Volume piramida segi empat. Bentuk geometris

Piramida

Pertimbangkan bidang sembarang α, n-gon cembung sembarang A 1 A 2 ... Sebuah , terletak pada bidang ini, dan titik S, tidak terletak pada bidang α.

Definisi 1. Piramida ( n - piramida batubara) sebutkan bangun datar yang dibentuk oleh segmen-segmen yang menghubungkan titik S dengan semua titik pada poligon A 1 A 2 ... Sebuah (Gbr. 1) .

Catatan 1. Ingat bahwa poligon A 1 A 2 ... Sebuah terdiri dari garis putus-putus yang tertutup A 1 A 2 ... Sebuah dan bagian pesawat yang dibatasi olehnya.

Definisi 2.

Tetrahedron. Tetrahedron biasa

Definisi 5. Piramida segitiga sembarang disebut tetrahedron.

Penyataan. Untuk setiap limas segitiga beraturan, sisi-sisi yang berhadapan tegak lurus berpasangan.

Bukti. Perhatikan piramida segitiga beraturan SABC dan sepasang sisi yang berhadapan, misalnya AC dan BS. Mari kita nyatakan bagian tengah tepi AC dengan huruf D. Karena ruas BD dan SD merupakan median pada segitiga sama kaki ABC dan ASC, maka BD dan SD tegak lurus terhadap rusuk AC (Gbr. 4).

dimana huruf D melambangkan titik tengah tepi AC (Gbr. 6).

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, dari segitiga BSO kita temukan

Menjawab.

Rumus volume, luas lateral, dan luas permukaan total limas

Mari kita perkenalkan notasi berikut

Maka yang berikut ini benar rumus menghitung volume, luas lateral, dan luas permukaan total limas:

Piramida segi empat adalah polihedron yang alasnya persegi, dan semua sisi sisinya merupakan segitiga sama kaki yang identik.

Polihedron ini memiliki banyak sifat berbeda:

• Tulang rusuk lateralnya dan tulang rusuk yang berdekatan dengannya sudut dihedral setara satu sama lain;
• Luas sisi mukanya sama;
• Di dasar piramida segi empat beraturan terletak sebuah persegi;
• Ketinggian yang dijatuhkan dari puncak limas memotong titik perpotongan diagonal alasnya.

Semua properti ini membuatnya mudah ditemukan. Namun, seringkali, selain itu, volume polihedron juga perlu dihitung. Untuk melakukannya, gunakan rumus volume limas segi empat:

Artinya, volume limas sama dengan sepertiga hasil kali tinggi limas dan luas alasnya. Karena sama dengan hasil kali sisi-sisinya yang sama, kita segera memasukkan rumus luas persegi ke dalam rumus volume.
Mari kita perhatikan contoh penghitungan volume limas segi empat.

Diketahui sebuah limas berbentuk segi empat yang alasnya berbentuk persegi dengan sisi a = 6 cm. Sisi sisi limas tersebut adalah b = 8 cm.

Untuk mencari volume suatu polihedron, kita memerlukan panjang dan tingginya. Oleh karena itu, kita akan menemukannya dengan menerapkan teorema Pythagoras. Pertama, mari kita hitung panjang diagonalnya. Dalam segitiga biru itu akan menjadi sisi miring. Perlu juga diingat bahwa diagonal-diagonal persegi sama besar dan terbagi dua di titik perpotongan:


Sekarang dari segitiga merah kita mencari tinggi h yang kita butuhkan. Itu akan sama dengan:

Mari kita substitusikan nilai yang diperlukan dan temukan tinggi piramida:

Sekarang, dengan mengetahui tingginya, kita dapat memasukkan semua nilai ke dalam rumus volume limas dan menghitung nilai yang diperlukan:

Dengan cara ini, dengan mengetahui beberapa rumus sederhana, kami dapat menghitung volume limas segi empat beraturan. Ingatlah bahwa nilai ini diukur dalam satuan kubik.

Di sini Anda dapat menemukan informasi dasar tentang piramida serta rumus dan konsep terkait. Semuanya dipelajari oleh tutor matematika untuk persiapan Ujian Negara Bersatu.

Misalkan sebuah bidang, poligon , terletak di dalamnya dan titik S, tidak terletak di dalamnya. Mari kita hubungkan S ke semua simpul poligon. Polihedron yang dihasilkan disebut piramida. Ruas-ruas tersebut disebut rusuk samping. Poligon disebut alas, dan titik S adalah puncak limas. Berdasarkan banyaknya n, piramida disebut segitiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. Judul alternatif piramida segitiga - segi empat. Ketinggian limas adalah garis tegak lurus yang turun dari puncaknya ke bidang alasnya.

