Akar dan sifat-sifatnya. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Luas sebidang tanah berbentuk persegi adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisi luasnya sama dengan 81 dm², maka X² = 81. Panjang salah satu sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan soal, perlu dicari bilangan x yang kuadratnya 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: X 1 = 9 dan X 2 = - 9, karena 9² = 81 dan (- 9)² = 81. Bilangan 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari 81.

Perhatikan bahwa salah satu dari akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dilambangkan dengan √81, jadi √81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama A.

Misalnya, angka 6 dan - 6 adalah akar kuadrat dari angka 36. Namun, angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah angka non-negatif dan 6² = 36. Angka - 6 bukan merupakan akar aritmatika.

Hitung akar kuadrat dari kalangan A dilambangkan sebagai berikut: √ A.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; A- disebut ekspresi radikal. Ekspresi √ A membaca seperti ini: akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A. Misalnya, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Dalam kasus di mana sudah jelas bahwa yang sedang kita bicarakan tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: “akar kuadrat dari A«.

Tindakan mencari akar kuadrat suatu bilangan disebut rooting kuadrat. Tindakan ini merupakan kebalikan dari mengkuadratkan.

Anda dapat mengkuadratkan bilangan apa pun, tetapi Anda tidak dapat mengekstrak akar kuadrat dari bilangan mana pun. Misalnya, tidak mungkin mengekstrak akar kuadrat dari bilangan - 4. Jika akar seperti itu ada, maka dilambangkan dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan x² = - 4 yang salah, karena ada bilangan non-negatif di sebelah kiri dan bilangan negatif di sebelah kanan.

Ekspresi √ A hanya masuk akal ketika sebuah ≥ 0. Pengertian akar kuadrat secara singkat dapat dituliskan sebagai: √ sebuah ≥ 0, (√A)² = A. Kesetaraan (√ A)² = A berlaku untuk sebuah ≥ 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan non-negatif A sama B, yaitu fakta bahwa √ A =B, Anda perlu memeriksa apakah dua kondisi berikut terpenuhi: b ≥ 0, B² = A.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa √25 = 5, √36 = 6, dan mari kita periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika A≥ 0 dan B> 0, yaitu akar pecahan sama dengan akarnya dari pembilangnya dibagi akar penyebutnya. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa: dan .

Sejak √ A≥0 dan √ B> 0, lalu .

Tentang sifat menaikkan pecahan ke pangkat dan definisi akar kuadrat teorema tersebut terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung menggunakan teorema yang terbukti .

Contoh kedua: Buktikan itu , Jika A ≤ 0, B < 0. .

Contoh lain: Hitung.

.

Konversi Akar Kuadrat

Menghapus pengali dari bawah tanda root. Biarkan ekspresi diberikan. Jika A≥ 0 dan B≥ 0, maka dengan menggunakan teorema akar perkalian kita dapat menulis:

Transformasi ini disebut menghilangkan faktor dari tanda akar. Mari kita lihat sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 dalam ekspresi radikal mengarah pada perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika Anda terlebih dahulu menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita peroleh :.

Jadi, ketika faktor dihilangkan dari bawah tanda akar, ekspresi radikal direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Kemudian terapkan teorema akar perkalian dan ambil akar setiap faktornya. Mari kita perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan persamaan A = √8 + √18 - 4√2 dengan menghilangkan faktor-faktor pada dua suku pertama dari bawah tanda akar, kita mendapatkan :. Kami menekankan kesetaraan itu hanya berlaku bila A≥ 0 dan B≥ 0. jika A < 0, то .

• Akar aritmatika pangkat n>=2 dari suatu bilangan non-negatif a adalah suatu bilangan non-negatif, bila dipangkatkan n diperoleh bilangan a.

Dapat dibuktikan bahwa untuk a non-negatif dan n natural, persamaan x^n=a akan mempunyai satu akar non-negatif. Akar inilah yang disebut akar aritmatika derajat ke-n bilangan a.

Akar aritmatika derajat ke-n suatu bilangan dinotasikan sebagai berikut: n√a. Angka a dalam hal ini disebut ekspresi radikal.

Akar aritmatika derajat kedua disebut akar kuadrat, dan akar aritmatika derajat ketiga disebut akar pangkat tiga.

Sifat dasar akar aritmatika derajat ke-n

• 1. (n√a)^n = a.

Misalnya, (5√2)^5 = 2.

Properti ini mengikuti langsung dari definisi akar aritmatika ke-n.

Jika a lebih besar atau sama dengan nol, b lebih besar dari nol dan n, m adalah beberapa bilangan asli sehingga n lebih besar atau sama dengan 2 dan m lebih besar atau sama dengan 2, maka sifat-sifat berikut ini benar:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Misalnya, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Misalnya, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Misalnya, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Misalnya, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Perhatikan bahwa pada properti 2, bilangan b dapat sama dengan nol, dan pada properti 4, bilangan m dapat berupa bilangan bulat apa pun, asalkan a>0.

Bukti properti kedua

Keempat sifat terakhir dapat dibuktikan dengan cara yang sama, jadi kita akan membatasi diri untuk membuktikan sifat kedua saja: n√(a*b)= n√a*n√b.

Dengan menggunakan definisi akar aritmatika, kita buktikan bahwa n√(a*b)= n√a*n√b.

Untuk melakukan ini, kita buktikan dua fakta: n√a*n√b. Lebih dari keduanya sama dengan nol, dan itu (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b lebih besar dari atau sama dengan nol, karena a dan b lebih besar atau sama dengan nol.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, karena (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b .

Q.E.D. Jadi properti itu benar. Sifat-sifat ini sering kali harus digunakan ketika menyederhanakan ekspresi yang mengandung akar aritmatika.

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel ini, perhatikan navigator kami semaksimal mungkin sumber daya yang berguna Untuk

Mari kita coba mencari tahu apa konsep "akar" ini dan "dengan apa ia dimakan". Untuk melakukan ini, mari kita lihat contoh-contoh yang pernah Anda temui di kelas (baik, atau Anda baru saja akan menemuinya).

Misalnya, kita mempunyai persamaan. Apa solusi persamaan ini? Angka apa yang bisa kamu kuadratkan dan dapatkan? Mengingat tabel perkalian, Anda dapat dengan mudah memberikan jawabannya: dan (toh, ketika dua bilangan negatif dikalikan, diperoleh bilangan positif)! Untuk menyederhanakannya, ahli matematika memperkenalkan konsep khusus tentang akar kuadrat dan menetapkannya karakter khusus.

