Apa yang dimaksud dengan menentukan sekumpulan nilai fungsi. Menemukan himpunan nilai fungsi

Fungsi adalah model. Mari kita definisikan X sebagai himpunan nilai dari variabel independen // independen berarti apa saja.

Fungsi adalah aturan yang dengannya, untuk setiap nilai variabel bebas dari himpunan X, seseorang dapat menemukan nilai unik dari variabel terikat. // yaitu. untuk setiap x ada satu y.

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa ada dua konsep - variabel bebas (yang kita nyatakan dengan x dan dapat mengambil nilai berapa pun) dan variabel terikat (yang kita nyatakan dengan y atau f (x) dan dihitung dari fungsi ketika kita substitusikan x).

CONTOH y=5+x

1. Independen adalah x, artinya kita ambil nilai berapa pun, misalkan x=3

2. Sekarang mari kita hitung y, yang artinya y=5+x=5+3=8. (y bergantung pada x, karena berapapun x yang kita substitusikan, kita mendapatkan y yang sama)

Variabel y dikatakan bergantung secara fungsional pada variabel x dan dinotasikan sebagai berikut: y = f(x).

MISALNYA.

1.y=1/x. (disebut hiperbola)

2.y=x^2. (disebut parabola)

3.y=3x+7. (disebut garis lurus)

4. kamu= √ x. (disebut cabang parabola)

Variabel bebas (yang dilambangkan dengan x) disebut argumen fungsi.

Domain Fungsi

Himpunan semua nilai yang diambil oleh argumen fungsi disebut domain fungsi dan dilambangkan dengan D(f) atau D(y).

Pertimbangkan D(y) untuk 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) dan (0;+∞) //seluruh himpunan bilangan real kecuali nol.

2. D (y)= (∞; +∞)//semua bilangan real

3. D (y)= (∞; +∞)//semua bilangan real

4.D(kamu)=. Mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen ini.

Turunannya berdampak positif bagi semua orang X dari interval (-1; 1) , yaitu, fungsi arcsinus meningkat di seluruh domain definisi. Oleh karena itu, dibutuhkan nilai terkecil ketika x = -1, dan yang terbesar di x = 1.

Kami telah memperoleh rentang fungsi arcsinus .

Temukan himpunan nilai fungsi pada segmen tersebut .

Larutan.

Mari kita cari nilai fungsi terbesar dan terkecil pada segmen tertentu.

Mari kita tentukan titik ekstrem milik segmen tersebut :

Banyak masalah yang mengarahkan kita pada pencarian himpunan nilai fungsi pada segmen tertentu atau di seluruh domain definisi. Tugas-tugas tersebut mencakup berbagai evaluasi ekspresi dan penyelesaian ketidaksetaraan.

Pada artikel ini, kita akan menentukan rentang nilai suatu fungsi, mempertimbangkan metode untuk menemukannya, dan menganalisis secara rinci solusi contoh dari yang sederhana hingga yang lebih kompleks. Semua materi akan dilengkapi dengan ilustrasi grafis untuk kejelasan. Jadi artikel ini adalah jawaban rinci atas pertanyaan bagaimana mencari jangkauan suatu fungsi.

Definisi.

Himpunan nilai fungsi y = f(x) pada interval X adalah himpunan semua nilai suatu fungsi yang diperlukan saat melakukan iterasi pada semua .

Definisi.

Rentang fungsi y = f(x) adalah himpunan semua nilai fungsi yang diperlukan saat melakukan iterasi pada semua x dari domain definisi.

Rentang fungsi dilambangkan sebagai E(f) .

Rentang suatu fungsi dan himpunan nilai suatu fungsi bukanlah hal yang sama. Kita akan menganggap konsep-konsep ini ekuivalen jika interval X ketika mencari himpunan nilai fungsi y = f(x) bertepatan dengan domain definisi fungsi tersebut.

Selain itu, jangan bingung antara rentang fungsi dengan variabel x untuk ekspresi di sisi kanan persamaan y=f(x) . Kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x untuk ekspresi f(x) adalah domain definisi fungsi y=f(x) .

Gambar tersebut menunjukkan beberapa contoh.