Piramida disebut beraturan jika poligon beraturan, dan alas tinggi limas (alas tegak lurus) adalah pusatnya.

Komentar guru:
Jangan bingung antara konsep "piramida beraturan" dan "tetrahedron beraturan". Pada limas beraturan, rusuk-rusuk sisinya belum tentu sama dengan rusuk alasnya, tetapi pada tetrahedron beraturan, keenam rusuknya sama besar. Ini adalah definisinya. Mudah untuk membuktikan bahwa persamaan menyiratkan kebetulan pusat P poligon dengan tinggi alas, jadi tetrahedron beraturan adalah limas beraturan.

Apa itu apotema?
Apotema piramida adalah tinggi sisi sisinya. Jika piramida beraturan, maka semua apotemanya sama. Hal sebaliknya tidak benar.

Seorang tutor matematika tentang terminologinya: 80% pekerjaan dengan piramida dibangun melalui dua jenis segitiga:
1) Mengandung apotema SK dan tinggi SP
2) Berisi tepi lateral SA dan proyeksi PA-nya

Untuk menyederhanakan referensi terhadap segitiga-segitiga ini, akan lebih mudah bagi guru matematika untuk menyebutkan segitiga pertama apotema, dan yang kedua kosta. Sayangnya, Anda tidak akan menemukan terminologi ini di buku teks mana pun, dan guru harus memperkenalkannya secara sepihak.

Rumus volume limas:
1) , dimana adalah luas alas limas, dan merupakan tinggi limas
2) , dimana adalah jari-jari bola yang tertulis, dan merupakan luas seluruh permukaan limas.
3) , dimana MN adalah jarak dua sisi yang bersilangan, dan merupakan luas jajar genjang yang dibentuk oleh titik tengah keempat sisi yang tersisa.

Sifat-sifat alas tinggi limas:

Titik P (lihat gambar) berimpit dengan pusat lingkaran bertulisan di dasar limas jika salah satu syarat berikut terpenuhi:
1) Semua apotema adalah sama
2) Semua sisi sisi mempunyai kemiringan yang sama terhadap alas
3) Semua apotema mempunyai kemiringan yang sama terhadap tinggi limas
4) Tinggi limas mempunyai kemiringan yang sama terhadap semua sisi sisinya

Komentar guru matematika: Harap dicatat bahwa semua poin memiliki satu kesamaan milik umum: dengan satu atau lain cara, sisi-sisinya terlibat di mana-mana (apotema adalah elemennya). Oleh karena itu, tutor dapat menawarkan rumusan yang kurang tepat, tetapi lebih nyaman untuk dipelajari: titik P bertepatan dengan pusat lingkaran yang tertulis, alas limas, jika ada informasi yang sama tentang sisi-sisinya. Untuk membuktikannya, cukup dengan menunjukkan bahwa semua segitiga apotema adalah sama.

Titik P berimpit dengan pusat lingkaran yang dibatasi dekat alas limas jika salah satu dari tiga syarat terpenuhi:
1) Semua rusuk sisinya sama besar
2) Semua rusuk samping mempunyai kemiringan yang sama terhadap alas
3) Semua rusuk sisi mempunyai kemiringan yang sama terhadap ketinggian

Ketika seseorang mendengar kata “piramida”, dia langsung teringat akan bangunan megah Mesir. Namun, raksasa batu kuno hanyalah salah satu perwakilan dari kelas piramida. Pada artikel ini kita akan membahas dari sudut pandang geometris sifat-sifat piramida segi empat beraturan.

Apa yang dimaksud dengan piramida secara umum?

Dalam geometri, ini dipahami sebagai bangun tiga dimensi, yang dapat diperoleh dengan menghubungkan semua simpul suatu poligon datar dengan satu titik yang terletak pada bidang yang berbeda dari poligon tersebut. Gambar di bawah menunjukkan 4 bentuk yang memuaskan definisi ini.

Kita melihat bahwa gambar pertama memiliki alas segitiga, gambar kedua berbentuk segi empat. Dua yang terakhir diwakili oleh alas pentagonal dan heksagonal. Namun permukaan lateral Semua piramida dibentuk oleh segitiga. Jumlahnya sama persis dengan jumlah sisi atau simpul poligon di alasnya.