Mari kita definisikan akar kuadrat aritmatika.

Mengapa angkanya harus non-negatif? Misalnya, sama dengan apa? Baiklah, mari kita coba pilih salah satu. Mungkin tiga? Mari kita periksa: , tidak. Mungkin, ? Sekali lagi, kami memeriksa: . Ya, itu tidak cocok? Hal ini sudah diduga - karena tidak ada bilangan yang, jika dikuadratkan, menghasilkan bilangan negatif!
Inilah yang perlu Anda ingat: angka atau ekspresi di bawah tanda akar harus non-negatif!

Namun, orang yang paling penuh perhatian mungkin sudah memperhatikan bahwa definisi tersebut mengatakan bahwa solusi dari akar kuadrat dari “suatu bilangan disebut ini non-negatif bilangan yang kuadratnya sama dengan ". Beberapa dari Anda akan mengatakan bahwa di awal kita melihat contoh, bilangan terpilih yang dapat dikuadratkan dan diperoleh, jawabannya adalah dan, tetapi di sini kita berbicara tentang semacam “bilangan non-negatif”! Pernyataan ini cukup tepat. Di sini Anda hanya perlu membedakan antara konsep persamaan kuadrat dan akar kuadrat aritmatika suatu bilangan. Misalnya, tidak setara dengan ekspresi.

Oleh karena itu, yaitu, atau. (Baca topik "")

Dan setelah itu.

Tentu saja hal ini sangat membingungkan, namun perlu diingat bahwa tanda-tanda tersebut merupakan hasil penyelesaian persamaan tersebut, karena dalam menyelesaikan persamaan tersebut kita harus menuliskan semua X yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan aslinya akan menghasilkan. hasil yang benar. Di kami persamaan kuadrat cocok untuk keduanya.

Namun jika ambil saja akar kuadratnya dari sesuatu, maka selalu kita mendapatkan satu hasil non-negatif.

Sekarang coba selesaikan persamaan ini. Semuanya tidak lagi sesederhana dan semulus itu, bukan? Coba lihat angka-angkanya, mungkin ada yang berhasil? Mari kita mulai dari awal - dari awal: - tidak cocok, lanjutkan - kurang dari tiga, singkirkan juga, bagaimana jika. Mari kita periksa: - juga tidak cocok, karena... itu lebih dari tiga. Ini cerita yang sama dengan angka negatif. Jadi apa yang harus kita lakukan sekarang? Apakah pencarian itu benar-benar tidak menghasilkan apa-apa? Tidak sama sekali, sekarang kita tahu pasti bahwa jawabannya adalah suatu bilangan antara dan, juga antara dan. Juga, jelas solusinya tidak berupa bilangan bulat. Terlebih lagi, mereka tidak rasional. Jadi apa selanjutnya? Mari kita buat grafik fungsinya dan tandai solusinya.

Ayo coba curang sistem dan dapatkan jawabannya menggunakan kalkulator! Mari kita cari akarnya! Oh-oh-oh, ternyata begitu. Jumlah ini tidak pernah berakhir. Bagaimana kamu bisa mengingat ini, karena tidak akan ada kalkulator pada ujian!? Semuanya sangat sederhana, Anda tidak perlu mengingatnya, Anda hanya perlu mengingat (atau bisa memperkirakan dengan cepat) nilai perkiraannya. dan jawabannya sendiri. Bilangan-bilangan seperti itu disebut irasional; untuk menyederhanakan penulisan bilangan-bilangan itulah konsep akar kuadrat diperkenalkan.

Mari kita lihat contoh lain untuk memperkuat hal ini. Mari kita lihat masalah ini: Anda harus menyilang secara diagonal bidang persegi dengan jarak tempuh berapa km yang harus ditempuh?

Hal yang paling jelas di sini adalah mempertimbangkan segitiga secara terpisah dan menggunakan teorema Pythagoras: . Dengan demikian, . Jadi berapa jarak yang dibutuhkan di sini? Jelas, jarak tidak boleh negatif, kita mengerti. Akar dua kira-kira sama, tetapi, seperti yang kami sebutkan sebelumnya, itu sudah merupakan jawaban yang lengkap.

Untuk menyelesaikan contoh dengan akar tanpa menimbulkan masalah, Anda perlu melihat dan mengenalinya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui setidaknya kuadrat angka dari sampai, dan juga dapat mengenalinya. Misalnya, Anda perlu mengetahui apa yang sama dengan persegi, dan juga sebaliknya, apa yang sama dengan persegi.

Apakah Anda memahami apa itu akar kuadrat? Kemudian selesaikan beberapa contoh.

Contoh.

Nah, bagaimana hasilnya? Sekarang mari kita lihat contoh-contoh ini:

Jawaban:

Akar pangkat tiga

Nah sepertinya kita sudah memilah konsep akar kuadrat, sekarang mari kita coba mencari tahu apa itu akar pangkat tiga dan apa perbedaannya.

Akar pangkat tiga suatu bilangan adalah bilangan yang pangkat tiganya sama. Pernahkah Anda memperhatikan bahwa semuanya jauh lebih sederhana di sini? Tidak ada batasan pada kemungkinan nilai baik nilai di bawah tanda akar pangkat tiga maupun bilangan yang diekstraksi. Artinya, akar pangkat tiga dapat diekstraksi dari bilangan apa pun: .

Apakah Anda memahami apa itu akar pangkat tiga dan bagaimana cara mengekstraknya? Kemudian lanjutkan dan selesaikan contohnya.

Contoh.

Jawaban:

Root - oh derajat

Nah, kita sudah memahami konsep akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Sekarang mari kita rangkum pengetahuan yang diperoleh dengan konsep tersebut akar pertama.

akar pertama suatu bilangan adalah bilangan yang pangkatnya sama, yaitu

setara.

Jika - genap, Itu:

• dengan negatif, ekspresi tidak masuk akal (akar bilangan negatif ke-genap tidak dapat dihapus!);
• untuk non-negatif() ekspresi memiliki satu akar non-negatif.

Jika - ganjil, maka ekspresi tersebut memiliki akar unik untuk semua.