Grafik fungsi ditampilkan dengan garis biru tebal, garis merah tipis merupakan asimtot, titik merah dan garis pada sumbu Oy menunjukkan rentang nilai fungsi yang bersangkutan.

Seperti yang Anda lihat, rentang nilai suatu fungsi diperoleh dengan memproyeksikan grafik fungsi tersebut ke sumbu y. Dapat berupa satu bilangan tunggal (kasus pertama), sekumpulan angka (kasus kedua), suatu segmen (kasus ketiga), suatu interval (kasus keempat), sinar terbuka (kasus kelima), gabungan (kasus keenam), dan seterusnya. .

Jadi apa yang perlu Anda lakukan untuk mencari rentang nilai suatu fungsi?

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana: kita akan menunjukkan cara menentukan himpunan nilai fungsi kontinu y = f(x) pada segmen tersebut.

Diketahui suatu fungsi kontinu pada suatu interval mencapai nilai maksimum dan minimumnya. Jadi, himpunan nilai fungsi asli pada segmen tersebut akan menjadi segmen . Oleh karena itu, tugas kita adalah menemukan nilai fungsi terbesar dan terkecil pada segmen tersebut.

Misalnya, cari rentang nilai fungsi arcsinus.

Contoh.

Tentukan rentang fungsi y = arcsinx .

Larutan.

Daerah definisi arcsinus adalah segmen [-1; 1]. Mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen ini.

Turunannya positif untuk semua x dari interval (-1; 1), yaitu fungsi arcsinus meningkat di seluruh domain definisi. Oleh karena itu, dibutuhkan nilai terkecil pada x = -1, dan terbesar pada x = 1.

Kami telah memperoleh rentang fungsi arcsinus .

Contoh.

Temukan himpunan nilai fungsi pada segmen tersebut.

Larutan.

Mari kita cari nilai fungsi terbesar dan terkecil pada segmen tertentu.

Mari kita tentukan titik ekstrem milik segmen tersebut:

Kami menghitung nilai fungsi asli di ujung segmen dan di titik :

Oleh karena itu, himpunan nilai suatu fungsi pada suatu interval adalah interval .

Sekarang kita akan menunjukkan cara mencari himpunan nilai fungsi kontinu y = f(x) pada interval (a; b) , .

Pertama, kita menentukan titik ekstrem, ekstrem fungsi, interval kenaikan dan penurunan fungsi pada interval tertentu. Selanjutnya, kita menghitung ujung interval dan (atau) batas tak terhingga (yaitu, kita mempelajari perilaku fungsi pada batas interval atau tak terhingga). Informasi ini cukup untuk menemukan himpunan nilai fungsi pada interval tersebut.

Contoh.

Tentukan himpunan nilai fungsi pada interval (-2; 2) .

Larutan.

Mari kita cari titik ekstrem dari fungsi yang berada pada interval (-2; 2):

Dot x = 0 adalah titik maksimum, karena turunannya berubah tanda dari plus ke minus ketika melewatinya, dan grafik fungsinya berubah dari naik ke turun.

ada fungsi maksimum yang sesuai.

Mari kita cari tahu perilaku fungsi ketika x cenderung -2 di sebelah kanan dan x cenderung 2 di sebelah kiri, yaitu, kita mencari limit satu sisi:

Apa yang kita dapatkan: ketika argumen berubah dari -2 menjadi nol, nilai fungsi meningkat dari minus tak terhingga menjadi minus seperempat (maksimum fungsi pada x = 0), ketika argumen berubah dari nol menjadi 2, maka nilai fungsi berkurang hingga minus tak terhingga. Jadi, himpunan nilai fungsi pada interval (-2; 2) adalah .

Contoh.

Tentukan himpunan nilai fungsi tangen y = tgx pada interval tersebut.

Larutan.

Turunan fungsi tangen pada interval tersebut adalah positif , yang menunjukkan peningkatan fungsi. Mari kita pelajari perilaku fungsi pada batas interval:

Jadi, ketika argumen berubah dari ke, nilai fungsi meningkat dari minus tak terhingga menjadi plus tak terhingga, yaitu himpunan nilai tangen pada interval ini adalah himpunan semua bilangan real.

Contoh.

Tentukan range fungsi logaritma natural y = lnx.

Larutan.

Fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai positif dari argumen . Pada interval ini turunannya positif , ini menandakan adanya peningkatan fungsi di dalamnya. Mari kita cari limit satu sisi dari fungsi tersebut karena argumennya cenderung nol di sebelah kanan, dan limitnya ketika x cenderung ditambah tak terhingga:

Kita melihat bahwa ketika x berubah dari nol menjadi plus tak terhingga, nilai fungsinya meningkat dari minus tak terhingga menjadi plus tak terhingga. Oleh karena itu, jangkauan fungsi logaritma natural adalah seluruh himpunan bilangan real.

Contoh.

Larutan.

Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai riil x. Mari kita tentukan titik ekstremnya, serta interval kenaikan dan penurunan fungsinya.

Akibatnya fungsi berkurang pada , bertambah pada , x = 0 adalah titik maksimum, fungsi maksimum yang sesuai.

Mari kita lihat perilaku fungsi tersebut di tak terhingga:

Jadi, pada tak terhingga, nilai fungsi mendekati nol secara asimtotik.

Kami menemukan bahwa ketika argumen berubah dari minus tak terhingga menjadi nol (titik maksimum), nilai fungsi meningkat dari nol menjadi sembilan (ke maksimum fungsi), dan ketika x berubah dari nol menjadi plus tak terhingga, nilai fungsinya ​​menurun dari sembilan menjadi nol.

Lihatlah gambar skema.

Sekarang terlihat jelas bahwa rentang nilai fungsi tersebut adalah .

Mencari himpunan nilai fungsi y = f(x) pada interval memerlukan penelitian serupa. Kami tidak akan membahas kasus-kasus ini secara rinci sekarang. Kita akan bertemu mereka lagi dalam contoh di bawah ini.

Misalkan daerah definisi fungsi y = f(x) adalah gabungan beberapa interval. Saat menemukan rentang nilai fungsi tersebut, himpunan nilai pada setiap interval ditentukan dan gabungannya diambil.

Contoh.

Temukan rentang fungsinya.

Larutan.

Penyebut fungsi kita tidak boleh nol, yaitu .

Pertama, cari himpunan nilai fungsi pada sinar terbuka.

Turunan dari suatu fungsi negatif pada interval ini, artinya fungsinya menurun.

Kami menemukan bahwa karena argumennya cenderung minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati kesatuan secara asimtotik. Ketika x berubah dari minus tak terhingga menjadi dua, nilai fungsi berkurang dari satu menjadi minus tak terhingga, yaitu pada interval yang ditinjau, fungsi tersebut mengambil himpunan nilai. Kami tidak menyertakan kesatuan, karena nilai fungsinya tidak mencapainya, tetapi hanya cenderung asimtotik ke minus tak terhingga.

Kami melakukan hal yang sama untuk balok terbuka.

Pada interval ini fungsinya juga menurun.

Himpunan nilai fungsi pada interval ini adalah himpunan .

Jadi, rentang nilai fungsi yang diinginkan adalah gabungan dari himpunan dan .

Ilustrasi grafis.

Perhatian khusus harus diberikan pada fungsi periodik. Kisaran nilai fungsi periodik bertepatan dengan himpunan nilai pada interval yang sesuai dengan periode fungsi tersebut.

Contoh.

Tentukan rentang fungsi sinus y = sinx.

Larutan.

Fungsi ini periodik dengan periode dua pi. Mari kita ambil sebuah segmen dan tentukan himpunan nilai di dalamnya.

Segmen tersebut berisi dua titik ekstrem dan .

Kami menghitung nilai fungsi pada titik-titik ini dan pada batas segmen, pilih nilai terkecil dan terbesar:

Karena itu, .

Contoh.

Temukan rentang suatu fungsi .

Larutan.

Kita tahu bahwa rentang arc cosinus adalah segmen dari nol sampai pi, yaitu, atau di postingan lain. Fungsi dapat diperoleh dari arccosx dengan cara menggeser dan meregangkan sepanjang sumbu absis. Transformasi tersebut tidak mempengaruhi rentang nilai, oleh karena itu, . Fungsi diperoleh dari meregang tiga kali sepanjang sumbu Oy, yaitu, . Dan tahap transformasi terakhir adalah pergeseran empat satuan ke bawah sepanjang ordinat. Hal ini membawa kita pada ketimpangan ganda

Jadi, rentang nilai yang dibutuhkan adalah .

