. Dalam satu langkah kita temukan

(y X, seolah-olah argumen sinus adalah 5 X: dengan cara yang sama, 5 muncul sebelum tanda fungsi);

(X tetap dan dalam hal ini merupakan faktor di y).

Anda dapat memeriksa penyelesaian soal turunan parsial di kalkulator derivatif parsial online .

Turunan parsial dari suatu fungsi dari tiga variabel atau lebih didefinisikan dengan cara yang sama.

Jika setiap kumpulan nilai ( X; y; ...; T) variabel bebas dari himpunan D sesuai dengan satu nilai tertentu kamu dari banyak e, Itu kamu disebut fungsi variabel X, y, ..., T dan menunjukkan kamu= F(X, y, ..., T).

Untuk fungsi dari tiga variabel atau lebih, tidak ada interpretasi geometrik.

Turunan parsial dari fungsi beberapa variabel juga ditentukan dan dihitung dengan asumsi bahwa hanya satu variabel independen yang berubah, sementara yang lainnya tetap.

Contoh 4 Temukan Turunan Parsial dari Fungsi

Larutan. y Dan z tetap:

X Dan z tetap:

X Dan y tetap:

Temukan turunan parsial sendiri dan kemudian lihat solusinya

Contoh 5

Contoh 6 Temukan turunan parsial dari suatu fungsi.

Turunan parsial suatu fungsi dari beberapa variabel memiliki nilai yang sama makna mekanis sebagai turunan dari fungsi satu variabel, adalah laju perubahan fungsi relatif terhadap perubahan salah satu argumen.

Contoh 8 kuantitas aliran P penumpang kereta api dapat dinyatakan sebagai fungsi

Di mana P- jumlah penumpang, N- jumlah penduduk dari titik yang sesuai, R- jarak antar titik.

Turunan parsial dari suatu fungsi P Oleh R sama dengan

menunjukkan bahwa penurunan arus penumpang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara titik-titik yang bersesuaian untuk jumlah penduduk yang sama di titik-titik tersebut.

Turunan sebagian P Oleh N sama dengan

menunjukkan bahwa peningkatan arus penumpang sebanding dengan dua kali lipat jumlah penduduk permukiman dengan jarak antar titik yang sama.

Anda dapat memeriksa penyelesaian soal turunan parsial di kalkulator derivatif parsial online .

Diferensial penuh

Produk dari turunan parsial dan peningkatan variabel independen yang sesuai disebut diferensial parsial. Diferensial parsial dilambangkan sebagai berikut:

Jumlah diferensial parsial atas semua variabel independen memberikan diferensial total. Untuk fungsi dua variabel bebas, diferensial total dinyatakan dengan persamaan

(7)

Contoh 9 Temukan diferensial penuh dari suatu fungsi

Larutan. Hasil menggunakan rumus (7):

Sebuah fungsi yang memiliki diferensial total di setiap titik dari beberapa domain disebut dapat dibedakan dalam domain tersebut.

Temukan sendiri diferensial totalnya dan lihat solusinya

Sama seperti dalam kasus fungsi dari satu variabel, diferensiabilitas suatu fungsi di daerah tertentu menunjukkan kesinambungannya di daerah ini, tetapi tidak sebaliknya.

Mari kita rumuskan tanpa bukti syarat yang cukup untuk diferensiabilitas suatu fungsi.

Dalil. Jika fungsi z= F(X, y) memiliki turunan parsial kontinu

di daerah tertentu, maka dapat dibedakan di daerah ini dan diferensialnya dinyatakan dengan rumus (7).

Dapat ditunjukkan bahwa, seperti dalam kasus fungsi satu variabel, diferensial fungsi adalah bagian linier utama dari pertambahan fungsi, sehingga dalam kasus fungsi beberapa variabel, diferensial totalnya adalah utama, linier sehubungan dengan peningkatan variabel independen, bagian dari peningkatan total fungsi.

Untuk fungsi dua variabel, kenaikan total fungsi memiliki bentuk

(8)

di mana α dan β sangat kecil untuk dan .

Turunan parsial dari orde yang lebih tinggi

Turunan parsial dan fungsi F(X, y) sendiri adalah beberapa fungsi dari variabel yang sama dan, pada gilirannya, mungkin memiliki turunan terhadap variabel yang berbeda, yang disebut turunan parsial dari orde yang lebih tinggi.