Jangan khawatir, prinsip yang sama berlaku di sini seperti pada akar kuadrat dan pangkat tiga. Artinya, prinsip yang kami terapkan saat mempertimbangkan akar kuadrat diperluas ke semua akar yang derajatnya genap.

Dan sifat-sifat yang digunakan untuk akar pangkat tiga berlaku untuk akar-akar yang berderajat ganjil.

Nah, apakah sudah lebih jelas? Mari kita lihat contohnya:

Di sini semuanya kurang lebih jelas: pertama kita lihat - ya, derajatnya genap, bilangan di bawah akarnya positif, yang berarti tugas kita adalah menemukan bilangan yang pangkat keempatnya akan memberi kita. Nah, ada tebakan? Mungkin, ? Tepat!

Jadi, pangkatnya sama - ganjil, bilangan di bawah akarnya negatif. Tugas kita adalah menemukan bilangan yang, jika dipangkatkan, akan menghasilkan. Agak sulit untuk segera mengetahui akarnya. Namun, Anda bisa langsung mempersempit pencarian, bukan? Pertama, bilangan yang dibutuhkan pasti negatif, dan kedua, terlihat ganjil, sehingga bilangan yang diinginkan ganjil. Cobalah untuk menemukan akarnya. Tentu saja, Anda dapat mengabaikannya dengan aman. Mungkin, ?

Ya, inilah yang kami cari! Perhatikan bahwa untuk menyederhanakan perhitungan kami menggunakan sifat-sifat derajat: .

Sifat dasar akar

Sudah jelas? Jika tidak, maka setelah melihat contohnya, semuanya akan berjalan pada tempatnya.

Mengalikan akar

Bagaimana cara memperbanyak akar? Properti paling sederhana dan mendasar membantu menjawab pertanyaan ini:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana:

Apakah akar-akar bilangan yang dihasilkan tidak terekstraksi secara tepat? Tidak masalah - berikut beberapa contohnya:

Bagaimana jika penggandanya bukan dua, melainkan lebih banyak? Sama! Rumus untuk mengalikan akar dapat digunakan dengan sejumlah faktor:

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Tentu saja, sembunyikan ketiganya di bawah akar, ingat bahwa ketiganya adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita membutuhkan ini? Ya, sekedar untuk memperluas kemampuan kita saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Apakah ini membuat hidup lebih mudah? Bagi saya, itu tepat sekali! Anda hanya perlu mengingatnya Kita hanya dapat memasukkan bilangan positif di bawah tanda akar derajat genap.

Mari kita lihat di mana lagi hal ini dapat berguna. Misalnya, soal mengharuskan membandingkan dua angka:

Terlebih lagi:

Anda tidak bisa langsung mengetahuinya. Baiklah, mari kita gunakan properti yang dibongkar untuk memasukkan angka di bawah tanda root? Lalu lanjutkan:

Ya, mengetahui apa jumlah yang lebih besar di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri! Itu. jika, maka, . Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa. Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Sebelumnya, kita memasukkan pengali di bawah tanda root, tapi bagaimana cara menghapusnya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang Anda ekstrak!

Dimungkinkan untuk mengambil jalur yang berbeda dan memperluas ke faktor-faktor lain:

Tidak buruk, bukan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan sesuai keinginan.

Misalnya, berikut adalah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan sifat-sifat pangkat dan faktorkan semuanya:

Semuanya tampak jelas dengan ini, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar suatu bilangan menjadi pangkat? Di sini, misalnya, adalah ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajatnya lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan properti derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Lalu inilah contohnya:

Inilah jebakannya selalu patut diingat. Hal ini sebenarnya tercermin dalam contoh properti:

Sudah jelas? Perkuat dengan contoh:

Ya, kita melihat bahwa akarnya berpangkat genap, bilangan negatif di bawah akar juga berpangkat genap. Nah, apakah hasilnya sama? Inilah yang:

Itu saja! Sekarang inilah beberapa contohnya:

Mengerti? Kemudian lanjutkan dan selesaikan contohnya.

Contoh.

Jawaban.

Jika Anda sudah menerima jawabannya, maka Anda dapat melanjutkan dengan tenang. Jika belum, mari kita pahami contoh berikut:

Mari kita lihat dua sifat akar lainnya:

Properti ini harus dianalisis dalam contoh. Baiklah, mari kita lakukan ini?

Mengerti? Mari kita amankan.

Contoh.

Jawaban.

AKAR DAN SIFATNYA. TINGKAT MENENGAH

Akar kuadrat aritmatika

Persamaan tersebut memiliki dua solusi: dan. Ini adalah bilangan yang kuadratnya sama.

Pertimbangkan persamaannya. Mari kita selesaikan secara grafis. Mari kita menggambar grafik fungsi dan garis pada level tersebut. Titik potong garis-garis tersebut akan menjadi penyelesaiannya. Kita melihat bahwa persamaan ini juga memiliki dua solusi - satu positif, yang lainnya negatif:

Namun dalam kasus ini penyelesaiannya bukanlah bilangan bulat. Terlebih lagi, mereka tidak rasional. Untuk menuliskan keputusan-keputusan irasional ini, kami memperkenalkan simbol akar kuadrat khusus.

Akar kuadrat aritmatika adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan. Ketika ekspresi tidak terdefinisi, karena Tidak ada bilangan yang kuadratnya sama dengan bilangan negatif.

Akar kuadrat: .

Misalnya, . Dan itu mengikuti itu atau.

Izinkan saya menarik perhatian Anda sekali lagi, ini sangat penting: Akar kuadrat selalu berupa bilangan non-negatif: !

Akar pangkat tiga suatu bilangan adalah bilangan yang pangkat tiganya sama dengan. Akar pangkat tiga didefinisikan untuk semua orang. Itu dapat diekstraksi dari nomor mana pun: . Seperti yang Anda lihat, ini juga bisa bernilai negatif.

Akar ke-th suatu bilangan adalah bilangan yang pangkatnya sama, yaitu

Jika genap, maka:

• jika, maka akar ke-th dari a tidak terdefinisi.
• jika, maka akar persamaan non-negatif disebut akar aritmatika derajat ke-dan dilambangkan.

Jika - ganjil, maka persamaan tersebut mempunyai akar unik untuk sembarang.