Mari kita berikan solusinya pada contoh lain, tetapi tanpa penjelasan (tidak diperlukan, karena sangat mirip).

Contoh.

Tentukan Rentang Fungsi .

Larutan.

Mari kita tulis fungsi aslinya dalam bentuk . Kisaran nilai fungsi pangkat adalah interval. Yaitu,. Kemudian

Karena itu, .

Untuk melengkapi gambarannya, kita harus berbicara tentang mencari rentang nilai suatu fungsi yang tidak kontinu pada domain definisi. Dalam hal ini, kami membagi domain definisi menjadi interval berdasarkan titik putus, dan menemukan kumpulan nilai pada masing-masing interval. Dengan menggabungkan kumpulan nilai yang dihasilkan, kita memperoleh rentang nilai dari fungsi aslinya. Sebaiknya ingat 3 di sebelah kiri, nilai fungsi cenderung minus satu, dan karena x cenderung 3 di sebelah kanan, nilai fungsi cenderung plus tak terhingga.

Jadi, kami membagi domain definisi fungsi menjadi tiga interval.

Pada interval kita mempunyai fungsi . Sejak itu

Jadi, himpunan nilai fungsi asli pada interval tersebut adalah [-6;2] .

Pada setengah interval kita mempunyai fungsi konstan y = -1. Artinya, himpunan nilai fungsi asli pada interval terdiri dari satu elemen.

Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai argumen yang valid. Mari kita cari interval kenaikan dan penurunan fungsi tersebut.

Turunannya hilang pada x=-1 dan x=3. Mari tandai titik-titik ini pada garis bilangan dan tentukan tanda turunannya pada interval yang dihasilkan.

Fungsinya berkurang sebesar , meningkat sebesar [-1; 3] , x=-1 titik minimum, x=3 titik maksimum.

Mari kita hitung fungsi minimum dan maksimum yang sesuai:

Mari kita periksa perilaku fungsi di tak terhingga:

Batas kedua dihitung menggunakan .

Mari kita membuat gambar skema.

Ketika argumen berubah dari minus tak terhingga menjadi -1, nilai fungsi berkurang dari plus tak terhingga menjadi -2e, ketika argumen berubah dari -1 menjadi 3, nilai fungsi meningkat dari -2e menjadi, ketika argumen berubah dari 3 hingga plus tak terhingga, nilai fungsinya turun dari nol, tetapi tidak mencapai nol.

Ketergantungan suatu variabel terhadap variabel lain disebut ketergantungan fungsional. Variabel ketergantungan kamu dari variabel X ditelepon fungsi, jika setiap nilai X cocok dengan satu nilai kamu.

Penamaan:

Variabel X disebut variabel bebas atau argumen, dan variabelnya kamu- bergantung. Mereka mengatakan itu kamu adalah fungsi dari X. Arti kamu, sesuai dengan nilai yang ditentukan X, ditelepon nilai fungsi.

Semua nilai yang diterimanya X, membentuk domain suatu fungsi; semua nilai yang diperlukan kamu, membentuk kumpulan nilai fungsi.

Sebutan:

D(f)- nilai argumen. E(f)- nilai fungsi. Jika suatu fungsi diberikan oleh suatu rumus, maka daerah definisi dianggap terdiri dari semua nilai variabel yang rumusnya masuk akal.

Grafik fungsi adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang absisnya sama dengan nilai argumennya, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang bersesuaian. Jika beberapa nilai x=x 0 cocok dengan beberapa nilai (tidak hanya satu) kamu, maka korespondensi tersebut bukan suatu fungsi. Agar himpunan titik-titik pada bidang koordinat menjadi grafik fungsi tertentu, setiap garis lurus yang sejajar sumbu Oy harus berpotongan dengan grafik tidak lebih dari satu titik.

Metode untuk menentukan suatu fungsi

1) Fungsi dapat diatur secara analitis dalam bentuk rumus. Misalnya,

2) Fungsi dapat ditentukan dengan tabel yang terdiri dari banyak pasangan (x; kamu).

3) Fungsinya dapat ditentukan secara grafis. Pasangan nilai (x; kamu) digambarkan pada bidang koordinat.

