Bilangan irasional - Hypermarket pengetahuan. Bilangan irasional: untuk apa dan untuk apa? 17 teorema bilangan irasional dengan buktinya
Contoh:
\(4\) adalah bilangan rasional, karena dapat ditulis sebagai \(\frac(4)(1)\) ;
\(0.0157304\) juga rasional karena dapat ditulis sebagai \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - dan ini adalah bilangan rasional: dapat direpresentasikan sebagai \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) rasional karena dapat direpresentasikan sebagai \(\frac(1)(2)\) . Memang, kita dapat melakukan rangkaian transformasi \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)
bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat.
Tidak mungkin karena itu tak ada habisnya pecahan, dan bahkan yang non-periodik. Oleh karena itu, tidak ada bilangan bulat yang jika dibagi satu sama lain akan menghasilkan bilangan irasional.
Contoh:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) adalah bilangan irasional;
\(π≈3.1415926… \) adalah bilangan irasional;
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) adalah bilangan irasional.
Contoh
(Tugas dari OGE). Nilai ekspresi manakah yang merupakan bilangan rasional?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).
Larutan:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) juga tidak mungkin untuk merepresentasikan angka sebagai pecahan dengan bilangan bulat , maka bilangan tersebut irasional.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - tidak ada akar yang tersisa, angka dapat dengan mudah direpresentasikan sebagai pecahan, misalnya, \(\frac(-5)(1)\) , jadi rasional.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - root tidak dapat diekstraksi - jumlahnya tidak rasional.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) juga tidak rasional.
Memahami angka, terutama bilangan asli, adalah salah satu "keterampilan" matematika tertua. Banyak peradaban, bahkan yang modern, mengaitkan beberapa sifat mistik dengan angka karena sangat penting dalam mendeskripsikan alam. Meskipun sains dan matematika modern tidak mengkonfirmasi sifat "ajaib" ini, signifikansi teori bilangan tidak dapat disangkal.
Secara historis, banyak bilangan asli pertama kali muncul, kemudian pecahan dan bilangan irasional positif ditambahkan ke dalamnya. Angka nol dan negatif diperkenalkan setelah himpunan bagian dari himpunan bilangan real ini. Himpunan terakhir, himpunan bilangan kompleks, muncul hanya dengan perkembangan ilmu pengetahuan modern.
Dalam matematika modern, angka diperkenalkan bukan dalam urutan sejarah, meskipun cukup dekat dengannya.
Bilangan asli $\mathbb(N)$
Himpunan bilangan asli sering dilambangkan sebagai $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, dan sering diisi dengan nol untuk menunjukkan $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ mendefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian ($\cdot$) dengan properti berikut untuk setiap $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ set $\mathbb(N)$ ditutup dengan penjumlahan dan perkalian
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutatifitas
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asosiatif
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributif
5. $a\cdot 1=a$ adalah elemen netral untuk perkalian
Karena himpunan $\mathbb(N)$ berisi elemen netral untuk perkalian tetapi tidak untuk penjumlahan, menambahkan nol ke himpunan ini memastikan bahwa himpunan tersebut menyertakan elemen netral untuk penjumlahan.