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa di sebelah kiri di atas tanda akar kita menulis derajatnya? Tapi tidak untuk akar kuadrat! Jika Anda melihat akar tanpa derajat, berarti akar tersebut persegi (derajat).

Contoh.

Sifat dasar akar

AKAR DAN SIFATNYA. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif disebut ini bilangan non-negatif yang kuadratnya

Sifat-sifat akar:

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, dapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan membutuhkan memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Dan sebagai kesimpulan...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Gelar akar N dari bilangan real A, Di mana N - bilangan asli, bilangan real seperti itu disebut X, N derajat ke-thnya sama dengan A.

Gelar akar N dari kalangan A ditunjukkan dengan simbol. Menurut definisi ini.

Menemukan akarnya N-derajat dari kalangan A disebut ekstraksi akar. Nomor A disebut bilangan radikal (ekspresi), N- indikator akar. Untuk yang aneh N ada akar N pangkat -th untuk bilangan real apa pun A. Ketika genap N ada akar N pangkat -th hanya untuk bilangan non-negatif A. Untuk memperjelas akarnya N-derajat dari kalangan A, konsep akar aritmatika diperkenalkan N-derajat dari kalangan A.

Konsep akar aritmatika derajat N

Jika dan N- bilangan asli, lebih besar 1 , lalu ada, dan hanya satu, bilangan non-negatif X, sehingga kesetaraan terpenuhi. Nomor ini X disebut akar aritmatika N pangkat bilangan non-negatif A dan ditunjuk. Nomor A disebut bilangan radikal, N- indikator akar.

Jadi, menurut definisinya, notasi , dimana , berarti, pertama, itu dan, kedua, itu, yaitu. .

Konsep gelar dengan eksponen rasional

Gelar dengan eksponen natural: misalkan A adalah bilangan real, dan N- bilangan asli lebih besar dari satu, N-pangkat nomor tersebut A panggil pekerjaan itu N faktor yang masing-masing sama A, yaitu . Nomor A- dasar gelar, N- eksponen. Pangkat dengan eksponen nol: menurut definisi, jika , maka . Nol pangkat suatu bilangan 0 tidak masuk akal. Derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif: diasumsikan menurut definisi jika dan N adalah bilangan asli, maka . Derajat dengan eksponen pecahan: diasumsikan menurut definisi jika dan N- bilangan asli, M adalah bilangan bulat, maka .

Operasi dengan akar.

Dalam semua rumus di bawah, simbol berarti akar aritmatika (pernyataan akarnya positif).

1. Akar hasil kali beberapa faktor sama dengan hasil kali akar-akar faktor-faktor berikut:

2. Akar suatu perbandingan sama dengan perbandingan akar-akar pembagi dan pembagi:

3. Saat menaikkan akar ke suatu pangkat, cukup dengan menaikkan bilangan radikal ke pangkat ini:

4. Jika kita menaikkan derajat akar sebanyak n kali dan pada saat yang sama menaikkan bilangan radikal ke pangkat n, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi derajat akar sebanyak n kali dan secara bersamaan mengekstrak akar ke-n dari bilangan radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Memperluas konsep derajat. Sejauh ini kita hanya mempertimbangkan derajat dengan eksponen natural; tetapi operasi dengan pangkat dan akar juga dapat menghasilkan eksponen negatif, nol, dan pecahan. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Gelar dengan eksponen negatif. Pangkat suatu bilangan tertentu yang eksponennya negatif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi pangkat suatu bilangan yang sama yang eksponennya sama dengan nilai mutlak indikator negatif:

Sekarang rumus a m: a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m lebih besar dari n, tetapi juga untuk m kurang dari n.

CONTOH a 4 : a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Jika kita ingin rumus a m: a n = am - n valid untuk m = n, kita memerlukan definisi derajat nol.

Gelar dengan indeks nol. Pangkat suatu bilangan bukan nol yang eksponennya nol adalah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real a ke pangkat m / n, Anda perlu mengekstrak akar ke-n dari pangkat ke-m dari bilangan a ini:

Tentang ekspresi yang tidak ada artinya. Ada beberapa ungkapan seperti itu.

Kasus 1.

Dimana a ≠ 0 tidak ada.

Faktanya, jika kita berasumsi bahwa x adalah suatu bilangan tertentu, maka sesuai dengan definisi operasi pembagian kita mempunyai: a = 0 x, yaitu. a = 0, yang bertentangan dengan kondisi: a ≠ 0

Kasus 2.

Nomor berapa pun.

Faktanya, jika kita berasumsi bahwa ekspresi ini sama dengan bilangan tertentu x, maka menurut definisi operasi pembagian kita mempunyai: 0 = 0 x. Namun persamaan ini berlaku untuk bilangan x apa pun, dan hal ini perlu dibuktikan.

Benar-benar,

Solusi. Mari kita pertimbangkan tiga kasus utama:

1) x = 0 – nilai ini tidak memuaskan persamaan ini

2) untuk x > 0 kita peroleh: x / x = 1, yaitu 1 = 1, artinya x adalah bilangan apa pun; tetapi mengingat dalam kasus kita x > 0, jawabannya adalah x > 0;

3) di x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

dalam hal ini tidak ada solusi. Jadi x > 0.

Selamat: hari ini kita akan melihat akarnya - salah satu topik paling menakjubkan di kelas 8 :).

Banyak orang bingung tentang akar, bukan karena akarnya rumit (yang rumit - beberapa definisi dan beberapa properti lainnya), tetapi karena di sebagian besar buku pelajaran sekolah, akar didefinisikan melalui hutan yang sedemikian rupa sehingga hanya penulis buku teks yang dapat mendefinisikannya. sendiri dapat memahami tulisan ini. Itupun hanya dengan sebotol wiski yang enak :)

Oleh karena itu, sekarang saya akan memberikan definisi akar yang paling benar dan kompeten - satu-satunya yang harus Anda ingat. Lalu saya akan menjelaskan: mengapa semua ini diperlukan dan bagaimana menerapkannya dalam praktik.

Tapi pertama-tama ingat satu poin penting, yang karena alasan tertentu banyak penyusun buku teks “lupakan”:

Akar dapat memiliki derajat genap ($\sqrt(a)$ favorit kami, serta semua jenis $\sqrt(a)$ dan genap $\sqrt(a)$) dan derajat ganjil (segala jenis $\sqrt (a)$, $\ persegi(a)$, dll.). Dan pengertian akar pangkat ganjil agak berbeda dengan akar genap.