Monotonisitas fungsi

Fungsi f(x) ditelepon meningkat pada interval numerik tertentu, jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Bayangkan suatu titik bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Maka titik tersebut akan tampak “naik” ke atas grafik.

Fungsi f(x) ditelepon menurun pada interval numerik tertentu, jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil. Bayangkan suatu titik bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Kemudian titik tersebut akan tampak “menggulung” grafik ke bawah.

Suatu fungsi yang hanya bertambah atau berkurang pada interval numerik tertentu disebut membosankan pada interval ini.

Nol fungsi dan interval tanda konstan

Nilai-nilai X, di mana kamu=0, ditelepon fungsi nol. Ini adalah absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu Ox.

Rentang nilai seperti itu X, di mana nilai fungsinya kamu hanya positif atau negatif saja yang disebut interval tanda konstan fungsi.

Fungsi genap dan ganjil

Fungsi genap
1) Daerah definisinya simetris terhadap titik (0; 0), yaitu jika titik tersebut A termasuk dalam domain definisi, maka intinya -A juga termasuk dalam domain definisi.
2) Untuk nilai berapa pun X f(-x)=f(x)
3) Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu Oy.

Fungsi aneh memiliki sifat-sifat berikut:
1) Daerah definisinya simetris terhadap titik (0; 0).
2) untuk nilai apa pun X, termasuk dalam domain definisi, kesetaraan f(-x)=-f(x)
3) Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal (0; 0).

Tidak semua fungsi genap atau ganjil. Fungsi pandangan umum tidak genap maupun ganjil.

Fungsi periodik

Fungsi F Disebut periodik jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan f(x)=f(x-T)=f(x+T). T adalah periode fungsi tersebut.

Setiap fungsi periodik mempunyai jumlah periode yang tak terhingga. Dalam praktiknya, periode positif terkecil biasanya dipertimbangkan.

Nilai fungsi periodik diulang setelah selang waktu yang sama dengan periode. Ini digunakan saat membuat grafik.

Hari ini dalam pelajaran kita akan beralih ke salah satu konsep dasar matematika - konsep fungsi; Mari kita lihat lebih dekat salah satu properti suatu fungsi - himpunan nilainya.

Kemajuan pelajaran

Guru. Saat memecahkan masalah, kita memperhatikan bahwa terkadang menemukan himpunan nilai suatu fungsilah yang menempatkan kita dalam situasi sulit. Mengapa? Nampaknya, setelah mempelajari suatu fungsi sejak kelas 7 SD, kita mengetahui cukup banyak tentangnya. Oleh karena itu, kami mempunyai banyak alasan untuk mengambil tindakan proaktif. Mari kita “bermain” dengan banyak nilai fungsi hari ini untuk menjawab banyak pertanyaan tentang topik ini di ujian mendatang.

Kumpulan nilai fungsi dasar

Guru. Pertama, Anda perlu mengulangi grafik, persamaan, dan himpunan nilai fungsi dasar dasar di seluruh domain definisi.

Grafik fungsi diproyeksikan ke layar: linier, kuadrat, rasional pecahan, trigonometri, eksponensial, dan logaritma, untuk masing-masingnya sekumpulan nilai ditentukan secara lisan. Tarik perhatian siswa pada fakta bahwa fungsi linier E(f) = R atau satu angka, untuk linier pecahan

Ini alfabet kami. Dengan menambah pengetahuan kita tentang transformasi graf: translasi paralel, regangan, kompresi, refleksi, kita akan mampu menyelesaikan soal-soal bagian pertama. Ujian Negara Bersatu bahkan sedikit lebih sulit. Mari kita periksa.

Pekerjaan mandiri

kamu Istilah masalah dan sistem koordinat dicetak untuk setiap siswa.

1. Temukan himpunan nilai fungsi di seluruh domain definisi:

A) kamu= 3 dosa X ;
B) kamu = 7 – 2 X ;
V) kamu= –arcos ( X + 5):
G) kamu= | arctg X |;
D)

2. Temukan himpunan nilai fungsi kamu = X 2 di antaranya J, Jika:

A) J = ;
B) J = [–1; 5).

3. Definisikan fungsi secara analitis (dengan persamaan), jika himpunan nilainya adalah:

1) E(F(X)) = (–∞ ; 2] dan F(X) - fungsi

a) kuadrat,
b) logaritma,
c) demonstratif;

2) E(F(X)) = R \{7}.

Saat mendiskusikan suatu tugas 2kerja mandiri, menarik perhatian siswa pada fakta bahwa, dalam kasus monotonisitas dan kontinuitas fungsi y=F(X)pada interval tertentu[A;B],banyak artinya-selang,yang ujungnya adalah nilai f(A)dan f(B).

Pilihan jawaban untuk tugas tersebut 3.

1.
A) kamu = –X 2 + 2 , kamu = –(X + 18) 2 + 2,
kamu= A(X – X c) 2 + 2 pada A < 0.

B) kamu= –| catatan 8 X | + 2,

V) kamu = –| 3 X – 7 | + 2, kamu = –5 | X | + 3.

2.
a) b)

V) kamu = 12 – 5X, Di mana X ≠ 1 .

Menemukan beberapa nilai suatu fungsi menggunakan turunan

Guru. Di kelas 10, kita mengenal algoritma untuk mencari ekstrem suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen dan mencari himpunan nilainya, tanpa bergantung pada grafik fungsi tersebut. Ingat bagaimana kami melakukan ini? ( Menggunakan turunan.) Mari kita ingat algoritma ini .

Masalah yang melibatkan penggunaan algoritma ini ditemukan dalam versi Unified State Exam. Misalnya, pada tahun 2008 tugas seperti itu diusulkan. Anda harus menyelesaikannya Rumah .

Tugas C1. Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut

F(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2

di | X + 1| ≤ 3.

Ketentuan pekerjaan rumah dicetak untuk setiap siswa .

Menemukan himpunan nilai fungsi kompleks

Guru. Bagian utama dari pelajaran kita adalah masalah non-standar yang mengandung fungsi kompleks, yang turunannya merupakan ekspresi yang sangat kompleks. Dan kita tidak mengetahui grafik fungsi-fungsi ini. Oleh karena itu, untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan definisi fungsi kompleks, yaitu ketergantungan antar variabel dalam urutan sarangnya dalam suatu fungsi tertentu, dan perkiraan rentang nilainya (interval perubahannya). nilai). Soal jenis ini ditemukan pada Unified State Examination bagian kedua. Mari kita lihat beberapa contoh.

Tugas 1. Untuk fungsi kamu = F(X) Dan kamu = G(X) tulis fungsi yang kompleks kamu = F(G(X)) dan temukan kumpulan nilainya:

A) F(X) = –X 2 + 2X + 3, G(X) = dosa X;
B) F(X) = –X 2 + 2X + 3, G(X) = catatan 7 X;
V) G(X) = X 2 + 1;
G)

Larutan. a) Fungsi kompleks berbentuk: kamu= –dosa 2 X+ 2dosa X + 3.

Memperkenalkan argumen perantara T, kita dapat menulis fungsi ini seperti ini:

kamu= –T 2 + 2T+ 3, dimana T= dosa X.

Pada fungsi internal T= dosa X argumen menerima nilai apa pun, dan himpunan nilainya adalah segmen [–1; 1].

Jadi, untuk fungsi luarnya kamu = –T 2 +2T+ 3 kami menemukan interval untuk mengubah nilai argumennya T: T[–1; 1]. kamu = –T 2 +2T + 3.

Mari kita lihat grafik fungsinya T Kami mencatat bahwa fungsi kuadrat di kamu[–1; 1] mengambil nilai terkecil dan terbesar di ujungnya: kamu nama = kamu(–1) = 0 dan kamu naib =

(1) = 4. Dan karena fungsi ini kontinu pada interval [–1; 1], maka ia menerima semua nilai di antara keduanya.: kamu .

Menjawab

kamu= –T 2 + 2T+ 3, dimana T b) Komposisi fungsi-fungsi ini membawa kita pada suatu fungsi kompleks yang, setelah memasukkan argumen perantara, dapat direpresentasikan sebagai berikut: X,

= catatan 7 T Fungsi X

X (0; +∞ ), T (–∞ ; +∞ ).