Jenis piramida khusus, yang berbeda dari perwakilan kelas lainnya dalam simetri idealnya, adalah piramida biasa. Agar angka tersebut benar, dua prasyarat berikut harus dipenuhi:

• alasnya harus memiliki poligon beraturan;
• permukaan sisi gambar harus terdiri dari segitiga sama kaki yang sama besar.

Perhatikan bahwa syarat wajib kedua dapat diganti dengan syarat lain: suatu garis tegak lurus yang ditarik ke alas dari puncak limas (titik perpotongan sisi segitiga) harus memotong alas ini di pusat geometrinya.

Sekarang mari kita beralih ke topik artikel dan mempertimbangkan sifat-sifat apa yang menjadi ciri piramida segi empat beraturan. Pertama, mari kita tunjukkan pada gambar seperti apa bentuk gambar tersebut.

Basisnya berbentuk persegi. Sisi-sisinya mewakili 4 segitiga sama kaki yang identik (bisa juga sama sisi dengan perbandingan panjang sisi persegi dan tinggi gambar tertentu). Ketinggian yang diturunkan dari puncak limas akan memotong persegi di tengahnya (titik potong diagonal-diagonalnya).

Piramida ini memiliki 5 sisi (persegi dan empat segitiga), 5 simpul (empat di antaranya merupakan alas) dan 8 sisi. orde keempat, melewati ketinggian piramida, mengubahnya menjadi dirinya sendiri dengan memutar sebesar 90 o.

Piramida Mesir di Giza berbentuk segi empat beraturan.

Empat Parameter Linier Dasar

Mari kita mulai pembahasan kita tentang sifat-sifat matematika limas segi empat beraturan dengan rumus tinggi, panjang sisi alas, rusuk samping, dan apotema. Katakanlah segera bahwa semua besaran ini saling berhubungan, jadi cukup mengetahui dua besaran saja untuk dapat menghitung dua sisanya dengan jelas.

Misalkan tinggi h piramida dan panjang a sisi alas persegi diketahui, maka rusuk sisi b sama dengan:

b = √(a 2 / 2 + jam 2)

Sekarang kita berikan rumus panjang a b dari apotema (tinggi segitiga, diturunkan ke sisi alas):

a b = √(a 2 / 4 + jam 2)

Jelasnya, sisi lateral b selalu lebih besar dari apotema a b .

Kedua ekspresi tersebut dapat digunakan untuk menentukan keempat karakteristik linier jika dua parameter lainnya diketahui, misalnya a b dan h.

Luas dan volume suatu bangun

Ini adalah dua sifat penting dari piramida segi empat beraturan. Alas bangun tersebut mempunyai luas sebagai berikut:

Setiap anak sekolah mengetahui rumus ini. Luas permukaan lateral yang dibentuk oleh empat segitiga identik dapat ditentukan melalui apotema a b piramida sebagai berikut:

Jika a b tidak diketahui, maka dapat ditentukan dengan menggunakan rumus paragraf sebelumnya melalui tinggi h atau rusuk b.

Luas permukaan total gambar yang ditinjau adalah jumlah luas S o dan S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Luas perhitungan seluruh permukaan limas ditunjukkan pada gambar di bawah ini dalam bentuk perkembangannya.

Uraian tentang sifat-sifat limas segi empat beraturan tidak akan lengkap tanpa memperhatikan rumus menentukan volumenya. Nilai piramida tersebut dihitung sebagai berikut:

Artinya, V sama dengan sepertiga hasil kali tinggi bangun dan luas alasnya.

Sifat-sifat piramida segi empat terpotong beraturan

Anda bisa mendapatkan gambar ini dari piramida aslinya. Untuk melakukan ini, Anda perlu memotong bagian atas piramida itu datar. Bentuk yang tersisa di bawah bidang yang dipotong disebut piramida terpotong.

Ciri-ciri piramida terpotong paling mudah dipelajari jika alasnya sejajar satu sama lain. Dalam hal ini, alas bawah dan atas akan berupa poligon serupa. Karena berbentuk segi empat piramida yang benar alasnya berbentuk bujur sangkar, maka bagian yang terbentuk pada saat pemotongan juga akan berbentuk persegi, tetapi ukurannya lebih kecil.

Permukaan lateral gambar terpotong tidak dibentuk oleh segitiga, melainkan oleh trapesium sama kaki.

Salah satu sifat penting piramida ini adalah volumenya, yang dihitung dengan rumus:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Disini h adalah jarak antara alas gambar, S o1, S o2 adalah luas alas bawah dan atas.