Mungkin 95% dari semua kesalahan dan kesalahpahaman yang terkait dengan akar tersembunyi di balik "agak berbeda" ini. Jadi mari kita perjelas terminologinya untuk selamanya:

Definisi. Bahkan akar N dari angka $a$ adalah apa saja non-negatif bilangan $b$ sedemikian rupa sehingga $((b)^(n))=a$. Dan akar ganjil dari bilangan yang sama $a$ umumnya adalah bilangan $b$ yang memiliki persamaan yang sama: $((b)^(n))=a$.

Bagaimanapun, root dilambangkan seperti ini:

\(A)\]

Bilangan $n$ dalam notasi tersebut disebut eksponen akar, dan bilangan $a$ disebut ekspresi radikal. Khususnya, untuk $n=2$ kita mendapatkan akar kuadrat “favorit” (omong-omong, ini adalah akar derajat genap), dan untuk $n=3$ kita mendapatkan akar pangkat tiga (derajat ganjil), yaitu juga sering ditemukan dalam soal dan persamaan.

Contoh. Contoh klasik akar kuadrat:

\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(sejajarkan)\]

Omong-omong, $\sqrt(0)=0$, dan $\sqrt(1)=1$. Ini cukup logis, karena $((0)^(2))=0$ dan $((1)^(2))=1$.

Akar kubus juga umum ditemukan - tidak perlu takut:

\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(sejajarkan)\]

Nah, beberapa “contoh eksotik”:

\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jika Anda belum memahami apa perbedaan derajat genap dan ganjil, baca kembali definisinya. Ini sangat penting!

Sementara itu, kita akan membahas satu ciri akar yang tidak menyenangkan, oleh karena itu kita perlu memperkenalkan definisi terpisah untuk eksponen genap dan ganjil.

Mengapa akar dibutuhkan?

Setelah membaca definisi tersebut, banyak siswa akan bertanya: “Apa yang dihisap oleh para ahli matematika ketika mereka menemukan hal ini?” Dan sungguh: mengapa semua akar ini dibutuhkan?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita kembali ke masa sekolah dasar sejenak. Ingat: di masa lalu, ketika pepohonan lebih hijau dan pangsitnya lebih enak, perhatian utama kami adalah mengalikan angka dengan benar. Ya, kira-kira “lima kali lima - dua puluh lima”, itu saja. Namun Anda dapat mengalikan angka tidak berpasangan, tetapi menjadi kembar tiga, empat kali lipat, dan umumnya himpunan utuh:

\[\begin(sejajarkan) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(sejajarkan)\]

Namun, bukan itu intinya. Caranya beda: matematikawan adalah orang yang malas, sehingga kesulitan menuliskan perkalian sepuluh lima seperti ini:

Itu sebabnya mereka menghasilkan gelar. Mengapa tidak menulis jumlah faktor sebagai superskrip, bukan string yang panjang? Sesuatu seperti ini:

Ini sangat nyaman! Semua perhitungan berkurang secara signifikan, dan Anda tidak perlu membuang banyak lembar perkamen dan buku catatan untuk menuliskan sekitar 5.183. Rekor ini disebut kekuatan angka; banyak properti ditemukan di dalamnya, tetapi kebahagiaan itu berumur pendek.

Setelah pesta minum besar-besaran, yang diselenggarakan hanya untuk “penemuan” derajat, beberapa ahli matematika yang keras kepala tiba-tiba bertanya: “Bagaimana jika kita mengetahui derajat suatu bilangan, tetapi bilangan itu sendiri tidak diketahui?” Sekarang, tentu saja, jika kita mengetahui bahwa suatu bilangan $b$, katakanlah, pangkat 5 menghasilkan 243, lalu bagaimana kita dapat menebak berapa bilangan $b$ itu sendiri?

Masalah ini ternyata lebih bersifat global daripada yang terlihat pada pandangan pertama. Karena ternyata untuk sebagian besar kekuatan “siap pakai” tidak ada angka “awal” seperti itu. Nilailah sendiri:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Panah Kanan b=3\cdot 3\cdot 3\Panah Kanan b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Panah Kanan b=4\cdot 4\cdot 4\Panah Kanan b=4. \\ \end(sejajarkan)\]

Bagaimana jika $((b)^(3))=50$? Ternyata kita perlu mencari suatu bilangan tertentu yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak tiga kali, akan menghasilkan 50. Tapi bilangan apakah ini? Jelas lebih besar dari 3, karena 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yaitu angka ini berada di antara tiga dan empat, tapi kamu tidak akan mengerti apa artinya.

Inilah sebabnya mengapa ahli matematika menemukan akar $n$th. Inilah tepatnya mengapa simbol radikal $\sqrt(*)$ diperkenalkan. Untuk menunjuk angka $b$, yang pada tingkat tertentu akan memberi kita nilai yang diketahui sebelumnya

\[\sqrt[n](a)=b\Panah Kanan ((b)^(n))=a\]

Saya tidak membantah: seringkali akar-akar ini mudah dihitung - kita melihat beberapa contoh di atas. Namun tetap saja, dalam kebanyakan kasus, jika Anda memikirkan suatu bilangan arbitrer dan kemudian mencoba mengekstrak akar derajat arbitrer dari bilangan tersebut, Anda akan mengalami kegagalan yang parah.

Apa yang ada disana! Bahkan $\sqrt(2)$ yang paling sederhana dan familiar tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk biasa - sebagai bilangan bulat atau pecahan. Dan jika Anda memasukkan nomor ini ke dalam kalkulator, Anda akan melihat ini:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Seperti yang Anda lihat, setelah koma ada barisan angka tak berujung yang tidak mengikuti logika apa pun. Tentu saja Anda dapat membulatkan angka ini untuk membandingkannya dengan angka lain dengan cepat. Misalnya:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kira-kira 1,4 \lt 1,5\]

Atau ini contoh lainnya:

\[\sqrt(3)=1,73205...\kira-kira 1,7 \gt 1,5\]

Namun semua pembulatan ini, pertama, cukup kasar; dan kedua, Anda juga harus bisa bekerja dengan nilai perkiraan, jika tidak, Anda dapat menemukan banyak kesalahan yang tidak jelas (omong-omong, keterampilan membandingkan dan membulatkan harus diperiksa di profil Ujian Negara Terpadu).