Selain dua operasi ini, pada himpunan $\mathbb(N)$ relasi "kurang dari" ($
1. trikotomi $a b$
2. jika $a\leq b$ dan $b\leq a$, maka $a=b$ antisimetri
3. jika $a\leq b$ dan $b\leq c$, maka $a\leq c$ bersifat transitif
4. jika $a\leq b$, maka $a+c\leq b+c$
5. jika $a\leq b$, maka $a\cdot c\leq b\cdot c$
Bilangan bulat $\mathbb(Z)$
Contoh bilangan bulat:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Solusi dari persamaan $a+x=b$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang diketahui, dan $x$ adalah bilangan asli yang tidak diketahui, membutuhkan pengenalan operasi baru - pengurangan (-). Jika ada bilangan asli $x$ yang memenuhi persamaan ini, maka $x=b-a$. Namun, persamaan khusus ini tidak harus memiliki solusi pada himpunan $\mathbb(N)$, jadi pertimbangan praktis memerlukan perluasan himpunan bilangan asli sedemikian rupa untuk menyertakan solusi persamaan tersebut. Ini mengarah pada pengenalan satu set bilangan bulat: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Karena $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, adalah logis untuk mengasumsikan bahwa operasi yang diperkenalkan sebelumnya $+$ dan $\cdot$ dan relasi $ 1. $0+a=a+0=a$ ada elemen netral untuk penambahan
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ ada lawan angka $-a$ untuk $a$
5. Properti:
5. jika $0\leq a$ dan $0\leq b$, maka $0\leq a\cdot b$
Himpunan $\mathbb(Z) $ juga ditutup dengan pengurangan, yaitu, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Bilangan rasional $\mathbb(Q)$
Contoh bilangan rasional:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Sekarang pertimbangkan persamaan dalam bentuk $a\cdot x=b$, di mana $a$ dan $b$ diketahui bilangan bulat dan $x$ tidak diketahui. Untuk memungkinkan solusi, perlu untuk memperkenalkan operasi pembagian ($:$), dan solusinya menjadi $x=b:a$, yaitu, $x=\frac(b)(a)$. Sekali lagi, masalah muncul bahwa $x$ tidak selalu milik $\mathbb(Z)$, sehingga himpunan bilangan bulat harus diperluas. Jadi, kami memperkenalkan himpunan bilangan rasional $\mathbb(Q)$ dengan elemen $\frac(p)(q)$, di mana $p\in \mathbb(Z)$ dan $q\in \mathbb(N) $. Set $\mathbb(Z)$ adalah subset di mana setiap elemen $q=1$, maka $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ dan operasi penjumlahan dan perkalian juga berlaku untuk set ini sesuai ke aturan berikut, yang mempertahankan semua properti di atas juga pada set $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Pembagiannya dimasukkan seperti ini:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Pada himpunan $\mathbb(Q)$, persamaan $a\cdot x=b$ memiliki solusi unik untuk setiap $a\neq 0$ (tidak ada pembagian dengan nol yang ditentukan). Ini berarti ada elemen invers $\frac(1)(a)$ atau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\ada \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Urutan set $\mathbb(Q)$ dapat diperpanjang dengan cara ini:
$\frac(p_1)(q_1)
Himpunan $\mathbb(Q)$ memiliki satu sifat penting: di antara dua bilangan rasional ada banyak bilangan rasional lain yang tak terhingga, oleh karena itu, tidak ada dua bilangan rasional yang bertetangga, berbeda dengan himpunan bilangan asli dan bilangan bulat.
Bilangan irasional $\mathbb(I)$
Contoh bilangan irasional:
$\sqrt(2) \kira-kira 1,41422135...$
$\pi \kira-kira 3,1415926535...$
Karena ada banyak bilangan rasional lain yang tak terhingga di antara dua bilangan rasional mana pun, mudah untuk menyimpulkan secara keliru bahwa himpunan bilangan rasional begitu padat sehingga tidak perlu memperluasnya lebih jauh. Bahkan Pythagoras pernah melakukan kesalahan seperti itu. Namun, orang-orang sezamannya telah membantah kesimpulan ini ketika mempelajari solusi persamaan $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pada himpunan bilangan rasional. Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, perlu untuk memperkenalkan konsep akar kuadrat, dan kemudian solusi persamaan ini memiliki bentuk $x=\sqrt(2)$. Persamaan bertipe $x^2=a$, di mana $a$ adalah bilangan rasional yang diketahui dan $x$ adalah bilangan yang tidak diketahui, tidak selalu memiliki solusi pada himpunan bilangan rasional, dan sekali lagi diperlukan untuk memperluas himpunan. Serangkaian bilangan irasional muncul, dan bilangan seperti $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... termasuk dalam himpunan ini.
Bilangan real $\mathbb(R)$
Penyatuan himpunan bilangan rasional dan irasional adalah himpunan bilangan real. Karena $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, sekali lagi logis untuk mengasumsikan bahwa operasi aritmatika dan relasi yang diperkenalkan mempertahankan propertinya pada set baru. Bukti formal dari hal ini sangat sulit, sehingga sifat-sifat operasi aritmatika dan relasi pada himpunan bilangan real yang disebutkan di atas diperkenalkan sebagai aksioma. Dalam aljabar, objek seperti itu disebut bidang, sehingga himpunan bilangan real disebut bidang terurut.