= catatan 7 kamu = –T 2 + 2T= catatan 7 T+ 3 (lihat grafik) argumen

(1) = 4. Dan karena fungsi ini kontinu pada interval [–1; 1], maka ia menerima semua nilai di antara keduanya.: kamu (–∞ ; 4].

mengambil nilai apa pun, dan fungsi kuadrat itu sendiri mengambil semua nilai tidak lebih dari 4.

c) Fungsi kompleks mempunyai bentuk sebagai berikut:

Memperkenalkan argumen perantara, kita mendapatkan: T = X 2 + 1.

Di mana X R Karena untuk fungsi batin T .

(1) = 4. Dan karena fungsi ini kontinu pada interval [–1; 1], maka ia menerima semua nilai di antara keduanya.: kamu (0; 3].

, A

d) Komposisi kedua fungsi ini menghasilkan fungsi yang kompleks

yang dapat ditulis sebagai

Perhatikan itu

Memperkenalkan argumen perantara, kita mendapatkan: Jadi, kapan k , T [–1; 0) (0; 1].

Z Dengan menggambar grafik fungsinya T

kamu kita melihatnya dengan nilai-nilai ini

(–∞ ; –4] c ;

Larutan. b) di seluruh area definisi. T Pertama, kita memeriksa fungsi monotonisitas ini. Fungsi X= arcctg R - terus menerus dan berkurang sebesar kamu dan himpunan nilainya (0; π). Fungsi T= catatan 5 R didefinisikan pada interval (0; π), kontinu dan meningkat pada interval tersebut. Artinya fungsi kompleks ini berkurang pada himpunan R .

. Dan itu, sebagai komposisi dari dua fungsi kontinu, akan kontinu

Mari kita selesaikan masalah "a".

Karena fungsinya kontinu pada seluruh garis bilangan, maka fungsi tersebut kontinu pada bagian mana pun, khususnya pada segmen tertentu. Dan kemudian pada segmen ini ia memiliki nilai terkecil dan terbesar dan mengambil semua nilai di antara keduanya:

Manakah dari nilai yang dihasilkan yang lebih besar? Mengapa? Dan apa kumpulan nilainya?

Menjawab:

Mari kita selesaikan masalah "b".

Menjawab: pada(–∞ ; catatan 5 π) di seluruh area definisi.

Masalah dengan parameter

Sekarang mari kita coba membuat dan menyelesaikan persamaan sederhana dengan parameter berbentuk F(X) = A, Di mana F(X) - fungsinya sama seperti pada tugas 4.

Tugas 5. Tentukan banyaknya akar persamaan log 5 (arcctg X) = A untuk setiap nilai parameter A.

Larutan. Seperti yang telah kami tunjukkan di tugas 4, fungsinya pada= log 5(arcctg X) - berkurang dan terus menyala R dan mengambil nilai kurang dari log 5 π. Informasi ini cukup untuk memberikan jawaban.

Menjawab: Jika A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Jika A≥ log 5 π, maka tidak ada akar.

Guru. Hari ini kita membahas masalah yang berkaitan dengan pencarian himpunan nilai suatu fungsi. Sepanjang jalur ini, kami menemukan metode baru untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan - metode estimasi, sehingga menemukan himpunan nilai suatu fungsi menjadi sarana untuk memecahkan masalah tingkat yang lebih tinggi. Dengan melakukan hal ini, kita melihat bagaimana permasalahan tersebut dibangun dan bagaimana sifat monotonisitas suatu fungsi memfasilitasi penyelesaiannya.

Dan saya berharap logika yang menghubungkan tugas-tugas yang dibahas hari ini membuat Anda takjub atau setidaknya terkejut. Tidak mungkin sebaliknya: mendaki ke puncak baru tidak akan membuat siapa pun acuh tak acuh! Kami memperhatikan dan menghargai lukisan, patung, dll yang indah. Namun matematika juga mempunyai keindahan tersendiri, menarik dan mempesona – keindahan logika. Matematikawan mengatakan bahwa solusi yang indah biasanya merupakan solusi yang tepat, dan ini bukan sekadar ungkapan. Sekarang Anda harus menemukan sendiri solusi tersebut, dan kami telah menunjukkan salah satu jalan menuju solusi tersebut hari ini. Semoga beruntung untukmu! Dan ingat: siapa yang berjalan, dialah yang menguasai jalannya!