Oleh karena itu, dalam matematika yang serius Anda tidak dapat melakukannya tanpa akar - mereka adalah perwakilan yang sama dari himpunan semua bilangan real $\mathbb(R)$, sama seperti pecahan dan bilangan bulat yang telah lama kita kenal.

Ketidakmampuan untuk merepresentasikan akar sebagai pecahan dalam bentuk $\frac(p)(q)$ berarti demikian akar yang diberikan tidak bilangan rasional. Bilangan seperti itu disebut irasional, dan bilangan tersebut tidak dapat direpresentasikan secara akurat kecuali dengan bantuan radikal atau konstruksi lain yang dirancang khusus untuk ini (logaritma, pangkat, limit, dll.). Tapi lebih dari itu lain kali.

Mari kita perhatikan beberapa contoh di mana, setelah semua perhitungan, bilangan irasional masih tetap ada dalam jawabannya.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kira-kira 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\kira-kira -1,2599... \\ \end(align)\]

Secara alami, menurut penampilan root hampir tidak mungkin menebak angka mana yang muncul setelah koma. Namun, Anda dapat mengandalkan kalkulator, tetapi kalkulator tanggal paling canggih sekalipun hanya memberi kita beberapa digit pertama bilangan irasional. Oleh karena itu, akan lebih tepat jika menuliskan jawabannya dalam bentuk $\sqrt(5)$ dan $\sqrt(-2)$.

Inilah sebabnya mengapa mereka diciptakan. Untuk mencatat jawaban dengan mudah.

Mengapa diperlukan dua definisi?

Pembaca yang penuh perhatian mungkin telah memperhatikan bahwa semua akar kuadrat yang diberikan dalam contoh diambil dari bilangan positif. Ya, setidaknya dari awal. Tetapi akar pangkat tiga dapat dengan mudah diekstraksi dari bilangan apa pun - baik positif maupun negatif.

Mengapa ini terjadi? Perhatikan grafik fungsi $y=((x)^(2))$:

Mari kita coba menghitung $\sqrt(4)$ menggunakan grafik ini. Untuk melakukan ini, garis horizontal $y=4$ digambar pada grafik (ditandai dengan warna merah), yang berpotongan dengan parabola di dua titik: $((x)_(1))=2$ dan $((x )_(2)) =-2$. Ini cukup logis, karena

Semuanya jelas dengan angka pertama - positif, jadi ini adalah akarnya:

Tapi lalu apa hubungannya dengan poin kedua? Seperti empat memiliki dua akar sekaligus? Lagi pula, jika kita mengkuadratkan angka −2, kita juga mendapatkan 4. Mengapa tidak menulis $\sqrt(4)=-2$ saja? Dan mengapa guru melihat postingan seperti itu seolah-olah mereka ingin memakanmu :)

Itu masalahnya, jika Anda tidak menerapkannya ketentuan tambahan, maka segi empat akan memiliki dua akar kuadrat - positif dan negatif. Dan setiap bilangan positif juga akan memiliki dua bilangan positif. Tetapi bilangan negatif tidak memiliki akar sama sekali - hal ini dapat dilihat dari grafik yang sama, karena parabola tidak pernah jatuh di bawah sumbunya. kamu, yaitu tidak menerima nilai negatif.

Masalah serupa terjadi pada semua akar dengan eksponen genap:

1. Sebenarnya, setiap bilangan positif akan memiliki dua akar dengan eksponen genap $n$;
2. Dari bilangan negatif, akar dengan $n$ genap tidak diekstraksi sama sekali.

Oleh karena itu, dalam definisi akar pangkat genap $n$ diatur secara khusus bahwa jawabannya harus berupa bilangan bukan negatif. Inilah cara kita menghilangkan ambiguitas.

Tapi untuk $n$ ganjil tidak ada masalah seperti itu. Untuk melihatnya, mari kita lihat grafik fungsi $y=((x)^(3))$:

Dua kesimpulan dapat ditarik dari grafik ini:

1. Cabang-cabang parabola kubik, tidak seperti parabola biasa, bergerak hingga tak terhingga di kedua arah - baik ke atas maupun ke bawah. Oleh karena itu, setinggi apa pun kita menggambar garis horizontal, garis tersebut pasti akan berpotongan dengan grafik kita. Oleh karena itu, akar pangkat tiga selalu dapat diambil dari bilangan apa pun;
2. Selain itu, perpotongan seperti itu akan selalu unik, jadi Anda tidak perlu memikirkan bilangan mana yang dianggap sebagai akar yang “benar” dan bilangan mana yang harus diabaikan. Itulah sebabnya menentukan akar-akar pangkat ganjil lebih mudah dibandingkan pangkat genap (tidak ada persyaratan untuk bilangan non-negatif).

Sayangnya hal-hal sederhana ini tidak dijelaskan di sebagian besar buku pelajaran. Sebaliknya, otak kita mulai melayang dengan segala macam akar aritmatika dan sifat-sifatnya.

Ya, saya tidak membantah: Anda juga perlu tahu apa itu akar aritmatika. Dan saya akan membicarakan hal ini secara rinci dalam pelajaran terpisah. Hari ini kita juga akan membicarakannya, karena tanpanya semua pemikiran tentang akar multiplisitas ke-$n$ tidak akan lengkap.

Namun pertama-tama Anda perlu memahami dengan jelas definisi yang saya berikan di atas. Jika tidak, karena banyaknya istilah, kekacauan akan mulai terjadi di kepala Anda sehingga pada akhirnya Anda tidak akan mengerti apa pun.

Yang perlu Anda lakukan hanyalah memahami perbedaan antara indikator genap dan ganjil. Oleh karena itu, mari kita kumpulkan sekali lagi semua yang perlu Anda ketahui tentang root:

1. Akar derajat genap hanya ada dari bilangan non-negatif dan selalu merupakan bilangan non-negatif. Untuk bilangan negatif, akar tersebut tidak terdefinisi.
2. Tetapi akar pangkat ganjil ada dari bilangan apa pun dan dapat berupa bilangan apa saja: untuk bilangan positif bilangan itu positif, dan untuk bilangan negatif, seperti yang ditunjukkan pada huruf kapital, bilangan itu negatif.

Apakah itu sulit? Tidak, itu tidak sulit. Sudah jelas? Ya, itu sangat jelas! Jadi sekarang kita akan berlatih sedikit dengan perhitungannya.

Sifat dasar dan batasannya

Akar memiliki banyak sifat dan keterbatasan yang aneh - ini akan dibahas dalam pelajaran terpisah. Oleh karena itu, sekarang kita hanya akan mempertimbangkan “trik” yang paling penting, yang hanya berlaku untuk akar dengan indeks genap. Mari kita tulis properti ini sebagai rumus:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\kiri| x\kanan|\]

Dengan kata lain, jika kita menaikkan suatu bilangan ke pangkat genap dan kemudian mengambil akar pangkat yang sama dari bilangan tersebut, kita tidak akan mendapatkan bilangan aslinya, melainkan modulusnya. Ini adalah teorema sederhana yang dapat dibuktikan dengan mudah (cukup dengan mempertimbangkan $x$ non-negatif secara terpisah, dan kemudian yang negatif secara terpisah). Guru terus-menerus membicarakannya, hal ini diberikan di setiap buku pelajaran sekolah. Namun begitu harus menyelesaikan persamaan irasional (yaitu persamaan yang mengandung tanda radikal), siswa dengan suara bulat melupakan rumus ini.

Untuk memahami masalah ini secara mendetail, mari kita lupakan sejenak semua rumusnya dan coba menghitung dua angka secara langsung:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \kanan))^(4)))=?\]

Ini sangat contoh sederhana. Kebanyakan orang akan menyelesaikan contoh pertama, tetapi banyak orang terjebak pada contoh kedua. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu tanpa masalah, selalu pertimbangkan prosedurnya:

1. Pertama, bilangan tersebut dipangkatkan keempat. Yah, itu agak mudah. Anda akan mendapatkan nomor baru yang dapat ditemukan bahkan di tabel perkalian;
2. Dan sekarang dari nomor baru ini perlu untuk mengekstrak akar keempat. Itu. tidak ada “pengurangan” akar dan kekuatan yang terjadi - ini adalah tindakan berurutan.

Mari kita lihat ekspresi pertama: $\sqrt(((3)^(4)))$. Jelasnya, Anda harus terlebih dahulu menghitung ekspresi di bawah root:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Kemudian kita ekstrak akar keempat dari angka 81:

Sekarang mari kita lakukan hal yang sama dengan ekspresi kedua. Pertama, kita naikkan angka −3 ke pangkat empat, yang mengharuskannya dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 4 kali:

\[((\kiri(-3 \kanan))^(4))=\kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \ kiri(-3 \kanan)=81\]

Kita mendapat bilangan positif, karena jumlah total minus pada hasil perkalian adalah 4, dan semuanya akan saling meniadakan (bagaimanapun juga, minus untuk minus menghasilkan plus). Lalu kita ekstrak kembali rootnya:

Pada prinsipnya, baris ini tidak mungkin ditulis, karena tidak ada salahnya jika jawabannya akan sama. Itu. akar genap dari pangkat genap yang sama “membakar” minusnya, dan dalam hal ini hasilnya tidak dapat dibedakan dari modul biasa:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\kiri| 3 \kanan|=3; \\ & \sqrt(((\kiri(-3 \kanan))^(4)))=\kiri| -3 \kanan|=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Perhitungan ini sesuai dengan definisi akar derajat genap: hasilnya selalu non-negatif, dan tanda akar juga selalu mengandung bilangan non-negatif. Jika tidak, akarnya tidak terdefinisi.

Catatan tentang prosedur

1. Notasi $\sqrt(((a)^(2)))$ berarti kita mengkuadratkan bilangan $a$ terlebih dahulu lalu mengambil akar kuadrat dari nilai yang dihasilkan. Oleh karena itu, kita dapat yakin bahwa selalu ada bilangan non-negatif di bawah tanda akar, karena $((a)^(2))\ge 0$ bagaimanapun juga;
2. Namun notasi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, sebaliknya, berarti kita terlebih dahulu mengambil akar suatu bilangan $a$ dan baru kemudian mengkuadratkan hasilnya. Oleh karena itu, angka $a$ sama sekali tidak boleh negatif - ini adalah persyaratan wajib yang termasuk dalam definisi.

Oleh karena itu, seseorang tidak boleh sembarangan mengurangi akar dan derajat, sehingga diduga “menyederhanakan” ekspresi aslinya. Karena jika akarnya mempunyai bilangan negatif dan eksponennya genap, kita mendapat banyak masalah.

Namun, semua masalah ini hanya relevan untuk indikator genap.

Menghapus tanda minus dari bawah tanda root

Secara alami, akar-akar yang pangkatnya ganjil juga mempunyai ciri tersendiri, yang pada prinsipnya tidak ada pada pangkat genap. Yaitu:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Singkatnya, Anda dapat menghilangkan tanda minus dari bawah tanda akar derajat ganjil. Ini sangat properti yang berguna, yang memungkinkan Anda untuk "membuang" semua hal negatif:

\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \kiri(-\sqrt(32) \kanan)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(sejajarkan)\]

Properti sederhana ini sangat menyederhanakan banyak perhitungan. Sekarang Anda tidak perlu khawatir: bagaimana jika ekspresi negatif tersembunyi di bawah akar, tetapi derajat di akarnya ternyata genap? Cukup dengan “membuang” semua kekurangan di luar akar, setelah itu dapat dikalikan satu sama lain, dibagi, dan umumnya melakukan banyak hal yang mencurigakan, yang dalam kasus akar “klasik” dijamin akan membawa kita ke sana. sebuah kesalahan.

Dan di sini definisi lain muncul - definisi yang sama dengan yang digunakan di sebagian besar sekolah untuk memulai studi tentang ekspresi irasional. Dan tanpanya pemikiran kita tidak akan lengkap. Temui kami!

Akar aritmatika

Mari kita asumsikan sejenak bahwa di bawah tanda akar hanya ada bilangan positif atau, dalam kasus ekstrim, nol. Mari kita lupakan indikator genap/ganjil, lupakan semua definisi yang diberikan di atas - kita hanya akan bekerja dengan bilangan non-negatif. Lalu bagaimana?

Dan kemudian kita akan mendapatkan akar aritmatika - sebagian tumpang tindih dengan definisi "standar" kita, tetapi masih berbeda dari definisi tersebut.

Definisi. Akar aritmatika pangkat $n$ dari bilangan non-negatif $a$ adalah bilangan non-negatif $b$ sehingga $((b)^(n))=a$.

Seperti yang bisa kita lihat, kita tidak lagi tertarik pada kesetaraan. Sebaliknya, batasan baru muncul: ekspresi radikal sekarang selalu non-negatif, dan akar kata itu sendiri juga non-negatif.

Untuk lebih memahami perbedaan akar aritmatika dari akar aritmatika biasa, perhatikan grafik parabola persegi dan kubik yang sudah kita kenal:

Seperti yang Anda lihat, mulai sekarang kita hanya tertarik pada potongan grafik yang terletak pada kuartal koordinat pertama - yang koordinat $x$ dan $y$ positif (atau setidaknya nol). Anda tidak perlu lagi melihat indikatornya untuk memahami apakah kita berhak meletakkan angka negatif di bawah akar atau tidak. Karena angka negatif pada prinsipnya tidak lagi dianggap.

Anda mungkin bertanya: “Mengapa kita memerlukan definisi yang dikebiri seperti itu?” Atau: “Mengapa kita tidak bisa bertahan dengan definisi standar yang diberikan di atas?”

Baiklah, saya hanya akan memberikan satu properti yang membuat definisi baru menjadi tepat. Misalnya, aturan eksponensial:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Harap dicatat: kita dapat menaikkan ekspresi radikal ke pangkat berapa pun dan pada saat yang sama mengalikan eksponen akar dengan pangkat yang sama - dan hasilnya akan menjadi angka yang sama! Berikut ini contohnya:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(sejajarkan)\]

Jadi apa masalahnya? Mengapa kita tidak bisa melakukan ini sebelumnya? Inilah alasannya. Mari kita pertimbangkan ekspresi sederhana: $\sqrt(-2)$ - angka ini cukup normal dalam pemahaman klasik kita, tetapi sama sekali tidak dapat diterima dari sudut pandang akar aritmatika. Mari kita coba mengonversinya:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus pertama kami menghilangkan tanda minus dari bawah akar (kami berhak, karena eksponennya ganjil), dan dalam kasus kedua kami menggunakan rumus di atas. Itu. Dari sudut pandang matematika, semuanya dilakukan sesuai aturan.

Apa?! Bagaimana bilangan yang sama bisa positif dan negatif? Mustahil. Hanya saja rumus eksponensial, yang berfungsi baik untuk bilangan positif dan nol, mulai menghasilkan kesesatan total dalam kasus bilangan negatif.

Untuk menghilangkan ambiguitas itulah akar aritmatika diciptakan. Pelajaran besar yang terpisah dikhususkan untuk mereka, di mana kami mempertimbangkan semua propertinya secara rinci. Jadi kita tidak akan membahasnya sekarang - pelajarannya ternyata terlalu panjang.

Akar aljabar: bagi yang ingin tahu lebih banyak

Saya sudah lama berpikir apakah akan menempatkan topik ini dalam paragraf terpisah atau tidak. Pada akhirnya saya memutuskan untuk meninggalkannya di sini. bahan ini ditujukan bagi mereka yang ingin memahami akarnya dengan lebih baik - tidak lagi pada tingkat “sekolah” rata-rata, tetapi pada tingkat yang mendekati tingkat Olimpiade.

Jadi: selain definisi “klasik” dari akar $n$th suatu bilangan dan pembagian terkait menjadi eksponen genap dan ganjil, ada definisi yang lebih “dewasa” yang tidak bergantung sama sekali pada paritas dan seluk-beluk lainnya. Ini disebut akar aljabar.

Definisi. Akar aljabar $n$th dari $a$ apa pun adalah himpunan semua bilangan $b$ sehingga $((b)^(n))=a$. Tidak ada sebutan pasti untuk akar seperti itu, jadi kami hanya akan memberi tanda hubung di atasnya:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\kiri\( b\kiri| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \kanan.\kanan\) \]

Perbedaan mendasar dari definisi standar yang diberikan di awal pelajaran adalah bahwa akar aljabar bukanlah suatu bilangan tertentu, melainkan suatu himpunan. Dan karena kita bekerja dengan bilangan real, himpunan ini hanya tersedia dalam tiga jenis:

1. Set kosong. Terjadi ketika Anda perlu mencari akar aljabar derajat genap dari bilangan negatif;
2. Satu set yang terdiri dari satu elemen tunggal. Semua akar pangkat ganjil, serta akar pangkat genap nol, termasuk dalam kategori ini;
3. Terakhir, himpunan dapat mencakup dua angka - $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))=-((x)_(1))$ yang sama seperti yang kita lihat di grafik fungsi kuadrat. Oleh karena itu, pengaturan seperti itu hanya mungkin jika mengekstraksi akar derajat genap dari bilangan positif.

Kasus terakhir patut mendapat pertimbangan lebih rinci. Mari kita hitung beberapa contoh untuk memahami perbedaannya.

Contoh. Evaluasi ekspresi:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Larutan. Ekspresi pertama sederhana:

\[\overline(\sqrt(4))=\kiri\( 2;-2 \kanan\)\]

Ini adalah dua angka yang merupakan bagian dari himpunan. Karena masing-masing kuadrat menghasilkan empat.

\[\overline(\sqrt(-27))=\kiri\( -3 \kanan\)\]

Di sini kita melihat himpunan yang hanya terdiri dari satu bilangan. Ini cukup logis, karena eksponen akarnya ganjil.

Terakhir, ekspresi terakhir:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Diterima set kosong. Karena tidak ada satu pun bilangan real yang, jika dipangkatkan ke empat (yaitu bilangan genap!), akan menghasilkan bilangan negatif −16.

Catatan terakhir. Harap dicatat: bukan kebetulan saya mencatat di mana-mana bahwa kami bekerja dengan bilangan real. Karena ada juga bilangan kompleks - sangat mungkin untuk menghitung $\sqrt(-16)$ di sana, dan banyak hal aneh lainnya.

Namun, bilangan kompleks hampir tidak pernah muncul dalam pelajaran matematika sekolah modern. Topik tersebut telah dihapus dari sebagian besar buku teks karena pejabat kami menganggap topik tersebut “terlalu sulit untuk dipahami.”