Agar definisi himpunan bilangan real menjadi lengkap, perlu untuk memperkenalkan aksioma tambahan yang membedakan himpunan $\mathbb(Q)$ dan $\mathbb(R)$. Asumsikan bahwa $S$ adalah himpunan bagian tidak kosong dari himpunan bilangan real. Sebuah elemen $b\in \mathbb(R)$ disebut batas atas dari $S$ jika $\forall x\in S$ memenuhi $x\leq b$. Maka himpunan $S$ dikatakan dibatasi dari atas. Batas atas terkecil dari himpunan $S$ disebut supremum dan dilambangkan dengan $\sup S$. Gagasan tentang batas bawah, himpunan yang dibatasi di bawah, dan infinum $\inf S$ diperkenalkan dengan cara yang sama. Sekarang aksioma yang hilang dirumuskan sebagai berikut:
Subhimpunan bilangan real yang tidak kosong dan dibatasi dari atas memiliki supremum.
Dapat juga dibuktikan bahwa bidang bilangan real yang didefinisikan di atas adalah unik.
Bilangan kompleks$\mathbb(C)$
Contoh bilangan kompleks:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ di mana $i = \sqrt(-1)$ atau $i^2 = -1$
Himpunan bilangan kompleks adalah semua pasangan terurut dari bilangan real, yaitu $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, di mana operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan sebagai berikut cara:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Ada beberapa cara untuk menulis bilangan kompleks, yang paling umum adalah $z=a+ib$, di mana $(a,b)$ adalah pasangan bilangan real, dan bilangan $i=(0,1)$ disebut unit imajiner.
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa $i^2=-1$. Perpanjangan dari himpunan $\mathbb(R)$ ke himpunan $\mathbb(C)$ memungkinkan seseorang untuk menentukan akar kuadrat dari bilangan negatif, yang merupakan alasan untuk memperkenalkan himpunan bilangan kompleks. Juga mudah untuk menunjukkan bahwa subset dari himpunan $\mathbb(C)$ diberikan sebagai $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ memenuhi semua aksioma untuk bilangan real, maka $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, atau $R\subset\mathbb(C)$.
Struktur aljabar dari himpunan $\mathbb(C)$ sehubungan dengan operasi penjumlahan dan perkalian memiliki sifat-sifat berikut:
1. komutatif penjumlahan dan perkalian
2. asosiatif penjumlahan dan perkalian
3. $0+i0$ - elemen netral untuk penambahan
4. $1+i0$ - elemen netral untuk perkalian
5. perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan
6. Ada elemen invers tunggal untuk penjumlahan dan perkalian.
Konsep bilangan irasional diatur sedemikian rupa sehingga didefinisikan melalui negasi properti "menjadi rasional", oleh karena itu pembuktian dengan kontradiksi adalah yang paling alami di sini. Namun, dimungkinkan untuk menawarkan alasan berikut.
Bagaimana bilangan rasional secara fundamental berbeda dari bilangan irasional? Keduanya dapat didekati dengan bilangan rasional dengan presisi tertentu, tetapi untuk bilangan rasional ada perkiraan dengan presisi "nol" (bilangan itu sendiri), tetapi untuk bilangan irasional tidak lagi demikian. Mari kita coba bermain dengannya.
Pertama-tama, kami mencatat fakta yang begitu sederhana. Biarkan $%\alpha$%, $%\beta$% menjadi dua angka positif yang mendekati satu sama lain dengan akurasi $%\varepsilon$%, yaitu $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Apa yang terjadi jika kita membalik angkanya? Bagaimana ini mengubah akurasi? Sangat mudah untuk melihat bahwa $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ yang akan benar-benar kurang dari $%\varepsilon$% untuk $%\alpha\beta>1$%. Pernyataan ini dapat dianggap sebagai lemma independen.
Sekarang mari kita letakkan $%x=\sqrt(2)$%, dan biarkan $%q\in(\mathbb Q)$% menjadi perkiraan rasional dari $%x$% dengan presisi $%\varepsilon$%. Kita tahu bahwa $%x>1$%, dan untuk perkiraan $%q$%, kita mengharuskan pertidaksamaan $%q\ge1$% terpenuhi. Untuk semua angka kurang dari $%1$%, akurasi perkiraan akan lebih buruk daripada $%1$% itu sendiri, dan oleh karena itu kami tidak akan mempertimbangkannya.
Mari tambahkan $%1$% ke setiap angka $%x$%, $%q$%. Jelas, akurasi perkiraan akan tetap sama. Sekarang kita memiliki angka $%\alpha=x+1$% dan $%\beta=q+1$%. Melewati timbal balik dan menerapkan "lemma", kita akan sampai pada kesimpulan bahwa akurasi perkiraan kita telah meningkat, menjadi kurang dari $%\varepsilon$%. Kondisi yang diperlukan $%\alpha\beta>1$% terpenuhi bahkan dengan margin: sebenarnya, kita tahu bahwa $%\alpha>2$% dan $%\beta\ge2$%, dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa akurasi ditingkatkan setidaknya $%4$% kali, yaitu tidak melebihi $%\varepsilon/4$%.
Dan inilah poin utamanya: dengan syarat, $%x^2=2$%, yaitu, $%x^2-1=1$%, yang artinya $%(x+1)(x- 1) =1$%, yaitu, angka $%x+1$% dan $%x-1$% berbanding terbalik satu sama lain. Dan ini berarti $%\alpha^(-1)=x-1$% akan menjadi perkiraan ke angka (rasional) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% dengan akurasi sangat kurang dari $%\varepsilon$%. Tetap menambahkan $%1$% ke angka-angka ini, dan ternyata angka $%x$%, yaitu, $%\sqrt(2)$%, memiliki perkiraan rasional baru yang sama dengan $%\beta ^(- 1)+1$%, yaitu $%(q+2)/(q+1)$%, dengan akurasi "ditingkatkan". Ini melengkapi buktinya, karena bilangan rasional, seperti yang kami sebutkan di atas, memiliki perkiraan rasional yang "benar-benar tepat" dengan akurasi $%\varepsilon=0$%, di mana akurasi pada prinsipnya tidak dapat ditingkatkan. Dan kami berhasil melakukannya, yang berbicara tentang irasionalitas nomor kami.
Nyatanya, argumen ini menunjukkan cara membuat perkiraan rasional konkret untuk $%\sqrt(2)$% dengan akurasi yang terus meningkat. Pertama-tama kita harus mengambil perkiraan $%q=1$%, dan kemudian menerapkan rumus pengganti yang sama: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Proses ini menghasilkan yang berikut: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ dan seterusnya.
1. Bukti adalah contoh penalaran deduktif dan berbeda dari argumen induktif atau empiris. Pembuktian harus menunjukkan bahwa pernyataan yang dibuktikan selalu benar, kadang-kadang dengan menghitung semua kasus yang mungkin dan menunjukkan bahwa pernyataan berlaku di masing-masing kasus. Pembuktian dapat didasarkan pada fenomena atau kasus yang jelas atau diterima secara umum, yang dikenal sebagai aksioma. Bertentangan dengan ini, irasionalitas "akar kuadrat dari dua" terbukti.
2. Intervensi topologi di sini dijelaskan oleh sifat hal-hal itu sendiri, artinya tidak ada cara aljabar murni untuk membuktikan irasionalitas, khususnya berdasarkan bilangan rasional, berikut contohnya, pilihan ada di tangan Anda: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 atau 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Jika Anda mengambil 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, yang dianggap sebagai pendekatan "aljabar", maka sama sekali tidak sulit untuk menunjukkan bahwa terdapat n/m ∈ ℚ yang, pada urutan tak terbatas, adalah irasional dan bilangan terbatas.Hal ini menunjukkan bahwa bilangan irasional adalah penutupan bidang ℚ, tetapi ini mengacu pada singularitas topologi.
Jadi untuk bilangan Fibonacci, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Ini hanya menunjukkan bahwa terdapat homomorfisma kontinu ℚ → I, dan dapat ditunjukkan dengan tegas bahwa keberadaan isomorfisma semacam itu bukanlah konsekuensi logis dari aksioma aljabar.