Pertimbangkan fungsi dari dua variabel z=f(x, y) dan peningkatan totalnya pada titik tersebut M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Definisi. Jika ada angka P Dan Q sedemikian rupa sehingga kenaikan total dapat direpresentasikan sebagai

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

dimana dan ε→ 0 pada Δρ→ 0 , lalu ekspresi PΔx + QΔy disebut diferensial total fungsi z=f(x,y) pada intinya M0 (x0,y0).

Dalam hal ini, peningkatan penuh fungsi terdiri dari dua bagian: bagian pertama PΔx + QΔy adalah linier terhadap Δx Dan Δy, yang kedua adalah urutan yang sangat kecil dibandingkan dengan .

Diferensial total suatu fungsi z=f(x,y) dilambangkan dengan dz, itu adalah

dz = PΔx+QΔy.

Suatu fungsi yang memiliki diferensial total pada suatu titik tertentu disebut terdiferensiasi pada titik tersebut.

Dalil. Jika kamu=f(M) dapat dibedakan pada suatu titik M0, maka kontinu di dalamnya.

Komentar. Kontinuitas suatu fungsi dari dua variabel tidak berarti dapat dibedakan.

Contoh. terus menerus di (0,0) , tetapi tidak memiliki turunan parsial - tidak ada. Demikian pula, tidak ada turunan parsial sehubungan dengan y. Oleh karena itu, fungsinya tidak terdiferensialkan.

Teorema [kondisi yang diperlukan untuk diferensiabilitas]. Jika z=f(x,y) dapat dibedakan pada suatu titik M0, maka ia memiliki turunan parsial terhadap X Dan y, Dan

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Komentar. Diferensiabilitas tidak mengikuti dari keberadaan turunan parsial. Contoh:

Kita punya , tetapi fungsinya tidak kontinu, sehingga tidak terdiferensialkan.

Teorema [kondisi cukup untuk diferensiabilitas]. Jika turunan parsial pertama dari fungsi z=f(x,y) didefinisikan di beberapa lingkungan titik M0 (x0,y0) dan kontinyu pada titik tersebut M0, maka fungsi yang diberikan memiliki diferensial total pada titik ini.

Komentar. Kita punya

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

Di mana ε→ 0 pada Δρ→ 0 . Karena itu,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Rumus ini digunakan dalam perhitungan perkiraan.

Di tetap Δx Dan Δy diferensial total adalah fungsi dari variabel X Dan y:

Mari kita letakkan dx=Δx, dy=Δy dan menyebut perbedaan jumlah ini dari variabel independen.

Lalu kita mendapatkan rumusnya

yaitu, diferensial total suatu fungsi sama dengan jumlah hasil kali turunan parsial pertama dan diferensial argumen yang bersesuaian.

Diferensial total dari suatu fungsi dari tiga variabel didefinisikan dan dinyatakan dengan cara yang sama. Jika u=f(x, y, z) dan ada angka P, Q, R seperti yang

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 pada δρ→ 0 ,

maka total diferensial adalah ekspresi

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Jika turunan parsial pertama dari fungsi ini kontinu, maka

Di mana dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Definisi. Diferensial orde kedua total dari beberapa fungsi adalah diferensial total dari diferensial totalnya.

Jika z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Itu

Bidang singgung dan permukaan normal

Pertimbangkan permukaannya S, diberikan oleh persamaan

z=f(x, y).

Membiarkan f(x, y) memiliki turunan parsial di beberapa domain. Mempertimbangkan M 0 (x 0 , y 0).

- kemiringan garis singgung pada titik tersebut M0 ke bagian permukaan oleh pesawat y=y0, yaitu ke garis z=f(x,y 0). Garis singgung garis ini adalah:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

Demikian pula, bagian dengan pesawat x=x0 memberikan persamaan

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Bidang yang memuat kedua garis ini memiliki persamaan

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

dan disebut bidang singgung ke permukaan S pada intinya P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Perhatikan bahwa persamaan bidang singgung dapat ditulis ulang sebagai

z-z 0 = df.

Jadi, arti geometris dari diferensial total adalah: diferensial di suatu titik M0 untuk kenaikan (x-x 0 , y-y 0) adalah peningkatan titik penerapan bidang singgung ke permukaan z=f(x,y) pada intinya (x0, y0) untuk kenaikan yang sama.

Bidang singgung memiliki vektor normal pada titik tersebut (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Garis yang melalui suatu titik P0 dan memiliki vektor arah \vec(n), disebut normal ke permukaan z=f(x,y) pada saat ini. Persamaannya adalah: